PENYEDERHANAAN
RANGKAIAN

MATERI
 Fungsi Boolean
 Komplemen Fungsi
 Bentuk Kanonik
 SOP
 POS
 Penyederhanaan Secara Aljabar
 Minimisasi Rangkaian Logika
 Peta Karnaugh

3
Fungsi Boolean
 Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner)
adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi
Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn  B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang
beranggotakan pasangan terurut ganda-n
(ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
 Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan
fungsi Boolean.

4
 Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut
ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z
= 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1  0  1 + 1’  0 + 0’ 1 = 0 + 0 +
1 = 1 .

5
 f(x) = x
 f(x, y) = x ’y + xy ’+ y ’
 f(x, y) = x ’ y ’
 f(x, y) = (x + y)’
 f(x, y, z) = xyz ’
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

6
 Setiap peubah di dalam fungsi Boolean,
termasuk dalam bentuk komplemennya,
disebut literal.
 Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada
contoh di atas terdiri dari 3 buah literal,
yaitu x, y, dan z’.

7
Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’,
nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Contoh.
Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0

8
 Cara pertama: menggunakan hukum De
Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah,
x1 dan x2, adalah
Komplemen Fungsi

9
 Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)
Contoh.

10
 Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang
merepresentasikan f, lalu komplemenkan
setiap literal di dalam dual tersebut.
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)
komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)

11
Bentuk Kanonik
Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:
Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)

12
Contoh :
1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz  SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)  POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal
lengkap

13
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0
0
1
1
0
1
0
1
x’y’
x’y
xy’
x y
m0
m1
m2
m3
x + y
x + y’
x’ + y
x’ + y’
M0
M1
M2
M3

14
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z
x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7

15
Contoh Soal:
 Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam
bentuk kanonik SOP dan POS.
x y z f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1

16
 Penyelesaian:
SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan
nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan
111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk
kanonik SOP adalah
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 =  (1, 4, 7)

17
Contoh:
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam
bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 =  (1,4,5,6,7)

18
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)

19
Aplikasi Aljabar Boolean
Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam
rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
x'
x
y
xy
x
y
x'y
xy+x'y

20
(b) Cara kedua
x'
xy
x
y
x'y
xy+x'y

21
x'
xy
x y
x'y
xy+x'y
(c) Cara ketiga

22
Penyederhanaan Fungsi Boolean
 Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1  (x + y )
= x + y

23
f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
f(x,y,z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

Latihan Soal (sederhanakan):
1. A.(A.B + B)
2. AC + ABC
3. ABC + AB’C + ABC’
4. (A + BC)

Jawaban:
1. A.(A.B + B) = A.AB + A.B
= A.B + A.B = A.B
2. AC + ABC = AC(1 + B) = AC
3. ABC + AB’C + ABC’ = AC(B + B’) + ABC’
= AC + ABC’= A(C + BC’)
= A(C + B) = A(B + C)
4. (A + BC) = A (B + C) = A.B + A.C

Penyederhanaan Secara Aljabar
 Tahap minimalisasi rangkaian logika agar efektif dan
efisiensi
 Rangkaian dengan jumlah gerbang yang sedikit akan
lebih murah harganya, dan tata letak komponen lebih
sederhana.
 Salah satu cara untuk meminimalkannya adalah dengan
menggunakan aljabar Boole.

Contoh :
1.
Sehingga rangkaian di atas bisa disederhanakan menjadi :
A A B B
Y
Y = A B + A B
= A ( B + B )
= A
A A B B
Y

Cont..
2.
A
B
C
Y
Y = A + (A + B) . B C
= A + A B C + B B C
= A + A B C + B C
= A + B C (A + 1)
= A + B C
; B . B = B
; A + 1 = 1
Rangkaian hasil penyederhanaan :
A
B
C
Y

Soal Latihan :
Sederhanakanlah rangkaian di bawah ini :
1.
2.
3.
A
B
C
Y
A
B
C
Y
`
A
B Y
C
D

Peta Karnaugh (K-Map)
 Meskipun aljabar Boole merupakan suatu sarana untuk
menyederhanakan pernyataan logika, belum dapat
dipastikan bahwa pernyataan yang disederhanakan
dengan aljabar Boole itu merupakan pernyataan yang
paling sederhana.
 Prosedur meminimumkan agak sulit dirumuskan karena
tidak adanya aturan yang jelas untuk menentukan
langkah manipulasinya.
 Metode peta karnaugh memberikan suatu prosedur yang
mudah

Format K-Map
 n variabel input akan menghasilkan 2n kombinasi
minterm yang diwakili dalam bentuk segiempat (kotak).
 Peta Karnaugh 2 variabel memerlukan 22 atau 4 kotak,
peta karnaugh 3 variabel mempunyai 23 atau 8 kotak,
dst

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH
- Peta Karnaugh 2 variabel
A
A
B
B

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH
Misal diketahui tabel
kebenaran sbb :
A B Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Maka Peta Karnaugh :
0 0
1 1
B B
A
A

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH
 Bentuklah peta Karnaugh untuk tabel
kebenaran :
A B Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (4)
- Peta Karnaugh 3 variabel
C
B
A
B
A
B
A
AB
C

Peta Karnaugh 3 Variabel
 Peletakan posisi suku minterm

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (5)
 Bentuk peta Karnaugh untuk tabel kebenaran:
A B C Y
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0 0
1 0
1 1
0 0
C C
B
A
B
A
AB
B
A

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (6)
- Peta Karnaugh 4 variabel
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (7)
A B C D Y
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0

PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (8)
- Peta Karnaugh 4 variabel
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C

PAIR
 sepasang 1 yang bertetangga dalam peta
Karnaugh
0 0 0 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah pair
Jika terdapat 1 pair,
maka 1 variabel dan
komplemennya
akan dibuang dari
persamaan boolean

QUAD
 Grup yang terdiri dari 4 buah 1 yang bertetangga
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah quad
Sebuah quad akan
menghilangkan 2
variabel dan
komplemennya dari
persamaan boolean

OCTET
 Grup yang terdiri dari 8 buah 1 yang
bertetangga
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah octet
Sebuah octet akan
menghilangkan 3
buah variabel dan
komplemennya dari
persamaan boolean

OVERLAP
 Pemakaian 1 buah 1 lebih dari satu kali.
 Jika menandai suatu grup, diijinkan
menggunakan 1 lebih dari satu kali
0 0 0 0
0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
OVERLAP

ROLLING
0 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
ROLLING
ROLLING

REDUNDANT
 Sebuah grup yang 1-nya overlap semua pada
grup lain disebut redundant grup.
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
B
A
D
C
B
A
AB
B
A
D
C CD D
C
REDUNDANT

Penyederhanaan dengan Peta
Karnaugh
 Digunakan untuk menyederhanakan fungsi
boolean
 Dengan cara memetakan tabel kebenaran
dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya
tergantung dari jumlah peubah (variabel)
masukan
 Penyederhanaan untuk setiap “1” yang
bertetanggaan 2,4,8,16… menjadi suku minterm
yang sederhana

Langkah-langkah dalam menggunakan K-map
1. Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke
dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product).
Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu.
2. Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 ^ jumlah
variabel input.
3. Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel
Kebenaran.
4. Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan,
dengan aturan :
1. hanya minterm berdekatan secara vertikal atau
horizontal yang boleh di-cover.
2. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover
adalah : 2. 4, 8, 16, 32
5. Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-
cover-an minterm.

SIMPLIKASI KARNAUGH
 Langkah simplifikasi dengan peta
Karnaugh :
1. Masukkan 1 pada peta
2. Masukkan 0 pada peta
3. Tandai octet, quad dan pair (ingat ROLLING
dan OVERLAP)
4. Jika ada 1 yang tertinggal, tandai
5. Hilangkan REDUNDANT jika ada
6. Bentuk persamaan boolean.

50

51

Peta Karnaugh 3 Peubah
 Contoh :
A B C Q
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

Peta Karnaugh 3 variabel
 Contoh : f =  m (0,1,2,4,6)

54

55

56

57

58

59

Peta Karnaugh 4 Variabel
 Contoh : f =  m (0,2,8,10,12,14 )

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

Peta Karnaugh 5 Variabel
 Peletakan posisi suku minterm

Peta Karnaugh 5 Variabel
 Contoh : f =  m (0,7,8,15,16,23,24 )

Peta Karnaugh 6 Variabel
 Peletakan posisi suku minterm

Peta Karnaugh 6 Variabel
 Contoh :
f =  m (0,4,10,11,18,21,22,23,26,27,29,30,31,32,36,50,
53,54,55,58,61,62,63)

Peta Karnaugh maxterm
 Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-
kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah
peubah (variabel) masukan
 Penyederhanaan untuk setiap “0” yang bertetanggaan
2,4,8,16… menjadi suku maxterm yang sederhana.

Peta Karnaugh maxterm
 Contoh : g =  M(1,3,4,5,6,7,9,11,13,15)

Penilikan kesamaan
 Peta Karnaugh
dapat digunakan
untuk menilik
kesamaan dua
buah fungsi
boolean
 Contoh :
Buktikan
kesamaan
 Dapat dilihat kedua fungsi
memiliki peta karnaugh yang
sama.