El documento explica cómo graficar relaciones definidas por inecuaciones en el plano cartesiano. Se dividen las inecuaciones en dos casos dependiendo de si la gráfica de la ecuación correspondiente es cerrada o no cerrada. Se proveen ejemplos de cómo graficar inecuaciones comunes y se explica brevemente cómo representar números complejos en el plano.

1. GRÁFICA DE
RELACIONES II
ÁLGEBRA
Lic. Juan Gamarra Carhuas

2. GRÁFICAS DE RELACIONES DEFINIDAS
POR INECUACIONES
Definición.- La gráfica de una inecuación en ℝ2 se define como el conjunto de todos los pares P (x, y) que
satisfacen la inecuación.
En general
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑦 ≷ 𝑓 𝑥
“Para graficar las inecuaciones en el plano cartesiano es necesario graficar previamente las ecuaciones y
luego les damos el sentido, quedando el plano dividido en dos regiones”.
Tenemos dos casos…

3. PRIMER CASO
Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 no es cerrada.
a. 𝑦 = 𝑓 𝑥
b. 𝑦 > 𝑓 𝑥
c. 𝑦 < 𝑓 𝑥
d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥
e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

4. 𝑦 = 𝑓 𝑥

5. Estrictos
𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥

6. No Estrictos
𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

7. SEGUNDO CASO
Supongamos que la gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 es cerrada.
a. 𝑦 = 𝑓 𝑥
b. 𝑦 > 𝑓 𝑥
c. 𝑦 < 𝑓 𝑥
d. 𝑦 ≥ 𝑓 𝑥
e. 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

8. 𝑦 = 𝑓 𝑥

9. Estrictos
𝑦 > 𝑓 𝑥 𝑦 < 𝑓 𝑥

10. No estrictos
𝑦 ≥ 𝑓 𝑥 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

11. GRÁFICAS PARA NÚMEROS COMPLEJOS
Podemos representar un número complejo
en un sistema cartesiano, haciendo coincidir
el eje 𝑿 (horizontal) con la parte real del
número complejo y el eje 𝒀 (vertical) con la
parte imaginaria. En dicho caso el plano
recibe el nombre de “plano complejo” o
“diagrama de Argand”.
𝐶 = 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖/𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
PROPIEDADES
 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
 𝑧 2 = 𝑧. 𝑧
 𝑧 + 𝑧 = 2𝑅𝑒 𝑧
 𝑧 − 𝑧 = 2𝐼𝑚 𝑧 𝑖

12. EJERCICIOS
1. Grafique la siguiente relación
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥 + 𝑦 > 2
Resol
𝑥 + 𝑦 > 2
𝑦 > −𝑥 + 2
• 𝑦 = −𝑥 + 2
• 𝑦 > −𝑥 + 2

13. EJERCICIOS
2. Grafique la siguiente relación
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑦 < 𝑥2
Resol
𝑦 < 𝑥2
• 𝑦 = 𝑥2
• 𝑦 < 𝑥2

14. EJERCICIOS
3. Grafique la siguiente relación
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4
Resol
𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4
• 𝑥2 + 𝑦2 = 4
• 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 4

15. EJERCICIOS
4. Grafique la siguiente relación
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/
𝑥2
9
+
𝑦2
4
≤ 1 ∨ 9𝑥 + 2 ≤ 4𝑦
Resol
𝑥2
9
+
𝑦2
4
≤ 1
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1
𝑥2
9
+
𝑦2
4
≤ 1

16. EJERCICIOS
5. Grafique el siguiente conjunto en el plano de
gauss.
𝐴 =
𝑧 ∈ ℂ 𝑅𝑒 𝑧 + 𝐼𝑚 𝑧 ≤ 2
∧ 0 ≤ 𝑎𝑟𝑔 𝑧 ≤
𝜋
2

17. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
1. Grafique el siguiente conjunto .
𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑥 ≥ 2 ∧ 𝑦 ≥ 1
𝑥 ≥ 2
𝑦 ≥ 1 𝐴

18. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
3. Sean los conjuntos
𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑦 ≤ 𝑥2
𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑥 − 2 ≤ 𝑦
Determine 𝐴 ∩ 𝐵
𝑦 ≤ 𝑥2
𝑥 − 2 ≤ 𝑦

19. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
5. Grafique los puntos que
verifiquen la inecuación
𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2 en el plano
cartesiano
Resol
𝑦 ≤ 2𝑥 − 𝑥2
• 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2
• 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥

20. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
7. Si el conjunto 𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ/ 𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧 ,
determine la gráfica que mejor representa al
conjunto 𝐴.
Resol
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑧 ≤ 1 + 𝐼𝑚 𝑧
→ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 + 𝑦
→
𝑥2−1
2
≤ 𝑦

21. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
9. Grafique el conjunto solución del siguiente
sistema.
𝑦 + 𝑥 ≥ 3
𝑦 − 𝑥 ≤ 3
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0
𝑦 + 𝑥 ≥ 3
𝑦 − 𝑥 ≤ 3
𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

22. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
11.Dados los conjuntos
𝐴 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2
𝐵 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑦 ≥ 𝑥3
Esboce la gráfica de 𝐴 ∩ 𝐵.
𝐴
𝐵 𝑅𝑝𝑡𝑎 𝐵

23. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
15. Esboce la gráfica del siguiente conjunto en el
plano de Gauss
𝐴 = 𝑧 ∈ ℂ / 𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0
Resol
Sea 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
𝑧. 𝑧 − 4 𝑧 + 3 ≤ 0
𝑧 2
− 4 𝑧 + 3 ≤ 0
𝑧 − 1 𝑧 − 3 ≤ 0
𝑧 ≥ 1 ∧ 𝑧 ≤ 3
𝐴1
∨ 𝑧 ≤ 1 ∧ 𝑧 ≥ 3
∅
≡ 𝐴1
𝑧 ≥ 1
𝑧 ≤ 3
𝐴1

24. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
16. Determine la gráfica del conjunto
𝐵 = − 𝑧 + 𝑖 / 𝑧 ∈ 𝐴
𝑧
𝑧1
𝑧2
𝑧1
𝑧2
− 𝑧2
− 𝑧1
− 𝑧1 + 𝑖
− 𝑧2 + 𝑖

25. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
18. Indique la gráfica de la región que mejor
representa el conjunto
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/ 𝑦 +
𝑥
𝑥
+ 𝑥2
≥ 1
Resol
𝑅 = 𝑅1 ∪ 𝑅2
Donde
𝑅1: 𝑥 > 0; 𝑦 + 𝑥2 ≥ 0
𝑅1
𝑅2: 𝑥 < 0; 𝑦 + 𝑥2
≥ 2
𝑅2
𝑅

26. PROBLEMAS
DIRIGIDOS
20. Grafique la relación 𝑅.
𝑅 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2
/𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3𝑥
Resol
𝑅 = 𝑅1 ∩ 𝑅2
Donde
𝑅1: 𝑥 + 𝑥 ≤ 𝑦
𝑅2: 𝑦 ≤ 3𝑥
𝑅1
𝑅2
𝑅