1.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
POR: SERGIO LUIS SANTAMARIA MEJIA
“Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional”
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN

2.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no
contiene un ángulo recto. Para resolver el
triángulo mencionado se requieren de ciertas
propiedades que se conocen como las leyes
trigonométricas, entre ellos la ley de senos, la ley
de cosenos y la de tangentes.
𝑨 𝑩
𝑪
𝒃
𝒂
𝒄
𝜶
𝜷
𝜸
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
Fig. 0

3.
En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c
las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de
sus ángulos internos, entonces se cumple:
1. LEY DE SENOS
𝑨 𝑩
𝑪
𝒃 𝒂
𝒄
𝜶 𝜷
𝜸
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
DEMOSTRACIÓN
• Trazamos una recta paralela al eje y, que corta al eje x en el
punto D, entonces 𝑑 𝐶, 𝐷 = ℎ
• Trazamos una altura desde el punto A, hasta el punto E
• Denominamos m la d(A, D) y n la d(A, E)
• Por ángulos suplementarios calculamos el ángulo D𝐴C
• Dado el triángulo oblicuángulo ABC en la Fig. 0
𝑬
m 𝑨 𝑩
𝑪
𝒃
𝒂
𝒄
𝜶 𝜷
𝜸
𝒙
𝒚
h
𝑫
n
Fig. 1.1
Fig. 1.2

4.
A partir de la Fig. 1.2
I. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
ℎ
𝑎
→ ℎ = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
II. 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 =
ℎ
𝑏
→ ℎ = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
Igualando (I) y (II)
𝑎𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
∨
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
… … … (∗)
III. 𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑛
𝑐
→ 𝑛 = 𝑐. 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
IV. 𝑠𝑒𝑛 𝛾 =
𝑛
𝑏
→ 𝑛 = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛾)
En el triángulo rectángulo BDC
En el triángulo rectángulo ADC
En el triángulo rectángulo AEB
En el triángulo rectángulo AEC
Igualando (III) y (IV)
c𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝛾
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛽
∨
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
… … … (∗∗)
De (*)  (**)
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
1.
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
2.
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
3.
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
NOTA
Para aplicar la ley de senos es necesario tener en cuenta lo siguiente:
• Conocer dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA)
• Conocer dos ángulos y un lado cualquiera (AAL o ALA)
RECORDAR
𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
Santamaria
Mejia
Sergio
L.

5.
Como se ilustra en la figura, un funicular lleva pasajeros de un punto A, que está a 1,2 millas de un punto B en la base de una
montaña, a un punto P en la cima de la montaña. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21° y 65°, respectivamente.
(a) Calcule la distancia entre A y P.
(b) Calcule la altura de la montaña.
SOLUCIÓN
EJERCICIO 1
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛽 𝑦 (𝛾)
𝑆𝑒𝑎:
𝑑 𝐴, 𝑃 = 𝑏
𝑑 𝐵, 𝑃 = 𝑎
∡𝐴𝐵𝑃 = 180° − 𝛽 = 65° → 𝛽 = 115°
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
∡𝐴𝐵𝑃 = 𝛽
∡𝐴𝑃𝐵 = 𝛾
∡𝐴𝑃𝐵 = 21° + 115° + 𝛾 = 180° → 𝛾 = 44°
𝑏 =
1,2(0,91)
0,69
→ 𝑏 =
1,092
0,69
𝑠𝑒𝑛 44°
1,2
=
𝑠𝑒𝑛 21°
𝑎 → 𝑎 =
1,2(𝑠𝑒𝑛 21° )
𝑠𝑒𝑛(44°)
𝑎 =
1,2(0,36)
0,69
Aplicamos ley de senos para hallar d(A ,P) y d(B, P)
𝑠𝑒𝑛 44°
1,2
=
𝑠𝑒𝑛 115°
𝑏
→ 𝑏 =
1,2(𝑠𝑒𝑛 115° )
𝑠𝑒𝑛(44°)
→ 𝑏 = 1,58 mi.
→ 𝑎 =
0,432
0,69
→ 𝑎 = 0,63 mi.
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = ℎ
Calculamos la altura de la montaña
𝑷
𝑩 𝑯
𝒉
𝟔𝟓°
ℎ
0,63
= 𝑠𝑒𝑛(65°) → ℎ = (0,6)𝑠𝑒𝑛(65°)
→ ℎ = (0,63)(0,91) → ℎ = 0,57 mi.
Rpta.
(a) b = 1,58 mi.
(b) ℎ = 0,57 mi.

6.
En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c
las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de
sus ángulos internos, entonces se cumple:
2. LEY DE COSENOS
𝑨 𝑩
𝑪
𝒃 𝒂
𝒄
𝜶 𝜷
𝜸
• 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 𝛼
• 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐. cos 𝛽
• 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏. cos(𝛾)
DEMOSTRACIÓN
• Trazamos una recta paralela al eje y, que corta al eje x en el
punto D, entonces 𝑑 𝐶, 𝐷 = ℎ
• Ubicamos las coordenadas de los puntos
• Denominamos m la d(A, D)
• Por ángulos suplementarios calculamos el ángulo D𝐴C
• Dado el triángulo oblicuángulo ABC en la Fig. 1
𝑨(𝟎, 𝟎) 𝑩(𝒄, 𝟎)
𝑪(𝒎, 𝒉)
𝒃
𝒂
𝒄
𝜶 𝜷
𝜸
𝒙
𝒚
h
𝑫(𝒎, 𝟎) m
Fig. 2.1
Fig. 2.2

7.
A partir de la Fig. 2.2
V. 𝑠𝑒𝑛 180° − 𝛼 =
ℎ
𝑏
→ ℎ = 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos
𝑑 𝐵, 𝐶 = 𝑎 = 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2
En el triángulo rectángulo ADC
Reemplazando (V) y (VI) en (#)
Procediendo en forma análoga
NOTA
Podemos aplicar la ley de cosenos si tenemos cualquiera de los
siguientes casos:
• Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LAL)
• Conocer tres lados (LLL)
VI. cos 180° − 𝛼 =
𝑚
𝑏
→ 𝑚 = 𝑏. 𝑐𝑜𝑠(𝛼)
(𝑎)2
= 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2
2
(𝑎)2
= 𝑚 − 𝑐 2 + ℎ − 0 2
2
𝑎2
= 𝑚 − 𝑐 2
+ ℎ − 0 2
𝑎2
= 𝑚2
− 2𝑚𝑐 + 𝑐2
+ ℎ2
… … … (#)
Elevamos al cuadrado ambos miembros
𝑎2
= (𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 )2
−2(𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2
+ (𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝛼 )2
𝑎2
= 𝑏2
cos2
𝛼 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2
+ 𝑏2
𝑠𝑒𝑛2
(𝛼)
Factorizamos 𝑏2
𝑎2
= 𝑏2
cos2
𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2
RECORDAR
𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + cos2
(𝛼) = 1
𝑎2
= 𝑏2
1 − 2𝑏𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐 + 𝑐2
∴ 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
− 2𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠 𝛾
Deducimos fórmulas para hallar la medida de los tres ángulos
2b. c. cos 𝛼 = 𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎2
→ cos 𝛼 =
𝑏2
+ 𝑐2
− 𝑎2
2𝑏𝑐
2a. c. cos 𝛽 = 𝑎2
+ 𝑐2
− 𝑏2
→ cos 𝛽 =
𝑎2
+ 𝑐2
− 𝑏2
2𝑎𝑐
2a. b. cos 𝛾 = 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑐2
→ cos 𝛾 =
𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑐2
2𝑎𝑏
Santamaria
Mejia
Sergio
L.

8.
El ángulo en una esquina de un terreno triangular es 73° y los lados que coinciden en esta esquina miden 175 pies y 150 pies de largo.
Calcule la longitud del tercer lado y la medida de los ángulos que faltan.
EJERCICIO 2
SOLUCIÓN
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
Aplicamos ley de cosenos para hallar d(A, B) = c
𝑐2
= (150)2
+(175)2
−2(150)(175)𝑐𝑜𝑠 73°
𝑐2
= 22500 + 30625 − 52500𝑐𝑜𝑠 73°
𝑐2
= 53125 − 52500(0,29)
𝑐2
= 53125 − 15225
𝑐2
= 37900
𝑐 = 37900
𝑆𝑒𝑎:
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑐
∡𝐶𝐴𝐵 = 𝛼
∡𝐶𝐵𝐴 = 𝛽
→ 𝑐 ≈ 194,7 ≈ 195 pies
73°
𝑨 𝑩
𝑪
𝒄
𝜶 𝜷
Hallamos 𝛼
(150)2
= (175)2
+(195)2
−2(175)(195)𝑐𝑜𝑠 𝛼
22500 = 30625 + 38025 − 68250𝑐𝑜𝑠 𝛼
68250𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 68650 − 22500
68250𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 46150
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
46150
68250
→ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
71
105
𝛼 = arccos
71
105
𝛼 ≈ 47,45° ≈ 47,5°
Hallamos 𝛽
(175)2
= (150)2
+(195)2
−2(150)(195)𝑐𝑜𝑠 𝛽
30625 = 22500 + 38025 − 58500𝑐𝑜𝑠 𝛽
58500𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 60525 − 30625
58500𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 29900
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
29900
58500
→ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
23
45
𝛽 = arccos
23
45 𝛽 ≈ 59,26° ≈ 59,3°

9.
En cualquier triángulo oblicuángulo ABC, sean a, b y c
las longitudes de sus lados y ,  y  las medidas de
sus ángulos internos, entonces se cumple:
3. LEY DE LA TANGENTE
𝑨 𝑩
𝑪
𝒃 𝒂
𝒄
𝜶 𝜷
𝜸
DEMOSTRACIÓN
Fig. 2.1
•
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
=
tan
𝛼+𝛽
2
tan
𝛼−𝛽
2
•
𝑎+𝑐
𝑎−𝑐
=
tan
𝛼+𝛾
2
tan
𝛼−𝛾
2
•
𝑏+𝑐
𝑏−𝑐
=
tan
𝛽+𝛾
2
tan
𝛽−𝛾
2
A partir de la ley de senos se tiene:
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑎
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
∧
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑏
=
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑐
→
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
=
𝑎
𝑐
… … 𝑎 ∧
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝛾
=
𝑏
𝑐
… … (𝑏)
Sumamos y restamos (a) y (b)
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
+
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑎
𝑐
−
𝑏
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛾
−
𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
→
𝑎 + 𝑏
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
… … (𝑚)
→
𝑎 − 𝑏
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
… … (𝑛)

10.
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
Dividimos (m) y (n)
𝑎 + 𝑏
𝑐
𝑎 − 𝑏
𝑐
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛(𝛽)
𝑠𝑒𝑛(𝛾)
𝑐(𝑎 + 𝑏)
𝑐(𝑎 − 𝑏)
=
𝑠𝑒𝑛(𝛾)((𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 )
𝑠𝑒𝑛(𝛾)((𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 )
→
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
=
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑣 = 2𝑠𝑒𝑛
𝑢 + 𝑣
2
. cos
𝑢 − 𝑣
2
RECORDAR
𝑠𝑒𝑛 𝑢 − 𝑠𝑒𝑛 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠
𝑢 + 𝑣
2
. sen
𝑢 − 𝑣
2
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
=
2𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝛽
2
cos
𝛼 − 𝛽
2
2𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
sen
𝛼 − 𝛽
2
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
=
𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝛽
2
𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
.
cos
𝛼 − 𝛽
2
sen
𝛼 − 𝛽
2
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
= tan
𝛼 + 𝛽
2
. cot
𝛼 − 𝛽
2
RECORDAR
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
1
tan 𝛼
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
= tan
𝛼 + 𝛽
2
.
1
tan
𝛼 − 𝛽
2
→
(𝑎 + 𝑏)
(𝑎 − 𝑏)
=
𝑡𝑎𝑛
𝛼 + 𝛽
2
tan
𝛼 − 𝛽
2
Procediendo en forma análoga
𝑎 + 𝑐
𝑎 − 𝑐
=
tan
𝛼 + 𝛾
2
tan
𝛼 − 𝛾
2
∧
𝑏 + 𝑐
𝑏 − 𝑐
=
tan
𝛽 + 𝛾
2
tan
𝛽 − 𝛾
2

11.
En un triángulo ABC, si 𝑐 = 13 𝑚 y 𝑏 = 6 𝑚, el ángulo que forman dichos lados es de 40°. Halla los demás elementos que se desconocen del
triángulo.
EJERCICIO 3.
SOLUCIÓN
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
𝜸
𝑪
𝑨
𝑩
𝟏𝟑 𝒎
𝜷
𝟒𝟎°
𝑆𝑒𝑎:
𝑑 𝐵, 𝐶 = 𝑎
∡𝐴𝐶𝐵 = 𝛾
∡𝐴𝐵𝐶 = 𝛽
40° + 𝛽 + 𝛾 = 180° → 𝛽 + 𝛾 = 140°
Aplicamos ley de la tangente
13 + 6
13 − 6
=
tan
𝛽 + 𝛾
2
tan
𝛽 − 𝛾
2
→
19
7
=
tan
140°
2
tan
𝛽 − 𝛾
2
19
7
=
tan 70°
tan
𝛽 − 𝛾
2
→ tan
𝛽 − 𝛾
2
=
7(2,75)
19
𝛽 − 𝛾
2
= arctan
19,25
19
→ 𝛽 − 𝛾 = 2 45,37° = 90,74°
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛽 𝑦 (𝛾)
𝛽 + 𝛾 = 140°
𝛽 − 𝛾 = 90,74°
+
2𝛽 = 230,74°
→ 𝛽 + 𝛾 = 140°
115,37° + 𝛾 = 140°
𝛾 = 140° − 115,37°
→ 𝛽 = 115,37° ≈ 115,4° → 𝛾 = 24,63° ≈ 24,6°
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎
13 + 𝑎
13 − 𝑎
=
tan
115,4° + 40°
2
tan
115,4° − 40°
2
→
13 + 𝑎
13 − 𝑎
=
tan 77,7°
tan(37,7°)
(13 + 𝑎)(0,77) = (13 − 𝑎)(4,59)
10,01 + 0,77𝑎 = 59,67 − 4,59𝑎 → 5,36𝑎 = 49,66
𝑎 =
49,66
5,36
→ 𝑎 = 9,26 ≈ 9,3 m

12.
Santamaria
Mejia
Sergio
L.
• SWOKOWSKI, E. (1996) Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Editorial
Iberoamericana, S.A. de C.V.
• Vílchez, J. & Ramón J.A. (2014). Funciones trigonométricas y algunas aplicaciones. Web:
Autoreseditores.com.
BIBLIOGRAFÍA