Áreas y Volúmenes..

2. Integral definida
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,
especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,
una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo
de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René
Descartes, Newton, Gottfried e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los
aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que
propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
Definición:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Se define la integral
definida, en el intervalo [a, b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje
OX y la gráfica de f(x) y se nota
Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a, b] entonces se define
la integral definida, en el intervalo [a, b], como el valor del área limitada por las
rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

3. La integral definida. Propiedades:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Entonces se
tiene:
i.
ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a, b] y c [a, b] entonces
iii. Si f y g son dos funciones integrables en [a, b] entonces
Métodos de Integración Aproximada:
 Método del trapecio
Para calcular la integral definida, aplicando el Teorema Fundamental del
Cálculo, es preciso obtener previamente una integral indefinida. Aunque se
conocen diversos métodos para hallar la integral indefinida de una cantidad
considerable de funciones, existen funciones para las cuales estos métodos
no son aplicables. Este inconveniente se supera haciendo uso de la
integración numérica. La integración numérica permite evaluar la integral
definida de una función continua en un intervalo cerrado con la exactitud
deseada. En este apartado vamos a estudiar el método de integración
numérica: la Regla del Trapecio.
Este es un método de integración numérico que se obtiene al integrar
la fórmula de interpolación lineal.

4. ba
f(a)  f(b)  E
b
I   f(x)dx 
a 2 Respuesta, (error).
Regla del
trapecio
Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque el área
descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de
trapecios.
El método de los trapecios es muy simple y se puede explicar fácilmente a
partir de la siguiente figura.
Eligiendo un espaciado
Se divide el intervalo [a, b] por medio de puntos igualmente espaciados
Tenemos que, las ordenadas de dichos puntos son
En cada intervalo (xi, xi+1) se sustituye la función f(x) por la recta que une
los puntos (xi, yi) y (xi+1, yi+1) tal como se aprecia en la figura.
La parte sombreada, un trapecio, se toma como el área aproximada, su valor
se puede calcular fácilmente.

5. El área total aproximada es la suma de las áreas de los n pequeños trapecios
de anchura h
o bien, agrupando términos
Cuanto mayor sea el número de divisiones del intervalo [a, b] que hagamos,
menor será h, y más nos aproximaremos al valor exacto de la integral. Sin
embargo, no podremos disminuir h tanto como queramos, ya que el
ordenador maneja números de precisión limitada.
Tomando el siguiente calcularemos el área y luego utilizaremos el Método
del Trapecio.
 Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje X y las ordenadas
de x= 2 y x = 8
Despejamos la función: entonces nos vas a quedar y= 10-x.
Luego graficamos

6. Una vez realizado el mismo integramos para los extremos 2 y 8
Luego aplicamos el método del trapecio:
8
 (10  x)dx  Tn
2
n=5
x0  2
x1  3.2
x 2  4 .4
x 3  5 .6
x 4  6 .8
x5  8
x ba
 
2 n
6
82 6 3
  5 
5 5 2 5
3/5 (10-2)+2(10-3.2)+2(10-4.4)+2(10-5.6)+2(10-6.8)+ (10-8) =
8+ 13.6+11.2+8.8+6.4+2 3/5= 30 u 2

7. Método de Simpson:
“Deducción a partir de la ecuación de la parábola”
Sabemos que la ecuación de una parábola tiene la siguiente forma
Esta parábola delimitada por los limites, uno inferior –h y otro superior h,
cuya mitad será 0, tal como se muestra en la siguiente figura
Procedemos a integrar dicha parábola entre los limites –h y h

8. Reemplazamos los limites tenemos
Suprimimos los paréntesis obtenemos
Simplificamos términos
Aplicamos algunos artificios matemáticos para acomodar la ecuación, en
este caso sacamos factor común a los dos miembros
Que es nuestra ecuación que denominaremos ecuación Ec.1

9. Ahora bien consideremos la figura anterior, en la que los límites que cortan
de nuestra curva f(x) coinciden a los puntos de nuestra parábola cortada
por Xi, entonces podemos decir:
Entonces para nuestra curva f(x) se puede decir que los valores de f (-h), f
(0), f (h) son los siguientes:

10. Que es lo mismo a decir
Entonces acomodando convenientemente los términos tenemos
Miramos la ecuación Ec.1, la podemos expresar de la siguiente manera, en
este caso descomponemos unos de sus factores:
Ahora vemos que podemos reemplazar Ec.2 y Ec.3 en Ec.4. Observemos los
términos iguales
Lo reemplazamos y obtenemos lo que buscamos
Bien con esta ecuación obtendremos el área aproximada de una figura, para
comprobar lo anterior haremos un ejemplo simple de un cálculo de área de
la siguiente figura

11. En donde:
X0=0
X1=2
El valor de su área utilizando el cálculo algebraico es el siguiente:
Reemplazando los límites
Ahora utilizamos el método de Simpson
Ejemplo:
En donde el valor para de h para nuestros límites es igual a

12. -h=0
h=1
f(x)=x 2
Reemplazamos:
 Sólidos de Revolución
Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a, b]
se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina
“área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama
“superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de
revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente
se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje
siempre se puede ubicar en esa posición.

13.  Volumen de un sólido de revolución (método de los discos):
El volumen de un sólido generado alrededor del eje x la región bajo la curva
de f(x) en el intervalo [a, b] en que f(x) es continua es:
El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el
área del círculo se obtiene la expresión previa.
Si el volumen se genera por una superficie entre curvas, se generaliza el
método de los discos y se le denomina método de las arandelas, en este caso
si f(x) ≥g(x) en [a, b] limitan la superficie, se tiene:

14. Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del
eje se puede verificar
que el volumen de una esfera es
Tomando la parte superior de la circunferencia y
haciendo rotar la región el eje alrededor del eje se obtiene
Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen, la recta el
eje rota
alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.
Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son
perpendiculares al eje “y”.
Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para
con lo cual

15.  Volumen de un sólido de revolución (método de los cascarones
cilíndricos):
El sólido de revolución generado por una función f(x) que gira alrededor del
eje y, limitado por las rectas x = a y x = b, el eje x y la gráfica de f(x),
tiene un volumen:
En la figura se observa –en azul– un tubo típico de radio x, espesor dx y
altura f(x), que puede ser convertido en una lámina rectangular de
superficie 2πxf(x) y espesor dx.

16. Ejemplo1:
 Encontrar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región
limitada por
Al hacer girar la figura sobre el eje “y”, podemos "cortar" discos de altura
y el radio sería , entonces:
Al tener esto podemos ver que para encontrar el volumen del disco es lo
mismo que obtener el volumen a un cilindro.
Entonces:
Con esto tenemos el volumen de un disco, y para encontrar el volumen total
para n-discos:
Para optimizar hacemos que sea más grande, haciéndola tender al infinito:
Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8.
Resolviendo nos queda

17. Mediante el método de los cascarones cilíndricos:
Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la
circunferencia de
centro en el punto y radio 2 alrededor de la recta (Toro)

18. El volumen se puede hacer por arandelas siendo la parte superior de la c
E l volumen de la parte exterior y la parte inferior de la circunferencia la
que genera el volumen de la parte interior.
Sin embargo se facilita mucho utilizar capas cilíndricas (producidas por
rectángulos paralelos a la recta
El radio “r” es la distancia al eje de rotación desde cualquier ordenada es
decir r=y+1.
La altura h=2x,y el espesor con lo cual ( )( ) conduce a la
integral.
Integral que se calcula haciendo
y al reemplazar
Con lo cual (unidades
cúbicas).
Bibliografía:
 http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/integral_defi
nida_ejff/primera.htm
 http://www.compujuy.com.ar/postx.php?id=70