Lecciones y tallere de matemáticas. ESPOL

1. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
4
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
LECCIÓN
1
–
(07H00)
Guayaquil,
11
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(25
puntos)
Sea
Re = 1,2,3,4,5,6,7,8{ }
y
sus
subconjuntos
A ,
B
y
C ,
definidos
por:
A = x x es par( )∧ 2x = 6( ){ }
B = x x < 5( )→ x es impar( ){ }
C = x x = 3( )↔ x = 7( ){ }
Tabule
los
conjuntos
A ,
B
y
C
y
elabore
el
respectivo
diagrama
de
Venn.
Solución:
A = x x es par( )∧ 2x = 6( ){ } = 2,4,6,8{ }∩ 3{ }
A = ∅
B = x x < 5( )→ x es impar( ){ }
B = x ¬ x < 5( )∨ x es impar( ){ }= x x ≥ 5( )∨ x es impar( ){ }
B = 5,6,7,8{ }∪ 1,3,5,7{ }
B = 1,3,5,6,7,8{ }
C = x x = 3( )↔ x = 7( ){ }
C = 1,2,4,5,6,8{ }
Rúbrica:
Tabula
correctamente
el
conjunto
A.
5
puntos
Tabula
correctamente
el
conjunto
B.
5
puntos
Tabula
correctamente
el
conjunto
C.
5
puntos
Elabora
correctamente
el
diagrama
de
Venn
con
los
tres
subconjuntos.
10
puntos
1
5
6
8
3
7
2
4
A
B C
Re

2. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
4
Tema
2
(25
puntos)
Sea
Re = 1,2,3,4,5,6,7,8{ }
y
las
proposiciones:
a : ∃x, x2
= 4
b: ∀x, 3x < 24
c : ∃x, x ≥10
Determine
el
valor
de
verdad
de
las
siguientes
proposiciones:
a) b
debido
a
que
c
b) a
pero
c
c) O
c,
o
a
d) Cuando
b ,
c
e) c
si
y
solamente
si
b
Solución:
El
valor
x = 2( )
satisface
la
expresión
x2
= 4( ).
Como
existe
por
lo
menos
un
valor
del
conjunto
referencial
que
satisface
la
expresión
dada,
se
concluye
que
a ≡1
El
valor
x = 8( ) no
satisface
la
expresión
3x < 24 .
Puesto
que
no
todos
los
valores
satisfacen
la
expresión
dada,
b ≡ 0
Ningún
valor
satisface
la
expresión
x ≥10( ).
Por
lo
tanto,
c ≡ 0
Ahora
se
analiza
cada
proposición
compuesta,
transformando
del
español
al
lenguaje
simbólico.
a) b
debido
a
que
c
c → b ≡ 0 → 0 ≡1
∴ La
proposición
es
VERDADERA.
b) a
pero
c
a∧c ≡1∧0 ≡ 0
∴ La
proposición
es
FALSA.
c) O
c ,
o
a
c ∨ a ≡ 0∨1≡1
∴ La
proposición
es
VERDADERA.
d) Cuando
b ,
c
b → c ≡ 0 → 0 ≡1
∴ La
proposición
es
VERDADERA.
e) c
si
y
solamente
si
b
c ↔b ≡ 0↔0 ≡1
∴ La
proposición
es
VERDADERA.
Rúbrica:
Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición
simple:
a,
b
y
c.
5
puntos
Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
las
proposiciones
compuestas
de
cada
literal.
4
puntos
c/u

3. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
4
Tema
3
(25
puntos)
Considere
la
siguiente
distribución
de
los
conjuntos
A ,
B
y
C
para
cierto
conjunto
referencial
Re :
Elabore
los
diagramas
de
Venn
que
corresponden
a
cada
operación
entre
conjuntos:
a) A− B( )∩C
b) B∪C( )− A
c) AC
∩ BC
( )−C
d) C − B( )
C
− A
e) C − A( )∪ BC
Solución:
a)
A− B( )∩C
b)
B∪C( )− A
c)
AC
∩ BC
( )−C
d)
( ) ABC
C
−−
e)
C − A( )∪ BC
Rúbrica:
Elabora
correctamente
un
diagrama
de
Venn
para
cada
literal.
5
puntos
c/u

4. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
4
Tema
4
(25
puntos)
Sean
los
conjuntos
no
vacíos
A ,
B
y
C ,
usando
ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL,
demuestre
de
ser
posible
que:
A ⊆ B( )∧ A ⊆ C( )#
$
%
&⇔ A ⊆ B∩C( )#
$
%
&
Solución:
A ⊆ B( )∧ A ⊆ C( )#
$
%
&≡
≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )%
&
'
(∧∀x x ∈ A( )→ x ∈ C( )%
&
'
({ } Definición
de
subconjunto.
≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )!
"
#
$∧ x ∈ A( )→ x ∈ C( )!
"
#
${ } Ley
Distributiva
del
Cuantificador
Universal.
≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B( )∧ x ∈ C( )!
"
#
${ }
Álgebra
proposicional:
p → q( )∧ p → r( )#
$
%
&≡ p → q∧r( )#
$
%
&
≡ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ B∩C( )!
"
#
${ } Definición
de
intersección
entre
conjuntos.
A ⊆ B( )∧ A ⊆ C( )#
$
%
& ≡ A ⊆ B∩C( )$
%
&
'
Definición
de
subconjunto.
Rúbrica:
Elabora
un
procedimiento
adecuado
para
realizar
la
demostración.
25
puntos

5. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
4
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
LECCIÓN
1
–
(09H00)
Guayaquil,
11
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(25
puntos)
Sea
el
conjunto
referencial
Re = 1,2,3,4,5,6{ }
y
los
conjuntos:
A = x / x > 3( )∧ x < 4( ){ }
B = y / y >1.5( )∧ y <
18
5
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
Determine
el
valor
de
verdad
de
la
siguiente
proposición:
“Si
N P A( )( )=1,
entonces
no
es
verdad
que:
N P P B( )( )( )= 4
o
3{ }{ }⊆ P B( )”
Solución:
Se
tabulará
cada
conjunto
y
se
verificará
lo
expresado
en
cada
proposición
simple:
A ={ } ⇒ N P A( )( )= 2
N A( )
= 20
=1
B = 2,3{ } ⇒ N P P B( )( )( )= 22
N B( )
= 222
= 24
=16
3 ∈ B ⇒ 3{ }∈ P B( ) ⇒ 3{ }{ }⊆ P B( )
La
proposición
compuesta
tiene
el
siguiente
valor
de
verdad:
N P A( )( )=1!
"
#
$
1
! "## $##
→¬ N P P B( )( )( )= 4!
"#
$
%&
0
! "### $###
∨ 3{ }{ }⊆ P B( )!
"
#
$
1
! "## $##
%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
1
! "####### $#######
0
! "####### $#######
≡ 0
∴
La
proposición
es
FALSA.
Rúbrica:
Tabula
correctamente
los
conjuntos
A
y
B.
5
puntos
Establece
correctamente
el
valor
de
N(P(A)).
5
puntos
Establece
correctamente
el
valor
de
N(P(P(B))).
5
puntos
Establece
correctamente
el
valor
de
3{ }{ }⊆ P B( )
5
puntos
Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta.
5
puntos

6. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
4
Tema
2
(25
puntos)
Sean
A,B,C y D
subconjuntos
no
vacíos
del
conjunto
referencial
Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11{ }.
Si
se
conoce
que:
• D ⊂ A∪ B( )
• A∪ D( )∩C = ∅
• C ∩ B = 9,10{ }
• N C( )= 4
• B − A∪ D( )= 8,9,10{ }
• D∩ B = 5,7{ }
• A∩ B = 5,6{ }
• A− B∪C ∪ D( )= 2,3{ }
• Re− A∪ B∪C( )= 1{ }
Tabule
los
conjuntos
A,B,C y D .
Solución:
A
continuación
se
dibuja
un
diagrama
de
Venn
que
cumple
con
las
condiciones
dadas:
Por
lo
tanto:
A = 2,3,5,6{ }
B = 5,6,7,8,9,10{ }
C = 4,9,10,11{ }
D = 5,7{ }
Rúbrica:
Elabora
correctamente
el
diagrama
de
Venn
con
los
cuatro
subconjuntos.
5
puntos
Tabula
correctamente
cada
conjunto:
A,
B,
C
y
D.
5
puntos
c/u
4
112
3 5
A B
C
Re
8
7
9
10
1
D
6

7. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
4
Tema
3
(25
puntos)
En
una
encuesta
realizada
a
40
estudiantes
de
primer
semestre
de
la
Espol
se
obtuvieron
los
siguientes
datos:
27
son
hombres,
20
estudian
ingeniería
en
computación,
de
estos
últimos
8
estudian
ingeniería
en
computación
(especialización
multimedia),
6
de
las
mujeres
no
estudian
ingeniería
en
computación
y
22
de
los
hombres
no
estudian
ingeniería
en
computación
(especialización
multimedia).
Con
los
datos
proporcionados,
determine
de
ser
posible,
cuántas
mujeres
estudian
ingeniería
en
computación
pero
no
en
la
especialización
multimedia.
Solución:
A
partir
de
las
características
anotadas,
se
tiene
que:
Re = x x es persona{ }
H = x x es hombre{ }
M = x x es mujer{ }
H ∪M = Re
C = x x estudia Ingeniería en Computación{ }
E = x x estudia Especialización Multimedia{ }
N Re( )= 40
N H( )= 27
E ⊆ C
N C( )= 20
N E( )= 8
N M −C( )= 6
N H − E( )= 22
El
siguiente
diagrama
de
Venn
ilustra
las
condiciones
dadas
en
el
problema:
La
cantidad
de
mujeres
que
estudian
ingeniería
en
computación
pero
no
en
la
especialización
multimedia
es:
N M ∩C( )− E#
$
%
&= 4
Rúbrica:
Identifica
las
condiciones
anotadas
en
el
problema
y
plantea
el
diagrama
de
Venn
correcto.
10
puntos
Determina
correctamente
el
valor
solicitado.
15
puntos
H M
Re
8 65 3 414
C
E

8. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
4
Tema
4
(25
puntos)
Sean
los
conjuntos
no
vacíos
A ,
B
y
C ,
usando
ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL,
demuestre
de
ser
posible
que:
A ⊆ C( )∧ B ⊆ C( )#
$
%
&⇔ A∪ B( )⊆ C#
$
%
&
Solución:
A ⊆ C( )∧ B ⊆ C( )#
$
%
&
⇔ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ C( )#
$
%
&∧∀x x ∈ B( )→ x ∈ C( )#
$
%
&
Definición
de
subconjunto.
⇔ ∀x x ∈ A( )→ x ∈ C( )!
"
#
$∧ x ∈ B( )→ x ∈ C( )!
"
#
${ } Propiedad
distributiva
del
cuantificador
universal.
⇔ ∀x x ∈ A( )∨ x ∈ B( )!
"
#
$→ x ∈ C( ){ } Álgebra
proposicional.
p → r( )∧ q → r( )#
$
%
&≡ p∨q( )→ r#
$
%
&
⇔ ∀x x ∈ A∪ B( )→ x ∈ C( )&
'
(
)
Definición
de
unión
entre
conjuntos.
A ⊆ C( )∧ B ⊆ C( )#
$
%
&⇔ A∪ B( )⊆ C#
$
%
&
Definición
de
subconjunto.
Rúbrica:
Elabora
un
procedimiento
adecuado
para
realizar
la
demostración.
25
puntos

9. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
4
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
LECCIÓN
1
–
(11H00)
Guayaquil,
11
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(25
puntos)
Considerando
el
conjunto
referencial
𝑹 𝒆 = −𝟏, 𝟐, −𝟑, 𝟒, −𝟓, 𝟔, −𝟕 ,
determine
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición:
a) ∀𝒙 𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎 ∨ ∃𝒙 𝟐𝒙 < 𝟎
b) ∃𝒙 𝒙 𝟐
− 𝟗 = 𝟎 ↔ ∀𝒙 𝒙 𝟐
− 𝟏 > 𝟎
c) ∃𝒙
𝒙
𝟐
+ 𝟏 < 𝟎 ∧ ∀𝒙
𝒙
𝟑
− 𝟏 < 𝟎
Solución:
a) Si
x = −7( ),
no
se
cumple
que
x +5≥ 0( )
Por
lo
tanto,
∀x x +5≥ 0( )#
$
%
&≡ 0
Si
x = −1( ),
se
cumple
que
2x < 0( )
Por
lo
tanto,
∃x 2x < 0( )"
#
$
%≡1
∀x x +5≥ 0( )#
$
%
&
0
! "## $##
∨ ∃x 2x < 0( )#
$
%
&
1
! "# $#
≡1
∴ La
proposición
es
VERDADERA.
b) Si
x = −3( ),
se
cumple
que
x2
−9 = 0( )
Por
lo
tanto,
∃x x2
−9 = 0( )#
$
%
&≡1
Si
x = −1( ),
no
se
cumple
que
x2
−1> 0( )
Por
lo
tanto,
∀x x2
−1> 0( )#
$
%
&≡ 0
∃x x2
−9 = 0( )#
$
%
&
1
! "## $##
↔ ∀x x2
−1> 0( )#
$
%
&
0
! "## $##
≡ 0
∴ La
proposición
es
FALSA.
c) Si
x = −3( ),
se
cumple
que
x
2
+1< 0
!
"
#
$
%
&
Por
lo
tanto,
∃x
x
2
+1< 0
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-≡1

10. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
4
Si
x = 6( ),
no
se
cumple
que
x
3
−1< 0
"
#
$
%
&
'
Por
lo
tanto,
∀x
x
3
−1< 0
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
.≡ 0
∃x
x
2
+1< 0
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
1
! "## $##
∧ ∀x
x
3
−1< 0
"
#
$
%
&
'
(
)
*
+
,
-
0
! "## $##
≡ 0
∴ La
proposición
es
FALSA.
Rúbrica:
a) Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición
simple.
Concluye
que
la
proposición
compuesta
es
verdadera.
8
puntos
b) Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición
simple.
Concluye
que
la
proposición
compuesta
es
falsa.
8
puntos
c) Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición
simple.
Concluye
que
la
proposición
compuesta
es
falsa.
9
puntos
Tema
2
(25
puntos)
Sean
los
conjuntos
no
vacíos
A
y
B ,
usando
ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL,
demuestre
de
ser
posible
que:
𝑨 − 𝑩 ∩ 𝑨 = 𝑨 − 𝑩
Solución:
x ∈ A− B∩ A( )$
%
&
' ≡ x ∈ A− B∩ A( )%
&
'
(
Definición
de
Igualdad
entre
conjuntos.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B∩ A( )%
&
'
(
Definición
de
Diferencia
entre
conjuntos.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )∧ x ∈ A( )$
%
&
'
Definición
de
Intersección
entre
conjuntos.
≡ x ∈ A( )∧ ¬ x ∈ B( )∨¬ x ∈ A( )%
&
'
(
Ley
de
De
Morgan
sobre
la
Conjunción.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$
%
&
'∨ x ∈ A( )∧¬ x ∈ A( )$
%
&
' Ley
Distributiva.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$
%
&
'∨0 Ley
de
Contradicción.
≡ x ∈ A( )∧¬ x ∈ B( )$
%
&
'
Ley
de
Identidad
de
la
Disyunción.
x ∈ A− B∩ A( )$
%
&
' ≡ x ∈ A− B( )
Definición
de
Diferencia
entre
conjuntos.
Rúbrica:
Elabora
un
procedimiento
adecuado
para
realizar
la
demostración.
25
puntos

11. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
4
Tema
3
(25
puntos)
En
una
encuesta
realizada
a
2000
personas
se
obtuvo
lo
siguiente:
680
son
clientes
de
CNT,
1380
son
clientes
de
MOVISTAR,
1600
son
clientes
de
CLARO,
1200
son
clientes
de
CLARO
y
MOVISTAR,
200
son
clientes
de
CNT
pero
no
son
clientes
de
MOVISTAR,
130
son
clientes
de
CNT
y
no
son
clientes
de
CLARO,
150
son
clientes
de
CNT
y
CLARO
pero
no
son
clientes
de
MOVISTAR.
Determine:
a) La
cantidad
de
personas
que
no
son
clientes
de
operadora
telefónica
alguna.
b) La
cantidad
de
personas
que
son
clientes
solamente
de
CNT.
c) La
cantidad
de
personas
que
son
clientes
de
CNT,
MOVISTAR
y
CLARO.
Solución:
A
partir
de
las
características
anotadas,
se
tiene
que:
Re = x x es persona{ }
T = x x es cliente de CNT{ }
P = x x es cliente de MOVISTAR{ }
C = x x es cliente de CLARO{ }
N Re( )= 2000
N T( )= 680
N M( )=1380
N C( )=1600
N C ∩M( )=1200
N T − M( )= 200
N T −C( )=130
N T ∩C( )− M#
$
%
&=150
El
diagrama
de
Venn
que
ilustra
las
condiciones
dadas,
es:
a) El
valor
que
se
pide
es:
N T ∪M ∪C( )
C!
"#
$
%&=170
El
número
de
personas
que
no
son
clientes
de
operadora
telefónica
alguna
es
igual
a
170.
b) El
valor
que
se
pide
es:
N T − M ∪C( )#
$
%
&= 50
El
número
de
personas
que
son
solamente
clientes
de
CNT
es
igual
a
50.
C
T M
Re
50 100
150 800
250
80
400
170

12. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
4
c) El
valor
que
se
pide
es:
N T ∩M ∩C( )= 400
El
número
de
personas
que
son
clientes
de
las
tres
operadoras
es
igual
a
400.
Rúbrica:
Identifica
las
condiciones
anotadas
en
el
problema
y
plantea
un
diagrama
de
Venn.
Determina
las
cardinalidades
que
son
necesarias
para
concluir
sobre
cada
valor
solicitado
y
especifica
dicho
valor.
10
puntos
15
puntos
Tema
4
(25
puntos)
Sea
el
conjunto
referencial
𝑹 𝒆 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐
y
los
subconjuntos
𝑨,
𝑩
y
𝑪
no
vacíos,
tales
que:
𝑨 𝑪
∩ 𝑩 𝑪
− 𝑪 = 𝟏𝟐
𝑨 ∪ 𝑪 − 𝑩 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏
𝑨 ∪ 𝑩 − 𝑪 = 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟖, 𝟗
𝑩 ∪ 𝑪 − 𝑨 = 𝟕, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏
Tabule
los
conjuntos
𝑨,
𝑩
y
𝑪
Solución:
El
diagrama
de
Venn
que
ilustra
las
condiciones
dadas,
es:
Los
conjuntos
son:
A = 1,2,3,4,5,6{ }
B = 4,5,6,7,8,9{ }
C = 1,6,7,10,11{ }
Rúbrica:
Elabora
correctamente
el
diagrama
de
Venn
con
los
tres
subconjuntos.
10
puntos
Tabula
correctamente
cada
conjunto:
A,
B
y
C.
5
puntos
c/u
Re
C
A B
2
1 7
8
5
10
12
3
4
9
6
11
1

13. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
4
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
TALLER
1
–
(07H00)
Guayaquil,
04
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(20
puntos)
Sean
las
proposiciones
simples
a ,
b
y
c ,
tales
que
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta
¬c∨ a → b( )#
$
%
&
es
FALSA,
determine
el
valor
de
verdad
de
las
siguientes
proposiciones:
a) a ↔ b( )→ c∧a( )
b) c∨ b → a( )!
"
#
$∧¬b
Solución:
Se
determinan
los
valores
de
verdad
de
las
proposiciones
simples
presentes.
Según
lo
especificado,
debe
cumplirse
que:
¬c∨ a → b( )#
$
%
&≡ 0
Para
que
la
disyunción
entre
dos
proposiciones
sea
FALSA,
cada
proposición
debe
ser
FALSA:
¬c ≡ 0( ) ∧ a → b ≡ 0( )
c ≡1 a ≡1 b ≡ 0
Ahora
se
determinará
el
valor
de
verdad
de
cada
proposición
compuesta.
a) a ↔ b( )
1↔0
!"# $#
→ c∧a( )
1∧1
!"#
≡ 0 →1≡1
∴
La
proposición
compuesta
a ↔ b( )→ c∧a( )$
%
&
'
es
VERDADERA.
b) c∨ b → a( )
0→1
!"# $#
#
$
%
%
%
&
'
(
(
(
1∨1
! "# $#
∧¬b
1
! ≡1∧1≡1
∴
La
proposición
compuesta
c∨ b → a( )!
"
#
$∧¬b
es
VERDADERA.
Rúbrica:
Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
las
proposiciones
simples
a,
b
y
c.
6
puntos
a) Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta.
7
puntos
b) Determina
correctamente
el
valor
de
verdad
de
la
proposición
compuesta.
7
puntos

14. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
4
Tema
2
(20
puntos)
Definiendo
previamente
las
proposiciones
simples,
traduzca
al
lenguaje
simbólico
cada
proposición
compuesta:
a) Los
precios
bajan
cada
vez
que
la
producción
aumenta.
b) Existirá
restricción
vehicular
adicional
debido
a
que
la
contaminación
aumenta.
c) Solamente
si
las
utilidades
bajan,
las
exportaciones
disminuyen.
d) Si
los
elefantes
volaran
o
supieran
tocar
el
acordeón,
pensaría
que
estoy
como
una
regadera
y
dejaría
que
me
internaran
en
un
psiquiátrico.
e) Si
aumenta
la
demanda,
esto
implica
que
aumenta
la
oferta;
y,
viceversa.
Solución:
a) Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
𝑎: Los
precios
bajan.
𝑏:
La
producción
aumenta.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
𝑏 → 𝑎
b) Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
𝑎:
Existirá
restricción
vehicular
adicional.
𝑏:
La
contaminación
aumenta.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
𝑏 → 𝑎
c) Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
𝑎:
Las
utilidades
bajan
𝑏: Las
exportaciones
disminuyen.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
𝑏 → 𝑎
d) Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
𝑎: Los
elefantes
volaran.
𝑏:
Los
elefantes
supieran
tocar
el
acordeón.
𝑐: Pensaría
que
estoy
como
una
regadera.
𝑑: Dejaría
que
me
internaran
en
un
psiquiátrico.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
𝑎 ∨ 𝑏 → 𝑐 ∧ 𝑑
e) Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
𝑎: La
oferta
aumenta.
𝑏:
La
demanda
aumenta.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
𝑎 ↔ 𝑏
Rúbrica:
a) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
condicional.
4
puntos
b) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
condicional.
4
puntos
c) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
condicional.
4
puntos
d) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
disyunción,
la
condicional
y
la
conjunción.
4
puntos
e) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
bicondicional.
4
puntos

15. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
4
Tema
3
(20
puntos)
Proporcionando
un
contraejemplo
en
cada
caso,
demuestre
de
ser
posible
que
las
siguientes
proposiciones
son
FALSAS:
a) Todos
los
países
de
América
Latina
tienen
acceso
soberano
al
mar.
b) Todas
las
frutas
cítricas
son
de
color
verde.
Solución:
a) Un
posible
contraejemplo
puede
ser
Bolivia
y
otro
puede
ser
Paraguay.
b) Un
posible
contraejemplo
puede
ser
una
naranja
madura.
Rúbrica:
a) Especifica
un
posible
contraejemplo.
10
puntos
b) Especifica
un
posible
contraejemplo.
10
puntos
Tema
4
(20
puntos)
Considere
la
proposición
compuesta
“No
tendré
accidentes
de
tránsito,
ya
que
soy
un
buen
conductor
y
conozco
las
leyes
de
tránsito”,
la
cual
es
VERDADERA.
a) Traduzca
al
lenguaje
formal
la
proposición
dada.
b) Determine
la
condición
necesaria
y
la
condición
suficiente
de
la
proposición
dada.
c) Escriba
una
posible
traducción
al
lenguaje
español
de:
i) la
recíproca
de
esta
proposición.
ii) la
inversa
de
esta
proposición.
iii) la
contrarrecíproca
esta
proposición.
Solución:
a) Se
identifican
las
proposiciones
simples:
a :
Tendré
accidentes
de
tránsito.
b:
Soy
un
buen
conductor.
c :
Conozco
las
leyes
de
tránsito.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
es:
b∧c( )→¬a
b) Condición
necesaria:
No
tendré
accidentes
de
tránsito.
Condición
suficiente:
Soy
un
buen
conductor
y
conozco
las
leyes
de
tránsito.
c) i)
La
recíproca
en
forma
simbólica
es:
¬a → b∧c( )
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Soy
un
buen
conductor
y
conozco
las
leyes
de
tránsito,
ya
que
no
tendré
accidentes
de
tránsito.
ii)
La
inversa
en
forma
simbólica
es:
¬ b∧c( )→ a
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Tendré
accidentes
de
tránsito,
ya
que
no
es
cierto
que,
soy
un
buen
conductor
y
conozco
las
leyes
de
tránsito.
iii)
La
contrarrecíproca
en
forma
simbólica
es:
a →¬ b∧c( )
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
No
es
verdad
que,
soy
un
buen
conductor
y
conozco
las
leyes
de
tránsito,
ya
que
tendré
accidentes
de
tránsito.

16. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
4
Rúbrica:
a) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
con
la
negación,
la
conjunción
y
la
condicional.
4
puntos
b) Especifica
correctamente
la
condición
necesaria.
Especifica
correctamente
la
condición
suficiente.
2
puntos
2
puntos
c) i)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
recíproca.
4
puntos
ii)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
inversa.
4
puntos
iii)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
contrarrecíproca.
4
puntos
Tema
5
(20
puntos)
Dada
la
forma
proposicional:
p∧¬q( )∨ p∧r( )#
$
%
&→ q∧r( ){ }→ p → q( )
Con
el
método
de
DEMOSTRACIÓN
DIRECTA,
de
ser
posible,
concluya
si
la
forma
proposicional
dada
es
tautológica.
Solución:
p∧¬q( )∨ p∧r( )#
$
%
&→ q∧r( ){ }→
Hipótesis
de
la
forma
proposicional.
¬ p∧¬q( )∨ p∧r( )#
$
%
&∨ q∧r( ){ }→
Ley
de
Implicación.
¬ p∧ ¬q∨r( )#
$
%
&∨ q∧r( ){ }→
Ley
Distributiva
de
la
Conjunción
sobre
la
Disyunción.
¬p∨¬ ¬q∨r( )"
#
$
%∨ q∧r( ){ }→
Ley
de
De
Morgan
sobre
la
Conjunción.
¬p∨ q∧¬r( )#
$
%
&∨ q∧r( ){ }→
Ley
de
De
Morgan
sobre
la
Disyunción
y
Ley
Involutiva.
¬p∨ q∧¬r( )∨ q∧r( )#
$
%
&{ }→
Ley
Asociativa
de
la
Disyunción.
¬p∨ q∧ ¬r∨r( )#
$
%
&{ }→
Ley
Distributiva
de
la
Conjunción
sobre
la
Disyunción.
¬p∨ q∧1#
$
%
&{ }→
Ley
del
Tercero
Excluido.
¬p∨q{ }→
Ley
de
Identidad
de
la
Conjunción.
p → q( )→
Ley
de
Implicación.
p → q( )→ p → q( )
Tautología
trivial.
Se
puede
notar
que
la
conclusión
se
puede
inferir
lógicamente
a
partir
de
la
hipótesis.
Por
lo
tanto,
la
forma
proposicional
p∧¬q( )∨ p∧r( )#
$
%
&→ q∧r( ){ }→ p → q( )
es
tautológica.
Rúbrica:
Realiza
un
procedimiento
adecuado
y
justifica
cada
paso
de
su
demostración.
20
puntos

17. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
5
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
TALLER
1
–
(09H00)
Guayaquil,
04
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(20
puntos)
Si
se
tienen
las
formas
proposicionales:
A: p → r( )∧ ¬r →¬q( )#
$
%
&→ p → q∧r( )#
$
%
&
B : p → q( )∧ p → r( )#
$
%
&→ ¬ q∧r( )→¬q#
$
%
&
Justificando
su
respuesta,
indique
el
tipo
de
forma
proposicional
de
cada
una.
Solución:
a)
p
q
r
C
¬q
D
¬r
E
p → r
F
D →C
G
E ∧F
H
q∧r
I
p → H
A
G → I
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
La
forma
proposicional
A
es
una
contingencia.
b)
p
q
r
C
¬q
D
p → q
E
p → r
F
D∧E
G
q∧r
H
¬G
I
H →C
B
F → I
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
La
forma
proposicional
B
es
una
contingencia.

18. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
5
Rúbrica:
a) Elabora
una
tabla
de
verdad
y
concluye
que
la
forma
proposicional
A
es
una
contingencia.
10
puntos
b) Elabora
una
tabla
de
verdad
y
concluye
que
la
forma
proposicional
B
es
una
contingencia.
10
puntos
Observación.-­‐
El
estudiante
puede
utilizar
otro
método
que
esté
debidamente
justificado.
Tema
2
(20
puntos)
Suponga
que
la
proposición
“Es
necesario
que
el
disco
duro
sea
formateado
para
que
Juan
no
recupere
la
información
o
la
computadora
encienda”
es
VERDADERA.
Escriba
una
posible
traducción
al
lenguaje
español
de:
a) la
recíproca
de
esta
proposición.
b) la
inversa
de
esta
proposición.
c) la
contrarrecíproca
de
esta
proposición.
Solución:
Se
identifican
las
proposiciones
simples:
a :
El
disco
duro
es
formateado.
b:
Juan
recupera
la
información.
c :
La
computadora
enciende.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
es:
¬b∨c( )→ a
La
recíproca
en
forma
simbólica
es:
a → ¬b∨c( )
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Es
necesario
que,
Juan
no
recupere
la
información
o
la
computadora
encienda,
para
que
el
disco
duro
sea
formateado.
La
inversa
en
forma
simbólica
es:
¬ ¬b∨c( )→¬a#
$
%
&≡ b∧¬c( )→¬a#
$
%
&
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
No
es
necesario
que
el
disco
duro
sea
formateado
ya
que,
Juan
recupera
la
información
y
la
computadora
no
enciende.
La
contrarrecíproca
en
forma
simbólica
es:
¬a →¬ ¬b∨c( )#
$
%
&≡ ¬a → b∧¬c( )#
$
%
&
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Es
necesario
que,
Juan
recupere
la
información
y
la
computadora
no
encienda,
para
que
el
disco
duro
no
sea
formateado.
Rúbrica:
Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
al
lenguaje
simbólico
con
la
negación,
la
conjunción
y
la
condicional.
5
puntos
a) Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
recíproca.
5
puntos
b) Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
inversa.
5
puntos
c) Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
contrarrecíproca.
5
puntos

19. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
5
Tema
3
(20
puntos)
Dado
el
razonamiento
H1
∧ H2( )→C ,
donde:
H1
:
Si
se
concluye
con
éxito
la
construcción
del
nuevo
parque
en
el
Barrio
del
Centenario,
se
cooperará
para
el
embellecimiento
de
la
urbe.
H2
:
Se
cooperará
para
el
embellecimiento
de
la
urbe
y
se
incrementará
la
capacitación
de
más
turistas.
a) Determine
una
conclusión
diferente
a
las
hipótesis
para
que
el
razonamiento
sea
válido.
b) Determine
una
conclusión
para
que
el
razonamiento
no
sea
válido.
Solución:
Se
identifican
las
proposiciones
simples:
𝑎: Se
concluye
con
éxito
la
construcción
del
nuevo
parque
en
el
Barrio
del
Centenario.
𝑏: Se
cooperará
para
el
embellecimiento
de
la
urbe.
𝑐:
Se
incrementará
la
capacitación
de
más
turistas.
Se
plantean
las
hipótesis
que
están
presentes:
H1
: a → b
H2
: b∧c
Por
lo
que
la
estructura
lógica
del
razonamiento
será:
H1
∧H2
"
#
$
%→Conclusión
a → b( )∧ b∧c( )!
"
#
$→Conclusión
A
partir
de
esta
proposición
compuesta
se
obtiene
la
siguiente
forma
proposicional:
p → q( )∧ q∧r( )!
"
#
$→Conclusión
a) Se
buscará
una
expresión
lógica
de
la
forma:
1→1 .
Es
decir,
se
supondrá
que
el
antecedente
sería
reemplazado
por
una
proposición
verdadera
y
el
consecuente
también
sería
reemplazado
por
una
proposición
verdadera,
escenario
bajo
el
cual
la
forma
proposicional
sería
tautológica.
p → q( )∧ q∧r( )!
"
#
$→Conclusión
p ≡1 q ≡1 r ≡1
Una
conclusión
para
que
la
forma
proposicional
sea
tautológica
puede
ser:
C : q
Es
decir,
“Se
cooperará
para
el
embellecimiento
de
la
urbe”.
Lo
forma
proposicional
se
puede
leer
así:
“Si
cada
vez
que
se
tiene
p,
se
tiene
q.
Y
tenemos
q
y
r.
Seguro
que
se
tiene
q”.
b) Se
buscará
una
expresión
lógica
de
la
forma:
1→ 0 .
Es
decir,
se
supondrá
que
el
consecuente
sería
reemplazado
por
una
proposición
falsa
y
el
antecedente
sería
reemplazado
por
una
proposición
verdadera,
escenario
bajo
el
cual
la
forma
proposicional
no
sería
tautológica.

20. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
5
p → q( )∧ q∧r( )!
"
#
$→Conclusión
p ≡1
q ≡1
r ≡1
Una
conclusión
para
que
la
forma
proposicional
no
sea
tautológica
puede
ser:
C :¬r
Al
asociar
proposiciones
verdaderas
a
las
variables
proposicionales
p,
q
y
r ,
se
puede
notar
que
se
tiene
una
forma
proposicional
no
tautológica.
Por
lo
tanto,
el
razonamiento
NO
ES
VÁLIDO.
Rúbrica:
Identifica
las
proposiciones
simples
y
los
operadores
lógicos
presentes.
Traduce
correctamente
al
lenguaje
formal
la
proposición
compuesta.
Plantea
las
hipótesis
de
la
forma
proposicional.
4
puntos
4
puntos
Determina
correctamente
una
conclusión
para
que
el
razonamiento
sea
válido.
6
puntos
Determina
correctamente
una
conclusión
para
que
el
razonamiento
no
sea
válido.
6
puntos
Tema
4
(20
puntos)
Dada
la
proposición
compuesta:
“Si
Homero
come
donas,
Gokú
tiene
super
poderes
y
Doraemon
no
odia
a
Nobita”.
Usando
las
propiedades
de
los
operadores
lógicos,
determine
si
cada
proposición
planteada
es
equivalente:
a) Gokú
no
tiene
super
poderes
o
Doraemon
odia
a
Nobita,
sólo
si
Homero
no
come
donas.
b) Doraemon
odia
a
Nobita
ya
que
no
es
cierto
que:
Homero
come
donas
y
Gokú
no
tiene
super
poderes.
c) Si
Homero
come
donas,
Gokú
tiene
super
poderes.
Pero
cuando
Homero
come
donas,
Doraemon
no
odia
a
Nobita.
d) O
Homero
come
donas
o
Doraemon
no
odia
a
Nobita,
pero
Gokú
tiene
super
poderes.
Solución:
Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
a :
Homero
come
donas.
b:
Gokú
tiene
super
poderes.
c :
Doraemon
odia
a
Nobita.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
es:
a → b∧¬c( )
a) La
proposición
se
traduce
como:
¬b∨c( )→¬a#
$
%
& ≡ ¬ b∧¬c( )→¬a$
%
&
'
Puesto
que
se
trata
de
la
contrarrecíproca
de
la
proposición
original,
sí
es
equivalente.
b) La
proposición
se
traduce
como:
¬ a∧¬b( )→ c
Se
puede
observar
que
se
trata
de
una
nueva
proposición
que
no
es
equivalente.

21. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
5
de
5
c) La
proposición
se
traduce
como:
a → b( )∧ a →¬c( )#
$
%
& ≡ a → b∧¬c( )$
%
&
'
Se
puede
observar
que
se
trata
de
una
nueva
proposición
que
sí
es
equivalente.
d) La
proposición
se
traduce
como:
a ∨¬c( )∧b
Se
puede
observar
que
se
trata
de
una
nueva
proposición
que
no
es
equivalente.
Rúbrica:
a) Traduce
al
lenguaje
simbólico
y
justifica
que
sí
es
una
proposición
equivalente.
5
puntos
b) Traduce
al
lenguaje
simbólico
y
justifica
que
no
es
una
proposición
equivalente.
5
puntos
c) Traduce
al
lenguaje
simbólico
y
justifica
que
sí
es
una
proposición
equivalente.
5
puntos
d) Traduce
al
lenguaje
simbólico
y
justifica
que
no
es
una
proposición
equivalente.
5
puntos
Tema
5
(20
puntos)
Dada
la
forma
proposicional:
p → q( )∧ p → r( )#
$
%
&→ p → q∧r( )#
$
%
&
Con
el
método
de
DEMOSTRACIÓN
DIRECTA,
de
ser
posible,
concluya
si
la
forma
proposicional
dada
es
tautológica.
Solución:
p → q( )∧ p → r( )#
$
%
&→
Hipótesis
de
la
forma
proposicional.
¬p∨q( )∧ ¬p∨r( )#
$
%
&→
Ley
de
Implicación
(2
veces).
¬p∨ q∧r( )#
$
%
&→
Ley
Distributiva
de
la
Disyunción
sobre
la
Conjunción.
p → q∧r( )#
$
%
&→
Ley
de
Implicación.
p → q∧r( )#
$
%
&→ p → q∧r( )#
$
%
&
Tautología
trivial.
Se
puede
notar
que
la
conclusión
se
puede
inferir
lógicamente
a
partir
de
la
hipótesis.
Por
lo
tanto,
la
forma
proposicional
p → q( )∧ p → r( )#
$
%
&→ p → q∧r( )#
$
%
&
es
tautológica.
Rúbrica:
Realiza
un
procedimiento
adecuado
y
justifica
cada
paso
de
su
demostración.
20
puntos

22. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
1
de
5
ESCUELA
SUPERIOR
POLITÉCNICA
DEL
LITORAL
FACULTAD
DE
CIENCIAS
NATURALES
Y
MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO
DE
MATEMÁTICAS
CURSO
DE
NIVELACIÓN
2015
–
1S
TALLER
1
–
(11H00)
Guayaquil,
04
de
mayo
de
2015
S
O
L
U
C
I
Ó
N
Y
R
Ú
B
R
I
C
A
Tema
1
(20
puntos)
Escriba
la
traducción
al
lenguaje
formal
de
la
siguiente
proposición
compuesta:
“Si
te
digo
que
gana
Barcelona,
no
me
lo
crees.
Pero,
siempre
que
te
digo
que
pierde
Emelec,
te
echas
a
llorar.
En
fin:
o
gana
Barcelona
o
no
gana,
solo
si
tú
no
te
echas
a
llorar
ni
tampoco
me
crees”.
Solución:
Las
proposiciones
simples
que
se
identifican,
son:
a :
Te
digo
que
gana
Barcelona.
b:
Me
lo
crees.
c :
Te
digo
que
pierde
Emelec.
d :
Te
echas
a
llorar.
En
base
a
las
palabras
claves
y
los
signos
de
puntuación:
“Si
te
digo
que
gana
Barcelona,
no
me
lo
crees.
Pero,
siempre
que
te
digo
que
pierde
Emelec,
te
echas
a
llorar.
En
fin:
o
gana
Barcelona
o
no
gana,
solo
si
tú
no
te
echas
a
llorar
ni
tampoco
me
crees”.
Se
concluye
que
la
traducción
al
lenguaje
simbólico
sería:
a →¬b( )∧ c → d( )#
$
%
&→ a ∨¬a( )→ ¬d ∧¬b( )#
$
%
&
Rúbrica:
Identifica
correctamente
las
proposiciones
simples.
8
puntos
Traduce
correctamente
al
lenguaje
simbólico
con
la
negación,
la
disyunción
inclusiva,
la
condicional,
la
disyunción
exclusiva
y
la
conjunción.
12
puntos
Tema
2
(20
puntos)
Considere
la
proposición
compuesta
“Si
el
reptil
es
un
Pterodactylus,
es
volador
y
no
es
un
dinosaurio”,
la
cual
es
VERDADERA.
a) Traduzca
al
lenguaje
formal
la
proposición
dada.
b) Determine
la
condición
necesaria
y
la
condición
suficiente
de
la
proposición
dada.
c) Escriba
una
posible
traducción
al
lenguaje
español
de:
i) la
recíproca
de
esta
proposición.
ii) la
inversa
de
esta
proposición.
iii) la
contrarrecíproca
esta
proposición.

23. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
2
de
5
Solución:
a) Se
identifican
las
proposiciones
simples:
a :
El
reptil
es
un
Pterodactylus.
b:
El
reptil
es
volador.
c :
El
reptil
es
un
dinosaurio.
La
traducción
al
lenguaje
simbólico
es:
a → b∧¬c( )
b) Condición
necesaria:
El
reptil
es
volador
y
no
es
un
dinosaurio.
Condición
suficiente:
El
reptil
es
un
Pterodactylus.
c) i)
La
recíproca
en
forma
simbólica
es:
b∧¬c( )→ a
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Si
el
reptil
es
volador
y
no
es
un
dinosaurio,
es
un
Pterodactylus.
ii)
La
inversa
en
forma
simbólica
es:
¬a →¬ b∧¬c( )#
$
%
&≡ ¬a → ¬b∨c( )#
$
%
&
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Si
el
reptil
no
es
un
Pterodactylus,
no
es
volador
o
es
un
dinosaurio.
iii)
La
contrarrecíproca
en
forma
simbólica
es:
¬ b∧¬c( )→¬a#
$
%
&≡ ¬b∨c( )→¬a#
$
%
&
Una
posible
traducción
al
lenguaje
español
sería:
Si
el
reptil
no
es
volador
o
es
un
dinosaurio,
no
es
un
Pterodactylus.
Rúbrica:
a) Identifica
las
proposiciones
simples
y
traduce
correctamente
al
lenguaje
simbólico
con
la
negación,
la
conjunción
y
la
condicional.
4
puntos
b) Especifica
correctamente
la
condición
necesaria.
Especifica
correctamente
la
condición
suficiente.
2
puntos
2
puntos
c) i)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
recíproca.
4
puntos
ii)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
inversa.
4
puntos
iii)
Escribe
correctamente
en
español
una
forma
de
contrarrecíproca.
4
puntos
Tema
3
(20
puntos)
Proporcionando
un
contraejemplo
en
cada
caso,
demuestre
de
ser
posible
que
las
siguientes
proposiciones
son
FALSAS:
a) En
todos
los
meses
del
año
no
se
celebran
fechas
cívicas.
b) La
forma
proposicional
es
una
contradicción
cuando
las
variables
proposicionales
que
la
conforman
son
reemplazadas
por
proposiciones
falsas.
Solución:
a) Un
posible
contraejemplo
puede
ser
mayo,
ya
que
se
celebra
la
Batalla
del
Pichincha
el
24
de
mayo.
Otro
posible
contraejemplo
puede
ser
agosto,
ya
que
se
celebra
el
Primer
Grito
de
Independencia
el
10
de
agosto.

24. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
3
de
5
b) Observe
la
siguiente
forma
proposicional:
p → q( )∧ p∧¬q( )
La
forma
proposicional
es
una
contradicción,
lo
cual
se
puede
verificar
si
las
variables
proposicionales
son
reemplazadas
por
cualquier
combinación
de
proposiciones
verdaderas
o
falsas.
Rúbrica:
a) Especifica
correctamente
un
posible
contraejemplo.
10
puntos
b) Especifica
correctamente
un
posible
contraejemplo.
10
puntos
Tema
4
(20
puntos)
Dadas
las
hipótesis:
𝑯 𝟏:
Si
estudio,
aprendo.
𝑯 𝟐:
Si
aprendo,
seré
buen
estudiante
en
ESPOL.
𝑯 𝟑:
No
termino
la
carrera
de
ingeniero,
siempre
que
no
sea
buen
estudiante
en
ESPOL.
Determine
la
validez
del
razonamiento
para
cada
conclusión
propuesta:
a) Estudio.
b) No
estudio.
c) Termino
la
carrera
de
ingeniero.
d) No
aprendo
y
estudio.
Solución:
Se
identifican
las
proposiciones
simples:
𝑎: Estudio.
𝑏: Aprendo.
𝑐:
Seré
buen
estudiante
en
ESPOL.
𝑑:
Termino
la
carrera
de
ingeniero.
Se
plantean
las
hipótesis
que
están
presentes:
H1
: a → b
H2
: b → c
H3
: ¬c →¬d
Por
lo
que
la
estructura
lógica
del
razonamiento
será:
H1
∧H2
∧H3
"
#
$
%→Conclusión
a → b( )∧ b → c( )∧ ¬c →¬d( )!
"
#
$→Conclusión
A
partir
de
esta
proposición
compuesta
se
obtiene
la
siguiente
forma
proposicional:
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→Conclusión
Ahora
se
analizará
el
tipo
de
forma
proposicional,
según
cada
conclusión
planteada.
a) La
forma
proposicional
sería:
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→ p
Se
busca
una
expresión
lógica
de
la
forma:
1→ 0 .
Es
decir,
se
supondrá
que
el
consecuente
sería
reemplazado
por
una
proposición
falsa
y
el
antecedente
sería
reemplazado
por
una
proposición
verdadera,
escenario
bajo
el
cual
la
forma
proposicional
no
sería
tautológica.

25. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
4
de
5
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→ p
p ≡ 0
q ≡1
r ≡1
s ≡1
Al
asociar
una
proposición
falsa
a
la
variable
proposicional
p ,
y
asociar
proposiciones
verdaderas
a
las
variables
proposicionales
q ,
r
y
s ,
se
puede
notar
que
se
tiene
una
forma
proposicional
no
tautológica.
Por
lo
tanto,
el
razonamiento
NO
ES
VÁLIDO.
b) La
forma
proposicional
sería:
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→¬p
Se
hace
un
análisis
similar
al
del
literal
anterior.
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→¬p
p ≡1
q ≡1
r ≡1
s ≡1
Al
asociar
proposiciones
verdaderas
a
las
variables
proposicionales
p ,
q ,
r
y
s ,
se
puede
notar
que
se
tiene
una
forma
proposicional
no
tautológica.
Por
lo
tanto,
el
razonamiento
NO
ES
VÁLIDO.
c) La
forma
proposicional
sería:
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→ s
s ≡ 0
p ≡1
q ≡1
r ≡1
Al
asociar
proposiciones
verdaderas
a
las
variables
proposicionales
p,
q
y
r ,
y
asociar
una
proposición
falsa
a
la
variable
proposicional
s ,
se
puede
notar
que
se
tiene
una
forma
proposicional
no
tautológica.
Por
lo
tanto,
el
razonamiento
NO
ES
VÁLIDO.
d) La
forma
proposicional
sería:
p → q( )∧ q → r( )∧ ¬r →¬s( )#
$
%
&→ ¬q∧ p( )
q ≡ 0
p ≡ 0
r ≡1
s ≡1

26. Elaborado
por
@gbaqueri
Página
5
de
5
Al
asociar
proposiciones
falsas
a
las
variables
proposicionales
p
y
q ,
y
proposiciones
verdaderas
a
la
variables
proposicionales
r
y
s ,
se
puede
notar
que
se
tiene
una
forma
proposicional
no
tautológica.
Por
lo
tanto,
el
razonamiento
NO
ES
VÁLIDO.
Rúbrica:
Identifica
las
proposiciones
simples
y
los
operadores
lógicos
presentes.
Traduce
correctamente
al
lenguaje
formal
la
proposición
compuesta.
Plantea
las
hipótesis
de
la
forma
proposicional.
2
puntos
2
puntos
a) Aplica
correctamente
un
método
para
verificar
la
validez
del
razonamiento.
b) Aplica
correctamente
un
método
para
verificar
la
validez
del
razonamiento.
c) Aplica
correctamente
un
método
para
verificar
la
validez
del
razonamiento.
d) Aplica
correctamente
un
método
para
verificar
la
validez
del
razonamiento.
4
puntos
4
puntos
4
puntos
4
puntos
Tema
5
(20
puntos)
Dada
la
forma
proposicional:
¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#
$
%
&→¬ p∧q( )
Con
el
método
de
DEMOSTRACIÓN
DIRECTA,
de
ser
posible,
concluya
si
la
forma
proposicional
dada
es
tautológica.
Solución:
¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#
$
%
&→
Hipótesis
de
la
forma
proposicional.
¬ ¬ p∨q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#
$
%
&→
Ley
de
De
Morgan
sobre
la
Disyunción.
p∨q( )∧¬ p∧ q∨¬p( )( )#
$
%
&→
Ley
de
De
Morgan
sobre
la
Disyunción
y
Ley
Involutiva.
p∨q( )∧¬ p∧q( )∨ p∧¬p( )( )#
$
%
&→
Ley
Distributiva
de
la
Conjunción
sobre
la
Disyunción.
p∨q( )∧¬ p∧q( )∨0( )#
$
%
&→
Ley
de
la
Contradicción.
p∨q( )∧¬ p∧q( )#
$
%
&→
Ley
de
Identidad
de
la
Disyunción.
p∨q( )∧¬ p∧q( )#
$
%
&→ ¬ p∧q( )
Ley
de
Simplificación.
Se
puede
notar
que
la
conclusión
se
puede
inferir
lógicamente
de
la
hipótesis.
Por
lo
tanto,
la
forma
proposicional
¬ ¬p∧¬q( )∨ p∧ q∨¬p( )( )#
$
%
&→¬ p∧q( )
es
tautológica.
Rúbrica:
Realiza
un
procedimiento
adecuado
y
justifica
cada
paso
de
su
demostración.
20
puntos