Este documento describe cómo aproximar números irracionales usando una fórmula de recurrencia atribuida a Herón de Alejandría. La fórmula toma un valor inicial aproximado para la raíz cuadrada de 2 (x1 = 1) y luego mejora sucesivamente la aproximación elevando al cuadrado y restando errores. Repitiendo este proceso iterativamente genera aproximaciones más precisas que convergen hacia el valor real de la raíz cuadrada de 2.

1. Existen varias maneras de aproximar un número irracional, una de ellas es a partir de la fórmula de
recurrencia (atribuida a Herón de Alejandría):
Supongamos que necesitamos obtener la raíz cuadrada de 2. Sabemos que está comprendida
entre 1 y 2, y así obtenemos que: 1ଶ ൌ 1 ൏ 2 ൏ 4 ൌ 2ଶ.
Primero elegimos un valor aproximado de esta raíz, por ejemplo ݔଵ ൌ 1 y tomamos como ݁ଵ al error
que se comete en cada aproximación
√2 ൌ ݔଵ ൅ ݁ଵ
√2 ൌ 1 ൅ ݁ଵ
Luego, elevamos al cuadrado:
ଶ
2 ൌ 1 ൅ 2݁ଵ ൅ ݁ଵ
ଶ ൅ 2݁ଵ െ 1 ൌ 0
݁ଵ
ଶ ൏ 1 y ݁ଵ
Como ݁ଵ
ଶ ൏ ݁ଵ tenemos que 0 ൏ ݁ଵ
ଶ ൏ ݁ଵ ൏ 1, por lo que despreciamos de la igualdad ݁ଵ
ଶ:
2݁ଵ െ 1 ൎ 0
݁ଵ ൎ 0,5
Luego,
√2 ൎ 1 ൅ 0,5 ൌ 1,5
El cual designaremos como ݔଶ ൌ 1,5
Repitiendo el procedimiento para hallar una mejor aproximación
√2 ൌ ݔଶ ൅ ݁ଶ
Elevamos al cuadrado
ଶ ൅ 2ݔଶ݁ଶ ൅ ݁ଶ
2 ൌ ݔଶ
ଶ
ଶ ൏ ݁ଶ ൏ 1
Como 0 ൏ ݁ଶ
ଶ ൅ 2ݔଶ݁ଶ
2 ൌ ݔଶ
݁ଶ ൎ
ଶ
2 െ ݔଶ
2ݔଶ
Luego,
ݔଷ ൎ ݔଶ ൅
ଶ
2 െ ݔଶ
2ݔଶ
ൎ
ଶ
2 ൅ ݔଶ
2ݔଶ
Desde esta parte podemos generalizando y obtenemos que:

2. ݔ௡ାଵ ൎ
ଶ
ܽ ൅ ݔ௡
2ݔ௡
ݔ௡ାଵ ൎ
1
2
ቆ
ଶ
ܽ ൅ ݔ௡
ݔ௡
ቇ
Así podemos obtener, mediante iteraciones, el valor de la raíz cuadrada de 2, si a = 2 y donde
ݔ଴ ൌ 1:
ݔଵ ൌ
1
2
൬1 ൅
2
1
൰ ൌ
1
2
ሺ3ሻ ൌ
3
2
ݔଶ ൌ
1
2
ቌ
3
2
൅
2
34
ቍ ൌ
1
2
൬
3
2
൅
4
3
൰ ൌ
17
12
ݔଷ ൌ
1
2
ቌ
17
12
൅
2
17
12
ቍ ൌ
1
2
൬
17
12
൅
24
17
൰ ൌ
577
408
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