EL PROBLEMA DE LOS TRES CUBOS

ÍNDICE
 Introducción al problema de los tres cubos
 El problema de los tres cubos
 Avances del problema
 Conclusión: importancia del problema
 BONUS: Enigmas matemáticos

INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA DE LOS TRES
CUBOS
Este problema es un ejemplo especial de una ecuación
diofántica, es decir sus soluciones pueden constar únicamente
de números enteros.
En este campo destaca el famoso último teorema de Fermat, que
busca soluciones enteras para la ecuación:
con n un entero positivo dado.
Como dato curioso, si n=2 existen infinitas soluciones enteras,
que es lo que conocemos como Ternas pitagóricas.
Sin embargo, para n>2 no hay soluciones enteras. Este es el
conocido como último teorema de Fermat que consiguió ser
demostrado por Andrew Wiles en 1995.

EL PROBLEMA DE LOS TRES CUBOS
El problema de los tres cubos trata de averiguar cuántas soluciones
enteras hay para la ecuación:
con k un número entero.
En otras palabras, de cuántas formas se puede escribir el número k
como suma de tres enteros elevados al cubo.

AVANCES DEL PROBLEMA
 En las primeras hipótesis sobre este problema se consiguió
demostrar que si k es 4 o 5 módulo 9, es decir que si al dividir k
entre 9 obtenemos resto 4 o 5, entonces no existen x, y, z
soluciones de la ecuación.
Esto es debido a que cualquier entero elevado al cubo es 1, 0 o –1
módulo 9. Por lo tanto al sumarlos, es imposible llegar a 4 o 5
módulo 9.
 A partir de esto se empezó una busqueda de algún k adicional a
los previamente citados para el que la ecuación no se cumpliera.
No obstante, esta tarea no resulta nada sencilla ya que números
pequeños, como el 3, tienen grandes enteros como solución. Por
ello se dejó este trabajo para los ordenadores con los que se
obtuvieron notables resultados.

AVANCES DEL PROBLEMA
En el año 1955 se comenzó a buscar números k más pequeños que 100. El
proceso resultó prometedor los primeros años a pesar de su lentitud, puesto
que se probaba la compatibilidad de cada entero. Por desgracia no tardó en
estancarse y en 2019 aún quedaban dos números cuyas soluciones no
habían sido encontradas: el 33 y el 42.
Cierto que el 42 es un número que mola muchísimo… Un día
deberíamos hacer un trabajo/PowerPoint solo sobre él.
Hasta que Andrew Booker consiguió diseñar un algoritmo de busqueda 20
veces más efectivo. Gracias a esta gran labor del británico se llegó a la
solución para k=33:

AVANCES DEL PROBLEMA
 Como el algoritmo resultó satisfactorio, Andrew Shuterland,
experto en computación distribuída del MIT, y Andrew Booker se
propusieron adaptar el algoritmo para que pudiera ser ejecutado en
computadoras alrededor del mundo mediante el proyecto “Charity
Engine”. Esta iniciativa logró que tras un millón de horas de cálculo
en esta red se encontrara, en septiembre del 2019, la solución para
k=42:
42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 +
12602123297335631^3

AVANCES DEL PROBLEMA
 Una vez hecho esto, prosiguió la investigación con
los k menores que mil, de lo cuales en la actualidad
quedan únicamente 9 números sin soluciones
definidas.
 Sin embargo, no es complicado llegar a la
conclusión de que este proyecto nunca podrá resolver
el problema como tal, puesto que se necesita verificar
las distintas soluciones de la ecuación para TODO
entero k (que no sea 4 o 5 modulo 9). Tanto Andrew
Shuterland como Andrew Booker son plenamente
conscientes de esta problematica pero saben que su
trabajo no es en vano. Esto es porque los datos
recopilados son utilizados por matemáticos teóricos
para establecer una base lo suficientemente sólida que
permita llegar a una conclusión definitiva.

AVANCES DEL
PROBLEMA
 También cabe destacar la
conjetura que formuló Roger
Heath-Brown, un trabajador
del problema, en 1992. Esta
plantea que todo entero k
que no sea 4 o 5 módulo 9
se puede poner como suma
de 3 cubos de infinitas
formas diferentes.

CONCLUSIÓN: IMPORTANCIA DEL PROBLEMA
Bajo nuestra opinión, la importancia del problema no radica en sus aplicaciones directas, que aún no está
claro que tenga, sino en lo que representa su resolución. Este problema es un claro ejemplo de como
tanto los matemáticos teóricos junto con los matemáticos computacionales aúnan fuerzas en un
proyecto donde el avance tecnológico y la caridad humana han desempeñado un papel esencial. Todo
este esfuerzo masivo para resolver un dilema planteado en la antigua Grecia.
Esta es, según la visión de Guillermo Inés Medina, la belleza de la MATEMÁTICA.
Por otra parte, Diego Plumed Beortegui ha ideado un gráfico bastante ilustrativo de la idea que
queremos transmitir:

BONUS:
ENIGMAS
MATEMÁTICOS
 Este problema entra
dentro de un grupo de
enigmas matemáticos
cuyas soluciones están
aún por encontrar.
Algunos ejemplos de
estos problemas son:
• El problema de los
primos gemelos
• La conjetura de Collatz

EL PROBLEMA DE LOS PRIMOS GEMELOS
 En este problema se tratan las parejas de
números primos que al restarlos entre sí dan 2.
Ejemplos de estas parejas son el 3 y el 5 o el 17
y el 19, ¿pero son estas parejas infinitas? Este
es un enigma aún sin resolver

LA CONJETURA DE COLLATZ
 Este problema nos dice que si cogemos
cualquier entero positivo, si es par, lo dividimos
entre 2 y si es impar lo multiplicamos por 3 y le
sumamos 1. Entonces, al repetirse la secuencia
de operaciones una y otra vez llegaremos
siempre a un resultado que es el 1. Esta
conjetura fue publicada en 1937 y desde
entonces nadie ha conseguido demostrarla.

BIBLIOGRAFÍA
 https://hipertextual.com/2021/08/problemas-matematicos-conjeturas
 https://www.youtube.com/watch?v=jg7PzVxzDY4
 https://www.bbc.com/mundo/noticias-
49675503#:~:text=El%20enigma%20de%20la%20suma,El%2033%20y%20el%2042.

GRACIAS POR
LA ATENCIÓN
DIEGO PLUMED BEORTEGUI
GUILLERMO INÉS MEDINA