1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Programa Nacional de Formación en Distribución y Logística
Lara, Barquisimeto
Derivadas
Integrantes:
Raymar Carmona. CI: 31.018.082
Ahisahar Pérez. CI: 31.277.558
Josbelis Gutiérrez. CI: 31.118.082
Ariana Peña. CI: 31.493.064
Jennielys Torrealba. CI:30.759.623
Sección: DL1202
Matemáticas Trayecto I
Septiembre,2023

2. 1. Definición:
Es el resultado de un limite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función de un punto.
✓ Ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝑓′(𝑥) lim
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
ℎ → 0
𝑓′(𝑥) = lim
(𝑥+ℎ)3− 𝑥3
ℎ
ℎ → 0
𝑓′(𝑥) = lim
𝑥3+3𝑥2.ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3−𝑥3
ℎ
ℎ → 0
𝑓′(𝑥) = lim
3𝑥2ℎ+3𝑥ℎ2+ℎ3
ℎ
ℎ → 0
𝑓′(𝑋) = lim
ℎ(3𝑥2+3𝑥ℎ+ℎ2)
ℎ
ℎ → 0
𝑓′(𝑥) = lim 3𝑥2
+ 3𝑥. (0) + 02
ℎ → 0
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
+ 0 + 0
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2

3. 2. Propiedades:
• La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas.
• La derivada del producto de una constante por una función es igual a la
constante multiplicada por la derivada de la función.
• La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que
varié el valor de la función según se modifique el valor de su variable
independiente.
• Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese
punto.
• La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta
tangente a la función en ese punto.
✓ Ejemplo:
o [𝒌𝒇(𝒙)]′
= 𝒌𝒇′(𝒙)
o [𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)]′
= 𝒇′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)
o [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]′
= 𝒇′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)
o [𝒇(𝒙). 𝒈(𝒙)]′
= 𝒇′(𝒙). 𝒈(𝒙) + 𝒇(𝒙). 𝒈′(𝒙)
o [
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
]
′
=
𝒇′(𝑿).𝒈(𝒙)−𝒇(𝒙).𝒈′(𝒙)
[𝒈(𝒙)]𝟐
o [(𝒇(𝒙))
𝒏
]
′
= 𝒏(𝒇(𝒙))𝒏−𝟏
3. Regla de la cadena:
Esta sección la dedicaremos a estudia la diferenciación de funciones compuestos. El
resulta que expresa la derivada de una función compuesta en términos de sus funciones
componentes se conoce con el nombre de regla de la cadena.

4. ✓ Ejemplo:
𝑦 = √𝑥6 − 3𝑥
3
𝑦 = (𝑥6
− 3𝑥)
1
3′
⁄
(𝑥6
− 3𝑥)′
𝑦′
=
1
3
(𝑥6
− 3𝑥)−2
3
⁄
(𝑥6
− 3𝑥)′
𝑦′
=
1
3
(𝑥6
− 3𝑥)−2
3
⁄
(6𝑥5
− 3)
𝑦′
=
6𝑥5
− 3
3√(𝑥6 − 3𝑥)2
3
𝑦′
=
2𝑥5
− 1
√(𝑥6 − 3𝑥)2
3
4. Recta Tangente:
Sea y = f(x) una función real de variable real y sea A = (a, f(a)) un punto fijo de su gráfico.
Buscamos la recta tangente al grafico de la función en el punto A.
✓ Ejemplo:
Hallar la recta tangente de la función que tiene por abscisa 𝑥 = −3
𝑓(𝑥) =
1
√(4 + 𝑥)2
3
Solución: 𝑓(−3) =
1
√(4−3)2
3 𝑦 = 1
𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[
1
√(4 + 3)2
3
] =
𝑑
𝑑𝑥
[(4 + 𝑥)−2
3
⁄
] =
−2
3
(4 + 𝑥)−5
3
⁄
𝑑
𝑑𝑥
(4 + 𝑥)
= −
2
3
(4+3)−5
3
⁄
(1) =
−2
3(4+𝑥)
5
3
⁄
Por lo tanto
𝑓(−3) =
−2
3(4−3)
5
3
⁄
= −
2
3(1)
= −
2
3

5. Obtenemos la recta tangente
𝑦 − 𝑓(−3) = 𝑓′(−3)(𝑥 − (−3))
.
⇒
𝑦 − 1 = −
1
3
(𝑥 + 3)
.
⇒ 3𝑦 + 2𝑥 + 3 = 0
5. Derivada Implícita:
El círculo de radio 1 con centro en el origen, puede representarse implícitamente
mediante la ecuación 𝑥2
+𝑦2
= 1 ó explícitamente por las ecuaciones 𝑦 = √1 − 𝑥2
y 𝑦 = −√1 − 𝑥2.
Una representación explicita de una curva de plano xy está dada por un par de
ecuaciones que expresan 𝑦 en términos de 𝑥 𝑜 𝑥 en términos de 𝑦 son de la forma
y= g(x) ó x= g(y).
✓ Ejemplo:
Dada
√𝑥 + √𝑦 = 1 ; encontrar 𝑦′
(𝑥 1
2
⁄ )′
+ (𝑦 1
2
⁄ )
′
= (1)′
1
2
x−1
2
⁄ +
1
2
y−1
2 .
⁄ 𝑦′
= 0
1
2√𝑥
+
1
2√𝑦
. 𝑦′
= 0
1
2√𝑥
+
𝑦′
2√𝑦
=0
𝑦′
2√𝑦
= −
1
2√𝑥
𝑦′
= −
1
2√𝑥
. 2√𝑦
𝑦′
= −
2√𝑦
2√𝑥

6. 𝑦′
= −
√𝑦
√𝑥
6. Derivada Logarítmica:
Cuando una función tiene un aspecto complicado y está conformado por
productos, cocientes, potencias o radicales, el cálculo de su derivada se simplifica
si se utiliza el procesamiento llamado derivación logarítmica. Para esto, se siguen
los siguientes pasos:
1. Tomar logaritmos naturales en ambos miembros y, usando las propiedades
logarítmicas, transformar los productos, cocientes y exponentes en sumas, restas
y multiplicaciones, respectivamente.
2. Derivar implícitamente.
3. Despejar la derivada y simplificar.
✓ Ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥
𝑦 = 𝑥𝑥
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛𝑥𝑥
𝑙𝑛𝑦′
= (𝑥𝑙𝑛𝑥)′
1
𝑦
. 𝑦′
= (𝑥)′
. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥. (𝑙𝑛𝑥)′
1
𝑦
. 𝑦′
= (1). 𝑖𝑛𝑥 + 𝑥.
1
𝑥
1
𝑦
. 𝑦′
= 𝑙𝑛𝑥 + 1
𝑦′
= 𝑦 (𝑙𝑛𝑥 + 1)
𝑦′
= 𝑥𝑥
(𝑙𝑛𝑥 + 1)
7. Derivada de orden superior:
Dada una función, una vez que se calcula la primera derivada, es posible su vez calcular
la derivada de esta derivada y así sucesivamente. Estas se llaman derivadas de orden
superior, así:

7. • La derivada de la primera derivada de 𝑓 se llama segunda derivada de 𝑓 y se denota
𝑓′′. Esto es:
𝑓′′(𝑥) = [𝑓′(𝑥)]’
• A su vez, la derivada de la segunda derivada de 𝑓 se llama tercera derivada de 𝑓 y se
denota por 𝑓′′′. Esto es:
𝑓′′′(𝑥) = [𝑓′′(𝑥)]′
• Y así sucesivamente. En general la n−ésima derivada de 𝑓 es la derivada de la (𝑛 − 1)
−ésima derivada 𝑓 y se denota por 𝑓(𝑛)
. Esto es:
𝑓(𝑥)
(𝑥) = [𝑓(𝑛−1)
(𝑥)]′
✓ Ejemplo:
𝑓(𝑥) = sin(3𝑥) ; encontrar 𝑓′′′(𝑥)
𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥). (3𝑥)′
𝑓′(𝑥) = cos(3𝑥) . 3
𝑓′(𝑥) = 3cos (3𝑥)
𝑓′′(𝑥) = 3(−𝑠𝑒𝑛(3𝑥)). (3𝑥)′
𝑓′′(𝑥) = 3(−𝑠𝑒𝑛(3𝑥)). 3
𝑓′′(𝑥) = −9𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑓′′′(𝑥) = −9 cos(3𝑥) . (3𝑥)′
𝑓′′′(𝑥) = −9 cos(3𝑥). 3
𝑓′′′(𝑥) = −27cos (3𝑥)

8. Referencias
➢ Saenz (2016). Cálculo diferencial (para ciencias e ingeniería), tercera edición.
➢ E. Larson (1998). Calculo y Geometría Analítica.
➢ Barrantes (1996). Elementos de cálculo diferencial, (Limites y la Derivada).