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Portafolio final algebra paty

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portafolio de álgebra

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Portafolio final algebra paty

  1. 1. Módulo Algebra Página 1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS AMBIENTALES Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario Módulo “ALGEBRA” PRIMER NIVEL PARALELO: “ B ” Ing. Oscar René Lomas Reyes Nombre: Patricia Pusdá Marzo 2013 – Agosto 2013
  2. 2. Módulo Algebra Página 2 Contenido INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS................................................................................................................................. 4 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES..................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES................................................................................. 6 EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................ 7 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................................... 9 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?....................................................................................................... 11 Partes de una ecuación........................................................................................................... 11 ¡Exponente!............................................................................................................................. 12 PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 13 FACTORIZACIÓN...................................................................................................................... 15 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.................................................................................. 16 ECUACIONES LINEALES............................................................................................................ 16 SILABO......................................................................................................................................... 18
  3. 3. Módulo Algebra Página 3 INTRODUCCIÓN El álgebra es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y lo números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. Esta rama se caracteriza por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el Teorema de Pitágoras. El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x o y) u otros símbolos son usados para representar números desconocidos. Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede resolverse sumando 5 a ambos lados del signo igual (=), así: x - 5 = 2 x - 5 + 5 = 2 + 5 x + 0 = 7 x = 7 (la respuesta) Se realizara el estudio tanto de números reales, números enteros positivos, negativos , fraccionarios , productos notables, factorización , sistemas de ecuaciones lineales aplicadas a nuestra carrera.
  4. 4. Módulo Algebra Página 4 OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Recopilar toda la información de cada tema ya visto en el módulo de algebra, para que sirva de guía base para nuestro estudio. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Elaborar el portafolio estudiantil Analizar la información recolectada que servirá de base de estudio para la evaluación. Trabajar en forma grupal en la recolección de la información
  5. 5. Módulo Algebra Página 5 CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números naturales. Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…) Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el conjunto de los enteros. Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…) El conjunto de los números racionales consiste en números como y , que pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es aquél que puede escribirse como donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional. Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se conocen como números irracionales. Los números y son ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales. Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas
  6. 6. Módulo Algebra Página 6 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son iguales entre sí. Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real. Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden. Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden. Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales que para todo número real a. Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número real denotado poa –a Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos los productos.
  7. 7. Módulo Algebra Página 7 EXPONENTES Y RADICALES Exponentes Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base. Por ejemplo: b es el valor base y -5 es el exponente -2 es el valor base y 7 es el exponente Leyes de los exponentes RADICALES La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”. n = índice x = radicando y = raíz
  8. 8. Módulo Algebra Página 8 =signo radical Leyes radicales
  9. 9. Módulo Algebra Página 9 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones aritméticas. Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término. Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término: Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos. Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos: Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos. Ejemplo: Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios. Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
  10. 10. Módulo Algebra Página 10 Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes. Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los productos parciales con sus propios signos. División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.
  11. 11. Módulo Algebra Página 11 ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: x + 2 = 6 Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6) Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello" Partes de una ecuación Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes: Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y. Un número solo se llama una constante. Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente) Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
  12. 12. Módulo Algebra Página 12 Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos. Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -) Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?" ¡Exponente! Elexponente (como el 2 en x2 ) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación. Ejemplos: 82 = 8 × 8 = 64 y3 = y × y × y y2 z = y × y × z Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones Ejemplo: y4 z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz
  13. 13. Módulo Algebra Página 13 PRODUCTOS NOTABLES Binomio al cuadrado Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9 Suma por diferencia Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. (a + b) · (a − b) = a2 − b2 (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25 Binomio al cubo Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 = = x 3 + 9x2 + 27x + 27
  14. 14. Módulo Algebra Página 14 Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 = = 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27 Trinomio al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c (x2 − x + 1)2 = = (x2 )2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 = = x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 Suma de cubos a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2 ) 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9) Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 ) 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9) Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab (x + 2) (x + 3) = = x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = = x2 + 5x + 6
  15. 15. Módulo Algebra Página 15 FACTORIZACIÓN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples. Factorización por factor común. Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común. Factorización de una diferencia de cuadros. Se sabe que: ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados. Factorización de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al cuadrado: Factorización de una suma o diferencia de cubos Se sabe que: Factorización de cubos perfectos de binomios.
  16. 16. Módulo Algebra Página 16 FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común. Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión. FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA ECUACIONES LINEALES Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales porque se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) Ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo: 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10
  17. 17. Módulo Algebra Página 17 –35x = 182 b) Ecuaciones Fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: C . ECUACIONES LITERALES Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla.
  18. 18. Módulo Algebra Página 18 SILABO I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO UPEC – MISIÓN MISIÓN - ESCUELA Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad UPEC - VISIÓN VISIÓN – ESCUELA Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria. ÁREA CONOCIMIENTO ESCUELA CINE- UNESCO SUB-ÁREA CONOCIMIENTO CINE- UNESCO Agricultura. Agricultura, Silvicultura y Pesca. II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: CÓDIGO NIVEL PRIMERO DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing. TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec
  19. 19. Módulo Algebra Página 19 oscarlomasreyes@yahoo.es CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3 HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48 PRE-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS 1. Nivelación Aprobada CO-REQUISITOS: (Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS 1. Física Aplicada 1 EJE DE FORMACIÓN: (En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL ÁREA DE FORMACIÓN: (En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio ) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO: (Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
  20. 20. Módulo Algebra Página 20 SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos. III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA). Escaso razonamiento lógico matemático Competencia GENÉRICA - UPEC: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO) Desarrollar el pensamiento lógico Competencia GLOBAL - ESCUELA: (Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA) Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO: (Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL) Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas
  21. 21. Módulo Algebra Página 21 para plantear y resolver problemas del entorno. NIVELES DE LOGRO PROCESO COGNITIVO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías El estudiante es capaz de: DIMENSIÓN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) 1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO CREAR Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella. 2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les
  22. 22. Módulo Algebra Página 22 permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos. 3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos. 4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento. Trabajo interdisciplinar: (Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA). Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.
  23. 23. Módulo Algebra Página 23 IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) El estudiante será capaz de CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS LOGROS ESPERADOS ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Estrategias, métodos y técnicas HORAS CLASE COGNITIVOS ¿Qué TIENE que saber? PROCEDIMENTALES ¿Saber cómo TIENE que aplicar el conocimiento? AFECTIVO MOTIVACIONALES ¿Saber qué y cómo TIENEactuar axiológicamente? T P Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Sistema de Números Reales Recta de números Reales Operaciones Binarias Potenciación y Radicación Propiedades fundamentales Aplicaciones Utilizar organizadores gráficos para identificar las clases de números reales que existe Utilizar organizadores gráficos para ubicar los elementos Relacionar en la uve heurística Identificar los diferentes propiedades en potenciación y radicación Hacer síntesis gráfica Repasar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a la vida del profesional Turístico Demostrar comprensión sobre los tipos de números reales Disposición para trabajar en equipo Utilizar una actitud reflexiva y critica sobre la importancia de la matemática básica Aceptar opiniones diferentes Potenciar el clima positivo Aceptar errores y elevar el autoestima para que pueda actuar de manera autónoma y eficiente DEMOSTRAR. 1. Caracterizar los números reales para la demostración 2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución. 2 4
  24. 24. Módulo Algebra Página 24 Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Expresiones algebraicas: nomenclatura y clasificación. Polinomios clasificación. Operaciones con Polinomios: adición, resta, multiplicación y división. Productos notables. Descomposición Factorial Aplicar operaciones mentales Identificar los diferentes tipos polinomios Aplicar operaciones mentales en la resolución de un sistema de ecuaciones. Identificar los diferentes tipos de productos notables Resolver ejercicios Aceptar opiniones divergentes Destacar la solidaridad en los ambientes de trabajo Potenciar la resolución de problemas Valorar las participaciones de los demás Demostrar grado por lo que hacemos INDUCTIVO-DEDUCTIVO INDUCTIVO 1.Observación 2. Experimentación. 3. Información (oral, escrita, gráfica, etc.) 4. Dramatización. 5. Resolución de problemas. 6. comprobación. 7. Asociación (especial temporal y casual) 8. Abstracción. 9. Generalización. 10. Resúmenes. 11. Ejercicios de fijación. CONVERSACIÓN HEURISTICA 1. Determinación del problema. 2. Dialogo mediante preguntas. 3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, 2 4
  25. 25. Módulo Algebra Página 25 socializar la solución. Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Máximo común divisor de polinomios. Mínimo común múltiplos de polinomios. Operaciones con fracciones. Aplicaciones Resolver ejercicios con polinomios sencillos y complejos Aplicar procesos de resolución adecuados para resolver problemas. Resolver ejercicios aplicando en forma conjunta los máximos y los mínimos Distinguir los componentes de las expresiones racionales Utilizar una actitud crítica y reflexiva sobre el tema. Cooperar en el desarrollo del conocimiento. Demostrar confianza en el desarrollo del proceso. Cooperar con el grupo en la resolución de funciones. RAZONAR 1. Determinar las premisas. 2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio. 3. Elaborar las conclusiones. RELACIONAR. 1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar. 2. Determinar los criterios de relación entre los objetos 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Ecuaciones lineales, resolución Sistemas lineales y clasificación. Resolución de ecuaciones lineales. Aplicaciones Plantear ecuaciones lineales. Identificar los sistemas líneas y su clasificación Elaborar modelos matemáticos en la solución de problemas de la carrera Implementar procesos de resolución adecuados en problemas reales. Trabajar con eficiencia y eficacia respetando los criterios en la resolución de problemas. Demostrar interés en el trabajo individual y de equipo Respetar las opiniones del grupo y fuera de él. Expresar coherencia en las soluciones propuestas valorando las iniciativas de cada participante. EXPOSICION PROBLEMICA. 1. Determinar el problema. 2. Realizar el encuadre del problema. 3. Comunicar el conocimiento. 4. Formulación de la hipótesis. 5. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones) 3 6 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Definición y clasificación. Ecuaciones reducibles a cuadráticas Resolución de ecuaciones Nombrar la definición de ecuaciones cuadráticas Reducir a expresiones sencillas las expresiones cuadráticas Resolver ejercicios sobre Utilizar creatividad y capacidad de análisis y síntesis respetando los criterios del grupo. Demostrar razonamiento crítico y reflexivo cooperando en la obtención de resultados EXPOSICIÓN PROBLEMICA 1. Determinar el problema 2. Realizar el encuadre del problema 3. Comunicar el 3 6
  26. 26. Módulo Algebra Página 26 cuadráticas por factoreo. Resolución por completación de un trinomio cuadrado. expresiones cuadráticas Ejercitar las operaciones con polinomios incompletos. conocimiento (conferencia ,video ) 4. Formulación de la hipótesis ( interacción de las partes) Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Aplicaciones de la ecuación cuadrática. Aplicar la fórmula general para la resolución de ecuaciones cuadráticas Distinguir los componentes de las expresiones racionales Valorar la creatividad de los demás Respetar el criterio del grupo. 1. Determinar los procedimientos para resolver problemas. 2. Encontrar la solución ( fuentes ,argumentos, búsqueda ,contradicciones) 3 6
  27. 27. Módulo Algebra Página 27 V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados DIMENSIÓN (Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro) INDICADORES DE LOGRO DE INGENIERIA descripción TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de EVALUACIÓN 1° PARCIA L 2° PARCIA L 3° PARCIA L SUPLETORI O Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. FACTUAL. Interpretar información. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Documento Documento Documento Chat-Foro 10% 10% 10% 10%
  28. 28. Módulo Algebra Página 28 Pruebas Portafolio Reactivos Documento 50% 10% 100% Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados PROCESAL Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 10% 10% 10% 10% 50% 10% 100% Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia para el diseño. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. FACTUAL. CONCEPTUAL. PROCESAL METACOGNITIVO Interpretar información. Modelar, simular sistemas complejos. Analizar problemas y sistemas complejos. Deberes Trabajos Consultas Participación virtual Pruebas Portafolio Documento Documento Documento Chat-Foro Reactivos Documento 5% 5% 5% 5% 25% 5% 100% ESCALA DE VALORACIÓN 9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable
  29. 29. Módulo Algebra Página 29 Nivel ponderado de aspiración y alcance 8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable
  30. 30. Módulo Algebra Página 30 VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS LOGROS DE APRENDIZAJE (Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS) APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE HORAS AUTÓNO MAS INSTRUCCIONES RECURSOS PRODUCTO T P Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático. Consulte información en el internet y textos especializados los conceptos de números reales, presentar en organizadores gráficos. Prueba Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números reales. 2 4 Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático. Consulta sobre la definición de un monomio y polinomio. Grado de un polinomio y su ordenamiento Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identifica los tipos de polinomios 2 4 Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Distinguir plenamente entre expresiones racionales e irracionales 3 6 Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados Dar solución a ecuaciones de primer grado Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6
  31. 31. Módulo Algebra Página 31 Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas. Libros. Copias Documentos en pdf. Descarga de documentos de la web. Identificar los tipos de soluciones que pueden presentarse en la solución de expresiones cuadráticas 3 6 Construir expresiones algebraicas que contribuyan a la solución de problemas del entorno. 3 6 PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel ) TOTAL 16 32 CRÉDITOS 1 2 3
  32. 32. Módulo Algebra Página 32 VII. Bibliografía. BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA) Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA) Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España. Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia. Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador. SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm. Recuperado: Septiembre 2012. Sectormatematica.cl, Programas Gratis. http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012 Manual_Razonamiento_Matemático.pdf DOCENTES: Firma: Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes Ing. ENTREGADO: Marzo 2013
  33. 33. Módulo Algebra Página 33
  34. 34. Módulo Algebra Página 34
  35. 35. Módulo Algebra Página 35
  36. 36. Módulo Algebra Página 36
  37. 37. Módulo Algebra Página 37
  38. 38. Módulo Algebra Página 38
  39. 39. Módulo Algebra Página 39 1 NÚMEROS REALES
  40. 40. Módulo Algebra Página 40 PROBLEMAS 0.2
  41. 41. Módulo Algebra Página 41
  42. 42. Módulo Algebra Página 42
  43. 43. Módulo Algebra Página 43
  44. 44. Módulo Algebra Página 44
  45. 45. Módulo Algebra Página 45
  46. 46. Módulo Algebra Página 46 2 EJERCICIOS-POTENCIACIÓN-RACIONALIZACIÓN
  47. 47. Módulo Algebra Página 47
  48. 48. Módulo Algebra Página 48
  49. 49. Módulo Algebra Página 49
  50. 50. Módulo Algebra Página 50 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
  51. 51. Módulo Algebra Página 51
  52. 52. Módulo Algebra Página 52
  53. 53. Módulo Algebra Página 53
  54. 54. Módulo Algebra Página 54
  55. 55. Módulo Algebra Página 55
  56. 56. Módulo Algebra Página 56
  57. 57. Módulo Algebra Página 57 EJERCICIOS-FACTORIZACIÓN
  58. 58. Módulo Algebra Página 58
  59. 59. Módulo Algebra Página 59
  60. 60. Módulo Algebra Página 60
  61. 61. Módulo Algebra Página 61 3 TABLA DINÁMICA EXCEL
  62. 62. Módulo Algebra Página 62 REACTIVOSDE ÁLGEBRA NOMBRE PATRICIA PUSDÁ ÁLGEBRA 1. ¿Cuál de los siguientes ejemplos es un número natural? a) Π b) c) d) -8 2. Solucionar a) b) c) d) 3. Simplificar X2 / x6 y 2 y5 a) Y3/ x2 b) Y3/ x3 c) X3/y33 d) Ninguna 4. Resolver X2 +(a +b) x + ab a) (x +b)(x +a) b) (x- b )(x +ab) c) Ninguna d) a y b 5. Solucionar Y= X2 + 5x +6 a) Y= 4
  63. 63. Módulo Algebra Página 63 b) Y = 6 c) Y= 12 d) X= 34 Economía y finanzas 1. La curva de demanda de trabajo se desplazará hacia la izquierda cuando: a. Aumente el precio del producto. b. Se produzca una mejora tecnológica. c. Disminuya el precio del producto. d. Ninguna de las anteriores 2. cuando el activo circulante (activo corriente), es menor que el pasivo circulante (pasivo corriente), se dice que: a) el fondo de maniobra es negativo b) el fondo de maniobra es despreciable c) el fondo de maniobra es positivo d) ninguno 3. los organigramas reflejan: a) la interrelación entre los diferentes objetos de la empresa b) una visión gráfica y resumida de la estructura formal de la organización c) una visión gráfica y resumida de la estructura informal de la organización d) nada de lo anterior 4. Si el activo de una empresa es igual al neto patrimonial: a) La empresa se encuentra en una grave situación de inestabilidad b) Estamos ante la máxima estabilidad financiera c) El empresario ha invertido todo su dinero en el negocio d) Ninguna de las anteriores 5. La diferencia entre activo circulante y el pasivo circulante define: a) El fondo de maniobra b) El ratio de tesorería c) El ratio de liquidez d) Ninguna de las anteriores
  64. 64. Módulo Algebra Página 64 EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
  65. 65. Módulo Algebra Página 65
  66. 66. Módulo Algebra Página 66
  67. 67. Módulo Algebra Página 67
  68. 68. Módulo Algebra Página 68
  69. 69. Módulo Algebra Página 69
  70. 70. Módulo Algebra Página 70
  71. 71. Módulo Algebra Página 71
  72. 72. Módulo Algebra Página 72
  73. 73. Módulo Algebra Página 73
  74. 74. Módulo Algebra Página 74 Depreciaciones
  75. 75. Módulo Algebra Página 75 Trabajo en clase
  76. 76. Módulo Algebra Página 76 FRACCIONES ALGEBRAICAS Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras ligados por operaciones. A las letras se les llama parte literal de la expresión y suelen designar magnitudes variables. Los números reciben el nombre de coeficientes. Algunos ejemplos son: a) La expresión P 5 2a 1 2b puede servir para designar de forma genérica el perímetro de un rectángulo de lados a y b. Para un valor de P determinado, digamos P 5 100, la expresión será 100 5 2a 1 2b. b) La expresión D 5 10000 2 2p puede dar la demanda de un producto en función de su precio p. Esta relación permite determinar la demanda para cada valor de p. Tipos de expresiones algebraicas Monomio Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término. Ejercicios 12ab+ 3ab+ 7ab= 22ab (15a) – (8a)= 15a- 8a = 7a (3ab) (-5a²c) = - 15aᶟbc 4aᶟb²÷ - 2ab= -2a (3- 1) b(2- 1) = -2a²b
  77. 77. Módulo Algebra Página 77 Binomio Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. abx+aby (ab)•(x+y) Trinomio Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos. X 2 +6x+9 x2-6x+9 Polinomio Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término. Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2 Polinomio de segundo grado P(x) = 2x2+ 3x + 2 Polinomio de tercer grado P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2 Polinomio de cuarto grado P(x) = x4 + x3 − 2x2+ 3x + 2
  78. 78. Módulo Algebra Página 78 OPERACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Las operaciones que se pueden realizar con las fracciones algebraicas son: Suma y Resta Multiplicación División Simplificación de Fracciones Algebraicas Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Ejemplo: Simplifica la siguiente fracción CLASES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras.
  79. 79. Módulo Algebra Página 79 Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos.
  80. 80. Módulo Algebra Página 80 EJERCICIOS DE ECUACIONES LINEALES 2x + 1 = 5 donde a =2, b = 1, c = 5 3x - 6 = 0 donde a = 3, b = -6, c = 0 8x = 1 donde a = 8, b = 0, c = 1 Ejemplo 1: Ecuaciones lineales Una ecuación lineal en x es una igualdad de la forma ax + b = c donde a, b, c son números reales con adiferente de cero. Definició n
  81. 81. Módulo Algebra Página 81 Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. También podemos decir que ax + b = c es una ecuación de primer grado en x. Not a 5x 2 + 3 = 5 Es una ecuación de segundo grado 6x 3 + 2x = 4 Es una ecuación de tercer grado Contraejemplo 1: Los siguientes no son Ecuaciones lineales
  82. 82. Módulo Algebra Página 82
  83. 83. Módulo Algebra Página 83 Ejercicios Ejercicio 1 x-15 = -27 x = -27+15 x = -12 Comprobación -12-15 = -27 -27 = -27 Ejercicio 2 -11x+12 = 144 -11x = 144-12 -11x = 132 x = 132/-11 x = -12 Comprobación -11(-12)+12 = 144 132+12 = 144 144 = 144
  84. 84. Módulo Algebra Página 84 Ejercicio 3 -8x-15 = -111 -8x = -111+15 -8x = -96 x = -96/-8 x = 12 Comprobación -8(12)-15 = -111 -96-15 = -111 -111 = -111 Ejercicio 4 6x-10 = -16 6x = -16+10 6x = -6 x = -6/6 x = -1 Comprobación 6(-1)-10 = -16 -6-10 = -16 -16 = -16 Ejercicio 5 -15x-6 = 9
  85. 85. Módulo Algebra Página 85 -15x = 9+6 -15x = 15 x = 15/-15 x = -1 Comprobación -15(-1)-6 = 9 15-6 = 9 9 = 9 Ejercicio 6 12x+12 = 72 12x = 72-12 12x = 60 x = 60/12 x = 5 Comprobación 12(5)+12 = 72 60+12 = 72 72 = 72 Ejercicio 7 -10x+9 = -81 -10x = -81-9
  86. 86. Módulo Algebra Página 86 -10x = -90 x = -90/-10 x = 9 Comprobación -10(9)+9 = -81 -90+9 = -81 -81 = -81 Ejercicio 8 5x-15 = 15 5x = 15+15 5x = 30 x = 30/5 x = 6 Comprobación 5(6)-15 = 15 30-15 = 15 15 = 15 Ejercicio 9 2x-13 = -19 2x = -19+13 2x = -6
  87. 87. Módulo Algebra Página 87 x = -6/2 x = -3 Comprobación 2(-3)-13 = -19 -6-13 = -19 -19 = -19 SISTEMAS DE ECUACIONES
  88. 88. Módulo Algebra Página 88
  89. 89. Módulo Algebra Página 89
  90. 90. Módulo Algebra Página 90
  91. 91. Módulo Algebra Página 91
  92. 92. Módulo Algebra Página 92
  93. 93. Módulo Algebra Página 93
  94. 94. Módulo Algebra Página 94 En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema. Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices. Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones: forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El conjunto de ecuaciones: forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema. Por ejemplo, es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas. El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe).
  95. 95. Módulo Algebra Página 95 Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo sistemas Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos: Método de sustitución Lo que debemos hacer: 1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 3.- Resolver la ecuación resultante. 4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada. Ejemplo: Resolver Se despeja x en la segunda ecuación: x = 8 – 2y Se sustituyen en la primera ecuación: 3(8 – 2y) – 4y = – 6 Operando: 24 − 6y − 4y = − 6 24 – 10y = – 6 − 10y = − 6 − 24 − 10y = − 30 Se resuelve: y = 3 Se sustituye este valor en la segunda: x + 2(3) = 8 x + 6 = 8 x = 8 – 6 = 2 Solución del sistema: x = 2, y = 3
  96. 96. Módulo Algebra Página 96 Método de reducción Lo que debemos hacer: 1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos. 2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita. 3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones. 4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. Ejemplo: Resolver Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y. Se elimina la x: Se elimina la y: Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010 Método de igualación Lo que debemos hacer: 1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones. 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
  97. 97. Módulo Algebra Página 97 3.- Se resuelve la ecuación resultante. 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo: Resolver Despejamos x en la primera ecuación: Despejamos x en la segunda ecuación: x = –1 – 2y Igualamos ambas expresiones: :Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación: x = 3 + 2(−1) x = 3 − 2 x = 1 Solución del sistema: x = 1, y = –1 Otro ejemplo: Resolver, por el método de igualación, el sistema Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:
  98. 98. Módulo Algebra Página 98 Igualamos ambas expresiones: Luego, resolvemos la ecuación: Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:
  99. 99. Módulo Algebra Página 99 ECUACIONES CUADRÁTICAS ECUACION CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es: Donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coincide con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).
  100. 100. Módulo Algebra Página 100 Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple:
  101. 101. Módulo Algebra Página 101 La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 [x ·x = x2 ] ( x + ) (x - ) = 0 (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
  102. 102. Módulo Algebra Página 102 Completando el Cuadrado: En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 = 8 + 1 x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
  103. 103. Módulo Algebra Página 103 ( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ± x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
  104. 104. Módulo Algebra Página 104 x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4 EJEMPLOS
  105. 105. Módulo Algebra Página 105
  106. 106. Módulo Algebra Página 106
  107. 107. Módulo Algebra Página 107 GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS
  108. 108. Módulo Algebra Página 108 ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número de incógnitas. Gráfica Uno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadráticas: Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0, son las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.
  109. 109. Módulo Algebra Página 109 Características Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vértice. Parábola f(x) = x2 + 5x + 6 La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función. Hallamos el vértice de la parábola:
  110. 110. Módulo Algebra Página 110 Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2 Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4 V = (-2.5, - 12.5) Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir: Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:
  111. 111. Módulo Algebra Página 111 13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado: Respuesta: Solución
  112. 112. Módulo Algebra Página 112 Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º grado: Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola. ¿Por qué los puntos no los unimos con rectas? Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían:: Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendríamos algo parecido a:
  113. 113. Módulo Algebra Página 113 Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado. Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1). En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de: El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué. Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego, para x=0; y=1. Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas. El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:
  114. 114. Módulo Algebra Página 114 En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación: Para x=0 y=-2 La parábola sería: En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el punto (0,2):
  115. 115. Módulo Algebra Página 115 Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2. 13.82(a) Representa gráficamente la ecuación: 13.83 Representa gráficamente la ecuación: Respuesta:
  116. 116. Módulo Algebra Página 116 Solución Los puntos que hemos tomado han sido: El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1) Ejemplo: En este caso a vale 1. Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje. Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.
  117. 117. Módulo Algebra Página 117 UNIVERSIDAD Politécnica ESTATAL DEL CARCHI
  118. 118. Módulo Algebra Página 118 DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO Modulo: ÁLGEBRA Tema: GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS Ing. OSCAR LOMAS NOMBRE: Patricia Pusdá
  119. 119. Módulo Algebra Página 119 GRAFICAR ECUACIONES CUADRÁTICAS ECUACIONES CUADRÁTICAS Una ecuación de este tipo se llaman de segundo grado o cuadrática conviene notar que, lo que caracteriza a una ecuación de segundo grado es que, la potencia máxima de la incógnita sea la segunda, independientemente del número de incógnitas. Gráfica Uno de los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas es la graficación, donde tenemos que encontrar la variable independiente (x) y la variable dependiente (y).Pero para hacer esto debemos primero de ubicar las ecuaciones cuadráticas: Las ecuaciones de la forma axª + bx + c = 0, son las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas toda ecuación de segundo grado en la que b = 0 es una ecuación cuadrática pura, la cual carece del termino de primer grado.
  120. 120. Módulo Algebra Página 120 Características Para graficar una función cuadrática se debe tener por lo menos tres puntos, "los cortes con los ejes" y el vértice. Parábola f(x) = x2 + 5x + 6 La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, 6) pertenece a la función. Hallamos el vértice de la parábola:
  121. 121. Módulo Algebra Página 121 Vx = -b/2a -5/2(1) = -5/2 Vy = f(-b/2a) (-5/2)2 + 5(-5/2) + 6 = -49/4 V = (-2.5, - 12.5) Supongamos una ecuación de 2º grado (el exponente de x debe ser 2): Vamos a dar valores a la variable independiente x y conseguiremos que la variable dependiente y tome los suyos: En primer lugar damos a x el valor 3, luego 2, después 0, seguidamente – 2 y por fin, – 3. La variable dependiente y recibirá los valores: 9,4,0, 4 y 9 Podemos escribir: Colocamos en el eje de coordenadas los puntos: y luego, unimos esos puntos tal como lo ves en la figura siguiente:
  122. 122. Módulo Algebra Página 122 13.82 Representa gráficamente la ecuación de 2º grado: Respuesta: Solución
  123. 123. Módulo Algebra Página 123 Dando valores a x : 2, 1, 0, -1 y -2 obtenemos los de y en la ecuación de 2º grado: Fijados los puntos, los unimos y obtendremos la parábola. ¿Por qué los puntos no los unimos con rectas? Porque si en la ecuación de 2º grado diéramos a x los valores que indicamos a continuación los correspondientes al eje y serían:: Estos valores obtenidos los llevamos al eje de coordenadas para crear los puntos y obtendríamos algo parecido a:
  124. 124. Módulo Algebra Página 124 Por la colocación de los puntos, sin necesidad de unirlos puedes ver el resultado. Vamos a dibujar una parábola cuyo vértice se encuentre en el punto (0,1). En primer lugar debemos conocer la ecuación de 2º grado, supongamos que se trata de: El vértice se hallará en el punto (0,1). Veamos porqué. Si a "x" le das el valor cero en esta ecuación, comprobarás que el valor de y es 1. Luego, para x=0; y=1. Fijamos este punto (color rojo) en el eje de coordenadas. El resto de los puntos (en color verde), y obtenemos la parábola:
  125. 125. Módulo Algebra Página 125 En el caso de que representásemos gráficamente la ecuación: Para x=0 y=-2 La parábola sería: En el caso de que la ecuación fuese el vértice estaría situado en el punto (0,2):
  126. 126. Módulo Algebra Página 126 Si a x le das el valor 0 en la ecuación propuesta, y valdrá 2. 13.82(a) Representa gráficamente la ecuación: 13.83 Representa gráficamente la ecuación: Respuesta:
  127. 127. Módulo Algebra Página 127 Solución Los puntos que hemos tomado han sido: El vértice de la parábola lo tenemos en el punto (0,-1) Ejemplo: En este caso a vale 1. Llevamos algunos de estos valores sobre el eje de coordenadas Cuando x = 2; el valor de y = 0. Este es el punto común de la parábola y su eje. Si doblásemos el papel por el eje de la parábola, las dos ramas o brazos coincidirían.
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