アルゴリズムとデータ構造の授業で使った発表資料です。 2分木にまつわる課題の解答および解説

1. レポート7 〜2分⽊〜
2016.10.24 アルゴリズムとデータ構造
@清⽔寺(2016.05.22)

2. 課題1
X = A + B (C + D) を2分⽊で表現せよ。
さらに，この2分⽊をpost order で巡回した時
逆ポーランド記法になっていることを⽰せ
@KEK(2016.09.04)

3. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
A
B(C+D)
+

4. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
A
B(C+D)
+ A B(C+D)
+

5. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
B (C+D)×
A
+ A B(C+D)
+

6. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
B (C+D)×
A
+ A
+
B (C+D)
×

7. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
B ×
A
+ A
+
B (C+D)
×
C + D

8. X = A+B(C+D)を2分⽊で表現
B ×
A
+ A
+
B
×
C + D C
+
D

9. Post orderで巡回
A
+
B
×
C
+
D

10. Post orderで巡回
A
+
B
×
C
+
D{A, B, C, D, +, ×, +}

11. 逆ポーランド記法？
演算⼦を，被演算⼦の後ろに書く⽅式
後置記法とも呼ぶ
⽇本語に近い表現
中置記法: 1+2
後置記法: 1 2 + (「1と2を⾜す」)
前置記法: + 1 2 ※Lispはこんな感じの⽂法 (* 1 (+ 2 3))

12. {A, B, C, D, +, ×, +}
逆ポーランド記法をプログラムで使うときは
スタックを考える場合もあるので，
それで検算してみる
B ×A +C +D

13. {A, B, C, D, +, ×, +}
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする
BA C +D × +

14. {A, B, C, D, +, ×, +}
BA (C+D) × +
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする

15. {A, B, C, D, +, ×, +}
BA (C+D) × +
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする

16. {A, B, C, D, +, ×, +}
A +B(C+D)
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする

17. {A, B, C, D, +, ×, +}
A +B(C+D)
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする

18. {A, B, C, D, +, ×, +}
A+B(C+D)
演算⼦が⼊ったら，
その前の2つの値の演算を⾏ってpushする

19. 課題2
{7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}で並んだデータを
その並んでいる順番に2 分探索⽊を作成せよ。
@春夏秋冬(渋⾕)(2016.08.30)

20. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7

21. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7

22. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4

23. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4

24. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2

25. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2

26. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1

27. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1

28. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9

29. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9

30. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
10

31. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
10

32. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
10
5

33. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105

34. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3

35. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3

36. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3
8

37. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3
8

38. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3
8
6

39. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3
8
6

40. {7, 4, 2, 1, 9, 10, 5, 3, 8, 6}
7
4
2
1
9
105
3
8
6

41. 課題3
課題2で作成した⽊について，
根 (root)， 4の親，5 の⼦，9 の兄弟，⽊の⾼さを答えよ。
@コメダ珈琲(2016.04.19)

42. 根(root)
7
4
2
1
9
105
3
8
6

43. 根(root)
7
4
2
1
9
105
3
8
6
頂点が「根」(root)

44. ４の親
7
4
2
1
9
105
3
8
6

45. ４の親
7
4
2
1
9
105
3
8
6
上位に位置するのが親

46. ５の⼦
7
4
2
1
9
105
3
8
6

47. ５の⼦
7
4
2
1
9
105
3
8
6 下位に位置するのが⼦

48. 9の兄弟
7
4
2
1
9
105
3
8
6

49. 9の兄弟
7
4
2
1
9
105
3
8
6
同位に位置するのが兄弟

50. ⽊の⾼さ
根から⼀番遠い葉までの枝の数

51. 根(root)
7
4
2
1
9
105
3
8
6
根から
⼀番遠い葉
までの

52. 根(root)
7
4
2
1
9
105
3
8
6
根から
⼀番遠い葉
までの
枝の数 = 3

53. 課題4
2 で作成した⽊を
preoder, postorder, inorder, level order で巡回したときに
巡ったノードを順番にそれぞれ答えよ
@おかげ横町(伊勢)(2016.10.10)

54. pre-order (⾏きがけ順）
7
4
2
1
9
105
3
8
6
根から順に，
左のノード→右のノードを
上から順⾒ていく
{7, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 9, 8, 10}

55. post-order (帰りがけ順）
7
4
2
1
9
105
3
8
6
⼀番左の葉から
葉に近い⽅から順に
⾛査していく
{1, 3, 2, 6, 5, 4, 8, 10, 9, 7}

56. in-order (通りがけ順）
7
4
2
1
9
105
3
8
6
⼀番左の葉から
右に辿りながら
⾏き着いた順に⾛査する
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

57. level-order (レベル順）
7
4
2
1
9
105
3
8
6
根から順に
同じ深さのノードを探索していく
{7, 4, 9, 2, 5, 8, 10, 1, 3, 6}

58. 課題5
2 で作成した 2 分探索⽊から要素 4 を削除した。
このとき，その位置に別の要素を移動するだけで 2 分探索⽊を再構成したい。
どの要素を移動すればよいか答えよ。
@JR博多駅シティ(2016.03.15)

59. 元の⽊から要素4を削除
7
4
2
1
9
105
3
8
6

60. 元の⽊から要素4を削除
7
2
1
9
105
3
8
6

61. 持っていっても⼤丈夫そうな要素
7
2
1
9
105
3
8
6

62. 持っていっても⼤丈夫そうな要素
7
2
1
9
105
3
8
6
削除したノードの
左側の⽊(?)の最⼤のノードなら
持っていっても⼤丈夫そう

63. 持っていっても⼤丈夫そうな要素
7
2
1
9
105
3
8
6
削除したノードの
左側の⽊(?)の最⼤のノードなら
持っていっても⼤丈夫そう
⇒場所を移しても他に影響なし

64. 課題6
{8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3} で並んでいる順番に2分探索⽊を作成したが，
その⽊はバランスが悪いものであった。
作成された⽊を回転操作することでバランスの良い⽊を作れ。
@おかげ横町(伊勢)(2016.10.10)

65. {8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3}
8
6
4
2
9
107
5
1 3

66. {8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3}
8
6
4
2
9
107
5
1 3
左に偏っていて，
右のノードが少ない
⇒ 右に回転してみる

67. {8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3}
8
6
4
2
9
107
5
1 3

68. {8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3}
8
6
4
2 9
10
75
1 3
ノードの構造を
変えないように！
(8, 9, 10のところとか)

69. {8, 6, 9, 10, 7, 4, 2, 5, 1, 3}
8
6
4
2 9
10
75
1 3

70. 課題7
N個のデータで構成される2分探索⽊では
⽊の深さが log2N であることが理想的であるとされる。
なぜlog2Nなのか答えよ。
@JAXA(筑波)(2016.09.04)

71. 理想的な⽊(完全⽊)
抜け落ちなく，綺麗に三⾓形を描いている2分⽊が完全⽊
（全ての葉が同じ「深さ(=2)」を持つ2分⽊）

72. ⽊の深さとノードの数の関係
深さ(d) ノードの数(N)
0 1
1 3
2 7
3 15

73. ⽊の深さとノードの数の関係
深さ(d) ノードの数(N)
0 1
1 3
2 7
3 15
ノードの数をN, 深さをdとする
𝑁 = 2$%&
− 1

74. 式変形しまくる
ここでNが⼗分⼤きいとすると，log2(N+1) ≈ log2N
log2N -1 ≈ log2N に近似してもよい(∵log2N>>1)
𝑁 = 2$%&
− 1
𝑑 ≈ log/ 𝑁 − 1
𝑑 ≈ log/ 𝑁
log/ 𝑁 + 1 = 𝑑 + 1

75. したがって…
N個のデータで構成される2分探索⽊では
⽊の深さdがlog2Nであることが理想的である
𝑑 ≈ log/ 𝑁