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ESTRUCTURAS ARITMÉTICAS
ELEMENTALES Y SU
MODELIZACIÓN
ENCARNACIÓN CASTRO
LUIS RICO
ENRIQUE CASTRO
Bogotá, 1995
una empresa docente
ii
Primera edición, julio de 1995
Contenido
ESTRUCTURAS ARITMÉTICAS ELEMENTALES Y SU MODELIZACIÓN
Autores: Encarnación Castro, Luis Rico y Enrique Castro
D. R. © 1995 una empresa docente ® & Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V.
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una empresa docente®
Universidad de los Andes
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Apartado Aéreo 4976 Tel. (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 284-1890
Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.co
Bogotá. Colombia
ISBN
Impreso en México / Printed in Mexico
iii
Contenido
1. Adquisición del concepto de número 1
Introducción 1
Contextos numéricos 2
Contexto cardinal 3
Contexto de medida 4
Secuencia numérica 5
Aspecto cardinal del número 6
El proceso de contar 7
Puntos de vista sobre la acción de contar 8
Algunas investigaciones 9
Primer estadio de Schaeffer 11
Segundo estadio de Schaeffer 11
Tercer estadio de Schaeffer 12
Cuarto estadio de Schaeffer 12
Conclusiones de otros investigadores 12
Influencias en el currículo 13
Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas
entre dos grupos de objetos 13
Comprensión global de los efectos de añadir objetos
a un grupo o de quitar objetos de ese grupo 14
Capacidad para distinguir números de atributos como:
disposición de color, tamaño 14
Comprender como funciona el sistema decimal 14
Aprendizaje de los símbolos 16
Consideraciones sobre el cero 17
Carácter operatorio de los números 17
Etapas en el aprendizaje de las operaciones 18
Las acciones 18
iv
Uso de modelos 19
Simbolización 19
Hechos numéricos y tablas 19
Algoritmos 19
Aplicación a la resolución de problemas 20
Resolución de problemas 20
Niveles de abstracción 22
Tipos de variables 24
2. Estructura aditiva 27
Introducción 27
Estrategias para sumar y restar 29
Para la suma 29
Para la resta 29
Modelos para la suma 30
Modelos lineales 30
Modelos cardinales 31
Modelos con medidas 31
Modelos funcionales 31
El análisis de cada número 32
Relaciones entre números 33
Aprendizaje de los hechos numéricos. Las tablas 34
Elaboración de la tabla de sumar 35
Resolución de problemas verbales aditivos 36
Clasificación de los problemas aditivos simples 37
Categoría de cambio 38
Categoría de combinación 39
Categoría de comparación 39
Categoría de igualación 40
Dificultades de aprendizaje 41
v
Tareas y situaciones problemáticas para niños 43
Juegos 44
3. Estructura multiplicativa 45
Introducción 45
Modelos para el producto y división 46
Modelos lineales 46
Modelos cardinales 47
Modelos con medida 48
Modelos numéricos 49
Modelos de razón aritmética 49
Modelos funcionales 50
La tabla de multiplicar 50
Iniciación a la división 51
Elaboración de la tabla de multiplicar 52
La estructura multiplicativa como
campo conceptual 53
Clases de problemas de estructura multiplicativa 54
El ísomorfismo de medidas 54
El producto de medidas 57
Estructura multiplicativa y simetría 58
Enfoque de estructura de cantidades 59
Enfoque textual 61
Problemas que denomina “mapping rule” 61
Problemas de comparación multiplicativa 61
Problemas de multiplicación cartesiana 62
Modelos implícitos 62
Errores asociados a la estructura multiplicativa 63
vi
4. Trabajo con patrones 65
Introducción 65
Conceptos a utilizar 67
Modelo 67
Símbolo 68
Patrón 70
Configuración puntual 71
Patrón de puntos 72
Números figurados 72
Número poligonal 72
Número piramidal 73
Números triangulares 73
Números cuadrados 75
Ejemplos de tareas 76
5. Referencias 81
1
Adquisición
del concepto de número
INTRODUCCIÓN
Cuando al hablar se dice “tres”, o cualquier otra palabra numérica pa-
rece que nos estamos refiriendo a una cuestión muy sencilla (quizá sea
por la costumbre que tenemos de utilizarla), sin embargo un análisis
cuidadoso de la cuestión nos hace ver que la expresión “tres” o cual-
quiera otra expresión numérica encierran múltiples conceptos algunos
de ellos complejos debido en parte a los distintos contextos en los que
se utilizan los números.
Vamos a tratar los distintos contextos numéricos y los procesos que
siguen los niños en la adquisición de cada uno de ellos hasta llegar al
concepto de número, en este tratamiento partimos de los siguientes su-
puestos:
Consideramos el aprendizaje del número como una base de apren-
dizaje informal, sobre el que se van a apoyar los conceptos de Aritmé-
tica formal que posteriormente el niño va a desarrollar.
Estamos de acuerdo con Baroody cuando asegura que el aprendi-
zaje informal es la base fundamental para comprender y aprender las
matemáticas que se estudian en la escuela, ya que los niños tienden a
Castro E. Rico L. y Castro E.
2
abordar la matemática formal en función de la matemática informal que
conocen.
Creemos que la etapa infantil es de enorme trascendencia para la
educación matemática posterior del niño. En ella se van a formar los
conceptos básicos o primarios y los primeros esquemas sobre los que,
posteriormente, se construirá todo el aprendizaje. Si estos esquemas bá-
sicos están mal formados o son frágiles, pueden llegar a impedir o a di-
ficultar (en el mejor de los casos) el aprendizaje posterior.
En la escuela infantil, el niño ha de ser encauzado para que evolu-
cione hacia procesos más abstractos de pensamiento. Está demostrado
que, desde pequeños, los niños son capaces de desarrollar métodos, a
veces sofisticados, de contar y de resolver problemas sencillos.
Cerramos este apartado con la siguiente cita de Montessori (1934).
“Se ha repetido siempre que la Aritmética y en general la ciencia mate-
mática, tiene en la educación el oficio importante de ordenar la mente
juvenil, preparándola, con rigurosa disciplina, para ascender a las altu-
ras de la abstracción”. Mas adelante añade: “El cálculo, después, no es
sino una ulterior abreviación de la operación de contar”.
CONTEXTOS NUMÉRICOS
Las palabras numéricas se utilizan en distintos usos y contextos así:
• Uso en la secuencia convencional numérica
• Empleo de dicha secuencia para contar
• Asociación de cada palabra con un símbolo
• Utilización para indicar la numerosidad de un conjunto
• Utilidad para indicar la posición relativa de los objetos
• Función de código
• En contexto de medida
Según el uso, o el contexto, en el que se utilicen las palabras numéricas,
tendrán un significado distinto.
La secuencia. En un contexto de secuencia se emplean los números en su
orden habitual (uno, dos, tres, cuatro,...) sin referirlos a ningún ente u
objeto externo. Se suelen emplear las secuencias numéricas para conse-
guir distintos propósitos, como pueden ser los de practicarla, cronome-
Adquisición del concepto de número
3
trar el tiempo (por ejemplo, diciendo los números hasta 30 en el juego
del escondite), atraer la atención de los demás, sugerir otros contextos
numéricos (hallar el cardinal, el ordinal y la medida) y efectuar opera-
ciones (sumar, restar, multiplicar y dividir).
El recuento. En el contexto de contar, a diferencia del de secuencia, cada
número se asocia con un elemento de un conjunto de objetos discretos.
En la vida real ambos contextos están identificados con el contar. Más,
para nuestras consideraciones importa resaltar esta diferencia, puesto
que el contexto de contar conlleva el correcto empleo de la correspon-
dencia biunívoca que a cada número asocia un objeto. En objetos que
no estén fijados a una posición, la acción de indicar se puede sustituir
por trasladar al objeto que se cuenta del montón de los no contados al
de los contados.
Contexto cardinal
Un contexto cardinal es aquel en el que un número natural describe la
cantidad de elementos de un conjunto bien definido de objetos discre-
tos (aislados) o sucesos.
Nuestro idioma, como muchos otros, dispone de palabras especia-
les para indicar los cardinales en determinadas situaciones: duo, trío,
cuarteto, etc. (en música); gemelos, trillizos, cuatrillizos, etc.; doble, tri-
ple, cuádruple, etc.; par, terna, cuaterna, etc.
Para hallar el cardinal de un conjunto se puede proceder de distin-
tas formas. La primera es preguntar a alguien para que nos lo diga. En
caso de que esta vía no sea posible o necesaria, nos vemos obligados a
determinarlo por nosotros mismos, y dependiendo del tamaño del
conjunto actuamos de cuatro formas distintas.
• Si el tamaño se puede percibir “de una ojeada” (caso de
los puntos del dominó) el número aparece en nuestra
mente de forma instantánea. Esta forma de obtenerlo se
llama subitización, derivado de la palabra latina subitus
(súbito)
• Para conjuntos más numerosos en los que nos falla la su-
bitización empleamos el proceso de contar; el número
con el que finalizamos el proceso de contar un conjunto
determinado nos da su cardinal
Castro E. Rico L. y Castro E.
4
• En los casos en que la aproximación numérica es suficien-
te se suelen emplear técnicas de estimación (número de
asistentes a una manifestación)
• Y finalmente, si disponemos de la suficiente información
adicional, el cardinal de un conjunto también podrá ha-
llarse empleando con sentido las cuatro operaciones ele-
mentales y sus propiedades (así, conocidos los cardinales
de una partición de un conjunto, podemos hallar por
suma el cardinal de éste)
Hay situaciones en que sólo se necesita conocer el “tamaño” de un con-
junto, y otras en las que comparamos los de dos conjuntos. Se trata en
este caso de decidir si los “tamaños” son iguales, o si uno es mayor o
menor que otro. La decisión se puede tomar:
• Comparando perceptualmente los conjuntos
• Estableciendo correspondencias biunívocas entre los ele-
mentos de los dos conjuntos
• Y contando los objetos y comparando los cardinales
Contexto de medida
En los contextos de medida los números describen la cantidad de uni-
dades de alguna magnitud continua como longitud, superficie, volu-
men, capacidad, peso, tiempo, etc. La magnitud se supone dividida en
múltiplos de la unidad correspondiente y nos permite responder a la
pregunta ¿Cuántas unidades hay?. La división puede estar ya hecha o
no, por lo que las técnicas que usemos para determinar la medida esta-
rán subordinadas a este hecho. Si la magnitud está dividida en múlti-
plos de la unidad la situación es análoga a un contexto cardinal y
podemos utilizar las mismas estrategias. Si no lo está, se requieren téc-
nicas más complejas, específicas del tipo de magnitud. El proceso de di-
visión puede requerir llenar la unidad (por ejemplo, en capacidad) o
recubrir la cantidad que va a ser medida con unidades (por ejemplo, un
área con el centímetro cuadrado) y además contar. Si solo tenemos una
réplica de la unidad (por ejemplo un solo centímetro cuadrado) estos
procedimientos de recubrir se tienen que sustituir por una reiteración
de la unidad en la que, al mismo tiempo que la unidad se coloca correc-
tamente, se tiene que ir contando.
Adquisición del concepto de número
5
Se supone que, en un principio, el niño va aprendiendo estos térmi-
nos numéricos como palabras que están asociadas a varios contextos
distintos. Poco a poco, estos significados diferentes del término se van
fusionando y darán lugar a un bloque, conformado por los distintos
significados de la palabra. Este proceso le llevará a un niño, medio, cin-
co o seis años de su vida.
Parece que no hay duda de que es durante el período de la educa-
ción infantil cuando se va desarrollando lentamente la noción de nú-
mero y la escuela tiene influencia sobre los niños durante este período,
por lo que los profesionales de la enseñanza han de estar preparados
para ayudar a sus alumnos en este aprendizaje de manera que se lleve
a cabo de forma significativa.
Muchas investigaciones se han realizado sobre la noción de núme-
ro y la forma en que los niños llegan a adquirir dicha noción. Los resul-
tados de las mismas constituyen una valiosa aportación para la
formación de los profesores, que las pueden tomar de guía y conseguir
así un mejor desarrollo en el aprendizaje de sus alumnos.
SECUENCIA NUMÉRICA
Fuson y Hall (1980) establecen que de las primeras experiencias que los
niños tienen con los números está la que surge del contacto con los tér-
minos o palabras numéricas. Se trata de la sucesión convencional: uno,
dos, tres... como palabras que en un primer momento no tiene por qué
ser utilizadas para contar.
Alrededor de los 6 o 7 años, el niño debe de dominar la sucesión
hasta 100, correctamente, y lo conseguirá incorporando distintos tra-
mos de la sucesión convencional. Alrededor de los cuatro años domina
un primer tramo “uno, dos, tres, cuatro cinco” y tiene un segundo tra-
mo de forma no convencional estable “cinco, ocho, nueve, doce” (por
ejemplo) y un tercer tramo no convencional de forma no estable.
Para lograr el dominio de la secuencia el niño recorre cinco niveles:
Nivel Cuerda. La sucesión empieza en uno y los términos no están di-
ferenciados.
Castro E. Rico L. y Castro E.
6
Nivel Cadena Irrompible. La sucesión comienza en uno y los términos es-
tán diferenciados.
Nivel Cadena Rompible. La sucesión puede comenzar en un termino
cualquiera.
Nivel Cadena Numerable. Contar n términos desde a hasta b.
Nivel Cadena Bidimensional. Desde un termino cualquiera, a, se puede
recorrer la sucesión en ambas direcciones.
Una vez alcanzado este nivel (en un tramo de la secuencia) es posible
obtener relaciones entre estos números tales como: “después del núme-
ro a viene el b”; “delante del número c está el d”; “antes de”, “después
de”. El dominio de la secuencia permitirá utilizar el número en los de-
más contextos.
ASPECTO CARDINAL DEL NÚMERO
El número tiene un contexto cardinal cuando se está indicando con él,
la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Los niños toman pron-
to contacto con el cardinal del número. Para el termino dos, por ejem-
plo, como muy tarde, cuando cumple dos años y se le indica con dos
dedos mientras se le repite “dos años”; no obstante tendrá experiencias
diferentes asociadas con el número dos en su contexto cardinal, cada
una de ellas le aportará un significado distinto que posteriormente re-
unidos darán lugar a un concepto de dos más general.
Se considera un momento importante en el desarrollo del concepto
de número aquel en que el niño descubre la cardinalidad: El último nú-
mero que dice al contar un conjunto de objetos es el cardinal de ese con-
junto. Se admite que un niño ha adquirido la regla de la cardinación
cuando es capaz de realizar uno de estos comportamientos.
• Responder inmediatamente a la pregunta ¿Cuántos hay?
• Enfatizar la ultima palabra al contar los elementos de un
conjunto
• Repetir el último término al realizar un recuento
Adquisición del concepto de número
7
Se supone que un niño no ha adquirido la regla, si comienza, a contar
de nuevo cuando se le pregunta ¿Cuantos hay? La mayoría de los ni-
ños, de desarrollo normal, son capaces de aplicar la regla de la cardina-
lidad a la edad de 4 años. Se reconocen tres fases en la consolidación de
la regla de cardinación.
• Transición de contar a cardinal, en donde el ultimo tér-
mino contado se convierte en el adecuado para el cardi-
nal
• Comprensión de que el cardinal puede estar asociado a
un recuento
• Integración de ambos significados: cada término obteni-
do al contar lleva simultáneamente un sentido de cardi-
nación
EL PROCESO DE CONTAR
Contar consiste en asignar cada uno de los nombres de los términos de
la secuencia a un objeto de un conjunto. Se establece, en un principio
un apareamiento término-objeto mediante la acción de señalar. La ac-
ción de señalar interiorizada dará lugar al proceso de contar.
Sobre los tres años, el niño toca, normalmente, los objetos con la
mano mientras que los cuenta. Alrededor de los 5 años no necesita to-
car los objetos sino que los señala en un principio con el dedo y poste-
riormente con la mirada. De esta forma, en la acción de contar aparecen
implicadas tres tipos de correspondencias.
• Un apareamiento temporal del término con la acción de
señalar
• Un apareamiento entre la acción de señalar y un objeto
concreto
• Un apareamiento entre el término y el objeto
Así, en la acción de señalar se crea una unidad espacio-temporal que
conecta el objeto (que existe en el espacio) con la palabra (que existe en
el tiempo).
Se han llegado a determinar cinco principios lógicos implícitos en el
proceso de contar que son los siguientes.
Castro E. Rico L. y Castro E.
8
Principio de orden estable. Para contar, los términos de la secuencia se han
de recitar, siempre, en el orden establecido.
Principio de correspondencia. Al contar los elementos de un conjunto, ya
hemos dicho, se va recitando la secuencia y a la vez, se van señalando
los elementos del conjunto.
Principio de biunivocidad. En el proceso anterior, no basta solo con esta-
blecer una correspondencia entre palabra numérica y objeto, sino que
dicha correspondencia ha de ser biunívoca. Esto supone que; a cada ele-
mento del conjunto se le asignará una palabra numérica y recíproca-
mente; cada palabra estará asociada con un elemento.
Principio de cardinalidad. El último término obtenido, al contar todos los
objetos de la colección, indica el número de objetos que tiene dicha co-
lección.
Principio de irrelevancia del orden. El cardinal de un conjunto, o sea, el
número de elementos obtenidos al contar, no depende del orden en que
estén dispuestos los elementos para contarlos.
Principio de abstracción. Cualquier conjunto o colección de objetos es
contable. Puede suceder que los elementos que forman el conjunto sean
todos homogéneos (lápices), o que no lo sean (lápices y bolígrafos), en
este último caso puede haber problemas, pues el resultado de contar
habrá que expresarlo en una categoría superior que comprenda a las
dos anteriores como subconjuntos (útiles para escribir).
PUNTOS DE VISTA SOBRE LA ACCIÓN DE CONTAR
Los investigadores no se ponen de acuerdo sobre la importancia que
tiene el acto de contar en el desarrollo de la noción de número.
Piaget y sus colaboradores dan poca importancia a la acción de con-
tar en la construcción del número. Sostienen que dicha construcción se
basa en los conceptos lógicos de seriación y clasificación y estos concep-
tos pertenecen a un estadio algo avanzado del desarrollo del pensa-
Adquisición del concepto de número
9
miento, el test de la conservación determinará si un niño ha llegado, o
no, a ese estadio.
El número se construye, según Piaget, mediante una síntesis de dos
tipos de relaciones que el niño establece entre los objetos por abstrac-
ción reflexiva: el orden y la inclusión jerárquica de clases.
El conocimiento del número, para esta teoría, está subordinado a la
evolución del pensamiento lógico. Para contar significativamente, el
niño ha de entender tareas como la conservación de cantidades y las
equivalencias entre conjuntos establecidas mediante corresponden-
cias biunívocas.
Otros investigadores, entre los que se encuentran Gelman, Schae-
ffer, Clements, aseguran que contar es esencial para el desarrollo de la
comprensión del número y que la dificultad del niño para entender la
conservación se debe, a que el niño no sabe contar.
La enseñanza que se desarrolle teniendo en cuenta uno u otro de los
dos puntos de vista anteriores será distinta. Los seguidores de la pri-
mera teoría, propondrán al niño actividades que le ayuden en el desa-
rrollo de sus capacidades lógicas y pospondrán las tareas de contar, ya
que estas no tienen significado para el alumno. Los seguidores de la se-
gunda teoría, por el contrario, piensan que es bueno centrar la atención
en actividades que desarrollen técnicas específicas de contar y tareas
que fomenten su aplicación. Así, para unos la enseñanza del número
habrá de hacerse formalmente sobre una base lógica, para otros, habrá
de hacerse de manera informal, contando.
ALGUNAS INVESTIGACIONES
Las investigaciones que Piaget, y sus discípulos, realizaron en este
campo estaban montadas sobre tareas en las cuales el niño tenía que
comparar conjuntos a través de correspondencias o formar conjuntos
equivalentes a un dado (botellas y vasos, jarrones y flores, etc). Se iden-
tificaron tres estadios examinando la ejecución de las tareas por niños.
Estadio I(niños de edad entre 3,6 y 5,6 años). Hay una comparación glo-
bal entre los conjuntos, no se forma la correspondencia biunívoca, ni
hay equivalencia.
Castro E. Rico L. y Castro E.
10
Estadio II (niños cuya edad estaba entre 4,6 a 6 años). Hay una correspon-
dencia biunívoca, sin equivalencia perdurable. El niño obtiene una co-
lección equivalente a la primera, pero piensa que una colección es
mayor cuando se cambia de forma y adquiere mayor extensión.
Estadio III (niños de edad entre 4,11 y 5,6 años). Crean colecciones equiva-
lentes a las dadas y además están seguros de que el número no cambia,
aunque cambie la posición de una de sus colecciones.
Una de las conclusiones a las que llegan a partir de la hipótesis de que
la construcción del número es una síntesis de las estructuras de agrupa-
miento y de la inclusión de clases fue que no hay una construcción del
número cardinal separadamente de la del número ordinal sino que am-
bas se constituyen de manera indisociable, a partir de las clases y de las
relaciones de orden que estará consolidada para los primeros números
alrededor de los 7 u 8 años y posterior y progresivamente para el resto
de la serie.
Clements (citado por Van de Valle, 1988) realizó un estudio con ni-
ños de 4 años y llega a la conclusión que las actividades de contar debi-
damente estructuradas llevan al niño a mejorar su formación tanto en
habilidades numéricas como en operaciones lógicas. Sus resultados
fueron:
• Niños entrenados en tareas lógicas ganan significativa-
mente a niños que no han sido entrenados en estas opera-
ciones
• Niños entrenados en estrategias de contar ganan signifi-
cativamente en test de criterios numéricos a niños que no
habían sido entrenados
• Niños entrenados en tareas lógicas, ganan poco en test de
criterios numéricos a los que no habían sido entrenados
• Niños entrenados en estrategias de contar ganan especta-
cularmente en test de tareas lógicas a los que no habían
sido entrenados
Explica estos resultados en el hecho de que considera que todos los
principios implícitos en la tarea de contar son operaciones lógicas. En la
misma línea están Donalson, Gelman, Schaeffer. Este último, como re-
sultado de sus investigaciones, divide en cuatro estadios el proceso de
adquisición del número, cada uno de los cuales presenta unas caracte-
Adquisición del concepto de número
11
rísticas propias, en cuanto al tipo de acciones que los niños son capaces
de realizar. Las explicaciones que dan Gelman y Schaeffer sobre un
mismo hecho, en algunos de los casos, son distintas. A continuación se
describen los estadios de Schaeffer.
Primer estadio de Schaeffer
Edad de los niños, de 2 a 5 años. Se caracteriza porque los niños no son
capaces de contar un conjunto de más de cinco objetos. Según Sche-
affer, distinguen como diferente el número de objetos de dos conjuntos
basándose en su configuración perceptual. Gelman, sin embargo, ase-
gura que en este estadio el niño es capaz de reconocer colecciones pe-
queñas de objetos contando. En su opinión los niños han captado el
aspecto cardinal del número en colecciones muy pequeñas pero no dis-
ponen de un aspecto ordinal implícito que le permita asignar una se-
cuencia de nombres de números a una serie de objetos.
En este estadio las tareas que los niños son capaces de realizar son:
• Reconocer el número de elementos de un conjunto cuyo
cardinal sea menor que cinco
• Distinguir qué colección es mayor, en el caso que al me-
nos una de ellas tenga menos de cinco elementos
• Reconocer entre colecciones más amplias, relaciones de
mayor y menor cuando los objetos están alineados y vea
la existencia o no de correspondencias biunívocas
Segundo estadio de Schaeffer
Niños de 3,9 años. La edad de los niños es en algunos casos menor que
la de los niños del estadio anterior. En este estadio los niños:
• Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en
fila
• No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los ca-
sos
• Con números mayores el recuento no está dominado; co-
meten errores en la separación de los elementos ya conta-
dos o en la coordinación entre palabra y objeto
• No se ha captado aún la conexión entre el proceso de re-
cuento y su resultado, que es el último número recitado
y que representa la numerosidad de la colección, ni que
Castro E. Rico L. y Castro E.
12
dicho número es invariante frente al orden que presenten
los elementos del conjunto
• Para números pequeños, cuentan siempre la colección
para dar el resultado, no subitizan. La explicación de
Scheaffer a este hecho es que el recuento les da mayor se-
guridad a no equivocarse. La de Gelman es que el niño to-
davía no ha aprendido a reconocer grupos de
configuraciones; esto ocurrirá cuando esté familiarizado
con el número
Tercer estadio de Schaeffer
Niños de edad entre 3,3 y 5,3 años. En este estadio los niños:
• Saben aplicar la regla de cardinalidad, pero todavía no co-
nocen cuando un número es mayor que otro (ejemplo 7
mayor que 5)
• Conectan el proceso de recuento con la regla de cardina-
lidad
• Los niños muestran mayor disposición para reconocer el
número de elementos de una colección pequeña de obje-
tos, sin contarlo
Cuarto estadio de Schaeffer
Niños de 5 a 5,11 años. Se caracteriza por la capacidad que presentan
los niños para:
• Reconocer el mayor de dos números
• Contar sin cometer errores
• Comparar el tamaño de dos colecciones
En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que los
conjuntos no sobrepasan los diez elementos.
Conclusiones de otros investigadores
Case, citado por Fuson y Hall, asegura que las tareas de contar dan al
niño capacidad para aplicar el recuento automáticamente por lo que el
niño se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numéricas,
como por ejemplo, establecer relaciones entre recuento y tamaño de
una colección. Brianerd (citado por Dickson y col) asegura que la idea
de ir emparejando los objetos de dos colecciones, con el fin de comparar
Adquisición del concepto de número
13
sus tamaños, es un logro relativamente tardío. Want señala que el em-
parejamiento biunívoco y las destrezas de recuento se desarrollan si-
multáneamente.
Hay varias consecuencias de estos estudios: los niños, a las cinco
años, poseen una comprensión adecuada y operativa de los diez pri-
meros números naturales, al menos en su forma oral; el conocimiento
oral da suficiente capacidad para resolver problemas aritméticos sen-
cillos expuestos oralmente; y es muy importante el papel del recuento
para adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del número.
Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la
cantidad de dificultades con las que tropieza el niño en su camino hacia
la comprensión de la idea de número. Se detecta (como señalan Dikson
y col., 1991) que en los últimos años se ha concedido una excesiva im-
portancia a las correspondencias biunívocas en el aprendizaje infantil,
en detrimento de uso de la práctica de contar.
INFLUENCIAS EN EL CURRÍCULO
En línea con la Escuela de Ginebra, en el Informe Piagetiano editado
por el M.E.C. en 1987, se hace un listado de las capacidades que un niño
debe de adquirir en relación con el concepto de número y las tareas que
los mismos pueden desarrollar para conseguirlas. A continuación las
enumeramos.
Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos
grupos de objetos
Se caracteriza por:
• Comparaciones brutas, mucho comparado con poco,
comparado con la misma cantidad
• Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos de
cinco a diez elementos en correspondencia provocada de
uno a uno
• Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos de
cinco a diez objetos en correspondencia no provocada de
uno a uno. En este caso, los grupos de objetos no van jun-
tos, necesariamente
Castro E. Rico L. y Castro E.
14
Comprensión global de los efectos de añadir objetos a un grupo
o de quitar objetos de ese grupo
A nivel de esta tarea se comprende que:
• Añadir objetos a una colección aumenta su número (lo
hace mas) de modo que si se cuentan los números llega-
mos a un número mas alto
• Si se quitan objetos de un grupo reduce el número (lo
hace menos)
Capacidad para distinguir números de atributos como:
disposición de color, tamaño
Esto permite al niño conservar el número, es decir, el número permane-
ce igual a pesar de cambios perceptivos. Esto es aplicable tanto a condi-
ciones de identidad (realizando cambios dentro de un solo grupo)
como a condiciones de equivalencia (involucrando cambios en un gru-
po cuando para empezar, hubo varios grupos equivalentes.
• Identidad I. El número de objetos de un grupo que se ha
modificado, puede ser reestablecido cuando se vuelvan a
colocar los objetos en su forma original. Un niño que se de
cuenta de esto no tiene por qué darse cuenta que el núme-
ro ha permanecido invariable todo el tiempo
• Identidad II. El número de objetos es el mismo incluso
cuando se modifique la disposición original y no se vuel-
va a restablecer
• Equivalencia I. El número de objetos en colecciones equi-
valentes permanece igual cuando se construye la corres-
pondencia destruida
• Equivalencia II. El número de objetos en grupos equivalen-
tes permanece igual cuando ya no exista una correspon-
dencia “uno a uno”. El niño no tiene la necesidad de
reconstruir la correspondencia
Comprender como funciona el sistema decimal
Se caracteriza por:
• Saber contar de uno a veinte en secuencia
• Sumar uno a cualquier número da el siguiente
• Todos los números menores que uno determinado, están
incluidos en ese número. Si tienen cuatro canicas, es cierto
Adquisición del concepto de número
15
que tienen dos canicas. Para darse cuenta de esta propie-
dad es necesario saber que cuando señala un objeto y di-
cen “siete” están identificando a todo el grupo de objetos.
El señalado es solamente es, solamente, el séptimo objeto
contado
Complementarias a estas actividades hay otras tareas que ayudan al
niño en su proceso de adquisición del número. A continuación propo-
nemos una serie de actividades para desarrollar la capacidad de contar
y la utilización de números para representar una cantidad. (de Robert
Robinson, 1989).
• Alumnos y profesor con los brazos levantados, empezan-
do por la izquierda, doblar atrás cada dedo mientras se
dicen los números
• Cuando el alumno está contando junto con el profesor,
dejarle contar solo mientras el profesor dobla los dedos
• Invertir los papeles. El niño contará los dedos del profe-
sor
• Batir palmas y contar a la vez, marchar y contar a la vez
• El profesor empieza a contar, llegado un momento se
para y señala a un niño para que diga el número siguien-
te. Sigue contando y repite la operación con otro niño
• Con un recipiente de metal y objetos que suenen al caer:
Dejar caer los objetos en el recipiente, de uno en uno, e ir
contando a medida que estos suenen
• Se hace rebotar una pelota y se va contando cada bote.
Otra posibilidad es tratar de adivinar el número de botes
que va a dar
• Se hace rebotar la pelota y se le pide a un niño que bata
tantas palmas como botes haya dado la pelota
• Los niños escuchan mientras el profesor bate palmas,
después se les piden que digan cuantas palmadas se han
dado
• Y tareas en donde se familiarice el signo con el nombre de
los números tales como inventar un teatro o cuento para
escenificar en donde los personajes sean los números. La
puesta en escena se puede hacer colocando a un grupo de
niños pegatinas de números en las manos el profesor va
Castro E. Rico L. y Castro E.
16
narrando el teatro, o cuento, y los niños sacarán la mano
adecuada en el momento que le corresponda
APRENDIZAJE DE LOS SÍMBOLOS
Dada la complejidad que supone leer y escribir los signos de los núme-
ros, se aconseja que su aprendizaje se inicie al comenzar el período de
enseñanza primaria. No obstante hay niños que ya a los cinco años son
capaces de leer y escribir signos numéricos por lo que vamos a dar al-
gunas ideas que consideramos de interés en este proceso. La habilidad
de escribir cifras, al igual que la de escribir letras, es una destreza que
requiere una maduración del sistema motor y una coordinación entre
la vista y el movimiento de la mano. En algunos individuos existe des-
coordinación entre estas dos destrezas por lo que se requerirá más
adiestramiento en una de ellas para conseguir su dominio.
Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinación entre la
vista y la mano:
• Pintar con los dedos siguiendo un camino
• Alinear objetos sobre una marca
• Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras
• Dibujar las cifras sobre algún material continuo (ejemplo
arena) o en el aire
• Moldear las cifras con plastilina o arcilla
No debemos pensar que este es un aprendizaje matemático ya que la
habilidad para escribir cifras no tiene nada que ver con la capacidad
para comprender su valor y utilizarlas correctamente, así mismo, la in-
capacidad para escribir un número no debe confundirse con la incapa-
cidad para comprender las matemáticas.
La numeración y los cálculos son, ante todo, una manera de codifi-
car y comunicar información resumida por lo que requiere gran impor-
tancia el que dicha escritura sea legible, esto obliga a cuidar el dominio
de las técnicas de preescritura necesarias para conseguir el éxito. Entre
estas técnicas podemos señalar:
• Coger el lápiz correctamente
• Colocar el papel de forma adecuada
• Copiar de un modelo, etc.
Adquisición del concepto de número
17
Una vez que los niños comienzan a realizar preescritura de números se
hace necesario una gran atención con objeto de corregir los malos há-
bitos, si se producen, antes de que lleguen a estar consolidados.
CONSIDERACIONES SOBRE EL CERO
El número cero fue la última cifra que se incorporó a nuestro sistema
de numeración. Durante mucho tiempo se pensó que los números ex-
presaban la esencia de lo existente, por ello lo que “no es” no puede ser
expresado de aquí que para el cero no se tuviera ninguna razón que im-
pulsara su aparición. Esto nos puede dar idea de la dificultad, de tipo
lógico, que su aprendizaje representa para el niño. Otro motivo que au-
menta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoría de los
contextos numéricos, veamos.
• En la secuencia numérica, no se suele comenzar por el
cero
• En el recuento, lo usual es empezar a contar desde el uno
• El contexto cardinal es el único que lo contempla al con-
siderarlo como cardinal del conjunto vacío
• En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una
medida cero
Sin embargo, hay un contexto en donde resulta muy gráfico hablar de
cero, la calificación de cero dada a algo indica su falta de valor.
Estas consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la enseñanza
del cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos puede
facilitar su introducción e incorporación al resto de los números.
CARÁCTER OPERATORIO DE LOS NÚMEROS
El interés por expresar numéricamente distintas situaciones o contex-
tos no se agota con la simbolización de las cantidades mediante núme-
ros pues la Aritmética surgió junto a un sistema de numeración para
satisfacer necesidades primordiales y no sólo de recuento sino también
operatorias; con los números no sólo se simbolizan cantidades, tam-
bién las acciones, relaciones y transformaciones cuantitativas, que pue-
Castro E. Rico L. y Castro E.
18
den realizarse sobre los objetos tienen un reflejo en las operaciones
numéricas.
El interés del carácter operatorio del número presenta un doble ver-
tiente. En primer lugar el número representa simbólicamente determi-
nadas características del mundo real, en particular la cantidad, el orden
y la medida, según hemos visto. Sobre los objetos reales y relacionado
con la cantidad, hay acciones básicas: agregar, separar, reiterar, repar-
tir, que expresan multitud de transformaciones con los objetos. Tam-
bién entre los objetos se pueden establecer relaciones como comparar,
igualar, determinar las veces que uno abarca al otro, etc. Se trata de ope-
raciones en el sentido físico del término, pero también en el sentido psi-
cológico en cuanto conjunto de situaciones coordinadas y reversibles.
Este cúmulo de acciones del mundo real tiene su expresión simbóli-
ca correspondiente en las operaciones numéricas básicas: suma, resta,
producto y división. Las operaciones numéricas son las que dan poten-
cialidad al número: sin ellas, dice Vergnaud, el concepto de número po-
dría no existir.
En segundo lugar, las operaciones establecen una red de conexiones
entre los distintos números dando lugar a un sistema de relaciones in-
terno dentro del conjunto de los números y dotándole de una estructura
respecto de dichas operaciones fundamentalmente de la adición y de la
multiplicación y sus operaciones inversas la sustracción y la división.
ETAPAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES
En el proceso de aprendizaje de las operaciones se distinguen varias
etapas.
Las acciones
En primer lugar hay que considerar las acciones y transformaciones
que se realizan en los distintos contextos numéricos considerando
aquellos que presentan rasgos comunes y que darán lugar a un concep-
to operatorio, según la idea de Piaget de considerar las operaciones
mentales como acciones interiorizadas.
Adquisición del concepto de número
19
Uso de modelos
En segundo lugar al abstraer las diferentes relaciones y transformacio-
nes que ocurren en los contextos numéricos aparecen diferentes esque-
mas o ilustraciones, surgen lo que se denominan modelos. “una
operación puede ser caracterizada como la colección de todos los mo-
delos a los que representa” (Vest, 1969). Cada operación tiene sus pro-
pios modelos que ponen de manifiesto los contextos generales del
número y la peculiaridad de cada operación.
Simbolización
La utilización de los modelos da paso a un nivel más alto de abstrac-
ción en el nivel operatorio y es la expresión simbólica de la operación;
la notación simbólica de una operación, como por ejemplo 3+2=5, re-
presenta todos los modelos y todas las situaciones que puedan imagi-
narse en las que se reunan 3 y 2 elementos. La simbolización constituye
una tercera etapa del aprendizaje de las operaciones.
Hechos numéricos y tablas
Usualmente se conocen dos números y la relación entre ellos y es nece-
sario hallar un tercero realizando la operación. El número que corres-
ponde hallar en cada caso se le llama conocer un dato o hecho
numérico, en el caso de 3+2 el hecho numérico es conocer que el resul-
tado es 5. La cuarta etapa es el aprendizaje, memorístico o no, de los he-
chos numéricos esenciales en cada operación. Esto usualmente se hace
mediante el descubrimiento, invención y empleo de una serie de des-
trezas básicas y la memorización de algunos datos destacados, nunca
es posible aprenderlos todos, cuya expresión canónica es la tabla de
cada operación.
Algoritmos
La quinta etapa es aquella en la que el conocimiento de los hechos nu-
méricos, unas pocas destrezas y reglas básicas permiten calcular el re-
sultado de la operación con dos números cualesquiera. Es la etapa de
adquisición del algoritmo correspondiente.
La utilidad del algoritmo en la realización de una operación radica
en la simplificación que se hace de la misma sobre todo en aquellos ca-
sos en los que la operación es compleja debido a la magnitud de los nú-
Castro E. Rico L. y Castro E.
20
meros; esto es debido a las propiedades que caracterizan a los
algoritmos, que son:
Nitidez. Gracias a esta propiedad la realización del algoritmo se trans-
forma en un proceso mecánico.
Eficacia. Conduce a los resultados deseados mediante un número finito
de pasos, suficientemente simples.
Universalidad. El mismo algoritmo se aplica a todas las situaciones de
una misma clase.
Aplicación a la resolución de problemas
En sexto lugar aparecen las aplicaciones de las operaciones a la resolu-
ción de problemas. El hecho de colocar los problemas en la sexta etapa
no quiere decir que los alumnos no puedan resolver problemas antes de
pasar por todas las etapas anteriormente descritas, de hecho hay auto-
res que señalan que la resolución de problemas hay que trabajarla des-
de la etapa de la acción.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Según Lester un problema es una tarea para la cual:
• El individuo o grupo se que se enfrenta a ella quiere o ne-
cesita encontrar una solución
• No hay un procedimiento fácilmente accesible que garan-
tice o determine completamente la solución
• Y el individuo o grupo debe de hacer un intento para en-
contrar la solución
Estas tres componentes tienen implicaciones especiales para la instruc-
ción matemática. Elegir los problemas más inteligentes no es producti-
vo si los estudiantes no están interesados o no quieren intentar
resolverlos. La segunda componente requiere el fracaso inicial por par-
te de los estudiantes, al menos en el sentido de que el recuerdo de he-
chos o la aplicación de un algoritmo de cálculo previamente aprendido
no de la solución. Desgraciadamente muchos de nuestros profesores
Adquisición del concepto de número
21
tienen la idea de que el fracaso perjudica la confianza de los alumnos,
consideramos con Lester la importancia que tiene el que los profesores
comprendan que algo de fracaso no es solamente una buena cosa sino
parte necesaria de la resolución de problemas. El estudiante puede no
encontrar la solución inmediatamente, aunque dicha solución pueda
estar al alcance de la mano. Los alumnos no deben de ser conducidos
a creer que si una tarea no puede hacerse fácilmente entonces no puede
hacerse en absoluto.
Investigaciones centradas en el resolutor han dado como conse-
cuencia algunas diferencias entre buenos y malos resolutores de pro-
blemas, así Dodson identificó características discriminantes del éxito
en la resolución de problemas e indica que los buenos resolutores son
superiores respecto a la competencia matemática, habilidad para el ra-
zonamiento verbal y general, habilidad espacial, actitud positiva, resis-
tencia a la distracción, ámbito de independencia y pensamiento
divergente. Por su parte Krutetskii sostiene que los buenos resolutores
de problemas son superiores a los malos en su habilidad para percibir
la estructura matemática de un problema y generalizar situaciones que
presentan una estructura similar.
La habilidad para resolver problemas no puede enseñarse, pero
puede desarrollarse resolviendo problemas, no hay ninguna duda que
la habilidad de resolución de problemas aumenta con la práctica.
Wheatley indica que una buena disposición para resolver proble-
mas se puede alcanzar dentro del marco de la escuela, para lo que se-
ñala las siguientes recomendaciones:
• Crear una atmósfera propicia para la exploración, ya que
los alumnos responden de forma positiva
• Fomentar posturas de interés y desafío hacia la explora-
ción de problemas orales. Trabajando en grupo, presen-
tando los problemas a través de material, relacionando
los problemas con el juego, etc.
• Presentar situaciones problemáticas variadas. Situacio-
nes que den al niño posibilidad de observar, describir,
clasificar, ordenar, comparar, conjeturar, preguntar o
realizar una representación deberán de formar las bases
de un buen desarrollo mental
• Animar a los niños a desarrollar estrategias de resolución
de problemas. Utilización de modelos, conjeturas y prue-
Castro E. Rico L. y Castro E.
22
bas, ordenación de los datos y/o representación de los
mismos
• Dar importancia a la actividad de contar y a la formación
de patrones
• Facilitar a los niños material manipulativo. El material
proporciona modelos que ayudan a la resolución de pro-
blemas de forma concreta, poco a poco se realizará el paso
desde la manipulación y asociación de actividades menta-
les hasta la abstracción
• Fomentar la interacción entre los niños. El aprendizaje se
consigue por el intercambio de ideas en un grupo, favore-
ciéndose así mismo el paso del egocentrismo al respeto
del punto de vista del otro
Niveles de abstracción
En relación con la resolución de problemas aritméticos elementales nu-
merosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de diferentes
factores intervinientes. Riley y otros (1983) diferencian entre factores
globales y factores específicos, refiriéndose estos últimos a las caracte-
rísticas estructurales de las oraciones de los problemas, a la habilidad
lectora, a la repercusión del método de instrucción seguido y, sobre
todo a la presencia de ayuda en el momento de dar solución a un pro-
blema. Con respecto a la influencia de las ayudas, dichos autores consi-
deran que la presencia de objetos manipulables conduce a una mejora
en la ejecución de los niños, siendo incluso necesaria en algunos casos.
Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la
presencia de ayudas (como fichas, bloques etc.) durante la resolución
de problemas, tanto si se manipulan como cuando se trata de una mera
observación de los mismos. Quizá la incidencia de la presencia de obje-
tos en la resolución de problemas aritméticos elementales sea más no-
table en la etapa prenumérica, durante la cual se hace patente la
necesidad de apoyos externos de representación.
Fucson (1986) considera que la utilización simultánea de materiales
concretos resulta bastante efectiva en la instrucción de la estrategia de
contar a partir de un sumando, el manejo de los materiales parece orga-
nizar el conocimiento de algunos niños y facilitar el cambio hacia la es-
trategia más avanzada de contar a partir de uno de los sumandos.
Adquisición del concepto de número
23
Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen
los niños hasta llegar a la abstracción en la resolución de problemas.
Nivel conceptual
Es el nivel más primitivo, es aquel en el que los niños modelan comple-
tamente la acción o las relaciones que se dan en el problema usando ob-
jetos físicos o dedos. En este nivel se caracteriza por el uso de
materiales concretos y descripciones verbales.
Por ejemplo, con una situación de “quitar”, un niño cuenta en voz
baja una colección de objetos y los coloca debajo de un recipiente, a
continuación saca de debajo del recipiente y desplaza algunos objetos
para que un compañero vea lo que ha sacado. El segundo niño ha de
describir verbalmente la acción realizada por el primero así como el re-
sultado de la misma. Puede ser “tu has puesto cinco bolas debajo de tu
pañuelo y después has sacado tres, por lo que debajo del pañuelo que-
dan dos bolas”. El primer niño retira el pañuelo y se verificará la res-
puesta.
Nivel de conexión
En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y descripciones
verbales, pero además se van introduciendo los símbolos escritos co-
rrespondientes. Los niños tenderán a no representar físicamente las
cantidades descritas en el problema y, poco a poco, serán capaces de
realizar la operación de recuento por sí sola.
En la situación de juego descrita anteriormente uno de los niños ha
de crear la sentencia numérica correspondiente a la situación utilizan-
do algún tipo de material como pueden ser tarjetas en las que aparez-
can los números y los signos implicados en el problema.
Posteriormente se creará la sentencia numérica escribiéndola sobre el
papel.
Nivel abstracto
En este tercer nivel las técnicas de recuento han dado paso a la utiliza-
ción de los algoritmos para llegar a la solución del problema. Se pre-
senta una sentencia numérica como 5-3 = ( ) y se les anima a que
piensen y describan acciones asociadas a la misma.
Castro E. Rico L. y Castro E.
24
Tipos de variables
La dificultad que pueden plantear los problemas aritméticos va más
allá de cual sea la operación que los resuelve. Una resolución adecuada
de los problemas aritméticos está condicionada por un gran número de
variables, que se pueden clasificar en tres grupos: variables según la in-
formación en que se sitúa el problema, según la pregunta que se plantea
y según la operación que lo resuelve.
Según la información que proporcionan
Transmisión de la información. Acción, representación, expresión verbal
y expresión simbólica.
Datos numéricos de la información. Contándolos o midiendo, expresión
simbólica o verbal, números o resultados de medidas, tipos de números
(N, Z, Q, etc.), tamaño de los datos, orden en que aparecen los datos e
inclusión o no de datos superfluos.
Relación entre los datos de la información. Relación explícita o tácita, rela-
ción por descripción o acción, relación de tipo lógico (unión, intersec-
ción, etc.) y encadenados o independientes.
Contexto de información. Situación más o menos real, estilo de la redac-
ción, extensión, connotaciones que pueda implicar participación o no
de los individuos en su obtención y vocabulario.
Según la pregunta planteada
Tipo de información que se pide. Dato exacto o aproximado, gráfica de da-
tos o dato de un gráfico, elección de entre varias respuestas, relación en-
tre los datos y acción para conseguir un objetivo.
Estructura de la pregunta. Combinación (relación estática entre los da-
tos), cambio (relación dinámica), comparación (cuanto más, etc.), igua-
lación (cuanto falta para, etc.) y tasa (en problemas de estructura
multiplicativa).
Posición y extensión de la pregunta. Situación dentro del enunciado, ex-
tensión (todo o parte del enunciado) y única o varias dirigidas a una
cuestión final.
Adquisición del concepto de número
25
Sentido de la pregunta. Si la pregunta está dentro de las cuestiones que
el individuo puede presentarse, si la pregunta da o no respuesta a una
necesidad real y si el dato que se obtenga se integra o no de modo co-
herente en el contexto informativo.
Según la operación que lo resuelve
Operaciones implicadas. Operaciones para cambio de unidades, opera-
ciones para obtener el resultado, algoritmos empleados (o calculado-
ra), cálculo mental y conveniencia o no del redondeo de los datos.
Conjunto numérico. Conjunto donde se realizan las operaciones, sub-
conjunto dentro del cual aparecen los datos, pertenencia o no del resul-
tado al mismo subconjunto que los datos y empleo o no de un único
sistema de símbolos.
Sentencia abierta que proporciona el resultado. Tipo de sentencia (a+b=?,
a+?=c, etc.), número de sentencias, orden y resolución de las senten-
cias, sentencias complejas y posibilidad de que varias sentencias pro-
duzcan el mismo resultado.
Recursos auxiliares. Empleo de material, apoyo gráfico, empleo o elabo-
ración de tablas o esquemas, consideración de estructuras implícitas
(por ejemplo, proporcionalidad), empleo de fórmulas, tanteo del resul-
tado y verificación de resultados.
Todo lo expuesto en este punto hace referencia a los problemas aritmé-
ticos escolares de los que Nesher critica el hecho de no estar dados en
lenguaje ordinario y no tener relación con las experiencias de los niños.
Son estereotipados en su estilo y en su interpretación semántica y des-
criben objetos y acontecimientos que no tienen ninguna realidad ni pa-
recido con el mundo real, esto es debido, según la autora a la necesidad
de dar toda la información requerida y la tendencia a elaborar un texto
tan abreviado como sea posible; lo que da lugar a un texto lacónico,
conciso y que en muchos casos emplea estructuras sintácticas muy di-
fíciles.
Castro estructuras elementales
2
Estructura aditiva
INTRODUCCIÓN
La estructura aditiva, de la que la suma y la resta son sus representa-
ciones más sencillas, subyace (según Carpenter y Moser) en gran nú-
mero de conceptos matemáticos, y su desarrollo en el niño ocupa un
extenso período de tiempo ya que ha de cubrir la transición desde los
recuentos informales y las estrategias propias que los niños realizan al
margen de su instrucción hasta el uso de datos numéricos memoriza-
dos y los algoritmos formales de la adición y sustracción. Este es un pe-
ríodo crítico para el aprendizaje de las matemáticas por los niños y se
creé que algunas de las dificultades posteriores en matemáticas tienen
su origen en la deficiente instrucción inicial de la suma y la resta.
Según Piaget, los conceptos más elementales del número no están
completamente desarrollados en los niños antes de los 7 años de edad
(aproximadamente) aún cuando los conceptos de adición y substrac-
ción, que suponen conocimientos de conceptos numéricos básicos em-
piecen a la edad de 6 años. Muy pronto los niños entienden que la
secuencia numérica se puede utilizar para realizar operaciones aritmé-
ticas. Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones del tipo
n + 1 y n - 1 (con n menor que 5), más tarde aparecerán situaciones de
la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las del tipo n + m.
Castro E., Rico L. y Castro E.
28
Las situaciones de suma y resta, entre números naturales, está basa-
da en la idea de que juntando elementos a una colección dada aumenta
su número y separando elementos disminuye su número. Pero una
comprensión operatoria de la adición requiere (según Piaget) que un
niño reconozca que el todo permanece constante independientemente
de la composición de sus partes. Sus estudios le llevaron a señalar una
serie de estadios, en el desarrollo de este concepto, paralelo al desarro-
llo de la conservación.
I estadio. Los niños no entienden que un conjunto de ocho objetos divi-
dido en dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho
objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos.
II estadio. Se resuelve bien la tarea después de verificaciones empíricas
III estadio. Reconoce que la composición de las colecciones no afecta al
conjunto final.
En principio, los niños no reconocen que el efecto de añadir elementos
a una colección pueda ser neutralizado separando el mismo número de
elementos y que añadir elementos a una colección equivalente a otra
puede compensarse añadiéndole a la otra el mismo número de elemen-
tos.
Las investigaciones realizadas sobre las dificultades que los niños
encuentran cuando realizan operaciones de suma y resta han dado los
siguientes resultados:
• Las dificultades aumentan a medida que aumentan los
números
• Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el
segundo ofrecen menos dificultad que aquellas en las que
el primer sumando es menor que el segundo
• Las sumas cuyos sumandos son pares son más sencillas
que aquellas que presentan algunos de ellos impar
• El caso de tener los dos sumandos iguales, presenta me-
nos dificultad que en cualquier otro caso
Estructura aditiva
29
ESTRATEGIAS PARA SUMAR Y RESTAR
Se han determinado y clasificado las estrategias que los niños utilizan
cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta.
Para la suma
Elaboración de un modelo con dedos u objetos. Se presentan dos casos, en el
primero, se construyen dos colecciones cuyo número de elementos
sean los números dados y se precede de dos formas distintas: juntar las
dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la unión física de las
colecciones; en el segundo, se construye una sola colección y se incre-
menta en tantos elementos como indique el segundo sumando.
Secuencias de recuento. Se cuentan los objetos que se supone se deben
de reunir sin realizar ninguna acción física, se trata de conductas pura-
mente verbales y se puede proceder de varias formas: contar todo (el
niño cuenta todos los objetos), contar a partir del primero de los núme-
ros dados o contar a partir del mayor de los números.
Datos numéricos recordados .Emplean combinaciones numéricas que re-
cuerdan como son: aplicación de la idea de doble o aplicación de sumas
conocidas como 6 + 4 = 10.
Para la resta
Modelos directos con objetos. Se construye una colección de objetos que
represente al minuendo y de esta se van quitando objetos, esto se pue-
de realizar de varias formas: quitando de (se quitan tantos objetos
como indica el substraendo), quitando hasta (se van quitando al mi-
nuendo elementos hasta que quede el substraendo, el recuento de lo
que se ha quitado dará el resto), añadiendo hasta (se forma un conjunto
que representa al substraendo, se van añadiendo objetos hasta tener el
minuendo el numero de objetos añadidos es el resto), emparejamiento
(los conjuntos formados se tratan de emparejar, contando los elemen-
tos no emparejados se obtiene la respuesta).
Recuento. Sin utilizar objetos físicos, se pueden considerar varias: con-
tar hacia atrás desde (contar hacia atrás desde el minuendo tantas ve-
ces como indica el substraendo, el número anterior al último contado
Castro E., Rico L. y Castro E.
30
es la diferencia), contar hacia atrás hasta (contar hacia atrás desde el mi-
nuendo hasta alcanzar el substraendo, el número de pasos dados es el
resto), contar hacia delante desde (se cuenta desde el substraendo hasta
el minuendo, el número de pasos dados es la diferencia).
Datos numéricos recordados. Utilización de algún hecho numérico que co-
nozcan.
Estas estrategias no se enseñan ni se aprenden en la escuela, el niño las
elabora para resolver los problemas que encuentra en su medio y a ve-
ces las mantiene por encima de su aprendizaje escolar. Es conveniente
que el profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasión y para cada
niño su campo de utilidad.
MODELOS PARA LA SUMA
Son muchos los modelos posibles que se pueden considerar para cada
operación ya que son distintas las variables que pueden combinarse.
Por un lado están los distintos contextos numéricos; por otra parte hay
que considerar si el modelo es estático e incluye sólo estados, o es diná-
mico y comprende también operadores; el modelo puede ser gráfico o
físico y en cada uno de estos casos los materiales utilizados pueden va-
riar. A continuación vamos a describir algunos modelos gráficos.
El estudio de la adición y sustracción debe de realizarse en simulta-
neidad con el trabajo sistemático sobre los diferentes números, de
modo integrado. Cada número debe aparecer como un sistema integra-
do de relaciones y no como algo puramente estático. Así conocer 5 es
saber que 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 9 - 4 etc. En el estudio de cada número es
importante trabajar sobre expresiones gráficas que modelicen cada uno
de los contextos del número.
Modelos lineales
El primer modelo que vamos a considerar es la línea numérica. Según
Resnick (1983) la línea numérica es un esquema mental que integra la
sucesión de términos que sirven para contar, y que a su vez expresan el
cardinal, al menos con pequeñas cantidades que se perciben con un sólo
golpe de vista.
Estructura aditiva
31
La línea numérica suele estar bastante consolidada en preescolar y
se utiliza para realizar operaciones, como hemos descrito, o bien para
comparar directamente cantidades. Modelos físicos de línea numérica
son: plantillas, reglas numeradas, etc.
Modelos cardinales
Una segunda clase de modelos corresponde a los contextos cardinales,
y en ellos suelen aparecer los diagramas de la teoría de conjuntos. Estos
esquemas se pueden emplear con carácter estático no hay acción-, o
con carácter dinámico -la operación es el resultado de una acción. En el
primer caso se trata de esquemas en los que se expresa la relación par-
te/todo descrita bien por un conjunto dividido en dos partes disjuntas,
o bien, un conjunto en el que hay señalado un subconjunto y por com-
plementación se considera el otro.
Modelos con medidas
El contexto de medida tiene también varios modelos entre los que des-
tacan los modelos longitudinales como son las regletas de Cuisenaire o
bien modelos sobre otras magnitudes como la balanza para la compa-
ración de pesos. Con las regletas Cuisenaire se pueden hacer activida-
des aditivas como la construcción de trenes con dos o más regletas y
luego medir su totalidad con una única regleta; también se pueden ha-
cer actividades de sustracción como determinar el complemento de
una regleta respecto de otra mayor.
El modelo de la balanza parece especialmente adecuado para la
adición, y la situación de equilibrio de la balanza expresa la igualdad
entre los sumandos (cantidades colocadas en un brazo) y el resultado
(cantidad única colocada en el otro brazo). Existen varios modelos co-
merciales de balanza, algunos de los cuales hacen uso de la distancia a
la que se colocan los pesos del fiel mientras que otros sitúan los pesos
en ambos casos a distancias iguales, sin hacer uso del principio o ley
general de la balanza.
Modelos funcionales
Un último modelo es el modelo funcional u operatorio en el que se con-
sidera que el primer sumando (o el minuendo) es un estado inicial o de
partida, el segundo sumando (o el substraendo) es un operador o
Castro E., Rico L. y Castro E.
32
transformación de aumento/disminución que se realiza sobre el estado
inicial; el resultado, en cualquier caso, es el estado final. En este modelo
se supone que la operación es una máquina que transforma números en
otros números, mediante una ley determinada.
Así, en este modelo, la operación 2 + 5 = 7 se esquematiza por:
y la operación 7 - 5 = 2 se esquematiza por:
Supone una iniciación al concepto de función, y va a resultar de mucha
utilidad en operaciones posteriores.
EL ANÁLISIS DE CADA NÚMERO
Al estudiar cada número en concreto hay que trabajar con todas las su-
mas cuyo resultado sea ese número, por ejemplo, al estudiar el número
5 se debe de tener en cuenta que:
0 + 5 = 5; 1 + 4 = 5; 2 + 3 = 5;
3 + 2 = 5; 4 + 1 = 5; 5 + 0 = 5;
estas son las composiciones del número 5. También debe trabajarse la
composición mediante unidades: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
estado inicial operador estado final
estado inicial operador estado final
+52 7
-57 2
Estructura aditiva
33
Aquí nos estamos refiriendo sólo a la expresión simbólica de las
composiciones, pero éstas hay que comenzar a trabajarlas desde la ma-
nipulación, pasando por el relato, el modelo -en particular las repre-
sentaciones gráficas- hasta llegar a la simbolización. En todas estas
etapas hay problemas para resolver.
También hay que trabajar los desarrollos del número:
5 = 5 + 0; 5 = 4 + 1; 5 = 3 + 2; 5 = 4 + 1; 5 = 0 + y
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Los desarrollos tienen un interés destacado porque suponen un primer
paso en la inversión o reversibilidad piagetiana de las operaciones.
Si 3 + 2 = 5 resulta que 5 = 3 + 2: se puede volver al punto de partida.
De igual modo hay que estudiar todas las sentencias abiertas que
tengan 5 como resultado:
3 + ? = 5; ? + 2 = 5; 2 + 3 = ?, etc.
Con el mismo proceso: composición-desarrollo-sentencias abiertas se
trabajan todas las restas con minuendo el número estudiado, 5, en este
caso:
5 - 0 = 5; 5 - 1 = 4; 5 - 2 = 3; 5 - 3 = 2;
5 - 4 = 1; 5 - 5 = 0, etc.
RELACIONES ENTRE NÚMEROS
Se llega así a establecer la red completa de relaciones en las que está im-
plicado el número en cuestión. Estas relaciones se estudian en el nivel
más alto de abstracción: el simbólico. Por ello en cualquier momento
conviene realizar el camino de vuelta e inventar, dibujar o localizar si-
tuaciones que respondan a cada una de las expresiones simbólicas es-
tudiadas.
Hay otras relaciones entre números que también deben estudiarse:
Como 4 + 1 = 5, por eso 5 es el sucesor o siguiente a 4, va después
de 4.
Como 6 - 1 = 5, por eso 5 es el anterior a 6, va delante de 6.
Castro E., Rico L. y Castro E.
34
Además 5 es mayor que 0, 1, 2, 3 y 4 y también es menor que 6, 7, 8,
9, 10, etc. De nuevo estas relaciones se expresarán con situaciones reales
y se aplicarán en la Resolución de problemas.
APRENDIZAJE DE LOS HECHOS NUMÉRICOS.
LAS TABLAS
Cada una de las relaciones señaladas entre números se conoce como un
dato o hecho numérico. Uno de los objetivos usuales de la enseñanza
de la Aritmética es el aprendizaje por parte del niño de los hechos nu-
méricos básicos de cada una de las operaciones. Estos hechos suelen
disponerse en un cuadro de doble entrada en donde las filas y las co-
lumnas -para el caso de la suma- vienen señaladas de 0 a 9, y en el cruce
de cada fila se encuentra el resultado de sumar los dígitos correspon-
dientes. La memorización de estos resultados se llama “aprendizaje de
la tabla de sumar”, y va desde 0 + 0 hasta 9 + 9. En el caso de la tabla de
restar aparecen como datos básicos también desde 9 - 9 hasta 0 - 0, pero
no se incluyen aquellos casos en los que el minuendo sería menor que
el substraendo.
Las primeras investigaciones sobre adición y sustracción intentaron
ordenar la dificultad relativa de las 100 combinaciones numéricas bási-
cas para estas operaciones. La conclusión obtenida es que no hay orden
intrínseco de dificultad entre combinaciones numéricas; la dificultad es
relativa a muchas condiciones, la principal de las cuáles es el método de
enseñanza seguido. [Carpenter y Moser, 1983].
En términos generales, la dificultad aumenta cuando los números
son mayores. Si el sumando mayor aparece en primer lugar la suma re-
sulta más sencilla; dos sumandos pares combinan mejor que uno par y
otro impar; cuando los dos sumandos son iguales el resultado se man-
tiene más fácilmente en la memoria.
Todas estas causas permiten que el niño no necesite memorizar to-
dos los datos de la tabla, al menos en su comienzo, sino que utilice di-
ferentes estrategias para alcanzar un resultado, en donde jueguen otras
relaciones de la tabla.
Ya hemos comentado algunas estrategias para sumar y restar con-
tando, que el alumno conoce desde Preescolar; no conviene desalentar
Estructura aditiva
35
estas estrategias sino procurar que se perfeccionen y se empleen para
operar. No es conveniente exigir la memorización de las tablas. En el
caso de la suma y de la resta el aprendizaje se realiza sobre unos pocos
hechos básicos y la utilización de estrategias adecuadas. Sí conviene
que demos a nuestros alumnos un entrenamiento suficiente y no ruti-
nario.
ELABORACIÓN DE LA TABLA DE SUMAR
Aunque no es de uso frecuente la tabla de sumar, esta puede elaborarse
por los niños a partir del proceso de contar de la siguiente forma:
Se construye una tabla de doble entrada, en la primera fila y en la
primera columna se colocan los números de 0 a 9.
El proceso para rellenar la tabla puede hacerse por filas o por co-
lumnas pero en orden y siguiendo esta regla: cada fila comienza con el
mismo número que presenta ya escrito de haber hecho la primera co-
lumna y se continua siempre aumentando de uno en uno sea, contan-
do.
El uso de esta tabla se hace de la siguiente manera: para conocer cual
es el resultado de una suma cuyos sumandos son menores que 10 se
busca la unión de la fila y la columna encabezada por dichos suman-
dos; para sumandos mayores que diez hay que seguir el mismo proce-
dimiento dentro de las reglas propias del algoritmo.
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Castro E., Rico L. y Castro E.
36
Se puede utilizar también la tabla para conocer el resultado de
una diferencia de la siguiente manera: se localiza el minuendo en el in-
terior de la tabla de manera que el lugar que ocupa corresponda a la fila
encabezada por el substraendo, el número que encabeza la columna es
la diferencia.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VERBALES ADITIVOS
Se considera un problema matemático a toda situación que entrañe una
meta a lograr y en donde casi siempre existirá un obstáculo para alcan-
zar dicha meta. La situación es normalmente cuantitativa y casi siempre
se requieren técnicas matemáticas para su resolución pero es posible a
veces resolverlos por una deliberación caso de no conocer el algoritmo
necesario para tal ocasión.
Tradicionalmente en los programas de cálculo elemental los proble-
mas se introducen después del estudio de las operaciones y los algorit-
mos a aplicar para resolver dichos problemas pues se piensa en los
problemas como ejercicios sobre los que se aplican técnicas de cálculo
bien conocidas.
Actualmente se aconseja introducir los problemas a la vez que las
operaciones apropiadas para resolverlos, y esto por dos razones, consi-
dera Kamii: a) los niños construyen su conocimiento aritmético a partir
de la realidad. b) la investigación ha demostrado que los niños peque-
ños son capaces de resolver problemas, a veces, mejor que los que ya
han sido sometidos a un aprendizaje para tal efecto. Los problemas ver-
bales son fácilmente solucionados por los niños sin que haga falta una
enseñanza formal. Para estas ocasiones los problemas habrá que tomar-
los de la vida real de los niños y de su entorno propio.
Empezar el cálculo sin sentido para pasar después de estas téc-
nicas al mundo real, es contrario a lo que sabemos de la mane-
ra de pensar de los niños (...) si uno de los fines de la
enseñanza de la aritmética es capacitar a los niños para la re-
solución de problemas de la vida real hemos de animarles a
tratar con problemas desde el primer día de entrar en clase.
(Kamii, 1985).
Estructura aditiva
37
CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS
ADITIVOS SIMPLES
Problemas de estructura aditiva son aquellos que se resuelven con una
operación de suma o de resta. De ellos podemos hacer varias clasifica-
ciones dependiendo del tipo de variable que consideremos. Los pro-
blemas simbólicos de estructura aditiva variarán según la sentencia
abierta dada en el problema. Cambiando la incógnita se generan seis
sentencias abiertas para la suma y otras seis para la diferencia.
El estudio sobre la dificultad que presentan las diferentes sentencias ha
dado las siguientes conclusiones.
• Las sentencias canónicas de adición y sustracción (a + b
= ?, a - b = ?) presentan menos dificultad que las no canó-
nicas
• Las sentencias de sustracción son generalmente mas difí-
ciles que las de adición
• No hay diferencias notables entre las sentencias a +? = c,
? + b = c y a - ? = c en cuanto a dificultad
• La sentencia minuendo desconocido ? - b = c, es signifi-
cativamente más difícil que las otras cinco
• Las sentencias con la operación al lado derecho del signo
igual son significativamente más difíciles que las otras
Muchas de las dificultades que tienen los niños al resolver problemas
verbales de adición y sustracción se debe a su limitada comprensión de
las operaciones aritméticas con las que estos se resuelven. A menudo
no saben cuando se debe utilizar una de estas operaciones porque les
Tipos de sentencias abiertas
Para la suma Para la resta
a + b = ?
a +? = c
? + b = c
? = a + b
c = ? + b
c = a + b
a - b = ?
a -? = c
? - b = c
? = a - b
c =? - b
c = a -?
Castro E., Rico L. y Castro E.
38
falta el conocimiento específico referente a las variadas situaciones que
dan lugar a estas operaciones. Se les suele enseñar la adición solamente
como “poner juntos” y la sustracción como “quitar” a pesar de las otras
circunstancias que implican operaciones de sumar y de restar. Los ni-
ños necesitan recibir instrucción específica en diferentes situaciones si
queremos que consigna buenos resultados en la resolución de este tipo
de problemas verbales.
De aquí que consideremos de gran interés la clasificación de proble-
mas que realiza Nesher atendiendo a la estructura semántica de los mis-
mos. Cuatro categorías se pueden considerar en los problemas verbales
escolares que sugieren las operaciones de adición y substracción:
Categoría de cambio
La categoría de cambio en la que los problemas implican un incremen-
to o disminución de una cantidad inicial hasta crear una serie final. En
estos problemas hay implícita una acción. Intervienen tres cantidades,
una inicial, otra de cambio y una final. La cantidad desconocida puede
ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres tipos de problemas. El
cambio puede ser de aumento (cambio-unión) o de disminución (cam-
bio-separación) por lo que hay dos modalidades para cada uno de los
casos anteriores lo que hace un total de doce el número de problemas
de cambio que se pueden formular.
En todos los casos el cambio ocurre en el tiempo, la condición inicial
se da en un tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resul-
tado se alcanza en un tiempo T3. A continuación se presentan algunos
ejemplos.
La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas. Ana tenía 5 cro-
mos y compra 3 cromos más, ¿cuántos cromos tiene ahora? María tenía
9 cromos dio 5 a su amiga Pilar, ¿cuántos cromos le han quedado?
La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos, la incógnita en este
caso es la magnitud del cambio. Juan tiene 6 bolas y quiere comprar algu-
nas para tener 9, ¿cuántas bolas ha de comprar? Susana tiene 7 bolas, da
algunas a su primo y le quedan 4, ¿cuántas bolas da Susana a su primo?
Estructura aditiva
39
La incógnita es la magnitud inicial conociéndose la magnitud del cambio y el
resultado final. Ana tenía algunos lápices, su hermano le dio 4 y ahora
tiene 7, ¿cuántos lápices tenía Ana? Pepe tenía algunos lápices, dio 3 a
su hermano y le han quedado 4, ¿cuántos lápices tenía Pepe?
Categoría de combinación
La segunda categoría son los problemas de combinación o parte-parte-
todo. Hacen referencia a la relación que existe entre una colección y dos
subcolecciones disjuntas de la misma. La diferencia fundamental entre
estas dos categorías de problemas es que la combinación no implica ac-
ción. Un problema de combinación tiene tres cantidades relacionadas
lo que da lugar a dos tipos de problemas. Por ejemplo:
Conocer la colección total y una de las subcolecciones y desconocer la otra sub-
colección. Luis tiene 10 bloques, de ellos 3 son azules y el resto son ama-
rillos, ¿cuántos bloque amarillos tiene Luis?
Conocer las dos subcolecciones y desconocer la colección total. Irene tiene 4
bloques rojos y 5 azules, ¿cuántos bloques tiene Irene?’
Categoría de comparación
La tercera categoría, de comparación, implican una comparación entre
dos colecciones. La relación entre las cantidades se establece utilizando
los términos “más que”, “menos que”. Cada problema de comparación
tiene tres cantidades expresadas: Una cantidad de referencia, una can-
tidad comparativa y otra de diferencia. Hay seis tipos de problemas de
comparación. La cantidad desconocida puede ser la cantidad de refe-
rencia, la comparativa o la diferencia, para cada una de estas posibili-
dades la comparación puede hacerse de dos formas: la cantidad
comparada (más grande) es más que la cantidad de referencia (más pe-
queña), la cantidad comparada es menos que la de referencia. Por
ejemplo:
Referente y referido conocidos, se desconoce la comparación. Antonio tiene
6 galletas y Jaime 4 galletas, ¿cuántas galletas tiene Antonio más que
Jaime? Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3, ¿cuántas galletas tiene
Carlos menos que Jaime?
Castro E., Rico L. y Castro E.
40
Referente y comparación conocidos, se desconoce el referido. Ignacio tiene 5
caramelos y María tiene 3 caramelos más que él, ¿cuántos caramelos tie-
ne María? Nuria tiene 8 caramelos y Alberto tiene 4 caramelos menos
que ella, ¿cuántos caramelos tiene Alberto.
Referido y comparación conocidos, referente desconocido. Pilar tiene 3 galle-
tas, ella tiene 2 galletas más que Pedro, ¿cuántas galletas tiene Pedro?
Lola tiene 4 galletas y Jesús tiene 3 galletas menos que ella, ¿cuántas ga-
lletas tiene Jesús?
Categoría de igualación
Una cuarta categoría llamada de igualación puede considerarse “a ca-
ballo” entre las de cambio y comparación ya que se produce alguna ac-
ción relacionada con la comparación entre dos colecciones disjuntas.
Hay que responder qué hacer con una de colecciones para que presente
el mismo número de elementos que la otra. Por ejemplo:
La acción hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo caso se
tiene una separación-igualación. Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6,
para tener tantos globos como Cesar, ¿cuantos globos ha de romper
Carmen? Andrés tiene 5 globos y Tomás tiene unos cuantos, si Tomás
rompe 3 globos tendrá tantos como Andrés, ¿cuántos globos tiene To-
más? Lucía tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos, si Lucía rompe
4 globos tendrá el mismo número que Miguel, ¿cuántos globos tiene
Miguel?
La acción se realiza sobre la menor de las colecciones en este caso se tiene una
unión-igualación. Inés tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos, ¿cuántos
cromos tiene que ganar Pablo para tener tantos como Inés? Enrique tie-
ne 5 cromos y Elena tiene unos cuantos, si Elena gana 2 cromos tendrá
el mismo número que Enrique, ¿cuántos cromos tiene Elena? Margarita
tiene 6 cromos y Julián tiene unos cuantos, si Margarita gana dos cro-
mos tendrá tantos como Julián, ¿cuántos cromos tiene Margarita?
Estructura aditiva
41
DIFICULTADES DE APRENDIZAJE
Algunos de los resultados proporcionados por los estudios realizados
sobre dificultades en la resolución de problemas son:
• En los primeros niveles resultan más sencillos los proble-
mas, si se presentan con materiales, grabados o dibujos
• La longitud del enunciado, el número de oraciones, la
posición de la pregunta, son variables útiles para explicar
la dificultad del problema
• El tamaño de los números y la presencia del símbolo en
vez de números concretos incrementa la dificultad del
problema
• La relación entre el orden de aparición de los datos en el
enunciado y el orden en que deben de ser colocados a la
hora de realizar con ellos la operación necesaria para re-
solver el problema, es también una fuente de dificultad
Por lo que se refiere a los distintos clases de problemas verbales a los
que hemos hecho mención anteriormente Thompson y Hendickson
(1986) del examen de los distintos tipos de problemas y la observación
de cómo los niños los resuelven concluyen que hay problemas más di-
fíciles de resolver que otros. En general parece que la estructura inhe-
rente del problema es el factor crucial para determinar su dificultad.
Los problemas de combinación 1 son estructuralmente directos. Se
dan las dos colecciones. Los niños pueden contarlas separadamente,
después solamente deberán de volver a contar la colección entera para
determinar la solución del problema. O, dependiendo de la instrucción
que hayan recibido, podrán usar “todo” o “todo junto” para transfor-
marlo en un problema de cambio.
Los problemas de combinación no son directos. Las cantidades que
han de ser consideradas no están separadas una de otra. Los niños han
de tener un buen desarrollo de la comprensión parte-todo. Se da la co-
lección entera y una parte de la colección. Para resolver este tipo de
problemas los niños han de saber que la subcolección dada está dentro
de la colección mental o psíquicamente para separar la subcolección de
la colección completa y contar la otra subcolección. Este problema pue-
de ser transformado en un problema de cambio 2 por algunos niños.
Castro E., Rico L. y Castro E.
42
Otros niños lo transforman erróneamente en un problema de compara-
ción entre las dos subcolecciones.
En los problemas de comparación en los que se conoce la colección
mayor y la diferencia y se ha de determinar la colección menor como
por ejemplo “María tiene 7 lápices y Juan tiene 3 lápices menos que Ma-
ría ¿Cuantos lápices tiene Juan? Para resolver este problema si el niño
crea lo que está escrito, formará una colección de 7 lápices y le quitará
3 lo que le convertirá en un problema de cambio. En el caso de que el
problema sea “María tiene 5 caramelos, ella tiene tres más que Pepe.
¿Cuantos caramelos tiene Pepe? Para resolver este problema el niño ha
de utilizar una estructura cognitiva diferente para determinar el proce-
so a seguir. No se pueden agregar tres caramelos a los que se tienen
pues se desconoce cual es esta cantidad. El niño ha de comprender que
si la colección mayor es tres más que la menor, esta a su vez es tres me-
nos que la anterior, lo que exige un desarrollo de lo estructura cognitiva
denominada reversibilidad. Debe de entender que la expresión “x es
más que y” es equivalente a “y es menos que x”. Sólo de esta forma el
niño puede saber que quitando objetos a la colección mayor se da cum-
plimiento a la relación más que, esta reversibilidad capacita a algunos
niños a transformar los problemas de combinación 2 en problemas de
cambio 2.
Otro factor que afecta a los problemas de comparación es que la can-
tidad de referencia debe de ser construida mentalmente por el niño e
igualmente debe de sumarla o restarla mentalmente a la colección dada
para obtener la colección desconocida. Otra dificultad de los problemas
de comparación se debe al uso de las expresiones “más que” (que en
ocasiones se asocia con suma) y “menos que” (asociado en otras ocasio-
nes con resta).
Las investigaciones hasta ahora realizadas sobre las dificultades que
presentan los distintos tipos de problemas han determinado un orden
de dificultad para los mismos: de más fácil a más difícil.
1°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y la magnitud
del cambio son conocidas, y el ejemplo donde se conoce la co-
lección total y una de las subcolecciones y se desconoce la otra
subcolección.
2°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y el resultado del
cambio son conocidos y donde la incógnita en este caso es la
Estructura aditiva
43
magnitud del cambio, y los dos ejemplos donde el referente y
el referido son conocidos y se desconoce la comparación.
3°. Ver el ejemplo donde se conocen las dos subcolecciones y se
desconoce la colección total, los dos ejemplos donde la compa-
ración y el referido son conocidos y el referente es desconoci-
do, y los dos ejemplos donde la comparación y el referente son
conocidos, y donde se desconoce el referido.
TAREAS Y SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
PARA NIÑOS
Asegura Kamii que las situaciones de cada día y los juegos colectivos
proporcionan muchas oportunidades para que los niños piensen y re-
suelvan problemas.
“Hay muchos momentos en el desarrollo de la clase en los que se
puede plantear una votación o cualquier otra situación en cuya resolu-
ción interviene aspectos aritméticos, entonces hay que detenerse y dis-
cutir ya que los niños se encuentran emocionalmente implicados y su
mente es mas activa para el aprendizaje.” Asegura, que no creé que los
ejercicios repetitivos y mecánicos que se realizan en los cuadernos pro-
voquen una actividad mental tan rica, aunque no quiere esto decir que
los niños no aprendan a través de los cuadernos de ejercicios, sino que
el aprendizaje es de carácter distinto.
En su libro “El niño reinventa la Aritmética” presenta una serie de
situaciones cotidianas en las que analiza los aspectos numéricos que
contienen. Así por ejemplo situaciones de votaciones por distintas cau-
sas, control de asistencia a clase, control sobre el material utilizado en
un juego o actividad, distribución de un material, etc. Además de una
serie de juegos colectivos de entre ellos hemos tomado el siguiente.
Un niño piensa un número y sus compañeros han de adivinarlo. El
niño que ha pensado el número debe de escribirlo sus compañeros de
juego han de adivinarlo, para ello uno de los compañeros dice un nú-
mero y el que lo ha pensado responderá es mayor o menor. El niño que
consigna adivinar de que número se trataba será el encargado de pen-
sar otro número.
Castro E., Rico L. y Castro E.
44
JUEGOS
Disponemos de una colección de objetos, los niños han de conocerlos
bien, para ello se procederá a una etapa de juego libre, posteriormente
se pasará al juego que consiste en esconder varios objetos en la clase y
tratar de encontrarlos. Se pueden ir planteando preguntas sobre el nú-
mero de objetos encontrados el número de los mismos que falta por en-
contrar, introduciendo así a los niños en las nociones de suma y resta.
El juego de las canicas o los bolos se prestan también a planteamien-
tos de preguntas sobre cuantificación cuya respuesta por parte del niño
requiere que este resuelva un verdadero problema de estructura aditi-
va. Los juegos de cartas son útiles para el desarrollo del pensamiento
numérico. Estos pueden ser muy variados tanto por la cantidad de los
mismos que se pueden realizar como por el grado de complejidad de
los mismos. Como ejemplo tomamos el siguiente de Garzón y Martínez.
Se eligen las cartas de menor puntuación (del uno al siete) barajadas y
amontonadas en el centro de la mesa, cada jugador tomará una carta y
la pondrá boca arriba, el que saque la carta más alta se llevará todas las
demás.
Los juegos del dado y del dominó ayudan al niño a adquirir la ha-
bilidad de conocer los números que están representados en las caras
por la disposición que presentan los puntos sin necesidad de contar. La
variedad de ellos es también muy grande y las posibilidades también,
pues se pueden utilizar un solo dado o más de uno. Por ejemplo para
dos jugadores. Con dos dados y unas fichas para apostar, los dos juga-
dores tiran los dos dados gana el que sume mayor puntuación este jue-
go permite desarrollar gran cantidad de relaciones entre los números.
Así por ejemplo, si uno de los jugadores ha obtenido un tres y un cinco
y el otro un tres y un seis los niños llegan a darse cuenta que no es ne-
cesario contar ni sumar ya que tienen un sumando igual por tanto gana
el que tenga mayor el otro sumando.
3
Estructura multiplicativa
INTRODUCCIÓN
Al igual que en el caso de la suma y resta, el aprendizaje del producto
y la división es el comienzo de la construcción de una nueva estructura:
la estructura multiplicativa, que es una de la más ricas de la matemáti-
ca. Sin embargo existen algunas diferencias con respecto a la estructura
aditiva. Comenzar a trabajar en el producto y en la división exige que
el niño tenga un nivel de uso y dominio de los números, que conozca
su simbolización, todo ello en un grado más completo que en el caso de
la suma y la resta.
La adición y la sustracción se estudian con simultaneidad a la ad-
quisición del concepto de número. El producto y la división son opera-
ciones que necesitan un dominio previo de los números y de su
simbolización. La razón de esto la encontramos en el propio concepto
de cada operación. Multiplicar es reiterar una cantidad, en su nivel más
intuitivo. Los dos términos del producto responden a contextos dife-
rentes; uno de ellos es la cantidad que se repite – multiplicando–, y es
un número cardinal concreto, con objetos que se ven. El otro factor nos
dice las veces que se repite la cantidad inicial –multiplicador-, y es una
especie de cardinal de segundo orden o cardinal de cardinales, mucho
más abstracto que el anterior, y por eso mismo se debe simbolizar de
inmediato.
Castro E., Rico L. y Castro E.
46
Igual ocurre con la introducción a la división. Dividir es repartir una
cantidad en partes iguales. El dividendo es la cantidad a repartir, y se
trata usualmente de un número en contexto cardinal, expresado me-
diante objetos concretos. El divisor es el número de partes, también un
número cardinal, pero más abstracto, que de inmediato pasa a escribir-
se simbólicamente. Tanto en un caso como en el otro se utilizan dos ni-
veles diferentes de cardinación, y por ello es necesario utilizar los
signos numéricos propios casi desde el comienzo. Este es uno de los
motivos por los que se suele esperar al segundo año de escolaridad para
iniciar el estudio del producto y la división.
Hay una segunda razón de tipo práctico. Como el producto se pre-
senta como una suma reiterada, conviene tener un cierto dominio de
esta operación, que permita un cálculo más rápido en los productos.
Para no entorpecer la multiplicación con dificultades propias de la su-
ma, es por lo que se suele dejar uno o dos cursos de diferencia entre el
estudio de ambas operaciones. Así, los algoritmos y destrezas de la
suma habrán madurado lo suficiente como para permitir un comienzo
más firme y seguro en el producto.
MODELOS PARA EL PRODUCTO Y DIVISIÓN
Son muchos los modelos posibles para estudiar la multiplicación y di-
visión y, como ya hemos observado anteriormente, cada uno de los mo-
delos enfatiza un contexto particular del número.
Modelos lineales
En primer lugar podemos considerar modelos de recuento, en los que
se utiliza la línea numérica. Si la línea numérica tiene un soporte gráfi-
co, el producto n x a (“n veces a”) se modeliza formando un intervalo
de longitud a-unidades y contándolo n-veces:
Cuando la recta no tiene soporte material se cuenta sobre la suce-
sión numérica de a en a, hasta hacer n veces ese recuento. Esta destreza
se ha estimulado con trabajo previo sobre recuentos en la recta de 2 en
2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc.
El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrás
desde el dividendo, y de tanto en tanto, según indique el divisor. El nú-
Estructura multiplicativa
47
mero de pasos dados es el cociente. En este caso se cambia el modelo
usual de la división, ya que el divisor no es ahora el número de partes
que se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte. Si el divisor
es pequeño, 2 ó 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica,
su división en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así los
papeles del divisor y cociente. Pero la utilización más sencilla de este
modelo es como resta reiterada y contando hacia atrás, y no tanteando
los puntos en los que la longitud total del dividendo queda partida en
partes iguales.
Modelos cardinales
La segunda familia de modelos utiliza el contexto cardinal para repre-
sentar uno o los dos factores. Entre los tipos más utilizados tenemos:
• La unión repetida de conjuntos cardinales, usualmente
con los mismos objetos
• La distribución de objetos en un esquema rectangular.
Para ello se hace una fila con tantos objetos como nos in-
dica el multiplicando y se forman tantas filas como dice
el multiplicador. En este modelo cada uno de los factores
se puede reconocer en la representación
• Más formalizado que el caso anterior es la representación
mediante producto cartesiano de dos conjuntos. Así el
producto 2 x 3 se puede representar tomando un conjun-
to de 2 blusas y otro de 3 pantalones, y formar todos los
pares ordenados de blusa y pantalón, normalmente me-
diante un cuadro de doble entrada. El total de pares or-
denados nos da el resultado del producto 2 x 3
• La otra forma convencional de representar un producto
utilizando conjuntos es mediante un diagrama de fle-
chas. Se dibujan tantas flechas como puedan trazarse des-
de un conjunto al otro conjunto. Por ejemplo, de un
conjunto de 2 elementos a otro de 3 elementos nos da el
producto 2 x 3
En el caso de la división el modelo más usual es el de repartir en partes
iguales. Se tiene un conjunto con 12 elementos y se abren a partir de él
3 subconjuntos. Hay que repartir los elementos iniciales a partes igua-
les entre los tres subconjuntos, lo que toca a cada parte es el cociente.
Castro E., Rico L. y Castro E.
48
También se puede utilizar el modelo inverso: sobre el conjunto de 12
elementos, se van haciendo subconjuntos de 3 elementos hasta que to-
dos quedan distribuidos. En este caso el divisor es la cantidad que toca
a cada parte y el cociente el número de partes. Este modelo y el anterior
son iguales de sencillos de realizar, e incluso en este segundo caso se ne-
cesita una representación menos complicada. Sin embargo la idea intui-
tiva de reparto en partes iguales parece quedar mejor expresada en el
primer caso que en el segundo.
La distribución rectangular de un total de elementos, dados por el
dividendo, en tantas filas (o columnas) iguales como indique el divisor
es otro modelo adecuado. El cociente se determina contando el número
de columnas (o filas) obtenidas. En cada uno de estos casos los elemen-
tos sobrantes en el reparto o distribución dan el resto de la división.
Modelos con medida
Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modelo adecuado del
número como longitud. Para realizar un producto con regletas 2 x 3, por
ejemplo, se toman las regletas 2 y 3 respectivamente y se colocan en
cruz y a continuación se toman tantas regletas abajo como indique la
longitud de arriba, en este caso se toman dos regletas de tres, y ya po-
demos prescindir de la regleta superior cuya función era indicar cuan-
tas de tres había que tomar. El resto del proceso es el conocido: realizar
la suma de las dos regletas de tres.
• Con la balanza utilizamos el contexto número/medida/
peso
• Realizar un producto consiste en colocar tantas veces una
unidad de peso indicada (multiplicando) como veces nos
indique otro número (multiplicador)
• El resultado es el peso global en el otro platillo para equi-
librar la balanza
La división con estos dos materiales resulta muy sencilla. Consiste en
establecer la equivalencia entre una longitud o peso global (dividendo)
y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar varias veces hasta
conseguir dicho equilibrio. El número de veces en ambos casos se obtie-
ne contando y nos da el cociente.
Estructura multiplicativa
49
Modelos numéricos
Un cuarto tipo de modelos aparece cuando se considera en contexto es-
trictamente simbólico, y los números aparecen únicamente simboliza-
dos. En este caso el producto es una suma reiterada 3 x 4 = 3 veces 4 =
4 + 4 + 4. Esta idea subyace a muchos de los modelos en los que se em-
plea material o representaciones gráficas.
La división se interpreta como una resta reiterada 12: 4 consiste en
ver cuantas veces puede restarse 4 de 12, hasta llegar a 0, así:
12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0
de esta manera hemos conseguido restar 3 veces 4 de 12, luego 12: 4 = 3.
Pero también puede interpretarse como suma. En un problema pro-
puesto por nosotros a alumnos de 6º Nivel que decía: “Queremos re-
partir 2.000 Ptas. en monedas de 100 Ptas., ¿cuántas monedas
necesitaremos?” muchos niños hicieron sumas de sumandos 100 hasta
alcanzar 2.000.
Modelos de razón aritmética
Hay un quinto tipo de modelos en los que se abre un amplio campo de
aplicaciones a la estructura multiplicativa. Se trata de los modelos de
razón o comparación. En ellos hay que realizar la comparación de dos
conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”. El
caso más sencillo se da al comparar dos conjuntos disjuntos de objetos
discretos. Una técnica usual de comparación es establecer una corres-
pondencia de varios a uno que nos da el factor de conversión o compa-
ración.
Dentro de esta misma clase de modelos de razón podemos conside-
rar el que se fundamenta en la semejanza de triángulos y que puede
utilizarse con dos líneas numéricas convergentes. Si queremos realizar
el producto 3 x 4 tomamos sobre una de las rectas, por ejemplo, la ho-
rizontal, el valor 3. Sobre la otra señalamos el punto 1, que unimos me-
diante trazo con el 3 anterior. Sobre la segunda recta señalamos
también el punto 4 y trazamos por él una paralela a la que se trazó. El
Castro E., Rico L. y Castro E.
50
punto de corte con la recta horizontal señala el resultado del producto.
El Teorema de Thales nos justifica este resultado.
Modelos funcionales
Finalmente, nos queda una quinta familia de modelos: se trata de todos
aquellos casos en los que el producto aparece con carácter de función u
operador. De nuevo el caso más sencillo consiste en considerar cada
operación como una máquina-operador que transforma números-esta-
dos en números-estados. Así:
o bien:
Se suele decir que cada máquina es inversa de la otra.
LA TABLA DE MULTIPLICAR
El aprendizaje de la multiplicación debe llevar a la construcción de la
tabla de multiplicar. Para ello se va trabajando sistemáticamente con to-
dos los productos que tienen el mismo multiplicador, comenzando a
partir del 2: desde 2 x 1 hasta 2 x 9. Al principio no se utiliza el símbolo
x o el ., sino el término “veces”, que progresivamente se irá sustituyen-
do por el símbolo. Sea cual sea el modelo elegido para elaborar el con-
cepto de producto sí conviene utilizar la suma reiterada como
estado inicial operador estado final
estado inicial operador estado final
x43 12
:412 3
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  • 1. ESTRUCTURAS ARITMÉTICAS ELEMENTALES Y SU MODELIZACIÓN ENCARNACIÓN CASTRO LUIS RICO ENRIQUE CASTRO Bogotá, 1995 una empresa docente
  • 2. ii Primera edición, julio de 1995 Contenido ESTRUCTURAS ARITMÉTICAS ELEMENTALES Y SU MODELIZACIÓN Autores: Encarnación Castro, Luis Rico y Enrique Castro D. R. © 1995 una empresa docente ® & Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma algu- na o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico, de fotorreproducción, de almacena- miento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de "una empresa docente", del Grupo Editorial Iberoamérica y de los autores. Diseño carátula: una empresa docente® Grupo Editorial Iberoamérica, S.A. de C.V. Serapio Rendón 125. Col. San Rafael, 06470 México, D.F. Apartado 5-192, C.P. 06500 Tel. 705-05-85 Reg. CNIEM 1382 una empresa docente® Universidad de los Andes Cra. 1 Este # 18 A - 70 Apartado Aéreo 4976 Tel. (57-1) 284-9911 ext. 2717. Fax: 284-1890 Servidor WWW: http: //ued. uniandes. edu.co Bogotá. Colombia ISBN Impreso en México / Printed in Mexico
  • 3. iii Contenido 1. Adquisición del concepto de número 1 Introducción 1 Contextos numéricos 2 Contexto cardinal 3 Contexto de medida 4 Secuencia numérica 5 Aspecto cardinal del número 6 El proceso de contar 7 Puntos de vista sobre la acción de contar 8 Algunas investigaciones 9 Primer estadio de Schaeffer 11 Segundo estadio de Schaeffer 11 Tercer estadio de Schaeffer 12 Cuarto estadio de Schaeffer 12 Conclusiones de otros investigadores 12 Influencias en el currículo 13 Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos grupos de objetos 13 Comprensión global de los efectos de añadir objetos a un grupo o de quitar objetos de ese grupo 14 Capacidad para distinguir números de atributos como: disposición de color, tamaño 14 Comprender como funciona el sistema decimal 14 Aprendizaje de los símbolos 16 Consideraciones sobre el cero 17 Carácter operatorio de los números 17 Etapas en el aprendizaje de las operaciones 18 Las acciones 18
  • 4. iv Uso de modelos 19 Simbolización 19 Hechos numéricos y tablas 19 Algoritmos 19 Aplicación a la resolución de problemas 20 Resolución de problemas 20 Niveles de abstracción 22 Tipos de variables 24 2. Estructura aditiva 27 Introducción 27 Estrategias para sumar y restar 29 Para la suma 29 Para la resta 29 Modelos para la suma 30 Modelos lineales 30 Modelos cardinales 31 Modelos con medidas 31 Modelos funcionales 31 El análisis de cada número 32 Relaciones entre números 33 Aprendizaje de los hechos numéricos. Las tablas 34 Elaboración de la tabla de sumar 35 Resolución de problemas verbales aditivos 36 Clasificación de los problemas aditivos simples 37 Categoría de cambio 38 Categoría de combinación 39 Categoría de comparación 39 Categoría de igualación 40 Dificultades de aprendizaje 41
  • 5. v Tareas y situaciones problemáticas para niños 43 Juegos 44 3. Estructura multiplicativa 45 Introducción 45 Modelos para el producto y división 46 Modelos lineales 46 Modelos cardinales 47 Modelos con medida 48 Modelos numéricos 49 Modelos de razón aritmética 49 Modelos funcionales 50 La tabla de multiplicar 50 Iniciación a la división 51 Elaboración de la tabla de multiplicar 52 La estructura multiplicativa como campo conceptual 53 Clases de problemas de estructura multiplicativa 54 El ísomorfismo de medidas 54 El producto de medidas 57 Estructura multiplicativa y simetría 58 Enfoque de estructura de cantidades 59 Enfoque textual 61 Problemas que denomina “mapping rule” 61 Problemas de comparación multiplicativa 61 Problemas de multiplicación cartesiana 62 Modelos implícitos 62 Errores asociados a la estructura multiplicativa 63
  • 6. vi 4. Trabajo con patrones 65 Introducción 65 Conceptos a utilizar 67 Modelo 67 Símbolo 68 Patrón 70 Configuración puntual 71 Patrón de puntos 72 Números figurados 72 Número poligonal 72 Número piramidal 73 Números triangulares 73 Números cuadrados 75 Ejemplos de tareas 76 5. Referencias 81
  • 7. 1 Adquisición del concepto de número INTRODUCCIÓN Cuando al hablar se dice “tres”, o cualquier otra palabra numérica pa- rece que nos estamos refiriendo a una cuestión muy sencilla (quizá sea por la costumbre que tenemos de utilizarla), sin embargo un análisis cuidadoso de la cuestión nos hace ver que la expresión “tres” o cual- quiera otra expresión numérica encierran múltiples conceptos algunos de ellos complejos debido en parte a los distintos contextos en los que se utilizan los números. Vamos a tratar los distintos contextos numéricos y los procesos que siguen los niños en la adquisición de cada uno de ellos hasta llegar al concepto de número, en este tratamiento partimos de los siguientes su- puestos: Consideramos el aprendizaje del número como una base de apren- dizaje informal, sobre el que se van a apoyar los conceptos de Aritmé- tica formal que posteriormente el niño va a desarrollar. Estamos de acuerdo con Baroody cuando asegura que el aprendi- zaje informal es la base fundamental para comprender y aprender las matemáticas que se estudian en la escuela, ya que los niños tienden a
  • 8. Castro E. Rico L. y Castro E. 2 abordar la matemática formal en función de la matemática informal que conocen. Creemos que la etapa infantil es de enorme trascendencia para la educación matemática posterior del niño. En ella se van a formar los conceptos básicos o primarios y los primeros esquemas sobre los que, posteriormente, se construirá todo el aprendizaje. Si estos esquemas bá- sicos están mal formados o son frágiles, pueden llegar a impedir o a di- ficultar (en el mejor de los casos) el aprendizaje posterior. En la escuela infantil, el niño ha de ser encauzado para que evolu- cione hacia procesos más abstractos de pensamiento. Está demostrado que, desde pequeños, los niños son capaces de desarrollar métodos, a veces sofisticados, de contar y de resolver problemas sencillos. Cerramos este apartado con la siguiente cita de Montessori (1934). “Se ha repetido siempre que la Aritmética y en general la ciencia mate- mática, tiene en la educación el oficio importante de ordenar la mente juvenil, preparándola, con rigurosa disciplina, para ascender a las altu- ras de la abstracción”. Mas adelante añade: “El cálculo, después, no es sino una ulterior abreviación de la operación de contar”. CONTEXTOS NUMÉRICOS Las palabras numéricas se utilizan en distintos usos y contextos así: • Uso en la secuencia convencional numérica • Empleo de dicha secuencia para contar • Asociación de cada palabra con un símbolo • Utilización para indicar la numerosidad de un conjunto • Utilidad para indicar la posición relativa de los objetos • Función de código • En contexto de medida Según el uso, o el contexto, en el que se utilicen las palabras numéricas, tendrán un significado distinto. La secuencia. En un contexto de secuencia se emplean los números en su orden habitual (uno, dos, tres, cuatro,...) sin referirlos a ningún ente u objeto externo. Se suelen emplear las secuencias numéricas para conse- guir distintos propósitos, como pueden ser los de practicarla, cronome-
  • 9. Adquisición del concepto de número 3 trar el tiempo (por ejemplo, diciendo los números hasta 30 en el juego del escondite), atraer la atención de los demás, sugerir otros contextos numéricos (hallar el cardinal, el ordinal y la medida) y efectuar opera- ciones (sumar, restar, multiplicar y dividir). El recuento. En el contexto de contar, a diferencia del de secuencia, cada número se asocia con un elemento de un conjunto de objetos discretos. En la vida real ambos contextos están identificados con el contar. Más, para nuestras consideraciones importa resaltar esta diferencia, puesto que el contexto de contar conlleva el correcto empleo de la correspon- dencia biunívoca que a cada número asocia un objeto. En objetos que no estén fijados a una posición, la acción de indicar se puede sustituir por trasladar al objeto que se cuenta del montón de los no contados al de los contados. Contexto cardinal Un contexto cardinal es aquel en el que un número natural describe la cantidad de elementos de un conjunto bien definido de objetos discre- tos (aislados) o sucesos. Nuestro idioma, como muchos otros, dispone de palabras especia- les para indicar los cardinales en determinadas situaciones: duo, trío, cuarteto, etc. (en música); gemelos, trillizos, cuatrillizos, etc.; doble, tri- ple, cuádruple, etc.; par, terna, cuaterna, etc. Para hallar el cardinal de un conjunto se puede proceder de distin- tas formas. La primera es preguntar a alguien para que nos lo diga. En caso de que esta vía no sea posible o necesaria, nos vemos obligados a determinarlo por nosotros mismos, y dependiendo del tamaño del conjunto actuamos de cuatro formas distintas. • Si el tamaño se puede percibir “de una ojeada” (caso de los puntos del dominó) el número aparece en nuestra mente de forma instantánea. Esta forma de obtenerlo se llama subitización, derivado de la palabra latina subitus (súbito) • Para conjuntos más numerosos en los que nos falla la su- bitización empleamos el proceso de contar; el número con el que finalizamos el proceso de contar un conjunto determinado nos da su cardinal
  • 10. Castro E. Rico L. y Castro E. 4 • En los casos en que la aproximación numérica es suficien- te se suelen emplear técnicas de estimación (número de asistentes a una manifestación) • Y finalmente, si disponemos de la suficiente información adicional, el cardinal de un conjunto también podrá ha- llarse empleando con sentido las cuatro operaciones ele- mentales y sus propiedades (así, conocidos los cardinales de una partición de un conjunto, podemos hallar por suma el cardinal de éste) Hay situaciones en que sólo se necesita conocer el “tamaño” de un con- junto, y otras en las que comparamos los de dos conjuntos. Se trata en este caso de decidir si los “tamaños” son iguales, o si uno es mayor o menor que otro. La decisión se puede tomar: • Comparando perceptualmente los conjuntos • Estableciendo correspondencias biunívocas entre los ele- mentos de los dos conjuntos • Y contando los objetos y comparando los cardinales Contexto de medida En los contextos de medida los números describen la cantidad de uni- dades de alguna magnitud continua como longitud, superficie, volu- men, capacidad, peso, tiempo, etc. La magnitud se supone dividida en múltiplos de la unidad correspondiente y nos permite responder a la pregunta ¿Cuántas unidades hay?. La división puede estar ya hecha o no, por lo que las técnicas que usemos para determinar la medida esta- rán subordinadas a este hecho. Si la magnitud está dividida en múlti- plos de la unidad la situación es análoga a un contexto cardinal y podemos utilizar las mismas estrategias. Si no lo está, se requieren téc- nicas más complejas, específicas del tipo de magnitud. El proceso de di- visión puede requerir llenar la unidad (por ejemplo, en capacidad) o recubrir la cantidad que va a ser medida con unidades (por ejemplo, un área con el centímetro cuadrado) y además contar. Si solo tenemos una réplica de la unidad (por ejemplo un solo centímetro cuadrado) estos procedimientos de recubrir se tienen que sustituir por una reiteración de la unidad en la que, al mismo tiempo que la unidad se coloca correc- tamente, se tiene que ir contando.
  • 11. Adquisición del concepto de número 5 Se supone que, en un principio, el niño va aprendiendo estos térmi- nos numéricos como palabras que están asociadas a varios contextos distintos. Poco a poco, estos significados diferentes del término se van fusionando y darán lugar a un bloque, conformado por los distintos significados de la palabra. Este proceso le llevará a un niño, medio, cin- co o seis años de su vida. Parece que no hay duda de que es durante el período de la educa- ción infantil cuando se va desarrollando lentamente la noción de nú- mero y la escuela tiene influencia sobre los niños durante este período, por lo que los profesionales de la enseñanza han de estar preparados para ayudar a sus alumnos en este aprendizaje de manera que se lleve a cabo de forma significativa. Muchas investigaciones se han realizado sobre la noción de núme- ro y la forma en que los niños llegan a adquirir dicha noción. Los resul- tados de las mismas constituyen una valiosa aportación para la formación de los profesores, que las pueden tomar de guía y conseguir así un mejor desarrollo en el aprendizaje de sus alumnos. SECUENCIA NUMÉRICA Fuson y Hall (1980) establecen que de las primeras experiencias que los niños tienen con los números está la que surge del contacto con los tér- minos o palabras numéricas. Se trata de la sucesión convencional: uno, dos, tres... como palabras que en un primer momento no tiene por qué ser utilizadas para contar. Alrededor de los 6 o 7 años, el niño debe de dominar la sucesión hasta 100, correctamente, y lo conseguirá incorporando distintos tra- mos de la sucesión convencional. Alrededor de los cuatro años domina un primer tramo “uno, dos, tres, cuatro cinco” y tiene un segundo tra- mo de forma no convencional estable “cinco, ocho, nueve, doce” (por ejemplo) y un tercer tramo no convencional de forma no estable. Para lograr el dominio de la secuencia el niño recorre cinco niveles: Nivel Cuerda. La sucesión empieza en uno y los términos no están di- ferenciados.
  • 12. Castro E. Rico L. y Castro E. 6 Nivel Cadena Irrompible. La sucesión comienza en uno y los términos es- tán diferenciados. Nivel Cadena Rompible. La sucesión puede comenzar en un termino cualquiera. Nivel Cadena Numerable. Contar n términos desde a hasta b. Nivel Cadena Bidimensional. Desde un termino cualquiera, a, se puede recorrer la sucesión en ambas direcciones. Una vez alcanzado este nivel (en un tramo de la secuencia) es posible obtener relaciones entre estos números tales como: “después del núme- ro a viene el b”; “delante del número c está el d”; “antes de”, “después de”. El dominio de la secuencia permitirá utilizar el número en los de- más contextos. ASPECTO CARDINAL DEL NÚMERO El número tiene un contexto cardinal cuando se está indicando con él, la cantidad de elementos que tiene un conjunto. Los niños toman pron- to contacto con el cardinal del número. Para el termino dos, por ejem- plo, como muy tarde, cuando cumple dos años y se le indica con dos dedos mientras se le repite “dos años”; no obstante tendrá experiencias diferentes asociadas con el número dos en su contexto cardinal, cada una de ellas le aportará un significado distinto que posteriormente re- unidos darán lugar a un concepto de dos más general. Se considera un momento importante en el desarrollo del concepto de número aquel en que el niño descubre la cardinalidad: El último nú- mero que dice al contar un conjunto de objetos es el cardinal de ese con- junto. Se admite que un niño ha adquirido la regla de la cardinación cuando es capaz de realizar uno de estos comportamientos. • Responder inmediatamente a la pregunta ¿Cuántos hay? • Enfatizar la ultima palabra al contar los elementos de un conjunto • Repetir el último término al realizar un recuento
  • 13. Adquisición del concepto de número 7 Se supone que un niño no ha adquirido la regla, si comienza, a contar de nuevo cuando se le pregunta ¿Cuantos hay? La mayoría de los ni- ños, de desarrollo normal, son capaces de aplicar la regla de la cardina- lidad a la edad de 4 años. Se reconocen tres fases en la consolidación de la regla de cardinación. • Transición de contar a cardinal, en donde el ultimo tér- mino contado se convierte en el adecuado para el cardi- nal • Comprensión de que el cardinal puede estar asociado a un recuento • Integración de ambos significados: cada término obteni- do al contar lleva simultáneamente un sentido de cardi- nación EL PROCESO DE CONTAR Contar consiste en asignar cada uno de los nombres de los términos de la secuencia a un objeto de un conjunto. Se establece, en un principio un apareamiento término-objeto mediante la acción de señalar. La ac- ción de señalar interiorizada dará lugar al proceso de contar. Sobre los tres años, el niño toca, normalmente, los objetos con la mano mientras que los cuenta. Alrededor de los 5 años no necesita to- car los objetos sino que los señala en un principio con el dedo y poste- riormente con la mirada. De esta forma, en la acción de contar aparecen implicadas tres tipos de correspondencias. • Un apareamiento temporal del término con la acción de señalar • Un apareamiento entre la acción de señalar y un objeto concreto • Un apareamiento entre el término y el objeto Así, en la acción de señalar se crea una unidad espacio-temporal que conecta el objeto (que existe en el espacio) con la palabra (que existe en el tiempo). Se han llegado a determinar cinco principios lógicos implícitos en el proceso de contar que son los siguientes.
  • 14. Castro E. Rico L. y Castro E. 8 Principio de orden estable. Para contar, los términos de la secuencia se han de recitar, siempre, en el orden establecido. Principio de correspondencia. Al contar los elementos de un conjunto, ya hemos dicho, se va recitando la secuencia y a la vez, se van señalando los elementos del conjunto. Principio de biunivocidad. En el proceso anterior, no basta solo con esta- blecer una correspondencia entre palabra numérica y objeto, sino que dicha correspondencia ha de ser biunívoca. Esto supone que; a cada ele- mento del conjunto se le asignará una palabra numérica y recíproca- mente; cada palabra estará asociada con un elemento. Principio de cardinalidad. El último término obtenido, al contar todos los objetos de la colección, indica el número de objetos que tiene dicha co- lección. Principio de irrelevancia del orden. El cardinal de un conjunto, o sea, el número de elementos obtenidos al contar, no depende del orden en que estén dispuestos los elementos para contarlos. Principio de abstracción. Cualquier conjunto o colección de objetos es contable. Puede suceder que los elementos que forman el conjunto sean todos homogéneos (lápices), o que no lo sean (lápices y bolígrafos), en este último caso puede haber problemas, pues el resultado de contar habrá que expresarlo en una categoría superior que comprenda a las dos anteriores como subconjuntos (útiles para escribir). PUNTOS DE VISTA SOBRE LA ACCIÓN DE CONTAR Los investigadores no se ponen de acuerdo sobre la importancia que tiene el acto de contar en el desarrollo de la noción de número. Piaget y sus colaboradores dan poca importancia a la acción de con- tar en la construcción del número. Sostienen que dicha construcción se basa en los conceptos lógicos de seriación y clasificación y estos concep- tos pertenecen a un estadio algo avanzado del desarrollo del pensa-
  • 15. Adquisición del concepto de número 9 miento, el test de la conservación determinará si un niño ha llegado, o no, a ese estadio. El número se construye, según Piaget, mediante una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre los objetos por abstrac- ción reflexiva: el orden y la inclusión jerárquica de clases. El conocimiento del número, para esta teoría, está subordinado a la evolución del pensamiento lógico. Para contar significativamente, el niño ha de entender tareas como la conservación de cantidades y las equivalencias entre conjuntos establecidas mediante corresponden- cias biunívocas. Otros investigadores, entre los que se encuentran Gelman, Schae- ffer, Clements, aseguran que contar es esencial para el desarrollo de la comprensión del número y que la dificultad del niño para entender la conservación se debe, a que el niño no sabe contar. La enseñanza que se desarrolle teniendo en cuenta uno u otro de los dos puntos de vista anteriores será distinta. Los seguidores de la pri- mera teoría, propondrán al niño actividades que le ayuden en el desa- rrollo de sus capacidades lógicas y pospondrán las tareas de contar, ya que estas no tienen significado para el alumno. Los seguidores de la se- gunda teoría, por el contrario, piensan que es bueno centrar la atención en actividades que desarrollen técnicas específicas de contar y tareas que fomenten su aplicación. Así, para unos la enseñanza del número habrá de hacerse formalmente sobre una base lógica, para otros, habrá de hacerse de manera informal, contando. ALGUNAS INVESTIGACIONES Las investigaciones que Piaget, y sus discípulos, realizaron en este campo estaban montadas sobre tareas en las cuales el niño tenía que comparar conjuntos a través de correspondencias o formar conjuntos equivalentes a un dado (botellas y vasos, jarrones y flores, etc). Se iden- tificaron tres estadios examinando la ejecución de las tareas por niños. Estadio I(niños de edad entre 3,6 y 5,6 años). Hay una comparación glo- bal entre los conjuntos, no se forma la correspondencia biunívoca, ni hay equivalencia.
  • 16. Castro E. Rico L. y Castro E. 10 Estadio II (niños cuya edad estaba entre 4,6 a 6 años). Hay una correspon- dencia biunívoca, sin equivalencia perdurable. El niño obtiene una co- lección equivalente a la primera, pero piensa que una colección es mayor cuando se cambia de forma y adquiere mayor extensión. Estadio III (niños de edad entre 4,11 y 5,6 años). Crean colecciones equiva- lentes a las dadas y además están seguros de que el número no cambia, aunque cambie la posición de una de sus colecciones. Una de las conclusiones a las que llegan a partir de la hipótesis de que la construcción del número es una síntesis de las estructuras de agrupa- miento y de la inclusión de clases fue que no hay una construcción del número cardinal separadamente de la del número ordinal sino que am- bas se constituyen de manera indisociable, a partir de las clases y de las relaciones de orden que estará consolidada para los primeros números alrededor de los 7 u 8 años y posterior y progresivamente para el resto de la serie. Clements (citado por Van de Valle, 1988) realizó un estudio con ni- ños de 4 años y llega a la conclusión que las actividades de contar debi- damente estructuradas llevan al niño a mejorar su formación tanto en habilidades numéricas como en operaciones lógicas. Sus resultados fueron: • Niños entrenados en tareas lógicas ganan significativa- mente a niños que no han sido entrenados en estas opera- ciones • Niños entrenados en estrategias de contar ganan signifi- cativamente en test de criterios numéricos a niños que no habían sido entrenados • Niños entrenados en tareas lógicas, ganan poco en test de criterios numéricos a los que no habían sido entrenados • Niños entrenados en estrategias de contar ganan especta- cularmente en test de tareas lógicas a los que no habían sido entrenados Explica estos resultados en el hecho de que considera que todos los principios implícitos en la tarea de contar son operaciones lógicas. En la misma línea están Donalson, Gelman, Schaeffer. Este último, como re- sultado de sus investigaciones, divide en cuatro estadios el proceso de adquisición del número, cada uno de los cuales presenta unas caracte-
  • 17. Adquisición del concepto de número 11 rísticas propias, en cuanto al tipo de acciones que los niños son capaces de realizar. Las explicaciones que dan Gelman y Schaeffer sobre un mismo hecho, en algunos de los casos, son distintas. A continuación se describen los estadios de Schaeffer. Primer estadio de Schaeffer Edad de los niños, de 2 a 5 años. Se caracteriza porque los niños no son capaces de contar un conjunto de más de cinco objetos. Según Sche- affer, distinguen como diferente el número de objetos de dos conjuntos basándose en su configuración perceptual. Gelman, sin embargo, ase- gura que en este estadio el niño es capaz de reconocer colecciones pe- queñas de objetos contando. En su opinión los niños han captado el aspecto cardinal del número en colecciones muy pequeñas pero no dis- ponen de un aspecto ordinal implícito que le permita asignar una se- cuencia de nombres de números a una serie de objetos. En este estadio las tareas que los niños son capaces de realizar son: • Reconocer el número de elementos de un conjunto cuyo cardinal sea menor que cinco • Distinguir qué colección es mayor, en el caso que al me- nos una de ellas tenga menos de cinco elementos • Reconocer entre colecciones más amplias, relaciones de mayor y menor cuando los objetos están alineados y vea la existencia o no de correspondencias biunívocas Segundo estadio de Schaeffer Niños de 3,9 años. La edad de los niños es en algunos casos menor que la de los niños del estadio anterior. En este estadio los niños: • Saben contar correctamente cinco objetos dispuestos en fila • No aplican la regla de cardinalidad en la mitad de los ca- sos • Con números mayores el recuento no está dominado; co- meten errores en la separación de los elementos ya conta- dos o en la coordinación entre palabra y objeto • No se ha captado aún la conexión entre el proceso de re- cuento y su resultado, que es el último número recitado y que representa la numerosidad de la colección, ni que
  • 18. Castro E. Rico L. y Castro E. 12 dicho número es invariante frente al orden que presenten los elementos del conjunto • Para números pequeños, cuentan siempre la colección para dar el resultado, no subitizan. La explicación de Scheaffer a este hecho es que el recuento les da mayor se- guridad a no equivocarse. La de Gelman es que el niño to- davía no ha aprendido a reconocer grupos de configuraciones; esto ocurrirá cuando esté familiarizado con el número Tercer estadio de Schaeffer Niños de edad entre 3,3 y 5,3 años. En este estadio los niños: • Saben aplicar la regla de cardinalidad, pero todavía no co- nocen cuando un número es mayor que otro (ejemplo 7 mayor que 5) • Conectan el proceso de recuento con la regla de cardina- lidad • Los niños muestran mayor disposición para reconocer el número de elementos de una colección pequeña de obje- tos, sin contarlo Cuarto estadio de Schaeffer Niños de 5 a 5,11 años. Se caracteriza por la capacidad que presentan los niños para: • Reconocer el mayor de dos números • Contar sin cometer errores • Comparar el tamaño de dos colecciones En todas las descripciones de los estadios anteriores se supone que los conjuntos no sobrepasan los diez elementos. Conclusiones de otros investigadores Case, citado por Fuson y Hall, asegura que las tareas de contar dan al niño capacidad para aplicar el recuento automáticamente por lo que el niño se puede concentrar en otros aspectos y relaciones numéricas, como por ejemplo, establecer relaciones entre recuento y tamaño de una colección. Brianerd (citado por Dickson y col) asegura que la idea de ir emparejando los objetos de dos colecciones, con el fin de comparar
  • 19. Adquisición del concepto de número 13 sus tamaños, es un logro relativamente tardío. Want señala que el em- parejamiento biunívoco y las destrezas de recuento se desarrollan si- multáneamente. Hay varias consecuencias de estos estudios: los niños, a las cinco años, poseen una comprensión adecuada y operativa de los diez pri- meros números naturales, al menos en su forma oral; el conocimiento oral da suficiente capacidad para resolver problemas aritméticos sen- cillos expuestos oralmente; y es muy importante el papel del recuento para adquirir las nociones de cardinalidad y ordinalidad del número. Las conclusiones de las investigaciones citadas nos dan idea de la cantidad de dificultades con las que tropieza el niño en su camino hacia la comprensión de la idea de número. Se detecta (como señalan Dikson y col., 1991) que en los últimos años se ha concedido una excesiva im- portancia a las correspondencias biunívocas en el aprendizaje infantil, en detrimento de uso de la práctica de contar. INFLUENCIAS EN EL CURRÍCULO En línea con la Escuela de Ginebra, en el Informe Piagetiano editado por el M.E.C. en 1987, se hace un listado de las capacidades que un niño debe de adquirir en relación con el concepto de número y las tareas que los mismos pueden desarrollar para conseguirlas. A continuación las enumeramos. Capacidad para hacer comparaciones cuantitativas entre dos grupos de objetos Se caracteriza por: • Comparaciones brutas, mucho comparado con poco, comparado con la misma cantidad • Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos de cinco a diez elementos en correspondencia provocada de uno a uno • Hacer comparaciones exactas, colocando dos grupos de cinco a diez objetos en correspondencia no provocada de uno a uno. En este caso, los grupos de objetos no van jun- tos, necesariamente
  • 20. Castro E. Rico L. y Castro E. 14 Comprensión global de los efectos de añadir objetos a un grupo o de quitar objetos de ese grupo A nivel de esta tarea se comprende que: • Añadir objetos a una colección aumenta su número (lo hace mas) de modo que si se cuentan los números llega- mos a un número mas alto • Si se quitan objetos de un grupo reduce el número (lo hace menos) Capacidad para distinguir números de atributos como: disposición de color, tamaño Esto permite al niño conservar el número, es decir, el número permane- ce igual a pesar de cambios perceptivos. Esto es aplicable tanto a condi- ciones de identidad (realizando cambios dentro de un solo grupo) como a condiciones de equivalencia (involucrando cambios en un gru- po cuando para empezar, hubo varios grupos equivalentes. • Identidad I. El número de objetos de un grupo que se ha modificado, puede ser reestablecido cuando se vuelvan a colocar los objetos en su forma original. Un niño que se de cuenta de esto no tiene por qué darse cuenta que el núme- ro ha permanecido invariable todo el tiempo • Identidad II. El número de objetos es el mismo incluso cuando se modifique la disposición original y no se vuel- va a restablecer • Equivalencia I. El número de objetos en colecciones equi- valentes permanece igual cuando se construye la corres- pondencia destruida • Equivalencia II. El número de objetos en grupos equivalen- tes permanece igual cuando ya no exista una correspon- dencia “uno a uno”. El niño no tiene la necesidad de reconstruir la correspondencia Comprender como funciona el sistema decimal Se caracteriza por: • Saber contar de uno a veinte en secuencia • Sumar uno a cualquier número da el siguiente • Todos los números menores que uno determinado, están incluidos en ese número. Si tienen cuatro canicas, es cierto
  • 21. Adquisición del concepto de número 15 que tienen dos canicas. Para darse cuenta de esta propie- dad es necesario saber que cuando señala un objeto y di- cen “siete” están identificando a todo el grupo de objetos. El señalado es solamente es, solamente, el séptimo objeto contado Complementarias a estas actividades hay otras tareas que ayudan al niño en su proceso de adquisición del número. A continuación propo- nemos una serie de actividades para desarrollar la capacidad de contar y la utilización de números para representar una cantidad. (de Robert Robinson, 1989). • Alumnos y profesor con los brazos levantados, empezan- do por la izquierda, doblar atrás cada dedo mientras se dicen los números • Cuando el alumno está contando junto con el profesor, dejarle contar solo mientras el profesor dobla los dedos • Invertir los papeles. El niño contará los dedos del profe- sor • Batir palmas y contar a la vez, marchar y contar a la vez • El profesor empieza a contar, llegado un momento se para y señala a un niño para que diga el número siguien- te. Sigue contando y repite la operación con otro niño • Con un recipiente de metal y objetos que suenen al caer: Dejar caer los objetos en el recipiente, de uno en uno, e ir contando a medida que estos suenen • Se hace rebotar una pelota y se va contando cada bote. Otra posibilidad es tratar de adivinar el número de botes que va a dar • Se hace rebotar la pelota y se le pide a un niño que bata tantas palmas como botes haya dado la pelota • Los niños escuchan mientras el profesor bate palmas, después se les piden que digan cuantas palmadas se han dado • Y tareas en donde se familiarice el signo con el nombre de los números tales como inventar un teatro o cuento para escenificar en donde los personajes sean los números. La puesta en escena se puede hacer colocando a un grupo de niños pegatinas de números en las manos el profesor va
  • 22. Castro E. Rico L. y Castro E. 16 narrando el teatro, o cuento, y los niños sacarán la mano adecuada en el momento que le corresponda APRENDIZAJE DE LOS SÍMBOLOS Dada la complejidad que supone leer y escribir los signos de los núme- ros, se aconseja que su aprendizaje se inicie al comenzar el período de enseñanza primaria. No obstante hay niños que ya a los cinco años son capaces de leer y escribir signos numéricos por lo que vamos a dar al- gunas ideas que consideramos de interés en este proceso. La habilidad de escribir cifras, al igual que la de escribir letras, es una destreza que requiere una maduración del sistema motor y una coordinación entre la vista y el movimiento de la mano. En algunos individuos existe des- coordinación entre estas dos destrezas por lo que se requerirá más adiestramiento en una de ellas para conseguir su dominio. Las siguientes actividades pueden facilitar la coordinación entre la vista y la mano: • Pintar con los dedos siguiendo un camino • Alinear objetos sobre una marca • Recorrer con el dedo las plantillas de las cifras • Dibujar las cifras sobre algún material continuo (ejemplo arena) o en el aire • Moldear las cifras con plastilina o arcilla No debemos pensar que este es un aprendizaje matemático ya que la habilidad para escribir cifras no tiene nada que ver con la capacidad para comprender su valor y utilizarlas correctamente, así mismo, la in- capacidad para escribir un número no debe confundirse con la incapa- cidad para comprender las matemáticas. La numeración y los cálculos son, ante todo, una manera de codifi- car y comunicar información resumida por lo que requiere gran impor- tancia el que dicha escritura sea legible, esto obliga a cuidar el dominio de las técnicas de preescritura necesarias para conseguir el éxito. Entre estas técnicas podemos señalar: • Coger el lápiz correctamente • Colocar el papel de forma adecuada • Copiar de un modelo, etc.
  • 23. Adquisición del concepto de número 17 Una vez que los niños comienzan a realizar preescritura de números se hace necesario una gran atención con objeto de corregir los malos há- bitos, si se producen, antes de que lleguen a estar consolidados. CONSIDERACIONES SOBRE EL CERO El número cero fue la última cifra que se incorporó a nuestro sistema de numeración. Durante mucho tiempo se pensó que los números ex- presaban la esencia de lo existente, por ello lo que “no es” no puede ser expresado de aquí que para el cero no se tuviera ninguna razón que im- pulsara su aparición. Esto nos puede dar idea de la dificultad, de tipo lógico, que su aprendizaje representa para el niño. Otro motivo que au- menta dicha dificultad es que no tiene significado en la mayoría de los contextos numéricos, veamos. • En la secuencia numérica, no se suele comenzar por el cero • En el recuento, lo usual es empezar a contar desde el uno • El contexto cardinal es el único que lo contempla al con- siderarlo como cardinal del conjunto vacío • En el contexto de medida no tiene sentido hablar de una medida cero Sin embargo, hay un contexto en donde resulta muy gráfico hablar de cero, la calificación de cero dada a algo indica su falta de valor. Estas consideraciones hemos de tenerlas en cuenta en la enseñanza del cero para el que el contexto cardinal y la ausencia de objetos puede facilitar su introducción e incorporación al resto de los números. CARÁCTER OPERATORIO DE LOS NÚMEROS El interés por expresar numéricamente distintas situaciones o contex- tos no se agota con la simbolización de las cantidades mediante núme- ros pues la Aritmética surgió junto a un sistema de numeración para satisfacer necesidades primordiales y no sólo de recuento sino también operatorias; con los números no sólo se simbolizan cantidades, tam- bién las acciones, relaciones y transformaciones cuantitativas, que pue-
  • 24. Castro E. Rico L. y Castro E. 18 den realizarse sobre los objetos tienen un reflejo en las operaciones numéricas. El interés del carácter operatorio del número presenta un doble ver- tiente. En primer lugar el número representa simbólicamente determi- nadas características del mundo real, en particular la cantidad, el orden y la medida, según hemos visto. Sobre los objetos reales y relacionado con la cantidad, hay acciones básicas: agregar, separar, reiterar, repar- tir, que expresan multitud de transformaciones con los objetos. Tam- bién entre los objetos se pueden establecer relaciones como comparar, igualar, determinar las veces que uno abarca al otro, etc. Se trata de ope- raciones en el sentido físico del término, pero también en el sentido psi- cológico en cuanto conjunto de situaciones coordinadas y reversibles. Este cúmulo de acciones del mundo real tiene su expresión simbóli- ca correspondiente en las operaciones numéricas básicas: suma, resta, producto y división. Las operaciones numéricas son las que dan poten- cialidad al número: sin ellas, dice Vergnaud, el concepto de número po- dría no existir. En segundo lugar, las operaciones establecen una red de conexiones entre los distintos números dando lugar a un sistema de relaciones in- terno dentro del conjunto de los números y dotándole de una estructura respecto de dichas operaciones fundamentalmente de la adición y de la multiplicación y sus operaciones inversas la sustracción y la división. ETAPAS EN EL APRENDIZAJE DE LAS OPERACIONES En el proceso de aprendizaje de las operaciones se distinguen varias etapas. Las acciones En primer lugar hay que considerar las acciones y transformaciones que se realizan en los distintos contextos numéricos considerando aquellos que presentan rasgos comunes y que darán lugar a un concep- to operatorio, según la idea de Piaget de considerar las operaciones mentales como acciones interiorizadas.
  • 25. Adquisición del concepto de número 19 Uso de modelos En segundo lugar al abstraer las diferentes relaciones y transformacio- nes que ocurren en los contextos numéricos aparecen diferentes esque- mas o ilustraciones, surgen lo que se denominan modelos. “una operación puede ser caracterizada como la colección de todos los mo- delos a los que representa” (Vest, 1969). Cada operación tiene sus pro- pios modelos que ponen de manifiesto los contextos generales del número y la peculiaridad de cada operación. Simbolización La utilización de los modelos da paso a un nivel más alto de abstrac- ción en el nivel operatorio y es la expresión simbólica de la operación; la notación simbólica de una operación, como por ejemplo 3+2=5, re- presenta todos los modelos y todas las situaciones que puedan imagi- narse en las que se reunan 3 y 2 elementos. La simbolización constituye una tercera etapa del aprendizaje de las operaciones. Hechos numéricos y tablas Usualmente se conocen dos números y la relación entre ellos y es nece- sario hallar un tercero realizando la operación. El número que corres- ponde hallar en cada caso se le llama conocer un dato o hecho numérico, en el caso de 3+2 el hecho numérico es conocer que el resul- tado es 5. La cuarta etapa es el aprendizaje, memorístico o no, de los he- chos numéricos esenciales en cada operación. Esto usualmente se hace mediante el descubrimiento, invención y empleo de una serie de des- trezas básicas y la memorización de algunos datos destacados, nunca es posible aprenderlos todos, cuya expresión canónica es la tabla de cada operación. Algoritmos La quinta etapa es aquella en la que el conocimiento de los hechos nu- méricos, unas pocas destrezas y reglas básicas permiten calcular el re- sultado de la operación con dos números cualesquiera. Es la etapa de adquisición del algoritmo correspondiente. La utilidad del algoritmo en la realización de una operación radica en la simplificación que se hace de la misma sobre todo en aquellos ca- sos en los que la operación es compleja debido a la magnitud de los nú-
  • 26. Castro E. Rico L. y Castro E. 20 meros; esto es debido a las propiedades que caracterizan a los algoritmos, que son: Nitidez. Gracias a esta propiedad la realización del algoritmo se trans- forma en un proceso mecánico. Eficacia. Conduce a los resultados deseados mediante un número finito de pasos, suficientemente simples. Universalidad. El mismo algoritmo se aplica a todas las situaciones de una misma clase. Aplicación a la resolución de problemas En sexto lugar aparecen las aplicaciones de las operaciones a la resolu- ción de problemas. El hecho de colocar los problemas en la sexta etapa no quiere decir que los alumnos no puedan resolver problemas antes de pasar por todas las etapas anteriormente descritas, de hecho hay auto- res que señalan que la resolución de problemas hay que trabajarla des- de la etapa de la acción. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Según Lester un problema es una tarea para la cual: • El individuo o grupo se que se enfrenta a ella quiere o ne- cesita encontrar una solución • No hay un procedimiento fácilmente accesible que garan- tice o determine completamente la solución • Y el individuo o grupo debe de hacer un intento para en- contrar la solución Estas tres componentes tienen implicaciones especiales para la instruc- ción matemática. Elegir los problemas más inteligentes no es producti- vo si los estudiantes no están interesados o no quieren intentar resolverlos. La segunda componente requiere el fracaso inicial por par- te de los estudiantes, al menos en el sentido de que el recuerdo de he- chos o la aplicación de un algoritmo de cálculo previamente aprendido no de la solución. Desgraciadamente muchos de nuestros profesores
  • 27. Adquisición del concepto de número 21 tienen la idea de que el fracaso perjudica la confianza de los alumnos, consideramos con Lester la importancia que tiene el que los profesores comprendan que algo de fracaso no es solamente una buena cosa sino parte necesaria de la resolución de problemas. El estudiante puede no encontrar la solución inmediatamente, aunque dicha solución pueda estar al alcance de la mano. Los alumnos no deben de ser conducidos a creer que si una tarea no puede hacerse fácilmente entonces no puede hacerse en absoluto. Investigaciones centradas en el resolutor han dado como conse- cuencia algunas diferencias entre buenos y malos resolutores de pro- blemas, así Dodson identificó características discriminantes del éxito en la resolución de problemas e indica que los buenos resolutores son superiores respecto a la competencia matemática, habilidad para el ra- zonamiento verbal y general, habilidad espacial, actitud positiva, resis- tencia a la distracción, ámbito de independencia y pensamiento divergente. Por su parte Krutetskii sostiene que los buenos resolutores de problemas son superiores a los malos en su habilidad para percibir la estructura matemática de un problema y generalizar situaciones que presentan una estructura similar. La habilidad para resolver problemas no puede enseñarse, pero puede desarrollarse resolviendo problemas, no hay ninguna duda que la habilidad de resolución de problemas aumenta con la práctica. Wheatley indica que una buena disposición para resolver proble- mas se puede alcanzar dentro del marco de la escuela, para lo que se- ñala las siguientes recomendaciones: • Crear una atmósfera propicia para la exploración, ya que los alumnos responden de forma positiva • Fomentar posturas de interés y desafío hacia la explora- ción de problemas orales. Trabajando en grupo, presen- tando los problemas a través de material, relacionando los problemas con el juego, etc. • Presentar situaciones problemáticas variadas. Situacio- nes que den al niño posibilidad de observar, describir, clasificar, ordenar, comparar, conjeturar, preguntar o realizar una representación deberán de formar las bases de un buen desarrollo mental • Animar a los niños a desarrollar estrategias de resolución de problemas. Utilización de modelos, conjeturas y prue-
  • 28. Castro E. Rico L. y Castro E. 22 bas, ordenación de los datos y/o representación de los mismos • Dar importancia a la actividad de contar y a la formación de patrones • Facilitar a los niños material manipulativo. El material proporciona modelos que ayudan a la resolución de pro- blemas de forma concreta, poco a poco se realizará el paso desde la manipulación y asociación de actividades menta- les hasta la abstracción • Fomentar la interacción entre los niños. El aprendizaje se consigue por el intercambio de ideas en un grupo, favore- ciéndose así mismo el paso del egocentrismo al respeto del punto de vista del otro Niveles de abstracción En relación con la resolución de problemas aritméticos elementales nu- merosos autores han puesto de manifiesto la relevancia de diferentes factores intervinientes. Riley y otros (1983) diferencian entre factores globales y factores específicos, refiriéndose estos últimos a las caracte- rísticas estructurales de las oraciones de los problemas, a la habilidad lectora, a la repercusión del método de instrucción seguido y, sobre todo a la presencia de ayuda en el momento de dar solución a un pro- blema. Con respecto a la influencia de las ayudas, dichos autores consi- deran que la presencia de objetos manipulables conduce a una mejora en la ejecución de los niños, siendo incluso necesaria en algunos casos. Otros investigadores ponen de manifiesto el efecto facilitador de la presencia de ayudas (como fichas, bloques etc.) durante la resolución de problemas, tanto si se manipulan como cuando se trata de una mera observación de los mismos. Quizá la incidencia de la presencia de obje- tos en la resolución de problemas aritméticos elementales sea más no- table en la etapa prenumérica, durante la cual se hace patente la necesidad de apoyos externos de representación. Fucson (1986) considera que la utilización simultánea de materiales concretos resulta bastante efectiva en la instrucción de la estrategia de contar a partir de un sumando, el manejo de los materiales parece orga- nizar el conocimiento de algunos niños y facilitar el cambio hacia la es- trategia más avanzada de contar a partir de uno de los sumandos.
  • 29. Adquisición del concepto de número 23 Generalmente se consideran tres niveles en el proceso que siguen los niños hasta llegar a la abstracción en la resolución de problemas. Nivel conceptual Es el nivel más primitivo, es aquel en el que los niños modelan comple- tamente la acción o las relaciones que se dan en el problema usando ob- jetos físicos o dedos. En este nivel se caracteriza por el uso de materiales concretos y descripciones verbales. Por ejemplo, con una situación de “quitar”, un niño cuenta en voz baja una colección de objetos y los coloca debajo de un recipiente, a continuación saca de debajo del recipiente y desplaza algunos objetos para que un compañero vea lo que ha sacado. El segundo niño ha de describir verbalmente la acción realizada por el primero así como el re- sultado de la misma. Puede ser “tu has puesto cinco bolas debajo de tu pañuelo y después has sacado tres, por lo que debajo del pañuelo que- dan dos bolas”. El primer niño retira el pañuelo y se verificará la res- puesta. Nivel de conexión En este nivel se siguen utilizando materiales concretos y descripciones verbales, pero además se van introduciendo los símbolos escritos co- rrespondientes. Los niños tenderán a no representar físicamente las cantidades descritas en el problema y, poco a poco, serán capaces de realizar la operación de recuento por sí sola. En la situación de juego descrita anteriormente uno de los niños ha de crear la sentencia numérica correspondiente a la situación utilizan- do algún tipo de material como pueden ser tarjetas en las que aparez- can los números y los signos implicados en el problema. Posteriormente se creará la sentencia numérica escribiéndola sobre el papel. Nivel abstracto En este tercer nivel las técnicas de recuento han dado paso a la utiliza- ción de los algoritmos para llegar a la solución del problema. Se pre- senta una sentencia numérica como 5-3 = ( ) y se les anima a que piensen y describan acciones asociadas a la misma.
  • 30. Castro E. Rico L. y Castro E. 24 Tipos de variables La dificultad que pueden plantear los problemas aritméticos va más allá de cual sea la operación que los resuelve. Una resolución adecuada de los problemas aritméticos está condicionada por un gran número de variables, que se pueden clasificar en tres grupos: variables según la in- formación en que se sitúa el problema, según la pregunta que se plantea y según la operación que lo resuelve. Según la información que proporcionan Transmisión de la información. Acción, representación, expresión verbal y expresión simbólica. Datos numéricos de la información. Contándolos o midiendo, expresión simbólica o verbal, números o resultados de medidas, tipos de números (N, Z, Q, etc.), tamaño de los datos, orden en que aparecen los datos e inclusión o no de datos superfluos. Relación entre los datos de la información. Relación explícita o tácita, rela- ción por descripción o acción, relación de tipo lógico (unión, intersec- ción, etc.) y encadenados o independientes. Contexto de información. Situación más o menos real, estilo de la redac- ción, extensión, connotaciones que pueda implicar participación o no de los individuos en su obtención y vocabulario. Según la pregunta planteada Tipo de información que se pide. Dato exacto o aproximado, gráfica de da- tos o dato de un gráfico, elección de entre varias respuestas, relación en- tre los datos y acción para conseguir un objetivo. Estructura de la pregunta. Combinación (relación estática entre los da- tos), cambio (relación dinámica), comparación (cuanto más, etc.), igua- lación (cuanto falta para, etc.) y tasa (en problemas de estructura multiplicativa). Posición y extensión de la pregunta. Situación dentro del enunciado, ex- tensión (todo o parte del enunciado) y única o varias dirigidas a una cuestión final.
  • 31. Adquisición del concepto de número 25 Sentido de la pregunta. Si la pregunta está dentro de las cuestiones que el individuo puede presentarse, si la pregunta da o no respuesta a una necesidad real y si el dato que se obtenga se integra o no de modo co- herente en el contexto informativo. Según la operación que lo resuelve Operaciones implicadas. Operaciones para cambio de unidades, opera- ciones para obtener el resultado, algoritmos empleados (o calculado- ra), cálculo mental y conveniencia o no del redondeo de los datos. Conjunto numérico. Conjunto donde se realizan las operaciones, sub- conjunto dentro del cual aparecen los datos, pertenencia o no del resul- tado al mismo subconjunto que los datos y empleo o no de un único sistema de símbolos. Sentencia abierta que proporciona el resultado. Tipo de sentencia (a+b=?, a+?=c, etc.), número de sentencias, orden y resolución de las senten- cias, sentencias complejas y posibilidad de que varias sentencias pro- duzcan el mismo resultado. Recursos auxiliares. Empleo de material, apoyo gráfico, empleo o elabo- ración de tablas o esquemas, consideración de estructuras implícitas (por ejemplo, proporcionalidad), empleo de fórmulas, tanteo del resul- tado y verificación de resultados. Todo lo expuesto en este punto hace referencia a los problemas aritmé- ticos escolares de los que Nesher critica el hecho de no estar dados en lenguaje ordinario y no tener relación con las experiencias de los niños. Son estereotipados en su estilo y en su interpretación semántica y des- criben objetos y acontecimientos que no tienen ninguna realidad ni pa- recido con el mundo real, esto es debido, según la autora a la necesidad de dar toda la información requerida y la tendencia a elaborar un texto tan abreviado como sea posible; lo que da lugar a un texto lacónico, conciso y que en muchos casos emplea estructuras sintácticas muy di- fíciles.
  • 33. 2 Estructura aditiva INTRODUCCIÓN La estructura aditiva, de la que la suma y la resta son sus representa- ciones más sencillas, subyace (según Carpenter y Moser) en gran nú- mero de conceptos matemáticos, y su desarrollo en el niño ocupa un extenso período de tiempo ya que ha de cubrir la transición desde los recuentos informales y las estrategias propias que los niños realizan al margen de su instrucción hasta el uso de datos numéricos memoriza- dos y los algoritmos formales de la adición y sustracción. Este es un pe- ríodo crítico para el aprendizaje de las matemáticas por los niños y se creé que algunas de las dificultades posteriores en matemáticas tienen su origen en la deficiente instrucción inicial de la suma y la resta. Según Piaget, los conceptos más elementales del número no están completamente desarrollados en los niños antes de los 7 años de edad (aproximadamente) aún cuando los conceptos de adición y substrac- ción, que suponen conocimientos de conceptos numéricos básicos em- piecen a la edad de 6 años. Muy pronto los niños entienden que la secuencia numérica se puede utilizar para realizar operaciones aritmé- ticas. Los primeros pasos en este campo se dan en situaciones del tipo n + 1 y n - 1 (con n menor que 5), más tarde aparecerán situaciones de la forma n + 2 y n - 2 para pasar posteriormente a las del tipo n + m.
  • 34. Castro E., Rico L. y Castro E. 28 Las situaciones de suma y resta, entre números naturales, está basa- da en la idea de que juntando elementos a una colección dada aumenta su número y separando elementos disminuye su número. Pero una comprensión operatoria de la adición requiere (según Piaget) que un niño reconozca que el todo permanece constante independientemente de la composición de sus partes. Sus estudios le llevaron a señalar una serie de estadios, en el desarrollo de este concepto, paralelo al desarro- llo de la conservación. I estadio. Los niños no entienden que un conjunto de ocho objetos divi- dido en dos colecciones de cuatro sea equivalente a un conjunto de ocho objetos separado en dos colecciones de uno y siete objetos. II estadio. Se resuelve bien la tarea después de verificaciones empíricas III estadio. Reconoce que la composición de las colecciones no afecta al conjunto final. En principio, los niños no reconocen que el efecto de añadir elementos a una colección pueda ser neutralizado separando el mismo número de elementos y que añadir elementos a una colección equivalente a otra puede compensarse añadiéndole a la otra el mismo número de elemen- tos. Las investigaciones realizadas sobre las dificultades que los niños encuentran cuando realizan operaciones de suma y resta han dado los siguientes resultados: • Las dificultades aumentan a medida que aumentan los números • Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando es menor que el segundo • Las sumas cuyos sumandos son pares son más sencillas que aquellas que presentan algunos de ellos impar • El caso de tener los dos sumandos iguales, presenta me- nos dificultad que en cualquier otro caso
  • 35. Estructura aditiva 29 ESTRATEGIAS PARA SUMAR Y RESTAR Se han determinado y clasificado las estrategias que los niños utilizan cuando realizan sus primeras operaciones de suma y de resta. Para la suma Elaboración de un modelo con dedos u objetos. Se presentan dos casos, en el primero, se construyen dos colecciones cuyo número de elementos sean los números dados y se precede de dos formas distintas: juntar las dos colecciones y contar todo o contar sin hacer la unión física de las colecciones; en el segundo, se construye una sola colección y se incre- menta en tantos elementos como indique el segundo sumando. Secuencias de recuento. Se cuentan los objetos que se supone se deben de reunir sin realizar ninguna acción física, se trata de conductas pura- mente verbales y se puede proceder de varias formas: contar todo (el niño cuenta todos los objetos), contar a partir del primero de los núme- ros dados o contar a partir del mayor de los números. Datos numéricos recordados .Emplean combinaciones numéricas que re- cuerdan como son: aplicación de la idea de doble o aplicación de sumas conocidas como 6 + 4 = 10. Para la resta Modelos directos con objetos. Se construye una colección de objetos que represente al minuendo y de esta se van quitando objetos, esto se pue- de realizar de varias formas: quitando de (se quitan tantos objetos como indica el substraendo), quitando hasta (se van quitando al mi- nuendo elementos hasta que quede el substraendo, el recuento de lo que se ha quitado dará el resto), añadiendo hasta (se forma un conjunto que representa al substraendo, se van añadiendo objetos hasta tener el minuendo el numero de objetos añadidos es el resto), emparejamiento (los conjuntos formados se tratan de emparejar, contando los elemen- tos no emparejados se obtiene la respuesta). Recuento. Sin utilizar objetos físicos, se pueden considerar varias: con- tar hacia atrás desde (contar hacia atrás desde el minuendo tantas ve- ces como indica el substraendo, el número anterior al último contado
  • 36. Castro E., Rico L. y Castro E. 30 es la diferencia), contar hacia atrás hasta (contar hacia atrás desde el mi- nuendo hasta alcanzar el substraendo, el número de pasos dados es el resto), contar hacia delante desde (se cuenta desde el substraendo hasta el minuendo, el número de pasos dados es la diferencia). Datos numéricos recordados. Utilización de algún hecho numérico que co- nozcan. Estas estrategias no se enseñan ni se aprenden en la escuela, el niño las elabora para resolver los problemas que encuentra en su medio y a ve- ces las mantiene por encima de su aprendizaje escolar. Es conveniente que el profesor las conozca y sepa ampliar en cada ocasión y para cada niño su campo de utilidad. MODELOS PARA LA SUMA Son muchos los modelos posibles que se pueden considerar para cada operación ya que son distintas las variables que pueden combinarse. Por un lado están los distintos contextos numéricos; por otra parte hay que considerar si el modelo es estático e incluye sólo estados, o es diná- mico y comprende también operadores; el modelo puede ser gráfico o físico y en cada uno de estos casos los materiales utilizados pueden va- riar. A continuación vamos a describir algunos modelos gráficos. El estudio de la adición y sustracción debe de realizarse en simulta- neidad con el trabajo sistemático sobre los diferentes números, de modo integrado. Cada número debe aparecer como un sistema integra- do de relaciones y no como algo puramente estático. Así conocer 5 es saber que 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 9 - 4 etc. En el estudio de cada número es importante trabajar sobre expresiones gráficas que modelicen cada uno de los contextos del número. Modelos lineales El primer modelo que vamos a considerar es la línea numérica. Según Resnick (1983) la línea numérica es un esquema mental que integra la sucesión de términos que sirven para contar, y que a su vez expresan el cardinal, al menos con pequeñas cantidades que se perciben con un sólo golpe de vista.
  • 37. Estructura aditiva 31 La línea numérica suele estar bastante consolidada en preescolar y se utiliza para realizar operaciones, como hemos descrito, o bien para comparar directamente cantidades. Modelos físicos de línea numérica son: plantillas, reglas numeradas, etc. Modelos cardinales Una segunda clase de modelos corresponde a los contextos cardinales, y en ellos suelen aparecer los diagramas de la teoría de conjuntos. Estos esquemas se pueden emplear con carácter estático no hay acción-, o con carácter dinámico -la operación es el resultado de una acción. En el primer caso se trata de esquemas en los que se expresa la relación par- te/todo descrita bien por un conjunto dividido en dos partes disjuntas, o bien, un conjunto en el que hay señalado un subconjunto y por com- plementación se considera el otro. Modelos con medidas El contexto de medida tiene también varios modelos entre los que des- tacan los modelos longitudinales como son las regletas de Cuisenaire o bien modelos sobre otras magnitudes como la balanza para la compa- ración de pesos. Con las regletas Cuisenaire se pueden hacer activida- des aditivas como la construcción de trenes con dos o más regletas y luego medir su totalidad con una única regleta; también se pueden ha- cer actividades de sustracción como determinar el complemento de una regleta respecto de otra mayor. El modelo de la balanza parece especialmente adecuado para la adición, y la situación de equilibrio de la balanza expresa la igualdad entre los sumandos (cantidades colocadas en un brazo) y el resultado (cantidad única colocada en el otro brazo). Existen varios modelos co- merciales de balanza, algunos de los cuales hacen uso de la distancia a la que se colocan los pesos del fiel mientras que otros sitúan los pesos en ambos casos a distancias iguales, sin hacer uso del principio o ley general de la balanza. Modelos funcionales Un último modelo es el modelo funcional u operatorio en el que se con- sidera que el primer sumando (o el minuendo) es un estado inicial o de partida, el segundo sumando (o el substraendo) es un operador o
  • 38. Castro E., Rico L. y Castro E. 32 transformación de aumento/disminución que se realiza sobre el estado inicial; el resultado, en cualquier caso, es el estado final. En este modelo se supone que la operación es una máquina que transforma números en otros números, mediante una ley determinada. Así, en este modelo, la operación 2 + 5 = 7 se esquematiza por: y la operación 7 - 5 = 2 se esquematiza por: Supone una iniciación al concepto de función, y va a resultar de mucha utilidad en operaciones posteriores. EL ANÁLISIS DE CADA NÚMERO Al estudiar cada número en concreto hay que trabajar con todas las su- mas cuyo resultado sea ese número, por ejemplo, al estudiar el número 5 se debe de tener en cuenta que: 0 + 5 = 5; 1 + 4 = 5; 2 + 3 = 5; 3 + 2 = 5; 4 + 1 = 5; 5 + 0 = 5; estas son las composiciones del número 5. También debe trabajarse la composición mediante unidades: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5. estado inicial operador estado final estado inicial operador estado final +52 7 -57 2
  • 39. Estructura aditiva 33 Aquí nos estamos refiriendo sólo a la expresión simbólica de las composiciones, pero éstas hay que comenzar a trabajarlas desde la ma- nipulación, pasando por el relato, el modelo -en particular las repre- sentaciones gráficas- hasta llegar a la simbolización. En todas estas etapas hay problemas para resolver. También hay que trabajar los desarrollos del número: 5 = 5 + 0; 5 = 4 + 1; 5 = 3 + 2; 5 = 4 + 1; 5 = 0 + y 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Los desarrollos tienen un interés destacado porque suponen un primer paso en la inversión o reversibilidad piagetiana de las operaciones. Si 3 + 2 = 5 resulta que 5 = 3 + 2: se puede volver al punto de partida. De igual modo hay que estudiar todas las sentencias abiertas que tengan 5 como resultado: 3 + ? = 5; ? + 2 = 5; 2 + 3 = ?, etc. Con el mismo proceso: composición-desarrollo-sentencias abiertas se trabajan todas las restas con minuendo el número estudiado, 5, en este caso: 5 - 0 = 5; 5 - 1 = 4; 5 - 2 = 3; 5 - 3 = 2; 5 - 4 = 1; 5 - 5 = 0, etc. RELACIONES ENTRE NÚMEROS Se llega así a establecer la red completa de relaciones en las que está im- plicado el número en cuestión. Estas relaciones se estudian en el nivel más alto de abstracción: el simbólico. Por ello en cualquier momento conviene realizar el camino de vuelta e inventar, dibujar o localizar si- tuaciones que respondan a cada una de las expresiones simbólicas es- tudiadas. Hay otras relaciones entre números que también deben estudiarse: Como 4 + 1 = 5, por eso 5 es el sucesor o siguiente a 4, va después de 4. Como 6 - 1 = 5, por eso 5 es el anterior a 6, va delante de 6.
  • 40. Castro E., Rico L. y Castro E. 34 Además 5 es mayor que 0, 1, 2, 3 y 4 y también es menor que 6, 7, 8, 9, 10, etc. De nuevo estas relaciones se expresarán con situaciones reales y se aplicarán en la Resolución de problemas. APRENDIZAJE DE LOS HECHOS NUMÉRICOS. LAS TABLAS Cada una de las relaciones señaladas entre números se conoce como un dato o hecho numérico. Uno de los objetivos usuales de la enseñanza de la Aritmética es el aprendizaje por parte del niño de los hechos nu- méricos básicos de cada una de las operaciones. Estos hechos suelen disponerse en un cuadro de doble entrada en donde las filas y las co- lumnas -para el caso de la suma- vienen señaladas de 0 a 9, y en el cruce de cada fila se encuentra el resultado de sumar los dígitos correspon- dientes. La memorización de estos resultados se llama “aprendizaje de la tabla de sumar”, y va desde 0 + 0 hasta 9 + 9. En el caso de la tabla de restar aparecen como datos básicos también desde 9 - 9 hasta 0 - 0, pero no se incluyen aquellos casos en los que el minuendo sería menor que el substraendo. Las primeras investigaciones sobre adición y sustracción intentaron ordenar la dificultad relativa de las 100 combinaciones numéricas bási- cas para estas operaciones. La conclusión obtenida es que no hay orden intrínseco de dificultad entre combinaciones numéricas; la dificultad es relativa a muchas condiciones, la principal de las cuáles es el método de enseñanza seguido. [Carpenter y Moser, 1983]. En términos generales, la dificultad aumenta cuando los números son mayores. Si el sumando mayor aparece en primer lugar la suma re- sulta más sencilla; dos sumandos pares combinan mejor que uno par y otro impar; cuando los dos sumandos son iguales el resultado se man- tiene más fácilmente en la memoria. Todas estas causas permiten que el niño no necesite memorizar to- dos los datos de la tabla, al menos en su comienzo, sino que utilice di- ferentes estrategias para alcanzar un resultado, en donde jueguen otras relaciones de la tabla. Ya hemos comentado algunas estrategias para sumar y restar con- tando, que el alumno conoce desde Preescolar; no conviene desalentar
  • 41. Estructura aditiva 35 estas estrategias sino procurar que se perfeccionen y se empleen para operar. No es conveniente exigir la memorización de las tablas. En el caso de la suma y de la resta el aprendizaje se realiza sobre unos pocos hechos básicos y la utilización de estrategias adecuadas. Sí conviene que demos a nuestros alumnos un entrenamiento suficiente y no ruti- nario. ELABORACIÓN DE LA TABLA DE SUMAR Aunque no es de uso frecuente la tabla de sumar, esta puede elaborarse por los niños a partir del proceso de contar de la siguiente forma: Se construye una tabla de doble entrada, en la primera fila y en la primera columna se colocan los números de 0 a 9. El proceso para rellenar la tabla puede hacerse por filas o por co- lumnas pero en orden y siguiendo esta regla: cada fila comienza con el mismo número que presenta ya escrito de haber hecho la primera co- lumna y se continua siempre aumentando de uno en uno sea, contan- do. El uso de esta tabla se hace de la siguiente manera: para conocer cual es el resultado de una suma cuyos sumandos son menores que 10 se busca la unión de la fila y la columna encabezada por dichos suman- dos; para sumandos mayores que diez hay que seguir el mismo proce- dimiento dentro de las reglas propias del algoritmo. + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
  • 42. Castro E., Rico L. y Castro E. 36 Se puede utilizar también la tabla para conocer el resultado de una diferencia de la siguiente manera: se localiza el minuendo en el in- terior de la tabla de manera que el lugar que ocupa corresponda a la fila encabezada por el substraendo, el número que encabeza la columna es la diferencia. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS VERBALES ADITIVOS Se considera un problema matemático a toda situación que entrañe una meta a lograr y en donde casi siempre existirá un obstáculo para alcan- zar dicha meta. La situación es normalmente cuantitativa y casi siempre se requieren técnicas matemáticas para su resolución pero es posible a veces resolverlos por una deliberación caso de no conocer el algoritmo necesario para tal ocasión. Tradicionalmente en los programas de cálculo elemental los proble- mas se introducen después del estudio de las operaciones y los algorit- mos a aplicar para resolver dichos problemas pues se piensa en los problemas como ejercicios sobre los que se aplican técnicas de cálculo bien conocidas. Actualmente se aconseja introducir los problemas a la vez que las operaciones apropiadas para resolverlos, y esto por dos razones, consi- dera Kamii: a) los niños construyen su conocimiento aritmético a partir de la realidad. b) la investigación ha demostrado que los niños peque- ños son capaces de resolver problemas, a veces, mejor que los que ya han sido sometidos a un aprendizaje para tal efecto. Los problemas ver- bales son fácilmente solucionados por los niños sin que haga falta una enseñanza formal. Para estas ocasiones los problemas habrá que tomar- los de la vida real de los niños y de su entorno propio. Empezar el cálculo sin sentido para pasar después de estas téc- nicas al mundo real, es contrario a lo que sabemos de la mane- ra de pensar de los niños (...) si uno de los fines de la enseñanza de la aritmética es capacitar a los niños para la re- solución de problemas de la vida real hemos de animarles a tratar con problemas desde el primer día de entrar en clase. (Kamii, 1985).
  • 43. Estructura aditiva 37 CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS ADITIVOS SIMPLES Problemas de estructura aditiva son aquellos que se resuelven con una operación de suma o de resta. De ellos podemos hacer varias clasifica- ciones dependiendo del tipo de variable que consideremos. Los pro- blemas simbólicos de estructura aditiva variarán según la sentencia abierta dada en el problema. Cambiando la incógnita se generan seis sentencias abiertas para la suma y otras seis para la diferencia. El estudio sobre la dificultad que presentan las diferentes sentencias ha dado las siguientes conclusiones. • Las sentencias canónicas de adición y sustracción (a + b = ?, a - b = ?) presentan menos dificultad que las no canó- nicas • Las sentencias de sustracción son generalmente mas difí- ciles que las de adición • No hay diferencias notables entre las sentencias a +? = c, ? + b = c y a - ? = c en cuanto a dificultad • La sentencia minuendo desconocido ? - b = c, es signifi- cativamente más difícil que las otras cinco • Las sentencias con la operación al lado derecho del signo igual son significativamente más difíciles que las otras Muchas de las dificultades que tienen los niños al resolver problemas verbales de adición y sustracción se debe a su limitada comprensión de las operaciones aritméticas con las que estos se resuelven. A menudo no saben cuando se debe utilizar una de estas operaciones porque les Tipos de sentencias abiertas Para la suma Para la resta a + b = ? a +? = c ? + b = c ? = a + b c = ? + b c = a + b a - b = ? a -? = c ? - b = c ? = a - b c =? - b c = a -?
  • 44. Castro E., Rico L. y Castro E. 38 falta el conocimiento específico referente a las variadas situaciones que dan lugar a estas operaciones. Se les suele enseñar la adición solamente como “poner juntos” y la sustracción como “quitar” a pesar de las otras circunstancias que implican operaciones de sumar y de restar. Los ni- ños necesitan recibir instrucción específica en diferentes situaciones si queremos que consigna buenos resultados en la resolución de este tipo de problemas verbales. De aquí que consideremos de gran interés la clasificación de proble- mas que realiza Nesher atendiendo a la estructura semántica de los mis- mos. Cuatro categorías se pueden considerar en los problemas verbales escolares que sugieren las operaciones de adición y substracción: Categoría de cambio La categoría de cambio en la que los problemas implican un incremen- to o disminución de una cantidad inicial hasta crear una serie final. En estos problemas hay implícita una acción. Intervienen tres cantidades, una inicial, otra de cambio y una final. La cantidad desconocida puede ser cualquiera de ellas por lo que da lugar a tres tipos de problemas. El cambio puede ser de aumento (cambio-unión) o de disminución (cam- bio-separación) por lo que hay dos modalidades para cada uno de los casos anteriores lo que hace un total de doce el número de problemas de cambio que se pueden formular. En todos los casos el cambio ocurre en el tiempo, la condición inicial se da en un tiempo T1 el cambio se produce en un tiempo T2 y el resul- tado se alcanza en un tiempo T3. A continuación se presentan algunos ejemplos. La cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas. Ana tenía 5 cro- mos y compra 3 cromos más, ¿cuántos cromos tiene ahora? María tenía 9 cromos dio 5 a su amiga Pilar, ¿cuántos cromos le han quedado? La cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos, la incógnita en este caso es la magnitud del cambio. Juan tiene 6 bolas y quiere comprar algu- nas para tener 9, ¿cuántas bolas ha de comprar? Susana tiene 7 bolas, da algunas a su primo y le quedan 4, ¿cuántas bolas da Susana a su primo?
  • 45. Estructura aditiva 39 La incógnita es la magnitud inicial conociéndose la magnitud del cambio y el resultado final. Ana tenía algunos lápices, su hermano le dio 4 y ahora tiene 7, ¿cuántos lápices tenía Ana? Pepe tenía algunos lápices, dio 3 a su hermano y le han quedado 4, ¿cuántos lápices tenía Pepe? Categoría de combinación La segunda categoría son los problemas de combinación o parte-parte- todo. Hacen referencia a la relación que existe entre una colección y dos subcolecciones disjuntas de la misma. La diferencia fundamental entre estas dos categorías de problemas es que la combinación no implica ac- ción. Un problema de combinación tiene tres cantidades relacionadas lo que da lugar a dos tipos de problemas. Por ejemplo: Conocer la colección total y una de las subcolecciones y desconocer la otra sub- colección. Luis tiene 10 bloques, de ellos 3 son azules y el resto son ama- rillos, ¿cuántos bloque amarillos tiene Luis? Conocer las dos subcolecciones y desconocer la colección total. Irene tiene 4 bloques rojos y 5 azules, ¿cuántos bloques tiene Irene?’ Categoría de comparación La tercera categoría, de comparación, implican una comparación entre dos colecciones. La relación entre las cantidades se establece utilizando los términos “más que”, “menos que”. Cada problema de comparación tiene tres cantidades expresadas: Una cantidad de referencia, una can- tidad comparativa y otra de diferencia. Hay seis tipos de problemas de comparación. La cantidad desconocida puede ser la cantidad de refe- rencia, la comparativa o la diferencia, para cada una de estas posibili- dades la comparación puede hacerse de dos formas: la cantidad comparada (más grande) es más que la cantidad de referencia (más pe- queña), la cantidad comparada es menos que la de referencia. Por ejemplo: Referente y referido conocidos, se desconoce la comparación. Antonio tiene 6 galletas y Jaime 4 galletas, ¿cuántas galletas tiene Antonio más que Jaime? Javier tiene 9 galletas y Carlos tiene 3, ¿cuántas galletas tiene Carlos menos que Jaime?
  • 46. Castro E., Rico L. y Castro E. 40 Referente y comparación conocidos, se desconoce el referido. Ignacio tiene 5 caramelos y María tiene 3 caramelos más que él, ¿cuántos caramelos tie- ne María? Nuria tiene 8 caramelos y Alberto tiene 4 caramelos menos que ella, ¿cuántos caramelos tiene Alberto. Referido y comparación conocidos, referente desconocido. Pilar tiene 3 galle- tas, ella tiene 2 galletas más que Pedro, ¿cuántas galletas tiene Pedro? Lola tiene 4 galletas y Jesús tiene 3 galletas menos que ella, ¿cuántas ga- lletas tiene Jesús? Categoría de igualación Una cuarta categoría llamada de igualación puede considerarse “a ca- ballo” entre las de cambio y comparación ya que se produce alguna ac- ción relacionada con la comparación entre dos colecciones disjuntas. Hay que responder qué hacer con una de colecciones para que presente el mismo número de elementos que la otra. Por ejemplo: La acción hay que realizarla sobre el mayor de las colecciones en cuyo caso se tiene una separación-igualación. Carmen tiene 8 globos y Cesar tiene 6, para tener tantos globos como Cesar, ¿cuantos globos ha de romper Carmen? Andrés tiene 5 globos y Tomás tiene unos cuantos, si Tomás rompe 3 globos tendrá tantos como Andrés, ¿cuántos globos tiene To- más? Lucía tiene 8 globos y Miguel tiene unos cuantos, si Lucía rompe 4 globos tendrá el mismo número que Miguel, ¿cuántos globos tiene Miguel? La acción se realiza sobre la menor de las colecciones en este caso se tiene una unión-igualación. Inés tiene 7 cromos y Pablo tiene 4 cromos, ¿cuántos cromos tiene que ganar Pablo para tener tantos como Inés? Enrique tie- ne 5 cromos y Elena tiene unos cuantos, si Elena gana 2 cromos tendrá el mismo número que Enrique, ¿cuántos cromos tiene Elena? Margarita tiene 6 cromos y Julián tiene unos cuantos, si Margarita gana dos cro- mos tendrá tantos como Julián, ¿cuántos cromos tiene Margarita?
  • 47. Estructura aditiva 41 DIFICULTADES DE APRENDIZAJE Algunos de los resultados proporcionados por los estudios realizados sobre dificultades en la resolución de problemas son: • En los primeros niveles resultan más sencillos los proble- mas, si se presentan con materiales, grabados o dibujos • La longitud del enunciado, el número de oraciones, la posición de la pregunta, son variables útiles para explicar la dificultad del problema • El tamaño de los números y la presencia del símbolo en vez de números concretos incrementa la dificultad del problema • La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden en que deben de ser colocados a la hora de realizar con ellos la operación necesaria para re- solver el problema, es también una fuente de dificultad Por lo que se refiere a los distintos clases de problemas verbales a los que hemos hecho mención anteriormente Thompson y Hendickson (1986) del examen de los distintos tipos de problemas y la observación de cómo los niños los resuelven concluyen que hay problemas más di- fíciles de resolver que otros. En general parece que la estructura inhe- rente del problema es el factor crucial para determinar su dificultad. Los problemas de combinación 1 son estructuralmente directos. Se dan las dos colecciones. Los niños pueden contarlas separadamente, después solamente deberán de volver a contar la colección entera para determinar la solución del problema. O, dependiendo de la instrucción que hayan recibido, podrán usar “todo” o “todo junto” para transfor- marlo en un problema de cambio. Los problemas de combinación no son directos. Las cantidades que han de ser consideradas no están separadas una de otra. Los niños han de tener un buen desarrollo de la comprensión parte-todo. Se da la co- lección entera y una parte de la colección. Para resolver este tipo de problemas los niños han de saber que la subcolección dada está dentro de la colección mental o psíquicamente para separar la subcolección de la colección completa y contar la otra subcolección. Este problema pue- de ser transformado en un problema de cambio 2 por algunos niños.
  • 48. Castro E., Rico L. y Castro E. 42 Otros niños lo transforman erróneamente en un problema de compara- ción entre las dos subcolecciones. En los problemas de comparación en los que se conoce la colección mayor y la diferencia y se ha de determinar la colección menor como por ejemplo “María tiene 7 lápices y Juan tiene 3 lápices menos que Ma- ría ¿Cuantos lápices tiene Juan? Para resolver este problema si el niño crea lo que está escrito, formará una colección de 7 lápices y le quitará 3 lo que le convertirá en un problema de cambio. En el caso de que el problema sea “María tiene 5 caramelos, ella tiene tres más que Pepe. ¿Cuantos caramelos tiene Pepe? Para resolver este problema el niño ha de utilizar una estructura cognitiva diferente para determinar el proce- so a seguir. No se pueden agregar tres caramelos a los que se tienen pues se desconoce cual es esta cantidad. El niño ha de comprender que si la colección mayor es tres más que la menor, esta a su vez es tres me- nos que la anterior, lo que exige un desarrollo de lo estructura cognitiva denominada reversibilidad. Debe de entender que la expresión “x es más que y” es equivalente a “y es menos que x”. Sólo de esta forma el niño puede saber que quitando objetos a la colección mayor se da cum- plimiento a la relación más que, esta reversibilidad capacita a algunos niños a transformar los problemas de combinación 2 en problemas de cambio 2. Otro factor que afecta a los problemas de comparación es que la can- tidad de referencia debe de ser construida mentalmente por el niño e igualmente debe de sumarla o restarla mentalmente a la colección dada para obtener la colección desconocida. Otra dificultad de los problemas de comparación se debe al uso de las expresiones “más que” (que en ocasiones se asocia con suma) y “menos que” (asociado en otras ocasio- nes con resta). Las investigaciones hasta ahora realizadas sobre las dificultades que presentan los distintos tipos de problemas han determinado un orden de dificultad para los mismos: de más fácil a más difícil. 1°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y la magnitud del cambio son conocidas, y el ejemplo donde se conoce la co- lección total y una de las subcolecciones y se desconoce la otra subcolección. 2°. Ver los dos ejemplos donde la cantidad inicial y el resultado del cambio son conocidos y donde la incógnita en este caso es la
  • 49. Estructura aditiva 43 magnitud del cambio, y los dos ejemplos donde el referente y el referido son conocidos y se desconoce la comparación. 3°. Ver el ejemplo donde se conocen las dos subcolecciones y se desconoce la colección total, los dos ejemplos donde la compa- ración y el referido son conocidos y el referente es desconoci- do, y los dos ejemplos donde la comparación y el referente son conocidos, y donde se desconoce el referido. TAREAS Y SITUACIONES PROBLEMÁTICAS PARA NIÑOS Asegura Kamii que las situaciones de cada día y los juegos colectivos proporcionan muchas oportunidades para que los niños piensen y re- suelvan problemas. “Hay muchos momentos en el desarrollo de la clase en los que se puede plantear una votación o cualquier otra situación en cuya resolu- ción interviene aspectos aritméticos, entonces hay que detenerse y dis- cutir ya que los niños se encuentran emocionalmente implicados y su mente es mas activa para el aprendizaje.” Asegura, que no creé que los ejercicios repetitivos y mecánicos que se realizan en los cuadernos pro- voquen una actividad mental tan rica, aunque no quiere esto decir que los niños no aprendan a través de los cuadernos de ejercicios, sino que el aprendizaje es de carácter distinto. En su libro “El niño reinventa la Aritmética” presenta una serie de situaciones cotidianas en las que analiza los aspectos numéricos que contienen. Así por ejemplo situaciones de votaciones por distintas cau- sas, control de asistencia a clase, control sobre el material utilizado en un juego o actividad, distribución de un material, etc. Además de una serie de juegos colectivos de entre ellos hemos tomado el siguiente. Un niño piensa un número y sus compañeros han de adivinarlo. El niño que ha pensado el número debe de escribirlo sus compañeros de juego han de adivinarlo, para ello uno de los compañeros dice un nú- mero y el que lo ha pensado responderá es mayor o menor. El niño que consigna adivinar de que número se trataba será el encargado de pen- sar otro número.
  • 50. Castro E., Rico L. y Castro E. 44 JUEGOS Disponemos de una colección de objetos, los niños han de conocerlos bien, para ello se procederá a una etapa de juego libre, posteriormente se pasará al juego que consiste en esconder varios objetos en la clase y tratar de encontrarlos. Se pueden ir planteando preguntas sobre el nú- mero de objetos encontrados el número de los mismos que falta por en- contrar, introduciendo así a los niños en las nociones de suma y resta. El juego de las canicas o los bolos se prestan también a planteamien- tos de preguntas sobre cuantificación cuya respuesta por parte del niño requiere que este resuelva un verdadero problema de estructura aditi- va. Los juegos de cartas son útiles para el desarrollo del pensamiento numérico. Estos pueden ser muy variados tanto por la cantidad de los mismos que se pueden realizar como por el grado de complejidad de los mismos. Como ejemplo tomamos el siguiente de Garzón y Martínez. Se eligen las cartas de menor puntuación (del uno al siete) barajadas y amontonadas en el centro de la mesa, cada jugador tomará una carta y la pondrá boca arriba, el que saque la carta más alta se llevará todas las demás. Los juegos del dado y del dominó ayudan al niño a adquirir la ha- bilidad de conocer los números que están representados en las caras por la disposición que presentan los puntos sin necesidad de contar. La variedad de ellos es también muy grande y las posibilidades también, pues se pueden utilizar un solo dado o más de uno. Por ejemplo para dos jugadores. Con dos dados y unas fichas para apostar, los dos juga- dores tiran los dos dados gana el que sume mayor puntuación este jue- go permite desarrollar gran cantidad de relaciones entre los números. Así por ejemplo, si uno de los jugadores ha obtenido un tres y un cinco y el otro un tres y un seis los niños llegan a darse cuenta que no es ne- cesario contar ni sumar ya que tienen un sumando igual por tanto gana el que tenga mayor el otro sumando.
  • 51. 3 Estructura multiplicativa INTRODUCCIÓN Al igual que en el caso de la suma y resta, el aprendizaje del producto y la división es el comienzo de la construcción de una nueva estructura: la estructura multiplicativa, que es una de la más ricas de la matemáti- ca. Sin embargo existen algunas diferencias con respecto a la estructura aditiva. Comenzar a trabajar en el producto y en la división exige que el niño tenga un nivel de uso y dominio de los números, que conozca su simbolización, todo ello en un grado más completo que en el caso de la suma y la resta. La adición y la sustracción se estudian con simultaneidad a la ad- quisición del concepto de número. El producto y la división son opera- ciones que necesitan un dominio previo de los números y de su simbolización. La razón de esto la encontramos en el propio concepto de cada operación. Multiplicar es reiterar una cantidad, en su nivel más intuitivo. Los dos términos del producto responden a contextos dife- rentes; uno de ellos es la cantidad que se repite – multiplicando–, y es un número cardinal concreto, con objetos que se ven. El otro factor nos dice las veces que se repite la cantidad inicial –multiplicador-, y es una especie de cardinal de segundo orden o cardinal de cardinales, mucho más abstracto que el anterior, y por eso mismo se debe simbolizar de inmediato.
  • 52. Castro E., Rico L. y Castro E. 46 Igual ocurre con la introducción a la división. Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. El dividendo es la cantidad a repartir, y se trata usualmente de un número en contexto cardinal, expresado me- diante objetos concretos. El divisor es el número de partes, también un número cardinal, pero más abstracto, que de inmediato pasa a escribir- se simbólicamente. Tanto en un caso como en el otro se utilizan dos ni- veles diferentes de cardinación, y por ello es necesario utilizar los signos numéricos propios casi desde el comienzo. Este es uno de los motivos por los que se suele esperar al segundo año de escolaridad para iniciar el estudio del producto y la división. Hay una segunda razón de tipo práctico. Como el producto se pre- senta como una suma reiterada, conviene tener un cierto dominio de esta operación, que permita un cálculo más rápido en los productos. Para no entorpecer la multiplicación con dificultades propias de la su- ma, es por lo que se suele dejar uno o dos cursos de diferencia entre el estudio de ambas operaciones. Así, los algoritmos y destrezas de la suma habrán madurado lo suficiente como para permitir un comienzo más firme y seguro en el producto. MODELOS PARA EL PRODUCTO Y DIVISIÓN Son muchos los modelos posibles para estudiar la multiplicación y di- visión y, como ya hemos observado anteriormente, cada uno de los mo- delos enfatiza un contexto particular del número. Modelos lineales En primer lugar podemos considerar modelos de recuento, en los que se utiliza la línea numérica. Si la línea numérica tiene un soporte gráfi- co, el producto n x a (“n veces a”) se modeliza formando un intervalo de longitud a-unidades y contándolo n-veces: Cuando la recta no tiene soporte material se cuenta sobre la suce- sión numérica de a en a, hasta hacer n veces ese recuento. Esta destreza se ha estimulado con trabajo previo sobre recuentos en la recta de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc. El esquema de la división es similar; consiste en contar hacia atrás desde el dividendo, y de tanto en tanto, según indique el divisor. El nú-
  • 53. Estructura multiplicativa 47 mero de pasos dados es el cociente. En este caso se cambia el modelo usual de la división, ya que el divisor no es ahora el número de partes que se hacen, sino la cantidad igual a que toca cada parte. Si el divisor es pequeño, 2 ó 3, puede intentarse con el modelo de la línea numérica, su división en las partes iguales correspondientes, sin cambiar así los papeles del divisor y cociente. Pero la utilización más sencilla de este modelo es como resta reiterada y contando hacia atrás, y no tanteando los puntos en los que la longitud total del dividendo queda partida en partes iguales. Modelos cardinales La segunda familia de modelos utiliza el contexto cardinal para repre- sentar uno o los dos factores. Entre los tipos más utilizados tenemos: • La unión repetida de conjuntos cardinales, usualmente con los mismos objetos • La distribución de objetos en un esquema rectangular. Para ello se hace una fila con tantos objetos como nos in- dica el multiplicando y se forman tantas filas como dice el multiplicador. En este modelo cada uno de los factores se puede reconocer en la representación • Más formalizado que el caso anterior es la representación mediante producto cartesiano de dos conjuntos. Así el producto 2 x 3 se puede representar tomando un conjun- to de 2 blusas y otro de 3 pantalones, y formar todos los pares ordenados de blusa y pantalón, normalmente me- diante un cuadro de doble entrada. El total de pares or- denados nos da el resultado del producto 2 x 3 • La otra forma convencional de representar un producto utilizando conjuntos es mediante un diagrama de fle- chas. Se dibujan tantas flechas como puedan trazarse des- de un conjunto al otro conjunto. Por ejemplo, de un conjunto de 2 elementos a otro de 3 elementos nos da el producto 2 x 3 En el caso de la división el modelo más usual es el de repartir en partes iguales. Se tiene un conjunto con 12 elementos y se abren a partir de él 3 subconjuntos. Hay que repartir los elementos iniciales a partes igua- les entre los tres subconjuntos, lo que toca a cada parte es el cociente.
  • 54. Castro E., Rico L. y Castro E. 48 También se puede utilizar el modelo inverso: sobre el conjunto de 12 elementos, se van haciendo subconjuntos de 3 elementos hasta que to- dos quedan distribuidos. En este caso el divisor es la cantidad que toca a cada parte y el cociente el número de partes. Este modelo y el anterior son iguales de sencillos de realizar, e incluso en este segundo caso se ne- cesita una representación menos complicada. Sin embargo la idea intui- tiva de reparto en partes iguales parece quedar mejor expresada en el primer caso que en el segundo. La distribución rectangular de un total de elementos, dados por el dividendo, en tantas filas (o columnas) iguales como indique el divisor es otro modelo adecuado. El cociente se determina contando el número de columnas (o filas) obtenidas. En cada uno de estos casos los elemen- tos sobrantes en el reparto o distribución dan el resto de la división. Modelos con medida Las regletas de Cuisenaire nos proporcionan un modelo adecuado del número como longitud. Para realizar un producto con regletas 2 x 3, por ejemplo, se toman las regletas 2 y 3 respectivamente y se colocan en cruz y a continuación se toman tantas regletas abajo como indique la longitud de arriba, en este caso se toman dos regletas de tres, y ya po- demos prescindir de la regleta superior cuya función era indicar cuan- tas de tres había que tomar. El resto del proceso es el conocido: realizar la suma de las dos regletas de tres. • Con la balanza utilizamos el contexto número/medida/ peso • Realizar un producto consiste en colocar tantas veces una unidad de peso indicada (multiplicando) como veces nos indique otro número (multiplicador) • El resultado es el peso global en el otro platillo para equi- librar la balanza La división con estos dos materiales resulta muy sencilla. Consiste en establecer la equivalencia entre una longitud o peso global (dividendo) y otro más pequeño (divisor) que hay que reiterar varias veces hasta conseguir dicho equilibrio. El número de veces en ambos casos se obtie- ne contando y nos da el cociente.
  • 55. Estructura multiplicativa 49 Modelos numéricos Un cuarto tipo de modelos aparece cuando se considera en contexto es- trictamente simbólico, y los números aparecen únicamente simboliza- dos. En este caso el producto es una suma reiterada 3 x 4 = 3 veces 4 = 4 + 4 + 4. Esta idea subyace a muchos de los modelos en los que se em- plea material o representaciones gráficas. La división se interpreta como una resta reiterada 12: 4 consiste en ver cuantas veces puede restarse 4 de 12, hasta llegar a 0, así: 12 - 4 = 8 8 - 4 = 4 4 - 4 = 0 de esta manera hemos conseguido restar 3 veces 4 de 12, luego 12: 4 = 3. Pero también puede interpretarse como suma. En un problema pro- puesto por nosotros a alumnos de 6º Nivel que decía: “Queremos re- partir 2.000 Ptas. en monedas de 100 Ptas., ¿cuántas monedas necesitaremos?” muchos niños hicieron sumas de sumandos 100 hasta alcanzar 2.000. Modelos de razón aritmética Hay un quinto tipo de modelos en los que se abre un amplio campo de aplicaciones a la estructura multiplicativa. Se trata de los modelos de razón o comparación. En ellos hay que realizar la comparación de dos conjuntos, o dos cantidades, en términos de “cuantas veces más”. El caso más sencillo se da al comparar dos conjuntos disjuntos de objetos discretos. Una técnica usual de comparación es establecer una corres- pondencia de varios a uno que nos da el factor de conversión o compa- ración. Dentro de esta misma clase de modelos de razón podemos conside- rar el que se fundamenta en la semejanza de triángulos y que puede utilizarse con dos líneas numéricas convergentes. Si queremos realizar el producto 3 x 4 tomamos sobre una de las rectas, por ejemplo, la ho- rizontal, el valor 3. Sobre la otra señalamos el punto 1, que unimos me- diante trazo con el 3 anterior. Sobre la segunda recta señalamos también el punto 4 y trazamos por él una paralela a la que se trazó. El
  • 56. Castro E., Rico L. y Castro E. 50 punto de corte con la recta horizontal señala el resultado del producto. El Teorema de Thales nos justifica este resultado. Modelos funcionales Finalmente, nos queda una quinta familia de modelos: se trata de todos aquellos casos en los que el producto aparece con carácter de función u operador. De nuevo el caso más sencillo consiste en considerar cada operación como una máquina-operador que transforma números-esta- dos en números-estados. Así: o bien: Se suele decir que cada máquina es inversa de la otra. LA TABLA DE MULTIPLICAR El aprendizaje de la multiplicación debe llevar a la construcción de la tabla de multiplicar. Para ello se va trabajando sistemáticamente con to- dos los productos que tienen el mismo multiplicador, comenzando a partir del 2: desde 2 x 1 hasta 2 x 9. Al principio no se utiliza el símbolo x o el ., sino el término “veces”, que progresivamente se irá sustituyen- do por el símbolo. Sea cual sea el modelo elegido para elaborar el con- cepto de producto sí conviene utilizar la suma reiterada como estado inicial operador estado final estado inicial operador estado final x43 12 :412 3