Una parábola es el lugar geométrico de puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) es igual a su distancia a una línea fija (directriz). Una parábola se define mediante su foco, directriz y vértice. La ecuación canónica de una parábola es y2 = 4px o x2 = 4py, donde p es la abscisa del foco. La parábola puede orientarse abriéndose hacia la izquierda o derecha dependiendo del signo de p.

1. LA PARÁBOLA
Equipo 5

2. Definición:
Una parábola
es el lugar geométrico
de los puntos tales que

 

PA PF

3. El punto fijo se llama foco
y la recta fija directriz
de la parábola.
La definición excluye
el caso en que el foco
está sobre la directriz.

4. Designemos por
F el foco
y por l la directriz
de la parábola.

5. La recta que pasa por F
y es perpendicular a l
se llama
eje de la parábola

6. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz.
Sea V el punto medio
del segmento AF .
Por definición, V está
sobre la parábola;
este punto se llama vértice

7. El segmento de recta, tal como BB ' , que une dos puntos
cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda.

8. En particular, una cuerda que pasa por el foco,
como CC ', se llama cuerda focal.

9. La cuerda focal LL ',
perpendicular al eje,
se llama lado recto.

10. Si P es un punto
cualquiera de la
parábola,
la recta FP
que une el foco F
con el punto P,
se llama
radio focal de P
ó radio vector.

14. Definición: Una parábola es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en un plano de tal manera que su
distancia de una recta fija,
situada en el plano,
es siempre igual a
su distancia de un
punto fijo del plano
y que no pertenece
a la recta.

15. Definición:
Una parábola
es el lugar geométrico
de los puntos tales que

 

PA PF

16. Por definición de la parábola,
la ecuación de la directriz l ,
es en este caso x
p.

17. Sea P( x, y )
un punto cualquiera,
completamente arbitrario,
de la parábola.

18. Por P x, y tracemos el
segmento PA
perpendicular a l.
Entonces,
por la definición de parábola,
el punto P debe satisfacer
la condición geométrica
FP
PA

19. Ahora debemos traducir la condición geométrica FP
en una condición analítica; es decir, en una ecuación.
PA

20. Notamos primero que FP es la distancia entre el foco
F p,0 y el punto arbitrario P x, y ; así que
FP
x
p
2
y 0
ó sea
FP
x
p
2
y2
2

21. Notamos también que PA es la distancia entre
el punto arbitrario P x, y y la recta vertical x
así que
PA
x
p
p;

22. Como FP
x
p
2
y
2
la condición geométrica FP
analiticamente como:
x
p
2
y2
x
p
y PA
x
p,
PA se expresa

23. Si la expresión analítica
x
p
2
y
2
x
p
de la condición geométrica FP
PA ,
la elevamos al cuadrado, tenemos
x
p
2
2
2
x
p
p2
y2
x2
y
ó bien
x2
2 px
2 px
p2
que nos da finalmente la ecuación de la parábola
y
2
4 px

24. Ahora discutiremos la ecuación
2
y
4 px
siguiendo los métodos explicados
anteriormente.

25. y
2
4 px
Intersecciones con el eje X :
Se obtienen haciendo y 0,
lo que en este caso nos da 4 px
x
0; es decir,
0
La curva intersecta al eje X en x
0

26. y
2
4 px
Intersecciones con el eje Y :
Se obtienen haciendo x 0,
lo que en este caso nos da y
2
0; es decir,
y 0
La curva intersecta al eje Y en y
0

27. y
2
4 px
Intersecciones con los ejes.
La curva pasa por el origen y no
tiene ninguna otra intersección
con los ejes coordenados.

29. Extensión de la curva:
Despejando y en la ecuación,
tenemos y
2 px
Por tanto, para valores de y reales
y diferentes de cero,
p y x deben ser del mismo signo.

30. Extensión de la curva:
Si p 0, deben excluirse todos los valores negativos de x,
y todo el lugar geométrico se encuentra a la derecha del eje Y .
Como no se excluye ningún valor positivo de x,
y como y puede tomar todos los valores reales,
el lugar geometrico de y
2 px es una curva abierta
que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y
y hacia arriba y abajo del eje X . Se dice que la parábola se
abre hacia la derecha .

31. Extensión de la curva: Si p
y
2 px
0

32. Si p 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación
y
2 px y todo el lugar geometrico aparece a la izquierda del eje Y .
Se dice que la parábola se abre hacia la izquierda.

33. La ecuación de la parábola es, en el caso
que estamos estudiando, y
2 px
Por tanto,
cuando x
p,
p,2 p
tenemos dos valores de
y
2 pp
Pero x
2p
Longitud 4 p
Foco F p,0
p es también
la abscisa del foco F p,0 ,
así que la
longitud de lado recto es 4 p.
Lado recto.
p, 2 p

34. p,2 p
Lado recto.
Longitud
Foco F p,0
p, 2 p
4p

35. Si el vértice de la parábola está en el origen y
su eje coincide con el eje Y, se demuestra
análogamente, que la ecuación de la
parábola es
X2 = 4py,
En donde el foco es el punto (0,p). Puede
demostrarse fácilmente que, si p >0, la
parábola se abre hacia arriba; y, si p<0, la
parábola se abre hacia abajo.

37. Las ecuaciones
y2
4 px
y
2
x 4 py
se llaman a veces la primera ecuación ordinaria
de la parábola.
Como son las ecuaciones más simples de la
parábola, nos referimos a ellas como a las
formas canónicas.

40. y
2
4 px
2
4 py
y
x

41. Ejemplos

43. Evidentemente la ecuación
de esta parábola es
x
2
4
ya que p
3 y
3
12 y

44. x
2
12 y

45. Ecuación de una parábola

49. La ecuación de la parábola con referencia
a los nuevos ejes X ' y Y ' esta dada por
2
y'
4 px '

50. La ecuación de la parábola en los ejes X 'Y ' es
y '2 4 px '
Usando las ecuaciones de transformación que ya derivamos
x x' h
y y' k
ó bien en su forma inversa
x' x h
y' y k
Sustituyendo, podemos poner la ecuación de la parábola
como
y
k
2
4p x h

52. Las ecuaciones
y k
2
4p x h
y
x h
2
4p y k
se llaman, generalmente,
segunda ecuación ordinaria de la parábola

55. Discutiremos ahora la forma general de la ecuación
de la parábola:

56. y
2
a1 x
a2 y
a3
0
(4)

57. y
2
a1 x
a2 y
a3
0
(4)

60. En las dos formas de la segunda ecuación ordinaria
de la parábola
y k
2
4p x h
y
x h
2
4p y k
hay tres constantes arbitrarias independientes
o parámetros h, k y p. Por tanto, la ecuación de
cualquier parábola, cuyo eje sea paralelo a uno de
los ejes coordenados, puede determinarse a partir
de tres condiciones independientes.

61. Ejemplos