Download Luận văn thạc sĩ chuyên ngành đại số là lý thuyết số: đề tài VỀ MODUN VÀ VÀNH NỘI ĐẾM ĐƯỢC

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LÂM THỊ QUỲNH TIÊN
VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH
NỘI XẠ ĐẾM ĐƯỢC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT
Thừa Thiên Huế, năm 2018

2. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kì một công trình nào khác.
LÂM THỊ QUỲNH TIÊN
ii

3. LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS. TS. Lê
Văn Thuyết, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này, người luôn tận
tình dạy bảo, hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 10 tháng 10 năm 2018.
Học viên thực hiện
Lâm Thị Quỳnh Tiên
iii

4. Mục lục
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Lời nói đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đơn và các phần tử đặc biệt . . . . 5
1.2 Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do . . . . . . . 9
1.3 Môđun nội xạ, xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Môđun Artin, môđun Nơte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Vành Artin, Nơte và một số vành quan trọng khác . . . . . . . . 16
2 Môđun và vành nội xạ đếm được 21
2.1 Môđun và vành nội xạ đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tính chất cơ bản của môđun và vành nội xạ đếm được . . . . . 24
2.3 Mối quan hệ môđun nội xạ đếm được và nội xạ . . . . . . . . . 29
2.4 Các lớp vành liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
1

5. BẢNG KÝ HIỆU
Ký hiệu : Nghĩa của ký hiệu
RM : môđun trái trên vành R
MR : môđun phải trên vành R
A ⊆ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A là tập con thực sự của B
A ≤ M : A là môđun con của M
A < M : A là môđun con thực sự của M
A ≤e
M : A là môđun con cốt yếu của M
A ≤max
M : A là môđun con cưc đại của M
⊕
i∈I
Mi : tổng trực tiếp của họ các môđun Mi
i∈I
Mi : tích trực tiếp của họ các môđun Mi
A ∼= B : A đẳng cấu với B
annR(X) : linh hóa tử của X trong R
E(M) : bao nội xạ của môđun M
J(R) : căn Jacobson của vành R
Z(R) : tâm của vành R
Zr : iđêan suy biến trái của vành R
C-nội xạ : C-nội xạ theo nghĩa của R. Y. C Ming
c-nội xạ : C-nội xạ theo nghĩa của E. S. Campos và F.Smith
2

6. LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết
hợp. Với việc nghiên cấu trúc môđun và vành, chúng ta đã có được nhiều kết
quả quan trọng, đặc biệt là lớp các môđun và vành nội xạ.
Năm 1940 Baer đã đưa ra một khái niệm về môđun nội xạ. Một môđun
M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu
f : A → M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N → M. Môđun M được gọi
là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N. Hơn nữa, Baer còn đưa ra tiêu
chuẩn để kiểm tra một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn Baer được phát biểu
như sau: Môđun RM là nội xạ nếu với mọi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu
f : RI → RM đều có thể mở rộng được đến đồng cấu g : RR → RM.
Từ tiêu chuẩn Baer ta có rất nhiều mở rộng của nội xạ. Một lớp môđun
mở rộng của môđun nội xạ là môđun n-nội xạ, được E. S. Campos và F.Smith
định nghĩa như sau: Với n là số nguyên dương, R-môđun trái X được gọi là
n-nội xạ nếu với mỗi iđêan trái n-sinh A của R, mỗi đồng cấu θ : A → X mở
rộng đến R. Lưa ý, môđun 1-nội xạ được gọi là nội xạ chính hay P-nội xạ. Hơn
nữa, một R-môđun trái X được gọi là F-nội xạ nếu mỗi iđêan trái hữu hạn
sinh B của R, mỗi đồng cấu χ : B → X mở rộng đến R. Rõ ràng một môđun
là F-nội xạ khi và chỉ khi nó là n-nội xạ. Theo E. S. Campos và F.Smith, một
R-môđun trái X được gọi là C-nội xạ nếu mỗi iđêan trái sinh đếm được C của
R, mỗi đồng cấu µ : C → X có thể mở rộng đến R. Khi đó:
X là nội xạ ⇒ X là C-nội xạ ⇒ X là F-nội xạ ⇒ X là n-nội xạ.
X là (n+1)-nội xạ ⇒ X là n-nội xạ với mỗi số nguyên dương n.
Có một cách mở rộng nội xạ là mở rộng từ định nghĩa. Trong R.Y.C
Ming cũng đã đưa ra định nghĩa như sau: Một R-môđun trái M được gọi là
C-nội xạ nếu với bất kỳ một R-môđun trái N và bất kỳ môđun con xyclic C
của N, mọi R-đồng cấu từ C vào M có thể mở rộng đến N vào M. Ông đã
chứng minh rằng đó là lớp mở rộng thực sự của lớp môđun C-nội xạ. Tuy nhiên,
chú ý rằng E. S. Campos và F.Smith (xuất bản 2012) đã ký hiệu giống R.Y.C
3

7. Ming (xuất bản 2007) đó đều là C-nội xạ, nhưng thực chất là hai khái niệm
khác nhau hoàn toàn. Vì chúng tôi dùng cả hai khái niệm trong luận văn này,
nên sẽ giữ lại ký hiệu của R.Y.C Ming về C-nội xạ, còn C-nội xạ theo nghĩa của
E. S. Campos, chúng tôi sẽ ký hiệu lại là c-nội xạ.
Dựa trên hướng tiếp cận của E. S. Campos và F.Smith (mở rộng theo
tiêu chuẩn Baer) và R.Y.C Ming (mở rộng theo định nghĩa) về lớp các môđun
nội xạ, từ đó đưa ra việc nghiên cứu mở rộng ra lớp các môđun nội xạ đếm
được. Một R-môđun trái M được gọi là nội xạ đếm được nếu với mọi R-môđun
N, R-môđun Q và với mọi môđun con N của Q là R-môđun đếm được sinh,
mọi đồng cấu R-môđun N vào M có thể mở rộng đến Q vào M.
Khi đó ta thấy rằng môđun nội xạ đếm được là mở rộng của môđun nội
xạ, do đó khi tìm hiểu, nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đếm được cho ta các
tính chất quan trọng.
Với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu cụ thể về môđun và vành nội
xạ đếm được, và được sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã
chọn đề tài "Về môđun và vành nội xạ đếm được" để tiến hành nghiên cứu cho
luận văn thạc sĩ thuộc chuyên ngành Đại số và lý thuyết số. Tôi hy vọng sẽ tìm
ra được các tính chất mới nhằm góp thêm vào các kết quả trong lĩnh vực này.
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi
trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số nhằm mục đích hỗ trợ cho chương
2. Chương 2 là chương chính của luận văn, gồm 4 mục. Mục 2.1, trình bày về
môđun và vành nội xạ đếm được. Tiếp theo, mục 2.2 trình bày các tính chất cơ
bản của môđun và vành nội xạ đếm được. Trong mục 2.3, mối quan hệ giữa nội
xạ đếm được và nội xạ. Và cuối cùng, mục 2.4, chỉ ra các lớp vành có liên quan.
Do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên luận văn không tránh khỏi
những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Huế, tháng 10 năm 2018
Lâm Thị Quỳnh Tiên
4

8. Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Lý thuyết
vành và môđun, vành với điều kiện hữu hạn. Các kiến thức này được trình bày
nhằm tham khảo cho các nội dung của chương sau. Một số kết quả trong chương
này là khá kinh điển, vì vậy chúng tôi chỉ trình bày nội dung mà không trình
bày phần chứng minh (phần chứng minh có thể tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [5],...).
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là một vành có đơn vị 1 = 0.
Ta quy ước các R-môđun hay môđun có nghĩa là R-môđun trái unitary, nếu có
gì thay đổi chúng tôi sẽ đề cập ngay.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm môđun con cốt yếu.
1.1 Môđun con cốt yếu, môđun đơn và các phần tử đặc biệt
Môđun con cốt yếu
Định nghĩa 1.1.1. [1, tr.18]. Một môđun con K của M được gọi là cốt yếu
(lớn) trong M, ký hiệu: K ≤e
M, trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M,
K ∩ L = 0 suy ra L = 0.
Chú ý 1.1.2. [1, tr.18]. (i) Cho M = 0, nếu K ≤e
M thì K = 0.
(ii) M ≤e
M.
Ví dụ 1.1.3. [1, tr.18]. Trong Z, mọi iđêan khác 0 đều là cốt yếu, vì cho hai
iđêan khác không tùy ý aZ, bZ thì 0 = ab ∈ aZ ∩ bZ.
5

9. Định nghĩa 1.1.4. [1, tr.18]. Đơn cấu f : K −→ M được gọi là cốt yếu nếu
Imf ≤e
M.
Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu.
Mệnh đề 1.1.5. [1, Mệnh đề 2.1.5]. Các mệnh đề sau là tương đương đối với
môđun con K của M:
(1) K ≤e
M.
(2) Đồng cấu nhúng ι : K −→ M là đơn cấu cốt yếu.
(3) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N), Ker(h) ∩ K = 0 suy ra
Ker(h) = 0.
Mệnh đề 1.1.6. [1, Mệnh đề 2.1.9]. Cho RM và K ≤ N ≤ M, H ≤ M. Lúc
đó:
(1) K ≤e
M ⇔ K ≤e
N và N ≤e
M.
(2) H ∩ K ≤e
M ⇔ H ≤e
M và K ≤e
M.
Tiếp theo tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu.
Bổ đề 1.1.7. [1, Bổ đề 2.1.11]. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và
chỉ nếu với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = rx ∈ K.
Môđun đơn
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về môđun đơn và một số tính chất của
nó. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày về môđun nửa đơn. Trước hết là định
nghĩa môđun đơn như sau.
Định nghĩa 1.1.8. [1, tr.180]. (i) Một môđun RM được gọi là đơn nếu M = 0
và M chỉ có hai môđun con là 0 và M.
(ii) Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và
R.
Tiếp theo, ta có đặc trưng quan trọng của môđun đơn.
Đặc trưng của môđun đơn [1, tr.86]. Môđun M (khác 0) là đơn nếu và chỉ
6

10. nếu mọi đồng cấu khác không M −→ N (N −→ M) trong Mod − R là đơn cấu
(t.ư, toàn cấu).
Theo định nghĩa của môđun đơn chúng ta có:
Bổ đề 1.1.9. [1, Bổ đề 2.2.11]. Môđun trái RM là đơn khi và chỉ khi M = 0 và
∀m(= 0) ∈ M, M = Rm.
Sau đây là một tính chất quan trọng của môđun đơn.
Mệnh đề 1.1.10. [1, Mệnh đề 1.1.3]. Một R-môđun trái M là đơn nếu và chỉ
nếu M ∼= R/I, với I là iđêan trái cực đại nào đó của R.
Vì các iđêan trái cực đại lập thành một tập nên có một tập F gồm các đại
diện của các lớp đẳng cấu của các môđun đơn. Ngoài ra chú ý rằng do RR là
xyclic nên nó có ít nhất một iđêan trái cực đại, từ đó suy ra sự tồn tại của
môđun đơn.
Tiếp theo chúng tôi xin trình bày về lớp môđun có liên quan chặt chẽ đến
môđun đơn, đó là lớp các môđun nửa đơn.
Môđun nửa đơn
Định nghĩa 1.1.11. [1, tr.87]. (i) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M
là tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
(ii) Vành R được gọi là nửa đơn trái (t.ư, phải) nếu môđun RR (t.ư, RR) là
nửa đơn.
Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn nên đối với mọi vành R tồn tại môđun
nửa đơn. Ngoài ra ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì
0 =
i∈∅
Mi, Mi đơn.
nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa).
Sau đây là định lý đặc trưng của môđun nửa đơn:
Mệnh đề 1.1.12. [1, Định lý 1.2.7]. Đối với R-môđun trái M, các điều kiện
sau là tương đương:
(1) M là nửa đơn.
7

11. (2) M là tổng của tập nào đó các môđun con đơn.
(3) M là tổng của tất cả các môđun con đơn của nó.
(4) Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M.
(5) Mọi dãy khớp ngắn các R−môđun trái.
0 → K → M → N → 0
chẻ ra.
Hệ quả 1.1.13. [1, Hệ quả 1.2.8]. (1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là
nửa đơn.
(2) Ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là nửa đơn.
Linh hóa tử
Định nghĩa 1.1.14. [2, tr.54]. Cho A là một môđun trái trên vành R, tập con
X ⊆ A. Ta định nghĩa linh hóa tử của X (trong R) là iđêan trái:
annR(X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}
Linh hóa tử của tập đơn tử X = {x} trong R được ký hiệu gọn là annR(x).
Khi không sợ nhầm lẫn về vành R ta có thể viết ann(X) thay cho annR(X).
Khi X ⊆ A = R thì ta có linh hóa tử phải của X trong R là
r.annR(X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}
và linh hóa tử trái của X là
l.annR(X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Ký hiệu Zr = {x ∈ R | l.ann(x) là cốt yếu} là iđêan suy biến trái của R. Đây
là một iđêan hai phía của R.
Phần tử lũy đẳng, ước của không, phần tử chính quy
Định nghĩa 1.1.15. [2, tr.29] Phần tử e ∈ R được gọi là một phần tử lũy đẳng
nếu e2
= e.
8

12. Định nghĩa 1.1.16. (Ước của 0) Trong vành R, nếu tồn tại a = 0, b = 0 : ab = 0
thì a, b được gọi là ước của 0.
Trong vành R, a, b không phải là ước của không nếu ab = 0 suy ra a = 0 hoặc
b = 0.
Định nghĩa 1.1.17. Một phần tử x của R được gọi là phần tử chính quy nếu
∃a ∈ R sao cho x = xax.
1.2 Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do
Môđun tự do
Bổ đề 1.2.1. [1, Định lý 5.1.1]. Cho FR là R-môđun trái. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
(i) F có một cơ sở.
(ii) F = ⊕
i∈I
Ai và với mọi i ∈ I, RR A.
Định nghĩa 1.2.2. [1, Định nghĩa 5.1.2]. R-môđun trái F thỏa một trong các
điều kiện trên của Bổ đề 1.2.1 được gọi là tự do.
Ví dụ 1.2.3. (i) Vành R là R-môđun trái tự do với cơ sở là {1}.
(ii) Mọi không gian vectơ đều là môđun tự do vì chúng luôn có cơ sở.
Mệnh đề 1.2.4. I = ∅, F = R(I)
là R-môđun tự do, với I là tập nào đó.
Định lý 1.2.5. Mọi R-môđun tự do F đều có dạng F = R(I)
, với I là tập nào
đó.
Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.
Định lý 1.2.6. [1, Định lý 5.2.1]. Mỗi R-môđun trái M là ảnh toàn cấu của
một R-môđun trái tự do nào đó. Nếu RM hữu hạn sinh thì RM là ảnh toàn cấu
của một R-môđun trái tự do với cơ sở hữu hạn.
Sau đây là tính chất chẻ ra của môđun tự do.
9

13. Định lý 1.2.7. [1, Định lý 5.2.2]. Nếu ϕ : RA → FR là một toàn cấu từ R-
môđun trái A vào môđun tự do F thì tồn tại đồng cấu ϕ : RF → RA sao cho
ϕϕ = 1F .
Môđun chia được
Định nghĩa 1.2.8. Một A-môđun trái trên vành R được gọi là chia được nếu
xA = A với mọi phần tử chính quy x ∈ R.
Mệnh đề 1.2.9. Mọi môđun nội xạ là chia được.
Ví dụ 1.2.10. Trên một miền bất kì thì môđun chia được không nhất thiết là
nội xạ. Chẳng hạn: R = K[x, y] là vành các đa thức của hai ẩn x, y lấy hệ tử
trên trường K và F = K[x, y] là trường các thương của R. Khi đó F/(xR + yR)
là R-môđun chia được nhưng không nội xạ.
Môđun xoắn tự do
Định nghĩa 1.2.11. Phần tử m của R-môđun trái là xoắn tự do nếu dm = 0
với d là phần tử chính quy của R.
Định nghĩa 1.2.12. Môđun con xoắn của một R-môđun trái A là tập t(A) =
{a ∈ A|xa = 0} với x là phần tử chính quy nào đó của R. Ta gọi A là xoắn tự
do nếu t(A) = 0.
1.3 Môđun nội xạ, xạ ảnh
Trong mục này, chúng tôi trình bày về môđun nội xạ, các đặc trưng của môđun
nội xạ, và một số khái niệm, tính chất khác của lý thuyết vành và môđun. Trước
tiên, chúng tôi trình bày khái niệm môđun nội xạ.
Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.3.1. Một môđun RM được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi môđun
con A của N thì mọi đồng cấu f : A −→ M đều mở rộng được đến đồng cấu
g : N −→ M, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
10

14. 0 GG A GG
f
N
g}}
M.
Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N-nội xạ với mọi môđun N.
Từ định nghĩa trên ta khai triển chi tiết ra như sau:
Định nghĩa 1.3.2. [1, Định nghĩa 3.4.1]. Cho RQ là một môđun. Lúc đó Q
được gọi là nội xạ trong trường hợp với mọi đơn cấu f : RK → RM, với mọi
RK, RM và mỗi đồng cấu ϕ : RK → RQ tồn tại một R−đồng cấu θ : M → Q
sao cho θf = ϕ, nghĩa là, biểu đồ sau giao hoán
0 GG K
f
GG
ϕ
M
θ~~
Q.
Ví dụ 1.3.3. [2, tr.66]. (1) Z không là Z-môđun nội xạ, vì đồng cấu f : 2Z −→
Z, 2n −→ n không thể mở rộng đến đồng cấu Z −→ Z.
(2) Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ.
(3) Q/Z là Z-môđun nội xạ.
Ta có mệnh đề đặc trưng cho các môđun nội xạ như sau, trong đó có đặc
trưng rất quan trọng gọi là tiêu chuẩn Baer cho môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.3.4. [1, Mệnh đề 3.4.4]. Cho M là R-môđun trái. Khi đó, các điều
kiện sau là tương đương:
(1) M là nội xạ.
(2) Mỗi đơn cấu ϕ : M −→ N đều là chẻ ra, nghĩa là Imϕ là hạng tử trực
tiếp của môđun N.
(3) Tiêu chuẩn Baer: Mỗi iđêan trái I ≤ RR và mỗi đồng cấu f : I −→ M
tồn tại đồng cấu g : R −→ M sao cho f = gι, trong đó, ι là phép nhúng I vào
R.
Ta có các tính chất sau:
Hệ quả 1.3.5. [1, Hệ quả 3.4.5]. Nếu Q là nội xạ và Q A thì A là nội xạ.
11

15. Định lý 1.3.6. [1, Định lý 3.4.6]. Ta có:
(1) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ.
(2) Cho Q =
i∈I
Qi. Lúc đó Q nội xạ nếu và chỉ nếu Qi nội xạ với mọi i ∈ I.
Định lý 1.3.7. [1, Định lý 3.4.12]. Mỗi môđun là môđun con của một môđun
nội xạ nào đó.
Mệnh đề 1.3.8. [1, Mệnh đề 3.4.14]. Đối với mỗi môđun, tồn tại đơn cấu vào
môđun nội xạ.
Mệnh đề 1.3.9. [1, Mệnh đề 3.4.16] Cho f : RM −→ RN là đơn cấu. Khi đó,
tìm được môđun N thỏa mãn điều kiện:
(1) M ≤ N .
(2) Có đẳng cấu g : N −→ N sao cho f = gι, trong đó ι là phép nhúng M vào
N .
Hệ quả 1.3.10. [2, Hệ quả 4.5] Môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là hạng
tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó.
Tiếp theo chúng tôi trình bày về bao nội xạ của một môđun.
Định nghĩa 1.3.11. [1, Định nghĩa 3.5.1].
Cho M là R-môđun trái, đơn cấu µ : M → Q được gọi là bao nội xạ đối với
M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu.
Kí hiệu: E(M) là bao nội xạ của môđun M.
Ví dụ 1.3.12. [1, Ví dụ 3.5.2]. ZZ
ι
→ QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơn
cấu nhúng còn QZ là nội xạ.
Sự tồn tại của bao nội xạ với môđun tùy ý.
Mệnh đề 1.3.13. [1, Mệnh đề 3.5.4]. Mọi môđun đều có một bao nội xạ. Nó
duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Vành nội xạ
Định nghĩa 1.3.14. Vành R được gọi là nội xạ trái nếu RR là nội xạ.
12

16. Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có khái niệm về môđun xạ ảnh như sau.
Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.3.15. [1, tr.23]. Cho RU là một môđun. Nếu RM là một môđun
thì U được gọi là M-xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu g : RM −→ RN
và mỗi đồng cấu f : RU −→ RN tồn tại một R-đồng cấu h : U −→ M sao cho
biểu đồ sau giao hoán
U
f
h
~~
M
g
GG N GG 0.
Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu nó là M-xạ ảnh với mọi môđun M.
Định nghĩa 1.3.16. [1, Định nghĩa 3.4.1]. Cho P là R-môđun trái. Khi đó P
được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu β : B → C và mỗi đồng cấu ψ : P → C
tồn tại một đồng cấu λ : P → B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, biểu đồ sau giao
hoán:
B
β
GG C GG 0.
P
ψ
bb
λ
yy
Môđun xạ ảnh có tính chất sau đây.
Hệ quả 1.3.17. [1, Hệ quả 3.4.5]. Nếu P là xạ ảnh và P C thì C là xạ ảnh.
Định lý 1.3.18. [1, Định lý 3.4.6]. Cho P = ⊕Pi
i∈I
. Lúc đó P xạ ảnh nếu và chỉ
nếu Pi xạ ảnh với mọi i ∈ I.
Định lý 1.3.19. [1, Định lý 3.4.7]. (Về mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và
môđun tự do). Một môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu P đẳng cấu với hạng tử
trực tiếp của môđun tự do nào đó.
Đối với Z-môđun, ta có:
Định lý 1.3.20. Đối với Z-môđun thì hai khái niệm xạ ảnh và tự do là như
nhau.
Mệnh đề 1.3.21. Nếu môđun RM là xạ ảnh đối với mỗi R-môđun trái nội xạ
thì M là môđun xạ ảnh.
13

17. 1.4 Môđun Artin, môđun Nơte
Ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.4.1. [1, tr.71]. (a) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi
là thỏa điều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thường được viết tắt là
ACC) trong trường hợp với mọi dãy
L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Ln ≤ . . .
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, . . . ).
(b) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãy giảm
(descending chain condition, thường được viết tắt là DCC) trong trường hợp với
mọi dãy
L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Ln ≥ . . .
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln(i = 1, 2, . . . ).
(c) Môđun RM được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào
đó của M đều có phần tử cực đại.
(d) Môđun RM được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào
đó của M đều có phần tử cực tiểu.
(e) Vành R được gọi là Nơte trái (Artin trái) nếu môđun RR là Nơte (Artin).
Ví dụ 1.4.2. [1, tr.77]. (1) Không gian vectơ vô hạn chiều không Artin, không
Nơte.
(2) Vành Z là Nơte nhưng không Artin. Thật vậy, vì mỗi iđêan trong Z đều là
chính. Ngoài ra ta có thể lấy một dãy giảm không dừng đó là:
Z 2Z 22
Z ...
Ví dụ này cho ta thấy một môđun Nơte nói chung không là Artin.
Sau đây là đặc trưng của môđun Artin và Nơte.
Định lý 1.4.3. [1, Định lý 1.1.3]. Cho M = RM và A ≤ M.
(I) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Artin.
14

18. (2) A và M/A là Artin.
(3) M thỏa DCC đối với tập các môđun con.
(II) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Nơte.
(2) M thỏa ACC đối với tập các môđun con.
(3) Mỗi môđun con của môđun M là hữu hạn sinh.
Hệ quả 1.4.4. [2, Hệ quả 1.38]. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những
môđun con Artin thì M là Artin.
Mệnh đề 1.4.5. [2, Mệnh đề 1.40]. Cho môđun nửa đơn RM. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương
(i) M là môđun Artin.
(ii) M là môđun Nơte.
Hệ quả 1.4.6. [2, Hệ quả 1.22]. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những
môđun con Nơte thì M là Nơte.
Điều kiện hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.4.7. [2, Định nghĩa 1.23]. Một RM được gọi là hữu hạn sinh nếu
tồn tại tập hữu hạn {a1, ..., an} ⊂ M sao cho M = Ra1 + ... + Ran (tức là M là
tập sinh hữu hạn).
Mệnh đề 1.4.8. [2, Mệnh đề 1.25]. Nếu vành R là Nơte trái và M là R-môđun
trái hữu hạn sinh thì M là Nơte.
Ngoài ra chúng tôi cũng nhắc lại một số kiến thức về iđêan hữu hạn sinh và
iđêan cực đại.
Định nghĩa 1.4.9. Nếu iđêan trái I của R có tập con hữu hạn F sao cho I là
iđêan trái được sinh bởi F thì iđêan trái I được gọi là hữu hạn sinh.
Nếu X là tập con bất kì của R, giao của tất cả các iđêan trái I của R chứa
X thì I được gọi là iđêan trái sinh bởi X.
Nếu X = {a} thì I = Ra và I được gọi là iđêan chính.
15

19. Định nghĩa 1.4.10. Cho R là vành và I là iđêan của R. Khi đó iđêan I thực
sự được gọi là cực đại nếu với mọi iđêan J, J ≤ I ⇒


J = I
J = R.
Mệnh đề 1.4.11. Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó, I là iđêan cực đại
khi và chỉ khi R/I là một trường.
Nhận xét 1.4.12. Mọi vành R = 0 có ít nhất một iđêan cực đại.
Bổ đề 1.4.13. (Bổ đề Zorn) Giả sử A là một tập sắp thứ tự, nếu mỗi tập con
sắp thứ tự toàn phần của A đều có cận trên trong A thì A có phần tử cực đại.
1.5 Vành Artin, Nơte và một số vành quan trọng khác
Định nghĩa 1.5.1. [2, Định nghĩa 1.35]. Vành R được gọi là Artin trái nếu
môđun RR là Artin trái.
Định nghĩa 1.5.2. [2, Định nghĩa 1.19]. Vành R được gọi là Nơte trái nếu
môđun RR là Nơte trái.
Mệnh đề sau cho ta thấy vành Artin đơn là nửa đơn.
Mệnh đề 1.5.3. [1, Mệnh đề 2.2.3]. Vành R là đơn và Artin trái khi và chỉ khi
R là đơn và RR là nửa đơn.
Mệnh đề 1.5.4. [2, Mệnh đề 1.39]. Nếu vành R là Artin trái và M là R-môđun
trái hữu hạn sinh thì M là Artin.
Định lý Hopkins-Levitzki
Định lý 1.5.5. [2, Mệnh đề 1.46]. Nếu R là vành Artin thì R là vành Nơte và
J(R) là lũy linh.
Sau đây là một định lý rất quan trọng trong đại số.
Định lý 1.5.6. [1, Định lý 2.3.1]. (Định lý Wedderburn-Artin) Một vành
R là nửa đơn trái nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn
các vành Artin đơn.
Sau đây là đặc trưng của vành Nơte.
16

20. Định lý 1.5.7. [8, Theorem6.5.1] Các điều kiện sau đây là tương đương đối với
vành R:
(1) R là vành Nơte trái.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun trái nội xạ là nội xạ.
(3) Mỗi tổng trực tiếp đếm được các bao nội xạ của các R-môđun trái đơn là
nội xạ.
Cấu trúc của vành nửa đơn được thể hiện qua kết quả sau:
Định lý 1.5.8. [1, Định lý 2.3.2]. (Cấu trúc của vành nửa đơn) Cho R là
một vành nửa đơn trái. Lúc đó, R chứa một tập hữu hạn T1, ..., Tm các iđêan
trái cực tiểu gồm đầy đủ các đại diện của các R-môđun trái đơn.
Hệ quả 1.5.9. [1, Hệ quả 2.3.3]. Vành R là nửa đơn trái (phải) khi và chỉ khi
RR là nửa đơn (RR là nửa đơn).
Chính vì từ Hệ quả 1.5.9 mà từ nay về sau ta chỉ nói đến vành nửa đơn mà
không đề cập đến phía của nó. Sau đây ta sẽ có một đặc trưng khác của vành
nửa đơn thông qua các môđun trên vành đó.
Mệnh đề 1.5.10. [1, Mệnh đề 2.3.4]. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mọi
R-môđun trái (phải) là nửa đơn.
Một kết quả quan trọng về đặc trưng của vành nửa đơn như sau:
Định lý 1.5.11. [1, Định lý 2.3.6]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R đã cho:
(1) Vành R là nửa đơn.
(2) Mỗi R-môđun phải là nội xạ (xạ ảnh).
(3) Mỗi R-môđun trái là nội xạ (xạ ảnh).
Định lý sau thể hiện đặc trưng của vành nửa đơn qua các môđun xyclic.
Định lý 1.5.12. [1, Định lý 2.3.8]. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ
khi mỗi R-môđun trái (phải) xyclic là nội xạ.
Tiếp theo ta có định nghĩa về vành chính quy (von Neumann).
17

21. Định nghĩa 1.5.13. [1, tr.68]. Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa
von Neumann) nếu với mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r ∈ R sao cho r = rr r.
Ví dụ 1.5.14. Vành nửa đơn, vành ma trận Mn (K) với K là một trường là
những vành chính quy.
Các vành chính quy có các đặc trưng quan trọng sau đây:
Định lý 1.5.15. [1, Định lý 2.2.2]. Các điều kiện sau đây là tương đương đối
với vành R:
(1) R là vành chính quy.
(2) Mọi iđêan phải (trái) xyclic là hạng tử trực tiếp của RR (RR).
(3) Mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của RR (RR).
Lý thuyết vành tựa Frobenius (hay gọi là vành QF) có nguồn gốc từ lý thuyết
biểu diễn nhóm hữu hạn và được Nakayama giới thiệu vào năm 1939. Vành QF
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.5.16. Vành R được gọi là vành tựa Frobenius (hay gọi là vành
QF) nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái).
Ví dụ 1.5.17. Nếu R là vành QF thì vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ số
trên R cũng là vành QF.
Đặc trưng của vành QF:
Định lý 1.5.18. [1, Định lý 2.2.5]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R đã cho:
(1)Vành R là QF.
(2) R là vành Artin phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái
(3) R là vành Nơte phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc trái.
(4) R thỏa mãn ACC đối với các linh hóa tử phải hoặc trái, tự nội xạ phải hoặc
trái.
Tiếp theo chúng ta thừa nhận kết quả sau về đặc trưng của vành Nơte thông
qua tính chất mọi môđun nhúng vào một tổng trực tiếp của một môđun nào đó.
18

22. Bổ đề 1.5.19. [1, Bổ đề 2.2.6]. Một vành R là Nơte trái nếu và chỉ nếu tồn tại
một R-môđun trái H sao cho mỗi R-môđun trái đều nhúng được vào tổng trực
tiếp của các bản sao của H.
Định lý 1.5.20. [1, Định lý 2.2.7]. (Faith-Waller) Các điều kiện sau là tương
đương đối với vành R đã cho:
(1) R là vành QF.
(2) Mọi R-môđun trái (phải) xạ ảnh là nội xạ.
(3) Mọi R-môđun trái (phải) nội xạ là xạ ảnh.
(4) Mọi R-môđun trái (phải) có thể nhúng vào một môđun tự do.
Định nghĩa 1.5.21. [1, Định nghĩa 2.1.4]. Một vành R được gọi là Kasch trái
nếu với mỗi R-môđun trái đơn S đều tồn tại một đơn cấu ι : S → RR.
Định lí sau nêu lên các đặc trưng của vành Kasch.
Định lý 1.5.22. [1, Định lý 2.1.7]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R đã cho:
(1)R là Kasch trái.
(2 Hom (M, RR) = 0 với mọi R-môđun trái hữu hạn sinh M.
(3)r (T) = 0 với mọi iđêan trái thực sự T của R.
(4) lr(T) = T với mọi iđêan trái cực đại T của R.
(5)E (RR) là vật đối sinh của Mod-R.
Định nghĩa 1.5.23. Vành R được gọi là vành giả Frobenius (hay gọi là vành
PF) trái nếu R là tự nội xạ trái và Kasch trái.
Tiếp theo chúng ta có các đặc trưng.
Định lý 1.5.24. [1, Định lý 3.2.3]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R đã cho:
(1) R là PF trái.
(2) Mọi R-môđun trái trung thành là vật sinh của phạm trù Mod-R.
(3) R là vật đối sinh nội xạ trong phạm trù Mod-R.
(4) R là tự nội xạ trái và Kasch trái.
19

23. Nhận xét 1.5.25. Mối quan hệ vành nửa đơn, vành QF, vành PF và vành tự
nội xạ.
Vành nửa đơn → vành QF → vành PF → vành tự nội xạ.
Định nghĩa 1.5.26. Vành R được gọi là vành nửa di truyền trái nếu với mỗi
iđêan trái hữu hạn sinh là xạ ảnh.
20

24. Chương 2
Môđun và vành nội xạ đếm được
Nội dung của chương này là nghiên cứu về môđun và vành nội xạ đếm được,
trình bày về các tính chất của môđun và vành nội xạ đếm được, trên cơ sở đó
định ra tiêu chuẩn để kiểm tra một môđun trái là nội xạ đếm được. Từ đó thiết
lập về mối quan hệ giữa nội xạ và nội xạ đếm được. Cuối cùng chúng tôi trình
bày về mối quan hệ giữa các lớp môđun và các lớp vành liên quan.
Trước tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của môđun và
vành nội xạ đếm được.
2.1 Môđun và vành nội xạ đếm được
Trong suốt mục này, ta giả sử tất cả các vành là vành kết hợp có phần tử đơn
vị và tất cả các môđun là môđun trái unitary.
Định nghĩa 2.1.1. Một R-môđun trái M được gọi là nội xạ đếm được nếu với
mọi R-môđun N, R-môđun Q và với mọi môđun con N của Q là R-môđun đếm
được sinh, mọi đồng cấu R-môđun N vào M có thể mở rộng đến Q vào M, nghĩa
là với mọi đồng cấu ϕ : N → M tồn tại đồng cấu θ : Q → M thỏa ϕ = θι, tức
là biểu đồ sau giao hoán:
0 GG N ι GG
ϕ
Q
θ~~
M.
.
21

25. Ví dụ 2.1.2. QZ là nội xạ đếm được.
Thật vậy, từ một hệ sinh tùy ý X của QZ ta rút ra hữu hạn một số phần tử
tùy ý thì tập hợp các phần tử còn lại vẫn là hệ sinh của QZ. Ta chỉ cần chứng
minh kết quả đúng khi ta rút ra một phần x0 ra khỏi X. Nếu rút nhiều phần tử
thì ta chứng minh bằng quy nạp.
Vì X là hệ sinh nên x0/2 có thể biểu diễn thành một tổng hữu hạn như sau:
x0
2
= x0z0 +
xi=x0
xizi, xi ∈ X, zi ∈ Z.
Từ đó:
x0 = x02z0 +
xi=x0
xi2zi, xi ∈ X, zi ∈ Z.
và
x0n =
xi=x0
2xi,
trong đó n := 1 − 2z0 ∈ Z, n = 0. Giả sử bây giờ ta lại biểu diễn x0/n như trên
thì:
x0
n
= x0z0 +
xj=x0
xjzj, xj ∈ X, zj ∈ Z.
Khi đó
x0 = x0nz0 +
xj=x0
xjnzj
=
xj=x0
xi2ziz0 +
xj=x0
xjnzj
=
xk=x0
xkz k, xk ∈ X, zk ∈ Z
nghĩa là phần tử x0 được biểu diễn qua tập X {x0}. Do X là hệ sinh của
QZ nên X {x0} cũng là hệ sinh của QZ.
Từ đây, ta suy ra QZ có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo như kết quả trên,
sau một số lần rút ra khỏi hệ sinh, hệ sinh của QZ sẽ là ∅, hay là QZ là 0. Điều
này vô lí.
Do đó QZ là đếm được sinh. QZ cũng nội xạ. Vì vậy có thể nói QZ là nội xạ
đếm được.
22

26. Ngoài ra ta có các khái niệm sau:
Định nghĩa 2.1.3. [4]
(i) R-môđun X được gọi là F-nội xạ nếu mỗi iđêan trái hữu hạn sinh I của
R, mỗi đồng cấu ϕ : I → X có thể mở rộng đến R.
(ii) R-môđun X được gọi là c-nội xạ nếu mỗi iđêan trái đếm được sinh C của
R, mỗi đồng cấu ϕ : C → X có thể mở rộng đến R.
(iii) Một R-môđun trái M được gọi là C-nội xạ nếu với bất kỳ một R-môđun
trái N và bất kỳ môđun con xyclic C của N, mọi R-đồng cấu từ C vào M
có thể mở rộng đến N vào M.
(iv) Một R-môđun trái M là p-nội xạ nếu với bất kỳ iđêan trái chính I của
R và bất kỳ R-đồng cấu trái g : I −→ M, đều tồn tại y ∈ M sao cho
g(b) = by, với mọi b ∈ I.
(v) R-môđun X được gọi là FP-nội xạ nếu mỗi R-môđun tự do F và môđun
con hữu hạn sinh K của F, mỗi đồng cấu ϕ : K → X có thể mở rộng đến
F.
Chú ý 2.1.4. Cho R là vành bất kì, mỗi tổng trực tiếp ⊕
i∈I
Xi của R-môđun nội
xạ là FP-nội xạ và do đó cũng là F-nội xạ.
Nếu N là môđun con hữu hạn sinh bất kì của R-môđun M bất kì thì mỗi
đồng cấu ϕ : N → X có thể mở rộng đến M, với X = ⊕
i∈I
Xi. Trong trường hợp
này, tồn tại tập con hữu hạn sinh J của I sao cho ϕ(N) ⊆ ⊕
j∈J
Xj là một môđun
nội xạ. Do đó ϕ có thể mở rộng đến M.
Sau đây là mối quan hệ giữa nội xạ, nội xạ đếm được, C-nội xạ, c-nội xạ,
FP-nội xạ, F-nội xạ và p-nội xạ :
Mệnh đề 2.1.5. (i) X là nội xạ ⇒ X là nội xạ đếm được ⇒ X là C-nội xạ.
(ii) X là nội xạ ⇒ X là nội xạ đếm được ⇒ X là c-nội xạ ⇒ X là F-nội xạ
⇒ X là p-nội xạ.
(iii) X là nội xạ ⇒ X là FP-nội xạ ⇒ X là F-nội xạ.
23

27. Chứng minh. Dựa theo định nghĩa ta suy ra các kết quả.
Điều ngược lại nói chung không đúng, chẳng hạn ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.6. (i) Nếu X là F-nội xạ ⇒ X là FP-nội xạ chỉ đúng trong trường
hợp R là vành nửa di truyền trái.
(ii) Cho R là vành không phải Nơte trái. Khi đó tồn tại tổng trực tiếp X các
R-môđun nội xạ mà không phải là c-nội xạ (theo bổ đề 2.4.28), nhưng X là
FP-nội xạ, do đó X là F-nội xạ. Chẳng hạn: Z-môđun Q không phải là Nơte
vì ta có dãy tăng vô hạn Z ⊂ (1
2)Z ⊂ (1
4)Z ⊂ .... Với mọi số nguyên dương
n, an ∈ An+1An với An = ( 1
2n )Q (n ≥ 0), đặt I = Qa1 + Qa2 + .... Ánh xạ
ϕ : I → ⊕
n≥1
E(Q/An) xác định bởi ϕ(r) = (r + A1, r + A2, ...) (r ∈ Q). Khi đó
⊕
n≥1
E(Q/An) không là c-nội xạ và theo chú ý 2.1.4 thì ⊕
n≥1
E(Q/An) là FP-nội
xạ nên ⊕
n≥1
E(Q/An) là F-nội xạ.
Vành nội xạ đếm được
Định nghĩa 2.1.7. Một vành R được gọi là nội xạ đếm được trái nếu RR là nội
xạ đếm được.
2.2 Tính chất cơ bản của môđun và vành nội xạ đếm được
Mệnh đề 2.2.1. Cho M là R-môđun trái nội xạ đếm được. Khi đó bất kỳ môđun
con đếm được sinh của M đều có bao nội xạ trong M. Vì vậy, mọi R-môđun
trái nội xạ đếm được đếm được sinh là nội xạ.
Chứng minh. Giả sử C là môđun con đếm được sinh của M, RE là bao nội xạ
của RC. Nếu g : C → M và j : C → E là phép nhúng, tồn tại R-đồng cấu trái
h : E → M sao cho hj = g. Với bất kỳ u ∈ kerh ∩ C,
0 GG C j
GG
g
E
h}}
M.
u = g(u) (do g là phép nhúng)
= hj(u) (do hj = g)
24

28. = h(u) (do j là phép nhúng)
= 0,
từ đó ker h ∩ C = 0. Do RC là cốt yếu trong RE (do RE là bao nội xạ của RC).
nên kerh = 0, vì vậy h là đơn cấu. Do đó Rh (E) ≈ RE là R-môđun nội xạ. Ta
có: C = g(C) = hj(C) = h(C) ⊆ h(E) ⊆ M điều đó chứng tỏ C có bao nội xạ
trong M. Đặc biệt, nếu C = M thì RC là nội xạ.
Nhận xét 2.2.2. [10, Proposition 2.1]. Trong R. C. Ming đã đưa ra kết quả
trên cũng đúng với R-môđun C-nội xạ như sau: Cho M là R-môđun trái C-nội
xạ. Khi đó bất kỳ môđun con xyclic của M đều có bao nội xạ của M. Vì vậy,
mọi R-môđun trái C-nội xạ xyclic là nội xạ.
Mệnh đề 2.2.3. Tổng trực tiếp hữu hạn của môđun trái là nội xạ đếm được
nếu và chỉ nếu mỗi hạng tử trực tiếp là nội xạ đếm được.
Chứng minh. Thật vậy, X là R-môđun trái nội xạ đếm được và X1 là hạng tử
trực tiếp của X, tức là ∃X2 : X = X1 ⊕ X2, cần chứng minh X1 là nội xạ đếm
được.
Giả sử C là môđun con đếm được sinh của N, f : C → M, π : X → X1 là
phép chiếu, ι : X1 → X là đồng cấu bao hàm, suy ra ιβ : C → X là đồng cấu,
với β : C → X1 là đồng cấu.
Vì X là nội xạ đếm được nên với mọi đồng cấu ιβ : C → X, tồn tại đồng cấu
k : M → X thỏa kf = ιβ, ta có sơ đồ sau:
0 GG C
f
GG
β
M
α
}}
k
ÖÖ
X1
ι
X.
Đặt α = πk : M → X1, ta có αf = πkf = πιβ = idX1 β = β. Suy ra αf = β.
Vậy X1 là nội xạ đếm được.
(⇐) Giả sử mỗi hạng tử trực tiếp là nội xạ đếm được ta chứng minh tổng
trực tiếp của R-môđun trái nội xạ đếm được là nội xạ đếm được.
25

29. Thật vậy, X =
n
⊕
i=1
Xi, giả sử Xi là R-môđun trái nội xạ đếm được ta cần
chứng minh X là nội xạ đếm được. Giả sử C là môđun con đếm được sinh của
M, β : C → X =
n
⊕
i=1
Xi là đồng cấu, πi : X → Xi là phép chiếu lên thành phần
thứ i, di : Xi → X là phép nhúng. Vì Xi là nội xạ đếm được, ∀i ∈ C nên với
mọi đồng cấu πiβ : C → Xi tồn tại đồng cấu αi : M → Xi sao cho αif = πiβ,
tức là biểu đồ sau giao hoán:
0 GG C
f
GG
β
M
α
zz
αi
ÔÔ
X =
n
⊕
i=1
Xi
πi
Xi.
trong đó X =
n
⊕
i=1
Xi =
n
i=1
X. Theo tính chất phổ dụng của tích trực tiếp,
∃α : M → X sao cho πiα = αi. Ta có πiαf = αif = πiβ, ∀i ∈ I. Suy ra αf = β.
Do đó β có thể mở rộng đến R. Vậy X là nội xạ đếm được.
Nhận xét 2.2.4. [10, lemma 1.2]. Trong R.Y.C.Ming đã đưa ra kết quả về R-
môđun C-nội xạ như sau: Tổng trực tiếp của R-môđun trái là C-nội xạ nếu và
chỉ nếu mỗi hạng tử trực tiếp là C-nội xạ.
Nhờ định lý trên, có thể đưa ra ví dụ về môđun không phải nội xạ đếm được.
Ví dụ 2.2.5. Xét vành sau:
R =


Q R
0 R


Khi đó R không là Nơte trái, tồn tại dãy tăng ngặt A1 A2 A3 ... RR.
Lấy {xi |i ∈ N} là một tập đếm được nào đó các phần tử của R, độc lập tuyến
tính trên Q. Đặt
si =


0 xi
0 0

, i ∈ N.
Khi đó,
26

30. 

k r1
0 r2

 si =


0 ki
0 0

, k ∈ Q
và, dĩ nhiên, đối với các môđun đếm được sinh bởi phần tử si là
Rsi =


0 Qxi
0 0


Vì vậy
Rs1 Rs1 + Rs2 Rs1 + Rs2 + Rs3 ...
là dãy tăng ngặt các môđun đếm được sinh. Do đó R là không phải Nơte.
Vì R không là Nơte trái, tồn tại dãy tăng ngặt A1 A2 A3 ... RR.
Khi đó tồn tại tổng trực tiếp X các R-môđun nội xạ mà không phải là nội xạ
đếm được (theo Bổ đề 2.4.28).
Với mọi số nguyên dương n, an ∈ An+1An và A = Ra1 + Ra2 + . . . + Ran.
Khi đó ta xác định ánh xạ:
ϕ : A −→ ⊕
n≥1
E(R/An)
r −→ ϕ(r) = (r + A1, r + A2, ...), r ∈ A.
Vì A ⊆ ∪
n≥1
An do đó ϕ hoàn toàn xác định. Do đó ⊕
n≥1
E (R/An) không nội xạ
đếm được.
Định lý 2.2.6. Cho R là vành tùy ý. Nếu mọi R-môđun trái nội xạ đếm được
đều nội xạ và tổng trực tiếp đếm được của các nội xạ đếm được là nội xạ đếm
được thì R là vành Nơte trái.
Chứng minh. Giả sử M =
∞
⊕
i=1
Mi là tổng trực tiếp của một họ đếm được bất
kỳ các R-môđun trái nội xạ Mi (i ∈ I). Vì mỗi Mi là nội xạ nên là nội xạ đếm
được. Theo giả thiết M là nội xạ đếm được thì M là nội xạ. R là vành có tổng
trực tiếp đếm được của một họ bất kỳ các môđun nội xạ là nội xạ nên R là vành
Nơte trái theo [3, Theorem 20.1].
Nhận xét 2.2.7. [10, Theorem 1.3]. Trong R.Y.C.Ming đã đưa ra kết quả như
sau: Nếu mọi R-môđun trái C-nội xạ là nội xạ thì R là Nơte trái.
27

31. Mệnh đề 2.2.8. Cho R là vành bất kì. Khi đó
(i) Mỗi hạng tử trực tiếp của một R-môđun nội xạ đếm được là nội xạ đếm
được.
(ii) Mỗi tích trực tiếp của các R-môđun nội xạ đếm được là nội xạ đếm được.
(iii) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun nội xạ đếm được là nội xạ đếm được.
Chứng minh. (i) Giả sử X là R-môđun nội xạ đếm được và X1 là hạng tử trực
tiếp của X, tức là ∃X2 : X = X1 ⊕ X2, cần chứng minh X1 là nội xạ đếm được.
Giả sử P là môđun con đếm được sinh của Q, f : P → Q, π : X → X1 là
phép chiếu, ι : X1 → X là đồng cấu bao hàm, suy ra ιβ : P → X là đồng cấu,
với β : P → X1 là đồng cấu.
Vì X là nội xạ đếm được nên với mọi đồng cấu ιβ : P → X, tồn tại đồng cấu
k : Q → X thỏa kf = ιβ, ta có sơ đồ sau:
0 GG P
f
GG
β
Q
α
~~
k
××
X1
ι
X.
Đặt α = πk : Q → X1, ta có αf = πkf = πιβ = idX1 β = β. Suy ra αf = β.
Vậy X1 là nội xạ đếm được.
(ii) X =
i∈P
Xi, Xi là R-môđun đếm được nội xạ, cần chứng minh X là nội
xạ đếm được.
Giả sử P là môđun con đếm được sinh của Q. Vì Xi là R-môđun nội xạ đếm
được của Q với mọi i ∈ P nên tồn tại đồng cấu αi : Q → Xi thỏa αif = πiβ,
với πiβ : P → Xi là đồng cấu, ta có biểu đồ giao hoán sau:
0 GG P
f
GG
β
Q
α
~~
αi
ÖÖ
X
πi
Xi.
28

32. Vì X =
i∈P
Xi nên với mọi đồng cấu αi : Q → Xi tồn tại đồng cấu α : Q → X
thỏa πiα = αi. Suy ra πiβ = αif = πiαf, do đó β = αf. Vậy X là R-môđun nội
xạ đếm được.
(iii) X = ⊕
i∈I
Xi, Xi là R-môđun đếm được nội xạ, cần chứng minh X là R-
môđun nội xạ đếm được. Giả sử I là đếm được sinh C của R, β : P → X = ⊕
i∈P
Xi
là đồng cấu, πi : X → Xi là phép chiếu lên thành phần thứ i, di : Xi → X là phép
nhúng. Vì Xi là nội xạ đếm được, ∀i ∈ P nên với mọi đồng cấu πiβ : P → Xi
tồn tại đồng cấu αi : Q → Xi sao cho αif = πiβ, tức là biểu đồ sau giao hoán:
0 GG P
f
GG
β
Q
α
zz
αi
ÔÔ
X = ⊕
i∈I
Xi
πi
Xi.
Đặt α = diαi : Q → X = ⊕
i∈I
Xi, ta có αf = diαif = diπiβ = 1Xβ = β hay
αf = β. Do đó β có thể mở rộng đến Q. Vậy X là nội xạ đếm được.
Nhận xét 2.2.9. [4, Proposition 1.2] Trong E. S. Campos và F.Smith cũng đưa
ra kết quả sau: Đối với c-nội xạ cho R là vành bất kì. Khi đó:
(i) Mỗi hạng tử trực tiếp của một R-môđun c-nội xạ là c-nội xạ.
(ii) Mỗi tích trực tiếp của các R-môđun c-nội xạ là c-nội xạ.
(iii) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun c-nội xạ là c-nội xạ.
2.3 Mối quan hệ môđun nội xạ đếm được và nội xạ
Trong [10] R.Y.C.Ming đã đưa ra một số kết quả về môđun C-nội xạ.
Định lý 2.3.1. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành các iđêan trái chính.
(2) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R là chính và mọi môđun trái p-nội xạ là
nội xạ.
29

33. (3) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R là chính và mọi môđun trái C-nội xạ là
nội xạ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Vì mọi iđêan trái là chính nên R-môđun trái là nội xạ
nếu và chỉ nếu nó là p-nội xạ. Do đó ta có điều phải chứng minh.
(2) ⇒ (3) Vì bất kỳ R-môđun trái C-nội xạ là p-nội xạ nên mọi iđêan trái hữu
hạn sinh của R là chính và mọi môđun trái C-nội xạ là nội xạ.
(3) ⇒ (1) Giả sử có (3). Theo nhận xét 2.2.7, mọi R-môđun trái C-nội xạ là
nội xạ nên R là Nơte trái, từ đó mọi iđêan trái đều hữu hạn sinh là iđêan trái
chính, suy ra R là vành các iđêan trái chính.
Mệnh đề 2.3.2. Với R là vành tùy ý, các điều kiện sau là tương đương:
(1) R là vành các iđêan trái chính và R là tựa Frobenius.
(2) R là vành các iđêan phải chính và R là tựa Frobenius.
(3) Mọi iđêan hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R và mọi
R-môđun trái p-nội xạ là nội xạ.
(4) Mọi iđêan hữu hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử R và mọi
R-môđun trái C-nội xạ là nội xạ.
Chứng minh. (1) ⇔ (2) do [6, Theorem 25.4.6]
Do (1) ⇔ (2) nên ta chỉ cần chứng minh cho iđêan trái.
(1) ⇒ (3) Giả sử (1), khi đó mọi R-môđun trái p-nội xạ là nội xạ. Gọi T
là iđêan trái của R thì T = Ra với a ∈ R. Do R là vành tựa Frobenius nên
T = lr(T) = lr(Ra) = lr(a) = l(bR) = l(b) với b ∈ R. Vì vậy mọi iđêan hữu hạn
sinh của R là linh hóa tử của một phần tử của R.
(3) ⇒ (4) Bất kỳ R-môđun trái C-nội xạ là p-nội xạ. Khi đó mọi iđêan hữu
hạn sinh của R là linh hóa tử của một phần tử R và mọi R-môđun trái C-nội
xạ là nội xạ.
(4) ⇒ (1) Giả sử có (4), ta chứng minh R là vành các iđêan trái chính. Giả
sử F là iđêan trái hữu hạn sinh của R, theo giả thiết F = l(b) = l(bR) với
b ∈ R, nhưng bR là iđêan phải hữu hạn sinh của R nên bR = r(c) = r(Rc)
30

34. với c ∈ R. Vì Rc lại là iđêan trái hữu hạn sinh của R nên Rc là linh hóa tử,
do đó Rc = l(r(Rc)) = l(bR) = F, suy ra F là chính. Vì vậy, mọi iđêan trái
hữu hạn sinh của R là chính và mọi R-môđun trái C-nội xạ là nội xạ nên theo
định lý 2.3.1 ta có R là vành iđêan trái chính. Do đó để chứng minh R là tự
nội xạ, ta chứng minh R là p-nội xạ. Với mọi a ∈ R, do aR là linh hóa tử nên
aR = rl(aR) = rl(a). RR là vành Nơte là rõ ràng theo nhận xét 2.2.7, từ đó R
là vành tựa Frobenius.
2.4 Các lớp vành liên quan
Mục đích của phần này là chúng tôi sẽ khảo sát các lớp vành liên quan. Vành
nửa đơn đặc trưng qua môđun nội xạ đếm được. Một số tính chất của vành
chính quy, vành QF, vành Kasch, V -vành, vành suy biến, vành không suy biến
khảo sát qua môđun nội xạ đếm được.
Trước tiên chúng tôi trình bày định nghĩa.
Định nghĩa 2.4.1. R được gọi là vành Kash trái nếu mọi iđêan trái cực đại
của R là linh hóa tử.
Hệ quả 2.4.2. Nếu R là vành Kasch trái chứa iđêan trái cực đại là chính và
nội xạ đếm được thì R là vành giả Frobenius trái.
Chứng minh. Vì R-môđun trái nội xạ đếm được đếm được sinh nên nội xạ theo
mệnh đề 2.2.2. Hơn nữa R là vành Kasch trái chứa iđêan trái cực đại là chính.
Do đó R là vành giả Frobenius trái.
Từ đó ta có được hệ quả sau.
Hệ quả 2.4.3. Nếu R là vành Kasch phải chứa iđêan phải cực đại và iđêan trái
cực đại là chính và nội xạ đếm được thì R vừa là vành giả Frobenius trái và phải.
Định nghĩa 2.4.4. (1) Môđun N được gọi là P-nội xạ nếu với mọi iđêan trái
chính I của R, mọi đồng cấu f : I → N đều có thể mở rộng thành đồng cấu
g : RR → N.
31

35. (2) Vành R được gọi là vành chính quy (theo nghĩa von Neumann), ký hiệu
V NR, nếu cho mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r ∈ R sao cho r = rr r.
Ví dụ 2.4.5. (1) Mọi trường đều là vành chính quy vì với mọi a = 0 chúng ta
có thể lấy b = a−1
thỏa mãn aba = aa−1
a = a.
(2) Ký hiệu Mn (K) là vành các ma trận vuông trên vành K. Khi đó Mn (K) là
vành chính quy. Thật vậy, với mọi A ∈ Mn (K) với rank(A) = r, khi đó tồn tại
các ma trận khả nghịch U, V sao cho A = U


Ir 0
0 0

 V .
Đặt B = V −1
U−1
, khi đó ta có:
ABA = U


Ir 0
0 0

 V V −1
U−1
U


Ir 0
0 0

 V = U


Ir 0
0 0

 V = A.
Vì vậy Mn (K) là vành chính quy.
Nhận xét 2.4.6. R là V NR trái nếu và chỉ nếu mọi R-môđun trái là p-nội xạ.
Mệnh đề 2.4.7. Nếu R là vành V NR thì mọi môđun con đếm được sinh của
R-môđun trái nội xạ đếm được xạ ảnh là nội xạ.
Chứng minh. Áp dụng [3, Theorem 5.4] môđun con hữu hạn sinh xạ ảnh của
R-môđun trái xạ ảnh luôn là hạng tử trực tiếp. Theo mệnh đề 2.2.1, M là R-
môđun trái nội xạ đếm được. Khi đó bất kỳ môđun con đếm được sinh của M
đều có bao nội xạ của M. Vì vậy, mọi R-môđun trái nội xạ đếm được đếm được
sinh là nội xạ. Hơn nữa theo mệnh đề 2.2.3 ta suy ra R là vành V NR thì mọi
môđun con đếm được sinh của R-môđun trái nội xạ đếm được xạ ảnh là nội
xạ.
Định nghĩa 2.4.8. Vành R được gọi là V -vành trái nếu mọi R-môđun trái đơn
là nội xạ.
Ví dụ về V -vành như sau.
Ví dụ 2.4.9. Vành nửa đơn là V -vành. Thật vậy, trên vành R nửa đơn, mọi
R-môđun là nội xạ, nên mọi R-môđun đơn là nội xạ. Do đó, R là một V -vành.
32

36. Ngược lại, nếu R là V -vành thì chưa chắc R là vành nửa đơn, vì mọi R-môđun
đơn là nội xạ thì chưa suy ra được mọi R-môđun là nội xạ.
Từ mệnh đề 2.2.1 ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.4.10. R là V -vành trái khi và chỉ khi mọi R-môđun trái đơn là nội
xạ đếm được.
Chứng minh. Vì các R-môđun trái đơn là xyclic và nội xạ đếm được nên là nội
xạ. Suy ra R là V -vành trái
Hệ quả 2.4.11. (Đặc trưng của vành nửa đơn) Các điều kiện sau tương đương:
(1) R là vành nửa đơn.
(2) Mọi R-môđun là nội xạ đếm được.
(3) Mọi R-môđun xyclic là nội xạ đếm được.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3): Rõ ràng.
(3) ⇒ (1): Do các R-môđun xyclic là nội xạ đếm được suy ra nó là nội xạ.
Áp dụng định lý Osofsky ta có R là vành nửa đơn.
Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 2.4.12. [12, Lemma 2]. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) Vành R là chính quy.
(2) Mọi R-môđun là p-nội xạ.
(3) Mọi R-môđun xyclic là p-nội xạ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2): Giả sử M là R-môđun, Rb là iđêan trái chính và g :
Rb −→ M là một R-đồng cấu trái. Nếu R chính quy thì b = bcb, với c ∈ R. Đặt
g(cb) = y ∈ M. Khi đó, với bất kỳ a ∈ R,
g(ab) = g(abcb) = abg(cb) = aby
suy ra M là p-nội xạ.
(2) ⇒ (3): Rõ ràng.
33

37. (3) ⇒ (1): Giả sử mọi R-môđun xyclic là p-nội xạ. Với bất kỳ b ∈ R, xét
ánh xạ đồng nhất ι : Rb −→ Rb. Vì Rb là p-nội xạ nên tồn tại c ∈ Rb sao cho
ι(ab) = abc, với mọi a ∈ R. Khi đó, b = ι(b) = bc. Vì c ∈ Rb nên c = db, với
d ∈ R, suy ra b = bc = bdb. Vậy R là chính quy.
Mệnh đề 2.4.13. Nếu R là vành chính quy sao cho mọi R-môđun p-nội xạ đều
nội xạ đếm được thì R là V-vành.
Chứng minh. Với M là R-môđun xyclic, theo Bổ đề 2.4.12 thì RM là p-nội xạ
nên RM là nội xạ đếm được và theo Mệnh đề 2.2.1 RM là nội xạ. Do đó R là
V-vành.
Bây giờ chúng tôi trình bày đặc trưng vành QI thông qua nội xạ đếm được.
Định nghĩa 2.4.14. R là vành QI trái nếu mọi R-môđun trái tựa nội xạ.
Nhận xét 2.4.15. R là vành QI trái nếu và chỉ nếu tổng trực tiếp của bất kỳ
hai R-môđun trái tựa nội xạ là tựa nội xạ.
Mệnh đề 2.4.16. Các điều kiện sạu là tương đương
(1) R-môđun trái là nội xạ đếm được nếu và chỉ nếu nó là tựa nội xạ.
(2) R là vành QI trái Nơte trái của môđun trái nội xạ đếm được là nội xạ.
Chứng minh. (1)⇒ (2) Nếu RN là tổng trực tiếp của hai R-môđun trái tựa nội
xạ thì RN là tổng trực tiếp của hai môđun trái nội xạ đếm được và theo mệnh
đề 2.2.3, RN là nội xạ đếm được và do đó nó là tựa nội xạ. Theo [6, Proposition
2.1] R là vành QI trái cũng là Nơte trái. Do đó ta có điều cần chứng minh.
(2)⇒ (1) Rõ ràng.
Một số tính chất của vành không suy biến khảo sát qua các lớp môđun nội
xạ đếm được, trước tiên ta có một số định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.4.17. (i) Cho M là một R-môđun trái, một phần tử m ∈ M
gọi là phần tử suy biến nếu mọi iđêan trái là cốt yếu trong RR. Tập tất cả
các phần tử suy biến của M tạo thành môđun con của M và gọi là môđun
con suy biến của M, ký hiệu Z(M).
34

38. (ii) Môđun M gọi là môđun suy biến nếu Z(M) = M, trong trường hợp
Z(M) = 0 thì M được gọi là môđun không suy biến.
(iii) Vành R gọi là suy biến trái (t.ư không suy biến trái) nếu Z (RR) = R (t.ư
Z (RR) = 0).
Mệnh đề 2.4.18. Cho R là vành không suy biến trái và thỏa mãn: Bất kỳ tổng
trực tiếp của bao nội xạ của R-môđun trái đếm được sinh suy biến đều nội xạ.
Khi đó với mọi M là R-môđun trái nội xạ đếm được thì Z(M) là nội xạ.
Chứng minh. Rõ ràng R-môđun 0 là nội xạ, nên ta có thể giả sử Z (M) = 0.
Lấy 0 = u1, u2, . . . , un ∈ Z (M) khi đó Ru1 + Ru2 + . . . + Run có bao nội xạ V
chứa trong M theo mệnh đề 2.2.1. Do R là vành không suy biến nên theo [9,
Theorem 4] thì từ tính nội xạ của V suy ra Z(V ) nội xạ. Do u1, u2, . . . , un ∈
Z (M) nên Ru1 + Ru2 + . . . + Run ≤ Z (M) nghĩa là với mọi x thuộc vào
Ru1 + Ru2 + . . . + Run ta có r (x) ≤e
RR và do Ru1 + Ru2 + . . . + Run ≤ V suy
ra Ru1 + Ru2 + . . . + Run ≤ Z (V ), do Z(V ) nội xạ nên V ≤ Z (V ), nhưng hiển
nhiên Z (V ) ≤ V . Vậy V = Z (V ) ≤ Z (M).
Gọi S là tập tất cả các bao nôi xạ của R-môđun đếm được sinh suy biến được
chứa trong Z(M). Khi đó S = ∅ vì theo chứng minh trên, nếu ta lấy môđun
Ru1 + Ru2 + . . . + Run thì nó có bao nội xạ V ≤ Z (M) và vì Ru1 + Ru2 + . . . +
Run ≤ Z (V ) nên Ru1 +Ru2 +. . .+Run ≤ Z (V ) = Z(Ru1 +Ru2 +. . .+Run ≤
Z (V )). Lấy ε là tập tất cả các họ độc lập {Ej} gồm các phần tử cực đại {Ei}i∈I.
Đặt N = ⊕i∈I0 Ei ≤ Z (M) thì N là nội xạ theo giả thiết. Do đó Z (M) = N ⊕Q.
Nếu q ∈ Q và q = 0 thì Rq có bao nội xạ W ≤ Z (M). Nếu W ∩ N = 0 thì có
phần tử khác không x thuộc cả W và N. Vì Rq≤e
W nên N ≥ Rx ∩ Rq = 0 từ
đó N ∩ Q = 0 mâu thuẫn. Do đó W ∩ N = 0. Như thế có một phần tử của ε
thực sự chứa {Ei}i∈I mâu thuẫn tính cực đại. Suy ra Q = 0 nên Z(M) = N là
nội xạ.
Hệ quả 2.4.19. Nếu R là vành không suy biến trái, Nơte trái thì bất kỳ R-môđun
trái nội xạ đếm được M, Z(M) là nội xạ.
35

39. Định nghĩa 2.4.20. [13, tr.161]. Một vành R được gọi là di truyền trái nếu
mọi iđêan trái là xạ ảnh.
Ví dụ 2.4.21. [13, tr.161]. Mọi vành nửa đơn đều là di truyền trái và phải.
Nhận xét 2.4.22. Với bất kỳ R-môđun trái M với bao nội xạ K, K/M là
R-môđun trái suy biến chia được. Nếu mọi R-môđun trái suy biến chia được là
nội xạ thì R là vành di truyền trái.
Hệ quả 2.4.23. Cho R là vành Nơte trái với môđun trái suy biến chia được là
nội xạ đếm được. Khi đó R là di truyền trái.
Chứng minh. Vì mọi R-môđun trái suy biến chia được là p-nội xạ nên mọi iđêan
trái chính của A là xạ ảnh. Do đó Z = 0. Theo hệ quả 2.4.19, mọi R-môđun trái
suy biến chia được là nội xạ. Vì vậy R là di truyền trái.
Hệ quả 2.4.24. Nếu R là vành QI trái có môđun trái suy biến chia được là nội
xạ đếm được thì R là di truyền trái.
Mệnh đề 2.4.25. Cho R là vành trái không suy biến sao cho bất kỳ tổng trực
tiếp của bao nội xạ của R-môđun trái đếm được sinh suy biến là nội xạ. Giả sử
mọi R-môđun trái suy biến là nội xạ đếm được. Khi đó bất kỳ R-môđun trái M
không xoắn, mọi hạng tử trực tiếp của M là không xoắn.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.4.18, nếu N là R-môđun trái suy biến, thì RN là
nội xạ đếm được. Suy ra Z(N) = N là nội xạ. Vì vậy bất kỳ R-môđun trái M
không xoắn, tồn tại môđun con nội xạ chứa Z(M) và mọi hạng tử trực tiếp của
M là không xoắn.
Vì bất kỳ tổng trực tiếp của R-mođun trái suy biến là suy biến nên có hệ quả
sau.
Hệ quả 2.4.26. Nếu mọi R-môđun trái M suy biến, thì bất kỳ R-môđun trái
M không xoắn, mọi tổng trực tiếp của M là không xoắn.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.27. Các phát biểu sau là tương đương cho một vành R.
36

40. (1) R là vành Nơte trái.
(2) Mỗi tổng trực tiếp của R-môđun nội xạ đếm được là nội xạ đếm được.
(3) Mỗi tổng trực tiếp của R-môđun nội xạ là nội xạ đếm được.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3). Rõ ràng.
(3) ⇒ (1). Giả sử R không là Nơte trái, xét A1 A2 .... là dãy tăng thực sự
các môđun con đếm được sinh của R, với mỗi số nguyên dương n, an ∈ An+1An
(∗) và A = Ra1 + Ra2 + .... Khi đó ta xác định ánh xạ:
ϕ : A −→ ⊕
n≥1
E(R/An)
r −→ ϕ(r) = (r + A1, r + A2, ...), r ∈ A.
Vì A ⊆ ∪
n≥1
An do đó ϕ hoàn toàn xác định. Vì ⊕
n≥1
E(R/An) là nội xạ đếm được
nên ∃x ∈ ⊕
n≥1
E(R/An) sao cho ϕ(r) = rx, r ∈ A. Chọn n sao cho πn+k(x) = 0,
k = 0, 1, ... vì vậy
A/An+k = πn+k(ϕ(A)) = πn+k(Ax) = Aπn+k(x) = 0.
Hay An = An+1 điều này mâu thuẫn với (∗). Do đó R là Nơte trái.
Nhận xét 2.4.28. [4, Lemma 4.1] Trong E. S. Campos và F.Smith đã đưa ra
kết quả về R-môđun c-nội xạ. Các phát biểu sau là tương đương cho một vành
R.
(i) R là vành Nơte trái.
(ii) Mỗi tổng trực tiếp của R-môđun c-nội xạ là c-nội xạ.
(iii) Mỗi tổng trực tiếp của R-môđun nội xạ là c-nội xạ.
37

41. KẾT LUẬN
Tóm lại, trong luận văn này, chúng tôi đã thu được những kết quả sau đây.
1. Đưa ra được khái niệm nội xạ đếm được và thiết lập được một mối quan hệ
giữa nội xạ đếm được và nội xạ.
2. Một số tính chất của môđun và vành nội xạ đếm được, đặc biệt tính chất:
Cho M là R-môđun trái nội xạ đếm được. Khi đó bất kỳ môđun con đếm
được sinh của M đều có bao nội xạ trong M. Vì vậy, mọi R-môđun trái nội
xạ đếm được đếm được sinh là nội xạ. Ngoài ra, tổng trực tiếp hữu hạn của
R-môđun trái là nội xạ đếm được nếu và chỉ nếu mỗi hạng tử trực tiếp là nội
xạ đếm được.
3. Một số lớp vành liên quan, tiêu biểu là vành nửa đơn, vành chính quy, vành
QF, vành Kasch, V -vành, vành suy biến, vành không suy biến khảo sát qua
nội xạ đếm được.
Chúng ta đã nghiên cứu một số tính chất của môđun nội xạ đếm được, tuy
nhiên còn rất nhiều tính chất chúng tôi muốn mở rộng nhưng chưa đủ thời gian
cũng như kiến thức, trong tương lai, nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên
cứu về lớp môđun nói trên.
38

42. Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] T. C. Quỳnh, L. V. Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành và môđun,
Nhà Xuất Bản Đại Học Huế.
[2] L. V. Thuyết, L. Đ. Thoang (2017), Giáo trình vành với điều kiện hữu hạn,
Nhà Xuất Bản Đại Học Huế.
Tiếng Anh
[3] Bass. H. (1960), “Finitistic dimension and a homological generalization of
semi-primary rings”, Trans. Amer. Math. Soc., (95), 466–488.
[4] Campos E. S. and Smith F. (2012), “Generalizations of Injective Modules”,
International Electronic Journal Of Algebra, 96-110.
[5] Chase. S. U. (1960), “Direct products of modules”, Trans. Amer. Math. Soc,
(97), 457-473.
[6] Faith. C. (1976), Algebra II: Ring Theory , Springer-Verlag.
[7] Ikeda. M, Nakayama. T (1954), “On some characteristic properties of quasi-
Frobenius and regular rings”, Proc. Amer. Math. Soc. (5), 15–19.
[8] Kasch F. (1978), Modules and Rings, B. G. Teubner, Stuttganrt.
[9] Ming Y. C. (1969), “A note on singular ideals”, Tôhoku Math. J., (21) ,
337-342.
[10] Ming Y. C. (2007), “ C-injectivity and C-projectivity”, Hiroshima Math.
J., (37), 385-395.
39

43. [11] Ming Y. C.(1981), “On injective and p-injective modules”, Riv. Mat. Univ.
Parma, (47), 187-197.
[12] Ming Y. C. (1974), “On (von Neumann) regular rings”, Proc. Edinburgh
Math. Soc., (19), 89-91.
[13] Rotman J. J. (2009), An Introduction to Homological Algebra, Second Edi-
tor, Springer-Verlag New York.
[14] Yousif. M. F. , Zhou. Y. Q. and Zeyada. N. (2005), “On pseudo-Frobenius
rings”, Canad. Math. Bull., (48), 317–320.
40