Slides sobre Matematica Financeira - UERJ.pdf

31-0
Disciplina
Matemática
financeira e análise
de investimentos
Professor: Virgilius de Albuquerque

31-1
Sumário
 Introdução: conceitos básicos
 Fluxo de caixa
 Juros
 Simbologia
 Regimes de capitalização
 Juros simples
 Juros compostos
 Juros contínuos
 Juros simples e desconto em juros simples

31-2
Sumário
 Juros compostos, desconto em juros
compostos e capitalização
 Capitalização de fluxo de caixa simples
 Capitalização de fluxos de caixa não homogêneos
 Taxas de juros
 Taxa efetiva
 Taxas proporcionais
 Taxas equivalentes
 Taxa nominal
 Taxa real

31-3
Sumário
 Séries de pagamento
 Série uniforme
 Equivalência de fluxos de caixa: sistemas de
amortização
 Pagamento único
 Juros uniformes (americano)
 Amortização uniforme (SAC ou hamburguês)
 Prestação uniforme (francês ou price)
 Amortização mista
 Fluxo de caixa e inflação
 Juros prefixados
 Juros pós-fixados

31-4
Bibliografia básica
 PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira
objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Elsevier, 9a ed., 2011
 FARO, Clóvis. Fundamentos da matemática financeira:
uma introdução ao cálculo financeiro e à análise de
investimentos de risco. São Paulo: Saraiva, 2006
 ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas
aplicações. São Paulo: Atlas, 12a ed., 2012

31-6
Bibliografia complementar
 BERK, Jonathan; DeMARZO, Peter; HARFORD, Jarrad.
Fundamentos de Finanças Empresariais. Porto Alegre:
Bookman, 2010
 ROSS, Stephen; WESTERFIELD, Randolph; JAFFE,
Jeffrey; LAMB, Robert. Administração financeira. Porto
Alegre: McGraw-Hill, 10ª ed., 2015

31-7
Bibliografia complementar

31-8
Introdução: conceitos básicos
Capítulo 1 - Puccini

31-9
 Determinar o valor (VP) de ativos e passivos por meio de
 cálculos financeiros em fluxos de caixa
 com a correta aplicação de taxas de juros
 levando em consideração o valor do dinheiro no
tempo
 Obter o Valor Presente Liquido (VPL) de fluxos de
caixa
 Analisar diversas alternativas de fluxos de caixa,
usando o VPL
 Obter a taxa interna de retorno (TIR) de fluxos de caixa
Matemática financeira: para que
serve?

31-10
Valor do dinheiro no tempo
 O dinheiro cresce no tempo devido à taxa de juros
 $1.000,00, hoje, não tem o mesmo valor que $1.000,00 em
qualquer data futura
 pois o dinheiro tem valor distinto no tempo
 Valores em datas diferentes não podem ser somados
 Só é correta a soma de valores colocados em uma mesma
data (hoje, por exemplo: VPL)
 Na movimentação do dinheiro no tempo é preciso levar em
conta a taxa de juros (regime de juros compostos)
 pois, em geral, os juros são capitalizados

31-11
Fluxo de Caixa
 Entradas e saídas de caixa ao longo do tempo
 As entradas de caixas são os recebimentos (+)
 As saídas de caixa são os pagamentos (-)
0 1 2 3 … n
(-) (+) (-) (+) (-)
PERÍODOS

31-13
 Representação do fluxo de caixa no horizonte de tempo
 valores do período são representados no final período
 série postecipada (mais empregada)
 valores são representados no início do período
 série antecipada
 Unidades de tempo
 ano – semestre - trimestre – mês – dia – hora …
Fluxo de Caixa

31-14
Juros
 Remuneração dos fatores de produção
 trabalho (labor): salário
 terra (land)/propriedades, bens e equipamentos
(capital produtivo): aluguel e arrendamento
(leasing)
 tecnologia: royalty
 capital (financeiro): juros
 gestão empresarial: lucro

31-15
Juros
 Denominações/definições da taxa de juros
 Taxa de remuneração do investimento
 Custo do financiamento
 Custo de oportunidade
 Custo financeiro da alternativa de investimento
preterida
 Taxa de desconto
 Taxa de retorno
 Taxa mínima de atratividade (TMA)
 Taxa interna de retorno (TIR), quando a taxa de juros
utilizada resulta em VPL = 0
 Taxa de juros intrínseca do fluxo de caixa

31-16
Juros
 Regime de juros
 Juros simples
 comportamento linear ou progressão
aritmética
 Juros compostos
 comportamento exponencial ou progressão
geométrica
 Unidade da taxa de juros (em %)
 anual, semestral, trimestral, mensal,
diária

31-17
Regimes de capitalização de juros
 Juros simples: juros não rendem juros
 Juros de cada período são sempre calculados
sobre o capital inicial aplicado (principal)
 Portanto, os juros acumulados e não pagos ao
longo dos períodos não rendem juros
 Crescimento do dinheiro, no tempo, é linear
(progressão aritmética)
 Na prática, não é utilizado na análise de fluxos de
caixa

31-18
 Juros compostos: juros rendem juros
 Juros de cada período são calculados sobre o saldo
devedor do início do período (e não sobre o
principal)
 Portanto, os juros acumulados e não pagos ao
longo dos períodos, são capitalizados e passam a
render juros
 Crescimento do dinheiro, no tempo, é exponencial
(progressão geométrica)
 É o regime de capitalização utilizado na análise de
fluxos de caixa

31-19
 Considerações gerais
 Juros Simples
 conceitualmente incorreto
 não deve ser usado na análise de fluxos de caixa, pois
pode conduzir a decisões erradas
 Juros Compostos
 conceitualmente correto
 permite uma avaliação correta dos fluxos de caixa

31-20
Simbologias e Convenções
0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i
HP - Excel
i
i
i
i
i
0 1 2 3 … n-1 n
PV FV
PMT
i
HP - Excel
i
i
i
i
i
n: número de períodos do fluxo de caixa
i: taxa de juros no período, em percentagem (%)
VP ou PV: valor presente, capital inicial aplicado
VF ou FV: valor futuro, montante no final de n períodos
PMT: pagamentos periódicos e uniformes de mesmo valor
Final de período
Série postecipada (END)
Início de período
Série antecipada (BEGIN)

31-22
Simbologias e Convenções
 Comentários - HP 12C
 as unidades de tempo de i e n devem ser sempre iguais
 os cinco elementos (n, i, PV/CF0, FV, PMT/CFj) estão
sempre interligados
 anule o elemento que não participa do problema
 observe a convenção dos sinais para cálculos de i e n
 entrada de recursos com sinal positivo
 saída de recursos com sinal negativo

31-23
Regimes de capitalização: juros
simples, compostos e contínuos

31-24
Juros simples
Pagamento de juros no final (tabela)
Copyright © Abelardo Puccini. 2011. Editora
Elsevier.
Ano
Saldo no início
do ano
Juros ao ano
Saldo no final
do ano antes
pagto
Pagamento do
ano
Saldo no final
do ano após
pagto
1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 80,00 1.160,00 0,00 1.160,00
3 1.160,00 80,00 1.240,00 0,00 1.240,00
4 1.240,00 80,00 1.320,00 1.320,00 0,00
Capital inicial: $1.000,00
Prazo: 4 anos
Taxa de juros: 8,00% a.a.
Juros Anuais: 8% x $1.000,00 =$80,00
0 1 2 3 4
(+) $1.320,00
(-) $1.000,00
Anos
Fluxo de Caixa

31-25
Juros simples
Elsevier.
Ano
Saldo no
início do ano
Juros ao ano
Saldo no final do
ano antes pagto
Saldo no final do ano
Expressão geral do
saldo no final do ano
1 1.000,00 80,00 1.080,00 P + P x i P x ( 1 + i x 1)
2 1.080,00 80,00 1.160,00 P + 2 (P x i) P x ( 1 + i x 2)
3 1.160,00 80,00 1.240,00 P + 3 (P x i) P x ( 1 +I x 3)
4 1.240,00 80,00 1.320,00 P + 4 (P x i) P x ( 1 + i x 4)
 Reproduzimos os valores dos saldos finais em busca de uma
relação geral de juros simples

31-26
Juros simples
 SDf: saldo devedor final = $1.320,00
 SDi: saldo devedor inicial = $1.000,00
 Juros = 1.320 – 1.000 = $320,00
Relações gerais
Equação geral de juros simples
 VF: $1.320,00
 VI: $1.000,00
 Juros = 1.320,00 – 1.000 = $320,00
 Em juros simples, podemos observar que
Juros
 VF = 1.000 (1 + 0,08 x 4) = $1.320,00
 VF – VP = Juros
 1.320,00 - 1.000,00 = $320,00 = Juros

31-27
Juros simples
Pagamento de juros no final (gráfico)
Elsevier.
Prazo: 4 anos
Juros anuais: 8% x $1.000,00 = $80,00
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
0 1 2 3 4
Juros simples
cresc. linear
(reta)
Saldo devedor
no final do
período
Anos
$1.080
$1.1601
.080
80
$1.2401
.080
80
$1.3201
.080
80

31-28
Juros compostos
Elsevier.
Ano
Saldo no
início do ano
Juros ao ano
Saldo no final do
ano antes pagto
Pagamento do
ano
Saldo no final do
ano após pagto
1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 1.080,00
2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 1.166,40
3 1.166,40 93,31 1.259,71 0,00 1.259,71
4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 0,00
Prazo: 4 anos
Juros anuais: 8% x saldo no início de cada ano
0 1 2 3 4
(+) $1.360,49
(+) $1.000,00
Fluxo de Caixa
Anos

31-29
Juros compostos
Elsevier.
Ano
Saldo no
início do ano
Juros ao ano
Saldo no final do
ano antes pagto
Saldo no final do ano
Expressão geral do
saldo no final do ano
1 1.000,00 80,00 1.080,00 P + Pxi P x ( 1 + i)1
2 1.080,00 86,40 1.166,40 P x (1 + i) x (1+i) P x ( 1 + i)2
3 1.166,40 93,31 1.259,71 P x ( 1 + i)2
x (1+i) P x ( 1 + i)3
4 1.259,71 100,78 1.360,49 P x ( 1 + i)3
x (1+i) P x ( 1 + i)4
 Reproduzimos os valores dos saldos finais em busca de uma
relação geral de juros compostos

31-30
Juros compostos
 SDf: $1.360,49
 Sdi: $1.000,00
 Juros = 1.360,49 – 1.000 = $360,49
Relações gerais
 VF: $1.360,49
 VI: $1.000,00
 Juros = 1.360,49 – 1.000 = $360,49
Equação geral de juros compostos
 VF = 1.000 (1 + 0,08)4 = $1.360,49
 VF – VP = Juros
 1.360,49 - 1.000,00 = $360,49 = Juros

31-31
Juros compostos
Pagamento de juros no final
Elsevier.
Capital inicial: $1.000,00 (gráfico)
Prazo: 4 anos
Juros anuais: 8% x saldo no início de cada ano
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
0 1 2 3 4
Juros compostos
cresc. exponencial
(curva)
Anos
Saldo devedor
no final do
período
$1.080
$1.166,40
$1.259,71
$1.360,49

31-32
Juros simples x juros compostos
Elsevier.
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
0 1 2 3 4
Saldo
Anos
JUROS COMPOSTOS
CRESC. EXPONENCIAL
(curva)
JUROS SIMPLES
CRESC. LINEAR
(reta)
$1.320,00
80
$1.360,49
Crescimento de $1.000,00 a 8% a.a.
Diferença
= $40,49

31-33
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
2.200
0 1 2 3 4
Montante
-
FV
Anos
Juros
Simples
Juros
Compostos
Crescimento de $1.000,00, a 20% a.a (taxa maior)
$1.800,00
$2.073,60
Diferença
= $273,60

31-34
Fração Juros Juros
de Ano Simples Compostos
n VF VF
0,00 1.000,00 1.000,00
0,25
(3 m) 1.050,00 1.046,64
0,50
(6 m) 1.100,00 1.095,45
0,75
(9 m) 1.150,00 1.146,53
1,00 1.200,00 1.200,00
1.000
1.050
1.100
1.150
1.200
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
M
ontante
-
FV
Ano
Juros
Compostos
Juros
Simples
Juros
Compostos
Juros
Simples
Crescimento de $1.000,00, a 20% a.a. para n < 1

31-35
Crescimento de $1.000,00 a 8% a.a.
Juros Compostos : Taxas Equivalentes
7,187 % a.a.: 32,00 % em 4 anos
8,000 % a.a.: 36,049% em 4 anos
Juros Simples : Taxas Proporcionais
8,000% a.a.: 32,00 % em 4 anos
9,012% a.a.: 36,048% em 4 anos
0 1 2 3 4
Anos
Juros Simples: 8,000% a.a
Juros Compostos: 7,187% a.a..
(-) $ 1.000,00
(+) $ 1.320,00
0 1 2 3 4
Anos
(-) $ 1.000,00 (+) $ 1.360,49
Juros Compostos: 8,000% a.a.
Juros Simples: 9,012% a.a.
 Taxa de JS é sempre maior que a taxa de JC para gerar o mesmo montante

31-36
Juros compostos
Pagamento periódico de juros (sistema americano)
Ano
Saldo no início
do ano
Juros ao ano
Saldo no final do
ano antes pagto
Pagamento do
ano
Saldo no final do
ano após pagto
1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 1.000,00
2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 1.000,00
3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 1.000,00
4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 0,00
Prazo: 4 anos
Pagto dos juros: no final de cada ano
Juros anuais: 8% x saldo inicial do período: 8% x $1000 = $80
Com pagamento periódico
de juros, os juros não são
crescentes
Exemplo: fluxo de caixa em que os juros não são capitalizados

31-37
 O investidor recebe $80,00 de juros anualmente
 O banco remunera o saldo no início de cada ano, a 8%% aa
 Uma vez que o principal é igual ao saldo devedor de cada
período, a remuneração a juros simples é a mesma que a juros
compostos
0 1 2 3 4
Anos
(+) $1.000,00
(-) $80,00
(-)$80,00
(-)$80,00
(-) $80,00
(-) $1.000,00
Juros compostos
Pagamento periódico de juros (sistema americano)

31-38
 No regime de juros compostos, os juros são
capitalizados de acordo com seu período de
capitalização
 Para uma dada unidade de tempo da taxa de juros, o
número de capitalizações de juros deve ser igual ao
período de capitalização da taxa de juros
 Para melhor compreensão, suponha a taxa de juros de
1% ao mês capitalizada mensalmente (taxa efetiva)
O que ocorre se o período de capitalização for
reduzido, por exemplo, para 1% ao mês capitalizado
diariamente (taxa nominal)? (os diferentes tipos de taxas
de juros serão abordados mais adiante)
Capitalização

31-39
 Devemos sempre trabalhar com uma taxa de juros
em que sua unidade de tempo seja a mesma que a
unidade de tempo de seu período de capitalização
 Para isso, a unidade de tempo da taxa de juros deve
ser convertida para a unidade de tempo do período
de capitalização
 Como fazer então, caso se deseje trabalhar com a taxa
de juros mensal, cujo período de capitalização seja
diária?
 Para responder a essa pergunta, daremos, agora,
prosseguimento ao nosso exemplo
Capitalização

31-40

Capitalização 30 dias equivalem a 1
mês, que é a unidade
de tempo desejada
6º passo: x 100: 1,0048% ao mês capitalizada mensalmente
 A taxa original foi capitalizada 30 vezes em 1 mês

31-41

Capitalização
720 (30x 24) horas
equivalem a 1 mês,
que é a unidade de
tempo desejada
 A taxa original foi capitalizada 720 vezes em 1 mês

31-42
Capitalização contínua
 No regime de capitalização a juros contínuos, os juros são
capitalizados continuamente, isto é, o número de capitalizações
no intervalo de tempo tende a infinito
 De outro modo, o período de capitalização é infinitesimal
(grandeza infinitamente pequena), ou seja, tende a zero
 Sendo x, o número de capitalizações ocorridas dentro da unidade
de tempo da taxa de juros, temos:
 O valor futuro de um investimento capitalizado continuamente
por n períodos é:
VF = P × ei.n
P é o FC no tempo 0
i é a taxa de juros anual
n é o número de anos da operação
e é o número neperiano correspondnete a 2,718

31-43
 Exemplo. Qual o valor do rendimento de um
investimento de $1.000, ao final de um ano,
aplicado a uma taxa continuamente
capitalizada de 10% ao ano?
VF = $1.000 x e (0,10 x 1) = $1.000 x 1,1052
= $ 1.105,20

31-44
 Exemplo. Para o mesmo problema, qual o
valor do rendimento em regimes de
capitalização a juros simples e a juros
compostos?
 Juros simples: VF = 1.000 x (1 + 0,10 x 1) =
= $ 1.100,00
 Juros compostos: VF = 1.000 x (1 + 0,10)1 =
= $ 1.100,00
 Os valores são idênticos, pois o prazo é de 1
único período de capitalização (1 ano)

31-45
 E se for 1% ao mês capitalizado continuamente?
1o passo: en.i = e 0,01 x 1mês = 1,0100502
2o passo: subtrai 1: 1 – 1,010050 = 0,0100502
3o passo: x 100: 1,00502 % ao mês capitalizado
continuamente

31-46
 Comparando com as taxas calculadas anteriormente em
nossos exemplos, temos:
 1% am capitalizado mensalmente: 1% am
 1% am capitalizado diariamente: 1,0048% am
 1% am capitalizado por hora: 1,0050% am
 1% am capitalizado continuamente: = 1,00502% am
 Conclusão: quando menor o período de capitalização, de
uma taxa de juros nominal, maior a taxa de juros efetiva
 A taxa de juros máxima obtida é sempre aquela
capitalizada continuamente, pois ela possui o menor
período de capitalização

31-47
 Exemplo. Considere que o logaritmo neperiano de 1,8
seja igual a 0,6. Aplicando um capital de $25.000 a um
a taxa de 4% ao mês, com capitalização continua,
verifica-se que o montante, no momento do resgate, é
de $45.000. Qual o período de aplicação?
 VF = P ei.n, então: 45.000 = 25.000 e0,04n
45.000/25.000 = e0,04n
1,8 = e0,04n
ln 1,8 = 0,04n x ln e (ln e: ex = e)
0,6 = 0,04n x 1
n = 0,6/0,04 = 15 meses

31-48
 Exemplo. Um capital de $50.000 foi aplicado a uma taxa
semestral i durante 2 anos, com capitalização contínua,
apresentando um montante de $200.000 no final do período.
Utilizando ln 2 = 0,69, qual o valor de i?
 VF = P ei.n, então: 200.000 = 50.000 e4i, pois 2 anos = 4
semestres
200.000/50.000 = e4i
4 = e4i
ln 22 = ln e4i (procura-se expressar em ln 2 para aproveitar a relação dada no
enunciado)
2 ln 2 = 4i ln e
2 x 0,69 = 4i; então: i = 1,38/4 = 0,345 ou 34,5% ao semestre
ln e = 1

31-49
Juros simples e
desconto simples

31-50
Juros simples e desconto simples
i - Taxa de juros de cada período
incide sobre PV para obter FV
d - Taxa de desconto de cada período
incide sobre FV para obter PV
0 1 2 3 … n - 1 n
FV
PV
d

31-51
 Relação entre PV e FV – com a taxa i
 Juros de cada período = PV x i (sempre constante)
 Juros após n períodos = PV x i x n (juros acumulados)
 Valor futuro após n períodos:
FV = PV+PV x i x n; então
PV = FV/(1 + i x n) desconto racional (por dentro)
FV = PV (1+ i n)
Taxa de rentabilidade

31-52
 Relação Entre PV e FV – com a taxa d
 Desconto de cada período = FV x d
 Desconto após n períodos (D)
 Valor Presente após n períodos :
PV= FV - FV x d x n; então
 d é o desconto comercial ou bancário (por fora)
PV = FV (1- d n)
Taxa de desconto
D = FV x d x n
desconto| (D)

31-53
 A taxa de desconto a juros simples é bastante utilizada
em operações bancárias em operações de:
 Desconto de notas promissórias
 Desconto de duplicatas
 Cálculo do valor aquisição de títulos públicos
federais
 Operações de mercado aberto. São operações
compromissadas (venda com recompra)
 Valor nominal (VN) ou valor de face (VF) ou valor ao
par corresponde ao valor de resgate ou o valor definido
de um título em seu vencimento.
Taxa de desconto

31-54
 Em geral, no Brasil, o valor de face dos títulos federais é
R$ 1.000,00 por título
 O valor nominal equivale ao VF ou montante
 Valor presente (VP) corresponde ao valor efetivamente
recebido, ou pago, pelo titular do título após o desconto
 Em operações de mercado aberto, o valor pago pelo
investidor é denominado preço unitário (PU)
Taxa de desconto

31-55
Correspondências entre juros e
desconto simples
i: taxa de rentabilidade
J: juros ($)
J = VF – VP
Jacum = VP x i x n
VP = VF - J
VF = VP (1 + in)
d: taxa de desconto
D: desconto ($)
D = VF – VP
Dacum = VF x d x n
VP = VF – D
VP = VF (1 – dn)

31-56
 Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com
vencimento no prazo de 60 dias, para uma taxa de desconto "por fora" (ou
comercial) de 1,50 % ao mês
Dados:
FV = VN = VF = $1.000,00
n = 60 dias
d = 1,50 % a.m. = (1,50 % / 30 ) ao dia
Solução:
PV = FV (1 - d x n) =
PV = $1.000,00 [1 – (1,50%/30)x60)] =
PV = $970,00
Como D= VF – VP, então: desconto = $1.000,00 - $970,00 = $30,00
 Observe que 60 dias = 2 meses. Utilizando n = 2 e d = 0,015, o
resultado será o mesmo
Exercício: Juros simples e desconto comercial

31-57
 Prosseguindo o mesmo exercício, qual a taxa de juros mensal
simples incidente (implícita) nessa operação?
VF = VP (1 + in)
1.000/970 = 1 + in
in = 0,03093
i = 0,03093/ 2 (2 meses, que expressa 60 dias)
i = 0,01546 ou 1,546 % ao mês > 1,5% ao mês (taxa de
desconto)
 A taxa de juros (i) é sempre superior à taxa de desconto (d)
Exercício: Juros simples e desconto comercial

31-58
VN = P (1 + in)
P = VN – VN.d.n
 Igualando as duas equações e realizando algumas operações
algébricas, obtém-se:
ou
Relação entre a taxa de juros simples e
desconto comercial
1 – d.n > 0:
se = 0, i tende ao infinito; se < 0, i será negativo
i > d
P = VN/(1 + in) e P = VN (1 – dn)
VN/(1 + in) = VN (1 – dn)
1/(1 + in) = 1 – dn
dn = 1 – 1/(1 + in)
dn = (1 + in – 1)/(1 + in)
d = in/[n x (1 + in)]
d = i/(1 + in)
desconto

31-59
 Os bancos comerciais, nas operações de desconto de títulos,
cobram, em geral, despesas administrativas e operacionais (t).
 Na prática, essas despesas representam taxas adicionais
de desconto
 Portanto, essas despesas incidem sobre o valor nominal
(VN) dos títulos e, em geral, apresentam alíquota fixa
 Então:
D = VN.d.n + VN.t
D = VN (d.n + t)
Despesas bancárias (t)

31-60
Exercícios

31-61
1) Qual o montante devido de um financiamento de $ 100.000
pelo prazo de 6 meses, a uma taxa de juros simples de 4,5%
ao mês? Resposta: $127.000
2) Qual o valor de uma aplicação se o valor de $ 2.200 foi
resgatado após 4 meses, cuja remuneração foi de 1,5% ao
mês? Resposta: $2.075,47
3) Um investimento de $ 7.500, a uma taxa de juros simples de
5% am, foi integralmente resgatado, resultando no valor de
$10.000. Qual foi o prazo de aplicação? Resposta: 6 m e 20 d
4) Determine o valor presente de um fluxo de caixa, cujo
investimento, remunerado à taxa de juros simples de 34,2%
ao ano, durante 3 meses, rendeu juros no valor de $ 6.520.
Resposta: $76.257,31
Exercícios: juros simples

31-62
5) Qual o valor da taxa de rentabilidade mensal a juros simples que
permite um investimento de $2.000 se transforme em um valor
total para resgate de $2.500 em 20 meses? Resposta: 1,25% am
6) Um investidor aplicou $15.000 por 20 dias a uma taxa de juros
simples de 1,2% ao mês? Qual a rentabilidade monetária obtida no
resgate? Resposta: $120
7) Uma aplicação financeira no valor de $12.500, em regime de juros
simples, realizada por um período de 12 meses, gera um montante
de $15.000. O mesmo investidor possui também uma reserva de
capital e faz outra aplicação durante 18 meses, a juros simples, à
mesma taxa de juros da aplicação anterior. Nessa segunda
aplicação, recebe um total de juros de $5.250. Qual o valor de sua
reserva de capital? Resposta: $17.500
8) Em quantos anos um capital triplica a uma taxa de 5% ao ano a juros
simples e compostos? Resposta: 40 anos. 22,52 anos
Exercícios: juros simples

31-63
9) Na compra de um eletrodoméstico, você tem duas alternativas de
pagamento: (1) à vista, por $225; e (2) $125 no ato da compra
mais uma parcela igual, um mês após a compra. Qual a taxa
mensal de juros simples cobrada na segunda alternativa?
Resposta: 25% ao mês
10) Um título com vencimento dentro de 1 ano apresenta valor de
face de $ 4.000. Se a taxa de juros corrente é de 42% ao ano,
qual o valor líquido resgatado e o desconto caso o papel seja
liquidado 3 meses antes de seu vencimento? A propósito, qual a
taxa de desconto correspondente? Resposta: $3.619,91.
$380,09. 3,17% am
11) Qual a taxa mensal de desconto racional de um título
descontado 60 dias antes de seu vencimento, sendo que o seu
valor de resgate é de $26.000 e o valor atual na data do
desconto é igual a $ 24.436,10? Resposta: 3,2% am
Exercícios: juros e desconto simples

31-64
12) Um título com vencimento daqui a 1 ano apresenta valor
nominal de $4.000. Se a taxa de desconto empregada é
de 42% ao ano, qual o desconto e o valor líquido de
resgate, se o título for descontado 3 meses antes de seu
vencimento? Qual a taxa de rentabilidade dessa
operação? Resposta: 3,91% am
13) Qual a taxa mensal de desconto comercial de uma nota
promissória negociada 60 dias antes de seu vencimento,
sendo que o valor de resgate é de $26.000 e o
correspondente valor líquido descontado é de
$24.436,10? Resposta: 3,01% am
Exercícios: desconto simples

31-65
14) Uma duplicata de valor de $60.000 é descontada 2 meses antes
de seu vencimento. O banco utiliza uma taxa de desconto de
2,8% ao mês, além de cobrar despesas administrativas de 1,5%
sobre o valor nominal. Determine o valor do desconto e o
valor resgatado. Resposta: $4.260. $55.740,00
15) Uma empresa deseja descontar duplicatas no valor total de
$1.000, todas com vencimento em 3 meses. Seu banco
comercial cobra uma taxa de desconto de 2% am e exige um
saldo médio de 30% do valor da operação, a título de
reciprocidade bancária.
Qual o valor creditado à empresa e qual a taxa de rentabilidade
mensal, a juros simples, sem e com saldo médio?
Resposta: $940; 2,13% am. $640; 3,13% am

31-66
16) Uma nota promissória no valor de $5.250 sofrerá desconto
comercial de dois meses e 20 dias antes de seu vencimento, a
uma taxa de desconto de 18% ao ano (ano comercial equivale
a 360 dias). O banco reterá a título de saldo médio 7% do
valor de face durante o período da operação. Há, ainda,
incidência de IOF (imposto que reverte para o governo
federal) de 1% sobre o valor nominal do título. Qual a taxa de
rentabilidade anual a juros simples dessa operação?
Resposta: 25,57% ao ano

31-67
17) A Letra do Tesouro Nacional (LTN) é um papel utilizado pelo
Banco Central em operações de mercado aberto para a
realização de política monetária. Os cálculos são realizados em
regime de juros simples e a rentabilidade é determinada por dia.
O valor nominal, também denominado valor de face, é
considerado igual a $ 1.000,00. O valor da aplicação,
correspondente ao valor líquido – ou principal, é denominado
‘tipo’ ou ‘P.U’ (preço unitário) para o valor de face de $
1.000,00.
Com base nessas informações, calcule o P.U. de uma operação
com LTN com vencimento dentro de 123 dias, e que é
negociado a uma taxa de rentabilidade de 1,3% ao mês.
Resposta: $949,40

31-68
18) Uma operação com LTN, que tem 39 dias para o seu
vencimento, está sendo negociada no mercado a uma
taxa de rentabilidade de 1,2% ao mês.
Qual a taxa de desconto anual correspondente para a sua
negociação? Resposta: 14,18% aa

31-69
Juros compostos, desconto
composto e capitalização

31-70
Juros compostos e desconto composto
i - taxa de juros de cada período
incide sobre PV para obter FV
d - taxa de desconto de cada período
incide sobre FV para obter PV
฀0 ฀1 ฀2 ฀3 ฀… ฀n - 1 ฀n
FV
PV
d
Relembrando

31-71
Saldos 1 2 n
Valor no início do
período (1)
PV PV (1 + i) PV (1+i)n-1
Juros do período
(2)
PV x i PV (1+i) x i PV (1+i)n-1 x i
Valor no final do
período (3)
PV (1+i) PV (1+i)2 PV (1+i)n
Períodos
FV = PV (1+ i)n
PV = FV/(1+i)n
(1): valor inicial é igual ao valor final do período anterior
(2): juros incidem sobre o valor inicial do respectivo período
(3): é a soma do valor inicial com os juros acumulados no período
 Valor futuro após n períodos é:
 E o valor presente é:
desconto racional composto (por dentro)
Taxa de
rentabilidade
 Relação entre PV e FV – com a taxa i

31-72
 A taxa de rentabilidade (i) corresponde à própria
taxa efetiva de juros compostos
 Também, em analogia à taxa de rentabilidade em
juros simples (P = VN / (1 + in)), o valor do
principal (valor recebido) em um desconto a juros
compostos é:
 onde, FV = VN (valor nominal) = VF (valor de face)
Relação entre PV e FV: taxa i

31-73
Saldos n n-1 1
Valor no final do
período (1)
FV FV(1 - d) FV (1-d)n-1
Desconto do
período (2)
FV x d FV (1 - d) x d FV (1 – d)n-1 x d
Períodos
PV = FV (1 - d )n
 Relação entre PV e FV – com a taxa d
Valor no início
do período (3)
FV (1 – d) FV(1 - d)2 FV (1-d)n
(1): valor final é igual ao valor inicial do período anterior
(2): desconto incide sobre o valor final do respectivo período
(3): é a subtração entre o valor final e o desconto acumulado no período
 Valor presente após n períodos é:
 d é o desconto comercial composto
Taxa de desconto

31-74
Correspondências entre juros compostos e
desconto composto
i: taxa de rentabilidade
J: juros ($)
J = VF – VP
Jper = PV (1+i)n-1 x i
VF = VP + J
VF = VP (1 + i)n
d: taxa de desconto
D: desconto ($)
D = VF – VP
Dper = FV (1 – d)n-1 x d
VP = VF – D
VP = VF (1 – d)n
 As correspondências entre juros e desconto compostos é análoga à de juros e
desconto simples
 Contudo, ao contrário dessas últimas, em que os juros e descontos apresentados
são acumulados (pois são constantes por período), neste caso, apresentamos os
juros e descontos calculados em um período (pois variam a cada período)

31-75
VF = VP (1 + i)n
VP = VF (1 – d)n
 Igualando as duas equações, obtém-se:
Relação entre a taxa de juros compostos e
desconto composto
P = VN/(1 + i)n e P = VN (1 – d)n
VN /(1 + i)n = VN (1 – d)n
1 /(1 + i)n = (1 – d)n

31-76
 Só se deve somar e comparar dinheiro de uma mesma data
 i = taxa efetiva de juros por período
 O dinheiro se movimenta para frente pela multiplicação por
(1+i) para cada período  capitalização
 O dinheiro se movimenta para trás pela divisão por (1+i) para
cada período  descapitalização
Capitalização: relação entre VF e VP
Mandamentos da Matemática Financeira

31-77
Fluxo de caixa de diversos períodos
 Como sabemos, a equação geral do valor futuro
(FV) de um investimento (PV) por diversos
períodos (n) é:
onde
PV é o FC na data 0
i é a taxa de juros efetiva
n é o número de períodos que compreende o
investimento
FV = PV (1+ i)n

31-78
Valor futuro
 Exemplo. Uma ação paga dividendos de $1,10,
atualmente, cuja previsão de crescimento é de 40%
aa nos próximos 5 anos. Qual o valor previsto dos
dividendos dentro de 5 anos?
FV = PV×(1 + i)n
FV= $1,10×(1,40)5 = $5,92
 Portanto, o valor previsto dos dividendos no 5o ano
será de $5,92

31-79
Valor futuro e capitalização
 Observe que os dividendos no ano 5 ($5,92)
são bem maiores que a soma do dividendo
original acrecentado de 5 aumentos de 40%
sobre o valor original dos dividendos ($1,10):
 $5,92 > $1,10 + 5×[$1,10×0,40] = $3,30
 Isso é devido à capitalização dos rendimentos
Lógica de juros compostos Lógica de juros simples (VF = VP (1 + in)

31-80
Valor futuro e capitalização
0 1 2 3 4 5
10
.
1
$
)
40
.
1
(
10
.
1
$ 
54
.
1
$
2
)
40
.
1
(
10
.
1
$ 
16
.
2
$
5
)
40
.
1
(
10
.
1
$ 
92
.
5
$
4
)
40
.
1
(
10
.
1
$ 
23
.
4
$
$1.10 x (1.40)3
(1.40)3
$3.02

31-81
Valor presente e descapitalização
0 1 2 3 4 5
$20,000
PV
5
)
15
.
1
(
000
,
20
$
53
.
943
,
9
$ 
 Quanto um investidor deve dispor hoje para
obter um montante de $20.000 dentro de
cinco anos, a uma taxa de 15% aa?

31-82
Determinação do número de períodos
Exemplo. Em quanto tempo, um depósito hoje de
$5.000, com rendimento de 10% ao ano, renderá
$10.000?
n
i
PV
FV )
1
( 

 n
)
10
.
1
(
000
,
5
$
000
,
10
$ 

2
000
,
5
$
000
,
10
$
)
10
.
1
( 

n
)
2
ln(
)
10
.
1
ln( 
n
anos
27
.
7
0953
.
0
6931
.
0
)
10
.
1
ln(
)
2
ln(



n
 Se a variável estiver no expoente, utiliza-se logaritmo para
determiná-la

31-83
Exemplo. Suponha que o custo total de educação da
faculdade ao doutorado seja de $50.000 em 12 anos. Você
dispõe de $5.000 hoje. Que taxa de juros você deve obter
para assegurar o pagamento integral da educação?
Determinação da taxa de juros
n
i
PV
FV )
1
( 

 12
)
1
(
000
.
5
$
000
.
50
$ i



10
000
.
5
$
000
.
50
$
)
1
( 12


 i 12
1
10
)
1
( 
 i
aa
i %
5
,
21
2115
,
0
1
2115
,
1
1
10 12
1







31-84
 Calcule o FV no final de 24 meses, para um PV de $2.000,00, com
uma taxa de 1% a.m., a juros simples e compostos
Dados:
 PV = $2.000,00 . n = 24 meses
 i = 1,0% a.m.
Juros Simples:
FV = 2.000,00(1+0,01 x 24)= $ 2.480,00
Juros Compostos:
FV = 2.000,00 (1+0,01)24 = $ 2.539,47
na HP 12C
Exercício
n i PV PMT FV
24 1,00 -2.000,00 0,00 2.539,47

31-85
 Calcule o PV que gera um FV de $1.000,00 no final de 2 anos,
com uma taxa de 1,25% a.m., a juros simples e compostos
Dados:
 FV= $1.000,00 . n = 2 anos = 24 meses
 i = 1,25 % a.m.
Juros Simples:
PV = 1.000,00 / [ (1+0,0125 x 24 )] = $769,23
Juros Compostos:
PV = 1.000,00/ [(1+0,0125)24] = $742,20
na HP 12C
n i PV PMT FV
24 1,25 742,20 0,00 -1.000,00
Exercício
Neste caso, em JC,
converte a unidade de
tempo de n para a mesma
da taxa de juros
Em JS, pode-se converter a unidade
de tempo de n para a mesma da taxa
de juros ou vice-versa
ou 1+(0,0125 x12) x 2

31-86
 Em quantos anos um capital dobra, a uma taxa de 6% a.a., a juros
simples e compostos?
Dados:
 Suponha PV = $100,00 e FV = $200,00
 i = 6,0 % a.a.
Juros Simples:
200,00 = 100,00(1 + 0,06 x n )
n = 16,7 anos
Juros Compostos:
200,00 = 100,00 (1 + 0,06)n
ln 200/100 = n ln (1 + 0,06), então n = ln 2 / ln 1,06 = 11,90
na HP 12C: n i PV PMT FV
11,90 6,00 100,00 0,00 -200,00
Exercício
Devido à capitalização, o tempo
necessário para dobrar o capital em
JC é menor do que em JS

31-87
 Qual a taxa de juros mensal que faz um principal de $1.000,00
gerar um montante de $1.150,00, no final de 10 meses, a juros
simples e compostos?
Dados:
 PV = $1.000,00 n = 10 meses
 FV = $1.150,00
Juros Simples:
1.150,00 = [ 1.000 ( 1 + i x 10 ) ]
i = 150/10.000 = 0,015 ou 1,5 % a.m.
Exercício
Em todo cálculo financeiro, o
período de tempo e a taxa de juros
devem estar sempre na mesma
unidade de tempo

31-88
Juros Compostos: 1.150,00 = 1.000,00 (1 + i)10
1.150,00/1.000,00 = 1,15 = (1 + i)10
(1 + i) = (1,15)1/10 então, 1 + i = 1,0141
Assim, i = 1,41% a.m.
Na HP 12 C
Exercício (cont.)
n i PV PMT FV
10 1,41 1.000,00 0,00 -1.150,00

31-89
 Um título tem prazo de 90 dias e valor de resgate de $10.000,00.
Calcule o seu valor de emissão para que a taxa de juros compostos
seja 10% a.a.
Dados:
 FV= $10.000,00 i = 10% a.a n = 90 dias
1a Solução: com a taxa diária. Nesse caso, vamos supor VP = 100 e
FV = 110 em um investimento de 1 ano ou 360 dias (i = 10% a.a.)
Na HP 12C
Então, o valor da emissão (PV) é:
10.000 = PV (1 + 0,0002648)90. Portanto, PV = $ 9.764,53
n i PV PMT FV
360 0,02648 100,00 0,00 -110,00
Exercício

31-90
Na HP 12C:
Exercício (cont.)
n i PV PMT FV
90 0,02648 9.764,53 0,00 -10.000,00
2a Solução: com a taxa anual
Cálculo de n em fração de anos = 90 dias/360 dias = 0,25 anos
Valor de emissão :
10.000 = PV (1 + 0,10)0,25. Portanto, PV = $ 9.764,54
Na HP 12C
n i PV PMT FV
0,25 10,00 9.764,54 0,00 -10.000,00

31-91
 Um financiamento será pago numa única parcela daqui a 6 meses,
a juros compostos de 0,8% a.m. Qual o percentual a ser cobrado
antecipadamente, (flat fee) para que os juros efetivos do
financiamento sejam de 1,2% a.m.
Dados : PV= $100,00 (suposto) n = 6 meses i = 0,8 % a.m.
 Cálculo de FV com a taxa de 0,8% a.m.
 Na HP 12C
 Cálculo de PV com a taxa de 1,2 % a.m. (104,897 = VP (1+0,012)6)
 Na HP 12C
% antecipada : = (97,6518 - 100,00)/100,00 = -2,3482 %
n i PV PMT FV
6 0,80 -100,00 0,00 104,8970
n i PV PMT FV
6 1,20 97,6518 0,00 -104,90
Exercício: flat fee

31-92
 Calcule o VP do seguinte fluxo de caixa em que a taxa de juros é
1% ao mês
1ª solução: PV de cada parcela (descapitaliza cada fluxo)
0 1 2 3 4
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
n i PV PMT FV
2 1,00 980,30 0,00 -1.000,00
3 1,00 1.941,18 0,00 -2.000,00
4 1,00 2.882,94 0,00 -3.000,00
Soma 5.804,42
Exercício: fluxo de caixa não homogêneo
PV = (1.000/1,012 + 2.000/1,013 + 3.000/1,014) = = $5.804,42

31-93
2ª solução: FV de cada parcela (capitaliza cada fluxo e
descapitaliza o montante)
Cálculo de PV para o FV acumulado
0 1 2 3 4
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
n i PV PMT FV
2 1,00 -1.000,00 0,00 1.020,10
1 1,00 -2.000,00 0,00 2.020,00
0 1,00 -3.000,00 0,00 3.000,00
Soma 6.040,10
n i PV PMT FV
4 1,00 5.804,42 0,00 -6.040,10
PV = [(1.020,10 + 2.020,00 +3.000,00]/1,014 = $5.804,42

31-94
0 1 2 3 4
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
3ª solução: determinação gradativa do PV de cada parcela
PV = [(3.000/1,01 + 2.000)/1,01 + 1.000]/1,012 =
= $5.804,42
4ª solução: determinação gradativa do FV de cada parcela e
cálculo do PV para o FV acumulado
PV = [(1.000x1,01 + 2.000)x1,01 +3.000]/1,014 =
= $5.804,42

31-95
0 1 2 3 4
PV= ? $ 1.000 $ 2.000 $ 3.000
Meses
f REG (limpar registros)
0 g CF0 valor no ponto 0
0 g CFj valor no ponto 1
1 i taxa de juros
f NPV VPL (5.804,42)
5ª solução: utilização, na HP 12C, das teclas CF0 e CFj

31-96
0 1 2 3 4
200 400 600 800
318.88
427.07
508.41
 1,432.93
178.57
O valor presente será de $1.432,93
Fluxo de caixa com valores distintos
Exemplo. Um investimento rende $200 dentro de um
ano. Subsequentemente, rende, a cada ano, mais $200
até o ano 4. Sendo a taxa de juros de 12 %aa, qual o
valor presente?
1,121
1,122
1,124
1,123

31-97
Utilizando a calculadora
CFj
CFj
CF0
200 NPV = 1,432.93
0
400
I
NPV
12
CFj
CFj 600
800
 Utilize as seguintes teclas, de acordo com a
calculadora HP 12C

31-98
Exercícios

31-99
1) Um investidor aplicou, durante 2 anos, $10.000 à taxa de 2% ao mês
no regime de juros compostos. Qual foi o montante resgatado?
Resposta: $16.084,37
2) Qual o valor necessário para se obter (um montante de) $10.000,
dentro de 3 anos, a uma taxa de 12% ao semestre, no regime de
juros compostos? Resposta: $5.066,31
3) Um investidor recebe uma proposta para aplicar hoje $1.000 e
receber $1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa mensal de
rentabilidade do investimento? Resposta: 3% am
4) Em quantos meses, um capital dobra a juros compostos de 2% ao
mês? E em juros simples? Resposta: 35 meses. 50 meses
5) Um investimento de $3.000 aplicado a uma taxa de 4% ao mês, juros
compostos, rendeu $947,80 (juros). Por quantos meses esse valor
ficou aplicado? Resposta: 7 meses
Exercícios: juros e desconto composto

31-100
6) Um banco comercial efetua empréstimos a 2,5% ao mês, juros
compostos, entretanto exige que os juros sejam pagos por ocasião
da liberação do crédito. Um tomador de recursos assina uma nota
promissória no valor de $1.000, com vencimento trimestral, sendo
descontados $75 de juros no ato da operação. A taxa de juros
efetivamente cobrada pelo banco é mesmo 2,5% ao mês?
Resposta: Não, é 2,63% am
7) Flat fee. Um banco de investimentos, de acordo com sua política de
crédito vigente, não cobra mais do que 3% ao mês em suas
operações de financiamento. Em uma operação para financiar o
capital de giro de uma empresa, o banco deseja cobrar 2,75% ao
mês de forma postecipada que será paga em uma única parcela no
final do sexto mês. Qual a percentagem (flat fee) que pode ser
cobrada antecipadamente de modo a não violar sua atual política?
Resposta: 1,45%

31-101
8) Desconto composto. Um investidor possui um título no valor
de $1.500 com vencimento em 3 meses, e deseja resgatá-lo
hoje. Sob o regime de desconto composto de 8% ao mês, qual
o valor resgatado? E qual o valor do desconto, assim como a
taxa efetiva cobrada pelo banco?
Resposta: $1.168,03. $331,97. 8,70% am

31-102
Taxas de juros

31-103
Taxa efetiva
 Taxa efetiva: a taxa de juros e o período de capitalização
estão na mesma unidade de tempo
 não é necessário “ajustar” a taxa de juros
 essa é a taxa de juros a ser empregada nos cálculos, sempre!
 atende à condição necessária: unidade de referência do tempo
da taxa de juros é a mesma da unidade de tempo do período de
capitalização
 ex: 3% ao mês (capitalizados mensalmente)
6% ao semestre (capitalizados semestralmente)
10% ao ano (capitalizados anualmente)

31-104
Taxas proporcionais
 Conceituamelmente, duas ou mais taxas de juros são
proporcionais se, aplicadas ao mesmo principal (VP),
durante um mesmo prazo (n), produzem um mesmo
montante (VF), no regime de juros simples
 Portanto, a seguinte relação em juros simples é constante:
VF/VP = (1 + ijnj) = cte, para o mesmo n:
naia = nsis = ntit = nmim = ndid,
 Ou seja, o fator “n x i” anual é igual ao semestral, igual ao
trimestral, e assim sucessivamente. Então:
1 x ia = 2 x is = 4 x it = 12 x im = 360 x id
 Ex: 1% a.m. = 3 % a.t. = 6 % a.s. = 12 % a.a. = 30% a.d.
4 x it = 12 x (1%), então it = 12%/4 = 3% a.t.

31-105
 Quais as taxas de juros semestral e trimestral que são
proporcionais à taxa de 12% ao ano?
ia = 2 is = 4 it
12% = 2 is; então is = 6% ao semestre
12% = 4 it; então it = 3% ao trimestre
Exemplo: taxas proporcionais

31-106
 Qual o montante em 4 anos, para um principal de $100,
aplicado a uma taxa de juros de 12% aa (capitalizados
anualmente), regime de juros simples?
 Qual seria o montante para a mesma aplicação à taxa de 6%
ao semestre (capitalizados semestralmente)?
P = 100 n = 4 anos i = 12% ao ano
VF = 100 (1 + 0,12 x 4) = $148
Para i = 6% a.s.:
VF = 100 (1+ 0,06 x (4 x 2) = $148
 Portanto, como nas duas aplicações a juros simples, o mesmo
principal apresenta o mesmo montante, no mesmo período, as
duas taxas são proporcionais
Exemplo: taxas proporcionais

31-107
Taxas equivalentes
 Conceituamelmente, duas ou mais taxas de juros são
equivalentes se, aplicadas ao mesmo principal (VP), durante um
mesmo prazo (n), produzem um mesmo montante (VF), no
regime de juros compostos
 Portanto, a seguinte relação em juros compostos é constante
VF/VP = (1 + ij)nj = cte, para o mesmo n. Então:
(1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360
 Ex.: 1% a.m. é equivalente, em termos anuais, a:
(1 + ia) = (1 + 1/100)12
ia = 1,0112 – 1 = 0,1268 ou 12,68 % a.a.

31-108
Exemplo: taxas equivalentes
 Qual o montante ao final de 4 anos, para um principal de $100,
aplicados a uma taxa de 12,683% ao ano, no regimes de juros
compostos?
 E qual seria o montante para a mesma aplicação à taxa de 1% ao
mês:
P = 100 n = 4 anos i = 12,683% aa
VF = 100 (1 + 0,12683)4 = $161,23
Para i = 1% am:
VF = 100 (1 + 0,01)4 x 12 = $161,23
 Portanto, como nas duas aplicações a juros compostos, o mesmo
principal apresenta o mesmo montante, no mesmo período, as duas
taxas são equivalentes

31-109
 Taxa nominal (in) é a taxa de juros em que a unidade de tempo
da taxa de juros é diferente da unidade de tempo dos períodos de
capitalização. Em geral, a taxa de juros é anual
 Ex.: 12 % a.a. capitalizados mensalmente
 Portanto, difere da taxa efetiva. Deve ser convertida para ela!
A taxa efetiva implícita na taxa nominal corresponde à taxa
proporcional . Para in expressa em termos anuais, temos:
Período de capitalização Taxa efetiva implícita
diário id = in / 360
mensal im = in / 12
trimestral it = in / 4
semestral is = in / 2
Taxa nominal de juros

31-110
Exercício: taxa efetiva de juros
Qual o montante de um investimento de $50 por 3 anos,
à taxa de juros de 12% ao ano capitalizados
semestralmente? E qual a taxa de juros efetiva anual?
A taxa efetiva anual corresponde à taxa anual que
proporcionará o mesmo montante ($70,93) após 3 anos
de investimento.
93
.
70
$
)
06
.
1
(
50
$
)
2
12
.
0
1
(
50
$ 6
3
2





 
FV
93
.
70
$
)
1
(
50
$ 3


 i

31-111
 Então, uma aplicação à 12,36% ao ano (capitalizados
anualmente) é equivalente ao investimento à taxa de
12% ao ano, capitalizados semestralmente
 Este é um exemplo de taxas equivalentes entre uma taxa
efetiva e uma taxa nominal
93
.
70
$
)
1
(
50
$ 3



 i
FV
50
$
93
.
70
$
)
1
( 3

 i
1236
.
0
1
50
$
93
.
70
$
3
1









i

31-112
 Determine a taxa efetiva anual de 18% ao ano
capitalizados mensalmente (taxa nominal)
 Isso equivale a uma operação a uma taxa efetiva de
juros mensal de 1,50% (18%/12)
 Em termos anuais, essa taxa é equivalente à taxa
efetiva anual de 19,56% aa, ou seja:
 (1 + ia) = (1 + 0,015)12 = 1,1956; então ia = 19,56% aa
 Podemos, também, utilizar a seguinte relação anual:
1956
.
1
)
015
.
1
(
12
18
.
1
1 12
12

















m
m
i

31-113
 Qual a taxa efetiva anual de 24% ao ano capitalizados
por semestre (taxa nominal)
 Isso equivale a uma operação a uma taxa efetiva de
juros semestrais de 12% (24%/2)
 Em termos anuais, essa taxa efetiva semestral é
equivalente à taxa efetiva anual de 25,44% aa
 Isto é, de acordo com a segunda relação apresentada,
temos:
2544
.
1
)
12
.
1
(
2
24
.
1
1 2
2

















m
m
i

31-114
Relação geral de taxa de juros


31-115

No 1º caso: n é
mensal, ou 1/12 da
unidade de tempo
da taxa de juros
(18% ao ano). No
2º caso, n = 3 vezes
a unidade de tempo
da taxa de juros
capitalizada

31-116
Exercícios: HP 12C
 Qual a taxa anual equivalente à taxa de 1,00% a.m.?
ia = 12,6825 % a.a.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PV = $100,00 .
FV = ?
Mês
im = 1,00 % a.m.
ia = ? % a.a.
n i PV PMT FV
12 1,00 -100,00 0,00 112,6825

31-117
 Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 10,00% a.a.?
 Qual a taxa diária equivalente à taxa de 1,5% a.m.?
im = 0,797 % a.m.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
PV = $100,00 .
FV =$110,00
Mês
im = ? % a.m.
ia = 10 % a.a.
n i PV PMT FV
12 0,797 -100,00 0,00 110,00
n i PV PMT FV
30 0,0496 -100,00 0,00 101,50
Exercícios: HP 12C
id = 0,0496 % a.d.

31-118

 Taxa nominal. Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa
nominal de 9,00% a.a., capitalizados mensalmente?
Taxa efetiva implícita : 9 % / 12 = 0,75 % a.m.
ia = 9,3807 % a.a.
n i PV PMT FV
12 0,75 -100,00 0,00 109,3807
Exercícios: HP 12C

31-119
 Calcule as taxas efetivas mensais, juros compostos, de um
investimento a 1,50% a.m., juros simples, com prazos de 15 e 45
dias
Cálculo dos FVs – Juros simples
FV = 100,00 (1+1,5%/30 x 15) = 100,75
FV = 100,00 (1+1,5%/30 x 45) = 102,25
 Taxas efetivas mensais - Juros compostos
15 dias = 0,50 mês [100,75 = 100 (1 + i)0,5]; i = 0,015056
45 dias = 1,50 meses [102,25 = 100 (1 + i)1,5]; i = 0,014944
1,5056 % a.m.
1,4944 % a.m.
n i PV PMT FV
0,5 1,505625 -100,00 0,00 100,75
n i PV PMT FV
1,5 1,494431 -100,00 0,00 102,25
Exercícios: HP 12C

31-120
Taxa real
 Taxa real é a taxa efetiva de juros que é
deflacionada por um índice geral de preços (IGP)
 A taxa efetiva e o deflator devem estar expressos na
mesma unidade de tempo
 Essa relação também é denominada equação de
Fisher

31-121
Exercício: taxa real
 Qual o valor, em bases constantes, dentro de dois anos de
um investimento de $1.000, à taxa de 24% aa capitalizados
mensalmente, caso a inflação estimada seja de 5% ao ano no
período?
P = 1.000 in = 24% aa cap. am n = 2 anos IGP = 5% aa
 Período de capitalização: mês. Então ief = 24% /12= 2% am
VF = 1.000 (1 + 0,02)24 = $1.608,44
 Esse é o montante em termos correntes ou nominais (com
inflação)
 O oposto é o valor em termos constantes ou reais (sem inflação)

31-122
Exercício: taxa real


31-123
Exercícios
Taxas de juros

31-124
1) Qual a taxa mensal de juros que é proporcional à taxa de 7,5% ao
semestre? Resposta: 1,25% am
2) Qual a taxa diária de juros proporcional à taxa de 2,1% ao mês? Resposta:
0,07% ad
3) Um empresário com necessidade de financiamento de capital de giro
tomou emprestado $20.000,00 a juros compostos mensais. Após 12 meses,
pagou um montante de $27.220,00. Qual a taxa nominal de juros ao ano
(taxa nominal anual)? Caso pertinente, considere a seguinte relação:
1,36(1/12) = 1,026. Resposta: 31,2% ao ano capitalizada mensalmente
4) Determine a taxa mensal de juros equivalente à taxa de 12% ao ano.
Resposta: 0,949% am
5) Qual a taxa diária equivalente à taxa de 8% ao semestre?
Resposta: 0,0428% ad
6) Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 33% ao
ano capitalizada mensalmente? Resposta: 8,48 % at
Exercícios: taxas de juros

31-125
7) Calcule a taxa efetiva mensal equivalente a uma taxa nominal de
36% ao ano capitalizada trimestralmente. Resposta: 2,914% am
8) Qual a rentabilidade equivalente, expressa em taxas de juros
compostos semestral, a uma operação financeira efetuada a uma
taxa de 60% ao ano, capitalizada mensalmente? Resposta: 34,01%
ao semestre
9) Uma aplicação foi realizada a uma taxa de juros de 81,80% ao
período. Considerando que a inflação nesse período foi de 1%, qual
a taxa real de juros? Resposta: 80,00% ao período
10) Qual o valor real dentro de 5 anos de um investimento de $10.000
a uma taxa nominal de 36% ao ano capitalizada mensalmente, com
uma inflação anual prevista de 2,5% ao ano? Resposta: $52.073,19
Exercícios: taxas de juros

31-126
Séries de pagamento: série uniforme

31-127
Séries de pagamento
 Fluxos de caixa podem ser:
 Postecipados
 Antecipados
 Diferidos (com carência)
 Periódicos
 Não periódicos
 Limitados (finitos)
 Indeterminados (perpétuos)
 Constantes
 Variáveis

31-128
Série uniforme
 Série de pagamento uniforme é:
 Postecipada (os fluxos de caixa ocorrem no final do
período
 Periódica (fluxos de caixa apresentam o mesmo
padrão)
 Finita (apresenta duração determinada)
 Constante (todos os fluxos de caixa periódicos têm o
mesmo valor)
 Os fluxos de caixa apresentam elementos intermediários
entre o valor inicial (VP) e o valor final (VF)
 Na série uniforme, esses fluxos podem ser denominados
de prestações (Tecla PMT na HP 12C)

31-129
0 1 2 3 … n - 1 n
PV
FV
PMT
i i i i i
i
Juros compostos: relação entre PMT e PV
 Fator de anuidade: fator que multiplicado pela parcela constante
(PMT) resulta na determinação do valor presente (VP)
 Corresponde ao fator de desconto das prestações uniformes
-n
ou

31-130
Série uniforme: relações
 Série postecipada
 Série antecipada
Subtrai-se 1 período
devido à antecipação
da série
x (1 + i)n
x (1 + i)n

31-131
Diagrama padrão: convenções
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
PV
$
$
0 1 4
2 3
FV
PMT
$
5
 Corresponde, em geral, a um fluxo de caixa postecipado,
periódico, finito, e com entradas/saídas de caixa constantes
VP: primeiro instante do horizonte de tempo do FC VF: último instante
Há 2 períodos de carência, pois o primeiro pagamento só ocorre no 3º período

31-132
Desconto e capitalização de valores
 O primeiro pagamento ocorre no período subsequente
ao período de carência. Exemplos:
 Se carência for de 2 períodos, o primeiro
pagamento ocorrerá no 3º período
 Se o primeiro pagamento ocorre no 3º período,
então o período de carência foi de 2 períodos
 Descontar as prestações (ou atualizá-las ao valor
presente):
 ÷ (1 + i)n
 Capitalizar as prestações (ou atualizá-las ao
montante):
 x (1 + i)n

31-133
 Exercício. Qual o valor presente de um FC anual no valor de
$100, durante quatro anos, considerando que o primeiro pagamento
ocorrerá dentro de dois anos. A taxa de juros efetiva é de 9%
22
,
297
$
09
.
1
97
,
323
$
0


PV
0 1 2 3 4 5
$100 $100 $100 $100
$323.97
$297.22
97
.
323
$
)
09
.
1
(
100
$
)
09
.
1
(
100
$
)
09
.
1
(
100
$
)
09
.
1
(
100
$
)
09
.
1
(
100
$
4
3
2
1
4
1
1 




 

t
t
PV
4-133

31-134
Exercícios
 Determine o PV de um financiamento que tem uma taxa de 1%
a.m., juros compostos, para ser liquidado em 12 prestações mensais
de $1.000,00
 Dados:
 n = 12 meses PMT = $1.000,00
 i = 1 % a.m.
 Cálculo do PV (Principal):
PV = 1.000 x (1 + 0,01)12 -1 / [(1 + 0,01)12 x 0,01, então
PV = $ 11.255,08
Na HP 12C
n i PV PMT FV
12 1,00 11.255,08 -1.000,00 0,00


31-135
 Calcule a prestação mensal postecipada de um financiamento
de $20.000,00, num prazo de 2 anos, com uma taxa de 3% ao
mês, em juros compostos
 Dados:
 n = 2 anos = 24 meses PV = $20.000,00
 i = 3 % a.m
 Cálculo da Prestação (PMT)
 PMT = 20.000 / {[(1+0,03)24 – 1] / [(1+0,03)24 x 0,03]}
 = 20.000 / {1,0328 / 0,0610} = $ 1.180,94
 Na HP 12C n i PV PMT FV
24 3,00 -20.000,00 1.180,95 0,00
Exercícios


31-136
0 1 2 3
PV
1000
i i i
1000
1000
FV 10% a.m.
meses
n i PV PMT FV
3 10,00 0,00 -1.000,00 3.310,00
n i PV PMT FV
3 10,00 2.486,85 -1.000,00 0,00
n i PV PMT FV
3 10,00 2.486,85 0,00 -3.310,00
Exercícios
 Determine o FV e o PV da seguinte série uniforme

31-137
 Um equipamento custa $11.400,00, à vista, e está sendo
financiado com $1.400,00 de entrada e mais 4 prestações
mensais de $2,580,00.
Qual a taxa efetiva mensal cobrada na parcela financiada?
Dados:
 n = 4 meses PMT = $2.580,00
 PV = $11.400 – $1.400 = $10.000,00
10.000 = 2.580 {[(1 + i)4 – 1 ] / [(1 + i)4 i]}
3,8759692 = {[(1 + i)4 – 1 ] / [(1 + i)4 i]}
Na HP 12C
Taxa efetiva : 1,2719 % a.m.
n i PV PMT FV
4 1,27196 -10.000,00 2.580,00 0,00
Exercícios


31-138
 Em um “Plano de Natal“ as vendas de dezembro são pagas em
4 prestações mensais, a partir de abril, com uma taxa de juros de
1,5% a.m. Calcule o valor das prestações para um PV = $1.000,00
 1º passo: determinar montante (FV) de $ 1.000
 série postecipada, então vendas de dezembro correspondem
ao VP de janeiro do ano seguinte
VF = 1.000 (1 + 0,015)3= $ 1.045,68
Na HP 12C
0 1 2 3 4 5 6 7
$271,30
$1.045,68
Mês
$ 1.000,00
Jan Fev Mar Abr
n i PV PMT FV
3 1,50 -1.000,00 0,00 1.045,68
Exercícios

31-139
 2º passo: calcular o valor da prestação a partir de abril
1.045,68 = PMT {[(1 + 0,015)4 – 1] / [(1 + 0,015)4 . 0,015]}
1.045,68 = PMT x 3,85439, então PMT = $ 271,30
Na HP 12C n i PV PMT FV
4 1,50 -1.045,68 271,30 0,00
Exercícios

31-140
 Os depósitos anuais de $1.000,00 são remunerados à taxa de 10%
a.a. Calcule o montante no final do 4º ano, antes da efetivação do 4º
depósito.
; FV = 1.000 {[(1+1,1)4-1]/0,10}= $4.641,00
Na HP 12C
 Saldo antes do 4o depósito = $4.641,00 - $1.000,00 = $3.641,00
 Os juros já foram incorridos; só falta fazer o pagamento
n i PV PMT FV
4 10,00 0,00 -1.000,00 4.641,00
0 1 2 3 4
PMT = $1.000,00
FV = ?
Anos
Exercícios

31-141
 Calcule o valor dos 4 depósitos trimestrais efetuados no início de
cada período para se acumular o montante de $10.000,00 no final do
4º trimestre, a uma taxa de 3% a.t.
Montante no ponto 3 : $10.000,00/1,03 = $9.708,74
; então: 9.708,74 = PMT [(1,03)4-1]/0,03
PMT = $ 2.320,65 (uso da série postecipada)
Na HP 12C
 Poderia aplicar diretamente a fórmula da série antecipada para VF
0 1 2 3 4
PMT = ?
Trim.
$10.000,00
$9.708,74
n i PV PMT FV
4 3,00 0,00 2.320,65 -9.708,74
Exercícios
Série antecipada

31-142
 Os depósitos mensais de $800,00, durante 6 meses, são remunerados
a 1,5 % a.m., juros compostos. Calcule os montantes acumulados no
final de junho e de setembro.
FVjunho = 800 {[(1+0,015)6 – 1]/0,015 ; então FVjunho = $ 4.983,64
FVset = 4.983,64 x 1,0153 = $ 5.211,29
Na HP 12C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Jun Set
PMT = $800,00
Jan
FV1 = ? FV2 = ?
Mês
n i PV PMT FV
6 1,50 0,00 -800,00 4.983,64
n i PV PMT FV
3 1,50 -4.983,64 0,00 5.211,29
Exercícios

31-143
 Calcule o valor de 6 depósitos iguais, a serem efetuados de janeiro a
junho que acumulam um montante de 5.000,00, no final de dezembro, a
uma taxa de 1% a.m.
Montante (FV) no final de junho (VP em junho do montante de dez = 6 m):
; então 5.000 = PV (1 + 0,01)6; PV = $ 4.710,23
Valor do depósito mensal:
4.710,23 = PMT {[(1+0,01)6 – 1]/0,01} =
PMT = 765,64
Na HP 12C

n i PV PMT FV
6 1,00 4.710,23 0,00 -5.000,00
n i PV PMT FV
6 1,00 0,00 765,64 -4.710,23
Exercícios

31-144
 Um financiamento de $1.000,00 será pago em 4 prestações anuais,
a uma taxa 8% a.a., juros compostos. Determine:
a) o valor da prestação anual
b) a amortização e juros de cada prestação (próximo tema da matéria)
c) o saldo devedor após o pagamento da 2ª prestação
d) o saldo devedor antes do pagamento da 2ª prestação
Dados: n = 4 anos i = 8% a.a. PV = $1.000,00
a) Prestação anual (PMT)
1.000 = PMT {[1,084-1]/[1,084 x 0,08]}; então PMT = 301,92
Na HP 12C n i PV PMT FV
4 8,00 -1.000,00 301,92 0,00
Exercícios

31-145
b) Amortização e Juros
c) Saldo Devedor (Principal) após 2a prestação
Saldo devedor (PV) = 301,92 x [(1+0,08)2-1] / [(1+0,08)2x0,08]
PV = $538,41
Na HP 12C
 Note que o SD = $258,85 + $279,56 = $538,41 (amortiz. a vencer)
n i PV PMT FV
2 8,00 538,41 -301,92 0,00
Ano Prestação Juros Amortização Principal
0 1.000,00
1 301,92 80,00 221,92 778,08
2 301,92 62,25 239,67 538,41
3 301,92 43,07 258,85 279,56
4 301,92 22,36 279,56 0,00
Exercícios
SD = VP das prestações a vencer
Juros ainda não incorreram após o
pagamento da 2ª prestação

31-146
 Note que o SD também pode ser: 1.000 – (221,92 + 239,67)
d) Saldo devedor (Principal) antes da 2ª prestação
SD = 538,41 + juros devidos + amortização devida
SD = 538,41 + prestação devida
SD = 538,41 + 301,92 = $840,33
Exercícios
VP = SD
após 2ª
prestação
Valor da 2ª
prestação
(constante)
2ª prestação
Valor do SD ou montante antes da prestação:
 Se tiver VP (valores a vencer – no caso, 3ª
e 4ª prestações): soma a prestação iminente
de pagamento ao VP
amortizações pagas

31-147
Exercícios
Séries uniformes

31-148
1) Qual o valor presente do FC abaixo, a uma taxa de juros de 8% aa?
Resposta: $264,97
2) Qual o VP do FC abaixo para uma taxa de juros de 8% aa? Resposta: $1.000
3) Um financiamento de $1.000 à uma taxa de juros de 8% aa, deve ser quitado em
4 prestações anuais iguais. Qual o valor da prestação? Resposta: $301,92
4) Um investidor aplica mensalmente $5.000 à uma taxa de 3% am. Qual o valor
acumulado ao final de 4 meses nas seguintes situações: (a) logo após o quarto
período; (b) imediatamente antes do quarto período?
Resposta: $20.918,15. $15.918,15
80 80 80 80
1 2 3 4 ano
VP = ?
1.000
80 80 80 80
1 2 3 4 ano
VP = ?

31-149
5) Qual o valor presente do FC do exercício inicial, caso a série fosse
antecipada? Resposta: $286,17
6) Qual o montante do exercício 4, logo após o último período, caso a série
fosse antecipada? Resposta: $21.545,68
7) Qual o montante de uma aplicação feita em 10 parcelas mensais iguais e
consecutivas, realizadas no início de cada mês, no valor de $5.000, à
taxa de 3% ao mês, juros compostos? Resposta: $59.038,98
8) No início de 01/20X4, um poupador decidiu efetuar depósitos mensais
iguais, a partir de 02/20X4, visando obter um montante aplicado de
$10.000, logo após efetuar o depósito de 05/20X4. Qual o valor dos
depósitos para uma taxa de rendimento de 3% am? Resposta:
$2.390,27
9) Um agente financeiro concede empréstimos para pagamento em 24
prestações mensais no valor de $61,62 para cada $1.000 financiados.
Qual a taxa de juros efetiva mensal? Resposta: 3,40% am

31-150
10) Determine o principal de uma dívida que deve ser paga em 4 parcelas
trimestrais de $1.000 cada, com juros de 10% ao ano capitlizada
mensalmente. Resposta: $3.760,08
11) Uma dívida de $1.000 deve ser paga em 4 prestações anuais iguais de
$301,92 com juros de 8% aa. Qual o saldo devedor logo após o
pagamento da segunda prestação? Resposta: $538,40
12) Um investidor efetua depósitos com remuneração de 1,5% ao mês, em
juros compostos. Ele efetua seis depósitos mensais e iguais de $ 800,
sendo a primeira realizada no último dia de outubro de 20X6.
Considerando que todos os meses são iguais, de 30 dias – 360 dias por
ano – qual será o valor acumulado pelo investidor no último dia de
junho do ano seguinte? Resposta: $5.211,29
13) Qual o valor presente de um fluxo de caixa anual no valor de $500,
durante 5 anos, considerando que o primeiro pagamento ocorrerá
dentro de 3 anos. A taxa de juros efetiva é de 9% aa
Resposta: $1.636,92

31-151
14) Um empresário de uma empresa de pequeno porte obteve um
financiamento de $50.000 a uma taxa efetiva de 1,5% ao mês,
regime de juros compostos. Seu financiamento deverá ser liquidado
mediante o pagamento de dez prestações mensais de $3.000, e mais
duas parcelas intermediárias, ambas de mesmo valor, a primeira
ocorrendo no final do terceiro mês e outra no final do sétimo mês,
contados a partir da data de liberação dos recursos. Assumindo os
meses de trinta dias e pagamento postecipado, qual o valor das duas
parcelas intermediárias? Resposta: $12.024,40
15) Um empreendedor assume um financiamento de $20.000, a taxa de
juros compostos de 1,2% ao mês para ser quitado em doze
prestações. Foi acordado o pagamento de duas parcelas fixas de
$3.000, no sexto mês e no décimo segundo mês. Qual o valor das
restantes dez prestações, considerando que essas prestações são
iguais? Resposta: $1.567,88

31-152
Equivalência de fluxos de caixa e
sistemas de amortização

31-153
Valor presente e equivalência
 Valor Presente (VP): para uma taxa de juros i
 soma algébrica de todas as suas parcelas futuras (CFj),
descontadas pela taxa de juros i para o ponto zero
 Equivalência: para uma determinada i (mesma taxa de juros)
 dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se os seus
VPs forem iguais para um mesmo horizonte de tempo
 equivalência de fluxos de caixa pode ser verificada em
qualquer período do horizonte de tempo do FC
 Se um FC “A” for equivalente aos FCs “B” e “C”, então os
FCs “B” e “C” são, também, equivalentes (relação
transitiva)

31-154
Exemplo: equivalência de FC
 Verifique se há equivalência entre alguns dos FCs abaixo, a uma
taxa de juros de 2% ao mês
A) VP (t=0) = 1.000/1,023 + 2.000/1,026 + 3.000/1,029 = $5.228,54
B) VP (t=0) = $5.228,54
C) VP (t=0) = 6.631,04/1,0212 = $5.228,54
Os 3 FCs apresentam o mesmo VP, a uma mesma taxa, no mesmo
horizonte de tempo. Portanto, são FCs equivalentes
1.000,00 2.000,00 3.000,00
A)
3 6 9 12 ano
3 6 9 12 ano
B)
5228,54
3 6 9 12 ano
C)
6631,04

31-155
Sistemas de amortização
 São planos de pagamento diferentes que
apresentam fluxos de caixa equivalentes
 Portanto, esses planos são financeiramente iguais
 Sistemas de amortização:
 Pagamento único
 Juros uniformes (sistema americano)
 Prestações uniformes (PRICE ou francês)
 Amortizações constantes (SAC ou hamburguês)
 Amortização mista (SAM)

31-156
Sistemas de amortização: relações gerais
ou
Aj = SDj-1 - SDj
 Juros
 Amortização
 Prestação
Juros
Amortização
Prestação

31-157
Características do Price
 Price
 Juros sempre calculados a partir do saldo devedor
 Aj = PMT - Jj
 Juros decrescentes (sempre) e amortização com crescimento
exponencial à razão geométrica (1 + i) (multiplica por (1 + i))
 Exemplos: crédito direto ao
consumidor (eletrodomésticos
automóveis), empréstimos
pessoais, financiamentos de
pequeno porte
 Prestações uniformes (PMT)
calculadas por:

31-158
Características do SAC
 SAC
 Amortizações constantes calculadas por A = SD / n
 PMTj = A - Jj
 juros decrescentes (sempre) à razão aritmética (A x i) (subtrai
por (A x i)), e amortização constante
 Exemplos: financiamentos de empreendimentos de grande
porte, financiamento imobiliário

31-159
Sistemas de amortização: observações
 No SAM, as prestações – e seus componentes, amortização e juros
– são a média aritmética dos valores obtidos no Price e no SAC
 Os 5 sistemas – pagamento único, americano, SAC, Price e SAM –
são equivalentes entre si, a uma mesma taxa de juros e período de
amortização
 Portanto, em qualquer instante de tempo, esses planos
apresentam, e.g., o mesmo valor presente ou valor futuro
 É herético comparar os planos de amortização pelo total
despendido em cada um deles!
 Valores financeiros só devem ser comparados no mesmo
instante temporal, devido ao valor distinto do dinheiro no
tempo, que é imposto pela taxa de juros

31-160
Planos equivalentes de financiamento - plano A:
pagamento único (no final)
Principal = $1.000,00 Taxa de Juros =8%a.a Prazo = 4 anos
Anos
Antes Pgto. Após Pgto.
0 1.000,00
1 80,00 1080,00 0,00 0,00 0,00 1080,00
2 86,40 1166,40 0,00 0,00 0,00 1166,40
3 93,31 1259,71 0,00 0,00 0,00 1259,71
4 100,78 1360,49 1360,49 360,49 1000,00 0,00
Soma 1.360,49 360,49 1.000,00
Plano A - Pagamento no Final
Juros do
Ano
Saldo no
Final do Ano
Pagamentos no Final do Ano
Saldo no
Final do
Ano
Prestação Juros Amortiz.
 Os juros de cada período são determinados, mas não pagos (ao contrário dos
demais sistemas). Eles são acumulados (accrued interest) para pagamento no final

31-161
Planos equivalentes de financiamento - plano B:
pagamento periódico de juros (sistema americano)
Anos
0 1.000,00
1 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
2 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
3 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00
4 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 -
Soma 1.320,00 320,00 1.000,00
Plano B - Pagamento Periódico de Juros
Juros
do Ano
Saldo no
Final do Ano
Pagamentos no Final do Ano Saldo no
Final do Ano

31-162
Planos Equivalentes de Financiamento Plano C:
Prestações iguais – sistema PRICE (francês)
Anos
0 1.000,00
1 80,00 1080,00 301,92 80,00 221,92 778,08
2 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40
3 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56
4 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00
Soma 1207,68 207,68 1000,00
Plano C - Prestações Iguais - Sistema "Price"
Juros
do Ano
Saldo no
Final do Ano
Pagamentos no Final do Ano Saldo no
Final do Ano

31-163
 Prestações (PMT) são calculadas no início do
contrato
 Amortizações são calculadas por diferença
 Amortizaçãoj = PMT – Jurosj
 Amortizações crescem exponencialmente (P.G.) à
taxa i do contrato
 An = A1 x (1+i)n-1 (fórmula do n-ésimo termo da PG)
 A1 = 221,92; então A2 = 221,92 x 1,081 = 239,67
 A3 = 221,92 x 1,082 = 258,85
 A4 = 221,92 x 1,083 = 279,56
Planos Equivalentes de Financiamento Plano C:
Prestações iguais – sistema PRICE (francês)

31-164
Planos Equivalentes de Financiamento - Plano D: Sistema
de amortizações constantes (SAC ou hamburguês)
0 1.000,00
1 80,00 1080,00 330,00 80,00 250,00 750,00
2 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00
3 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00
4 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00
Soma 1200,00 200,00 1000,00
Plano D - Sistema de Amortizações Constantes - SAC
Anos
Juros
do Ano
Saldo no
Final do Ano
Pagamentos no Final do
Ano
Saldo no
Final do Ano

31-165
 Amortizações são calculadas no início do contrato
 Prestações são calculadas pela soma:
 Prestaçãoj = Amortização + Jurosj
 Juros decrescem linearmente a uma progressão
aritmética (P.A.), cuja razão é:
 A x i = (PV/n) x i
 = 250 x 0,08 = 20
Planos Equivalentes de Financiamento - Plano D:
Sistema de amortizações constantes (SAC)

31-166
Planos equivalentes de financiamento: quadro
comparativo
Plano Forma de pagamento
Total pago
($)
Receitas de
reaplicações
Montante
acumulado
Final do 4º ano
A No Final 1.360,49 0,00 1.360,49
B Juros iguais (americano) 1.320,00 40,49 1.360,49
C Prestações iguais (PRICE) 1.207,68 152,81 1.360,49
D Amortizações iguais (SAC) 1.200,00 160,49 1.360,49
 Os 4 planos são equivalentes, à taxa de 8% a.a., pois os seus VPs são iguais
a $1.000,00. Portanto, como dito antes, são financeiramente iguais
 Equivalência pode ser verificada no final de qualquer período
 Receita de reaplicação: diferença do total pago a menor em relação ao
pagamento único

31-167
Amortização de empréstimos
 Empréstimo com pagamento único: o tomador
recebe os recursos hoje e faz um único pagamento
(principal e juros) no futuro
 Empréstimo com pagamento uniforme de juros:
juros são pagos periodicamente e o principal, no
vencimento (sistema americano)
 Empréstimo com pagamento regular de juros e
amortização (Price, SAC, SAM)

31-168
Empréstimo com pagamento único
 Títulos do Tesouro são um bom exemplo. O
principal é pago em alguma data futura,
podendo não ocorrer pagamento periódico de
juros (títulos de cupom zero)
 Exemplo. Um título público reembolsará
$10.000 dentro de 12 meses. A taxa de juros é
de 7% aa. Por quanto esse título é vendido no
mercado hoje?
 PV = 10.000 / 1,071 = 9.345,79

31-169
Empréstimo com pagamento regular de
juros
 Exemplo. Um empréstimo de $10.000 será pago
com juros periódicos anuais de 7% ao ano,
durante 5 anos. Qual o seu FC?
 Anos 1 a 4: pagamento de juros de 7% x 10.000 =
700
 Ano 5: pagamento do juros e do principal = 700 +
10.000 = 10.700
 Títulos corporativos também oferecem esse
perfil de pagamento (notas promissórias que
oferecem pagamento de cupons)

31-170
Empréstimo com amortização regular
 Exemplo. Um financiamento de $50.000, por
10 anos, apresenta taxa de juros de 8% aa. O
contrato de financiamento prescreve o
pagamento anual de $5.000 mais juros. Qual a
composição do FC anual?

31-171
Empréstimo com amortização regular
Ano SD inicial Juros Amortização Prestação SD final
1 50.000 4.000 5.000 9.000 45.000
2 45.000 3.600 5.000 8.600 40.000
3 40.000 3.200 5.000 8.200 35.000
4 35.000 2.800 5.000 7.800 30.000
5 30.000 2.400 5.000 7.400 25.000
6 25.000 2.000 5.000 7.000 20.000
7 20.000 1.600 5.000 6.600 15.000
8 15.000 1.200 5.000 6.200 10.000
9 10.000 800 5.000 5.800 5.000
10 5.000 400 5.000 5.400 0
 Observe que esta tabela foi construída ligeiramente diferente das anteriores.
Aquelas começavam no tempo zero e, por isso, não apresentavam SD inicial.
Por sua vez, esta começa no tempo 1 e, portanto, tem a coluna do SD inicial

31-172
Abatimento de saldo devedor de empréstimo
com amortização uniforme
 Exemplo. No exemplo anterior, caso o beneficiário
utilize uma reserva de recursos e decida abater seu
saldo devedor em $20.000 após o pagamento da 3ª
prestação, qual será o valor das prestações
vincendas?
 Caso, ele resolva diminuir o prazo de pagamento, em
vez de reduzir as prestações, em quanto tempo,
quitará o financiamento?

31-173
Abatimento de saldo devedor: redução da
prestação
 Amortizando $20.000 após o pagamento da 3ª prestação, o saldo inicial
no 4º período é: 35.000 – 20.000 = 15.000
 Então, a nova amortização será de $15.000/7 prestações vincendas 
$2.143
1 50.000 4.000 5.000 9.000 45.000
2 45.000 3.600 5.000 8.600 40.000
3 40.000 3.200 5.000 8.200 35.000
4 15.000 1.200 2.143 3.343 12.857
5 12.857 1.029 2.143 3.171 10.714
6 10.714 857 2.143 3.000 8.571
7 8.571 686 2.143 2.829 6.429
8 6.429 514 2.143 2.657 4.286
9 4.286 343 2.143 2.486 2.143
10 2.143 171 2.143 2.314 0

31-174
Abatimento de saldo devedor: redução do
prazo de financiamento
 Amortizando $20.000 após o pagamento da 3ª prestação, a
amortização no 4º período é: 5.000 + 20.000 = 25.000
 Então, mantida a amortização de $5.000, o SD zera no 6º período
 Isto porque $20.000/$5.000 (valor de cada amortização) = 4, que
corresponde ao nº de prestações pagas antecipadamente
1 50.000 4.000 5.000 9.000 45.000
2 45.000 3.600 5.000 8.600 40.000
3 40.000 3.200 5.000 8.200 35.000
4 35.000 2.800 25.000 27.800 10.000
5 10.000 800 5.000 5.800 5.000
6 5.000 400 5.000 5.400 0

31-175
Empréstimo com prestação regular
 Exemplo. Um financiamento de $50.000 é concedido
à taxa de 8% aa, para pagamento em dez prestações
uniformes anuais. Qual o perfil do FC?
 Sistema Price (na HP 12C)
 10 N
 8 i
 50.000 PV
 PMT = -7.451,46
 Os exercícios de amortização parcial feitos
anteriormente, no sistema SAC, também, podem
ser praticados para o Sistema Price

31-176
Empréstimo com prestação regular
Ano SD inicial Prestação Juros Amortização SD final
1 50.000,00 7.451,46 4.000,00 3.451,46 46.548,54
2 46.548,54 7.451,46 3.723,88 3.727,58 42.820,96
3 42.820,96 7.451,46 3.425,68 4.025,78 38.795,18
4 38.795,18 7.451,46 3.103,61 4.347,85 34.447,33
5 34.447,33 7.451,46 2.755,79 4.695,67 29.751,66
6 29.751,66 7.451,46 2.380,13 5.071,33 24.680,33
7 24.680,33 7.451,46 1.974,43 5.477,03 19.203,30
8 19.203,30 7.451,46 1.536,26 5.915,20 13.288,11
9 13.288,11 7.451,46 1.063,05 6.388,41 6.899,69
10 6.899,69 7.451,46 551,98 6.899,48 0,21

31-177
Exercício: refinanciamento de saldo devedor
1º) Prestação mensal do contrato original. Cálculo necessário
para determinar o SD após a 9ª prestação
n i PV PMT FV
24 2,00 -100.000,00 5.287,11 0,00
2º) Saldo devedor no final do mês 9. O novo prazo remanescente é 24 – 9 = 15
n i PV PMT FV
15 2,00 67.935,47 -5.287,11 0,00
3º) Prestação mensal do refinanciamento. Refinancia o SD
remanescente em 24 parcelas
n i PV PMT FV
24 2,00 -67.935,47 3.591,82 0,00
É realizado um financiamento de $ 100.000,00 a uma taxa de juros de 2%
a.m., por um prazo de 24 meses, com pagamentos mensais postecipados.
Suponha que o tomador deseja refinanciar o saldo devedor ao final do
9o mês, à mesma taxa de juros, por outros 24 meses. Qual o valor da nova
prestação?

31-178
Exercícios
Equivalência de fluxos de caixa e
sistemas de amortização

31-179
1) Determinar o valor de “C” para que os dois fluxos de caixa abaixo sejam equivalentes à
taxa de 3% ao mês. Resposta: $3.943,47
1000,00
A
1 2 3 4 5 6
B
1 2 3 4 5 6
C = ?
2) Uma empresa realiza serviços de manutenção e necessita comprar um equipamento
produzido por uma fornecedora, que apresentou duas propostas: a) venda à vista do
equipamento por $1 milhão; ou b) a fornecedora alugaria o equipamento à empresa com
pagamento em duas parcelas, realizadas ao final de cada ano, por um período de dois
anos. Caso a empresa adquira o equipamento, sabe que seu valor de revenda no
mercado secundário é de $700 mil ao final de dois anos. Considerando o custo de
oportunidade de 10% ao ano e o regime de juros compostos, determine o valor do
aluguel do equipamento para que ambas propostas sejam financeiramente equivalentes.
Resposta: $242.857,14
Exercícios: equivalência de FCs

31-180
3) Um banco comercial realiza operações financeiras com uma taxa efetiva de
3% ao mês. O financiamento pode ser pago de duas maneiras: (a) em prestações
mensais iguais; e (b) em prestações trimestrais iguais.
Determine o valor dessas prestações para um financiamento de $1.000,00, que
será amortizado em 12 meses. Resposta: $100,46. $310,52
4) Uma imobiliária deseja vender um terreno por $250.000 à vista. Porém,
concorda vendê-lo, financiando 50% do valor em um ano, a juros de 1 % ao mês,
por meio de um dos seguintes planos de financiamento:
a) 12 prestações mensais iguais de $8.000 e mais 2 parcelas semestrais iguais;
ou
b) b) 2 prestações semestrais iguais de $30.000 e mais 12 parcelas mensais
iguais.
Determine os valores dessas parcelas para que os dois planos sejam equivalentes.
Resposta: (a) $8.000/mês e $19.108,77/semestre; (b) $6.229,65/mês e
$30.000/semestre
Exercícios: equivalência de FCs

31-181
Exercício: sistemas de amortização
5) Determine as parcelas das prestações, inclusive, juros
e amortização, de um financiamento de $1.000,00 à taxa
de juros de 8% ao ano, pagos em 4 anos, para cada um
dos sistemas de amortização abordados
Resposta: tabela a seguir
6) Determine as parcelas das prestações, inclusive, juros
e amortização, de um financiamento de $5.000,00 à taxa
de juros de 10 % ao ano, pagos em 4 anos, para os
seguintes sistemas de amortização: pagamento único,
americano, SAC, Price e SAM
Resposta: tabela a seguir

31-182
Fi nanci a/: 1.000,00 Tx. Juros: 8,00%
Plano Período
Juros
capitaliz.
Juros
pagos
Amortiz. Prestação
Saldo
devedor
0 1.000,00
1 80,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00
2 86,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40
3 93,31 0,00 0,00 0,00 1.259,71
4 100,78 0,00 1.000,00 1.360,49 0,00
total 360,49 360,49 1.000,00 1.360,49
0 1.000,00
1 80,00 80,00 0,00 80,00 1.000,00
2 80,00 80,00 0,00 80,00 1.000,00
3 80,00 80,00 0,00 80,00 1.000,00
4 80,00 80,00 1.000,00 1.080,00 0,00
total 320,00 320,00 1.000,00 1.320,00
0 1.000,00
1 80,00 80,00 250,00 330,00 750,00
2 60,00 60,00 250,00 310,00 500,00
3 40,00 40,00 250,00 290,00 250,00
4 20,00 20,00 250,00 270,00 0,00
total 200,00 200,00 1.000,00 1.200,00
0 1.000,00
1 80,00 80,00 221,92 301,92 778,08
2 62,25 62,25 239,67 301,92 538,41
3 43,07 43,07 258,85 301,92 279,56
4 22,36 22,36 279,56 301,92 0,00
total 207,68 207,68 1.000,00 1.207,68
0 1.000,00
1 80,00 80,00 235,96 315,96 764,04
2 61,12 61,12 244,84 305,96 519,20
3 41,54 41,54 254,42 295,96 264,78
4 21,18 21,18 264,78 285,96 0,00
total 203,84 203,84 1.000,00 1.203,84
0 80,00 80,00 80,00 1.000,00
1 62,43 62,43 219,65 282,08 780,35
2 43,33 43,33 238,75 282,08 541,59
3 22,57 22,57 259,51 282,08 282,08
4 0,00 0,00 282,08 282,08 0,00
total 208,32 208,32 1.000,00 1.208,32
Alemão
Pgto úni co
Ameri cano
SAC
Pri ce
SAM

31-183
Financia/: 5.000,00 Tx. Juros: 10,00%
Plano Período
Juros
capitaliz.
Juros
pagos
Amortiz. Prestação
Saldo
devedor
0 5.000,00
1 500,00 0,00 0,00 0,00 5.500,00
2 550,00 0,00 0,00 0,00 6.050,00
3 605,00 0,00 0,00 0,00 6.655,00
4 665,50 2.320,50 5.000,00 7.320,50 0,00
total 2.320,50 2.320,50 5.000,00 7.320,50
0 5.000,00
1 500,00 500,00 0,00 500,00 5.000,00
2 500,00 500,00 0,00 500,00 5.000,00
3 500,00 500,00 0,00 500,00 5.000,00
4 500,00 500,00 5.000,00 5.500,00 0,00
total 2.000,00 2.000,00 5.000,00 7.000,00
0 5.000,00
1 500,00 500,00 1.250,00 1.750,00 3.750,00
2 375,00 375,00 1.250,00 1.625,00 2.500,00
3 250,00 250,00 1.250,00 1.500,00 1.250,00
4 125,00 125,00 1.250,00 1.375,00 0,00
total 1.250,00 1.250,00 5.000,00 6.250,00
0 5.000,00
1 500,00 500,00 1.077,35 1.577,35 3.922,65
2 392,27 392,27 1.185,09 1.577,35 2.737,57
3 273,76 273,76 1.303,59 1.577,35 1.433,97
4 143,40 143,40 1.433,95 1.577,35 0,02
total 1.309,42 1.309,42 4.999,98 6.309,40
0 5.000,00
1 500,00 500,00 1.163,68 1.663,68 3.836,33
2 383,63 383,63 1.217,54 1.601,18 2.618,78
3 261,88 261,88 1.276,80 1.538,68 1.341,99
4 134,20 134,20 1.341,98 1.476,18 0,01
total 1.279,71 1.279,71 4.999,99 6.279,70
Pgto úni co
Americano
SAC
Price
SAM

31-184
Fluxo de caixa e inflação

31-185
Fluxo de caixa e inflação: princípios básicos
 MODELO PREFIXADO
 Os cálculos seguem os mesmos procedimentos usados com
moeda estável ou que desconsidera os efeitos inflacionários
 A inflação é fixada a priori e os valores obtidos são
definitivos
 Os valores do fluxo de caixa são representados a preços
correntes que incorporam a inflação
 A taxa de juros de cada período é a taxa nominal (prefixada)
inclui a taxa de juros real e a taxa de inflação do período
 Mais usado nas operações de curto prazo

31-186
 MODELO PÓS-FIXADO
 Os cálculos seguem os mesmos procedimentos usados com
moeda estável ou que desconsidera os efeitos inflacionários
 Os valores do fluxo de caixa são representados a preços
constantes, sem considerar a inflação
 A taxa de juros de cada período corresponde à taxa real e
não inclui qualquer previsão de inflação
 Os valores obtidos não são definitivos e, ao longo do tempo,
são convertidos para preços correntes, através de
indexadores que refletem a inflação dos períodos
 Mais usado nas operações de longo prazo
Fluxo de caixa e inflação: princípios básicos

31-187
Fluxo de caixa e inflação: relação entre as
taxas
PV = $1.000.000,00 Taxa de juros real = 10% a.a.
Prazo = 1 ano Inflação pós-fixada : Índice IGP = 12 % a.a.
Anual ( 1 + tna ) = ( 1 + ia ) x ( 1 + tia ) ( 1 + tnt ) = ( 1 + it) x ( 1 + tit ) Trimestral
Semestral ( 1 + tns ) = ( 1 + is ) x ( 1 + tis ) ( 1 + tnm) = ( 1 + im ) x ( 1 + tim ) Mensal
Taxa de Juros Real (i) = 10,00 % a.a. = ia
Taxa de Inflação (ti) = 12,00 % a.a. = tia
Produto das Taxas = 1,2320 % a.a. = ia x tia
Taxa Total = Taxa Nominal (tn) 23,20 % a.a. = taa
Ano
Valor do IGP Valores a Preços Constantes Valores a Preços Correntes
(Final do Ano) (em $) Juros Reais (em $) Juros Nominais
0 100,00 1.000.000,00 1.000.000,00 -
1 112,00 1.100.000,00 10,00% 1.232.000,00 23,20%

31-188
Fluxo de caixa e inflação: exemplo
SAC - modelo pós-fixado
PV = $1.000.000,00 Taxa de Juros Real = 10% a.a.
SAC: prazo de 5 anos Inflação Pós-Fixada : Índice IGP
Valores a Preços Constantes
Índice IGP
(x 1,12)
Prestação a
Ano Saldo Amortização Juros Prestação Preços
Final do Ano do Ano do Ano do Ano Correntes
0 1.000.000,00 (1.000.000,00) 1,00000000 (1.000.000,00)
1 800.000,00 200.000,00 100.000,00 300.000,00 1,12000000 336.000,00
2 600.000,00 200.000,00 80.000,00 280.000,00 1,25440000 351.232,00
3 400.000,00 200.000,00 60.000,00 260.000,00 1,40492800 365.281,28
4 200.000,00 200.000,00 40.000,00 240.000,00 1,57351936 377.644,65
5 0,00 200.000,00 20.000,00 220.000,00 1,76234168 387.715,17
Soma 1.000.000,00 300.000,00 1.300.000,00 817.873,10
TIR 10,00% 23,20%
tn = i x ti
tn = 1,10 x 1,12 = 1,232 ou
23,2% ao ano
FC a preços correntes
(preço constante é multiplicado pelo indexador)

31-189
PV = $1.000.000,00 Taxa Nominal Prefixada = 23,2% a.a.
SAC: prazo de 5 anos Inflação Pós-Fixada : IGP = 12 %a.a.
Valores em $ a Preços Correntes
Índice IGP
(1,12)
Prestação a
Ano Saldo Amortização Juros Prestação Preços
Final do Ano do Ano do Ano do Ano Constantes
0 1.000.000,00 (1.000.000,00) 1,00000000 (1.000.000,00)
1 800.000,00 200.000,00 232.000,00 432.000,00 1,12000000 385.714,29
2 600.000,00 200.000,00 185.600,00 385.600,00 1,25440000 307.397,96
3 400.000,00 200.000,00 139.200,00 339.200,00 1,40492800 241.435,86
4 200.000,00 200.000,00 92.800,00 292.800,00 1,57351936 186.079,69
5 0,00 200.000,00 46.400,00 246.400,00 1,76234168 139.813,98
Soma 1.000.000,00 696.000,00 1.696.000,00 260.441,78
TIR 23,20% 10,00%
Fluxo de caixa e inflação: exemplo
SAC - modelo prefixado
FC a preços constantes
(preço corrente é dividido pelo indexador)

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