algebra booleana

1. El álgebra booleana.
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y
verdadero).Un operador binario “ º “ definido en éste juego de valores acepta un
par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador
booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida
booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados
iníciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras
propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes
postulados:
Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador
binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado
booleano.
Conmutativo: Se dice que un operador binario “ º “ es conmutativo si A º B = B º A
para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo: Se dice que un operador binario “ º “ es asociativo si (A º B) º C = A º
(B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo: Dos operadores binarios “ º “ y “ % “ son distributivos si A º (B % C) =
(A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con
respecto a un operador binario “ º “ si A º I = A.
Inverso: Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano “ º “ si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de
A.
Sus aplicaciones, van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de
lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que
está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con
diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los
circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware,
son interpretadas como funciones de boole. En el presente trabajo se intenta dar
una definición de lo que es un álgebra de boole; se tratan las funciones booleanas,
haciendo una correlación con las fórmulas proposicionales. Asimismo, se plantean
dos formas canónicas de las funciones booleanas, que son útiles para varios
propósitos, tales como el de determinar si dos expresiones representan o no la
misma función. Pero para otros propósitos son a menudo engorrosas, por tener
más operaciones que las necesarias. Particularmente, cuando estamos

2. construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas,
el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo
crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos
funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo
hace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de
simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o
diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar
adecuadamente sólo con pocas variables. Se realizan estas presentaciones con el
fin de demostrar la afinidad existente entre el álgebra de boole y la lógica
proposicional, y con el objeto de cimentar el procedimiento de simplificación
presentado en la lógica de proposiciones.
Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa,
como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT
podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores
utilizando las compuertas lógicas homónimas Un hecho interesante es que es
posible implementar cualquier circuito electrónico utilizando una sola compuerta,
ésta es la compuerta NAND Para probar que podemos construir cualquier función
booleana utilizando sólo compuertas NAND, necesitamos demostrar cómo
construir un inversor (NOT), una compuerta AND y una compuerta OR a partir de
una compuerta NAND, ya que como se dijo, es posible implementar cualquier
función booleana utilizando sólo los operadores booleanos AND, OR y NOT.
La importancia, de utilizar el Algebra de boole como herramienta fundamental
para la solución de expresiones lógicas proposicionales, el desarrollo de circuitos
electrónicos, entre otros. La importancia de los circuitos lógicos es que con ellos
se construyen todo tipo de equipos digitales como son: equipos de control,
computadoras, calculadoras y muchos otros. Es fundamental para la solución de
expresiones lógicas proposicionales, el desarrollo de circuitos electrónicos, entre
otros.
Compuertas lógicas.
 Lógica Positiva.
En esta notación al 1 lógico le corresponde el nivel más alto de tensión y al 0
lógico el nivel más bajo, pero que ocurre cuando la señal no está bien definida.
Entonces habrá que conocer cuáles son los límites para cada tipo de señal
(conocido como tensión de histéresis), en este gráfico se puede ver con mayor
claridad cada estado lógico y su nivel de tensión.

3.  Lógica Negativa.
Aquí ocurre todo lo contrario, es decir, se representa al estado "1" con los niveles
más bajos de tensión y al "0" con los niveles más altos.
Por lo general se suele trabajar con lógica positiva, la forma más sencilla de
representar estos estados es como se puede ver en el siguiente gráfico.
 Compuertas Lógicas.
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos
mencionados en lo anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado
ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el
resultado.
Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la
operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada
Tabla de Verdad, veamos la primera.

4.  Compuerta NOT.
Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones
su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa.
Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a
invertida.
 Compuerta AND.
Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un
producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso
coincidan.
 Compuerta OR.
Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica,
será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que 1 + 1 = 1, el tema es
que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b*Es decir, basta que
una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1*
 Compuerta OR-EX o XOR.
Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará
con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser
O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1*

5. Estas serían básicamente las compuertas más sencillas.
Compuertas Lógicas Combinadas.
Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los
resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres
nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son y
cuál es el símbolo que las representa.
 Compuerta NAND.
Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación
simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la
compuerta AND.
 Compuerta NOR.
El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión
de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo
agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR.

6.  Compuerta NOR-EX.
Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden
apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar
la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico.
Inferencia lógica.
La inferencia lógica es un mecanismo de derivación sintáctica que a partir de un
conjunto dado de fórmulas permite derivar nuevas fórmulas, utilizando
operaciones que se denominan reglas de inferencia.
 Modus ponendo ponens:
En lógica, modus ponendo ponens es una regla de inferencia que tiene la
siguiente forma:
Si A, entonces B
A
Por lo tanto, B
Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría ser:
Si está soleado, entonces es de día.
Está soleado.
Por lo tanto, es de día.
Otro ejemplo sería
Si Javier tiene rabia, es una nube.
Javier tiene rabia.
Por lo tanto, Javier es una nube.

7. Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:
Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes: Con
condicional:
 Modus ponendo tollens:
En lógica, el modus ponendo tollens es una forma válida de argumento que dice:
O bien A, o bien B
A
Por lo tanto, no B
Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponendo tollens
podría ser:
O bien es de día, o bien es de noche.
Es de día.
Por lo tanto, no es de noche.
Otra manera de presentar el modus ponendo tollens es:
Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes:

8.  Silogismo hipotético:
En lógica se denomina silogismo hipotético a aquel tipo de silogismo o más bien
regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual
puede tener términos válidos o no. En la lógica proposicional un silogismo
hipotético puede expresar una regla de inferencia, mientras que en la historia de la
lógica los silogismos hipotéticos han sido una antelación de la teoría de las
consecuencias.
En lógica proposicional: El silogismo hipotético es un argumento válido si sigue
la siguiente forma argumental.
P → Q.
Q → R.
Entonces (ergo), P → R.
Con operadores lógicos, esto se expresa:
Donde representa la aserción lógica.
En otro términos, en este tipo de argumentos si A implica a B, y B implica a C,
transitivamente el primero (A) implica al tercero (C). Un ejemplo de silogismo
categórico es el siguiente:
Si no me despierto, no puedo ir a la fiesta.
Si no voy a la fiesta, no me divertiré.
Entonces, si no me despierto no me divertiré.