Persamaan Non Linear II Dalam pertemuan ini membahas penerapan ekonomi dari fungsi kubik dll (non linear)

1. Matematika Ekonomi
Persamaan Non Linear II
Wiji Safitri, SMB., MM.
Program Studi Manajemen
Fakultas Ekonomi Bisnis dan Ilmu Sosial
Universitas Pelita Bangsa

2. FUNGSI KUBIK
• Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga adalah fungsi yang pangkat
tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.
• Setiap fungsi kubik setidaknya mempunyai sebuah titik belok
(inflexion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung
menjadi cembung atau dari cembung menjadi cekung.
• Selain titik belok, sebuh fungsi kubik mungkin juga mempunyai satu
titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau dua titik ekstrim
(maksimum dan minimum).
• Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi kubik tergantung
besarnya nilai b, c, dan d di dalam persamaannya.
Wiji Safitri, SMB., MM.

3. Kemungkinan bentuk – bentuk kurva suatu fungsi kubik.
Gambar kurva fungsi kubik tanpa titik ekstrim
hanya mempunyai titik belok
Titik belok
Titik belok
Titik belok
maksimum
Titik belok
minimum
maksimum
Titik belok
minimum
Gambar kurva fungsi kubik dengan titik ekstrim
dan titik belok
Wiji Safitri, SMB., MM.

4. Bentuk umum persamaannya adalah:
y = a + bx + cx2 + dx2
Dengan d ≠ 0
Wiji Safitri, SMB., MM.

5. PENERAPAN EKONOMI
Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar
• Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan
lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola.
• Keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran nonlinear sama dengan
kasus linear. Dimana Qd= Qs, pada perpotongan antara kurva permitaan dan
penawaran.
Keseimbangan pasar: Qd = Qs
Qd = jumlah permintaan
Qs = jumlah penawaran
E = titik keseimbangan / equilibrium
P* = harga keseimbangan
Q* = jumlah keseimbangan
Qd
Qs
Wiji Safitri, SMB., MM.

6. Contoh 1
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dengan persmaaan Qd = 19 – P2
sedangkan penawarannya adalah Qs = - 8 + 2P2 . Berapa harga keseimbangan
dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
Jawab:
Qd = Qs
19 – P2 = - 8 + 2P2
– P2 - 2P2 = -8 -19
-3P2 = -27
P2 = 9
P = 3
Q = 19 – P2
Q = 19 – 9
Q = 10
Jadi P = 3, dan Q = 10
Wiji Safitri, SMB., MM.

7. contoh
Misal dari contoh sebelumnya barang yang
bersangkutan dikenakan pajak spesifik
sebesar Rp.1 per unit. Maka persamaan
penawaran sesudah pajak menjadi:
Qs = - 8 + 2 (P – 1) 2
Qs = -8 + 2 (P2 – 2P + 1)
Qs = -8 + 2P2 – 4P + 2
Qs = 2P2 – 4P – 6
Keseimbangan pasar yang baru Qd = Qs
Qd = 19 – P2
Qs = 2P2 – 4P – 6
19 – P2 = 2P2 – 4P – 6
0 = 2P2 + P2 – 4P – 6 – 19
0 = 3P2– 4P – 25
DISELESAIKAN DENGAN RUMUS ABC
0 = 3P2– 4P – 25
DISELESAIKAN DENGAN RUMUS ABC
atau
D = b2 - 4ac
D = (-4)2 – (4)(3)(-25)
D = 16 + 300
D = 316
P1,2=
− −4 ±√316
2 (3)
P1=
4 +17,776
6
P1=
21,776
6
P1= 3,63
P2=
4 − 17,776
6
P2=
21,776
6
P2= - 2,30
P2 tidak dipakai karena
harga negative adalah
irrasional
Dengan mensubstitusikan P1 ke dalam rumus
Qs atau Qd , maka:
Qd = 19 – P2
Q = 19 - (3,63)2
Q = 5,82
JADI, dengan adanya pajak maka Harga (P’)
adalah 3,63 dan Quantity (Q’) adalah 5,82.
JADI, beban pajak yang ditanggung
konsumen dan produsen per unit barang:
Tk = P’e – Pe = 3,63 – 3 = 0,63
Tp = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37
JADI, jumlah pajak yang diterima pemerintah
masing – masing:
T = Q’e x t = 5,82 x 1 = 5,82
Wiji Safitri, SMB., MM.

8. Latihan 1
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan dengan persmaaan Qd = 30 – 6P2
sedangkan penawarannya adalah Qs = - 98 + 2P2 . Berapa harga keseimbangan dan
jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar?
Misal dari persamaan di atas barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik
sebesar Rp.2 per unit. Maka hitunglah:
a. persamaan penawaran sesudah pajak
b. persamaan keseimbangan yang baru
c. Dengan adanya pajak, berapa harga dan quantity?
d. Berapa beban pajak yang ditanggung produsen dan konsumenper unit barang?
e. Berapa Jumlah pajak yang diterima pemerintah?
Wiji Safitri, SMB., MM.

9. Fungsi Biaya
✓Selain biaya tetap, biaya variable, dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal
juga pengertian biaya rata – rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal
cost).
✓Biaya rata –rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit
produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah
keluaran yang dihasilkan.
✓Biay amarjinal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan
satu unit tambahan produk.
✓Bentuk nonlinear dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat
parabolik dan fungsi kubik
Wiji Safitri, SMB., MM.

10. Rumus untuk Biaya
Wiji Safitri, SMB., MM.

11. Persamaan Rumus
Hubungan antara biaya total dan bagian – bagiannya secara grafik
adalah sbb:
A. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolic B. Biaya total merupakan fungsi KUBIK
Wiji Safitri, SMB., MM.

12. Contoh 2
Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukan
dengan persamaan C = 2Q2 - 24Q + 102.
a. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum?
b. Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut
c. Hitunglah biaya tetap, biaya variable, biaya rata – rata biaya tetap
rata – rata , dan biaya variable rata – rata pada tingkat produksi
tersebut
d. Seandainya produksi dinaikkan 1 unit, berapa besarnya biaya
marginal?
Wiji Safitri, SMB., MM.

13. Jawab:
a. berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan 𝑄 =
−𝑏
2𝑎
=
−𝑏
2𝑎
=
− (−24)
2(2)
=
24
4
= 6
unit
b. Besarnya C minimum = 2Q2 - 24Q + 102 = 2 (6)2 - 24 (6) + 102 = 30
c. Pada Q = 6, selanjutnya:
✓ FC = 102
✓ VC = 2Q2 - 24Q = 2 (6)2 - 24 (6) = 72 – 144 = -72
✓ AC = C/Q = 30/6 = 5
✓ AFC = FC/Q = 102/6 = 17
✓ AVC = VC/Q = -72/6 = -12
d. Jika produksi dinaikkan 1 unit, maka jumlah produksi Q = 7 (berasal dari 6 ditambah 1).
C = 2Q2 - 24Q + 102 = 2 (7)2 - 24 (7) + 102 = 32, MAKA Marginal Cost / biaya marginal adalah:
𝑀𝐶 =
∆𝐶
∆𝑄
=
32 −30
7 −6
= 2
JADI, untuk menaikkah produksi dari 6 unit ke 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2.
Wiji Safitri, SMB., MM.

14. Latihan 2
Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukan
dengan persamaan C = 2Q2 - 40Q + 112.
a. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum?
b. Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut
c. Hitunglah biaya tetap, biaya variable, biaya rata – rata biaya tetap
rata – rata , dan biaya variable rata – rata pada tingkat produksi
tersebut
d. Seandainya produksi dinaikkan 1 unit, berapa besarnya biaya
marginal?
Wiji Safitri, SMB., MM.

15. Fungsi Penerimaan
• Bentuk fungsi penerimaan total (Total Revenue, R) yang nonlinear pada umumnya
berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah.
• Hal ini merupakan bentuk fungsi penerimaan yang lazim dihadapi produsen yang
beroperasi di pasar monopoli.
• Sedangkan fungsi penerimaan total yang linear, merupakan fungsi penerimaan yang
dihadapi oleh seorang produsen yang beroperasi di pasar persaingan sempurna.
• Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang, juga merupakan hasil kali
jumlah barang dengan harga barang per unit.
• Penerimaan rata – rata (Average Revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per
unit barang, merupakan hasil bagi penerimaan total terhadap jumlah barang.
• Penerimaan marginal (Marginal Revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang
diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.
Wiji Safitri, SMB., MM.

16. Rumus Fungsi Penerimaan
Penerimaan Total = 𝑅 = 𝑄 𝑥 𝑃 = 𝑓 𝑄
Penerimaan rata – rata = 𝐴𝑅 =
𝑅
𝑄
Penerimaan Marjinal = 𝑀𝑅 =
∆𝑅
∆𝑄
✓ AR (penerimaan Rata – rata ) tidak lain adalah harga barang per unit (P).
✓ Secara grafik, krva AR adalah juga kurva permintaan dalam bentuk P = g (Q).
Wiji Safitri, SMB., MM.

17. CONTOH 3
Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis
ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. Tentukan:
a. Persamaan penerimaan totalnya?
b. Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200
unit? Dan berapa harga jual per unit
c. Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit
menjadi 250 unit.
d. Tentukan tingkat penjulan yang menghasilkan penerimaan total
maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.
Wiji Safitri, SMB., MM.

18. Jawab:
a. Penerimaan total = R = Q x P = Q x (900-1,5Q)
R = 900Q – 1,5Q2
b. Q = 200, maka penerimaan total = R = 900 (200) – 1,5 (200)2 = 180.000 – 60.000 = 120.000.
Harga jual per unit = P = 900 – 1.5Q = 900 – 1.5 (200) = 900 – 300 = 600
c. Penerimaan Marjinal = 𝑀𝑅 =
∆𝑅
∆𝑄
Dengan Q2 = 250, maka R2 = 900 (250) – 1,5 (250)2 = 225.000 – 93.750 = 131.250
𝑀𝑅 =
∆𝑅
∆𝑄
=
131.250 −120.000
250 −200
=
11.250
50
= 225
d. R = 900Q – 1,5Q2 , dan R maksimum pada 𝑄 =
−𝑏
2𝑎
= 𝑄 =
−900
2(−1,5)
=
−900
−3
= 300. JADI, tingkat penjulan yang
menghasilkan penerimaan total maksimum adalah 300 unit.
JADI, penerimaan maksimum = R maksimum = 900Q – 1,5Q2 = 900 (300) – 1,5 (300)2 = 270.000 – 135.000 = 135.000
Wiji Safitri, SMB., MM.

19. Gambar contoh 3:
Dalam membentuk fungsi penerimaan melalui fungsi permintaan, persamaan permintaannnya harus dalam bentuk
P = f (Q). Jika persamaannya dalam bentuk Q = f(P) maka harus dibalik dulu menjadi bentuk P = f (Q), mengingat
penerimaan merupakan fungsi dari jumlah barang [R = r (Q)] dan bukan fungsi dari harga [bukan R = r (P)].
Wiji Safitri, SMB., MM.

20. Latihan 3
Fungsi permintaan yang dihadapi seorang produsen monopolis
ditunjukkan oleh P = 1200 – 3Q. Tentukan:
a. Persamaan penerimaan totalnya?
b. Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200
unit? Dan berapa harga jual per unit
c. Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit
menjadi 250 unit.
d. Tentukan tingkat penjulan yang menghasilkan penerimaan total
maksimum, dan besarnya penerimaan total maksimum tersebut.
Wiji Safitri, SMB., MM.

21. Keuntungan, Kerugian, dan Pulang Pokok
➢ Tingkat produksi Q1 dan Q2 mencerminkan
keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total
sama dengan pengeluaran (biaya) total R = C
➢ Area di sebelah kiri Q 1 dan di sebelah kanan Q4
mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan
total lebih kecil dari pada pengeluaran total ,
R<C.
➢ Area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan
untung, sebab penerimaan total lebih besar dari
pada pengeluaran total R>C.
➢ Tingkat produksi Q3 mencerminkan tingkat
produksi yang memberikan penerimaan total
maksimum.
➢ Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh
besar kecilnya selisih positif antara R dan C.
Secara grafik, ditunjukkan oleh jarak antara
kurva R dan kurva C.
Wiji Safitri, SMB., MM.

22. CONTOH 4
Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,10 Q2 + 20Q,
sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20 . Hitunglah profit perusahaan jika
dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
Jawab :
𝜋 = 𝑅 − 𝐶 = − 0,10 Q2 + 20Q – (0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20 )
𝜋 = − 0,10 Q2 + 20Q - 0,25Q3 + 3Q2 - 7Q – 20
𝜋 = - 0,25Q3 +2,9Q2 + 13Q – 20
➢Q = 10, 𝜋 = - 0,25Q3 +2,9Q2 + 13Q – 20 = - 0,25(10)3 +2,9(10)2 + 13(10) – 20 = -250 +290+130 – 20 =
150 (keuntungan)
➢Q = 20, 𝜋 = - 0,25Q3 +2,9Q2 + 13Q – 20 = - 0,25(20)3 +2,9(20)2 + 13(20) – 20 = - 2000 + 1160 +260 -20
= -600 (kerugian)
Wiji Safitri, SMB., MM.

23. Latihan 4
• Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan
oleh persamaan R = -0,10 Q2 + 40Q, sedangkan biaya total yang
dikeluarkan C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 50 . Hitunglah profit perusahaan
jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit.
Wiji Safitri, SMB., MM.

24. Fungsi utilitas
➢Fungsi utilitas menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh
seseorang dari mengkonsumsi suatu barang dan jasa.
➢Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar
utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai puncaknya (titik jenuh) pada jumlah
konsumsi tertentu, sesudah itu justru berkurang atau bahkan negative bila jumlah
barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.
➢Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi.
➢Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang
berupa fungsi kuadrat parabolic, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke
bawah.
➢Utilitas marginal (MU, marginal Utility) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari
setiap tambahandatu unit barang yang dikonsumsi.
Wiji Safitri, SMB., MM.

25. Gambar Utility
Utilitas total mencapai puncaknya Ketika utilitas marjinal nol, dan berkurang Ketika utilitas marjinal negative.
Wiji Safitri, SMB., MM.

26. Fungsi Produksi
✓Fungsi produk total (total product, P) yang non linear pada umumnya
berupa sebuah persamaan kubik yang mempunyai titik belok dan
sebuah titik puncak.
✓Produk total merupakan fungsi dari jumlah masukan (input, factor
produksi) yang digunakan.
✓Produk rata – rata (Average product, AP) ialah jumlah keluaran atau
produk yang dihasilkan dari setiap unit masukan yang digunakan,
merupakan hasil bagi produk total terhadap jumlah masukan.
✓Produk marginal (marginal product, MP) ialah produk tambahan yang
dihasilkan dari setiap tambahan satu unit masukan yang digunakan.
Wiji Safitri, SMB., MM.

27. Rumus fungsi produksi
Jika dalam kegiatan produksi dianggap hanya terdapat satu masukan variable,
katakanlah x, sementara masukan – masukan lain tetap, maka fungsi produksi
dapat dinyatakan dengan notasi P = f (X).
Produk Total = P = f (X)
Produk rata –rata = AP =
𝑃
𝑋
Produk Marginal = MP =
∆𝑃
∆𝑋
✓ Secara grafik kurva produk total P mencapai puncaknya
tepat Ketika kurva produk marjinal MP = 0
✓ Sedangkan MP mencapai puncaknya tepat pada posisi titik
belok kurva P.
✓ Kurva MP memotong kurva AP pada posisi maksimum AP.
Wiji Safitri, SMB., MM.

28. CONTOH 5
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh P = 9X2 – X3 .
• Bentuklah persamaan produk rata –ratanya
• Hitunglah produk total
• Hitunglah produk rata – rata tersebut jika digunakan masukan sebanyak 6 unit.
• Berapa produk marginalnya jika masukan yang digunakan ditambah 1 unit?
Wiji Safitri, SMB., MM.

29. Jawab:
P = 9X2 – X3
a. AP =
𝑃
𝑋
=
9X2 – X3
𝑋
= 9X – X2
b. Produk total, JIKA X = 6 unit = P = f (X) = 9X2 – X3 = 9(6)2 – (6)3 = 108.
AP =
𝑃
𝑋
=
108
6
= 18
c. Produk Marginal jika x ditambah 1 unit, X = 7 maka P = f (X) = 9X2 – X3 = 9(7)2 – (7)3 = 98
Produk Marginal = MP =
∆𝑃
∆𝑋
=
98 −108
7 −6
= -10
Hal ini berarti, Produk Marginal negative berarti masukan tambahan yang digunakan justru mengurangi hasil
produksi.
Wiji Safitri, SMB., MM.

30. Latihan 5
Fungsi produksi yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh
P = 12X2 – 3X3 .
• Bentuklah persamaan produk rata –ratanya
• Hitunglah produk total
• Hitunglah produk rata – rata tersebut jika digunakan masukan
sebanyak 10 unit.
• Berapa produk marginalnya jika masukan yang digunakan ditambah 1
unit?
Wiji Safitri, SMB., MM.

31. Terima Kasih