2. Una función cuadrática de variable “x” es aquella que
puede escribirse en la forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde: a, b y c son números reales (a 0).
Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 )
DEFINICIÓN
FORMAS INCOMPLETAS
ax2 + bx = 0 Ejemplo: 3x2 – 2x = 0
ax2 + c = 0 Ejemplo: 2x2 – 32 = 0
ax2 = 0 Ejemplo: 9x2 = 0
3. Gráfica de una función cuadrática
Su gráfica es una
parábola cuya forma
dependerá de los
valores de a, b y c.
4. 4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
a > 0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
(h, k)
a < 0
Sea V(h,k) el vértice:
f(h) = k es el mínimo valor de f cuando a>0
f(h) = k es el máximo valor de f cuando a<0
5. MÉTODO DE RESOLUCIÓN
POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)
a2
ac4bb
x
2
Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden
calcularse mediante la fórmula
A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama
discriminante y se representa por
Es decir: = b2 – 4ac
6. Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1 a2
ac4bb
x
2
Reemplazamos en:
)2(2
)1)(2(4)3()3(
x
2
Obtenemos:
4
173
x
4
173
x 21
4
173
;
4
173
.S.C
4
173
x
De donde:
7. Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 4; b = – 12; c = 9 a2
ac4bb
x
2
Reemplazamos en:
)4(2
)9)(4(4)12()12(
x
2
Obtenemos:
8
012
x
8
012
x 21
8
012
x
De donde:
9. 1.- Según la función Y= x² -8x + 12 , hallar su forma canónica, las intersecciones
con los ejes, vértice, eje de simetría y su gráfica.
Forma Canónica
Y= x² - 8x + 12
Y= (x² - 8x + 4² ) - 4² + 12
(x - 4 )² - 4² + 12
(x - 4 )² - 16 + 12
(x - 4 )² – 4
Y= (x - 4 )² – 4
Forma Canónica
Se ubica a través del trinomio cuadrado perfecto
a² – 2a.b + b²
(a - b ) ²
Nota: el + 4² y - 4² se obtienen de dividir 8 entre 2.
El 8 es el que acompaña a la x ósea 8x.
Se debe colocar el mismo número, pero con signos
diferentes para que no se modifique la función.
Intersecciones con los Ejes.
Y= x² - 8x + 12
Eje y (x = 0)
Y= x² - 8x + 12
Y= 0² - 8.0 + 12
Y= 0² – 0 + 12
Y = 12( 0; 12 )
x y
Intersección con el eje y.
10. Intersecciones con los Ejes.
Y= x² - 8x + 12
Eje X (y = 0) Y = x² - 8x + 12
0 = x² - 8x + 12
a b c
( 2; 0 ) ( 6; 0 )
x y x y
Intersección con el eje X.
Se toma la formula polinómica:
Y= ax² + bx + c
Donde:
a= 1 b= -8 c= 12
11. vértice
Y= (x - 4 )² – 4
Y= a (x - h )² + k
a = 1 - h = - 4
4 = h
h = 4
k = -4
Donde el vértice es : V= (h ; k)
V = (4 ; - 4)
Al graficarlo el valor de h está en las X
y el valor de K está en las y
Se aplica la formula:
Y= a (x - h )² + k
Eje de Simetría
X = h
X = 4
Gráfica
X
Y
8642
0
4
10
2
12
8
6
-2
-6
-2-8 -4-6
-4
-8
..
.
.Función Cuadrática
V= 4: -4)
Intersecciones: ((0 ; 12)
; (2 ; 0 ) y (6 ; 0)
Eje de Simetría: x = 4
Parábola que abre
hacia arriba porque
a > 0
vértice
Ejedesimetría
12. Función Lineal
f(x) = mx + b
m es la pendiente de la ecuación de la recta
b es la ordenada en el origen
Cuando m = 0, la función se denomina
“función constante”
f(x) = b