1. 1
Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido
Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Luis Adriano Oliveira

2. 2
Relações Diferenciais Aplicadas a um Elemento de Fluido
Equações diferenciais e integrais: origem comum nas Leis Básicas.
Conteúdo informativo análogo (embora domínios espaciais distintos)
Equações Integrais podem obter-se :
- via aplicação das leis básicas a um VC ( cf. Cap. III ) ;
- via integração, a um VC, das equações diferenciais.
Equações Diferenciais podem obter-se :
- por aplicação das leis básicas a um elemento de fluido (sistema) ;
- por dedução formal matemática, partindo da formulação integral ;
- por aplicação directa a um VC elementar da formulação integral :
∂
DN
()
∫∫∫VC ηρdv + ∫∫SC ηρ V.n dA
= ˆ
∂t
Dt

3. 3
Equação Diferencial da Continuidade
Partindo da integral, por dedução formal:
T. Gauss
∂ ∂
() ()
∫∫SC ∂t ∫∫∫VC
ρdv ⇒ ∫∫∫ div ρV dv = − ∫∫∫ ρdv ⇒
ρ V.n dA = −
ˆ
∂t VC
VC
∂ρ ∂ρ Dρ
()
+ div ρV = 0 ⇒ + V.grad ρ + ρdivV = 0 ⇒ + ρdivV = 0
∂t ∂t Dt
[ Massa ] (Balanço, por unidades de volume e de tempo, entre a
[ Volume.Tempo] matéria que entra e que sai, e a variação de densidade)
ρ = c.te ⇒ div V = 0
Fluido incompressível :
∂u ∂v
2−D : =−
∂x ∂y

4. 4
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes)
∂V
( )
unid. vol.: f = ρa ⇒ ρ + ρ V.grad V = f c + fs
∂t
Como relacionar fs com o campo de velocidade?
Pressão (tensões normais): f p = −gradp (força “líquida”/un. Vol.)
Factor novo: atrito (origina tensões normais e tangenciais)
A caracterização do estado de tensão num ponto é dada pelo
conhecimento do estado de tensão em três faces infinitesimais
ortogonais que se intersectam nesse ponto
Tensor das tensões : 9 componentes σij

5. 5
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
1
( )
I = − σ xx + σ yy + σzz (Invariante do tensor)
σ xx σ yx σzx 3
σ ij = σ xy σ yy σ zy τii : desvios (de p) dos termos diagonais
σ xz σ yz σzz Se τ xx + τ yy + τzz = 0 (Stokes) entao I ≡ p
− p + τ xx τ yx τzx
τ : tensões originadas pelo atrito
σ ij = τ xy − p + τ yy τzy
τ xz τ yz − p + τzz
O tensor das tensões é simétrico : τij = τji

6. 6
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
Força “líquida” /xx sobre as faces de um elemento de fluido (p + τ) :
∂σ yx 

 ∂σ xx ∂σ yx ∂σzx 
σ yx + dy  dxdz

∂y
dfs x =  + +  dxdydz =
 
 ∂x ∂y ∂z 
∂σ xx 

 ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τzx 
 σ xx + dx  dydz
σzx dxdy
∂x
 
σ xx dydz
= − + + +  dxdydz
 ∂x ∂x ∂y ∂z 
dy
σ yx dxdz dz
∂τ xx ∂τ yx ∂τzx
∂p
dx
=− + + +
fs x
∂σ zx 

 σ zx + dz  dxdy
∂x ∂x ∂y ∂z
∂z
 
∂τ xy ∂τ yy ∂τzy
∂p
=− + + +
fs y
para un. vol. e por analogia:
∂y ∂x ∂y ∂z
∂τ xz ∂τ yz ∂τzz
∂p
=− + + +
fs z
∂z ∂x ∂y ∂z
Falta relacionar τij com V

7. 7
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
Deve notar-se:
- Estado de tensão taxa de deformação (campo de vel.)
- Relação entre ambos só pode ser estabelecida por via empírica
Pode admitir-se:
- A relação é linear (fluido Newtoneano)
- Não depende da direcção considerada (fluido isotrópico)
A deform. de um elem. depende do mov. relativo de dois dos seus pontos
O conhecimento do campo de veloc. permite caracterizar a taxa de def. em qq. ponto

8. 8
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
Casos típicos:
∂u
dxdt
y
∂x
I) - Deformação linear
seja:
∂ ∂u
=0, >0 x
dx
∂y ∂x
Taxa de elongação relativa /x : ∂u / ∂x
Taxa de dilatação volumétrica relativa :
 
∂u ∂v ∂w
 
dx + dxdt   dy + dydt   dz + dzdt  − dxdydz

∂x ∂y ∂z
   
=
dxdydzdt
∂u ∂v ∂w
(=0, se fluido incompressível)
++ = divV
∂x ∂y ∂z

9. 9
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
∂u
Casos típicos: dydt
∂y
y
II) - Deformação angular
dy ∆θ
seja: ∂ ∂
≠0, =0 dx x
∂y ∂x
∂u
( ∂u / ∂y ) dydt Taxa =
Deformação angular: ∆θ ≅ tg∆θ = ∂y
dy
∂u
dydt
seja: ∂ ∂y
∂
≠0, ≠0
∂y ∂x ∂v
dy dxdt
∂x
dx
∂u ∂v
+
Taxa de def. no plano xy: (análogo nos planos xz e yz)
∂y ∂x

10. 10
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
∂u
Casos típicos: dydt y
∂y
III) - Rotação ∂v
dxdt
∂x
seja: β
∂u ∂v ∂u ∂v x
=− ∴ + =0 (deformação angular nula)
∂y ∂x ∂y ∂x
Mas ocorreu rotação, de velocidade angular Ω . No plano xy:
∂v
dxdt
∂v  ∂u 
β β ∂x
≅ tg = =  = − ∂y 
∂x 
dt dt dxdt 
1  ∂v ∂u  Velocidade angular
∴ −  1
2  ∂x ∂y  de rotação no plano xy Ω = rotV
2
(análogo nos planos xz e yz)

11. 11
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
No movimento geral de um elemento de fluido:
I) - Deformação linear  ∂u , ...  deformação volumétrica
 
 ∂x 
 ∂u ∂v 
II) - Deformação angular  + , ... 
 ∂y ∂x 
 1  ∂v ∂u  
III) - Rotação pura   − , ...  
 2  ∂x ∂y  
IV) - Translação (u,v,w)
Apenas I e II originam deformações tensões a juntar à pressão
Considerando empirismo, linearidade e isotropia, postula-se, então:

12. 12
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (cont.)
µ , λ : coef . isotro′pi cos
 ∂v ∂u 
∂u
τ xx = λdivV + 2µ τ xy = µ + 
de proporcionalidade
∂x  ∂x ∂y 
 ∂w ∂v 
∂v Hipótese de Stokes :
τ yy = λdivV + 2µ τ yz = µ  +
∂y  ∂y ∂z 
2
∂w  ∂u ∂w  λ=− µ
τzz = λdivV + 2µ τzx = µ  +  3
∂z  ∂z ∂x 
τ xx + τ yy + τzz = 0 I = p (q.e.d.)
Ponto da situação : ρ DV = ρg + fs ()
com : fs = − grad p + G V
Dt

13. 13
Equação Diferencial da Q_M (Navier-Stokes) (conclusão)
DV
()
ρ = −grad p + ρ g + G V
Dt
  ∂   ∂u ∂v   ∂   ∂u ∂w  
∂   ∂u 2
 ∂u ∂p

ρ  + V.gradu  = − + ρg x + µ  2 − divV   + µ  +   + µ  + 
 ∂t ∂x ∂x   ∂x 3   ∂y   ∂y ∂x   ∂z   ∂z ∂x  

∂   ∂v 2   ∂   ∂v ∂w   ∂   ∂v ∂u  
 ∂v ∂p

ρ  + V.gradv  = − + ρg y + µ  2 − divV   + µ  +   + ∂x µ  ∂x + ∂y  
 ∂t ∂y ∂y   ∂y 3   ∂z   ∂z ∂y  
  
  ∂   ∂w ∂u   ∂   ∂w ∂v  
∂   ∂w 2
 ∂w ∂p

ρ + V.gradw  = − + ρg z + µ  2 − divV   + µ  +  + µ + 
∂x   ∂x ∂z   ∂y   ∂y ∂z  
∂t ∂z ∂z   ∂z 3
     