GUÍA EXPRESIONES ALGEBRAICAS PERIODO 2

1. INSTITUCION EDUCATIVA OCTAVIO CALDERON MEJIA
ÁREA: MATEMATICAS GRADO: OCTAVO
TEMA:
UNIDAD Nº EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Guía Nº 2 ¿Qué es el algebra y Cómo se opera en este nuevo mundo matemático?
PROFESOR: JERSON ANDRES PARRA CARDONA
TIEMPO:
Fecha de Iniciación: Fecha de finalización:
Logro • Realiza operaciones básicas con polinomios algebraicos utilizando las
propiedades o las reglas correspondientes para cada operación.
Indicadores de
logro
• Reconoce una expresión algebraica, identificando sus términos
semejantes y reduciéndola al máximo.
• realiza correctamente operaciones básicas entre polinomios; utilizando
las propiedades en cada operación.
• resuelve y aplica los productos notables en problemas y ejercicios
Recomendación Para usted es de suma importancia formarse un hábito de estudio eficiente,
pues esto le significará el éxito en la internalización del conocimiento adquirido
y le brindará la posibilidad de estudiar y rendir académicamente de forma
tranquila.
Estudiar no significa "aprender de memoria" algún tópico específico, pues la
memoria es frágil y con toda seguridad que pasado el período académico
olvidará lo que según usted "estudió".
Usted no debe conformarse con "estudiar" para una prueba o certamen. El
estudiante no debe "estudiar" para una nota, es mas no debe estudiar para que
lo vean. Usted debe realmente preocuparse de estudiar para aprender, pues
así estará manejando la información y las herramientas que utilizará después
en grados superiores y posteriormente en su desarrollo profesional.
Con esta recomendación pretendo entregar una orientación sobre cómo
estudiar en forma eficiente, reconociendo que no existe una norma general,
sino que cada persona debe adecuar su propio hábito de estudio. Además,
entrega algunos consejos de cómo preparar y rendir en la sustentación de la
guía en forma adecuada.
Los siete puntos siguientes resumen las técnicas más importantes a tener en
cuenta en el desarrollo de la guía:
1. Dónde estudiar 2. Revise el texto completo. 3. Lea buscando las ideas
principales. 4. Cuestiónese a medida que lea.
5. Tome notas o apuntes (subraye sólo si el texto es suyo).

2. A. Actividades Básicas
1° CUANTO SABEMOS
La potenciación es una forma abreviada de escribir la multiplicación de factores
iguales. La operación inversa a esta es la radicación. Para abreviar la escritura, se
escribe el factor que se repite (base) y en la parte superior derecha del mismo se coloca
¿el número de veces que se multiplica (exponente).
Propiedades de la potenciación
OPERACIONES INVERSAS
POTENCIACIÓN RADICACIÓN
Propiedades
Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo
2° APRENDAMOS COSAS NUEVAS.
El lenguaje algebraico
En lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de al–khwarizmi,
al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje algebraico consta principalmente
de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de
lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las
diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo:
si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a
indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma
manera que a significa un número cualquiera de la numeración.
También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento
de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

3. The algebraic language In algebraic language is born in the Moslem civilization in the
period of to - khwarizmi, who is considered to be the father of the algebra. The algebraic
language consists principally of the letters of alphabet and some Greek words. The
principal function of algebraic language is to structure a language that helps to generalize
the different operations that develop inside the arithmetic, for example: if we want to add
two numbers any it is enough to say a + b; where the letter to indicates that it is a number
any of the numeration that we know, b in the same way as to a number means any of the
numeration.
Operaciones con Lenguaje Álgebraico
Aqui se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes
que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier
razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente
en estas definiciones:
 un número cualquiera
se puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:
a = un número cualquiera
b = un número cualquiera
c = un número cualquiera
... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.
 la suma de dos números cualesquiera
a+b = la suma de dos números cualesquiera
x+y = la suma de dos números cualesquiera
 la resta de dos números cualesquiera
a-b = la resta de dos números cualesquiera
ab = el producto de dos números cualesquiera
 el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números
cualesquiera)
a/b= el cociente de dos números cualesquiera
 la semisuma de dos números cualesquiera

4. (a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera
 el semiproducto de dos números cualesquiera
(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera
TÉRMINO ALGEBRAICO: es una expresión algebraica que consta de uno o de varios
símbolos, no separados entre sí por los operadores aditivos + o - . ejemplos, son
términos: a; 2x; 3ab; - 5mn; etc. En un término se distinguen los siguientes
elementos:
 SIGNO: S ( +, -)
 COEFICIENTE: parte numérica. PN
 PARTE LITERAL: es la variable o variables de la expresión, (las letras)
 EXPONENTE DE LA PARTE LITERAL: EPL
GRADO DE UN TÉRMINO: puede ser de dos clases: ABSOLUTO Y RELATIVO.
GRADO ABSOLUTO: es la suma de los exponentes de la parte literal.
GRADO RELATIVO: es el exponente que tiene cada letra en el término.
CLASES DE TÉRMINOS:
Las expresiones algebraicas se clasifican de acuerdo con el número de términos que
tengan.
MONOMIO: es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: ax, -
25mn, 4/5Y. Cuando un monomio no tiene coeficiente numérico es 1 si no lleva signo y
es -1 si delante lleva el signo menos.
BINOMIO: es un polinomio que consta de dos términos, como: a + b; 5x - 12y
TRINOMIO: es un polinomio que consta de tres términos, como: 3mn + 2xy - 3y
POLINOMIO: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a +
b + c; 8mn + 6mnx - 5/7 mxy.
GRADO DE UN POLINOMIO EN UNA VARIABLE: es el exponente mayor de la variable.
De ejemplos:
GRADO DE UN POLINOMIO EN DOS O MAS VARIABLES: es la mayor suma de los
exponentes de las variables en cada término. De ejemplos:
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS I
La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o
restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en
vertical y en horizontal o en fila.
Para ello nos fijaremos en los siguientes polinomios: P(x) = 7x2
– 5x4
+3x – 15 y
Q(x) = 5x3
– 7 + 9x2
– 6x

5. • En vertical: se ordenan los polinomios en orden decreciente y se disponen uno
sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos
semejantes:
P(x) = –5x4
+ 0x3
+ 7x2
+ 3x – 15
Q(x) = 5x3
+ 9x2
– 6x – 7
________________________________
–5x4
+ 5x3
+ 16x2
– 3x – 22
• En horizontal o en fila: se ordenan los polinomios, escritos entre paréntesis, en
orden decreciente, uno a continuación del otro y separados por el símbolo de la
operación; a continuación se suman o se restan los términos semejantes:
P(x) + Q(x) = (–5x4
+ 0x3
+ 7x2
+ 3x – 15) + (5x3
+ 9x2
– 6x – 7) =
= –5x4
+ 5x3
+ 16x2
– 3x – 22
P(x) – Q(x) = (–5x4
+ 0x3
+ 7x2
+ 3x – 15) – (5x3
+ 9x2
– 6x – 7) =
= –5x4
– 5x3
– 2x2
+ 8x – 8
VALOR NUMÉRICO
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se remplaza cada variable por
el valor que se le haya asignado y luego se efectúan las operaciones indicadas.
2
2
3 4
5
b
c
abcba −+ si 3=a , 2=b y 2−=c
En forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en
primer lugar:
2
2
3
2
2
3
2
)2(4
)2(23523
4
5
−⋅
−−⋅⋅⋅+⋅=−+
b
c
abcba
Luego realizamos las operaciones correspondientes
1046054
4
44
60227
2
)2(4
)2(23523 2
2
3
−=−−+=
⋅
−−+⋅=
−⋅
−−⋅⋅⋅+⋅
Multiplicación de expresiones algebraicas

6. Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más
simple de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio. Esta
se realiza multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte
literal, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo,
multipliquemos los monomios:
(i) 63242224
15.)5)(3()5()3( yxyyxxyxxy −=−=⋅−
(ii)
4333232
4
1
3
2
4
3
2
1
3
2
4
3
2
1
cbacabbbcabcabcba =

















=





⋅





⋅





(iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 435
632 ppppp =−⋅⋅⋅− −
Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de
la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es:
acbcabaacabcba )()( +=+=+=+
Algunos ejemplos de multiplicación de monomio por binomio son los
siguientes:
(i) En el rectángulo de la figura, determinar su área.
Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de su largo por su
ancho, entonces tenemos:
Ärea rectángulo es ( ) .15535535 2322
baaabaaaabaa +=⋅+⋅=+⋅=
Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos la
propiedad de la distributividad de la multiplicación con respecto a la
adición. Esto es:
bdbcadacdcba +++=+⋅+ )()(
Por ejemplo:
a5
aba 32
+

7. ( ) 22
3333)3( yyxxyxyyxyyxxxyxyx −−+=⋅−⋅−⋅+⋅=+⋅−
Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda: 22
23 yxyx −−
3° AFIANCEMOS LO APRENDIDO
EL LENGUAJE ALGEBRAICO
1. Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:
a) El doble de un número. b) El cuadrado de un número
menos tres.
c) La suma de dos números. d) La diferencia de los
cuadrados de dos números.
e) La mitad de un número. f) El cuádruplo de un número.
g) La suma de un número y su cuadrado. h) El doble de un número menos
cinco.
i) La tercera parte de un número. j) El cuadrado de la suma de dos
números.
k) El doble de la suma de tres números. l) El triple de la raíz cuadrada de
un número.
m) La suma de tres números consecutivos. n) Una cuarta parte de la suma de
dos números.
ñ) Un número aumentado en cinco unidades. o) El doble de un número menos
el triple de otro.
p) Las tres cuartas partes de un número. q) El cubo de la diferencia de dos
números.
Realiza las siguientes operaciones:
a) (8x2
– 2x + 1) – (3x2
+ 5x – 8) =
b) (2x3
– 3x2
+ 5x – 1) – (x2
+ 1 – 3x) =
c) (7x4
– 5x5
+ 4x2
–7) + (x3
– 3x2
– 5 + x) – (–3x4
+ 5 – 8x + 2x3
) =

8. =





++−−





++−+





+++− 232234
3
2
3
2
32
3
2
6
1
1231
6
7
4
1
xxxxxxxxxd)
e) (–5z + 2y) – (2z – 5y – 7x –1) + (–3z – 4y – 9x) – (–4y + 8x – 5) =
f) (xy2
–3x2
– y2
+ x2
y) – (x2
y + 5x2
) + (3xy2
– y2
– 5x2
) =
B. Actividades de Practica
. Dados los polinomios P(x) = –7x4
+ 6x2
+ 6x + 5, Q(x) = –2x2
+ 2 + 3x5
y R(x) = x3
–x5
+
3x2
, calcula:
a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)
b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)
c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) (8x2
– 2x + 1) – (3x2
+ 5x – 8) =
b) (2x3
– 3x2
+ 5x – 1) – (x2
+ 1 – 3x) =
c) (7x4
– 5x5
+ 4x2
–7) + (x3
– 3x2
– 5 + x) – (–3x4
+ 5 – 8x + 2x3
) =
Ejercicios propuestos:
Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes:
(i) ( ) ( ) ( )1102325 +−−−−−− pppp
(ii) ( ) ( )zxyzyx −−−−+
(iii) ( ) ( ){ } mmnnmnm 4353 +−−−+−−
(iv) ( ) ( )[ ]xyxxxyx −−−−−− 536253
(v) ( ){ } xxxxxx ++−−+− 2332
2
(vi) ( )[ ]{ }baabbaabbaab 222222
23 −−+−−−
(vii)






−





−





+−+−−
4
5
4
3
4
7
22
3
8
5
4
1
a
a
aa
(viii) ( ) ( )[ ] zzzz 221536 −−−++−−−

9. C. APLIQUEMOS LO APRENDIDO
Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas y reducir términos
semejantes si es posible.
(i) ( ) ( ) ( )3221
452,0 xyyxxy ⋅⋅ −−−
(iv) Determina las áreas de las figuras siguientes:
a)
b)
(v) ( )( )12947 −+ pp
(vi) ( ) ( )4242 22
+−⋅++ aaaa
(vii) 





−+−⋅ −−−− 21122
3
16
3
8
3
4
4
3
nmnmmnmn
(x) ( ) ( )11 2323
+++⋅−−− xxxxxx
(xi) ( ) ( )yyyy +−⋅− 22
234
x3
x5
2
2y
2
4y
xx −2
x4

10. Efectúa las operaciones indicadas y simplifica la expresión resultante:
a)
b)
c)
d)
e)
D. PARA SABER MAS
Reforcemos lo aprendido Taller 1: Expresiones Algebraicas.
A) Traduce a lenguaje algebraico:
1. El triple de un número.
2. La mitad del resultado de sumarles al triple de un número 4 unidades.
3. La diferencia de los cuadrados de dos números de dos números consecutivos.
B) Asocia cada una de los enunciados con la expresión algebraica que le
corresponde:
1) La suma de los cuadrados de dos números
2) El espacio recorrido por un móvil es igual a su
velocidad por el tiempo que está en movimiento
3) El área del circulo de radio x (x +y)2
= x2
+ y2
+ 2xy
4) Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y
5
E = v .t
5) El cuadrado de la suma de dos números es igual a la
suma de sus cuadrados más el doble de su producto x2
+ y2

11. 6) Media aritmética de tres números πx2
C) Para cada uno de los siguientes polinomios determine:
a. Grado
b. Número de términos
c. Ordenar en forma descendente
A = 2x3
+ 4x5
- 7x2
- 1
B = 5x2
- 6x + 3x4
+ 9x3
C= 8x + 5 - 2x2
+ 3x4
- x5
D= 8x3
- 4x4
- 6x + 5
D) Usando los polinomios del punto anterior determine :
a. A + B
b. 2A + 3B
c. -3C + D
d. 2B - 3A + 4C
A*B
C*D
E) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro
F) Realizar las siguientes operaciones algebraicas y simplificar al máximo.
3(x3
–5x +7) – (2x3
+6x2
+11x+4)
2x (4x2
–6x +2) +3 (5x2
–3x-4)- 14 x2
( ) ( )[ ]xyxxxyx −−−−−− 536253
1. PROFUNDICEMOS
x2
y3
y
y4
x3
x

12. Productos notables: Productos notables es el nombre que reciben
aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas
reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales.
Binomio al cuadrado
Binomio de suma al cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es
igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2
= a2
+ 2 · a · b + b2
(x + 3)2
= x 2
+ 2 · x ·3 + 3 2
= x 2
+ 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es
igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble
producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2
= a2
− 2 · a · b + b2
(2x − 3)2
= (2x)2
− 2 · 2x · 3 + 3 2
= 4x2
− 12 x + 9
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2
+ ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2
+ (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2
+ 5x + 6
Suma por diferencia: Una suma por diferencia es igual a diferencia
de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2
− b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2
− 52
= 4x2
− 25

13. Binomio al cubo: Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más
el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del
primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3
= a3
+ 3 · a2
· b + 3 · a · b2
+ b3
(x + 3)3
= x 3
+ 3 · x2
· 3 + 3 · x· 32
+ 33
= x 3
+ 9x2
+ 27x + 27
Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo
del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo,
más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo
del segundo.
(a − b)3
= a3
− 3 · a2
· b + 3 · a · b2
− b3
(2x - 3)3
= (2x)3
- 3 · (2x)2
·3 + 3 · 2x· 32
- 33
=
= 8x 3
- 36 x2
+ 54 x - 27
Trinomio al cuadrado: Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado
del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del
tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble
del primero por el tercero, más el doble del segundo por el
tercero.
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2
− x + 1)2
=
= (x2
)2
+ (−x)2
+ 12
+2 · x2
· (−x) + 2 x2
· 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4
+ x2
+ 1 − 2x3
+ 2x2
− 2x =
= x4
− 2x3
+ 3x2
− 2x + 1
Suma de cubos: a3
+ b3
= (a + b) · (a2
− ab + b2
)
8x3
+ 27 = (2x + 3) (4x2
- 6x + 9)
Diferencia de cubos: a3
− b3
= (a − b) · (a2
+ ab + b2
)
8x3
− 27 = (2x − 3) (4x2
+ 6x + 9).

14. Ahora practica realizando el anexo sobre productos notables
aplicándolo a areas y volúmenes.
E. AUTOCONSTRUCCION DEL CONOCIMIENTO.
Ahora con tus compañeros e instrucción del docente realiza un algebra geométrica,
con el fin de materializar las operaciones algebraicas trabajadas durante este
periodo. Juega, aprende y desarrolla tu pensamiento espacial con esta divertida
forma de sumar áreas. Desarrolla estas fichas con material reciclable, dale una
mano al planeta. Por el uso racional del, tiempo, espacio y recursos.
BIBLIOGRAFÍA:
 CARO E. Victor y otros. MATEMATICA 3 ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA. Pime, Editores. Medellín pp
256.
 URIBE C, Julio Alberto y otro. MATEMATICA EXPERIMENTAL. 8°. UROS EDITORES. Pp 455.
 BALDOR, Aurelio. ALGEBRA ELEMENTAL. PUBLICACIONES CULTURAL, México 1992.
 JIMENEZ R, Nelson. y otros. NUEVO PENSAMIENTO MATEMATICO 8°. Libros y libros, Bogotá. 2004.
 LOZANO, ALVAREZ y otros. MATEMAICAS 8. SIGMA. VICENS VIVES. Educación básica secundaria octavo
grado.327 p.
http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegosdelogica/enunc
iados.html
http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm
En los recursos para la construcción de material didáctico se pueden utilizar: cajas de
huevos, cartón, botellas pet, etc.
AUTOCONTROL DE PROGRESO INDIVIDUAL
Nombre______________________________________________ Grado_______
Heteroevaluación
40%
Coevaluación 30 % Autoevaluación 30%
Def/ti
va.
Recup/
ción
Fecha
1.
2
1.
2
1.
3
1.
4
Promedioo
%
1.2
1.
2.
1.
2.
1.
2.
Promedio
%
1.2
1.
2.
1.
2.
1
.
2
.
Promedio
%
4.0
Actividad
4.
0
4.
0
4.
0
Valoración

15. ____________________________________
Firma acudiente