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Espacios vectoriales ita

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Materia de álgebra, Espacio vectorial con ejemplos y ejercicios.

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  1. 1. Carmen MorenoTema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica1. Espacios vectorialesDefinición. Sea K un cuerpo conmutativo. Unconjunto V≠∆ posee estructura algebraíca deespacio vectorial sobre K cuando:1) l.c.i. en V: + : V ×V → V ( x, y ) x+y(V,+): Grupo Abeliano2) l.c.externa con dominio de operadores K: i : K ×V → V ( k , x) k ix
  2. 2. e.v. 2Verificándose:1. λ·(x+y)= λ·x+ λ·y2. (λ+ µ)·x= λ·x+ µ·x Enunciadas ∀x, y∈V,3. λ·(µ·x)= (λ µ)·x ∀ λ, µ ∈K4. 1·x=x x, y: Vectores λ, µ: EscalaresEjemplos de espacios vectoriales R2 es un e.v sobre R Rn es un e.v sobre R Kn es un e.v sobre K (Mmxn(K), +,·) e.v.sobre K Polinomios de grado menor o igual n concoeficientes en K (Kn[x], +,·) Funciones reales (F, +,·)Ejercicio En R3 se definen las operaciones: (x,y,z)+(x´,y´,z´)=(x+x´,y+y´,z+z´) y λ·(x,y,z)=(0, λy, λz), λ ∈ R. ¿Es R3 un e.v. sobre R con dichas operaciones?
  3. 3. e.v. 3Primeras propiedadesA) Derivadas de ser (V,+) Grupo AbelianoB) Específicas de espacio vectorial1. 0K·x=0 para cualquier x∈V2. λ·0=0 para cualquier λ∈K3.(-λ)·x= λ·(-x)=-(λ·x)4. Si λ·x=0, entonces λ=0K ó x=05. Si λ·x= µ·x, x≠0, entonces λ =µ2. Dependencia e independencia linealSea (V,+,·) e.v. sobre K y el sistema devectores {x1, .., xm}⊆VDefinición. El vector x ∈V es una combinaciónlineal de x1, .., xm cuando existen escalaresλ1, .., λm ∈K tales que x= λ1 x1+..+ λm xm• (1,3) ∈R2 es c.l. de los vectores (1,1) y (0,1)ya que (1,3)=1·(1,1)+2·(0,1)
  4. 4. e.v. 4Definición.El sistema {x1, .., xm}⊆Ves ligado ó losvectores x1, .., xm ∈ V son linealmentedependientes (l.d.), cuando existen escalaresλ1, .., λm ∈K , no todos ellos nulos y unacombinación lineal nula de esos vectores: λ1 x1+..+ λm xm=0• Los vectores (1,3), (1,1) y (0,1) de R2 son l.d (-1)·(1,3)+1·(1,1)+2·(0,1)=(0,0)DefiniciónEl sistema {x1, .., xm}⊆Ves libre ó losvectores x1, .., xm ∈ V son linealmenteindependientes (l.i.), cuando de todacombinación lineal nula de los mismos,λ1 x1+..+ λm xm=0, se deduzca que son nulostodos los escalares: λ1= ...= λm =0• Los vectores (1,2) y (0,1) de R2 son l.i.: Deλ1· (1,2) + λ2 · (0,1)=(0,0) se deduce λ1= λ2=0• Método de Gauss
  5. 5. e.v. 5Propiedades Proposición. Un sistema de vectores{x1, .., xn}⊆V es ligado si y sólo si uno (almenos) de los vectores es c.lineal del resto. {0}: Sistema ligado de V {z}: Sistema libre de V (z ≠0) Cualquier subsistema de un sistema librees libre Cualquier sistema que contenga un sistemaligado es ligado • 0∈S ⇒ S: ligadoEjercicios1 Estudiar la dependencia o independencialineal de los vectores de R3:(-1,3,2), (2,-1,3) y (4,-7,-1)
  6. 6. v1  −1 3 2   −1 3 2 v1′ = v1 e.v. 6     ′v2  2 −1 3  ≡  0 5 7  v2 = 2v1 + v2 ≡ v3  4   −7 −1  0 5  7  v ′ = 4v + v 3 1 3 v1′′ = v1′ −1 3 2  0 5 7  v ′′ = v ′  2 2 0 0 0  ′′  v3 = −v2′ + v3′ 0 = v3′′ = −v2′ + v3′ = = −(2v1 + v2 ) + (4v1 + v3 ) ⇒ 0 = 2v1 − v2 + v3 ⇒ v2 = 2v1 + v32 Hallar el valor de x para que el sistema devectores de R3 {(11,-16,x), (2,-1,3), (1,2,1)}sea ligado.
  7. 7. 3. Sistemas generadores. Bases e.v. 7 Envoltura linealF={x1, ..., xn}⊆V  i =n L(F)= ∑ λ ⋅ xi : λ ∈ K  ⊆ V =  i =1 = Conjunto de todos los vectores c.l. de losvectores x1, ..., xn de FEjemplo V= R2 , F={(1,1), (0,1)} ⊆ R2 (2,3) ∈ R2 (2,3) ∈ L(F) ya que (2,3)=2·(1,1)+1·(0,1) s.g. de VF={x1, ..., xn}⊆V es un s.g. de V si L(F)=VV⊆L(F): Todo v∈V es c.l de los vectores de F•V es un e.v. de tipo finito si posee un s.g. finito• R2 es de tipo finito: F={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 esun s.g. de R2 :R2 ⊆L(F): Todo vector (x,y) ∈ R2 es c.l. delos vectores de F: (x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)
  8. 8. Base e.v. 8 B ⊆ V es una base de V si : •B es un sistema libre •B es un s.g. de VEjemplo•B={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 es una base (canónica)de R2• Kn, Bc={e1, .., en}, ei=(0,..,1,..,0) Teorema de la baseTeorema. Sea V un espacio vectorial de tipofinito, {0} V. Entonces (1) V posee una base (T. Existencia) (2) El nº vectores de cualquier sistemalibre es ≤ nº vectores de cualquier s.g. de V (3) Todas las bases de V tienen elmismo número de vectores (dimensión)Lema. Si de un s.g. de V se elimina un vectorc.l. del resto, el sistema resultante sigue siendos.g
  9. 9. e.v. 9 Dimensión de un e.v.Es el cardinal de una cualquiera de sus bases• dim(R2)=2• dim(Rn)=n• dim(Kn)=n• dim(Kn[x])=n+1: Bc={1, x, x2, .., xn}• dim(Mmxn(K))=mn Coordenadas de un vector respecto de unabase.• V, dim(V)=n,B={v1, ..., vn}: Base de V ⇓B es un s.g. de V ⇓ V⊆L(B) ⇓x∈V fix∈L(B) fi$ a1,..., an ∈ K : x= a1 v1+...+ anvn x=(a1,..., an )B Coordenadas de x resp. de la base B• Son únicas
  10. 10. •Coordenadas de P=1-2x+3x2-x3∈R3[x] e.v. 10P=(1,-2,3,-1)Bc 1 −2 • Coordenadas de la matriz A =   ∈ M 2 (R)A=(1,-2,1,3)Bc 1 3  Estudio de la dependencia lineal de lasmatrices de M2(R):  1 −3   0 −1   −2 1  A=  , B =  1 1  , C =  2 −3  2 0      Estudio de la dependencia lineal de lospolinomios de ∈R2[x] : P1=1-x+x2, P2=-1+2x2,P3=-x+2x2 Estudio de la dependencia lineal de lasfunciones ex, senx y cosx de (F,+,·)Corolario.Si dim(V)=n entonces,(1) n+1 vectores constituyen un sistema ligado(2) n-1 vectores no pueden ser un s.g. de V Recuerda: “De todo s.g. de V se puedeextraer una base de V”
  11. 11. e.v. 11 Teorema de ampliaciónTodo sistema libre de V puede ser ampliado auna base de V.• Dar una base de R3 que contenga al vector(1,2,1) ConsecuenciaSi dim (V)=n, para que un sistema S de nvectores de V sea una base de V basta con quese cumpla una de las dos condicionessiguientes: (1) S sea un sistema libre de V (2) S sea un s.g. de V4. Cambios de baseV, dim(V)=n. Bases B={u1, ..., un} B´={v1, ...,vn}  x ∈ L(B ) ⇒ x = ( x1,..., xn )B x ∈V ⇒   x ∈ L(B´) ⇒ x = ( y1,..., y n )B´
  12. 12. x = x1u1 + + xnun = y1v1 + + y nv n (1)e.v 12 ui ∈ L(B´) ⇒ u1 = a11v1 + ... + a1nv n un = an1v1 + ... + annv n• Sustituyendo los ui en (1):x = x1u1 + xnun == x1(a11v1 + ... + a1nv n ) + + xn (an1v1 + ... + annv n ) == ( x1a11 + + xn an1 )v1 + + ( x1a1n + + xn ann )v n = y1v1 + + y nv n  x1a11 + + xn an1 = y1  Ecuaciones de un⇒ cambio de base x a + + xn ann = y n  1 1nMatricialmente:  a11 a1n  ( x1 xn )  .  . .  = ( y1  yn ) a ann   n1  (Filas) XB·CBB´ = XB´
  13. 13. e.v. 13 EjemploR3, B={u1,u2,u3} y B´={v1,v2,v3},donde u1=-v2+v3 u2=v1+v2+v3 u3=v2a) Hallar las ecuaciones del cambio de base deB a B´.b) Halar las coordenadas del vector x=(7,4,9)Ben la base B´.c) Hallar las coordenadas del vector x=-v1+7v2-5v3 respecto de la base B.EjercicioHallar las coordenadas del vector (3,-2,1)respecto de la base {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} deR3• Tres basesB1={(2,1,1), (1,1,1), (1,-1,1)}B2={(1,0,1), (-1,1,1), (1,-1,0)}. Hallar CB1B2
  14. 14. e.v. 145. Subespacios vectoriales. Ecuaciones• (V,+,·) : e.v. Sobre K. S ⊆V es un subespacio vectorial de Vcuando (S,+,·) :e.v. sobre K• Es CN: 0 ŒS• Al menos dos s.e.v. impropios: V y {0}• dim (S) ≤dim (V), siendodim(S)=dim(V)⇔S=VTeorema de caracterizaciónUn subconjunto S ≠∅ de un e.v. V es unsubespacio vectorial de V si y sólo si "x,yŒS"α,β∈K se verifica α·x+β·y ŒSEjemplo 1Sea V= R2 . El conjunto S={λ·x: λŒR}⊆ R2es en s.e.v. de R2 .Los s.e.v. propios de R2 son rectas quepasan por el origen (0,0)
  15. 15. e.v. 15Ejemplo 2Sea V= R3 .El conjunto S={(x1,x2,x3): x1-2x2+3x3=0}⊆ R3es un s.e.v. de R3 .Ejemplo 3Sea V= R3.El conjunto S={(x1,x2,0): x1,x2∈ R} ⊆ R3 es uns.e.v. de R3Los s.e.v. propios de R3 son rectas oplanos que contienen al vector (0,0,0)Ejemplo 4F={x1,..,xn} ⊆ V. La envoltura lineal de F,  i =n L(F)= ∑ λ ⋅ xi : λ ∈ K =<F> ⊆ V  i =1 es un s.e.v. de V: Subespacio generado por F •F es un s.g. del subespacio L(F) ⇒ De F se puede extraer una base de L(F)
  16. 16. e.v. 16 Ecuaciones de un subespacio vectorial (Recta/plano de R3 )• Paramétricas Parámetros. (Plano : a y b; l y m; l1 y l2 S={lu+ mv: l, m Œ R})•Implícitas (Plano: Ax+By+Cz=0) Ecuaciones paramétricas de un subespacioV, e.v. , dim(V)=n. B={u1, ..., un}S, s.e.v. de V, dim(S)=s<n. Bs ={v1, ...,vs}  x ∈ L(Bs ) ⇒ x = (λ1,..., λs )Bs  x ∈S ⇒   x ∈ L(B ) ⇒ x = ( x1,..., xn )B  x = λ1v1 + + λs v s = x1u1 + + xnun (1) v i ∈ L(B ) ⇒ v1 = a11u1 + ... + a1nun v s = as1u1 + ... + asnun
  17. 17. e.v. 17• Sustituyendo los vi en (1):x = λ1v1 + λs v s == λ1(a11u1 + ... + a1nun ) + + λs (as1u1 + ... + asnun ) == (λ1a11 + + λs as1 )u1 + + (λ1a1n + + λs asn )un = = x1u1 + + x n un  λ1a11 + + λs as1 = x1  Ecuaciones ⇒ (1)  Paramétricas del λ a + + λs asn = xn s.e.v. S  1 1nMatricialmente:  a11 a1n  ( λ1 λs )  .  . .  = ( x1  xn ) a asn   s1 (Filas) XBs· Bs = XBEjemplo 1V= R3 . Sea S el s.e.v. de R3 generado por losvectores (1,0,-1), (2,1,1) y (3,1,0). Dar unasecuaciones paramétricas del s.e.v. S
  18. 18. B=Bc de R3 e.v. 18Bs={(1,0,-1), (0,1,3)} ⇒ Dim (S)=2: Plano x ∈S XBs· Bs = XB  1 0 −1 ( λ1 λ2 )   = ( x1 x2 x3 ) 0 1 3   λ1 = x1  Ec. Paramétricas⇒ (1)  λ2 = x2  − λ + 3λ = x de S  1 2 3S={(l1, l2, - l1+3 l2): l1, l2 ∈ R}= ={l1(1,0,-1) + l2(0,1,3): l1, l2 ∈ R} Ecuaciones implícitas (o cartesianas) de S• nº ec.Implícitas l.i.de S= dim(V)-dim(S)=n-s• A partir de las paramétricas, eliminandoparámetros.• Se obtienen anulando n-s menores de orden> s de la matriz ampliada, A*, del sistema (1)
  19. 19. e.v. 19EjemploEcuaciones implícitas del plano S del ejemplo 1  λ1 = x1 Sistema (1):  S, (1)  λ2 = x2 Ecuaciones −λ + 3λ = x paramétricas de S.  1 2 3  1 0 A =  0 1  = Bst ⇒ r ( A) = r ( Bs ) = 2    −1 3     1 0 x1  A* =  0 1 x2     −1 3 x   3(1): Compatible fi r(A*) debe ser 2 1 0 x1 fi A * = 0 ⇒ 0 1 x2 = 0 −1 3 x3n-s=3-2=1 ecuación x1-3x2+x3=0implícta del plano S.
  20. 20. e.v. 20Paso de ecuaciones implícitas a paramétricas• Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. Sde R3 de ecuación impícita x1-3x2+x3=0 (2). nº ecs. Implícitas =dim (V) – dim(S) fidim(S) =2: S: PLANO Obtener la base Bs: dos vectores l.i. quesatisfagan el sistema (2) x2=l x3= m x1=3 l- m, l, m∈R S={(3 l- m, l, m): l, m∈R} Bs={(3,1,0), (-1,0,1)} l =1 m =1 m=0 l =0 XBs· Bs = XB
  21. 21. 6. Interpretación geométrica e.v. 21 Los s.e.v. propios de R2 son rectas quepasan por el origen (0,0) Los s.e.v. propios de R3 son rectas oplanos que contienen al vector (0,0,0)

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