Este documento describe el análisis matemático de la conducción de calor bidimensional en estado estacionario. Explica que la ecuación de Laplace gobierna este proceso y que la solución dará la temperatura en función de las coordenadas x e y. También analiza las condiciones de frontera mediante gráficas y el cálculo del flujo de calor a través de secciones curvilíneas, así como el concepto de factor de forma.
2. INTRODUCCION
Analizar el caso más general del flujo de calor bidimensional. Para el estado estacionario, se
aplica la ecuación de Laplace:
𝜕2
𝑇
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑇
𝜕𝑦2
= 0
La solución a la ecuación dará la temperatura de un cuerpo bidimensional, en
función de las dos coordenadas espaciales independientes 𝒙 y 𝒚. Entonces el flujo
de calor en las direcciones 𝒙 y 𝒚 puede calcularse de las ecuaciones de Fourier
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑞𝑦 = −𝑘𝐴𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑦
Estas cantidades de flujo de calor están dirigidas ya sea en la dirección 𝒙 o bien
en la dirección 𝒚.
Esquema que muestra el flujo
de calor en dos dimensiones.
3. ANALISIS MATEMATICO DE LA
CONDUCCION DE CALOR BIDIMENCIONAL
Las condiciones de frontera se aplican entonces para determinar la forma de las funciones 𝒙
y 𝒚. La suposición básica
𝑻 = 𝑿𝒀 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒙 = 𝑿(𝒙)
Y= 𝒀(𝒚)
puede ser justificada sólo si es posible encontrar una solución a esta forma que satisfaga las
condiciones de frontera. Primero considérense las condiciones de frontera con una
distribución sinusoidal de temperaturas aplicada al borde superior de la placa. Entonces:
𝑇 = 𝑇1 𝑒𝑛 𝑦 = 0
𝑇 = 𝑇, 𝑒𝑛 𝑥 = 0
𝑇 = 𝑇1 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑊
𝑇 = 𝑇𝑚𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑋
𝑊
+ 𝑇1 𝑒𝑛 𝑦 = 𝐻
.
4. Obsérvese que cada lado es independiente del otro ya que 𝒙 y 𝒚 son variables
independientes. Esto requiere que cada lado sea igual a alguna constante.
𝑑2
𝑋
𝑑𝑥2 + 𝜆2𝑋 = 0
𝑑2
𝑌
𝑑𝑦2
− 𝜆2𝑌 = 0
En donde 𝝀𝟐 es llamada la constante de separación.
Los tres lados de la placa son mantenidos
a la temperatura constante 𝑻𝟏 y al lado
superior se le ha impuesto una
distribución de temperatura.
Donde 𝑻𝒎 es la amplitud de la función
sinusoidal.
−
1
𝑋
𝑑2𝑋
𝑑𝑥2 =
1
𝑌
𝑑2𝑌
𝑑𝑦2
5. ANALISIS MEDIANTE GRAFICAS
Considérese el sistema bidimensional, La superficie interior es mantenida a una temperatura
𝑻𝟏, y la superficie exterior es mantenida a 𝑻𝟐 Las líneas isotérmicas y de flujo de calor
forman grupos de figuras curvilíneas El flujo de calor a través de la sección curvilínea está
dado por la ley de Fourier:
𝑞 = −𝑘Δ𝑥(1)
Δ𝑇
Δ𝑦
Este flujo de calor será el mismo a través de cada sección dentro de esta franja de flujo de
calor, y el flujo de calor total será la suma de los flujos de calor de todas las franjas. Si se
traza el esquema de manera que Ax = Ay, el flujo de calor es proporcional a AT a través del
elemento, y como este flujo de calor es constante, el AT a través de cada elemento deberá
ser el mismo dentro de la misma franja de flujo de calor. Así, el AT a través de un elemento
está dado por:
𝐴𝑇 =
Δ𝑇𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑁
6. donde N es el número de incrementos de temperatura entre la superficie interior y exterior.
Además, el flujo de calor a través de cada franja es el mismo ya que es independiente de las
dimensiones Ax y Ay cuando éstas están constituidas iguales.
𝑞 =
𝑀
𝑁
𝑘Δ𝑇𝑡𝑜𝑝𝑒 =
𝑀
𝑁
𝑘(𝑇2 − 𝑇1)
donde M es el número de franjas de flujo de calor. Por tanto, para calcular la transferencia de calor sólo
necesitamos construir estas gráficas de cuadrados curvilíneos y contar el número de incrementos de
temperatura y franjas de flujo de calor
Esquema que muestra un
elemento, utilizado para el
análisis de cuadrados curvilíneos
de flujo de calor bidimensional.
7. FACTOR DE FORMA
La relación entre la energía interceptada por una superficie y la total emitida por la otra, es
lo que se conoce como factor de visión o factor de forma.
En un sistema bidimensional donde sólo se encuentran involucrados-dos límites de
temperatura, podríamos definir un factor de forma S tal que:
𝑞 = 𝑘𝑠 𝐴𝑇 …
Para una pared tridimensional, como la de un horno, se utilizan diversos factores de forma
para calcular el flujo de calor a través de las secciones de los bordes y vértices. Cuando
todas las dimensiones interiores son mayores que un quinto del espesor de la pared,
𝑺𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅 =
𝑨
𝑳
𝑺𝒗𝒊𝒔𝒕𝒂 = 𝟎. 𝟓𝟒𝟎 𝑺𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 = 𝟎. 𝟏𝟓𝑳
Donde:
A = área de la pared
L = espesor de la pared
D = longitud del vértice
