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Apost 1  divisibilidade - inteiros
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  1. 1. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 1i i Divisibilidade e N´ meros Inteiros u Introdu¸˜o ` ca a Aritm´tica Modular e Samuel Jurkiewiczi i i i
  2. 2. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 2i i Sobre o autor. Samuel Jurkiewicz ´ carioca e Doutor em e Matem´tica pela Universidade Pierre et Marie Curie, em Paris. Atu- a almente ´ professor da Escola de Engenharia da UFRJ. J´ atuou e a como docente em todos os n´ ıveis, inclusive no pr´-escolar. Al´m do e e ensino de gradua¸ao e p´s-gradua¸ao, tem desenvolvido atividades c˜ o c˜ junto a professores e alunos do Ensino M´dio atrav´s das Oficinas de e e Matem´tica Discreta. ai i i i
  3. 3. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page ii i Antes de Come¸ar c Caros Professores e Estudantes ´ E com grande satisfa¸ao que levamos as suas m˜os este primeiro c˜ ` a volume de uma s´rie destinada a acompanh´-los durante o Est´gio e a a dos Alunos Premiados da 1a Olimp´ ıada Brasileira de Matem´tica a das Escolas P´blicas (OBMEP-2005). O principal motivo desta sa- u tisfa¸ao ´ saber que as m˜os que ir˜o recebˆ-lo s˜o de pessoas que c˜ e a a e a gostam de pensar, praticar, descobrir e se divertir com a Matem´tica. a Isso representa para n´s grande responsabilidade: a de manter vivo o esse gosto pelo conhecimento e pelo estudo. Aqueles que est˜o rece- a bendo este material mostraram, al´m de competˆncia, que o prazer e e de aprender e de resolver problemas j´ est´ presente. Nossa inten¸ao a a c˜ ´ fazer com que este sentimento cres¸a e se espalhe. Felizmente, a e c Matem´tica nos oferece muitas escolhas e n˜o faltaria a n´s assunto a a o para muitas p´ginas. a Ao pensar que tipo de material seria adequado, tivemos em mente trˆs aspectos: o conte´do, a forma e a profundidade adequadas. No e u caso do conte´do pensamos em abordar temas cl´ssicos, como divi- u a sibilidade, Geometria, conjuntos num´ricos; temas menos frequentes e no curr´ ıculo habitual, como a Combinat´ria; e alguns temas ligados a o ` fundamenta¸ao da Matem´tica, como a argumenta¸ao l´gica. Nossa c˜ a c˜ o inten¸ao ´ contemplar, sempre que poss´ c˜ e ıvel, aspectos originais da Ma- tem´tica que por diversos motivos n˜o se encontram facilmente nos a a livros did´ticos do Ensino Fundamental e M´dio. Claro, n˜o podere- a e a mos fugir aos conhecimentos centrais da Matem´tica, mas procurare- a mos nos valer de sua versatilidade para oferecer material que desperte interesse al´m do que j´ conhecemos. e a Na quest˜o da forma, os fasc´ a ıculos ter˜o sempre algumas ca- a racter´ ısticas comuns: exposi¸ao de conte´dos, exerc´ c˜ u ıcios resolvidos, exerc´ ıcios propostos, propostas de atividades e curiosidades relativas ao tema em estudo. O ponto mais delicado ´ o da profundidade, por estarmos nos e dirigindo a uma popula¸ao com idades e hist´ria escolar bastante c˜ o ´ diversificadas. E certamente um desafio oferecer material que sejai i i i
  4. 4. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page iii i ii adequado a todos. Optamos por dividir o material em duas partes, com dificuldades variadas. A divisibilidade, a decomposi¸ao em n´meros primos, a divisibi- c˜ u lidade, a obten¸ao do m´ c˜ ınimo m´ltiplo comum e do m´ximo divisor u a comum, tudo isto ´ bem familiar aos alunos do Ensino Fundamental e e M´dio. Entretanto, como esses s˜o temas fundamentais da Ma- e a tem´tica achamos importante revisit´-los. Um motivo adicional ´ o a a e renovado interesse sobre estes assuntos na Matem´tica superior e nas a aplica¸oes computacionais, como a Criptografia e a codifica¸ao de c˜ c˜ informa¸oes. Este ´ o material da primeira parte. c˜ e A segunda parte se dedica a Aritm´tica modular, que ser´ no- ` e a vidade para a maior parte dos alunos. Ela se apoia nos conte´dos u fundamentais de que falamos, mas trazendo um aspecto generaliza- ´ dor que ´ a base da Algebra abstrata moderna. Procuramos manter e esta parte em n´ acess´ ıvel ıvel, trabalhando “passo a passo”. Incentivamos o professor a complementar o trabalho com outras id´ias e outros textos, uma vez que o assunto ´ vasto e rico de as- e e pectos interessantes que n˜o caberiam num fasc´ a ıculo deste porte. Ao estudante lembramos que nada substitui a iniciativa e a imagina¸ao. c˜ Dire¸ao Acadˆmica da OBMEP c˜ ei i i i
  5. 5. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page iiii i Conte´ do u 1 Divis˜o de n´ meros naturais a u 1 1.1 M´ltiplos, fatores e divisores . . . . . u . . . . . . . . . 5 1.2 Crit´rios de divisibilidade . . . . . . . e . . . . . . . . . 6 1.3 Outras propriedades dos restos . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 N´meros primos e n´meros compostos u u . . . . . . . . . 20 1.5 Maior divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Menor m´ltiplo comum . . . . . . . . u . . . . . . . . . 26 1.7 Um truque de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8 Uma aplica¸ao geom´trica . . . . . . . c˜ e . . . . . . . . . 31 2 Aritm´tica Modular e 34 A Para saber mais 48 iiii i i i
  6. 6. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page ivi ii i i i
  7. 7. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 1i i Cap´ ıtulo 1 Divis˜o de a n´ meros naturais u Se quisermos dividir 3 queijos por duas pessoas n˜o teremos proble- a mas, cada pessoa ficar´ com 1 queijo e meio. A opera¸ao matem´tica a c˜ a que fizemos foi dividir 3 por 2: 3 3:2= 2 Observa¸˜o: podemos indicar a divis˜o com os s´ ca a ımbolos /, : e ÷ . Usaremos 5 : 7 para indicar “5 dividido por 7”. Mas nem todos os problemas podem ser resolvidos com divis˜es o fracion´rias. Se quisermos dividir 27 livros por 4 alunos, n˜o temos a a a op¸ao de cortar um livro em peda¸os. Por isso, ´ interessante que c˜ c e estudemos as divis˜es com n´meros naturais. Nas p´ginas seguintes o u a estaremos falando sempre de n´meros inteiros, positivos ou negativos. u Aqui vale a pena fazer uma observa¸ao; o conjunto N dos n´meros c˜ u naturais ´ o conjunto dos n´meros que usamos para contar. Mui- e u tos professores incluem o 0 (zero) no conjunto N, mas isso n˜o ´ a e obrigat´rio. No nosso caso o conjunto dos n´meros naturais ser´ o u a N = {1, 2, 3, 4, . . .} mas o zero ser´ utilizado pois tem um papel im- a portante. Ent˜o vocˆ ver´ frequentemente este conjunto expresso a e a como N ∪ {0} (os naturais e o zero). Em alguns casos, trabalharemos 1i i i i
  8. 8. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 2i i 2 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS tamb´m com o conjunto dos n´meros inteiros negativos, {−1, −2, −3, . . .}. e u Vamos ent˜o voltar ao problema de dividir os livros. a Vamos colocar um livro de cada vez na pilha do aluno 1, depois na pilha do aluno 2, depois na pilha do aluno 3 e depois na pilha do aluno 4. Voltamos ao aluno 1 e assim por diante. Quando para- mos? Paramos quando, depois de colocar um livro para o aluno 4, sobram menos do que 4 livros. No nosso caso cada aluno ficou com 6 livros e ainda sobraram 3 livros. Essa situa¸ao pode ser retratada c˜ matematicamente como: 27 : 4 = 6 com resto 3. Note que podemos descobrir o n´mero de livros que t´ u ınhamos no come¸o se soubermos: c • quantos alunos receber˜o livros (4); a • quantos livros cada aluno recebeu (6) e • quantos livros sobraram (3). De fato, basta fazer a conta 4 × 6 + 3 = 24 + 3 = 27. Observa¸˜o: embora seja bastante comum simbolizar a mul- ca tiplica¸˜o por um ponto (como em 7 · 8 = 56) usaremos com ca freq¨ˆncia o s´ ue ımbolo × (como em 7 × 8 = 56). Em geral, s´o usaremos o ponto para indicar multiplica¸˜o entre s´ ca ımbolos literais. Estamos prontos para entender o que ´ a divis˜o entre n´meros e a u naturais. Temos: • um n´mero que queremos dividir (chamado de dividendo — u no nosso caso, o 27); • um n´mero que vai dividir o dividendo (chamado de divisor — u no nosso caso, o 4). Lembre-se: O divisor ´ sempre diferente e de 0; • o maior n´mero de vezes que conseguimos colocar o divisor u dentro do dividendo (chamado de quociente ou resultado — no nosso caso, o 6); ei i i i
  9. 9. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 3i i 3 • o n´mero de unidades que resta (chamado de resto e que deve u ser menor que o divisor — no nosso caso, o 3). Usando os s´ ımbolos: • D para dividendo; • d para divisor (que deve ser diferente de 0); • q para quociente; e • r para resto (que deve ser menor que d), podemos resumir o que est´ acima: a D = d×q +r , r<d , d>0 , D, d, q, r ∈ N ∪ {0} (1.1) O fato de que, dados dois n´meros naturais D e d seja sempre u poss´ ıvel encontrar n´meros q e r dentro das condi¸oes acima ´ u c˜ e um teorema (que n˜o demonstraremos aqui) e que se baseia no a Princ´ ca ´ ıpio da Boa Ordena¸˜o. E uma prova interessante e que se apoia no algoritmo da divis˜o. a A restri¸ao r < d assegura que o quociente q ´ unico, o que nos c˜ e´ permite trabalhar com tranquilidade. Veremos mais adiante, que esta equa¸ao d´ origem a um algoritmo c˜ a para o c´lculo do m´ximo divisor comum entre dois n´meros. a a u Tanto a equa¸ao como o algoritmo aparecem pela primeira vez, de c˜ forma organizada, nos “Elementos”, de Euclides de Alexandria. Exemplo: Uma caixa de 33 l´pis deve ser dividida entre 7 pessoas. Quanto a cada um receber´? Quantos l´pis sobrar˜o? Descreva a si- a a a tua¸ao usando a equa¸ao de Euclides, nossa equa¸ao (1). c˜ c˜ c˜ Solu¸ao: 33 : 7 = 4 com resto 5. Cada pessoa receber´ 4 l´pis. c˜ a a Sobrar˜o 5 l´pis. A situa¸ao pode ser descrita por: a a c˜ 33 = 4 × 7 + 5i i i i
  10. 10. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 4i i 4 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Exerc´ ıcios: 1. Efetue as divis˜es e descreva o resultado na forma da equa¸ao o c˜ de Euclides (equa¸ao (1)). c˜ (a) 44 : 5 (b) 44 : 7 (c) 353 : 3 (d) 483 : 438 (e) 1253 : 125 (f) 757 : 75 (g) 21 : 10 (h) 1210 : 10 (i) 210 : 100 (j) 1285 : 100 (k) 1285 : 1000 (l) 11285 : 10 (m) 157325 : 10000 (n) 157325 : 1000 (o) 57325 : 100 (p) 57325 : 10 2. Efetue as divis˜es e descreva o resultado na forma da equa¸ao o c˜ de Euclides (equa¸ao (1)). O que observa na seq¨ˆncia dos c˜ ue restos? (a) 48 : 4 (b) 47 : 4 (c) 46 : 4 (d) 45 : 4 (e) 44 : 4 (f) 43 : 4 (g) 42 : 4 (h) 41 : 4 (i) 40 : 4 3. Porque o resto tem que ser menor do que o divisor?i i i i
  11. 11. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 5i i ´ 1.1. MULTIPLOS, FATORES E DIVISORES 5 1.1 M´ ltiplos, fatores e divisores u Com freq¨ˆncia desejamos que a divis˜o dˆ “certinha”. Ou melhor, ue a e que ela seja exata. O que queremos dizer com isso? Queremos que n˜o sobre nada, queremos que o resto seja 0. a 45 : 7 ´ uma divis˜o exata? N˜o, pois o quociente ´ 6 mas ainda e a a e temos o resto de 3. 45 : 9 ´ uma divis˜o exata? Sim, pois o quociente ´ 5 e o resto e a e ´ 0. e Porque ´ t˜o importante que o resto seja 0? e a Para responder a esta pergunta observemos que quando r = 0 a equa¸ao de Euclides (nossa equa¸ao (1)). c˜ c˜ D = d × q + r, r < d, d > 0, D, d, q, r ∈ N ∪ {0} (1.1) se reduz a D = d × q, d > 0, D, d, q ∈ N ∪ {0} (1.2) Isto ´, temos que tratar somente com multiplica¸ao. Se a divis˜o tem e c˜ a resto 0 dizemos que o dividendo ´ m´ ltiplo do divisor. Mais ainda, e u como os n´meros do lado direito da igualdade da equa¸ao (2) podem u c˜ ser trocados (pois a multiplica¸ao ´ uma opera¸ao comutativa), o c˜ e c˜ dividendo tamb´m ´ m´ltiplo do quociente. e e u No nosso simples exemplo: 45 = 9 × 5 ⇒ 45 ´ m´ltiplo de 9 e 45 ´ m´ltiplo de 5. e u e u Podemos dizer tamb´m que 5 ´ divisor de 45, e que 9 ´ divisor de 45. e e e De certa maneira os n´meros 5 e 9 constroem o n´mero 45, por u u multiplica¸ao. Os n´meros 5 e 9 fazem o n´mero 45 e por isso dizemos c˜ u u tamb´m que: e 5 e 9 s˜o fatores de 45. a Demos bastante ˆnfase a esta nomenclatura, pois vamos us´-la com e a freq¨ˆncia. uei i i i
  12. 12. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 6i i 6 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Exemplo: Quais os fatores do n´mero 12? u 1 e 12, pois 12 = 1 × 12; 2 e 6, pois 12 = 2 × 6; 3 e 4, pois 12 = 3 × 4; Conjunto dos divisores de 12: D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. c˜ ´ Observa¸ao: E bastante freq¨ente usar a nota¸ao: u c˜ D12 ≡ conjunto dos divisores de 12. Essa forma nos ser´ conveniente em alguns casos. a Exerc´ ıcios: 1. Determine os fatores de (a) 42 (b) 6 (c) 18 (d) 15 (e) 25 (f) 100 (g) 13 (h) 23 (i) 37 (j) 101 (k) 1001 2. Quais os fatores de 2471? Vocˆ testou at´ que divisor? e e 1.2 Crit´rios de divisibilidade e e o sistema de numera¸˜oca Em alguns casos, n˜o precisaremos tentar dividir para saber se um a n´mero ´ ou n˜o m´ltiplo de outro. Para isso usaremos as carac- u e a u ter´ ısticas de nosso sistema de numera¸ao e algumas propriedades do c˜ resto de uma divis˜o. Vamos lembrar alguns fatos. ai i i i
  13. 13. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 7i i ´ 1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 7 Fato 1: No nosso sistema usamos 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) cujo valor aumenta ou diminui conforme sua posi¸ao. c˜ Exemplo: 12948 = 8 + 4 × 10 + 9 × 100 + 2 × 1000 + 1 × 10000 Fato 2: Se um n´mero ´ fator de dois outros n´meros, ele ´ divisor u e u e da sua soma (e da sua diferen¸a). c Exemplo: 6 ´ fator de 30 e 6 ´ fator de 48 e Ent˜o, 6 ´ fator de 30 + 48 = 78. a e E 6 tamb´m ´ fator de 48 − 30 = 18 (pois 18 = 6 × 3). e e Fato 3: Dividimos dois n´meros por um mesmo divisor; se a soma u (diferen¸a) dos restos for menor que o divisor ela ser´ igual ao resto c a da soma (diferen¸a) dos dois n´meros. c u Exemplo: Soma 22 : 7 = 3 e o resto ´ 1 e 33 : 7 = 4 e o resto ´ 5 e A soma dos restos ´ 6 (que ´ menor que 7). e e 22 + 33 = 55 55 : 7 = 7 e o resto ´ 6 e Diferen¸a c 5−1=4 33 − 22 = 11 11 : 7 = 1 e o resto ´ 4 e Observa¸˜o: se a diferen¸a for um n´ mero negativo, soma- ca c u mos o divisor. Exemplo: 44 : 7 = 6 e o resto ´ 2 e 26 : 7 = 3 e o resto ´ 5 e 2 − 5 = −3i i i i
  14. 14. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 8i i 8 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS −3 + 7 = 4 44 − 26 = 18 18 : 7 = 2 e o resto ´ 4 e Fato 4: Dividimos dois n´meros por um mesmo divisor; se a soma u dos restos for maior que o divisor, subtra´ ımos o valor do divisor e o resultado ser´ o resto da soma dos dois n´meros. a u Exemplo: 26 : 7 = 3 e o resto ´ 5 e 32 : 7 = 4 e o resto ´ 4 e A soma dos restos ´ 9 (que ´ maior que 7). 9 − 7 = 2 e e 26 + 32 = 58 58 : 7 = 8 e o resto ´ 2 e Pergunta-exerc´ ıcio: a diferen¸a entre os restos pode ser maior que o c divisor? Em algum caso necessitaremos adicionar o divisor mais do que uma vez? Exerc´ ıcio: Sem executar a soma, determine o resto das divis˜es: o (a) (47 + 73) : 7 (b) (354 + 432) : 10 (c) (47 + 73) : 8 (d) (35 + 46) : 6 (e) (123 + 258) : 10 (f) (16 + 22 + 35) : 3 (g) (43 + 49) : 3 (h) (200 + 40 + 7) : 3 (i) (100 + 40 + 7) : 3 (j) (100 + 20 + 4) : 9 (k) (400 + 10 + 7) : 9 (l) (400 + 10 + 4) : 9 1.2.1 Divisibilidade por 2; n´ meros pares e ´ u ımpares O crit´rio de divisibilidade mais conhecido ´ a divis˜o por 2. Para e e a determinar se um n´mero ´ divis´ por 2 (isto ´, par) ou n˜o (´ u e ıvel e a ımpar)i i i i
  15. 15. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 9i i ´ 1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 9 s´ precisamos verificar se o ultimo algarismo ´ par ou ´ o ´ e ımpar. Observe que: 10 = 2 × 5 100 = 2 × 50 1000 = 2 × 500 e assim por diante. Ent˜o, por exemplo: a 456 = 4 × 100 + 5 × 10 + 6 400 = 200 × 2 ´ par (divis´ por 2) e ıvel 50 = 25 × 2 ´ par (divis´ por 2) e ıvel 6 = 3 × 2 ´ par (divis´ por 2) e ıvel E 456 ´ par e 7568142635 ´ ´ e ımpar (n˜o ´ divis´ por 2) a e ıvel 7568142636 ´ par (divis´ por 2) e ıvel Um fato importante ´ que todos os fatores de um n´mero ´ e u ımpar s˜o a ´ ımpares. Basta um fator par para que o n´mero seja par. u 1.2.2 Divisibilidade por 4 e 8 Observe que: 100 = 4 × 25 1000 = 4 × 250 E assim por diante 1000000 = 4 × 250000 Isto ´, as potˆncias de 10, a partir de 100, s˜o todas divis´ e e a ıveis por 4. Mas 10 n˜o ´ divis´ por 4. a e ıvel Ent˜o, para saber se um n´mero ´ divis´ por 4 n˜o precisamos a u e ıvel a nos preocupar com as centenas, milhares, e assim por diante. Estas classes j´ tˆm o 4 como fator. a e Para saber se um n´mero ´ divis´ por 4, basta saber se os dois u e ıvel ultimos algarismos formam um n´mero divis´ por 4. ´ u ıvel Para saber o resto da divis˜o de um n´mero por 4, basta saber o a u resto da divis˜o dos seus dois ultimos algarismos por 4. a ´i i i i
  16. 16. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 10i i 10 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Exemplos: 1. 125867432 ´ divis´ por 4? e ıvel Basta verificar para 32 32 = 4 × 8 com resto 0 2. Qual o resto de 35971659 : 4? Basta verificar o resto de 59 : 4. 59 : 4 = 14 com resto 3 A divisibilidade por 8 segue o mesmo padr˜o. Observe que: a 1. 1000 = 8 × 125 10000 = 8 × 1250 E assim por diante: 1000000 = 8 × 125000 Isto ´, as potˆncias de 10, a partir de 1000, s˜o todas divis´ e e a ıveis por 8. Mas 10 n˜o ´ divis´ por 8 e 100 tamb´m n˜o ´ divis´ por 8. a e ıvel e a e ıvel Ent˜o, para saber se um n´mero ´ divis´ a u e ıvel por 8 n˜o precisa- a mos nos preocupar com os milhares, dezenas de milhares e assim por diante. Estas classes j´ tˆm o 8 como fator. a e Para saber se um n´mero ´ divis´ por 8, basta saber se os trˆs u e ıvel e ultimos algarismos formam um n´mero divis´ por 8. ´ u ıvel Para saber o resto da divis˜o de um n´mero por 8, basta saber o a u resto da divis˜o dos seus trˆs ultimos algarismos por 8. a e ´ Exemplos: 1. 125867344 ´ divis´ por 8? e ıvel Basta verificar para 344. 344 = 8 × 43 com resto 0 2. Qual o resto de 35971659 : 8? Basta verificar o resto de 659 : 8. 659 : 8 = 82 com resto 3. Exerc´ ıcio: Calcule o resto das divis˜es: o (a) 1425782 : 2 (b) 1425782 : 4i i i i
  17. 17. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 11i i ´ 1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 11 (c) 1425782 : 8 (d) 658591 : 2 (e) 658591 : 4 (f) 658591 : 8 1.2.3 Divisibilidade por 5 e por 10 As mesmas id´ias da divisibilidade por 2 podem ser usadas na divisi- e bilidade por 5 e por 10. Basta observar que 10 = 5 × 2 100 = 5 × 10 × 2 1000 = 5 × 100 × 2 e assim por diante. Isso mostra que: • Um n´mero ´ divis´ por 5 se (e s´ se) o ultimo algarismo for u e ıvel o ´ 5 ou 0. • Um n´mero ´ divis´ u e ıvel por 10 se (e s´ se) o ultimo algarismo o ´ for 0. Para saber o resto da divis˜o de um n´mero por 5, basta saber o a u resto da divis˜o do seu ultimo algarismo por 5. a ´ Para saber o resto da divis˜o de um n´mero por 10, basta saber a u o resto da divis˜o do seu ultimo algarismo por 10, isto ´, basta saber a ´ e o seu ultimo algarismo. ´ Exemplos: 1. Sem executar a soma, determine o resto das divis˜es: o (a) (457 + 378 + 19) : 10 Os ultimos algarismos somam 24, logo o resto da divis˜o ´ a ´ 4. e (b) (358 + 57917 + 123) : 5 Os ultimos algarismos somam 18, logo o resto da divis˜o ´ a ´ 3. ei i i i
  18. 18. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 12i i 12 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS 2. Se somarmos todos os n´meros de 1 a 587 qual o resto da di- u vis˜o por 5? a A soma dos algarismos de 1 a 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) ´ 45, logo at´ 580 a soma dos n´meros ser´ um m´ltiplo de 45 e e u a u (58 × 45), logo um m´ltiplo de 5. S´ precisamos nos preocupar u o com o ultimo algarismo dos sete ultimos n´meros: 1 + 2 + 3 + ´ ´ u 4 + 5 + 6 + 7 = 28. O ultimo algarismo ´ 8 e o resto da soma ´ 3. ´ e e 3. Se somarmos todos os n´meros de 1 a 536 qual o resto da divis˜o u a por 10? A soma dos algarismos de 1 a 9 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+0) ´ 45, logo at´ 530 a soma dos ultimos algarismos dos n´meros e e ´ u ser´ 53 × 45, um n´mero com ultimo algarismo igual a 5. S´ a u ´ o precisamos nos preocupar com este 5 e com o ultimo algarismo ´ dos seis ultimos n´meros: 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 26. O ´ u ultimo algarismo ´ 6 e o resto da soma ´ 6. ´ e e Exerc´ ıcios: 1. Sem executar a soma, determine o resto das divis˜es: o (a) (3257 + 12378 + 1569) : 10 (b) (354567 + 356 + 1) : 10 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 5 (d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 2 (e) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 5 (f) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 10 2. Se somarmos todos os n´meros de 121 a 587 qual o resto da u divis˜o desta soma por 5? a 3. Se somarmos todos os n´meros de 131 a 536 qual o resto da u divis˜o desta soma por 10? a 1.2.4 Divisibilidade por 3 e por 9 Vamos lembrar alguns exerc´ ıcios que j´ fizemos: Qual o resto de a (200 + 40 + 7) : 3?i i i i
  19. 19. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 13i i ´ 1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 13 200 : 3 = 66 com resto 2 - o mesmo resto de 2 : 3. 40 : 3 = 13 com resto 1 - o mesmo resto de 4 : 3 7 : 3 = 2 com resto 1 - o mesmo resto de 7 : 3 O resto de 247 : 3 ´ o mesmo resto de (2 + 4 + 7) : 3, isto ´, o mesmo e e resto de 13 : 3. E 13 : 3 = 4 com resto 1. Vamos investigar um pouco. 1 : 3 = 0 com resto 1 10 : 3 = 3 com resto 1 100 : 3 = 33 com resto 1 E assim por diante: 1000000 : 3 = 333333 com resto 1 O resto das potˆncias de 10 quando divididas por 3, ´ sempre 1. e e Cada classe contribui com uma unidade para o resto da divis˜o por 3. a Por exemplo, 4000 contribui com 4 unidades para o resto da divis˜o a 4573 : 3. Resumindo: O resto da divis˜o de um n´mero por 3 ´ o mesmo resto da a u e divis˜o da soma de seus algarismos por 3. a Exemplo: O resto de 4573 : 3 ´ e o resto de 4 × 1000 + 5 × 100 + 7 × 10 + 3, isto ´, o mesmo resto que 4 × 1 + 5 × 1 + 7 × 1 + 3, e ou ainda, 4 + 5 + 7 + 3 = 19. O resto ´ 1. e Exemplos: 1. O resto da divis˜o de 4567 por 3 ´ o resto da divis˜o de 4 + 5 + a e a 6 + 7 = 22 por 3, isto ´ o resto da divis˜o de 2 + 2 = 4 por 3, e a isto ´ (finalmente) 1. De fato, 4567 = 1522 × 3 + 1 e 2. Se somarmos todos os n´meros de 1 a 536 qual o resto da divis˜o u a por 3? O resto de (1 + 2 + 3) : 3 ´ 0; o resto de (4 + 5 + 6) : 3 ´ 0; e e e assim por diante, sempre indo de trˆs em trˆs at´ o pr´ximo e e e o m´ltiplo de 3. ui i i i
  20. 20. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 14i i 14 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Temos que nos preocupar apenas com os n´meros ap´s o ultimo u o ´ m´ltiplo de 3, no caso 534 (pois 5 + 3 + 4 = 12). Basta verificar u a soma 535 + 536. A soma dos algarismos ´ 27, que ´ m´ltiplo e e u de 3. Logo, o resto ser´ 0. a Exerc´ ıcios: 1. Qual o resto das divis˜es indicadas? o (a) (3257 + 12378 + 1569) : 3 (b) (354567 + 356 + 1) : 3 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 3 (d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 3 2. Se somarmos todos os n´meros de 121 a 587 qual o resto da u divis˜o por 3? a 3. Se somarmos todos os n´meros de 131 a 536 qual o resto da u divis˜o por 3? a Para a divisibilidade por 9 podemos usar a mesma id´ia. Vejamos e um exemplo: (400 + 80 + 7) : 9 400 : 9 = 44 com resto 4 - o mesmo resto de 4 : 9 80 : 9 = 8 com resto 8 - o mesmo resto de 8 : 9 7 : 9 = 1 com resto 7 - o mesmo resto de 7 : 9 O resto de 487 : 9 ´ o mesmo resto de (4 + 8 + 7) : 9 - o mesmo e resto de 19 : 9. 19 : 9 = 2 com resto 1. Vamos investigar um pouco. 1 : 9 = 0 com resto 1 10 : 9 = 1 com resto 1 100 : 9 = 11 com resto 1 E assim por diante: 1000000 : 9 = 111111 com resto 1 O resto das potˆncias de 10 quando divididas por 9, ´ sempre 1. e e Cada classe contribui com uma unidade para o resto da divis˜o por 9. ai i i i
  21. 21. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 15i i ´ 1.2. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE 15 Por exemplo, 4000 contribui com 4 unidades para o resto da divis˜o a 4585 : 3. Resumindo: O resto da divis˜o de um n´mero por 9 ´ o mesmo resto da a u e divis˜o da soma de seus algarismos por 9. a Exemplo: O resto de 4585 : 9 ´ e o resto de 4 × 1000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 5, isto ´, o mesmo resto que 4 × 1 + 5 × 1 + 8 × 1 + 5, e ou ainda 4 + 5 + 8 + 5 = 22. O resto ´ 4. e Resumindo: O resto da divis˜o de um n´mero por 9 ´ o mesmo resto da a u e divis˜o da soma de seus algarismos por 9. a Exemplos: 1. O resto da divis˜o de 4567 por 9 ´ o resto da divis˜o de 4 + 5 + a e a 6 + 7 = 22 por 9, isto ´, o resto da divis˜o de 2 + 2 = 4 por 9, e a isto ´ (finalmente) 4. e De fato, 4567 = 507 × 9 + 4. 2. Se somarmos todos os n´meros de 1 a 536 qual o resto da divis˜o u a desta soma por 9? O resto de (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) : 9 ´ o mesmo de e 45 : 9 que ´ 0; e o resto de (10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18) : 9 ´ o e mesmo de 126 : 9 que ´ 0; e assim por diante. e Temos que nos preocupar apenas com os n´meros ap´s o ultimo u o ´ m´ltiplo de 9, no caso 531 (pois 5 + 3 + 1 = 9). Basta verificar u a soma 532 + 533 + 534 + 535 + 536. A soma dos algarismos ´ e 60. O resto de 60 : 9 ´ 6, logo o resto da soma ´ 6. e e Exerc´ ıcios: 1. Qual o resto das divis˜es indicadas? oi i i i
  22. 22. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 16i i 16 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS (a) (3257 + 12378 + 1569) : 9 (b) (354567 + 356 + 1) : 9 (c) (5 + 15 + 25 + 35 + 45) : 9 (d) (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13) : 9 2. Se somarmos todos os n´meros de 121 a 587 qual o resto da u divis˜o por 9? a 3. Se somarmos todos os n´meros de 131 a 536 qual o resto da u divis˜o por 9? a 1.3 Outras propriedades dos restos: multiplica¸˜o e potencia¸˜o ca ca Vimos que quando dividimos dois n´meros pelo mesmo divisor, a u soma (ou diferen¸a) dos restos ´ igual ao resto da soma (ou dife- c e ren¸a) dos n´meros - eventualmente temos que “corrigir” a soma ou c u diferen¸a, somando ou subtraindo o valor do divisor. c Exemplos: Veja os exemplos no Fato 2 e no Fato 3 mais acima. Mas ser´ que a mesma id´ia permanece se usarmos a multiplica¸ao? a e c˜ Veremos que sim, e para isso teremos que usar nossa velha equa¸ao c˜ de Euclides (a equa¸ao (1)): c˜ D = d × q + r, , r < d, d > 0, D, d, q, r ∈ N ∪ {0} (1.1) em que: • D ´ o dividendo; e • d ´ o divisor (que deve ser diferente de 0); e • q ´ o quociente; e e • r ´ o resto (que deve ser menor que d) e Vamos experimentar um exemplo: 45 : 7 = 6 com resto 3 37 : 7 = 5 com resto 2 45 × 37 = 1665 1665 : 7 = 237 com resto 6i i i i
  23. 23. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 17i i 1.3. OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS 17 Observe que o produto dos restos ´ igual ao resto do produto! e Outro exemplo: 40 : 6 = 6 com resto 4 29 : 6 = 4 com resto 5 40 × 29 = 1160 1160 : 6 = 193 com resto 2 O que aconteceu? O produto dos restos ´ 20, muito maior do que e o divisor. Vamos retirando 6 unidades at´ obter um resto menor do e que 6, isto ´, 20 − 6 − 6 − 6 = 2. Na verdade dividimos 20 : 6 = 3 e com resto 2. S˜o exemplos de que podemos conhecer o resto de uma multi- a plica¸ao por um dado divisor, sabendo o resto da divis˜o dos fatores c˜ a deste n´mero pelo mesmo divisor. Vamos entender porque isso acon- u tece. Digamos que tenho dois n´meros D1 e D2 que vamos dividir pelo u mesmo divisor d. Pela equa¸ao de Euclides (equa¸ao (1)) podemos c˜ c˜ escrever: D1 = d × q 1 + r 1 , r1 < d, d > 0, D1 , d, q1 , r1 ∈ N ∪ {0} D2 = d × q 2 + r 2 , r2 < d, d > 0, D2 , d, q2 , r2 ∈ N ∪ {0} e da´ tirar: ı D1 = d × q 1 + r 1 , com 0 ≤ r1 < d, D1 , d, q1 , r1 ∈ N ∪ {0} D2 = d × q 2 + r 2 , com 0 ≤ r2 < d, D2 , d, q2 , r2 ∈ N ∪ {0} Observe que n˜o precisamos colocar ´ a ındice no divisor d pois ele ´ e igual nas duas equa¸oes. c˜ Vamos fazer a multiplica¸ao D1 × D2 : c˜ D1 = d × q 1 + r 1 , D2 = d × q 2 + r 2 , donde D1 ×D2 = (d×q1 +r1 )·(d×q2 +r2 ) = d2 ·q1 ·q2 +r1 ·d·q2 +r2 ·d·q1 +r1 ·r2i i i i
  24. 24. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 18i i 18 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Observe que d2 ·q1 ·q2 , r1 ·d·q2 e r2 ·d·q1 tˆm d como fator. Pelos fatos e citados l´ no come¸o, vemos que o resto da divis˜o (D1 × D2) : d ´ a c a e o mesmo resto da divis˜o (r1 · r2 ) : d. a Exemplos: 1. Qual o resto da divis˜o (6779 × 3846) : 9? a Calculamos os restos das divis˜es 6799 : 9 e 3486 : 9 ; o 6779 : 9 deixa resto 2 pois a soma dos algarismos ´ 29 (e e 29 − 27 = 2); 3486 : 9 deixa resto 3 pois a soma dos algarismos ´ 21 (e e 21 − 18 = 3); O resto de (6779 × 3846) : 9 ´ 2 × 3 = 6 e 2. Qual o resto da divis˜o (297 × 684 × 128) : 5? a Calculando os restos: 297 : 5 deixa resto 2 (7 − 5 = 2) 684 : 5 deixa resto 4 128 : 5 deixa resto 3 (8 − 5 = 3) O produto dos restos ´ 2 × 4 × 3 = 24 e O resto de 24 : 5 = 4 O resto (297 × 684 × 128) : 5 tamb´m ´ 4 e e 3. Qual o resto da divis˜o (295 × 63 × 128) : 3? a Poder´ıamos fazer todas as contas, mas basta observar que 63 ´ e m´ltiplo de 3, logo o resto de 63 : 3 ´ 0. O produto dos restos u e ser´ 0, e o resto pedido ser´ 0. De fato, como 3 ´ fator de 63, a a e 3 ser´ fator do produto 295 × 63 × 128; isso quer dizer que o a produto tamb´m ´ m´ltiplo de 3 (e logo, o resto da divis˜o por 3 e e u a ser´ 0). a Exerc´ ıcio: Sem efetuar os produtos, calcule o resto das divis˜es: o (a) (43 × 27 × 38 × 537) : 2 (b) (453 × 127 × 38) : 9 (c) (45 × 37 × 91) : 9 (d) (24 × 48 × 96) : 5 (e) (1289 × 2365 × 1589) : 5i i i i
  25. 25. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 19i i 1.3. OUTRAS PROPRIEDADES DOS RESTOS 19 (f) (37 × 43 × 57) : 10 J´ que conseguimos mostrar que os restos s˜o “bem comportados” a a quanto a multiplica¸ao, podemos tamb´m usar as propriedades dos ` c˜ e restos para a potencia¸ao. c˜ Exemplos: 1. Qual o resto de 125 : 5? 125 = 12 × 12 × 12 × 12 × 12 O resto de 12 : 5 ´ 2 e 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 O resto de 32 : 5 ´ 2 e logo, o resto de 125 : 5 ´ 2 e 2. Qual o resto de 37 : 2? e ımpar, 37 tamb´m ´ ´ Como 3 ´ ´ e e ımpar e o resto de de 37 : 2 ´ 1. e 3. Qual o resto de 37 : 5? Note que s´ nos interessa o ultimo algarismo: o ´ 3=3 3×3=9 9 × 3 = 27 ultimo algarismo: 7 ´ 7 × 3 = 21 ultimo algarismo: 1 ´ 1×3=3 3 × 3 = 9 . . . e os ultimos algarismos continuam a se repetir ´ nesta ordem: 3; 9; 7; 1; 3; . . . Como os ultimos algarismos se repetem de 4 em 4, 35 ter´ 3 ´ a como ultimo algarismo e 37 ter´ 7 como ultimo algarismo. Logo, ´ a ´ o resto de 37 : 5 ´ 2 (pois 7 − 5 = 2). e 4. Qual o resto de 362 : 5? Usando a mesma id´ia do exemplo anterior, vemos que o ultimo e ´ algarismo se repete a cada 4 potˆncias de 3. Como 62 : 4 = 15 e com resto 2, vemos que o ciclo 3; 9; 7; 1 . . . se repete 15 vezes e as duas ultimas potˆncias produzem um n´mero com final 9. ´ e u Logo, o resto de 362 : 5 ´ 4 (pois 9 − 5 = 4). ei i i i
  26. 26. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 20i i 20 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS 1.4 N´ meros primos e u n´ meros compostos u Estamos trabalhando com o conceito de m´ltiplos, divisores (que u tamb´m chamamos de fatores) e podemos perceber que alguns n´meros e u tˆm muitos fatores, como por exemplo, o 24. O conjunto D24 dos fa- e tores de 24 ´: e D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} O n´mero 1 ´ divisor de todos os n´meros. Observe que o n´mero u e u u que tem s´ um divisor ´ 1, pois o e D1 = {1} Por outro lado, h´ n´meros que tˆm apenas dois fatores, como por a u e exemplo o n´mero 7. De fato: u D7 = {1, 7} Os n´meros que s´ tˆm dois fatores distintos (o 1 e ele pr´prio), s˜o u o e o a chamados n´ meros primos. O unico divisor diferente de 1 de um u ´ n´mero primo ´ ele mesmo. u e Os n´meros diferentes de 1 e que n˜o s˜o primos, s˜o chamados u a a a de compostos. Um fato bem conhecido ´ que podemos escrever qualquer n´mero e u natural diferente de 1 como um produto de n´meros primos — ´ a u e chamada decomposi¸˜o em n´ meros primos. Mais ainda, se ca u colocarmos os fatores em ordem crescente, s´ h´ uma unica forma o a ´ de fazer esta decomposi¸ao. c˜ Este fato ´ importante, pois nos permite comparar as decom- e posi¸oes dos n´meros inteiros e deduzir propriedades. c˜ u Embora j´ conhecido h´ mais tempo, Euclides apresenta uma de- a a monstra¸ao na sua obra “Os Elementos”. c˜ Devido a sua larga utiliza¸ao, ´ comumente chamado ` c˜ e Teorema Fundamental da Aritm´tica ei i i i
  27. 27. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 21i i ´ ´ 1.4. NUMEROS PRIMOS E NUMEROS COMPOSTOS 21 Observa¸˜o: o n´ mero 1 ´ especial. O motivo ´ que ele di- ca u e e vide todos os n´ meros naturais. Quais os divisores de um u natural que interessam? Apenas os divisores diferentes de 1. Procuramos os divisores diferentes de 1. Os n´ meros pri- u mos s˜o os n´ meros naturais, diferentes de 1, com o menor a u n´ mero de divisores, apenas dois divisores. Com os n´ meros u u primos constru´ımos os n´ meros compostos. u Exemplos: u a ` 1. Os n´meros 2, 3, 5, 37, 3413 e 7919 s˜o primos. A medida que os n´meros v˜o crescendo, vai ficando mais dif´ determinar u a ıcil se um n´mero ´ primo ou composto. u e 2. 512 ´ composto. e Sua decomposi¸ao ´ 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. c˜ e ´ E mais cˆmodo escrever 512 = 29 . o 3. 825 ´ composto pois 825 = 3 × 5 × 5 × 11, ou melhor, e 825 = 3 × 52 × 11. 4. 296783 ´ composto pois 296783 = 463 × 641. Observe que 463 e e 641 s˜o n´meros primos. Pode ser bastante dif´ a decom- a u ıcil posi¸ao em fatores primos. c˜ Exerc´ ıcios: 1. Determine se os n´meros abaixo s˜o primos ou compostos. Caso u a sejam compostos decomponha-os em fatores primos. (a) 35 (b) 43 (c) 105 (d) 131 (e) 1001 (f) 625 (g) 6480 (h) 1961 (i) 5292 (j) 3003i i i i
  28. 28. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 22i i 22 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS 1.4.1 O crivo de Erat´stenes o O nome n˜o deve assustar o leitor. “Crivo” quer dizer “peneira” e a o a c˜ ´ Erat´stenes foi o s´bio grego a quem se atribui sua inven¸ao. E uma “peneira” de n´meros. Vamos peneirar os n´meros divis´ u u ıveis por 2, por 3 e assim sucessivamente. Com este crivo podemos obter ao me- nos os primeiros n´meros primos, ou melhor todos os n´meros primos u u at´ um certo n´ mero. No nosso exemplo vamos peneirar at´ 50. e u e Come¸amos por riscar de 2 em 2, tirando os m´ltiplos de 2 (mas c u n˜o riscamos o 2 — ele ´ primo): a e 1 2 3 / 4 5 / 6 7 / 8 9 // 10 11 // 12 13 // 14 15 // 16 17 // 18 19 // 20 21 // 22 23 // 24 25 // 26 27 // 28 29 // 30 31 // 32 33 // 34 35 // 36 37 // 38 39 // 40 41 // 42 43 // 44 45 // 46 47 // 48 49 // 50 Retiramos os n´meros que passaram na “peneira” do 2. O pr´ximo u o primo ´ o 3. Riscamos de 3 em 3, tirando os m´ltiplos de 3 (mas n˜o e u a riscamos o 3 — ele ´ primo): e 1 2 3 5 7 / 9 11 13 // 15 17 19 // 21 23 25 // 27 29 31 // 33 35 37 // 39 41 43 // 45 47 49 Retiramos os n´meros que passaram na “peneira” do 3. O pr´ximo u o primo ´ o 5. Riscamos de 5 em 5, tirando os m´ltiplos de 5 (mas n˜o e u a riscamos o 5 — ele ´ primo): e 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 // 25 29 31 // 35 37 41 43 47 49 Retiramos os n´meros que passaram na “peneira” do 5. O pr´ximo u o primo ´ o 7. Riscamos de 7 em 7, tirando os m´ltiplos de 7 (mas n˜o e u a riscamos o 7 — ele ´ primo): ei i i i
  29. 29. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 23i i 1.5. MAIOR DIVISOR COMUM 23 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 // 49 Retiramos o 49, que n˜o passou na “peneira” do 7. a Aqui paramos. Por quˆ? O pr´ximo primo seria o 11, mas qualquer e o n´mero (at´ 50) dividido por 11 vai nos dar um quociente menor do u e que 11 pois 11 × 11 ´ maior do que 50. Quando aplicamos o crivo ou e examinamos se um determinado n´mero ´ primo, basta verificar at´ u e e o maior n´mero que, elevado ao quadrado, n˜o ultrapasse o n´mero u a u examinado. No nosso caso 7 × 7 = 49, e 7 ´ o maior n´mero que, e u elevado ao quadrado, ainda ´ menor que 50. Na nossa peneira ent˜o e a s´ sobraram os n´meros primos. Lembramos que 1 n˜o ´ primo. o u a e Primos at´ 50:P50 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47} e Nem sempre ´ f´cil procurar fatores. O crivo funciona bem com e a n´meros pequenos, mas um n´mero primo grande pode complicar a u u nossa vida. Por exemplo: 34020977 ´ primo ou composto? Ele ´ e e composto mas sua decomposi¸ao ´ 34020977 = 5077 × 6701. Imagine c˜ e o tamanho da peneira que vocˆ teria que usar! e 1.5 Maior divisor comum Uma das principais utiliza¸oes da decomposi¸ao em n´meros primos c˜ c˜ u ´ a determina¸ao do maior divisor comum (mdc) e do menor m´ltiplo e c˜ u comum (mmc). Vamos supor que temos que remeter duas encomendas de sabonete para dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e outro 480 sabonetes. Queremos fazer uma embalagem que sirva para os dois compradores. Estamos procurando um n´mero de sabonetes que seja u divisor (ou fator) de 420, mas tamb´m seja um divisor (fator) de 480. e Isto ´: um fator comum (ou divisor comum) de 420 e 480. Isso ´ f´cil, e e a basta usar embalagens de 10 sabonetes (10 ´ um fator de 420 e de ei i i i
  30. 30. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 24i i 24 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS 480). O primeiro comprador receberia 42 embalagens e o segundo 48 embalagens. Mas gostar´ ıamos de usar poucas embalagens, ou melhor de colocar mais sabonetes em cada embalagem. Ent˜o n˜o queremos apenas um a a divisor comum; queremos o maior divisor comum. Vamos usar a decomposi¸ao para isso: c˜ 420 = 22 × 3 × 5 × 7 480 = 25 × 3 × 5 Quais os fatores comuns? 2, 3 e 5. Mas o 2 pode ser usado duas vezes, pois em ambos os n´meros u ele aparece duas vezes. Embora ele apare¸a mais vezes como fator c de 480, s´ podemos utiliz´-lo duas vezes, o n´mero de vezes que o 2 o a u aparece como fator no 420. Enfim, o maior divisor que podemos obter ser´: a mdc(420, 480) = 22 × 3 × 5 = 60 De fato, 60 ´ fator de 420 e de 480, e n˜o ´ poss´ e a e ıvel haver um fa- tor maior. Podemos fazer embalagens com 60 sabonetes: o primeiro comprador receber´ 7 embalagens e o segundo 8 embalagens. Note a que 7 ´ o quociente que obtemos ao dividirmos 420 por 22 × 3 × 5 e e que 8 = 23 ´ o quociente que obtemos ao dividir 480 por 22 × 3 × 5. e Exemplos: 1. Calcular mdc(30, 45). 30 = 2 × 3 × 5 45 = 32 × 5 Tomando os fatores comuns, temos mdc(30, 45) = 3 × 5 = 15. 2. Podemos calcular o mdc de mais de dois n´meros simultanea- u mente: mdc(84, 72, 180) 84 = 22 × 3 × 7 72 = 23 × 32 180 = 24 × 32 × 5 mdc(84, 72, 180) = 22 × 3 = 12i i i i
  31. 31. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 25i i 1.5. MAIOR DIVISOR COMUM 25 3. mdc(16, 45) 16 = 24 e 45 = 32 × 5 N˜o h´ fator comum a n˜o ser o 1. a a a mdc(16, 45) = 1 Observa¸ao: neste caso dizemos que 16 e 45 s˜o primos entre c˜ a si. Exerc´ ıcio: Calcular (a) mdc(49, 84) (b) mdc(36, 60, 72) (c) mdc(8, 32, 128) (d) mdc(13, 39, 21) (e) mdc(45, 135, 81) (f) mdc(343, 91, 169) (g) mdc(7, 11, 13) (h) mdc(1800, 2700, 4500) (i) mdc(1001, 1002) (j) mdc(1001, 1078) J´ vimos que as vezes pode ser complicado encontrar uma decom- a ` posi¸ao em fatores primos. Mas a nossa boa e velha equa¸ao de c˜ c˜ Euclides (equa¸ao (1)) nos d´ uma outra forma de calcular o mdc c˜ a entre dois n´meros. u Vamos supor que quero encontrar o mdc(168, 49). A equa¸ao de c˜ Euclides (equa¸ao (1)) nos diz que c˜ 168 = 3 × 49 + 21 Ora, estou procurando um divisor de 168 e de 49. A equa¸ao acima c˜ mostra que ele ter´ que ser tamb´m um divisor de 21. Ent˜o, posso a e a resolver meu problema procurando o mdc de 49 e 21. Mas 49 = 2 × 21 + 7. Pelo mesmo racioc´ ınio posso procurar o mdc(21, 7). Mas 21 = 3 × 7, sem resto.i i i i
  32. 32. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 26i i 26 CAP´ ˜ ´ ITULO 1. DIVISAO DE NUMEROS NATURAIS Logo, 7 divide 21, isto ´ mdc(7, 21) = 7. Voltando passo a passo, e mdc(21, 49) = 7, e finalmente mdc(168, 49) = 7. O procedimento acima permite encontrar o mdc de n´meros gran- u des sem o uso da decomposi¸ao. c˜ Exemplo: mdc(4873, 275) 4873 = 17 × 275 com resto 198 275 = 1 × 198 com resto 77 198 = 2 × 77 com resto 44 77 = 1 × 44 com resto 33 44 = 1 × 33 com resto 11 33 = 3 × 11 sem resto mdc(4873, 275) = 11 Esse procedimento ´ chamado “algoritmo de Euclides” para de- e termina¸ao do mdc. Ele pode ser apresentado de uma forma c˜ gr´fica: a Quociente 17 1 2 1 1 3 4873 275 198 77 44 33 11 Resto 198 77 44 33 11 0 Note que o quociente n˜o nos interessa neste algoritmo. Basta a o resto. Exerc´ ıcio: Calcular, usando o algoritmo de Euclides: (a) mdc(1176, 471) (b) mdc(57, 36) (c) mdc(175, 98) (d) mdc(2536, 938) (e) mdc(12578, 6248) (f) mdc(1589, 3584) 1.6 Menor m´ ltiplo comum u Outra utiliza¸ao da decomposi¸ao em n´meros primos ´ a deter- c˜ c˜ u e mina¸ao do menor m´ltiplo comum. c˜ ui i i i
  33. 33. “JurkiFinal” i i 2006/5/24 page 27i i ´ 1.6. MENOR MULTIPLO COMUM 27 Vejamos um exemplo. Trˆs amigos passeiam de bicicleta, na e mesma dire¸ao, em torno de uma pista circular. Para dar uma volta c˜ completa um deles demora 15 minutos, outro demora 18 minutos e o terceiro demora 21 minutos. Eles partem juntos e combinam inter- romper o passeio quando os trˆs se encontrarem pela primeira vez no e ponto de partida. J´ que eles v˜o dar voltas completas, o tempo gasto ser´ m´ltiplo a a a u de 15 minutos, por causa do primeiro amigo. Ser´ tamb´m um a e m´ltiplo de 18 e de 21 por causa dos outros amigos. Procuramos, u portanto um m´ltiplo comum. N˜o h´ problema em conseguir um u a a m´ltiplo comum de 15, 18 e 21; basta multiplic´-los: 15 × 18 × 21 = u a 5670. Mas o que queremos saber ´ a primeira vez que todos se encon- e tram no ponto de partida; queremos o menor m´ ltiplo comum. u Vamos examinar as decomposi¸oes:c˜ 15 = 3 × 5; um m´ltiplo de 15 deve ter 3 e 5 como fatores. u 18 = 2 × 32 ; um m´ltiplo de 18 deve ter 2 e 32 como fatores. u 21 = 3 × 7; um m´ltiplo de 15 deve ter 3 e 7 como fatores. u Um m´ltiplo comum de 15, 18 e 21 deve ter esse fatores todos (2, 3, u 5 e 7), mas podemos “economizar” fatores: • a potˆncia mais alta de 2 que precisamos ´ 21 e e • a potˆncia mais alta de 3 que precisamos ´ 32 e e • a potˆncia mais alta de 5 que precisamos ´ 51 e e • a potˆncia mais alta de 7 que precisamos ´ 71 e e Resumindo, o menor m´ltiplo comum de 15, 18 e 21 ´: u e mmc(15, 18, 21) = 21 × 32 × 51 × 71 = 630 Os trˆs amigos se encontrar˜o na linha de partida depois de 630 e a minutos. Isso quer dizer que eles v˜o pedalar durante 10 horas e meia! a Ou eles s˜o muito bons na bicicleta ou alguma coisa est´ errada nos a a dados do problema! Isso acontece com freq¨ˆncia nos livros de Matem´tica. A gente ue a se preocupa com a Matem´tica e esquece do bom senso. . . O mais a correto seria pensar em uma pista r´pida, e que os amigos fizessem a o contorno em 15, 18 e 21 segundos. Assim, a solu¸ao nos daria um c˜i i i i

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