MANUAL CONTROL DE INVENTARIOS.pdf

N ITEM CONTENIDO
01 SEGMENTACIÓN DE ARTÍCULOS ALMACENADOS
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.2
1. 2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
INVENTARIOS
DEFINICIÓN,
CLASIFICACIÓN DE MODELOS: DETERMINÍSTICOS,
PROBABILÍSTICOS.
SUB-CLASIFICACIÓN: TIPO DE PRODUCTO, CANTIDAD DE
PRODUCTOS, TIEMPOS DE ENTREGA, TIPO DE REVISIÓN, TIPO DE
REPOSICIÓN, HORIZONTE DE PLANEACIÓN, OTROS.
COMPONENTES: COSTOS, DEMANDA Y TIEMPO DE ESPERA
SISTEMA DE CLASIFICACIÓN ABC
HISTORIA, DEFINICIÓN, APLICACIÓN
SISTEMAS COMUNES DE CLASIFICACIÓN: POR PRECIO UNITARIO
POR VALOR TOTAL
POR SU APORTE EN LAS UTILIDADES POR SU ROTACIÓN
CRITERIOS PARA LA SEGMENTACIÓN
GRÁFICOS
CASUÍSTICA
02 ACTUALIZACIÓN Y MANEJO DE KARDEX SIMPLE Y VALORIZADO
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7
VALORIZACIÓN DE INVENTARIOS
KARDEX: DEFINICIÓN, IMPORTANCIA,
OPERACIONES (INGRESO, SALIDAS, DEVOLUCIONES, CANJES,
BAJA, OTROS).
VALUACIÓN DE INVENTARIOS: DEFINICIÓN, IMPORTANCIA
MÉTODOS EMPLEADOS: PEPS, UEPS, PROMEDIO MÓVIL
ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS PAGO DE IMPUESTOS
(SUNAT)
ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS POR LOS PROVEEDORES VMI:
DEFINICIÓN, APLICACIONES, PASOS PARA SU IMPLEMENTACIÓN,
VENTAJAS Y LIMITACIONES
CASUÍSTICA
03 DETERMINACIÓN DEL LOTE ECONÓMICO DE COMPRA LEC SIMPLE Y CON
DESCUENTO

3.1
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4
3.2.5
LOTE ECONÓMICO DE COMPRA
LOTE ECONÓMICO DE COMPRA LEC : DEFINICIÓN,
IMPORTANCIA
VARIABLES: TAMAÑO DEL LOTE Q, NÚMERO DE PEDIDOS AL AÑO
NPA, FRECUENCIA DE PEDIDOS T, PUNTO DE PEDIDO PP
CLASIFICACIÓN: SIMPLE , CON DESCUENTO
COSTOS DE INVENTARIOS
COSTO DE ORDENAR CO (PREPARACIÓN DE PEDIDO)
COSTO DE POSESIÓN DE INVENTARIO CPI (MANTENIMIENTO)
COSTO DE OPORTUNIDAD
COSTO DE RUPTURA DE INVENTARIOS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA: DIENTE DE SIERRA
SISTEMA DE INVENTARIOS : MODELOS DETERMINÍSTICOS
MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
MODELO DE COMPRA CON DÉFICIT
MODELO DE COMPRA SIN DÉFICIT
CASUÍSTICA
04 LOTES DE COMPRA CON DEMANDA INCIERTA
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
4.1.4
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
4.2.4
SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN CONTINUA
DEMANDA VARIABLE Y DEMORA DEL PROVEEDOR CONSTANTE
DEMANDA CONSTANTE Y DEMORA DEL PROVEEDOR VARIABLE
DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR VARIABLE
CASUÍSTICA
SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN PERIÓDICA
DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR VARIABLE
CASUÍSTICA

CONTROL DE INVENTARIOS
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
1
N OPERACIONES HERRAMIENTAS / INSTRUMENTOS
1 Inventariar las existencias en el almacén
2
Utilizar la clasificación ABC para segmentar los
inventarios según la importancia asignada
3
4
5
6
7
DENOMOINACIÓN TAREA 1
SEGMENTACIÓN DE ARTÍCULOS
ALMACENADOS
HT-01
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS Tiempo :

2
Orígenes del
material
Transporte
de Entrada
Producción Transporte
de Salida
Almacenamient
o de prod.
terminados
Clientes
Costos
Demanda
Tiempo
de Espera
1. SEGMENTACIÓN DE ARTÍCULOS ALMACENADOS
1.1.INVENTARIOS
1.1.1.DEFINICIÓN DE INVENTARIOS
Según BALLOU, RONALD (2004). Administración de la Cadena de Suministro,
los inventarios se definen como:
Se puede ver en el gráfico 1, como en distintos puntos sea fijos o en traslado
existen inventarios.
GRÁFICO 1. UBICACIÓN DE INVENTARIOS EN CADA NIVEL DE LA CADENA DE
SUMINISTRO
DEFINICIÓN DE SISTEMA DE INVENTARIOS:
Es el conjunto de políticas y controles que regulan los niveles de inventario y
determinan que niveles debemos mantener, cuando debemos reabastecer
existencias y cuál debe ser el volumen de los pedidos.
1.1.2. COMPONENTES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS:
Los componentes de los modelos de inventarios se muestran en el gráfico N° 2
GRÁFICO 2. COMPONENTES DE LOS MODELOS DE INVENTARIO
“Acumulaciones de materias primas, provisiones, componentes, trabajo en
proceso y productos terminados que aparecen en numerosos puntos a lo largo
del canal de producción y de logística de una empresa”

3
Por adquisición
•Costos administrativos y de personal para preparar la orden de compra
o producción
•Incluye el como contar y como calcular
•Sistemas para rastrear órdenes, papelería, transporte (si no se incluye
en el precio del producto)
Por mantener
inventario
•Incluye costos de instalaciones de almacenaje, el manejo el seguro, el
hurto, los daños, la obsolescencia, la depreación, los impuestos y el
costo de oportunidad del capital
•15% aprox.
Por falta de
existencias
•Costo por pérdidas de ventas. Ej. el cliente quiere comprar un 02 pares
de zapatos pero no hay en stock.
•Costos por pedidos pendientes de atender. Ej. Costo de personal
asociado al seguimiento
Por preparación
o cambio de
producción
•el costo que involucra preparar materiales, equipo, llenar documentos
para un lote específico que se puede afectar si cambia la producción de
un producto a otro.
Dónde:
COSTOS:
Los costos de mantener un sistema de inventarios se pueden observar en el
gráfico N° 3
GRÁFICO 3. COSTOS DE MANTENER UN SISTEMA DE INVENTARIOS
DEMANDA:
Representa el número de unidades que se
proyecta vender en un período futuro. Ej. La
cantidad de polos que se espera vender en la
temporada de verano (enero a marzo)
TIEMPO DE ESPERA:
Es el tiempo que transcurre entre el momento en
que se coloca una orden de compra o producción
y el momento en que se inicia la producción o se
recibe la compra.
Ej. Desde que se coloca una orden de compra de
pedido de autopartes de moto hasta su llegada
producto de importación hay 30 días.

4
•Asume que la demanda y el tiempo de entrega son conocidos y
fijos, producción también es fija y conocida después de que se fijo el
pedido.
•Ej. Planificación de una línea de producción (se cuantificada
las materias primas, mano de obra, tiempos de producción y
productos finales asociados a cada proceso.
1.1.3.1. MODELOS DETERMINÍSTICOS
•Asume que la demanda y el tiempo de entrega no son conocidos
ni fijos, sin embargo sabe si sus variables tiene comportamientos
similares a alguna distribución de probabilidad
•Ej. Distribución en almacenque sirve para especificar el valor de la
demanda o de otra variable desconocida. Este es precisamente el
aporte de la estadística
1.1.3.2. MODELO PROBABILISTICO
GRÁFICO 4. TIEMPO DE ESPERA
1.1.3.CLASIFICACIÓN DE MODELOS:
El principal problema del inventario tiene que ver con guardar en reserva un
artículo para satisfacer las fluctuaciones de la demanda; de esa realidad se
desprenden dos situaciones:
 El exceso de existencias aumenta el costo del capital y de almacenamiento
 La escasez de existencias interrumpe la producción y/o las ventas
Estas dos situaciones generan un concepto llamado modelos de inventarios
que tienen como objetivo buscar un nivel inventario adecuado minimizando los
costos involucrados.
Los modelos para controlar inventarios están relacionados con la naturaleza de
la demanda, estos se muestran en el gráfico 5.
GRÁFICO 5. MODELOS DE INVENTARIO
ELABORACIÓN: SENATI
Colocación de orden
compra y producción
Recepción de
compra/inicio de la
producción

5
1.1.4.SUB-CLASIFICACIÓN:
Cualquier artículo se puede clasificar dentro de uno de los dos modelos
mostrados anteriormente, sin embargo, también se puede subclasificar en un
modelo dependiendo de otras condiciones como:
TIPO DE PRODUCTO
Pueden ser productos perecederos, sustitutos o durables en el tiempo.
Ej. Vegetales, filtros alternativos, productos metálicos
CANTIDAD DE PRODUCTOS:
Modelos para un solo producto o para varios productos (multiproductos)
TIEMPOS DE ENTREGA (TIEMPOS DE ANTICIPACIÓN):
Pueden ser al igual que la demanda determinísticos o probabilísticos
TIPO DE REVISIÓN:
Pueden ser de revisión continua o revisión periódica
TIPO DE REPOSICIÓN:
Puede ser de reposición instantánea cuando el producto es comprado y
reposición continúa cuando el artículo es producido en una planta
manufacturera
HORIZONTE DE PLANEACIÓN:
Cuando el horizonte de planeación del artículo incluye un periodo o
varios.
Ej. El vendedor de periódicos debe decidir cuantos periódicos comprar “solo
el día de hoy” es un horizonte de planeación único.
En el caso de autopartes de vehículos el inventario se repondrá varias veces
en el tiempo.
1.2.SISTEMA DE CLASIFICACIÓN ABC
En un inventario se realizan diferentes operaciones desde el conteo, colocación de
pedidos, recepción de existencias, etc. En resumen, requiere que el personal le
dedique un tiempo y adicionalmente cuesta dinero, por ello el sistema de clasificación
ABC tiene como misión aplicar un tratamiento selectivo a los inventarios de forma que
los costos incurridos se optimicen en alguna medida y el manejo se concentre en los
artículos más importantes del inventario.
1.2.1.HISTORIA, DEFINICIÓN Y APLICACIÓN

6
•Volumen elevado de inversión
•Alto nivel de utilización
•Necesita un 100% del control
de existencias
A
•Volumen moderado de
inversión
•Nivel de utilización moderado
•Requiere menor grado de
control
B
•Productos de muy bajo costo
•Baja inversión, importancia y
utilización
•Requiere poca supervisión
sobre el nivel de existencia
C
HISTORIA
Según Chase- Aquilano (2004), en el siglo XIX
Villefredo Pareto en un estudio sobre la
distribución de la riqueza en Milán encontró que
el 20% de personas controlaban el 80% de
riquezas, esta lógica resumida en el 80/20 ha
sido ampliada y resumida al Principio de Pareto,
y sin duda este principio también se aplica a los
sistemas de inventarios (donde unos cuantos artículos representan el grueso de
nuestra inversión)
DEFINICIÓN:
Es un sistema de clasificación de inventarios ABC divide los artículos del
inventario, generalmente en tres grupos (A, B y C), para poder darle un
tratamiento diferenciado y la gestión se concentre en los artículos más
importantes del inventario, ya que no todos los artículos deberían recibir el mismo
tratamiento logístico; en el grafico 6 se muestra la clasificación.
GRÁFICO 6. CLASIFICACIÓN ABC
BENEFICIOS:
 Mejorar la asignación de recursos
 Conocer el valor real de los activos (productos almacenados)
 Identificar el momento indicado para reabastecer la mercancía
APLICACIÓN

7
El sistema de clasificación ABC se aplica a toda gestión de inventarios en
diferentes rubros y con diversos criterios (ventas, rotación, valor, margen de
utilidad, etc.), para su aplicación en la práctica podemos considerar lo siguiente:
 Se debe actualizar periódicamente
 Se puede utilizar múltiples criterios de organización, como: fecha de
caducidad, tiempo de reposición de mercancía, rotación del artículo.
 Puede haber otras categorías adicionales considerando otros criterios de
categorización. Ej. Algunas empresas toman en cuenta el criterio de ventas,
cuando hay productos nuevos de introducción, ingresan con categoría N.
EJEMPLO:
Medical Products en Perú tiene la lista de productos mostrada en la tabla
1, los productos que han introducido al mercado en el último año son los
siguientes:
CÓDIGO PRODUCTO
DEMANDA
ANUAL
VALOR
ARTÍCULO
1 SONDAS 40 S/3,750.0
2 FRASCOS 200 S/40.0
3 VACUFLO 220 S/4,315.0
4 INTRASET 235 S/17.5
5 IV-SET 260 S/950.0
6 REGUFLO 365 S/40.5
7 CATHASPEC 405 S/5.2
8 JUGULAR 538 S/138.5
9 SUBCLAVIA 675 S/1,200.0
10 INTRAVAL 812 S/158.0
Tabla 1. Lista de productos vendidos por Medical Products
A efectos de optimizar sus costos en el manejo de inventario, requiere
clasificar sus productos para poder gestionar mejor su inventario.
 Paso 1: Para hacer la clasificación ABC se procede a multiplicar la
demanda (A) por el valor del artículo (B), los resultados en la tabla 2

8
CÓDIGO PRODUCTO
DEMANDA
ANUAL (A)
VALOR
ARTÍCULO
(B)
VALOR DE LA
DEMANDA (A*B =
C)
1 SONDAS 40 S/3,750.0 S/150,000.0
2 FRASCOS 200 S/40.0 S/8,000.0
3 VACUFLO 220 S/4,315.0 S/949,300.0
4 INTRASET 235 S/17.5 S/4,112.5
5 IV-SET 260 S/950.0 S/247,000.0
6 REGUFLO 365 S/40.5 S/14,782.5
7 CATHASPEC 405 S/5.2 S/2,106.0
8 JUGULAR 538 S/138.5 S/74,513.0
9 SUBCLAVIA 675 S/1,200.0 S/810,000.0
10 INTRAVAL 812 S/158.0 S/128,296.0
TOTAL S/2,388,110.0
Tabla 2. Valor de la demanda de Medical Productos
 Paso 2: Luego calcular el % del valor de la demanda de cada producto
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR DE LA
DEMANDA
(A*B)
% VALOR
TOTAL
1 SONDAS S/150,000.0 6.3%
2 FRASCOS S/8,000.0 0.3%
3 VACUFLO S/949,300.0 39.8%
4 INTRASET S/4,112.5 0.2%
5 IV-SET S/247,000.0 10.3%
6 REGUFLO S/14,782.5 0.6%
7 CATHASPEC S/2,106.0 0.1%
8 JUGULAR S/74,513.0 3.1%
9 SUBCLAVIA S/810,000.0 33.9%
10 INTRAVAL S/128,296.0 5.4%
TOTAL S/2,388,110.0
Tabla 3. % del Valor total de la demanda de Medical Productos
 Paso 3: Luego organizarlo en forma descendente.

9
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR DE LA
DEMANDA
(A*B)
% VALOR
TOTAL
3 VACUFLO S/949,300.0 39.8%
9 SUBCLAVIA S/810,000.0 33.9%
5 IV-SET S/247,000.0 10.3%
1 SONDAS S/150,000.0 6.3%
10 INTRAVAL S/128,296.0 5.4%
8 JUGULAR S/74,513.0 3.1%
6 REGUFLO S/14,782.5 0.6%
2 FRASCOS S/8,000.0 0.3%
4 INTRASET S/4,112.5 0.2%
7 CATHASPEC S/2,106.0 0.1%
TOTAL S/2,388,110.0
Tabla 4. % ordenados de forma descendente
 Paso 4: Luego calcular los porcentajes acumulados % y clasificar por
categorías A, B o C, como se muestra en la tabla 5.
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR DE LA
DEMANDA
(A*B)
%
VALOR
TOTAL
%
ACUMULADO
CLASIFICACION
ABC
3 VACUFLO S/949,300.0 39.8% 39.8% A
9 SUBCLAVIA S/810,000.0 33.9% 73.7% A
5 IV-SET S/247,000.0 10.3% 84.0% B
1 SONDAS S/150,000.0 6.3% 90.3% B
10 INTRAVAL S/128,296.0 5.4% 95.7% B
8 JUGULAR S/74,513.0 3.1% 98.8% C
6 REGUFLO S/14,782.5 0.6% 99.4% C
2 FRASCOS S/8,000.0 0.3% 99.7% C
4 INTRASET S/4,112.5 0.2% 99.9% C
7 CATHASPEC S/2,106.0 0.1% 100.0% C
TOTAL S/2,388,110.0
Tabla 5. % Clasificación ABC de Medical Products
Con esta información para Medical Products Perú es más óptimo gestionar su
inventario de manera diferenciada a los productos de código 3 y 9.

10
Sistemas
Comunes
de
Clasificación
Por precio unitario
Más valor unitario,
más control
Por valor total
Más valor total del
stock mas control
Por aporte en las
utilidades
Mas aporte a utilidad,
mas gestión
Por su rotación
Cuanto más se mueve
un artículo, más
gestión y control
Paso 5: Clasificar como C al resto de artículo
Paso 4: Clasificar como B al 20% de los artículos restantes
Paso 3: Clasificar como A al 15% del total de artículos,
corresponden a los primeros de la lista
Paso 2: Ordenar los artículos de forma descendente en función al
precio
Paso 1: Promediar precios unitarios en un periodo de tiempo
1.2.2.SISTEMAS COMUNES DE CLASIFICACIÓN DE CLASIFICACIÓN ABC1:
En la práctica los sistemas de clasificación ABC pueden tener diversos criterios,
que representan categorías, esto va a depender mucho del tipo de empresa y
tipo de artículos que comercializa, o para que objetivo requiere el análisis. Los
sistemas más comunes se muestran en el gráfico 7.
GRÁFICO 7. SISTEMAS DE CLASIFICACIÓN ABC
POR PRECIO UNITARIO
Conocido también como HML, este método es el más simple de utilizar, pero
es necesario tener cuidado en los criterios, ya que el principal factor es el
precio unitario de los productos.
GRÁFICO 8. PASOS PARA REALIZAR CLASIFICACIÓN POR PRECIO UNITARIO
1
Guerrero Salas Humberto, Inventarios manejo y control

11
Ejemplo: Medical Products Perú.
Tabla 6. % Clasificación ABC de Medical Products por precio unitario
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR
ARTÍCULO
(B)
3 VACUFLO S/4,315.0
1 SONDAS S/3,750.0
9 SUBCLAVIA S/1,200.0
5 IV-SET S/950.0
10 INTRAVAL S/158.0
8 JUGULAR S/138.5
6 REGUFLO S/40.5
2 FRASCOS S/40.0
4 INTRASET S/17.5
7 CATHASPEC S/5.2
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR
PROMEDIO
ARTÍCULO
(B)
1 SONDAS S/3,750.0
2 FRASCOS S/40.0
3 VACUFLO S/4,315.0
4 INTRASET S/17.5
5 IV-SET S/950.0
6 REGUFLO S/40.5
7 CATHASPEC S/5.2
8 JUGULAR S/138.5
9 SUBCLAVIA S/1,200.0
10 INTRAVAL S/158.0
CÓDIGO PRODUCTO % DEL TOTAL
CLASIFICACION ABC
POR PRECIO DE
ARTÍCULO
3 VACUFLO 40.7% A
1 SONDAS 35.3% A
9 SUBCLAVIA 11.3% B
5 IV-SET 8.9% B
10 INTRAVAL 1.5% C
8 JUGULAR 1.3% C
6 REGUFLO 0.4% C
2 FRASCOS 0.4% C
4 INTRASET 0.2% C
7 CATHASPEC 0.0% C
 Paso 1: Se parte del supuesto
de que el valor corresponde al
promedio
 Paso 2: Ordenar en
forma descendente
 Paso 3: El 15% de 10 artículos es = 1.5, redondeo a 2, es decir los códigos
3 y 1 son categoría A
 Paso 4: El 20% de 10 son dos códigos, es decir los códigos 9 y 5 son
categorías B
 Paso 5: Los restantes son categoría C

12
Paso 5: Clasificar como C el resto de productos
Paso 4: Clasificar como B al siguiente grupo que corresponda a
un % determinado por el Analista
Paso 3: Clasificar como A los articulos que represente en el
20% hasta un limite que determine el analista
Paso 2: Ordenar artículos en orden descendente con base en el
valor total invertido
Paso 1: promediar los valores totales invertidos en los
productos de un determinado período
Con la información mostrada se pueden tomar las siguientes acciones:
 A los artículos tipo A se les asigna un 100% de control con revisiones
continuas
 A los artículos tipo B se les asigna un control de revisión periódica
 A los clasificados como C se les determinará un nivel de bajo control
 En esta clasificación revisar y tener cuidado con la revisión uno a uno de los
productos, sobre todo cuando un producto C está relacionado con la
producción de algún código A, en esos casos si es un mandatorio se debe
considerar un A.
POR VALOR TOTAL
Para esta clasificación se toma en cuenta el valor total del inventario, a
diferencia de la clasificación por precio unitario, eso sí requiere que el analista
destinado fije ciertos niveles o % de importancia de cada nivel de clasificación
GRÁFICO 9. PASOS PARA REALIZAR CLASIFICACIÓN ABC POR VALOR
TOTAL DE INVENTARIO

13
EJEMPLO: MEDICAL PRODUCTS PERÚ, ABC POR VALOR TOTAL DE
INVENTARIO
CÓDIGO PRODUCTO
CANTIDAD
EN STOCK
VALOR
ARTÍCULO
(B)
VALOR
TOTAL
PROMEDIO
EN STOCK
1 SONDAS 40 S/3,750.0 S/150,000.0
2 FRASCOS 200 S/40.0 S/8,000.0
3 VACUFLO 220 S/4,315.0 S/949,300.0
4 INTRASET 235 S/17.5 S/4,112.5
5 IV-SET 260 S/950.0 S/247,000.0
6 REGUFLO 365 S/40.5 S/14,782.5
7 CATHASPEC 405 S/5.2 S/2,106.0
8 JUGULAR 538 S/138.5 S/74,513.0
9 SUBCLAVIA 675 S/1,200.0 S/810,000.0
10 INTRAVAL 812 S/158.0 S/128,296.0
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR
TOTAL
PROMEDIO
EN STOCK
% DEL TOTAL
3 VACUFLO S/949,300.0 39.8%
9 SUBCLAVIA S/810,000.0 33.9%
5 IV-SET S/247,000.0 10.3%
1 SONDAS S/150,000.0 6.3%
10 INTRAVAL S/128,296.0 5.4%
8 JUGULAR S/74,513.0 3.1%
6 REGUFLO S/14,782.5 0.6%
2 FRASCOS S/8,000.0 0.3%
4 INTRASET S/4,112.5 0.2%
7 CATHASPEC S/2,106.0 0.1%
TOTAL S/2,388,110.0
 Paso 1: Se parte del supuesto de que el valor total corresponde al
promedio
 Paso 2: Se ordena los artículos en forma descendente
 Paso 3. Según el criterio del analista los códigos 3 y 9 son
categoría A
 Paso 4: Según criterio del analista los códigos, 5, 1, 10 y 8 son
categoría B
 Paso 5: Los restantes son categoría C

14
39.8%
73.7%
84.0%
90.3%
95.7% 98.8% 99.4% 99.7% 99.9% 100.0%
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
120.0%
10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
%
acumulado
del
valor
total
de
stock
% Acumulado de productos
CLASIFICACIÓN ABC VALOR TOTAL PROMEDIO EN
STOCK
Con la información mostrada el Analista establece políticas que son muy
parecidas a la clasificación por valor unitario.
GRÁFICO 10. CLASIFICACIÓN ABC POR VALOR TOTAL PROMEDIO DE
STOCK – MEDICAL PRODUCTS PERÚ
Es importante indicar que, en este método de clasificación, el criterio del
Analista es muy importante y debe conocer bien la variedad de productos del
CÓDIGO PRODUCTO
VALOR
TOTAL
PROMEDIO
EN STOCK
% DEL TOTAL
CLASIFICACION
ABC POR
PRECIO DE
ARTÍCULO
3 VACUFLO S/949,300.0 39.8% A
9 SUBCLAVIA S/810,000.0 33.9% A
5 IV-SET S/247,000.0 10.3% B
1 SONDAS S/150,000.0 6.3% B
10 INTRAVAL S/128,296.0 5.4% B
8 JUGULAR S/74,513.0 3.1% B
6 REGUFLO S/14,782.5 0.6% C
2 FRASCOS S/8,000.0 0.3% C
4 INTRASET S/4,112.5 0.2% C
7 CATHASPEC S/2,106.0 0.1% C
TOTAL S/2,388,110.0
3
9 5
1
10 8 6 2 4 7
A
B
C

15
Paso 5: Clasificar como C el resto de los artículos, deben
corresponder a los de menor valor y menor utilización
Paso 4: Caslificar como artículo B el % siguiente que determine el
analista
Paso 3: Clasificar como artículos tipo A el % determinado por el
analista, estos deben ser los primeros
Paso 2: Ordenar en orden descendente según valor consumido
Paso 1: Obtener el consumo de cada producto para un tiempo
determinado y el costo de cada unidad, con base en estos dos
datos se obtiene el valor consumido.
inventario y la relación que tienen entre sí; para efectos de venta o de
producción.
EJEMPLO: Ciertas partes de máquinas textiles tienen un alto valor, pero tienen
como piezas relacionadas a piezas de menor valor y cantidad en el stock, sin
embargo, a efectos de venderse la pieza principal, para una reparación también
es necesario contar con las piezas menores, por ello a pesar de que por el valor
del inventario las piezas de menor valor sean C se deben considerar como A
tomando en cuenta este criterio.
POR SU APORTE EN LAS UTILIDADES
El método de clasificación es el mismo que en la clasificación por precio
unitario, solo que considera la utilidad que aporta carta artículo
POR SU ROTACIÓN
Se toma en cuenta la utilización histórica o consumo en un determinado
periodo de tiempo, igualmente requiere que el analista determine un grado o
nivel para la clasificación.
GRÁFICO 11. PASOS PARA REALIZAR CLASIFICACIÓN ABC POR
ROTACIÓN DE PRODUCTOS
Un ejemplo de este método de clasificación se encuentra en el punto
2.4.1.

16
1.2.3.CRITERIOS DE SEGMENTACIÓN
Adicionalmente a los criterios mostrados en los sistemas de clasificación, en la
práctica es necesario considerar los siguientes criterios adicionales de
segmentación:
Si la pieza es de menor valor pero es parte del stock necesario para
producción de categoría A, se debe poner a la pieza de menor valor la
categoría A o B
Cuando una pieza de categoría C está relacionada a una pieza A para
efectos de su producción, se considera como A o B
Cuando una pieza C está relacionada a una pieza A para efectos de
venta se considera como A o B
Es posible asignar categorias adicionales por ejemplo si el criterio es
la rotación, para artículos de "0" movimiento.
Cuando un artículo no tiene demanda conocida por ser nuevo, tambien se
le puede asignar una categoría inicial de nuevo.

17
N OPERACIONES HERRAMIENTAS / INSTRUMENTOS
1
Valorizar los Inventarios aplicando el método PEPS,
UEPS, PROMEDIO
2 Calcular el Costo de Venta en el periodo analizado
3
4
5
6
7
ACTUALIZACIÓN Y MANEJO DE KARDEX
SIMPLE Y VALORIZADO
HT-02

18
2. ACTUALIZACIÓN Y MANEJO DE KARDEX SIMPLE Y VALORIZADO
2.1.VALORIZACIÓN DE INVENTARIOS
2.1.1. KARDEX: DEFINICION, IMPORTANCIA
Previo a explicar que es el kardex y su importancia en los inventarios de las
empresas, debemos tener claro que inventario es todo aquel artículo o bien que
adquiere una compañía, negocio u empresa con el fin de venderlo y/o utilizarlo
para lograr su objeto social, su razón de ser (Visto en el capítulo 1)
El tema de los inventarios depende mucho de la empresa y del motivo por el cual
fueron adquiridos, por ejemplo; ¿Qué es un refrigerador? Para saberlo es
necesario saber a qué se dedica la empresa, pues si el refrigerador está en la
sala de comedir de la empresa es una propiedad planta y equipo, mientras que
si está en almacén con el fin de ser vendido es un inventario. Otro ejemplo
podrían ser los repuestos de motos que para una empresa de mantenimiento y
venta de repuestos, pueden ser que los repuestos son productos para la venta a
clientes y también se utilizan para la instalación en las motos que ingresan a
mantenimiento; para efectos de organizar y controlar estas situaciones de
inventarios, surge el Kardex.
DEFINICIÓN:
Es un registro organizado
de la mercancía que se
tiene en el almacén de una
empresa, representando un
instrumento de valoración
para el control del inventario.
Para realizar un inventario
de todo el contenido, la
cantidad, valor de medida y
el precio unitario; se deben
clasificar los productos por
sus características
comunes, de esta manera
se tendrá un control de inventarios adecuado en las empresas, utilizando como
marco referencial la NIC-2 el cual presenta el modelo aplicar por medio de su
coste sea por método de primero en entrar, primero en salir (FIFO) y el coste
promedio más conocido como promedio ponderado.
La principal función del kardex es organizar y controlar la existencia de bienes
y productos dentro de una compañía, negocio o empresa. Está diseñado para
realizar distintos tipos de inventarios como:
 Inventarios de materias primas.

19
 Inventarios de productos en proceso.
 Inventarios de productos terminados
 Inventarios de mercancías no fabricadas por la empresa.
 Inventarios de materiales, repuestos y accesorios
 Inventarios de envases y empaques.
 Inventarios en tránsito.
IMPORTANCIA
 El Kardex sirve para evaluar y controlar los precios de las existencias
de forma ordenada, de cada uno de sus productos, brindando
información de gran ayuda para tener un buen control del inventario.
 Proporcionan información de los inventarios y ayudan al control de los
mismos, lo cual evita que las empresas o negocios atraviesen debacles
económicas por desorganización, descontrol y malversación de fondos.
 Anualmente el kardex rinde cuentas para cerrar el año con registros
utilizados para las leyes de impuestos nacionales.
 Es una herramienta necesaria e indispensable, pues es una compañía
hay un sinfín de actividades y responsabilidades. Tener un control
seguro facilita el trabajo y lo reduce.
GRÁFICO 12. DINÁMICA DE FUNCIONAMIENTO DEL KARDEX
2.1.2.OPERACIONES: (INGRESO, SALIDAS, DEVOLUCIONES, CANJES, BAJA,
OTROS)
KARDEX

20
Las principales operaciones que se dan en el Kardex son las siguientes:
GRÁFICO 13. OPERACIONES DEL KARDEX
Donde:
INGRESOS O ENTRADAS
•Es un movimiento de mercancías que se contabiliza con
la recepción de mercancías de proveedores externos y
podría ser del proceso de fabricación.
•Un ingreso o entrada conduce a un incremento del stock
de almacén.
Operaci
ones del
Kárdex
Ingreso
Salidas
Devoluc
iones
Canjes
o
traspas
os
Traslad
os
Bajas

21
EGRESOS (SALIDAS):
•Es un movimiento de mercancía en el que se contabiliza
una toma de material, una salida de mercancía, un
consumo de materiales o un envío de mercancías para un
cliente.
•Una salida disminuye el stock de almacén
TRASLADO
•Es un movimiento de mercancías en el cual los materiales
se eliminan de un almacén determinado y se colocan en
otro almacén . estos traslados se pueden llevar a cabo
en una misma ubicación geográfica y diferente ubicación
en el sistema
•El stock general permanece igual

22
TRASPASO
• Término que se emplea para los traslados y modifica la
identificación del stock o la cualificación de un material
independientemente de si la contabilización está
enlazada por un movimiento físico.
•Ejemplo: Liberación de stock para control de calidad ,
traspaso de un material x a otro y, el traspaso de
material en consignación a stock propio
DEVOLUCIÓN
•Movimiento de mercancía utilizado cuando se devuelve
algún producto o productos al proveedor
•Tiene efecto en la disminución del stock
•Ejemplo:
•Devolución de materiales dañados a proveedor
BAJA
•Movimiento de mercancía destinado a dar de baja física
y/o contablemente, debido a que se encuentran en mal
estado, son obsoletos, o han desaparecido
•Tiene efecto en la disminución del stock
•Ejemplo:
•Obsolescencia (retiro de mercaderías por encontrarse
en condiciones no aptas para ser vendidas)

23
2.1.3.VALUACIÓN DE INVENTARIOS:
El reconocimiento de los inventarios en los estados financieros está asociado
con el principio contable de paridad entre ingresos y gastos. Las empresas
adquieren inventarios en un periodo contable, pero puede que los venda en
otros, y por esta situación es necesario que ésta reconozca los inventarios en los
estados financieros en el periodo en el cual la operación de venta ocurre,
para que los gastos derivados de la operación puedan ser reconocidos en
conjunto con los ingresos.
Este procedimiento puede parecer muy sencillo, pero es de vital importancia ya
que comparar los desembolsos de la entidad, con los ingresos generados es
necesario para identificar el potencial de la entidad para generar beneficios
económicos futuros, y conocer la rentabilidad de las operaciones en periodos
pasados y en el periodo presente
DEFINICIÓN
La valuación o valorización de
inventarios está definida como
“técnicas aplicadas para valorar las
unidades en almacén en términos
monetarios. Esta valoración es
especialmente útil cuando las
unidades se van adquiriendo a
distintos precios”
IMPORTANCIA
Tienen como objetivo principal valorar el inventario final, debido que con ese
valor se logra determinar el costo de ventas y las utilidades brutas, teniendo
como finalidad analizar el método adecuado para evaluar el inventario, donde
se refleje de manera certera la utilidad más razonable del período
De acuerdo al Art. 62 del Impuesto a la Renta, los contribuyentes, empresas o
sociedades que en razón de la actividad deben practicar inventarios, valuaran
sus existencias por su costo de adquisición o producción adoptado a
cualquiera de los siguientes métodos siempre que se apliquen uniformemente
de ejercicio en ejercicio.
CAPÍTULO IX DEL RÉGIMEN PARA DETERMINAR LA RENTA
Artículo 62°.- Los contribuyentes, empresas o sociedades que, en razón
de la actividad que desarrollen, deban practicar inventario, valuarán sus
existencias por su costo de adquisición o producción adoptando cualquiera
de los siguientes métodos, siempre que se apliquen uniformemente de
ejercicio en ejercicio: a) Primeras entradas, primeras salidas (PEPS). b)
Promedio diario, mensual o anual (PONDERADO O MOVIL). c)
Identificación específica. d) Inventario al detalle o por menor. e) Existencias
básicas. El reglamento podrá establecer, para los contribuyentes, empresas
o sociedades, en función a sus ingresos anuales o por la naturaleza de sus
actividades, obligaciones especiales relativas a la forma en que deben
llevar sus inventarios y contabilizar sus costos.

24
2.1.4.MÉTODOS EMPLEADOS: PEPS, UEPS, PROMEDIO MÓVIL
Existen cuatro fórmulas usadas internacionalmente para la valuación del
inventario en los estados financieros, las cuales producen diferencias
significativas tanto el estado de situación financiera, como en el estado de
resultados. Estos se encuentran clasificados de la siguiente manera:
En la siguiente imagen se puede observar la aplicación del método PEPS:
PEPS / FIFO
PRIMERAS ENTRADAS PRIMERAS SALIDAS
Se venden los artículos de más tiempo en inventario para
disminuir el riesgo de vencimiento se basa en la interpretación
lógica del movimiento de las unidades en el sistema de
inventario, por ende el costo de las últimas compras es el costo
de las existencias, en el mismo orden en que ingresaron al
almacén.

25
La ventaja de aplicar esta técnica consiste en que los inventarios están valorados
con los costos más recientes, dado que los costos más antiguos son los que van
conformando a su medida los primeros costos de ventas o de producción (costos
de salidas). La principal desventaja de aplicar esta técnica radica en que los
costos de producción y ventas bajos que suele mostrar, se incrementa
lógicamente las utilidades, generando así un mayor impuesto.
Vale la pena recordar que el flujo físico "PEPS" es irrelevante en la aplicación de
la técnica, lo realmente en este caso es el flujo "PEPS" de los costos.
En la siguiente imagen se puede observar la aplicación del método UEPS:
UEPS / LIFO ULTIMOS EN ENTRAR , PRIMEROS EN SALIR
Se basa en que los últimos artículos que entraron a formar
parte del inventario, son los primeros en venderse, claro está
en función del costo unitario, es decir que el flujo físico es
irrelevante, aquí lo importante es que el costo unitario de las
últimas entradas sea el que se aplique a las primeras
salidas.

26
En la siguiente imagen se puede observar la aplicación del método:
2.1.5.ESTADO DE GANANCIAS Y PÉRDIDAS
ANTECEDENTES
Dentro de un estado de ganacias y pérdidas, la línea inventarios constituye uno
de los mas importantes para efectos del análisis financiero, por esto la
necesidad de una correcta valuación del importe que deben tener, ya que
anteriormente se tomaba el método según proceso tributario, con la intención
de ganar menos impuesto y obtener mayor liquidez. Se debe evaluar la línea
en que las empresas por ganar liquidez pierden dinero por falta de control y
esto va directamente relacionado al método.
A continuación, se muestra una ilustración que resume el impacto de la
valoración de los inventarios a partir del uso de diferentes fórmulas de
medición, considerando el incremento o reducción de los precios:
Promedio
ponderado
Es el costo unitario del articulo del ultimo inventario
Método de valoración razonable de aproximación en donde se divide
el saldo en unidades monetarias de las existencias, entre el número
de unidades en existencia. Este procedimiento que ocasiona que se
genere un costo medio, debe recalcularse por cada entrada al
almacén

27
Tal y como expresa Van Greuning (2009) el impacto que tiene en los estados
financieros, también afecta a los indicadores que derivan de ellos. Algunos
usuarios consideran más útil el método de últimas entradas, primeras salidas
(UEPS) para el análisis de rendimiento, ya que presenta una mejor medida de
la utilidad. Mientras que para analizar los activos y la posición financiera, con
la fórmula de primeras entradas primeras salidas (PEPS) es más útil.
ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS
También conocido como Estado de Resultados, Estado de Ingresos y Gastos,
o Estado de Rendimiento; el estado de pérdidas y ganancias es un informe
financiero que da muestra la rentabilidad de la empresa durante un período
determinado, es decir, las ganancias y pérdidas que la empresa obtuvo o
espera tener.
Por lo tanto, el estado de pérdidas y ganancias es un documento vital para
conocer el rendimiento que ha tenido su empresa, así como los riesgos en los
que se ha visto envuelto, en la cual permitirá tomar decisiones radicales,
analizando el negocio y las posibilidades de crecimiento a largo, mediano o
corto plazo.
GRÁFICO 14: ESTADO DE GANANCIAS – CTE SAC
ESTADO DE GANANCIAS Y PERDIDAS –CTE-SAC
VENTAS
(+) Ventas al contado S/. 15000
(+) Ventas al crédito S/. 10000
Total de ventas S/. 25000
COSTO DE VENTAS
(+) Inventario inicial S/. 25000
(+) Gastos durante el periodo S/ 5000
(-) Inventario final S/. 17000
Total de costo de ventas S/ 13000
Utilidad bruta S/. 12000
Gastos generales S/. 5000
Utilidad operativa S/ 7000
Impuestos S/ 2000

28
Utilidad neta S/ 5000
Dividendos S/ 4500
Utilidades retenidas S/. 500
Conociendo la estructura del estado de ganancias y pérdida, tal como expresa
Van Greuning (2009) el impacto que tiene la valoración de inventarios en los
estados financieros también afecta a los indicadores que derivan de ellos.
Algunos usuarios consideran más útil el método de últimas entradas, primeras
salidas (UEPS) para el análisis de rendimiento, ya que presenta una mejor
medida de la utilidad. Mientras que, para analizar los activos y la posición
financiera, con la fórmula de primeras entradas primeras salidas (PEPS) es
más útil.
La aplicación de diferentes técnicas para determinar el costo del inventario
tiene un impacto directo en el importe reconocido como impuesto a las
ganancias durante un periodo contable.
Si nos enfocamos en las técnicas permitidas por las Normas Internacionales de
Información Financiera, en periodos donde los precios se incrementan, el
método de primera entrada, primera salida (PEPS), ocasiona que el ingreso del
periodo sea mayor, por lo tanto el impuesto también lo será, en comparación
con el método de inventario promedio ponderado. Bajo la aplicación de la
técnica identificación específica, el importe de impuestos durante un periodo
dependerá de los inventarios que hayan sido dados de baja en ese periodo.
Para los individuos de la entidad que tiene la responsabilidad de ejercer como
gerentes, normalmente les conviene reportar ingresos elevados cada periodo,
ya que es común que ellos reciban beneficios a partir de este indicador.
Utilizando la técnica de identificación específica, el ingreso puede ser
manipulado, para así recibir bonos más elevados. Al contrario, el método de
primera entrada, primera salida (PEPS) y el de costo promedio ponderado no
ofrecen esta libertad, causan impactos diferentes en la utilidad del periodo. Es
recomendable promover el uso de otros indicadores para la asignación de
bonos a los gerentes, y así disminuir la posibilidad de que la calidad y la utilidad
de la información financiera se vea afectada por la selección de métodos con
el propósito de obtener un resultado especifico al final del periodo.
Las ganancias por el mantenimiento del inventario en la entidad durante
periodos algunas veces prolongados es eliminada a través de la
implementación del sistema de última entrada, primera salida si este fuese
permitido por las Normas Internacionales de Información Financiera.

29
Dentro del Estado de Ganancias y Pérdidas es posible revisar cuatro características importantes del negocio:
Estados de ganancias y
pérdidas
Egresos
Gastos
Egresos provenientes
del desarrollo de un
producto o servicio,
como la materia prima
necesaria para
elaborar un producto
final
Costos
Factor referente a
las salidas de
dinero que pueden
dar paso a
la creación de una
ganancia futura,
como la compra de
un local que pasa a
convertirse en un
activo.
Ingresos
Generados por las
ventas, los cuales
deben estar
detallados y
agrupados
dependiendo el tipo
de compañía, modelo
de negocio, tipo de
venta y tipo de pago.
Otros ingresos /
egresos no
operacionales
Generados por otra
fuente diferente a
las operaciones de
la empresa. Por
ejemplo
actividades como
la compra de
acciones.
Utilidades
Se analiza la
rentabilidad de la
empresa cruzando el
valor de los ingresos
y egresos, y si el
resultado es
positivo estaremos
ante las utilidades de
negocio.
Impacto de la valoración
de inventarios

30
2.1.6.PAGO DE IMPUESTOS (SUNAT)
La valorización de inventarios, está reglamentada por la SUNAT, dentro de:
 Ley del impuesto a la renta, CAPÍTULO IX DEL RÉGIMEN PARA
DETERMINAR LA RENTA en el artículo 62°
 Reglamento De La Ley Del Impuesto A La Renta Decreto Supremo Nº 122-
94-EF
Para mayores consultas al respecto considerar la lectura de los siguientes links.
http://www.oas.org/juridico/PDFs/mesicic3_per_ds122.pdf
http://www.sunat.gob.pe/legislacion/renta/reglamento.html
2.1.7.ADMINISTRACIÓN DE INVENTARIOS POR LOS PROVEEDORES VMI:
DEFINICIÓN:
Es un modelo logístico que busca optimizar el manejo de inventarios,
alistamiento y preparación de pedidos, a través de la administración de la cadena
de abastecimiento más eficiente por parte del proveedor, partiendo del
conocimiento de inventarios y el flujo en general de las ventas o producción de
los clientes. El propósito del VMI es alinear los objetivos del negocio y optimizar
las operaciones de la cadena de suministro tanto para los proveedores como
para sus clientes. Su valor de negocio es resultado directo del mayor flujo de
información:
 Mayor rotación de inventario
 Mejor servicio
 Mayores ventas
Pasos para su implementación
La implementación de VMI en el mundo se
lleva a cabo dentro de tres categorías:
 Modelo colaborativo:
 Modelo de transferencia por mandato
 Modelo automatizado
Modelo colaborativo
Consiste en compartir información y desarrollar planes de producción junto con
las empresas, planes de demanda, consumo de referencia con la finalidad de
establecer planes de reabastecimiento.

31
GRÁFICO 15: MODELO COLABORATIVO
Modelo de transferencia por mandato
El comprador (cliente) transfiere la actividad y los costos de gestión del
inventario al proveedor (vendedor).
GRÁFICO 16: MODELO DE TRANSFERENCIA DE MANDATO
Modelo automatizado
El modelo se inicia con el proceso macro de colaboración entre las partes, en
el cual se establecen los objetivos y las restricciones de la aplicación de VMI.
En nivel micro, se usa una herramienta informática (software) encargada de
ejecutar la estrategia de reabastecimiento, para alcanzar los objetivos
propuestos al menor costo y con el mejor servicio al cliente posible
PLANIFICACIÓN
COMPRADOR
PROVEEDOR
INFORMACIÓN
PRONOSTICO
COMPRADOR
PROVEEDOR
Datos
Alguna información
Mandato de
administrar el
inventario en
instalaciones del
comprador
DATOS

32
GRÁFICO 17: MODELO AUTOMATIZADO
APLICACIÓN
El método descrito para realizar los pedidos de reabastecimiento, siguiendo
la política de VMI, fueron aplicados en una empresa manufacturera de
productos alimenticios, entre la planta de producción y el centro de
distribución, con el objeto de minimizar los costos logísticos globales.
En la actualidad, para realizar los pedidos de reabastecimiento, se procede
de acuerdo con el promedio de la demanda real de los tres últimos periodos,
considerando la adición o sustracción de la cantidad para pedir como faltante
o exceso del inventario en el periodo de estudio.
La demanda real de cada mes (periodo) durante un año (Dt), la demanda
pronosticada utilizando promedio móvil de tres periodos (Dt pronóstico), la
cantidad de producto ordenada en cada periodo (Qt), el inventario o los
faltantes (It) y los costos por periodo (Ct) y promedio asociados a este
procedimiento se reportan
Ejecución del
reabastecimiento diario
Información diaria desde el
vendedor
Información diaria desde el
comprador
Técnicas de abastecimiento entre el software de
VMI
Diagnóstico del sistema de
planificación
Medición del desempeño
Planeación
Ejecución
Evaluación
Comprador
Objetivo y restricciones
Proveedor
Objetivo y restricciones,
inteligencia de mercado
Colaboración

33
Tabla 1: Demanda real, cantidad de reabastecimiento y costos de condición
actual de la empresa
En el gráfico 14, se presenta la evaluación de los costos operativos totales
promedio de mantener inventario en la operación de reabastecimiento, para los
tres modelos empleados en el cálculo de las cantidades de reabastecimiento.
GRAFICO 18: EVALUACIÓN DE COSTOS DE LOS TRES MODELOS APLICADOS
t Dt
Dt
pronostico
It Qt Ct CT
0 87.10 78.07 0.00 78.07 0.00 0.00
1 84.19 82.23 -9.03 91.25 45.14 45.14
2 69.22 83.36 -1.97 85.33 9.83 27.49
3 61.83 80.17 14.14 66.03 28.29 27.75
4 98.32 71.75 18.34 53.41 36.68 29.98
5 76.51 76.46 -26.57 103.03 132.87 50.56
6 87.62 78.89 -0.05 78.94 0.24 42.17
7 60.69 87.48 -8.74 96.22 43.69 42.39
8 81.19 74.94 26.80 48.14 53.59 43.79
9 93.40 76.50 -6.25 82.75 31.24 42.40
10 71.59 78.42 -16-90 95.32 84.49 46.61
11 75.38 82.06 6.84 75.22 13.67 43.61
12 75.00 80.12 6.68 73.44 13.36 41.09

34
Como se observa en el gráfico 14 es posible observar que la estrategia de
abastecimiento que menor costo produce en la actividad de gestión de
inventarios bajo la modalidad VMI es la correspondiente a realizar el promedio
móvil con la información suministrada de demanda real del distribuidor, tal
como lo hace la empresa en la actualidad. Muy cerca de este costo se
encuentra el asociado a utilizar el modelo "action-reward learning" (Kwak et al.,
2009), y por último está, con un incremento considerable en los costos, el
modelo del Newsvendor problem.
APLICACIÓN DEL MODELO VMI:
http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1794-
12372011000100003
VIDEOS SOBRE APLICACIÓN DE VMI:
https://www.youtube.com/watch?v=1QFWY69uhHM
https://www.youtube.com/watch?v=ruphZ31NmOY
Ventajas
Las ventajas que posee el sistema VMI son las siguientes:
 Reducción de costos administrativos relacionados con las compras de
materiales.
 Eliminar los inventarios de seguridad en las instalaciones del cliente
 Disminuye el efecto bullwhip en el suplly manage
 El proveedor puede acceder a la información del cliente permitiéndole de
esta manera pronosticar su demanda.
 Optimiza el rendimiento de la cadena de suministro
 Entregas JIT
Limitaciones
Las limitaciones que presenta el VMI son las siguientes:
 Fallas de planificación
 Funcionamiento inadecuado
 Expectativas altas de los minoristas
 Nivel de colaboración limitado
2.1.8. CASUÍSTICA
EJEMPLO 01
En el siguiente ejemplo se va a explicar la aplicación de cada uno de los
métodos para la fijación del costo de mercancías en el inventario.

35
Cantidad Costo
unitario
Valor total
Inventario inicial 10 Unid. $ 10.000 $ 100.000
Compras 30 Unid. $ 15.000 $ 450.000
Cantidad total 40 Unid. $ 550.000
Ventas periodo 35 Unid.
Inventario final 5 Unid.
SOLUCIÓN:
PEPS o FIFO:
Valor del inventario final por= 5 Unid. * $15.000 = $75.000
El inventario final queda valorado al costo de la última mercancía
comprada.
UEPS o LIFO:
Valor del inventario final = 5 Unid. * $10.000 = $50.000
El inventario final queda valorado al costo de la primera mercancía en
existencia.
Promedio ponderado:
Valor total / Cantidad total = $550.000 / 40 = $13.750
El valor promedio del costo por artículo es de $13.750
El valor del inventario final = 5 Unid. * $13.750 = $68.750
El inventario final queda valorado al costo promedio mercancía en
existencia.
 Análisis final
Al analizar los tres métodos se puede sacar como conclusión que la valoración
más baja es la obtenida con el UEPS, la más alta con el PEPS y una intermedia
con el promedio.
Promedio
Ponderado
$ 68.750
PEPS $ 75.000
UEPS $ 50.000

36
N OPERACIONES
HERRAMIENTAS /
INSTRUMENTOS
1
Calcular la cantidad optima a comprar de productos
con demanda conocida
2
Calcular la cantidad a comprar de productos con
descuento
3
4
5
6
DENOMINACIÓN TAREA 1
DETERMINACIÓN DEL LOTE ECONÓMICO DE
COMPRA LEC SIMPLE Y CON DESCUENTO
HT-03

ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN DE
EMPRESAS
37
Modelos determinísticos y de
demanda incierta
(probabilísticos) para control de
inventarios
Lotes de compra con demanda
incierta (Probabilísticos): Presenta
una demanda o tiempo de entrega
desconocido
Determinísticos: Son aquellos
donde se toman como supuesto
que se tiene certeza en la
demanda
El tamaño de las existencias
estabilizadoras determina el
modo de probabilidad de
agotamiento de las
existencias durante el
tiempo de entrega (el
periodo y recibir un pedido)
no exceda un valor
predeterminado
Conocido como sistema de punto
de reorden, cantidad fija o modelo
Q, caracterizado por realizar un
pedido cuando el inventario llega a
un nivel determinado, implicando un
control restante cada vez que se
retire el artículo para determinar si
se genera un nuevo pedido
Simulación
EOQ con
demanda
probabilística
La demanda y el tiempo de
entrega son diferentes y se
realiza una simulación bajo
la teoría de Montecarlo, hoja
de cálculo, obteniendo los
valores de Q y PRP
minimizando el costo de
inventario.
Revisión
Periódica
Continua
Conocido como sistema de reorden
a intervalos fijos o modelo P. El
inventario se revisa de forma
periódica y no continua, por lo que
la emisión de pedidos se realiza al
final de cada periodo o a su inicio
Modelo de lote
económico de
producción
Simulación
Sin déficit
Con déficit
Permite que existan faltantes y
que se cumplan con entregas
atrasadas, existiendo un mínimo
nivel de atraso en la
administración dispuesto a tolerar.
Los faltantes ocurren por falta de
material o falta de capacidad
se considera que la tasa de producción
es mayor que la demanda, tomando en
cuenta que existe un costo por generar
una orden de producción. Se prohíben
faltantes estableciendo el costo faltante
por infinito. Las condiciones de este
aprovisionamiento se modifican cuando
los suministros se manufacturan al
recibir la orden
Sin déficit
Con déficit
Con
descuento
Se debe calcular la cantidad que
se va a pedir o producir
minimizando los costos de
colocación de pedido y costos de
manejo de inventario
MODELOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS PARA CONTROL DE INVENTARIOS
El cliente permite que su pedido
satisfaga después de un tiempo,
en caso de no encontrarse el
producto solicitado, la venta no
se pierde. Bajo esa condición,
puede reducirse, aunque los
costos anuales se consideran
como faltantes
Se considera el costo por
unidad independiente de
tamaño de lote. Esta variante
del EOQ considera que en la
medida en que el tamaño del
lote es mayor, se accede a
mayores descuentos del
producto

38
3. DETERMINACIÓN DEL LOTE ECONÓMICO DE COMPRA LEC SIMPLE
Y CON DESCUENTO
3.1.LOTE ECONÓMICO DE COMPRA
3.1.1.LOTE ECONÓMICO DE COMPRA LEC: DEFINICIÓN
Es un modelo clásico de cantidad fija de pedidos, es decir, calcula cuanto
compra de manera que se logre minimizar el costo asociado a la compra y al
mantenimiento de las unidades en inventario.
En donde es una de las herramientas que se utilizan para determinar el monto
óptimo de pedido para un artículo de inventario
IMPORTANCIA
Su objetivo principal es determinar la reducción de costos con dos preguntas
claves: ¿Cuánto pedir? Y ¿Cuándo pedir?
En donde la cantidad económica de pedido busca encontrar el monto de
pedido que reduzca al mínimo el costo total del inventario de la empresa,
teniendo en cuenta lo siguiente:
 No se permiten faltantes
 No hay tiempo de demora en la entrega de pedidos
 El inventario se reabastece cuando llega a cero
 Los costos no varían a lo largo del tiempo
Costo de manejo y
almacenamiento
de inventario

39
3.1.2.VARIABLES:
TAMAÑO DEL LOTE Q
Sirve para conseguir el rendimiento óptimo de producción de un lote, tomando
como base los costes de mantenimiento y preparación para un año. En este
caso, se necesita una cierta flexibilidad para la producción. La fórmula para
realizar el cálculo es la siguiente:
FORMULA:
D = Demanda anual en unidades para el
producto del inventario
Q = Lote económico de piezas por
orden
Q* = Número óptimo de piezas por
orden (EOQ) C = Coste de
aprovisionamiento
H = Coste de almacenamiento
NÚMERO DE PEDIDOS AL AÑO NPA
Se toman elementos del método de periodo constante y la EOQ. Se incluye el
cálculo de la fórmula de la cantidad económica de pedido, pero relacionada con
el número total de pedidos que se harán cada año, para obtener la cifra óptima
de producción. El cálculo se realiza con la siguiente formula:
FORMULA:
N = Número de órdenes esperadas
D = Demanda anual en unidades para
el producto del inventario
Q = Lote económico de piezas por orden
FRECUENCIA DE PEDIDOS T
Es un factor importante que se negocia con tu proveedor para programar el
resurtido de tu negocio, esta variable te permite poder calcular los niveles de
inventario, stock de seguridad, programación de pedidos, el punto de reorden.
PUNTO DE PEDIDO PP
Es el volumen de existencias o nivel de inventario que hay en el almacén en el
momento en el que se realiza un pedido
FORMULA:
N =
𝐷
𝑄
𝑄 = √
2𝐷𝐶
𝐻
Plazo de reposición + Stock de seguridad + Consumo = Punto de pedido

40
EJERCICIO 01:
Una granja necesita anualmente unos 4000 sacos de pienso para alimentar a
los pollos. El coste anual de almacenar un saco es de 0,1 € y el coste de
gestionar un pedido es de 2 €. La empresa trabaja todos los días del año.
Se pide:
a. Volumen óptimo de pedido.
b. Número de pedidos anuales. Plazo entre pedidos.
c. Representación gráfica.
 SOLUCIÓN
𝑄 = √
2(2)(400)
0.1
= √16000 = 400 unidades
 El granjero, si quiere minimizar el coste de gestión de inventarios, debería
de pedir de cada vez 400 sacos de pienso.
N =
𝐷
𝑄
=
4000
400
= 10 órdenes por año
 El granjero realizará 10 pedidos al año.
Plazo entre pedidos =
360
𝑁 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
=
360
10
= 36 días
 El granjero realizará un pedido cada 36 días.
GRÁFICA:

41
EJERCICIO 02:
Sharp, una empresa que comercializa las agujas hipodérmicas en los
hospitales, desea reducir su costo de inventario mediante la determinación del
número de agujas hipodérmicas que debe tener en cada orden. La demanda
anual es de 1000 unidades; el costo de preparación es de 10 dólares por orden;
y el costo de manejo por unidad de año es de 50 centavos de dólar. Utilizando
estos datos, calcule número óptimo de unidades por orden (Q*), número de
órdenes (N), tiempo transcurrido (T) y el costo total anual del inventario. Utilizar
un año laboral de 250 días.
 SOLUCIÓN
𝑄 = √
2(1000)(10)
0.5
= √40000 = 200 unidades
 Para que la empresa Sharp, minimice su coste de gestión de inventarios,
debería de pedir de cada vez 200 unidades.
N =
𝐷
𝑄
=
1000
200
La empresa Sharp deberá realizar 5 órdenes por año.
3.1.3.CLASIFICACIÓN: SIMPLE, CON DESCUENTO
El modelo EOQ se encuentra clasificado de la siguiente manera:
MODELO SIMPLE:
Para la elaboración de este modelo, se debe tomar en cuenta lo siguiente:
 La demanda es constante y conocida. Puede estar dada en días,
semanas, meses o años.
 El tiempo entre la colocación del pedido y su recepción (lead time) es
conocido y constante.
 No hay descuentos por cantidad.
 No hay restricciones para el tamaño del lote.
 El costo de ordenar y el costo de mantener son los únicos costos
variables.
 El costo de ordenar es constante.

42
Representación Gráfica:
Este modelo representa, que cuando el nivel de inventario llega a 0,
inmediatamente se debe reabastecer llegando a Q unidades, donde la tasa
de uso o consumo del inventario se encuentra así, debido que la demanda
es constante.
Formula:
C = Costo por unidad
D = Demanda de unidades
Q = Cantidad de unidades por pedido
H = Costo de mantenimiento
S = Costo de ordenar
EJERCICIO 01:
Veinteluces es una empresa que ofrece soluciones de iluminación para calles y
hogares. La empresa no tiene un control específico de inventario, por lo que
busca reducir su costo de inventario determinando la cantidad óptima de pedido
de bombillos estándar.
 La demanda (D) es de 1200 unidades poraño.
 El costo de ordenar (S) es 20 por orden.
 El costo anual de mantener (H) por unidad es 0,3 por unidad.
 Días de trabajo al año: 240 días.
Calcular la cantidad económica de pedido, el número de veces que se va pedir,
en qué momento se debe pedir y cuánto va por ordenar y mantener el inventario
Costo total = DC +
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
H

43
 SOLUCIÓN
𝑄 = √
2(1200)(20)
0.3
= √
48000
0.3
= 400 unidades
N =
𝐷
𝑄
=
1200
400
L =
𝐷í𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎ñ𝑜
𝑁
=
240
3
= 80
R =
𝐷
𝐷í𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜
𝑥 𝐿 =
1200
240
x 80 = 400
Costo por ordenar =
𝐷
𝑄
x S =
1200
400
x 20 = 60
Costo de mantener =
𝑄
2
𝑥 𝐻 =
400
2
= 60
Costo total = DC +
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
H =24000+60+60 =24120
La cantidad óptima de pedido es de 400 unidades por orden, y que en el año
se realizarán tres órdenes de pedido, cuyo tiempo entre una y otra será de 80
días. La empresa sabe que debe colocar una orden de pedido justo cuando
el inventario llegue a un nivel de 400 unidades.
MODELO CON DESCUENTO:
En este modelo se basa que cuando se realiza la compra de productos a una
determinada cantidad, es común que se obtenga un descuento sobre el precio
de la unidad.
Esta variante del EOQ considera que en la medida en que el tamaño del lote es
mayor, se puede acceder a mayores descuentos sobre el producto. Pero se debe
tomar en cuenta lo siguiente, si el costo de mantener un inventario de 1000
unidades que el de 5000 unidades, evidentemente será mayor si hablamos de
5000, aunque se disminuya el costo del producto debido a los descuentos por
cantidad, es por ello que se debe analizar si los costos de mantener serán
mayores en la medida en que adquiero más producto.
Formula:
D = Demanda de unidades
Q = Cantidad de unidades por pedido
IC = Porcentaje del precio de la unidad a
mantener
S = Costo por ordenar
Costo total = DC +
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
IC

44
EJEMPLO 01:
Luz Verde es una empresa que comercializa linternas. El proveedor le
menciona que, si hace una compra mayor podría darle un descuento sobre el
costo de la unidad.
Para tomar una
decisión, el
gerente de compras de Luz Verde debe escoger una alternativa que minimice
el costo de inventario.
S: El costo de ordenar es 60 por orden.
D: La demanda anual es de 35000 linternas.
I: El costo de mantener es del 10% como porcentaje del costo por unidad.
 SOLUCIÓN
Q*1 = √
2𝐷𝑆
𝐼𝐶
= √
2𝑥3500𝑥60
0.1𝑥20
= 1449 unidades (No se ajusta)
Q*1 = √
2𝐷𝑆
𝐼𝐶
= √
2𝑥3500𝑥60
0.1𝑥18
= 1528 unidades (No se ajusta)
Q*1 = √
2𝐷𝑆
𝐼𝐶
= √
2𝑥35𝑥60
0.1𝑥15
= 1673 unidades (Se ajusta)
CTQ*1 = DC +
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
IC = 20(35000) +
3500
1449.14
(60) +
1449.14
2
(0.1)(18) = 702898.28
CTQ*2 = DC+
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
IC = 20(35000) +
3500
15287.53
(60) +
15287.53
2
(0.1)(18) = 632749.55
CTQ*3 = DC +
𝐷
𝑄
S +
𝑄
2
IC = 20(35000) +
3500
2001
(60) +
2001
2
(0.1)(15) = 527550.23
 Se observa que Q*1 se encuentra en el rango de 1000 a 1500 unidades y
Q*2 entre 1501 a 2000 unidades; por lo tanto, no se ajustan y se usa el
resultado del cálculo. En cambio, el resultado de Q*3 no está entre el rango
de 2001 a 2500 unidades, por ende, se ajusta hacia arriba, es decir 2001.
Rangos Costo por unidad
De 1000 a 1500 unidades 20

45
 La mejor opción es el 3 porque tiene un costo de mantener mayor (como era de
esperarse), el costo de ordenar y del producto compensa este incremento y
termina siendo la mejor opción.
3.1.4. COSTOS DE INVENTARIOS
Los costos de inventarios se encuentran divididos en los siguientes tipos:
TIPO DE COSTO DEFINICIÓN
Costo de ordenar
(preparación de
pedido)
Este valor se considera fijo cualquiera que sea el
tamaño de lote, debido que no se ve afectado por el tipo
de política de inventarios. Se encuentra representado
por el costo de formato de compra, tiempo de
computador, el costo de enviar la orden de compra al
proveedor.
Costo de posesión
de inventario
(mantenimiento)
Se define como el costo de mantener una unidad o
artículo durante un tiempo determinado. Los artículos
que se almacenan en el inventario, suelen estar sujetos
a perdidas por robos, obsolescencia y deterioro.
Costo de
oportunidad
Es el costo de una inversión que no se realiza
(calculado, por ejemplo, a partir de la utilidad que se
espera según los recursos invertidos).
Costo de ruptura
de inventarios
Está representado por la falta de un artículo durante un
tiempo determinado. La característica principal es que,
a pesar del incumplimiento, el cliente prefiere esperar.
3.1.5.REPRESENTACIÓN GRÁFICA: DIENTE DE SIERRA
Como se aprecia en la fluctuación de la gráfica el punto es el máximo de existencias
y el otro es el mínimo originado por un stock de seguridad destinado a cubrir
imprevistos. La distancia entre esos dos puntos corresponde al valor del lote
económico, que se calcula con la fórmula de LEC, en la cual esta información
recaudada, permitirá determinar el momento ideal para realizar el pedido, si se
conoce el periodo de aprovisionamiento de nuestro proveedor.
Descuento
C. de
ordenar
C. de
mantener
C. del
producto
C. total
Cantidad a
ordenar
Precio
unitario
Rango 1 1449.14 1449.14 700000 702898.28 1449.14 20
Rango 2 1374.77 1374.77 630000 632749.55 1527.53 18
Rango 3 1049.48 1500.75 525000 527550.23 2001 15

46
3.2.SISTEMA DE INVENTARIOS: MODELOS DETERMINÍSTICOS
3.2.1. MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes
suposiciones:
 La demanda se efectúa a tasa constante.
 El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
 Todos los coeficientes de costos son constantes.
Ejemplo: Si el cliente permite que su pedido se satisfaga un tiempo después,
en caso de que no se encuentre disponible el artículo que este haya solicitado,
entonces la venta no se pierde.
Bajo esta condición el inventario puede reducirse, aunque los costos anuales
de inventarios deben considerar los costos por faltantes
Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de
ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un
costo adicional, el costo por unidad de faltante.
Gráfico 20: DIENTE DE SIERRA

47
3.2.2. MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
La función de este modelo es calcular la cantidad que debe pedirse o
producirse minimizando los costos de colocación del pedido de inventario y los
costos de manejo de inventario.
Este modelo cambia el costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una
tanda de producción. Para determinar la cantidad óptima a pedir, se sigue el
procedimiento del modelo de compra sin déficit.
Una cantidad óptima que debe fabricarse representa un balance entre los
costos de almacenamiento y los costos de organización de una tanda de
producción.
Grafico 21. REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
Grafico 22. REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT

48
FORMULA:
Q = Cantidad óptima a producir
t =Periodo entre tandas deproducción
R = Tasa de producción
T = Periodo de planeación
Im = Inventario máximo
t1=Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2=Tiempo en donde no se cuenta con inventario
Costo total para un lote:
Lote óptimo:
3.2.3. MODELO DE COMPRA CON DÉFICIT
En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la
cantidad pedida desaparece el déficit
FORMULA:
N =
𝐷
𝑄
t =
𝑄
𝑅−𝐷
T1 =
𝑄
𝐷
t1+t2 =
𝑄
𝐷
Im = t1x(R-D) =
𝐷
𝑄
x (R-D) = Q x (1-
𝐷
𝑄
)
𝑄 = √
2𝑥𝐶2𝑥𝐷
(𝐶3 (1 −
𝐷
𝑅
))
Costo total = C1D+C2
𝐷
𝑄
+C3+
(Q−S)2
2𝑄
+C4
(S)2
2(𝑄)

49
Esto se representa claramente en el siguiente esquema
3.2.4. MODELO DE COMPRA SIN DÉFICIT
Este modelo es también conocido como modelo de cantidad de pedido
económico o lote económico (EOQ); es uno de los modelos de inventario más
antiguo y conocido; basado en las siguientes hipótesis:
 La demanda es constante y conocida.
 El plazo de entrega es constante y conocido.
 El pedido llega en un solo lote y todo de una vez.
 No son posibles los descuentos por cantidad.
 Se evitan las roturas de inventario.
 No se permite diferir demanda al futuro.
Grafico 23. REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE COMPRA CON DÉFICIT
Grafico 24. REPRESENTACIÓN DEL MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT

50
Para trabajar este modelo es necesario conocer algunas variables como:
 Q = Cantidad óptima a comprar por pedido (EOQ).
 D = Demanda por unidad de tiempo.
 Co = Costo por ordenar el pedido.
 Cm = Costo de mantener una unidad por año.
 CTO = Costo total por ordenar un pedido.
 CTM = Costo total de mantenimiento.
 CT = Costo total del inventario.
FORMULA:
Costo total por ordenar = (Demanda anual/Cantidad óptima) x Costo por
ordenar
Costo total de mantenimiento= (Cantidad optima / 2) * Costo de
mantenimiento
http://virtual.umng.edu.co/distancia/ecosistema/ovas/ingenieria_civil/investigaci
on_de_operaciones_ii/unidad_1/DM.pdf
3.2.5. CASUÍSTICA
A continuación, presentamos ejemplos sobre los modelos determinísticos
del inventario.
EJERCICIO 01: MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
Industrias Galey, una fábrica de calzado, tiene una previsión de demanda
anual de 21.600 unidades (suponga un año de 360 días), estipulándose que
por cada unidad no entregada a tiempo se causa un costo de $20 por día. El
departamento de producción reportó que al realizar un pedido su costo es de
$540.000, mientras que guardar una unidad en bodega genera un costo de
$750 por mes. ¿Cuál será la cantidad óptima de pedido e inventario si se
sabe que la planta tiene capacidad para producir 75 unidades por día y que
el costo de producción de cada unidad es de $125?
Datos de la empresa:
 Demanda por unidad de tiempo D = 21.600 uds/año
 Costo por ordenar Co = $540.000 / pedido
CTM =
𝑄
2
x Cm
CTO =
𝐷
𝑄
x Co

51
 Costo de mantenimiento Cm = $750 /uds/mes
 Costo variable por unidad Cv = $125 /ud * d
 Tanda de producción diaria p = 75 ud/mes
 Costo unitario de penalización Cp = $20 ud/día
 SOLUCIÓN
 Tasa de demanda diaria
d =
𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙
𝑁 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑎ñ𝑜
=
21600 𝑈𝑆𝐷/𝑎ñ𝑜
360 𝑑í𝑎𝑠/𝑎ñ𝑜
= 60 USD/día
 Costo de mantenimiento por día
Cm =
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑠
=
750 𝑈𝑆𝐷/𝑚𝑒𝑠
30 𝑑í𝑎𝑠
= 25 USD/día
 Cantidad óptima de pedido:
𝐶𝑝 =
√
2(𝑑)(𝐶𝑜)(𝐶𝑝 + 𝐶𝑚)
(𝐶𝑚𝐶𝑝 (1 −
𝑑
𝑝
))
=
√
2(60)(540000)(20 + 25)
(20𝑥25 ( 1 −
60
75
))
Cp = 2700 unidades diarias
 Costo total promedio por unidad de tiempo:
𝐶𝑡 = √
2(60)(540000)(20)(25)(1−
60
75
)
20+25
= $2400 unidades diarias
 Costo variable por unidad:
Cv = Costo de producción por unidad x Tasa de demanda diaria Cv =
($125 / ud) x (60 uds/día)
Cv = $7.500 / día
 Costo total por día:
CT = 24.000 + (125 x 60) = $31.500 /día
 Costo total por año:
Ct = (24.000 x 360) + (125 x 360) = $8685 / añ Costo total por
unidad detiempo:
CT = Ct + Cv = 8685 + 7500 = 16185
EJERCICIO 02: MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
Una compañía manufacturera de 12000 artículos por año para emplearlos
en un proceso de producción. Si el costo unitario es 5 bsf por unidad, el costo
de tenencia que una unidad es de 80 centavos por mes, y el costo de

52
organizar una tanda de producción es de 100, puede manufacturarse los
artículos a una tasa de 48000 unidades por año.
 La cantidad óptima que debe manufacturarse (Q)
 El costo total anual óptimo (CT)
 El tiempo de manufactura (tl)
 El tiempo entre tandas de producción (t)
 El número de tandas de producción (N)
 DATOS:
D = 12000 unidad/año
C1 = 5 bsf/unida
C2 = 100 unidad/pedido
C3 =0.8x12 bsf/unidad/año
1 año = 12 meses
1 mes = 30 días
R = 48000 unidad/año
D/R=
12000
48000
=
1
4
1-
𝐷
𝑅
= (1-(
12000
48000
)) =
3
4
 SOLUCIÓN:
t1=
577.35
48000
=0.048x12 meses = 0.1444x30 días = 4.3 días
t =
577.35
12000
=0.048x12 meses = 0.577x30 días = 17.3 días
N =
12000
577.35
= 20.785 veces al año
Q = 577.35 unidades t=17.3 días
CT=64.157 bsf/año N=20.785 veces al año
tl=4.3 días
𝑄 = √
2(100)(12000)
(0.8𝑥12𝑥
3
4
)
= 577.35 unidades
CT = 5x12000+100 x (
12000
577.35
) + 0.8 𝑥 12 𝑥
577.35
2
𝑥
3
4
= 64157 𝑏𝑠𝑓/𝑎ñ𝑜

53
EJERCICIO 03: MODELO DE COMPRA CON DÉFICIT
Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18000 unidades
por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $1.20 por año y el
costo de ordenar una compra es de $4000. El costo unitario del artículo es
de $1. El costo por unidad de faltante es de $ 5 por año.
Determinar:
 La cantidad optima pedida
 El costo total por año
 El número de pedidos por año
 El tiempo entre pedidos
DATOS:
C1 = $1 C3 = $ 1.20
C2 = $ 400 C4 = $ 5
 La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma:
𝑄 = √
2(400)(18000)
1.20
√
1.20 + 5
5
= 3845 unidades diarias
 El costo total estará determinado por:
𝑄 = √
2(400)(18000)
5
√
1.20
1.20+5
= 747 unidades diarias
Costo total = (1)(18000)+400(
18000
5
)+400 +1.20+
(3845−747)2
2𝑥3845
+ 5 = 21484.71
Número de pedidos por año:
N =
18000
3845
= 4.68
Tiempo entre pedidos:
t =
3845
18000
= 0.214

54
CASO PRÁCTICO 04: MODELO DE COMPRA SIN DÉFICIT
La empresa manufacturera Galey compra 8.000 chip cada año para utilizar
en los equipos que produce. El costo unitario de cada chip es de $30.000 y
el costo de mantener o almacenar un chip en inventario por año es de $3.000,
además se sabe que realizar un pedido tiene un costo de $10.000. ¿Cuál es
la cantidad óptima de pedido?
 SOLUCIÓN:
 La información entregada por la Empresa Galey es la siguiente:
Demanda por unidad de tiempo D = 8.000 uds/año
Costo por ordenar Co = $30.000 / pedido
Costo de mantenimiento Cm = $3.000 /uds/año
 Primero se debe observar que los datos a trabajar estén en la misma
unidad de tiempo. Si la demanda es diaria se multiplica por el número
de días que la empresa labora; cuando no se indican se asumen 20
días de producción al mes. Si la demanda es semanal se multiplica por
el número de semanas a laborar en el año, normalmente está entre 50
y 52; si la demanda es semestral se multiplica por dos por cuanto el año
tiene 2 semestres y así sucesivamente con otras demandas dadas en
diferentes cronologías. Para el caso planteado de la empresa Galey,
esta trabaja anualmente, lo que permite directamente aplicar la fórmula
entregada por el modelo:
𝑄 = √
(2)𝐷𝐶𝑜
𝐶𝑚
= √
2(8000)(30000)
3000
= 400 uds/pedido

55
N OPERACIONES
HERRAMIENTAS /
INSTRUMENTOS
1
Calcular la cantidad optima a comprar con demanda
desconocida
2
Calcular el stock de seguridad en base al nivel de
atención Z
3 Calcular el punto de reposición
4 Calcular el Nivel máximo de inventarios en el almacén
5
6
LOTES DE COMPRA CON DEMANDA INCIERTA HT-01

56
4. LOTES DE COMPRA CON DEMANDA INCIERTA
4.1. SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN CONTINUA
En este sistema se mantiene un registro de las existencias disponibles para cada
artículo. Cuando las existencias descienden hasta el denominado punto de pedido
o punto de reorden, se coloca una orden para reponer el inventario. Esta orden
consiste en una cantidad fija de material que minimiza los costos totales de
inventario (cantidad económica de pedido). La principal ventaja de este sistema
reside en que en todo momento se conoce el estado del inventario.
Esto es importante para los suministros críticos de la empresa, tales como las
materias primas. Sin embargo, el costo de mantener un sistema de este tipo puede
ser una desventaja debido al costo generado por la revisión constante del
inventario.
4.1.1. DEMANDA VARIABLE Y DEMORA DEL PROVEEDOR
CONSTANTE
Para este tipo de problemas se supone que la demanda no es
determinística (constante) sino que por el contrario posee una distribución
empírica de probabilidad; lo cual hace que cualquier periodo de tiempo se
pueda presentar cualquier demanda. El tiempo de anticipación para esta
alternativa si es constante; es decir que se conoce con exactitud cuánto
tiempo demora el proveedor en entregar un pedido.
4.1.2. DEMANDA CONSTANTE Y DEMORA DEL PROVEEDOR
VARIABLE
En este caso se interviene la información respecto de la alternativa
anterior; en este ítem la demanda es determinística (constante a través
del tiempo) y el aspecto probabilístico lo conforma el tiempo de
anticipación, el cual ya no es fijo.
Gráfico 25: SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN CONTINUA

57
4.1.3. DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR
VARIABLE
En este modelo es un poco difícil que se tome en cuenta todas las
variaciones en los sistemas reales. En muchas aplicaciones reales. La
demanda no puede ser predicha con certeza. El objetivo desarrollar un
modelo para determinar una política de inventarios que permita balancear
estos riesgos y minimizar los costos incrementales totales esperados.
4.1.4. CASUÍSTICA
EJERCICIO 01:
Hinca es una empresa que importa micrófonos y los vende. Su demanda
promedio es de 60 unidades por semana con desviación estándar de 15
unidades. El tiempo desde que se emite el pedido hasta que llega es de dos
semanas.
El costo de ordenar es $145. El costo de mantener es $36. Si la empresa
establece un nivel de servicio de inventario de 90%, ¿cuál debe ser el
inventario de seguridad y el punto de reorden? ¿Cuál es el costo total del
sistema de inventario?
Veamos:
 σ= 15
 d=60 unidades por semana
 LT=2 semanas
 SOLUCIÓN
 Paso 1: El valor z para un nivel de servicio de inventario es de 90% de
1,28.
 Paso 2: Calcular el punto de reorden y el inventario de seguridad:
Punto de reorden: 𝑑 𝐿𝑇
̅̅̅̅̅̅ +𝑧𝜎𝑑√𝐿𝑇 Inventario de seguridad: 𝑧𝜎𝑑√𝐿𝑇
Punto de reorden: 60(2)+1.28 (15) √2 Inventario de seguridad: 1.28 (15) √2
Punto de reorden: 147.15 Inventario de seguridad: 27.15
 Recordar trabajar con las mismas unidades cuando se usan las formulas.
En este caso se está trabajando en semanas, pero si el tiempo de entrega
estuviese dado en días, la demanda se debe pasar a días.
 Paso 3: No se puede calcular el costo total del sistema de inventario Q si
no se tiene la cantidad óptima de pedido EOQ. Para hacer ello, se debe
determinar la demanda anual. Luego recién se puede hacer el cálculo del
costo total.
H = Costo de mantener inventario por unidad por año

58
S = Costo de ordenar por orden
D = Demanda anual
d = Demanda semanal
D = d x 52 semanas
D = 60 x 52 = 3120 unidades
𝑄 = √
(2)𝐷𝑆
𝐻
= √
(2)(3120)(145)
36
= √
904800
36
= 159 unidades
C =
𝑄
2
𝐻 +
𝐷
𝑄
𝑆 + 𝐻𝑧𝜎𝑡 =
159
2
𝑥36 +
3120
159
𝑥145 + 36(27) = 6679.28
 La fórmula para calcular el costo anual es muy similar a la del modelo EOQ
clásico. Lo único que cambia es la parte del costo anual de mantenimiento.
Este se calcula considerando que el stock de seguridad está disponible
durante todo el tiempo, aun cuando a veces haya demanda superior a la
demanda promedio durante el tiempo de entrega, y a veces menor. Entonces,
durante el año, suponemos que el inventario de seguridad estará disponible.
EJERCICIO 02:
Higgi es una empresa que comercializa de televisores. Al día vende 20
televisores, siendo casi siempre constante. Cuando Higgi coloca el pedido,
los fabricantes de televisores tienen un tiempo de entrega de 10 días en
promedio con desviación estándar de 4 días. Debido a que el costo de
faltante es muy elevado (bueno, es un televisor) la empresa ha estimado un
nivel de servicio de 98%.
Vamos a calcular punto de reorden y stock de seguridad.
 d=20 televisores por día
 LT=10 días
 σLT= 4 días
 Nivel de servicio= 98%
 SOLUCIÓN:
 Paso 1: Ubiquemos z de 98% tal como hicimos en el primer ejemplo.
Revisando en una tabla normal, obtenemos que z=2,055
 Paso 2: Ya tenemos todo para calcular el inventario de seguridad y el punto
de reorden.
 DATOS:
Lt = tiempo de entrega o de reabastecimiento
𝑑
̅̅̅ = demanda promedio
Z = nivel de servicio o factor de seguridad

59
𝜎 = desviación estándar
Punto de reorden: 𝑑
̅̅̅(𝐿𝑇) +𝑧𝜎𝑑√𝐿𝑇
Punto de reorden: 20(10)+2055(4) 20
Punto de reorden: 364.4
Inventario de seguridad: 𝑧𝜎𝑑√𝐿𝑇
Inventario de seguridad: 2055(4) 20
Inventario de seguridad: 164.4
 Interpretación:
Cuando el nivel de inventario esté en 364 unidades, se debe hacer un pedido
que tomará alrededor de 10 días en llegar. Durante ese tiempo el riesgo de
tener faltantes es del 2%.
EJERCICIO 03:
DEMANDA VARIABLE Y DEMORA DEL PROVEEDOR VARIABLE
Una empresa comercializadora de equipos All in One o Todo en uno
presenta una demanda con distribución de 200 computadores en promedio
con una desviación estándar de 20 unidades. El tiempo de entrega de su
proveedor también tiene una distribución normal de 18 días con una
desviación estándar de 8 días. ¿Cuál es el punto de reorden y de cuánto
es el inventario de seguridad si la empresa tiene una política de nivel de
servicio de inventario de 95%?
 SOLUCIÓN:
Paso 1: Determinar z de 98%. Obtenemos 1,645.
Paso 2: Calcular inventario de seguridad y punto de reorden.
Punto de reorden: 𝑧 √𝜎𝑑
2
𝐿𝑇
̅̅̅̅ + 𝑑
̅2𝜎𝐿𝑇
2
Punto de reorden: 1645√202
(18) + 200282
𝑧
Punto de reorden: 1645(1602.25)
Punto de reorden: 2637.70 ≅ 2638
Inventario de seguridad: 𝑑𝐿𝑇
̅̅̅̅̅ + 𝑧 √𝜎𝑑
2
𝐿𝑇
̅̅̅̅ + 𝑑
̅2𝜎𝐿𝑇
2
Inventario de seguridad: 200(18) + (1645.25) √202(18) + 200282

60
Inventario de seguridad: 3600 + 1645(1602.25)
Inventario de seguridad: 6235.70 ≅ 6236
Interpretación: Cuando el nivel de inventario llegue a 6236 unidades,
hacer el pedido que tomará alrededor de 18 días en llegar. Durante ese
tiempo el riesgo de tener faltantes es del 5%.
4.2. SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN PERIÓDICA
También llamada sistema de reorden a intervalos fijos, sistema de periodo fijo o modelo
P. El inventario es revisado de forma periódica (cada semana, cada 10 días, cada mes,
etc.) y no de forma continua, por lo que la emisión de pedidos se realiza al final de cada
periodo de inicio.
Este modelo de revisión presenta un costo preciso sobre cada artículo del
inventario, por lo tanto, el costo total pertinente más bajo, posee algunas
desventajas económicas. Por ejemplo, es posible que cada artículo se solicite en
un momento diferente, con lo que se pierde la producción, transportación o
economías de compra conjuntas.
Gráfico 26: Representación del sistema de revisión periódica
4.2.1. DEMANDA VARIABLE Y DEMORA DEL PROVEEDOR CONSTANTE
Un sistema de revisión periódica del inventario (conocido también
como modelo P) es aquel en el cual el inventario de un ítem es revisado cada
uno de sus intervalos de tiempo fijos, y se realiza una orden por el monto
apropiado, es decir, el tamaño de pedido varia con el comportamiento de la
demanda. En relación a lo anterior la pregunta relevante es ¿cuánto ordenar?
Una de sus ventajas potenciales es que permite combinar órdenes a un mismo
proveedor

61
El siguiente diagrama se esquematiza la sistematización de un modelo de
gestión de inventarios de revisión periódica o modelo P. En el sistema de
periodo fijo, se toma la decisión de hacer un pedido sólo en algunos momentos,
como cada semana o cada mes.
Generalmente un sistema de revisión periódica exige un nivel más alto de
inventario de seguridad en comparación a un sistema de revisión continua (como
por ejemplo en el caso del modelo EOQ). En este contexto y para tener una mejor
idea de la evolución de los niveles de inventario en el tiempo para el modelo P se
presenta el siguiente gráfico:
Modelo P
Sistema de reorden de periodo fijo
Gráfico 27: SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN PERIÓDICA
Estado inactivo
En espera de la demanda
Ocurre la demanda
La unidad se retira del
inventario o hay
pedidos acumulados
¿Llego el
tiempo de
revisión?
Calcular la posición del inventario
Posición=disponible+pedidos-
pedidos acumulados
Calcular la cantidad del pedido
para elevar el inventario al nivel
requerido
Calcular la cantidad del pedido
para elevar el inventario al nivel
requerido
Si
No

62
4.2.2. DEMANDA CONSTANTE Y DEMORA DEL PROVEEDOR VARIABLE
Las condiciones de esta alternativa son las mismas que se mencionan en el
sistema de revisión continua. Para aplicar este sistema se recomienda tener
en cuenta el siguiente procedimiento:
Paso 1: determinar el tiempo de anticipación promedio. Para esto se utiliza
la siguiente formula:
𝑇𝐴 = 𝑇𝐴(∅1) + 𝑇𝐴2(∅2) + 𝑇𝐴3(∅3) + ⋯ … … . . 𝑇𝐴𝑛(∅𝑛)
Donde TA representa cada uno de los tiempos de anticipación y representa
la probabilidad de ocurrencia en cada uno de esos tiempos.
 Paso 2: cálculo de la cantidad Q. Para determinar la cantidad Q, se utiliza
la misma ecuación del modelo determinístico de compra sin déficit
 Paso 3: hallar el intervalo entre pedidos se supone que se cuenta con una
cantidad Q en inventario, y se establece para cuanto tiempo alcanza esta
cantidad si se supone una demanda constante.
Su ecuación es la siguiente:
IP =
𝑄
𝑟
 Paso 4: determinar la demanda en el tiempo de anticipación más el
intervalo entre pedidos.
Gráfico 28: GRÁFICA DE REVISIÓN PERIÓDICA DE DEMANDA VARIABLE

63
4.2.3. DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR VARIABLE
El objetivo de este modelo es hallar el punto de reorden, es decir, la cantidad
que garantiza que se tendrán productos suficientes para atender la
demanda, teniendo en cuenta que los proveedores tienen un tiempo de
respuesta (tiempo que transcurre desde que se emite el pedido hasta que el
producto llega a la empresa).
4.2.4. COMPARACIÓN ENTRE SISTEMA DE INVENTARIOS DE REVISIÓN
CONTINUA Y REVISIÓN PERIÓDICA
MODELO DEMANDA VARIABLE Y TIEMPO DE ANTICIPACIÓN
CONSTANTE
En la tabla siguiente se observa las diferencias entre los dos modelos, de ello
se puede decir:
Ventajas del sistema P (Revisión periódica)
 Este sistema es cómodo porque se puede designar a los empleados a
dedicarse un día o unas horas a la tarea de revisión.
 Se puede conseguir descuento por parte del proveedor que suministra
productos de varias referencias o clases, combinándolos en una sola
orden de compra. A diferencia del sistema Q, sólo es requerido
conocer la cantidad de inventario disponible cuando se realiza la
revisión.
Ventajas del sistema Q (Revisión continua)
 La revisión puede ser ajustada acorde a las necesidades de
abastecimiento de cada artículo.
 Al realizar un pedido por una cantidad fija y si ésta es alta, se
presentan
 descuentos por cantidad. De la misma manera, es importante tener en
cuenta el espacio físico requerido para el manejo de las cantidades a
recibir, de forma que es apropiado manejar una cantidad fija de
pedido.
 Suele mantener stock de seguridad más bajo por lo que representa
ahorro en este costo

64
Gráfico 29: DIFERENCIAS DEL SISTEMA DE INVENTARIO DE UNA
REVISIÓN CONTINUA Y UNA REVISIÓN PERIÓDICA
4.2.5. CASUÍSTICA:
EJERCICIO 01:
DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR
CONSTANTE
La demanda diaria de un producto es de 10 unidades y la desviación
estándar es de 3 unidades. El modelo P nivel de servicio en stock que se
desea satisfacer con el inventario es de un 98%. El inventario inicial es
de 150 unidades. ¿Cuántas unidades se deben pedir? Considerando la
siguiente fórmula que describe el cálculo de la cantidad de pedido q para
el:
Q = 𝑑̅(𝐿 + 𝑇) + 𝑧𝜎𝐿𝑇
2
− 𝐼
Cantidad
Del =
pedido
Demanda
promedio
durante el +
periodo
vulnerable
Inventarios
de
seguridad -
Existencias disponibles
más el pedido, en caso
de haber alguno)
-

65
 SOLUCIÓN:
En primer lugar, calculamos el inventario de seguridad 𝑧𝜎𝑇+𝐿. La
desviación estándar durante el período T + L es la raíz cuadrada de la
suma de las varianzas para cada día.
Luego, 𝑇 + 𝐿
𝜎
√(𝑇 + 𝐿)𝜎𝑑
2
o:
𝑇 + 𝐿
𝜎
√(𝑇 + 𝐿)𝜎𝑑
2
= √(30 + 14)𝑋32
= √396 = 19.90
Luego calculamos la cantidad de pedido:
q= 𝑑̅(𝐿 + 𝑇)+ 𝑧𝜎𝐿𝑇
2
-I = 10(30+14) + 2.05 (19.90) – 150 = 331 unidades
 Finalmente, el tamaño de pedido es de 331 unidades en este
período de revisión.
EJERCICIO 02:
DEMANDA VARIABLE Y DEMANDA DEL PROVEEDOR CONSTANTE
Hallar T y M. La cantidad optima del pedido, es la misma que bajo la
política de punto de reorden, 11.008 unidades. El intervalo de pedido es:
𝑇 ∗=
𝑄∗
𝑑
=
11.008
11.007
= 0.991 o 1 mes
Entonces, la desviación estandar de la demanda durante el periodo de
revisión más el tiempo de revisión es:
S*d = Sd √𝑇 + 𝑇𝐸
S*d = 3,099 √0.991 + 1.5 = 4.981 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
El nivel máximo para P = 0.75 es
M* = d(T* + TE)+ Z (Sd)
M* = 11,107(0.991+1.5)+0.67(4,891)
M* = 30,945 unidades
La política de inventario es revisar el nivel de control de inventario cada
mes y establece un pedido de reaprovisionamiento por la diferencia entre
la cantidad disponible y 30,945 unidades.

66
Nivel promedio del inventario:
De esta política de inventario se puede esperar que se produzca un nivel
de inventario promedio de
𝐴𝐼𝐿 =
𝑑𝑇 ∗
2
𝑍 (𝑆𝑑)
𝐴𝐼𝐿 =
11,107(0.99)
2
0.67(4.891)
AIL = 8,780 unidades

67
BIBLIOGRAFÍA:
 BALLOU, RONALD (2004). Administración de la Cadena de Suministro
 https://www.edu.xunta.gal/centros/iesfontexeria/aulavirtual2/pluginfile.php/17043/mod_
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 Izar, J. (2012). Investigación de operaciones, México: Editorial Trillas.
 Winston, W. (2005). Investigación de operaciones, México, Editorial Thomson.
 Taha, H. (2008). Investigación de operaciones, México: Editorial Alfaomega.
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tecnicas_inventario.pdf
 https://es.slideshare.net/navamilusa/modelo-wilson-3
 https://blog.controlgroup.es/tamano-lote-de-produccion-calcularlo/
 https://issuu.com/yaniraabac/docs/lec_e_inflacion.docx
 https://www.gestiondeoperaciones.net/inventarios/ejemplo-del-modelo-de-lote-
economico-con-produccion-y-consumo-simultaneo-poq/
 https://ingenioempresa.com/modelo-de-cantidad-economica-eoq/
 https://es.scribd.com/doc/32585044/Modelo-de-manufactura-sin-deficit
 https://prezi.com/z21qdgectr0e/modelo-de-inventario-con-deficit/
 https://prezi.com/gofczk6cxg7p/modelo-de-compra-sin-deficit/
 http://operaciongadget.blogspot.com/2017/11/421-modelos-deterministicos-sin-
deficit.html
 https://ingenioempresa.com/sistema-de-revision-continua/
 https://www.gestiondeoperaciones.net/inventarios/caracteristicas-de-un-sistema-de-
revision-periodica-de-inventarios-o-modelo-p/
 http://virtualnet2.umb.edu.co/virtualnet/archivos/open.php/692/mod2/pdf/adm.pdf
 https://books.google.com.pe/books?id=2q5JDwAAQBAJ&pg=PT116&lpg=PT116&dq=
DEMANDA+VARIABLE+Y+DEMORA+DEL+PROVEEDOR+CONSTANTE&source=bl&
ots=lhTZ7XWDh1&sig=ACfU3U3sMjk0uDcRinTswNckXNDxnv65A&hl=es&sa=X&ved=
2ahUKEwim77Tk77DmAhXbDbkGHXHTDbMQ6AEwB3oECAoQAQ#v=onepage&q=D
EMANDA%20VARIABLE%20Y%20DEMORA%20DEL%20PROVEEDOR%20CONST
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 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0186104215001199

68

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