Abridge Physics

1. 1
หน่วยที่หน่วยที่ 11
กฎของคูลอมบ์และกฎกฎของคูลอมบ์และกฎ
ของเกาส์ของเกาส์
 ประจุไฟฟ้า
 กฎของคูลอมบ์
 สนามไฟฟ้า
 ฟลักซ์ของสนามเวก
เตอร์
 กฎของเกาส์
 การประยุกต์กฎของ

2. 2
 ค.ศ. 1600 : WilliamGilbert พบอำานาจทาง
ไฟฟ้าของประจุในแท่งอำาพัน (amber)
ความเป็นมาของไฟฟ้าความเป็นมาของไฟฟ้า
และแม่เหล็กและแม่เหล็ก
 ค.ศ. 1785: Charles Coulombเสนอกฎของคูลอมบ์
 ค.ศ. 1819 : Hans Oersted พบเข็มทิศเบี่ยง
เบนเมื่ออยู่ใกล้ลวดตัวนำาที่มีกระแสไฟฟ้า
 ค.ศ. 1831: Michael Faradayและ JosephHenryพบว่าเมื่อขด
ลวดหมุนตัดเส้นแรงแม่เหล็กจะเหนี่ยวนำาให้เกิดกระแสไฟฟ้า
 ค.ศ. 1873 : James ClerkMaxwell ค้นพบกฎของแม่เหล็กไฟฟ้า

3. 3
ประจุไฟฟ้าประจุไฟฟ้า (Electric(Electric
Charges)Charges)
 ประจุไฟฟ้ามี 2 ชนิด คือ ประจุลบและประจุ
บวก ประจุลบ คือประจุที่ประกอบด้วยอิเล็กตรอน
 ประจุบวก คือประจุที่ประกอบด้วยโปรตอน
 ประจุชนิดเดียวกันจะผลักกันประจุต่างชนิดกันจะดูดกัน
 หน่วยของประจุคือคูลอมบ์ (C): 1 C คือประจุของอิเล็กตรอน
หรือโปรตอนจำานวน 6.24x1018
อนุภาค หรือประจุของกระแส
ไฟฟ้า1 A ที่ไหลผ่าน 1 s

4. 4
ภาพการสาธิตแรงดูดและแรงภาพการสาธิตแรงดูดและแรง
ผลักระหว่างประจุผลักระหว่างประจุ
 ภาพทางขวาคือแรงดูดระหว่าง
ประจุต่างชนิดกัน
 ภาพทางซ้ายคือแรงผลักระหว่าง
ประจุชนิดเดียวกัน

5. 5
การอนุรักษ์และควอนไทเซชันการอนุรักษ์และควอนไทเซชัน
ของประจุของประจุ
 ในระบบที่อยู่โดดเดี่ยวประจุจะเป็น
ปริมาณที่อนุรักษ์โดยไม่สามารถ
สร้างขึ้นใหม่ได้หรือสูญหายไปไหน ในวัตถุใดๆ จำานวนประจุจะเป็นจำานวนเท่ากับประจุอิเล็กตรอน:
q = Ne
N คือ เลขจำานวนเต็ม
e=1.6x10-19
C
q = -e สำาหรับอิเล็กตรอน
q=+e สำาหรับโปรตอน

6. 6
ตัวนำาตัวนำา //ฉนวนฉนวน //
สารกึ่งตัวนำาสารกึ่งตัวนำา
 ตัวนำา คือวัตถุที่ประกอบด้วยอิเล็กตรอนอิสระ
จำานวนมาก อิเล็กตรอนไม่ถูกจำากัดให้อยู่ในอะตอมแต่สามารถเคลื่อนที่ไปได้
อย่างอิสระในวัตถุ เช่น ในทองแดงและ อะลูมิเนียม
 เมื่ออัดประจุให้กับตัวนำาณบริเวณหนึ่ง ประจุจะกระจายไปทั่วทั้งก้อน
 ฉนวน คือวัสดุที่มีอิเล็กตรอนทั้งหมดอยู่ในอะตอม
 อิเล็กตรอนไม่สามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระเช่นในแก้วและไม้
 เมื่อทำาการอัดประจุให้กับฉนวนณบริเวณหนึ่งประจุไม่สามารถ
กระจายไปยังบริเวณอื่น
 สารกึ่งตัวนำา คือวัสดุที่มีคุณสมบัติทางไฟฟ้าอยู่ระหว่างตัวนำาและฉนวน เช่น
ซิลิคอน และเยอร์มาเนียม

7. 7
การอัดประจุโดยวิธีการการอัดประจุโดยวิธีการ
เหนี่ยวนำาเหนี่ยวนำา
 การอัดประจุโดยการ
เหนี่ยวนำาไม่จำาเป็นต้องมี
การสัมผัสกันระหว่างวัตถุ
 ในวัตถุที่เป็นโลหะทรงกลมที่
เป็นกลางทางไฟฟ้าจะมีประจุ
บวกและลบจำานวนเท่ากัน
 เมื่อนำาแท่งยางที่มีประจุมา
ใกล้ทรงกลมประจุในทรง
กลมจะจัดเรียงตัวใหม่

8. 8
 เมื่อตัดเส้นลวดลงดินออกจะมีประจุบวกมากกว่า
ประจุลบในทรงกลมหรือเกิดการเหนี่ยวนำาประจุ
บวกขึ้นในทรงกลม
 เมื่อเคลื่อนแท่งยางออก
อิเล็กตรอนจะเรียงตัวใหม่โดย
ทรงกลมยังมีประจุสุทธิเป็นบวก
 เมื่อต่อทรงกลมลงดิน
อิเล็กตรอนบางส่วนจะหนีลง
ดิน

9. 9
กฎของคูลอมบ์กฎของคูลอมบ์
 Charles Coulomb เป็นผู้เสนอกฎของ
คูลอมบ์ซึ่งกล่าวถึงแรงกระทำา
ระหว่างประจุดังนี้ แรงระหว่างประจุจะเป็นปฏิภาคโดยตรงกับขนาดของประจุแต่เป็น
ปฏิภาคผกผันกับระยะทางระหว่างประจุ
 แรงระหว่างประจุจะเป็นแรงดูดถ้าเป็นประจุต่างชนิดกันและ
เป็นแรงผลักถ้าเป็นประจุชนิดเดียวกัน

10. 10
 ke คือ ค่าคงตัวของคู
ลอมบ์
1 2
e e 2
q q
F = k
r
 ke = 8.9875 x 109
N.
m2
/C2
= 1/(4πeo)
 eo คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ
 e0 = 8.8542 x 10-12
C2
/N.m2
 สมการของแรงระหว่างประจุจุด (point charge) :

11. 11
เวกเตอร์ของแรงเวกเตอร์ของแรง
ระหว่างประจุระหว่างประจุ
rˆ1q2q
 เวกเตอร์ของแรงระหว่างประจุชนิดเดียวกันจะมี
ทิศออกจากกัน
 เวกเตอร์ของแรงระหว่างประจุต่าง
ชนิดกันจะมีทิศเข้าหากัน
 แรงระหว่างประจุจะเป็นไปตามกฎข้อที่
3 ของนิวตันหรือ
21 12F = -F
v v
 เวกเตอร์ของแรงจะอยู่ในแนว
เชื่อมต่อระหว่างประจุดังรูป

12. 12
หลักการหลักการ
ซ้อนทับซ้อนทับ
 แรงรวมของระบบที่มีหลายประจุจะเป็น
ไปตามหลักการซ้อนทับ (principle of
superpositon) หรือ
i ij
j
F F= ∑
v v
 ถ้าประจุมี 6ประจุ ดังรูป 1.3หน้า 8ของประมวล
สาระวิชาฟิสิกส์ 2 จะเกิดแรงรวมมีค่าเป็น
1 12 13 14 15 16F F F F F F= + + + +
v v v v v v

13. 13
ตัวอย่างตัวอย่าง
ที่ที่ 11
- วิธีทำา จากกฎของคูลอมบ์
จงหาขนาดแรงไฟฟ้าระหว่าง
อิเล็กตรอนและโปรตอนของ
อะตอมไฮโดรเจนซึ่งอยู่ห่างกัน
ประมาณ 5.3x10-11
mแล้วจง
เปรียบเทียบกับขนาดแรงดึงดูด
ระหว่างมวลของอนุภาคทั้งสอง1 2
2e
q q
F k
r
=
- แทนค่าด้วย 19 11
1 2 1.6 10 , 5.3 10q q e x C r x m− −
= = = =
( )
( )
( )
219
9 2 2 8
211
1.6 10
8.99 10 / 8.2 10
5.3 10
e
x C
F x N m C x N
x m
−
−
−
= × =

14. 14
( )
( ) ( )
( )
31 27
11 2 2
211
9.11 10 1.67 10
6.67 10 /
5.3 10
g
x kg x kg
F x N m kg
x m
− −
−
−
= ×
47
3.6 10x N−
=
8
39
47
8.2 10
2 10
3.6 10
e
g
F x N
x
F x N
−
−
∴ = =
จากกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน 1 2
2g
m m
F G
r
=
แทนค่าด้วย 31 27
9.11 10 , 1.67 10e pm x kg m x kg− −
= =

15. 15
ตัวอย่างตัวอย่าง
ที่ที่ 22
Cµ
จงหาแรงลัพธ์ทางไฟฟ้าบนอนุภาค q3 ที่
กระทำาโดยอนุภาค q1 และ q2 ซึ่งวางอยู่ที่มุม
ของสามเหลี่ยมดังรูป กำาหนดให้ q1=
q3=5.0 q2= 2.0 , a = 0.1 m(แสดงวิธีทำา
ในห้องเรียน)
Cµ
Cµ

16. 16
สนามสนาม
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 Faraday เป็นผู้เสนอแนวความคิด
ของสนามไฟฟ้าโดยกล่าวว่าจะ
เกิดสนามไฟฟ้าขึ้นรอบๆ วัตถุที่มี
ประจุซึ่งเรียกว่า ประจุต้นกำาเนิด
(source charge )
 ถ้านำาประจุทดสอบ (test charge) q0เข้ามาในบริเวณที่มี
สนามไฟฟ้าจะเกิดแรงกระทำาต่อประจุทดสอบ
 ขนาดของสนามไฟฟ้าจะมีค่าเท่ากับอัตราส่วนของแรงที่สนามนั้นกระทำากับประจุ
ทดสอบต่อหนึ่งหน่วยประจุทดสอบหรือ
0/eE F q=
v v

17. 17
 ในความเป็นจริงสนามไฟฟ้า
เป็นสมบัติของประจุต้นกำาเนิด
ไม่จำาเป็นต้องอ้างถึงประจุ
ทดสอบโดยประจุทดสอบต้องมี
ขนาดเล็กมาก
 ทิศทางของสนามไฟฟ้าคือ
ทิศทางของแรงที่กระทำาบน
ประจุทดสอบที่เป็นบวกดังรูป
สนามสนาม
ไฟฟ้าไฟฟ้า((ต่อต่อ))

18. 18
เวกเตอร์ของเวกเตอร์ของ
สนามไฟฟ้าสนามไฟฟ้า
 จากกฎของคู
ลอมบ์
o
e e 2
qq
F = k r
r
ˆ
v
e
e 2
o
F q
E = = k r
q r
ˆ
v
v จะเขียนสมการของสนามไฟฟ้าได้เป็น
 ถ้ามีประจุต้นกำาเนิดมากกว่า 1 ประจุสนามไฟฟ้ารวมจะหาได้
โดยอาศัย หลักการซ้อนทับ :
i
e i2
i i
q
E = k r
r
ˆ∑
v

19. 19
เวกเตอร์ของแรงและเวกเตอร์ของแรงและ
สนามไฟฟ้าสนามไฟฟ้า

(a) แรงเนื่องจาก
ประจุบวก

(b) สนามไฟฟ้าเนื่องจาก ประจุ
บวก

(c) แรงเนื่องจากประจุลบ

(b) สนามไฟฟ้า
เนื่องจาก ประจุลบ

20. 20
ตัวอย่างที่ตัวอย่างที่ 33
ประจุ q1=7.0 ไมโครคู
ลอมบ์ วางอยู่ที่จุด
กำาเนิดและประจุ q2=
-5.0 ไมโครคูลอมบ์ วาง
อยู่ห่างจากจุดกำาเนิด
เป็นระยะ 0.3 เมตร บน
แกน Xดังรูป จงหาส
นามไฟฟ้าที่จุด Pซึ่งมี
พิกัดเป็น (0,0.40)
เมตร(แสดงวิธีทำาใน
ห้องเรียน)

21. 21
ตัวอย่างที่ตัวอย่างที่ 1.4 (1.4 (หน้าหน้า 1717ของของ
ประมวลสาระฯประมวลสาระฯ))
ถ้าประจุ q1 และ q2 วางอยู่บนแกน X
ห่างกันเป็นระยะเท่ากับ L และถ้าจุด Pอยู่
ระหว่างประจุทั้งสองและห่างจากประจุ q1
เป็นระยะ x แล้วทำาให้ผลรวมของสนาม
ไฟฟ้า ณ จุด Pเป็นศูนย์ จงหาค่า x (ดูวิธี
ทำาในประมวลสาระฯ)
q
1
q
2
p
x L -
xL

22. 22
ขั้วคู่ไฟฟ้าขั้วคู่ไฟฟ้า
 ขั้วคู่ไฟฟ้า (electric dipole)
ประกอบด้วยประจุ ±q ที่มีขนาดเท่า
กันวางห่างกันเป็นระยะ d ดังรูป
 เราต้องการหาสนามไฟฟ้าของขั้วคู่ไฟฟ้า ณ จุด Pซึ่งจะมีค่าเป็น
E E E+ −= +
v v v
( )
22 2
0 0
1 1
4 4 / 2
q q
E E
r x dπε πε
+ −= = =
+
 เมื่อ
E−
r
E+
r
E
r
q−
q+
θ
d
z
r
x
P
θ
θ
θ
x
r+
−

23. 23
สนามไฟฟ้าของสนามไฟฟ้าของ
ขั้วคู่ไฟฟ้าขั้วคู่ไฟฟ้า
 สนามไฟฟ้าของขั้วคู่ไฟฟ้า ณ จุด Pจะมี
ค่าเป็น
2 2
/ 2
cos
( / 2)
cos cos 2 cos ,
d
x d
E E E E θθ θ θ+ − + =
+
= + =
 ถ้าให้ P=qdคือโมเมนต์ขั้วคู่ไฟฟ้า จะเขียนสนามไฟฟ้าได้เป็น
2 2 3/22 2 2 2
0 0
1 1/2
2
( /2)4 4( /2) ( / 2)
qdq d
E
x d x d x dπε πε
= =
+ + +
  
 ÷ ÷ ÷     
3
0
1
4
p
E
xπε
⇒ =x d>> ถ้า
( ) ( )
( )
3
3/ 222 20 0
3/ 2
2
3
1 / 2
/
1 / 1
4 4
/ 2
p
d x
x
p x
E
x x d x
πε πε
−
 = +  
⇒ =
+ 
 

24. 24
สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุที่สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุที่
กระจายอย่างต่อเนื่องกระจายอย่างต่อเนื่อง
 ถ้าระยะระหว่างประจุในวัตถุดังรูปมีค่า
น้อยกว่าระยะระหว่างกลุ่มประจุหรือน้อย
กว่าระยะจากประจุไปยังจุดที่สนใจอย่าง
มากเราถือว่าวัตถุมีการกระจายของประจุ
อย่างต่อเนื่อง
 เราสามารถหาค่าสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ
ดังกล่าวได้โดยแบ่งประจุออกเป็นกลุ่มๆ แต่ละ
กลุ่มมีประจุเป็น ดังรูป
q∆

25. 25
สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุที่สนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุที่
กระจายอย่างต่อเนื่องกระจายอย่างต่อเนื่อง
 สนามไฟฟ้าเนื่องจากกลุ่ม
ประจุจะมีค่าเป็น
e 2
Δq
ΔE = k r
r
ˆ
i
i
e i e2 2Δq ®0
i i
Δq dq
E = k lim r = k r
r r
∑ ∫ˆ ˆ
 สนามไฟฟ้ารวมจะหาค่าได้จากการรวมกันของแต่ละสนาม
 จำานวนชิ้นประจุ (dq) จะขึ้นอยู่กับความหนาแน่น
ของการกระจายประจุในแต่ละแบบ หรือ
เชิงปริมาตร : dq = ρ dV
เชิงพื้นที่ : dq = σ dA
เชิงเส้น : dq = λ dℓ

26. 26
ตัวอย่างตัวอย่าง 1.5 (1.5 (หน้าหน้า 2121ของของ
ประมวลสาระฯประมวลสาระฯ))ประจุบวก q กระจายตัวอย่างสมำ่าเสมอ
เป็นรูปวงแหวนบางมากมีรัศมี Rจงหา
ค่าของสนามไฟฟ้าที่จุด Pซึ่งอยู่ห่าง
จากจุดศูนย์กลางของวงแหวนในทิศตั้ง
ฉากกับระนาบของวงแหวนเป็นระยะ
เท่ากับ z
dl
dEcosθ
dE
r
θ
y
x
P
z
R
θ
(a)
ʹÒÁÃÇÁ
ʹÒÁ¨Ò¡ÊÇ蹫ÒéÂʹÒÁ¨Ò¡ÊÇè¹¢ÇÒ
«Òé ¢ÇÒ
(b)

27. 27
ตัวอย่างที่ตัวอย่างที่ 1.6(1.6(หน้าหน้า 2323ของของ
ประมวลสาระฯประมวลสาระฯ))
ประจุบวก q กระจายตัวอย่างสมำ่าเสมอ
เป็นเส้นตรงยาวมาก จงหาค่าสนาม
ไฟฟ้าที่ระยะห่างจากเส้นประจุเท่ากับ y
zdE
r
ydE
r
dE
r
z
y
dz
x
r P
θ
z

28. 28
เส้นสนามเส้นสนาม
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 เส้นสนามไฟฟ้าจะแสดงให้เราเห็นภาพ
ของสนามไฟฟ้าโดยเวกเตอร์ของสนาม
ไฟฟ้าจะเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นสนามไฟฟ้า
ในแต่ละจุด จำานวนของเส้นสนามไฟฟ้าซึ่ง
ผ่านผิวที่ตั้งฉากกับเส้นสนาม
ไฟฟ้าจะเป็น ปฎิภาคกับขนาด
ของสนามไฟฟ้า
 จากรูปขนาดของสนามไฟฟ้าในระนาบ A จะ
สูงกว่าในระนาบ B

29. 29
เส้นสนามเส้นสนาม
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 เส้นสนามไฟฟ้าจะออกจากประจุบวก
และเข้าสู่ประจุลบ ดังรูป
ประจุบวก ประจุลบ

30. 30
เส้นสนามเส้นสนาม
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 สำาหรับขั้วคู่ไฟฟ้าจำานวนเส้นสนามไฟฟ้า
ที่ออกจากประจุบวกจะเท่ากับที่เข้าสู่
ประจุลบ สำาหรับประจุบวก 2ประจุที่มีขนาดเท่ากัน จำานวนเส้นสนามไฟฟ้าที่
ออกจากแต่ละประจุจะเท่ากัน

31. 31
การเคลื่อนที่ของประจุการเคลื่อนที่ของประจุ
ในสนามไฟฟ้าในสนามไฟฟ้า
 เมื่อวางประจุในบริเวณที่มีสนามไฟฟ้าจะ
เกิดแรงกระทำาต่อประจุแล้วทำาให้ประจุ
เคลื่อนที่ตามกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน
Fe = qE = ma
 ถ้าสนามไฟฟ้ามีค่าสมำ่าเสมอประจุจะเคลื่อนที่
ด้วยความเร่งคงตัว มีค่าเป็น
a = qE /m
 ทิศทางของการเคลื่อนที่ของประจุบวกจะมีทิศเช่น
เดียวกันทิศของสนามไฟฟ้า แต่สำาหรับประจุลบจะมีทิศ
ตรงกันข้าม

32. 32
 ถ้าอิเล็กตรอนเคลื่อนที่ในแนวระดับ
เข้าไปในสนามไฟฟ้าสมำ่าเสมอดังรูป
จะมีเส้นทางการเคลื่อนที่เป็นรูป
พาราโบลา
 การเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในหลอดแคโทดจะเป็นตัวอย่างของการ
เคลื่อนที่ของประจุในสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก
ตัวอย่างของการเคลื่อนที่ของตัวอย่างของการเคลื่อนที่ของ
ประจุในสนามไฟฟ้าประจุในสนามไฟฟ้า

33. 33
ฟลักซ์ฟลักซ์
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 ฟลักซ์ไฟฟ้าจะเป็น
ปฏิภาคกับเส้นสนาม
ไฟฟ้าที่ผ่านพื้นผิว
โดยมีค่าเท่ากับผลคูณ
ระหว่างสนามไฟฟ้า
และพื้นที่ผิวที่ตั้งฉาก
กับสนาม
ΦE = EA
 ถ้าเส้นสนามไฟฟ้าทำามุม ดังรูป
กับเส้นตั้งฉากกับพื้นผิวจะได้
θ
ΦE = EAcosθ
 ฟลักซ์ไฟฟ้าจะมีค่าสูงสุดเมื่อพื้นผิวตั้งฉากกับสนาม
ไฟฟ้า แต่จะเป็นศูนย์ถ้าพื้นผิวขนานกับสนาม

34. 34
สมการของฟลักซ์สมการของฟลักซ์
ไฟฟ้าไฟฟ้า
 โดยทั่วไปเราจะหาฟลักซ์ไฟฟ้าได้
โดยการอินทิเกรต
E i i i i iΔΦ = E ΔAcosθ = Δ×E A
i
E i i
ΔA 0
surface
Φ = lim Δ = d
→
× ×∑ ∫E A E A
 จากรูปฟลักซ์ไฟฟ้าที่ผ่านพื้นผิวเล็กๆ
เนื่องจากสนามไฟฟ้า จะมีค่าเป็น
iΔA
iE
v
 ฟลักซ์ไฟฟ้ารวมที่ผ่านพื้นผิว
ทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมของฟ
ลักซ์ในแต่ละพื้นผิว:
 หน่วยของฟลักซ์ไฟฟ้าคือ N-m2
/C

35. 35
ฟลักซ์ไฟฟ้าในฟลักซ์ไฟฟ้าใน
ผิวปิดผิวปิด
 จาก
E i i i i iΔΦ = E ΔAcosθ = Δ×E A
ตำาแหน่ง (1) :
θ < 90 0⇒ ∆Φ >o
E
ตำาแหน่ง (2) :
θ = 90 0⇒ ∆Φ =o
E
ตำาแหน่ง (3) :
0 <θ < 180 0E⇒ ∆Φ <o
 ฟลักซ์ไฟฟ้าสุทธิ (net flux) ที่ผ่านผิวปิดใดๆ จะเท่ากับผล
ต่างระหว่างฟลักซ์ที่ออกจากผิวกับฟลักซ์ที่เข้าสู่ผิว
 ถ้าพื้นผิวปิดในบริเวณที่มีสนาม
ไฟฟ้าเป็นดังรูป ฟลักซ์ไฟฟ้า ณ
ตำาแหน่งต่างๆ ของผิวปิดจะมีค่าแตก
ต่างกัน

36. 36
กฎของกฎของ
เกาส์เกาส์
 กฎของเกาส์เป็นกฎที่กล่าวถึงความ
สัมพันธ์ระหว่างฟลักซ์ไฟฟ้าบนผิวปิด
ใดๆ กับประจุสุทธิที่อยู่ในผิวปิดนั้น
 พื้นผิวดังกล่าวมีชื่อเรียกว่า ผิว
เกาส์เซียน (Gaussiansurface)
 ถ้ามีประจุ q ณ จุดศูนย์กลางของทรงกลม
รัศมี rสนามไฟฟ้า ณ ทุกจุดบนผิวทรงกลม
จะมีค่าเป็น
E=keq/r2

37. 37
 qin คือประจุสุทธิภายในผิวปิดและ E คือ
สนามไฟฟ้า ณ จุดต่างๆ บนผิวปิด
 ในทางทฤษฎีแล้วกฎของเกาส์สามารถใช้ได้กับทุกชนิดของการกระจายของ
ประจุ แต่ความเป็นจริงจะใช้ได้เฉพาะกรณีที่มีความสมมาตร
 จำานวนเส้นสนามไฟฟ้าของสนาม Eจะมีทิศชี้ออกและตั้งฉากกับผิวทรง
กลม ณ ทุกๆ จุดและมีค่าเป็น
 กฎของเกาส์คือ
กฎของเกาส์กฎของเกาส์
((ต่อต่อ))
Φ =E ∫ ⋅ AdE

0
inq
ε
=Φ =E ∫ ⋅ AdE


38. 38
หลักการใช้กฎหลักการใช้กฎ
ของเกาส์ของเกาส์
 เริ่มต้นต้องทำาการเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนให้
ครอบคลุมบริเวณที่มีประจุที่เราสนใจ
 พื้นผิวเกาส์เซียนควรเป็นพื้นผิวที่สามารถใช้ประโยชน์จากความสมมาตรซึ่งง่ายต่อ
การหาค่าของปริพันธ์เชิงพื้นผิว (surfaceintegral)
 เรามีอิสระในการเลือกพื้นผิวเกาส์เซียนซึ่งไม่จำาเป็นต้องเป็นพื้น
ผิวจริง แต่ควรเลือกพื้นผิวที่ทำาให้สนามไฟฟ้าบนพื้นผิวมีค่า
คงตัว

39. 39
ตัวอย่างตัวอย่าง
ที่ที่ 11
 เราสามารถใช้กฎของเกาส์เพื่อ
หาสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุ q
ได้เช่นเดียวกับกฎของคูลอมบ์
จงหาสนามไฟฟ้า
เนื่องจากจุดประจุ q ณ ตำา
แหน่งรอบๆ ประจุวิธี
ทำา
 ทำาการเลือกผิวเกาส์เซียนเป็นรูป
ทรงกลมให้ครอบคลุมประจุ q ดังรูป
e2 2
o
q q
E = = k
4πε r r
⇒
จาก
สมการ
Φ =E ∫ ⋅ AdE

∫ =EdA= in
o
q
ε
0
inq
E dA
e
=òÑ
( )2
0
4
q
Eπr
ε
=

40. 40
สนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายอย่างสนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายอย่าง
สมำ่าเสมอบนทรงกลมสมำ่าเสมอบนทรงกลม
( )2
o
Q
E 4πr =
ε
จงหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ Q ที่
กระจายอย่างสมำ่าเสมอในทรงกลมตัน
รัศมี a ณ จุดที่ r>a และ r<aรับ r>a เขียนผิวเกาส์เซียนให้มีรัศมี rดังรูป
ากทุกจุดบนผิวเกาส์เซียน สนามไฟฟ้ามีค่าคงตัว
2
o
Q
E =
4πε r
จาก Φ =E ∫ ⋅ AdE

∫ =EdA= in
o
q
ε
∫ =dAE in
o
q
ε

41. 41
สำาหรับ r< a เขียนผิวเกาส์เซียนรัศมี r
ภายในทรงกลมดังรูป qin < Q และหาค่าได้จากสมการของความหนาแน่น ρ
( ) ( )3 3
4/3 4/3
inqQ
a r
ρ
π π
= =
( )
3
/inq Q r a∴ =
 จากกฎของเกาส์
in
e2 3
o
q Q
E = = k r
4πε r a
⇒
 จะได้
( ) ( )
3
2
0
/
4
Q r a
E rπ
ε
=
กราฟของสนามไฟฟ้า
ของทรงกลม
Φ =E ∫ ⋅ AdE

∫ =EdA= in
o
q
ε

42. 42
สนามไฟฟ้าของเส้นสนามไฟฟ้าของเส้น
ประจุยาวอนันต์ประจุยาวอนันต์
λ
จงหาสนามไฟฟ้าของเส้นประจุ
ยาวอนันต์ที่มีความหนาแน่น
ประจุเชิงเส้น รอบๆ เส้นประจุ
ดังรูป
( )
o
λl
E 2πrl =
ε
e
o
λ λ
E = = 2k
2πε r r
 ทิศทางของสนามจะตั้งฉาก
กับผิวของเส้นประจุ
ดังรูป
วิธีทำา
จาก
Φ =E ∫ ⋅ AdE

∫ =EdA= in
o
q
ε

43. 43
สนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นประจุสนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นประจุ
ขนาดอนันต์ขนาดอนันต์
σ
จงหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากแผ่นประจุ
ขนาดอนันต์ที่มีความหนาแน่นประจุเชิง
พื้นที่ ดังรูป
วิธี
ทำา
• เขียนผิวเกาส์เซียนรูป
ทรงกระบอกบน
แผ่นประจุดังรูป
• เนื่องจากสนามไฟฟ้ามี
ทิศตั้งฉากกับ
แผ่นประจุดังนั้นฟลักซ์
ไฟฟ้าบนผิว
ด้านข้างของผิวเกาส์
เซียนจะเป็นศูนย์
• ฟลักซ์ไฟฟ้าบนผิวหัวท้ายของผิวเกาส์
เซียนจะมีค่าเป็น 2EA
จากกฎของ
เกาส์จะได้
in
o o o
q σA σ
2EA = 2EA = E =
ε ε 2ε
⇒ ⇒

44. 44
สนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายบนสนามไฟฟ้าของประจุที่กระจายบน
ทรงกลมกลวงทรงกลมกลวง
( )2
0
4
q
Eπr
ε
= 2
0
1
,
4
q
E
πε r
⇒ = Rr >
0,E⇒ = Rr <
จงหาสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ q ที่
กระจายอย่างสมำ่าเสมอบนผิวของทรง
กลมกลวงรัศมี R
วิธี
ทำา
เมื่อใช้กฎของเกาส์กับตำาแหน่งที่อยู่นอก
ทรงกลม (r>R) จะได้
เมื่อใช้กฎของเกาส์กับตำาแหน่งที่อยู่ใน
ทรงกลม (r<R) จะได้( )2
0
0
4Eπr
ε
= =
Φ =E ∫ ⋅ AdE

∫ =EdA= in
o
q
ε
∫ ⋅ AdE


45. 45
โจทย์แบบโจทย์แบบ
ฝึกหัดฝึกหัดากรูปจงหาตำาแหน่งที่สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์
a
-5q +2q
+q
-q
-2q
+2q
P
2. จงหาขนาดและทิศของสนาม
ไฟฟ้าที่จุด
ศูนย์กลางสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว
ด้านละ 5.0 cm
ดังรูป
8
1.0 10q C−
= ×
P
2L
a
3. เส้นพลาสติกยาว 2L m มี
ประจุไฟฟ้า
กระจายสมำ่าเสมอความ
หนาแน่น C/m
จงหาสนามไฟฟ้าที่จุด P
λ

46. 46
θ
θ
dθ
d
R
O
dE

x
y
4. เส้นพลาสติกงอเป็นครึ่งวงกลมรัศมี
R จุดศูนย์กลางคือ O มีประจุ
กระจายสมำ่าเสมอตลอดเส้นความ
หนาแน่นประจุ คูลอมบ์ต่อเมตร
จงหาสนามไฟฟ้าที่จุด O
σ
5. โลหะกลมเล็กๆสองก้อนแต่ละก้อนมีมวล m
และประจุ +q เหมือนกัน ทั้งสองก้อนห้อย
จากปลายเชือกที่จุดเดียวกัน โดยเชือก
แต่ละเส้นยาว l แรงผลักกันของโลหะ
กลมทั้งสองทำาให้แยกออกจากกันเป็นมุม

47. 47
ระจุขนาดอนันต์สองแผ่น แผ่นที่ 1 มีประจุบวก ซึ่งมี
หนาแน่น 2 วางอยู่ ณ ตำาแหน่ง 5 cmและตั้งได้ฉาก
น X แผ่นที่ 2 มีประจุลบและความหนาแน่นเท่ากับแผ่น
ู่ ณ ตำาแหน่ง 15 cmขนานกับแผ่นแรก จงหาค่าสนามไ
แหน่ง x = 10 cm
0ε
7. ทรงกลมโลหะสองลูกร่วมจุดศูนย์กลางกัน ลูก
ในเป็นทรงกลมตันรัศมี a ลูกนอกเป็นทรง
กลมกลวงรัศมีภายใน bและภายนอก c ถ้าใส่
ประจุ +2qที่ผิวลูกในและประจุ +qที่ผิวลูก
นอก จงหาสนามไฟฟ้าที่
ก) r<a ข) a<r<b ค) b<r<c ง) r>c

48. 48
8. โปรตอนถูกยิงไปในแนวแกน +Xสู่
บริเวณที่มีสนามไฟฟ้า
เมื่อ t=0ปรากฏว่า
โปรตอนเคลื่อนที่ได้ระยะทาง 7.0cm
ก่อนหยุด จงหา ก) ความเร่งของ
โปรตอน ข) ความเร็วต้นของโปรตอน
ค) เวลาที่โปรตอนใช้ก่อนหยุด
5 ˆ6.0 10 /x i N C= −E
9. ถ้ามีสนามไฟฟ้าขนาด 3.5 kN/C ชี้ในแนว
แกน +Xจงหาฟลักซ์ไฟฟ้าซึ่งผ่านแผ่น
สี่เหลี่ยมกว้าง 0.35 mและยาว 0.7 mโดย
สมมติว่าแผ่นสี่เหลี่ยม
ก) อยู่ในระนาบ yz
ข) แผ่นสี่เหลี่ยมอยู่ในระนาบ xy
ค) แผ่นสี่เหลี่ยมบรรจุแกน y และเส้นตั้ง
ฉากกับแผ่นทำามุม 45๐
กับแกน X