Aulas da disciplina Matemática I ministrada pelo professor Ricardo Bruno da Universidade Federal do Pará.

1. Matemática I
Tópico 02 e 03– Radiciação,
Potenciação, Polinômios, Fatoração
e Frações
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA

2. Radiciação e Potenciação

3. Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Se 𝑏2
= 𝑎 então b é a raiz quadrada de a.
Vejamos alguns exemplos:
36 = 6, porque 62 = 36
3 27
8
=
3
2
3
− 27/8 = −
3
2
4
−2=?

4. Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Propriedades dos radicais
1) 𝑛
𝑢𝑣 = 𝑛
𝑢 × 𝑛
𝑣
2)
𝑛 𝑢
𝑣
=
𝑛
𝑢
𝑛
𝑣
3)
𝑚 𝑛
𝑢 = 𝑚.𝑛
𝑢
4) 𝑛
𝑢 𝑛
= 𝑢
5)
𝑛
𝑢 𝑚 = 𝑛
𝑢 𝑚
6)
𝑛
𝑢 𝑛 =
para par
para impar
u n
u n




5. Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Simplificando os radicais
1)
4
80 = 4
16(5) =
4
24(5) =
4
24 ×
4
5 = 2
4
5
2) 18𝑥5 = 9𝑥4 × 2𝑥 = (3𝑥2)2× 2𝑥 = 3𝑥2 2𝑥
Racionalização
É o processo de reescrever frações contendo radicais de modo
que o denominador fique sem esses radicais. Quando o
denominador possui a forma
𝑛
𝑢 𝑛−𝑘 poderemos eliminar o radical
do denominador, pois:
𝑛
𝑢 𝑘 ×
𝑛
𝑢 𝑛−𝑘 =
𝑛
𝑢 𝑘 × 𝑢 𝑛−𝑘 =
𝑛
𝑢 𝑘+𝑛−𝑘 =
𝑛
𝑢 𝑛 = 𝑢

6. Uma revisão sobre radiciação
Por exemplo teremos:
1
4
𝑋
=
1
4
𝑋
×
4
𝑋3
4
𝑋3
=
4
𝑋3
4
𝑋4
=
4
𝑋3
𝑋
Potenciação com expoentes racionais
Seja u um número real, variável ou expressão algébrica e n um
inteiro maior que 1. então
𝑢
1
𝑛 = 𝑛
𝑢
Seja m um inteiro positivo, m/n está na forma reduzida e todas as
raízes são número reais, então
𝑢
𝑚
𝑛 = 𝑢
1
𝑛
𝑚
= 𝑛
𝑢 𝑚 ou 𝑢
𝑚
𝑛 = 𝑢 𝑚
1
𝑛 = 𝑛
𝑢
𝑚

7. Uma revisão sobre radiciação e potenciação
Alguns exemplos:
𝑥 + 𝑦 3 = 𝑥 + 𝑦
3
2
𝑥
2
3 𝑦
1
3 = 𝑥2 𝑦
1
3 =
3
𝑥2 𝑦
3𝑥
5
𝑥2 = (3𝑥)𝑥
2
5 = 3𝑥
7
5
𝑧−
2
3 =
1
𝑧
2
3
=
1
3
𝑧2

8. Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita
na forma:
𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
Vejamos dois exemplos de adição e subtração polinomial:
(a) 2𝑥2 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 1 + (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 + 3)
(b) 4𝑥2 + 3𝑥 − 4 − (2𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 + 2)
Agora os exemplos sobre multiplicação (expansão) polinomial|:
3𝑥 + 2 4𝑥 − 5 = Qual o resultado??

9. Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Produtos Notáveis: Vejamos alguns produtos notáveis
1. Produto de uma soma e uma diferença:
𝑢 + 𝑣 𝑢 − 𝑣 = 𝑢2 − 𝑣2
2. Quadrado de uma soma de dois termos:
𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢2 + 2𝑢𝑣 + 𝑣2
3. Quadrado de uma diferença de dois termos:
𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢2 − 2𝑢𝑣 + 𝑣2
4. Cubo de uma soma de dois termos:
𝑢 + 𝑣 3 = 𝑢3 + 3𝑢2 𝑣 + 3𝑢𝑣2 + 𝑣3
5. Cubo de uma diferença de dois termos:
𝑢 − 𝑣 3 = 𝑢3 − 3𝑢2 𝑣 + 3𝑢𝑣3 − 𝑣3

10. Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Fatorando polinômios: é uma forma de reduzir a expressão do
polinômio para “termos” de menor grau. A fatoração encerra-se
quando, usando coeficientes inteiros, não é possível mais reduzi-lo,
essa forma é conhecida como polinômio irredutível.
Ex:
𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒙 + 𝟒
𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐 + 𝟏)
Como podemos observar x+1 é irredutível, porém vejamos a
próxima expressão:
𝒙 𝟑
− 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 𝟐 − 𝟗)
𝒙 𝟐 − 𝟗 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)
𝒙 𝟑
− 𝟗𝒙 𝒙(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟑)

11. Uma revisão sobre polinômios e fatoração
O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e
colocar em evidência os fatores comuns de seus termos usando a
propriedade distributiva, vejamos o exemplo abaixo:
2𝑥3
+ 2𝑥2
− 6𝑥
= 2𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 3)
Outro exemplo seria:
𝑢3 𝑣 + 𝑢𝑣3
= 𝑢𝑣(𝑢2
+ 𝑣2
)

12. Uma revisão sobre polinômios e fatoração
Ter conhecimento da forma expandida dos cinco produtos
notáveis ajudará a fatorar uma expressão algébrica. A forma mais
fácil de identificar é a diferença de dois quadrados:
25𝑥2
− 36 = 5𝑥 2
− 62
= 5𝑥 + 6 5𝑥 − 6
4𝑥2 − 𝑦 + 3 2 = 2𝑥 2 − 𝑦 + 3 2
= 2𝑥 + 𝑦 + 3 [2𝑥 − 𝑦 + 3 ]
= (2𝑥 + 𝑦 + 3)(2𝑥 − 𝑦 − 3)

13. Uma revisão sobre expressões fracionárias
Antes de levar adiante essa discussão, temos que adiantar o
conceito de domínio de uma função
Vejamos a seguinte expressão que envolve o quociente de dois
polinômios:
2𝑥3 − 𝑥2 + 1
5𝑥2 − 𝑥 − 3
Qual seria o domínio das expressões abaixo:
(a) 3𝑥2 − 𝑥 + 5 - Todos os reais (R)
(b) 𝑥 − 1 - Todos os reais maiores que 1
(c)
𝑥
𝑥−2
- Todos os reais com exceção do 2

14. Uma revisão sobre expressões fracionárias
As expressões fracionadas podem ser simplificadas, para realizar
tal tarefa temos que ter em mente a seguinte propriedade:
𝑢𝑧
𝑣𝑧
=
𝑢
𝑣
Contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoração
do numerador e denominador em fatores primos. Quando todos os
fatores comuns do numerador e denominador forem removidos, a
expressão racional (ou número racional) está na forma reduzida.

15. Vejamos um exemplo 2 do capítulo 4:
Escreva
𝑥2−3𝑥
𝑥2−9
na forma reduzida. Verifique o domínio
𝑥2 − 3𝑥
𝑥2 − 9
=
𝑥 𝑥 − 3
𝑥 + 3 𝑥 − 3
=
𝑥
𝑥 + 3
Logo 𝑥 ≠ 3 𝑒 𝑥 ≠ −3
Importante: Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm o
mesmo domínio e os mesmos valores para todos os números no domínio.
A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo domínio
que a expressão racional original. Esta é a razão que nos levou a adicionar
a restrição x3 para a forma reduzida no Exemplo 2.
Uma revisão sobre expressões fracionárias

16. Operações com expressões racionais
Considerando duas frações iguais, (u/v)=(z/w) se, e somente se,
uw=vz.
Uma revisão sobre expressões fracionárias
Operação Exemplo
𝒖
𝒗
+
𝒘
𝒗
=
𝒖 + 𝒘
𝒗
𝟐
𝟑
+
𝟓
𝟑
=
𝟐 + 𝟓
𝟑
=
𝟕
𝟑
𝒖
𝒗
+
𝒘
𝒛
=
𝒖𝒛 + 𝒘𝒗
𝒗𝒛
𝟐
𝟑
+
𝟒
𝟓
=
𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑
𝟏𝟓
=
𝟐𝟐
𝟏𝟓
𝒖
𝒗
𝒘
𝒛
=
𝒖𝒘
𝒗𝒛
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
=
𝟐 𝟓 + 𝟒 𝟑
𝟑 𝟓
=
𝟖
𝟏𝟓
𝒖
𝒗
÷
𝒘
𝒛
=
𝒖𝒛
𝒘𝒗
𝟐
𝟑
÷
𝟒
𝟓
=
𝟏𝟎
𝟏𝟐
=
𝟓
𝟔

17. Vejamos a questão a e b do exemplo 3 do livro:
(a)
2𝑥2+11𝑥−21
𝑥3+2𝑥2+4𝑥
×
𝑥3−8
𝑥2+5𝑥−14
=
2𝑥 − 3 𝑥 + 7
𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 4
×
𝑥 − 2 𝑥2 + 2𝑥 + 4
𝑥 − 2 𝑥 + 7
=
2𝑥 − 3
𝑥
Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ −7; 𝑥 ≠ 2
(b)
𝑥3+1
𝑥2−𝑥−2
÷
𝑥2−𝑥+1
𝑥2−4𝑥+4
Uma revisão sobre expressões fracionárias

18. Já para o exemplo da soma teríamos:
𝑥
3𝑥−2
+
3
𝑥−5
=
𝑥 𝑥−5 +3 3𝑥−2
3𝑥−2 𝑥−5
=
𝑥2+4𝑥−6
3𝑥−2 𝑥−5
Uma revisão sobre expressões fracionárias

19. Imagine agora que tenhamos a seguinte expressão:
2
𝑥2 − 2𝑥
+
1
𝑥
−
3
𝑥2 − 4
Nesse caso temos que fazer uso do artifício do mínimo múltiplo
comum (mmc), observe que podemos fatorar todos os
denominadores (com exceção de x), assim teremos as seguintes
expressões:
x(x-2); x; e (x-2)(x+2)
Com isso o menor denominador comum será: x(x-2)(x+2)
Uma revisão sobre expressões fracionárias

20. Com isso a solução será:
2
𝑥2−2𝑥
+
1
𝑥
−
3
𝑥2−4
=
2
𝑥 𝑥−2
+
1
𝑥
+
3
𝑥−2 𝑥+2
=
2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
+
𝑥−2 𝑥+2
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
−
3𝑥
𝑥 𝑥−2 𝑥+2
=
2 𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 𝑥 + 2 − 3𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
Uma revisão sobre expressões fracionárias

21. =
2𝑥 + 4 + 𝑥2
− 4 − 3𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=
𝑥2 − 𝑥
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=
𝑥 𝑥 − 1
𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2
=
𝑥 − 1
𝑥 − 2 𝑥 + 2
,
Logo 𝑥 ≠ 0; 𝑥 ≠ 2; 𝑒 𝑥 ≠ −2
Uma revisão sobre expressões fracionárias

22. Operações com raízes e polinômios no Octave
Operações básicas no Calc (LibreOffice)