Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

Matematika Teknik [k.a.stroud 1st ed]

26.163 Aufrufe

Veröffentlicht am

Matematika Teknik K.A. Stoud

Veröffentlicht in: Bildung
  • You have either reached the page that is unavailable :(
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier

Matematika Teknik [k.a.stroud 1st ed]

  1. 1. <ų© -› Dilengkapi dengan PERSONAL TUTOR ä*. ._ 4?? b. x 4 _ 'x ° a §: ų`: *^; ~.`* K. A. STROUD dengan iumbuhon dnri DEXTER J. BOOTH EDISI KELIMA JILID 1
  2. 2. ,ßtrcųzd Matematika teknik / K. A. Stroud. Dexter J. Booth; alih bahasa, Zulkifli Harahap: editor. Lemeda Simarmata. - Jakarta: Eriangga, 2003. . .jiI. :.. .cm. Judul asli: Engineering mathematics ISBN 979-688-997-6 (no. jll Iengkap) ISBN 979-688-998-6 (jíl. 1) ISBN 979-688-999-4 (jil. 2) 1. Matematikateknik. i. Judul. II. Stroud. K. A, III. Booth. Dexter J. IV. Simarrnata. Lemeda. K: ii ¡ i lix x l 2 : l: . l »Im lxtll! .Lliívi l K. A. Strand (lan Dcttler . I. Brmth . ludulAsliz i"›l. `l`*. í,š TH mi; l `~. l Hi, ii 'l`l(`. lilli! l «ištiun K. A. Slroud um! Dexter J. Brmlh Copyright (Ö K. A. Stroud and Dexter J. Booth 2001 Translation Copyright © 2003 by Il . vi v' . I < w All Rights Reserved. Authorized translation from the English language edition published by PALGRAVE. Houndmills. Basingstokc. Humpshire RG 2l 6X5 and l75 Fifth Avenue. Ncw York. N. Y. l00l0. Hak lerjemahan dalam Bahasa Indonesia pada / ü u. x v' II l «i v . /. bcrdusarkun pcrjanjian pada tunggal IS November 2002 Alih Bahasa: lr. .üp . tíít lí. ¡ 253251 Editor : Lemeda Simarmata, S. T. Buku ini disct dan diIuy-oul olch bagian Produksi / '›~: „-. mu . -“ a/ uw: * › dengan Power Macintosh G~4 (Times IO pt). Dicctak oleh : l'l. (šçlozr: 'uítvzra l'r. ai. :nt 09 08 07 06 7 6 5 4 3 2 Dilarrtng keras nxengtrríp, mcnjiplrtk. aum Incnxfarnkupi sebugían amu xeluruh isi huku im' sarm nrcmperjuzllhclikannya lanpa izin lemtlís darí í 't -: :“I'ƒn'. ' I*r. '.. ~u¡„ . x H i (`H'l 't l)ll_llll (; l (il lzll I `l)(J-l l)`(š
  3. 3. -' i Matematíka Teknik Rangkuman revísi 47 Latihan revisi 48 Sisu-m Išilzinųutl - Denari. Biner, Oktal Duodesimal. Heksadesimal 49 Rangkuntan revisi 53 latilum revisi 56 1't'r"'. Illl1'. IIl husis - Denari ke biner, oktal dan duodcsimal, Manfaat oktal sebagai 57 langkah antara Ht-lmlc lcrhulilx 62 Rangkrtman revisi 63 lati/ tan reitisi 63 l)¡l| );I1k; I11 mida? Checklist F. l 64 Lutilmn ujinn 111 65 Sinul-soul Lmjulnn l". I 67 Program F. 2 Ponųantnr' nlinbar Tl Husil pctltlit'l*. t¡'att': ttt 71 líui` 7 l! I't^rn nt-. nm nIj-. nh-. nr _ Simbol selain numeral. Konstanta. Variabel. Aturan 74 aliabar, Atumn prioritas. Suku dan koeftsien. Mengumpulkan suku yang sejenis, Suku yang serupa, Menguraikan tanda kurung, Tanda kurung dalam kurung Rangkuman revisi 80 Latihan revis-i 80 P-. mgkut - Pangkat, Aturan indeks 82 lugurílttlu - Pangkat. Logaritma. Aturan logaritma, Basis 10 dan basis e. pengubahan 84 basis, Pcrsamaan logaritmik Rangkuntan revisi 90 L . z , . . 9' Pcrltulinn porn)utuzut-ziljulisn' suulu : II'1'.1l)t'11l11l11', _'_: l1 V] Prcnlmn - Pecahan aljabar, Penambahan dan pengurangan, Perkalian dan pembagian 93 Pt-iiihuųinrl salu |1t'l`I1_¡ll¡1:1II(lflluilll pcrnpntaiuttiziiri 95 Rangkuman revisi 97 Latihan revisi 97 Iülktcrríxusi pt-rlt) : ilunn : iljaliur - Faktor persckutuan. Faktor persekutuan dengan 99 pengelompokan, hasilkali dua faktor sederhana yang bennanfaat, Pemyataan kuadratik sebagaí hasilkali dua faktor sederhana, Faktorisasi suatu pemyataan kuadratik, Pengujian untuk faktor-faktor sederhana Rangkuman revisi 107 Latihan revisi 107 Ütlpilllxilll IHI: I`. ' Chccklist F. 2 108 lgtlilizttt ujiatn 1*. 2 109 Soul-sinul lzuljttlzn) l”. .I 110 Program 11.3 Pornyatnan dan persnmaan 113 llnsil [H^1l11)t'1:li2II`: II1 113 lxuis 1.3 114 1't"I'|1¡Il¡l: ln (Inn )t'l'~; Ilt| :t'. tII - Menentukan nilai rn ataan. Persamaan. Menentukan 115 nilai variabel indegnden, Transgsisi rumus-mmus Rangkuman mvísi 124
  4. 4. Daítar Isi Larihan revísi 124 Proses penentuan nilal - Sistem 125 Persamaan polinomial - Pernyataan polinomial, Penentuan nilaj polinomial, 126 Penentuan nilai polinomial dengan pengurungan Teorema sisu -Teorema faktor 128 Faktorisasi polinomial ltuartik 133 Rangkuntan revisi 136 Laríhan rtvisi 137 Dapatkah Anda? Checklist F. 3 138 Latlhan u jían F. 3 138 Sool-soul laniutan F. 3 139 EA Grant: m Hasil pembelajaran 141 Kuts F. 4 142 Grafik ßrsamaan - Persamaan. Pasangan bilangan teratur, Sumbu Kartesius, 143 Menggambar graftk Rangkuman revisi 150 Menggunakan Iembar-kerja - Lembar-keria, Baris dan kolom. Pemasukan teks 152 dan angka. Rumus-rumus, Menghapus entri. Konstruksi suatu graiik Kartesius Rangkuman revisi 160 Latihan mvísi 161 Ketaksamaan - Lebih kecil dari atau lebih besar dari 162 Rangkuman revisi 163 latihan revísr' 163 Dapatkah Anda? Checklist F. 4 164 Latihan ujian F. 4 164 Soa1~soa1 Ianjutan F. 4 165 Program F. 5 kannan linear dan persamaan linçar simultan 167 Hasil pembelajaran 167 kuis F. 5 168 Persamaan linear - Penyelesaian suatu persamaan sederhana 169 Persamaan linear simultan dengan dua anu - Penyelesaian dengan substitusi 171 penyelesaian dengan menyamakan koetisien Persamaan linear simultan dengan tiga anu - Pra-Enyederhanaan 174 Rangkuman revisi 178 l . E . . 118 Dapatkah Anda? Checklist F. 5 180 Latlhan ujian F. 5 181 Sool-soul Iunjutan F. 5 181 Program F. 6 Ienamaan pollnomial taa Hasil pembelnjaran 183 Kuis F. 6 184 Persamaan polinomial - Persamaan kuadratik 185 Penyelesaian persamaan kublk yang memiliki sedikitnya salu faktor Iinear 190 vii
  5. 5. viii Matematika Teknik Pcnyelesaiun persamaan kuurtik yang memlllki sedlltitnya dua faktor Iineur 194 Rangkwnan revisi 197 Latihan revisi 198 lhpatkah Anda? Check1istF.6 200 Lutihan ujian F. 6 200 Sool-soul Ianjutan F. 6 201 Program F. 7 Fecahan parsial . ß Hasil pemhelajuran 203 Kuis l". 7 204 I'm-tahan parsial 205 Rangkuman revisi 211 Latihan revísi 211 Penyehut dengan faktor horulang dan kuadratik 212 Rangkuman revisi 219 l . E . . 220 Dagtkah Anda? Checklist F. 7 220 Latihan ttjian F. 7 221 SMI-sool Ianjutan F. 7 221 Program F. B Trigonometri b Hasil pemhelajaran 223 Kuis F. tl 224 Sudut - Rotasi. Radian. Segitiga, Rasio ttigonometrik, Rasio 225 kebalikan, Teorema Pythagoras. Segitiga khusus. Setengah sama-sisi Rangkwnan revisr' 236 latihan mvisi 237 Identitas trigonometrik - ldentitas dasar, Dua 238 ldentitas lain, ldentitas untuk sudut-sudut gabungan Rumus trigonometrtk - Jumlah dan selisih sudut, 242 Sudut ganda. Jumlah dan selisih rasio, Hasilkali rasio Rangkuman revisi 243 larihan mvisi 244 Dapatkah Anda? Checklist F. 8 245 Imtihan ujiun F. 8 245 Simi-soul Ianjutan l". 8 246 Program F. 9 Deret binomial ß Hasll pemheiajnran 249 Kuis I-`. 9 250 Faktorinl dan komblnasi - Faktorial. Kombinasi, Tiga 251 sifat dari koefisien kombinatorial Rrmgkuman revisi 258 Larihan revisi 258 Deret binomíal - segitiga Pascal, Ekspansi binomial. Suku 259 Umum dari Ekspansi binomial Rangkuman revísi 264
  6. 6. Daftar Isi Nami X (sigma) - Suku-suku umum, Penjumlahan n bilangan asli pertama. Aturan untuk memanipulasi penjumlahan Bilangan eksponensial e Rangkuman revisi latíhan revisi Dapatkah Anda? Checklist F. 9 Latihan uiian F. 9 SoaI-soal larųjutan F. 9 froçamlšioDiíereruiasí Hasil pembelajaratt Kuis F. 10 Gradien grafik garis-lurus Gradien kurva pada titik yang diketahui Penentuan gradien kurva secara aljahar 'Iltrunnn dari x yang dipungkntkan - Dua garis lurus. Dua kurva Dlferensiusi polinomial 'lhrunan ~ notasi laiu Rangkuman revisr' Intíhan revisi 'lhrunan kedua _ Nilaí pembatas jika y jika 0 -› 0. Turunan standar Dlferensiasi dari Itasllkali fungsi Dífemnsiasi dari hasilbagi dua fungsi F ungi dari suatu Fungi - Diferensiasi suatu fungsi dari fungsi Rangkuman revisr' latíhan revisi Dapatkah Anda? Checklist F. 10 Latihan ujian F. 10 Soul-soul lagiutan F. 10 Program F. 11 lntegrasi Hasil pemhelajaran Kuis F. Il lntegmsi - Konstanta integrasi Integral standar Rangkuman revisi latihan revisr' lntegrasi pemyataun polinomial Fungsi dari suatu fungsi linear x Rangkuman revisi Latihan mvisi lntegrasi dengan pecahan parsial Rangkuman revisí Laríhan nevisr' Luas di bawah kurva Rangkuman revist' Lalihan revisv' 265 27 I 273 273 274 276 277 278 28 1 284 285 288 289 290 290 291 295 296 304 306 306 309 310 311 312 313 313 314 316 317 317 319 321 322 323 326 326
  7. 7. Matematika Teknik lntegrasi sebagai suatu penjumlahun - Luas di antara kurva dan 327 garis yang memotongnya Rangkuman revisí 333 lalihan mvísi 334 Dapatkah Anda? Checklist F. 11 337 Latihan ujian F. Il 338 Soul-sool larųjutan F. Il 339 Program F. 12 Fungsi - on [lasti pembelajaran 341 r . _ E n 3 '2 Mcmpmses hllangan - Fungsi merupakan aturan tetapi tidak semua aturan 344 merupakan fungsi, Fungsi dan operasi aritmetika, lnvers-fungsi, Grafik invers, Graftk y = x3. Gratík y = x*. Graftk y = ,P dan y = xi yang diplot sekaligus Rangkuman revisi 353 Lalihan revisi 353 Komposisi ~ 'mngsi dari fungsi' - lnvers invers dari komposisi 354 Fungsi trigonometrík - Rotasi. Tangen. Periode, Amplitudo. 359 Beda fase, Fungsi trigonometriks invers, Persamaan trigonometrik, Persamaan yang berbentuk a cos x + b sin x = c Rangkuman revisr' 371 lxztíhan revísr' 371 Fungsi eksponensial dtlll kmarltmlk - Fungsi eksponensial, Persamaan indeks 373 Fungsi garųjil dan fungsi genap - Bagian ganjil dan bagian genap. Bagian 377 ganjil dan bagian genap fungsi eksponensial Rangkuman revisi 380 Lati/ tan revisi 380 Dapatknh Andu? Checklist F. 12 382 Latilum ujian I-`. 12 383 Soul-soul Iaojutan l". 12 384 Bagian II 387 Program l lilangan kompleks l Q Hasil pembelujuran 389 Penduhuluun - Gagasan dan simbol 390 Simbol j - Persamaan kuadratik 390 Pangkat dari j 392 Bilangun kompleks 393 Larihan revisi 397 Bllangan kompleks yang sama 399 Representasi gralis suatu hilangan kompleks 400 Peųjumlahan hilangan kompleks Secure grafis 403 Bentuk polar suatu hílangan kompleks 405 Benluk eksponensial suatu bílangan kompleks 409 Rangkuman nevísí 411 Dapatkah Andu? Checklist l 412
  8. 8. Daftar Isi Latihan ujian l Sool-soul laųiutan l Programzlllngímkamdeloz Hnsil pembelajaran Pendahuluan Latihan revisi Masalnh Iokus-lokus Rangkuntan revisi Dapatkah Anda? Checklist 2 Latihan ujian 2 Saal-soul Ianjutan 2 , Program! Funguiliperholílr Hasll pembelųlaran Pendahuluan Crank dari fungsi hiperbolik Latihan revisi Penentuan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbollk lnvers Bentuk log dari fungsi hiperholik invers ldentltas hlperbolik Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik Dapatkah Anda? Checklist 3 Latihnn ųiian 3 Sool-saal lanjutan 3 Program 4 Detenninan Hasil pembelajaran Determinan Determlnan orde-ketiga - Penentuan nilai detenninan orde-ketiga Persatnaan simultan persamaan dengan liga bilangan anu Iatíhan revisi Konsiístensi suatu set persamaan Sifat-sifat determinan Dapatkah Anda? Checklist 4 lmtihan ujian 4 Sirel-sul lanjutan 4 PtogremsMatrilu Hasil pembelajarnn Matriks - deflnisi Notasi matriks Maatriks yang sama Penarnbahun dan pengurangan matriks Pcrkalian matríks - Perkalian skalar, Perkalian dua matriks 413 413 415 4 l 6 423 433 437 438 438 439 441 442 445 448 449 450 452 455 457 460 46 1 461 463 464 470 474 476 482 486 490 490 49 1 495 496 497 498 499 499 xi
  9. 9. nii Matematika Teknik Transpos suatu matriks Matrlks khusus Determinan suatu matríks hu jursungkar - kofaktor. Adjoin suatu matriks bujursangkar lnvers suatu mntríks hujursangltar - Hasilkali suatu mauiks bujursangkar dan inversnya Penvelesaian set p_er~¡umaan linear - Metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan set persamaan linear Nilui-elgen dan vektor-eigen - Vektor-eigen Rong/ trumm revisi Daputkah Anda? Checklist 5 Latihan ujiun 5 Soal-soal lanjutan 5 Programti vektor Hasil pemhelųiuran Penduhuluun: kuantitas skular dan vektor Representasi vektor - Dua vektor yang sama. Jenis-jenis vektor, Penambahan vektor, .lumlah dari beberapa vektor Komponen-komponen vektor yang diketahul - Komponen-komponen vektor dalam suku-suku vektor satuan Vektor dalam runng Kosinus arah Hasilkali skular dari dua vektor Hasilkali vektor dari dua vektor Sudut untara dua vektor Rasío until Rangkuman revisi llapotkah Anda? Check1ist6 Latihun ujian 6 Sool-soul Ianjutan 6 frogram7oiíerensiasi Hasil pemhelajarnn 'Ihrunun standar Fungsi dari suatu fungsi Diferensiasi logaritmik Latihan revisi Fungsi impllsit Persamaan purumetrik Dapatkah Anda? Checklist 7 Latlhan ujian 7 suurimat lanjutan 7 Programa Penenpandiíereníiadt Hasil pemhelajarun Persamaan suatu garis Iurus 503 503 505 508 521 522 523 524 527 528 529 537 539 541 543 546 548 548 549 550 550 553 554 556 561 563 564 566 569 570 570 573 574
  10. 10. Daftar Isi Garis singgung dan garis-normul suatu kurva di lilik yang diketahui 577 Kurvatur - Pusat kurvatur 583 Dapalkah Anda? Checklist 8 592 Latlhnn ujían 8 592 Soul-soul lanjulan 8 593 Program 9 Penerapan dííerensiasí 2 595 Hnsll pembelujuran 595 Díferensiasí fungsí-fungsi trigonometrik invers 596 Latíhan rrvisí 598 'lhruuan dari fungsi-fuugsi hiperlxüik invers 599 latihan revisi 602 Nilai maksimum dan nilai minimum 603 Dapaíkah Anda? Checklist 9 612 Lutihun ujian 9 613 Soul-soul Ianjuum 9 613 Hogan 10 Diíenensiasl pardal 1 615 Hasll pembelajaran 615 Diferensiasi Parsíul 616 Latihan revisi 626 Pertamhuhan kecil 628 Dupatkah anda? Checklist 10 633 Lalihan ujian 10 633 Soul-soul Ianjutan 10 634 kogum 11 Diíenmíasi parsial 2 m Hasil pembelųiarun 637 Dlferensiasí parsial 638 SMI-soul laju perubahan 640 Perubnhan variabel 648 Dapotkah Anda? Checklist l l 650 Latihan ujian ll 651 Saal-soul kujutan Il 651 . Iawaban soul 653 xiíi
  11. 11. . x Buku ini ditujukan sebagai buku pegangan satu-tahun-pcnuh untuk pelajaran matematika bagi mcreka yang belajar dalam bidang teknik. mipa maupun dan politeknik. Matcri di dalam buku ini ditulis secara khusus untuk matakuliah-matakuliah yang mengarah ke (i) Bagian 1 dari program surjana untuk bidang teknik. (ii) H» 1 ÜCNJÜM dan linn l (k «sms untuk subjek-subjek yang berhubungan dengan teknologi. atau untuk kuliah-kuliah lain yang levelnya sctara. Walaupun bukti-bukti fonnal disertakan bila dirasa perlu untuk membantu pemahaman. tujuan utama buku ini adalah agar para mahasiswa dapat memperoleh keterampilan matemaatika yang mantap dan memiliki pengetahuan serta pemahaman yang memadai mengenai konsep-konsep dasar yang tcrlibat di dalamnya. Dengan struktumya yang terprogram, buku ini sangat cocok untuk digunakan baik di dalam mang kuliah maupun sebagai bacaan untuk belajar sendiri. di samping sebagai sarana untuk memulihkan kcmbali kemampuan yang pemah kita miliki ataupun untuk meningkatkannya. Buku ini adalah hasil dari kerja keras selama delapan tahan yang dilakukan oleh Depanemen Matematika Lanchester College of Technology, Coventry, dalam upaya mereka untuk mcngcmbangkan teknik-teknik belajar yang tcrprogram. Sclaína cmpal tahun terakhir ini. sebagian besar matakuliah matematika tahun-pertama di fakultas teknik tclah dibcrikan dalam bentuk pro- gram. yang disertai dengan periode seminar dan periode tutorial. Hasilnya tcmyata sangat memuaskan. sehingga dilakukanlah upaya untuk lebih memperluas dan mcngembangkan teknik- teknik belajar ini. Sctiap program telah divalidasi oleh banyak pihak sebelum akhimya diproduksi dalam bentuknya yang seperti sekarang ini dan tingkat keberhasílan yang dicapai selalu di atas 80/80. dengan kata lain, setidaknya 80% dari mahasiswa pengguna buku memperolch nilai setidaknya 80% dari nilai tertinggi yang bisa diperolch dalam pengujian-pcngujian yang kriteria-kritcrianya tclah dipersiapkan dengan cermat. Dalam suatu proyek pcnelitian. yang dilakukan tcrhadap sejumlah kelompok pembanding t» «mu « ~' ~ ' c l yang mcngikuti proscs pcrkuliahan biasa, para mahasiswa yang belajar dari program berhasil mencapai nilai rata-rata yang cukup jauh lebih tinggi daripada nilai para mahasiswa dari kclompok pcmbanding terscbut dan rcntang nilai mercka selalu jauh lebih kecil. Pola yang sama juga terlihat pada hasil-hasil dan' serangkaian tes harian yang dilakukan dalam setiap perkuliahan. Bclajar scsuai dengan tingkat kcmampuan príbadi masing-masing. kctcrlibatan mahasiswa yang intcns, dan nilai jawaban yang langsung diperoleh adalah keunggulan-keunggulan yang pasti sudah dikenal oleh mereka yang pemah mengikutí kegiatan belajar yang terprogram. Belajar terprogram pada tahun pertama perkuliahan seorang mahasiswa di pcrguruan tinggi akan memberikan keuntungan tambahan yaitu mcnjcmbatani kesenjangan antara kehidupan sckolah yang lebih banyak diatur dengan kehidupan kampus yang lebih mcnuntut kcsadaran pribadi dan kemandirian. Saya mengucapkan terimakasih yang sebesar-besamya kepada semua pihak yang telah membantu saya dalam proses pengerjaan buku ini. tennasuk mcreka yang tclah bcrpanisipasi aktif dalam proscs validasi buku. Secara khusus saya ingin menghaturkan rasa terimakasih yang mendalam alas segala dorongan dan dukungan yang telah saya terima dari Kepala Departemen
  12. 12. Prakala untuk Edisi Pertama Matematika yang sekarang. Mr. J. E. Sellars, M. Sc. , A. F.R. Ae. S., F. I.M. A.. dan dari Mr. R. Wooldridge, M. C., B. Sc. . F. I.M. A.. Kepala Departemen yang sebelumnya, yang sckarang mcnjadi Rektor di Derby College of Technology. Ucapan Ierimakasih ingín saya sampaikan juga kepada berbagai sumber, yang tcrlalu banyak untuk saya sebutkan satu per satu, yang selama ini telah menyumbangkan dan memilihkan contoh-contoh soal yang terdapat di dalam buku ini. Apa yang telah mereka lakukan jelas sangar besar pengaruhnya tcrhadap kesukscsan buku ini. K. .. Suund XV
  13. 13. Prakata untuk Edisi Kedua Keberhasilan yang berlanjut dari buku „Allan-naudin 'Ibkmk sejak terbit untuk pertamakalinya ini tercermin dari banyaknya matakuliah yang telah mengadopsi buku ini sebagai buku pegangan utama dan dari surat-surat yang bcrdatangan dari berbagai pihak yang menyambut positif aspek- aspek belajar-mandiri dari buku ini. Namun selama masa-masa tersebut telah terjadi pula perubahan kurikulum dan matakuliah-matakuliah baru pun banyak bennunculan. Sebagai hasilnya. saran demi saran terus berdatangan meminta agar buku ini memasukkan topik-topik tambahan di luar topik-topik yang menjadi maten' inti matakuliah strata-satu atau program lain yang setara. Mcmperbesar buku terus-menerus semata-mata demi memasukkan scmua topik akan sangat sulit mengingat pengaruhnya terhadap ukuran flsik buku ini dan aspek-aspek komersial produksinya. Akan (etapi. setelah mempelajari masukan-masukan yang datang dan sebagai salah satu hasil dari riset lanjutan yang dilakukan oleh pengarang dan pihak penerbit. akhimya sekarang terbitlah edisi baru dari . tlumuunku Ivinil yang menyertakan tiga topik baru yang memang dirasa paling banyak dibutuhkan. Program-program tambahan di dalam edisi kedua ini membahas topik berikut: (a) Matriks: deflnisizjenis-jenis matriks: operasi: transpos: lnvers: penyelesaian persamaan linear; nilaieigen dan vektoreigen. (b) Kurva dan pencocokan kurva: kurva standar: asimtot: Pcrhbuatan sketsa kurva yang sistematik; pengenalan kurva; pencocokan kurva: metode kuadrat-terkecil. (c) Statistika: data diskrit dan data kontinu; data berkelompok; frekucnsi dan frekuensi relatif: histogram; tendensi sentral - mean. modus. dan median: pembuatan kode; poligon frekuensi dan kurva frekuensi: dispersi - daerah nilai t ruutu' l, varians, dan deviasi standar: distribusi normal dan kurva nonnal yang distandarisasi. Ketiga program ini memiliki struklur yang sama dengan materi yang sudah ada sebelumnya dan masing-masing disertai dengan banyak contoh soal dan latihan. Seperti sebelumnya. setiap program diakhiri dengan Latihan Ujian singkat untuk menguji kemampuan pengguna buku dan seperangkat Soal-soal Lanjutan yang memberikan latihan tambahan yang sangat bennanfaat. Jawaban soal diberikan pada akhir buku ini. Selama proses perevisian huku. dilakukan juga penyempumaan terhadap beberapa bagian sekunder dari buku sehingga kami berharap bahwa. dengan bentuknya yang sudah diperbarui ini, buku ini akan semakin menarik lagi dan dapat terus memberikan pelayanan yang bermanfaat bagi para penggunanya. K. A. Stmud
  14. 14. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  15. 15. You have either reached a page that is unavailable for vievving or reached yourviewing Iimit for this book.
  16. 16. You have either reached a page that is unavailable for vievving or reached yourviewing Iimit for this book.
  17. 17. 1 I Buku ini berisi cmpat puluh pclajaran yang disebut l'n›: :.u. ~.~: . Setiap program telah ditulis scdcmikian rupa agar proses belajar lebih efektif dan lebih menarik. Anda akan merasa sepeni memiliki pembimbing pribadi karena Anda belajar sesuai dengan kecepatan belajar Anda dan seliap kcsulitan yang mungkin saja Anda hadapi akan disingkirkan sebelum Anda sempat melakukan gagasan atau teknik yang salah. Anda akan menemukan bahwa sctiap Program dibagi menjadi scpuluh bagían yang discbut l r. zur: . Kelika Anda memulai suatu Program. mulailah dari Frame l. Bacalah setiap frame secara cennat dan lakukanlah setiap perintah atau latihan yang harus Anda kcrjakan. Pada hampir setiap frame. Anda diminta untuk menjawab pcnanyaan. yang menguji pemahaman Anda alas infonnasi yang terkandung di dalam frame yang bersangkutan. dan Anda dapat langsung membandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar yang dibcrikan pada frame berikutnya. Untuk mendapatkan manfaat yang sebesar-besamya. Anda disarankan tidak melihat frame berilmtnya sebelum Anda selesai menjawab soal. J ika terdapat sederetan titik-lilik, Anda diminta mengisikan kata, frasa. bilangan. atau pemyalaan yang hilang ke dalam litik-tilik tersebut. Pada setiap tahap Anda akan diluntun melalui jalan yang benar. Trdak perlu tergesa-gesa: bacalah frame secara cermat dan ikulilah arahannya dengan scksama. Dcngan cara ini. Anda pasti belajar. Setiap Program dimulai dengan Iluxil Punln-Iujurun yang menyebutkan secara rinci apa yang akan Anda pclajari dalam Program bersangkutan. Program ini diakhin' dengan cheklist yang berisi penanyaan-pertanyaan Dupulkull Andu? yang menilai seberapa jauh Anda berhasil mencapai Hzhil PunIu-Iujurun tersebut. Jika Anda merasa cukup yakin kerjakanlah Lulihun líji-. uun yang menyertainya. Lalihan ini disesuaikan langsung dari apa yang akan Anda pelajati dalam Program bersangkutan: pertanyaannya sederhana dan tidak menjcbak. Untuk memberi Anda latihan praktek yang diperlukan. discrtakan juga sepcrangkat StmI-xuul Lunjulzlrl: kerjakanlah soal-soal ini sebanyak yang mungkín Anda bisa. lngat bahwa dalam matematika, seperti halnya pada situasi-situasi lain. latihan akan menjadikan Anda sempuma - atau setidaknya mcndckati. Dan' kecmpal puluh Program ini. dua bclas program pcrtama adalah program topik dasar. Scbagian darinya akan berisi materi yang telah Anda kenal. Walaupun begitu. bacalah llusil Punhclujuraull dari Program tersebul dan jika Anda mcrasa sudah menguasai hasil-hasil pcmbclajaran tcrscbut cobalah kcrjakan kuix yang menycrtainya- Anda akan segera mcngelahui apakah Anda memerlukan kursus penyegaran atau tidak. Mcmang, sekalipun Anda merasa sudah pemah mengcrjakan sebagian dari topik-topik ilu sebelumnya. tidak ada salahnya Anda tetap mempelajari Program ilu: dengan itu Anda dapat memperoleh revisi yang bcrmanfaat di samping menambal lubang-lubang kekurangan Anda. Ketika Anda telah sampai pada akhir suatu Program topik Dasar dan telah menilai keberhasilan Anda dalam mencapai Hasil Pmnhclu_ianr'aur dengan menggunakan Checklist Imputknll Andul*. kcmbalilah ke awal Program yang bersangkutan dan cobalah kcrjakan Kuís program bersangkutan sebelum Anda menutup Program tersebut dengan mengerjakan Lnlihznn l`jiun dan Soul-soul I. un_¡utan. Dengan cam ini Anda akan memperoleh latihan yang lebih banyak lagi.
  18. 18. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  19. 19. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  20. 20. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  21. 21. uiv lnformasi pendukung vang bermaníaat (d) Elips Pusat di titik-asal, fokus: (iva: +12. O): 2 + -2 -. -. di mana a = sumbu seim-major, b = sumbu semi-minor Persamaan paramelrik: x = a cos 0. y = b sin 9 (e) Híperbola HJ IJ Pusal di tilik-asal, fokus: (iva: + If. o): L, l: a Pcrsamaan paramctrik: x = a sec 0, y = b tan 0 Hiperbola rcktangular: P . . d. -. k.. ¡ . kiii. x._š-. usa! rnu -cLsíLpllnLa Vē. . y - 2 ~ L dengan kata lain, xy = c“ di mana c = Persamaan parametrik: x = ct. _v = clt Hukiiin-liukum inulcinulíkzi (a) Hukum asosiatiƒ - untuk penjumlahan dan perkalian a+(b+c)= (a+b)+c a(bc) = (ab)c (b) Hukum komuratif ~ untuk penjumlahan dan perkalian a + b = b + a ab = ba (c) Hukum disrríbuuf - untuk pcrkalian dan pcmbagian a(b+c)= ab+ac b: c = Š + š (dengan syarat a : š 0)
  22. 22. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  23. 23. Program F. l Aritmetika frame (Bmw Hull pembehiann Setelah menyelesaíkan Program ini. Anda díharapkan dapat: Melakukan aturan-aturan dasar aritmetika dengan bilangan bulat Menulis bilangan asli sebagai hasilkali bilangan prima Mencari faktor persekutuan terbcsar dan kelipatan persekutuan (erkecil dari dua bilangan asli Memcríksa hasil perhimngan dengan memanfaatkan pembulatan Memanipulasi pecahan. rasio. dan persenlase Memanipulasi bilangan desimal Memanipulasi pangkat Menggunakan bentuk standar atau bentuk standar yang lebih baik dan menyelesaikan perhitungan hingga ke laraf ketelitian yang dibutuhkan Memahami konstruksi berbagai sistcm bilangan dan mengkonversi dari satu sistem bilangan ke sistcm bilangan yang lain [ika Anda merasa telah menguasaí semuaųva Inengapa Anda Iídak mencoba kuis pada halaman beríkut? Anda dapat memeriksa jawaban Anda pada akhir buku ini.
  24. 24. li! Lctakkanlah simbol < atau > yang sesuai di antara scliap p-. mangan bilangan berikut: (a) -3 -2 (b) 8 ~l3 Carilah nilai dari masing-masing soal berikut: (a) l3+9+3~2x5 (b)(l3+9)+(3-2)x5 S Tulislah ntasing-masing bilangan berikul scbagai pcrkalian faktor piima: (a) 170 (b) 455 (c) 9075 (d) ll40 16 Can`lah FPB dan KPK untuk setiap pasangan bilangan: (a) 84, 88 (b) Bulatkanlah sctiap bilangan bcrikut kc IO. IOO, dan l000 Kerdckal: (a) 1354 (b) 250! (C) «2452 (d) Sederhanakan seliap pecahan ini kc suku tcrcndahnya: l2 144 49 64 - l-š (m - m -- (d) - 234 m 2I v l4 4 Tcntukanlah nilai perkalian berikut: ix; (b) Il 5 7 3 37 5 ' -+- ) d -- w 30 s“ U l6 zum: - 3 4 1 + í 7 13 Tulislah proporsi-proporsi bcrikut scbagai rasio: (a) l dari A, l dari B. dan í dari C 2 5 IO (b) l dari P. l dan' Q. l dari R. dan sisa s 47 4 3 5 Selcsaikanlah soal-soal berikut: 4 : Gi (a) (b) 48% dari 50 = (c) = Fr» (d) I5% dari 25: . (9 š 9 E Bulalkanlah setiap bilangan desimal bcrikut. penama-tama hingga 3 angka signiükan dan kemudian hingga 2 tcmpat dcsimal: (a) 2l,355 (C) 0.3l05 (b) 002456 (d) 5134555 105. 66 go. -23 625 22 sampai sampai sampai sampai sampai sampai sampai sampai sampai sampai 12 195 21 24 3° u; 48 52 65
  25. 25. âiâv „ß “OÜ it IÄ IJ Ho I7 IM I9 hamc sampai Ubahlah masing-masing pecahan berikut ke bentuk otsima! hingga 3 tempal dcsimal: 4 7 9 28 - (b (' - id' "'- ls ) t. ) J (a) 'E 5 i3 Ubahlah masing-masing bilangan dcsimal beiíkul ke bentuk pecahan dalam suku-suku terkecilnya: _ (a) 0.8 (m 2,3 (c) 3.32 (d) -5.5 sampai Tulislah masing-masing soal bcrikut dalam bentuk sederha- nanya: (a) LOIOIOI . . . (b) 92456456456 . . . sammu Š Tulislah masing-masing soal berikul ini sebagai bilangan b dengan satu pangkat: (a) 3°x33 (b) 43+25 (c) 193)' (d) (7“›'“ sampai Carilah nilai dari masing-masing soal berikut hingga 3 ' tempal desimal: (a) 15? (b) âēš (c) 027)* (d) (-9)5 1 sampai ~ Tulislah masing-masing soal berikut sebagai suatu bilangan desimal tunggal: (a) 32044 x ro* (m sampai Tulislah masing-masing soal berikul dalam bentuk standur- 2 “y” í (a) U l34.65 l6.ll05 + nov: (bg) 0.00240l Tulislah masing-masing soal berikut dalam bentuk standar yang lebih baik: (a) l6.ll05+lO`3 (b) 93304 sampai í Masing-masing dari bilangan yang bcrikul telah diperoleh - dari pengukuran. Tcntukanlah nilai sctiap perhitungan untuk laraf keleíirian yang semestinya: (a) ll.4 x 00013 + 5,44 x 8.8l0 1.0! + 000335 (b) 9.12 x 6.34: sampai 3 Nyatakanlah bilangan bcrikut dalam bemuk dcsimal: ¡ (w IOILOI: (b) 456.72i„ (c) 123.A29„ (m CAi. B22„„ @ sampai l Ubahlah lS.605„, menjadi bentuk oktal. biner. duodesimal ' dan heksadesimal ekuivalennya: sampai @ z
  26. 26. - 6 Topik dasar lenis-ienis bilangan wlilanpnull Bilangan pertama yang pemah kita jumpai ialah bilangan cacah (whole numbers), yang disebul juga bilangan asli (natural numbenv), dan bilangan ini ditulis dengan menggunakan numeral. Numeral dan nilai tempal Bilangan cacah atau bilangan ash' dilulis dengan menggunakan kcscpuluh numeral 0, l, 2, 9 di mana kedudukan angka mcncntukan nilai yang diwakilinya. Sebagai conloh: 246 bcrani 2 ratusan dan 4 puluhan dan 6 satuan. Dengan kala lain 200 + 40 + 6 Di sini numeral 2. 4, dan 6 masing-masing disebut koeƒísíen ratusan. puluhan, dan satuan. lnilah prinsip nilai tempat. mln-üü! : pada sebuah nii: dan arutan Bilangan asli dapat direpresenlasikzm oleh titik-titik yang berjarak sama pada scbuah garis lurus di mana bilangan asli pertamanya ialah nol (0). 0 l 2 3 4 5 6 7 8 Bilangan-bilangan asli di atas tersusun berumtan dimulai dari yang kecil hingga ka yang besar. Pada saal kilu bergerak di scpunjung garis lurus terscbut dari kiri ke kanan, bilangan akan bcnambah sepeni yang diperlihatkan oleh tanda panah di ujung garisnya. Pada garis tersebut. bilangan-bilangan di kiri suatu bilangan lebih kecil daripada (<) bilangan tersebut dan bilangan-bilangan di kanannya lebih besar daripada bilangan tersebut. Misalnya, 8 > 5 karena 8 direpresenlasikan oleh sebuah titik di sebelah kanan 5. Demikian pula, 3 < 6 karena 3 berada di sebclah kiri 6. Sekarang kaa pinda/ i ke frame berikumya w Bilangan bulat Jika garis lurus yang memperlihatkan bilangan asli diperpanjang ke kiri kita dapat memplot litik-titík yang berjarak sama di kiri bilangan nol. -5 -4 -3 -2 -I 0 l 2 3 Titik-litik ini merepresenlasikan bilangan negatiƒ yang dilulis sebagai bilangan asli yang didahului oleh randa minus. misalnya -4. Bilangan cacah positif dan negatif ini serta nol secara keseluruhan disebut bilangan buIat (ímeger). Pengenian urulan masih tetap berlaku. Sebagai comoh. -5 < 3 dan -2 > -4 karena titik yang menyatakan -5 berada di kiri titik yang mcnyatakan 3. Serupa halnya. -2 berada di kanan -4 Bilangan -10, 4, 0. -l3 mcrupakan jenis bilangan yang disebut . . . . . . . . . . . . Anda dapat Inemeríksa jawaban Anda pada frame berikur
  27. 27. Arizmelika 7 E ilangan bulal Semuanya bilangan bulat. Bilangan asli semuanya positif. Sekarang cobalah yang ini: Tempatkan simbol < atau > yang sesuai di amara pasangan bilangan berikul: (a) -3 -6 (b) 2 -4 (c) -7 12 Selesaikzm keliganvxvr: dan pankur/ ah Iiasilnyci pada frame beríkul Alasannya ialah: (a) -3 > -6 karena - 3 direpresentasikan pada garis di kanan -6 (b) 2 › -4 karena 2 direpresenlasikan pada garis di kanan -4 (c) -7 < l2 karena - 7 direpresenlasikan pada garis di kiri 12 . Šrkarang kila pindah kt' frame beríkulíyywi Tanda kuu-un; Tanda kurung harus digunakan pada bilangan negatif untuk memisahkan tanda minus pada bilangan dari simbol operasi aritmetikanya. Misalnya 5 - -3 haruslah ditulis 5 - (-3) dan 7 x -2 harus dilulis 7 x (-2). .langanlah . vekaIi-kalí Inenulis dua simbol operasi aritmerika secara berururarz ranpa menggunakan randa kurung. Penambahan dan pengurangan Menambahkan dua bilangan akan mcnghasilkan jamlalnrva (mm) dan mengurangkan dua bilangan akan menghasilkan selisihnya (dífƒerencve). Sebagai comoh. 6 + 2 = 8. Menambahkan berarti bergerak ke kanan dari bilangan pcnama dan mengurangkan berarti bergcrak ke kiri dari bilangan pertama, sehingga 6 - 2 = 4 dan 4 - 6 = -2:
  28. 28. 8 Topik dasar Menambahkan sebuah bilangan negatif sama seperti mengurangkan benmk positif bilangan tersebut. Misalnya 7 + (-2) = 7 - 2. Hasilnya sama dengan 5. Mengurangkan bilangan negatif sama seperti menambahkan bentuk positif bilangan tersebut. Misalnya 7 - (-2) = 7 + 2 = 9. Jadi berapakah nilai: (a) 8 + (-3) (b) 9 - (-6) (C) 1-4) + (-3) (d) (-l4) - (-7)? . Šctulirh Arula merireleawtikannya periksva/ ali hasil Anda pada frame berikttt Pirtdahlah ka F ramc 7 m Perkalian dan pembagian Mengalikan dua bilangan menghasilkan hasilkali-nya (product) dan membagi dua bilangan menghasilkan hasiIbagi-nya (quotíent). Mcngalikan dan membagi dua bilangan positif atau dua bilangan negatif menghasilkan bilangan posixif. Scbagaj comoh: 12 X 2 = 24 dan (-12) x (-2) = 24 12 + 2 = 6 dan(-12)+(-2)= 6 Mengalikan atau membagi bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif. Sebagai comoh: 12 x (-2) = -24, (-l2) + 2 = -6. dan 8 + (-4) = -2 Jadi berapakah nilai dari: (u) (-5) X 3 (b) 12 + t-õ) (c) (~2) x (-8`) (d) (-14) + (-7)? Setelah Anda tnenyelesaikannyva. periksalah hasil Anda pada frame berikut i Pindah ke Flüült' 9
  29. 29. Aritmetika 9 Tanda kurung dan aturan prioritas Tanda kurung dan aturan prioritas digunakan untuk menghilangkan keraguan dalam suatu perhitungan. Sebagai comoh. 14 - 3 x 4 dapat bcrarti: llx4=44ataul4-l2=2 bergantung pada operasi yang mana didahulukan. Untuk menghilangkan keraguan ilu kita mengandalkan aturan priorilas: Pada sebarang perhitungan yang melibatkan keempal operasi aritmetika kita melakukan sebagai berikul: (a) Bekerja dari arah kiri tentukanlah nilai pembagian dan perkalian begitu menjumpai operasí pembagian dan perkalian itu: ini akan menyisakan perhilungan yang hanya melibatkan penambahan dan pengurangan. (b) Bekerja dari arah kiri tentukanlah nilai penambahan dan pengurangan begitu menjumpai operasi penambahan atau pengumngan itu. Sebagai comoh. tentukanlah nilai: 4+5x6+2-l2+4›<2-l pada langkah pertama dari kiri ke kanan diperoleh: 4+30+2-3x2-l pada langkah kedua dari kiri ke kanan diperoleh: 4 + IS - 6 - l dan pada langkah tcrakhir diperoleh: l9 - 7 = 12 Jika pada perhitungan terdapat tanda kurung maka (anda kurung ini terlebih dulu ditennxkan nilainya. sehingga: (4+5x6)+2-l2+4x2-l :344-2-6-1 :17-7 = lO [ni berarti bahwa: l4-3X4 :14-12 =2 karena. dengan membaca dari kiri kita mengalikan sebelum kita mengurangkan. Tanda kurung haruslah digunakan untuk mcndapatkan hasil lainnya: (l4-3)›<4 = ll x4 = 44 karena aturan prioritas nxenyatakan bahwa (anda kurung haruslah dikerjakan terlebih dulu. Sehingga34+lO-I-(2-3)x5= . . . . . . . .. Hasilnya pada frame berikur
  30. 30. 10 Topik dasar . . . . . ų. 'Š T? .' Kumna 34 + lO + (2 - 3) x 5 = 34 + 10 + (-l) ›< 5 kita tcmukan nilai tanda-kurung terlebih dulu = 34 + (-IO) x 5 dengan membagi = 34 + (-50) dengan mengalikan = 34 - SO akhimya kita kurangkan = -l6 Pcrhatikanlah bahwa apabila tanda kurung digunakan kita dapat menghilangkan tanda pcrkalian dan menggami tanda pembagian dengan garis. schingga: 5 x (6 - 4) menjadi 5(6 - 4) dan 25-l0 5 Ketika menemukan nilai dari pemyataan yang mengandung tanda-kurung dalam kurung. tanda kurung yang paling dalam terlebih dulu ditentukan nilainya, sebagai comoh: (25 - l0) + 5 menjadi (25 - l0)/ S atau 3(4 - 2[5 - l]) = 3(4 - 2 x 4) tcrlebih dulu mencntukan nilai tanda kurung yang paling dalam [. . . ] =3(4 ~ 8) perkalian sebelum pengurangan suku-suku di dalam tanda-kurung (. . . ) = 3(-4) pcngurangan menyelesaikan penenluan nilai suku- suku di dalam tanda-kurung (. . . ) = -I2 perkalian menyelesaikan perhitungan schingga5- {8+7[4- l]-9/3}= . . . . . . . . . . .. Karja/ can yang mi, hasilnya ada dalam frame berikut Karma 5-¡8+7[4-l]-9/3} =5-{8+7x3-9+3) =5-{8+2l-3| =5-[29~3} :5-26 = -21 Sekarang kita beralih ke frame 12
  31. 31. Antmeuka 1 1 Hukum dasar arítmetika - Semua pekeljaan yang lelah Anda lakukan sampai scjauh ini dilakukan dengan asumsi bahwa Anda telah mcngetahui aturan-aturan tcmang pcnggunaan operasi arilmetika yang temu saja Anda sudah bisa. Namun demikian. terdapal perbedaan antara mengetahui aturan ilu saja dan mcnyadari keberadaan aturan-aturan tersebut. Inaka inilah aturan- aluran tersebut. Keempat operasi arílmetika itu ialah: penambahan dan pcngurangan perkalian dan penrbagian di mana setiap pzuangan dapat dianggup lerdiri dari bilangan yang “berlawanan" - pada setiap pasangan opcrasi yang satu adalah opcrasi kcbalikan dari opcrasi yang satunya. 1 Komulalivitas Dua bilangan bulat dapat ditambahkan aiau dikalikan dalam urutan manapun tanpa mcmpengaruhi hasilnya. Sebagai comoh. 5+8=8+5=l3dan5><8=8x5=40 Kim katakan bahwa penambahan dan perkalian adalah operasi komutatiƒ' Urutan pengurangan atau pembagian dua bilangan bulal memang mempengamhi hasilnya. Sebagai contoh, 4-2$2-4karena4-2=2dan2-4=-2 Perhatikan bahwa at berani tidalc . varna dengan. Selain ilu 4+2#2+4 Kim katakan bahwa peugurangan dan pembagüzn bukanlah operasi komutanf 2 Asosiativilas Cara yang digunakan untuk mengzmosiasikan liga atau lebih bilangan bulal dengan pe- nambahan atau perkalian tidak mcmpengaruhi nilainya. Sebagai contoh, 3+(4+5)= (3+4)+S=3+4+5=l2 dan 3x(4›<5)= (3›<4)x5=3x4x5=60 Kíta lcatakan bahwa penambahan dan perkalian adalah operasí asosiatif Cara yang digunakan umuk mengasosiasikan liga atau lebih bilangan bulat dengan pangu- rangan atau pembagian akan mempengaruhi nilainya. Sebagai comoh. 3-(4-5)at(3-4)-5karena 3-(4-5)=3-(-l)=3+l=4dan(3-4)-S= (-l)-5=-6 Juga 24+(4+2`)at(24+4)+2karcna 24+(4+2)=24+2=l2dan(24+4)+2=6+2=3 Kim katakan bahwa pengurangan dan pembagian bukanlah aperasi asosiatzf ›
  32. 32. Topik dasar 3 Distributivitas Perkalian didisuíbusikan pada opcrasi penambahan dan pengurangan dan' kiri atau kanan. Scbagai comoh: 3x(4+5)= (3x4)+(3x5)=27dan(3+4)x5=(3x5)+(4x5)=35 3x(4~5): (3x4)-(3x5)= -3dan(3-4)x5=(3x5)-(4x5)= -5 Pcmbagian didistribusikan pada pcnambahan dan pengurangan dari kanan (etapi lidak dari Sebagai comoh: (60+l5)+5=(60+5`)+(l5+S)karena (60+l5)+5=75+5=lSdan(60+5)+(15+5)= l2+3=l5 Akantetap¡,60+(l5+5)ac(60+ l5)+(60+5)karena 60+(I5+5)=60+20=3dan(60+l5)+(60+5)=4+12:16 Juga: (20-l0)+5=(20+5)-(l0+5)karena (20-l0)+5=l0+5=°dan(20+5)-(l0+5)=4-2=2 (etapi 20+(l0-5)= =(20+ l0)-(20+5) karena 20+(l0-5)=20+5=4dan(20+l0`)-(20+5)=2-4=-2 sampai di sim' kim berhentí sejenak untuk merangkum ƒakta-ƒakm pemíng yang telah kim peroleh hingga sejauh im' _ Rangkuman revisi E" l Bilangan bulat lcrdiri dari bilangan cacah positif dan negatif sena nol. 2 Bilangan bulat diatur sedemikian rupa sehinggn bilangan bulal itu berkisar dari negalif yang besar ke negaxif yang kecil melalui nol ke positif yang kecil dan kemudian positif yang besar. Bilangan bulat ini dítulis dengan menggunakan nu- mcml 0 sampai 9 sesuai dengan prinsip nilai tempat yang dalam prinsip itu tcmpat dari sebuah numeral dalam suatu bilangan menentukan nilai yang direpresentasi- kannya. 3 Bilangan bulal dapat dircpresentasikan oleh titik-titík yang berjarak sama pada scbuah garis. 4 Keempat operasi aritmetika yaitu penambahan. pengurangan, perkalian. dan pembagi- an menuruti aturan~aturan prioritas yang mengatur urulan pelaksanaan keempat operasi tersebut: Pada sebarang perhitungan yang melibatkan keempat operasi arirmetíka, kila melakukannya sebagai berikut: (a) bekerja dari kiri tentukan nilai pembagían dan perkalían begilu pembagian atau perkalían im dijumpai [ni akan nwnyisakan pemyataan yang melibatkan penambahan dan pengurangan saja: (b) beketja dan' kiri team/ can nilai penambahan dan pengurangan begím penambah- an atau pengurangan im díjumpai 5 Tanda kurung digunakan untuk mcngclompokkan bilangan-bilangan dan operasi- operasinya laenama-sauna. Dalam scbarang pemyalaan aritmetika, isi di dalam tanda kunmg dihitung tcrlcbih dulu.
  33. 33. Aritmetika 1 3 alalihan revisi l Tempatkanlah simbol < atau > di amara masing-masing pasangan bilangan berikut: (a) -l -6 (b) 5 -29 (c) -l4 7 2 Carilah nilai dari masing-masing soal berikut: (a) l6-l2x4+8+2 (b) (l6-l2)><(4+8)+2 (c) 9-3(l7+[5-7]) (d) 8(3[2 + 4] - 2[5 + 7]) 3 Tunjukkan bahwa: (a) 6-(3-2); ė(6-3)-2 (b) l00+(lO+5)#(lO0+I0)+5 (c) 24+(2+6)$(24+2)+(24+6) (d) 24+(2-6)$(24+2)-(24+6) l (a) -l › -6 karena -1 direpresentasikan pada garis di sebelah kanan -6 (b) 5 › -29 karena 5 direpresentasikan pada garis di sebelah kanan -29 (c) -I4 < 7 karena -14 direpresentasikan pada garis di sebelah kiri 7 2 (a) I6- l2x4+8+2 = l6-48+4= l6-44=-28 bagi dan kalikanlah sebelum menambahkan dan mengurangkan (b) (16- l2)x(4+8)+2=(4)x(l2)+2=4x l2+2=4x6=24 suku-suku di dalam (anda kurung tcrlebih dulu ditentukan nilainya (C) 9 - 3(l7 + 5[5 - 7]) = 9 - 3(l7 + 5[-2]) :9-307-10) = 9 - 3(7) = 9 - 21: -12 (d) 8(3[2 + 4] - 2[5 + 7]) = 8(3 x 6 - 2 x 12) : sus- 24) = 8('-6) = -48 3 (a) Sisikiri=6-(3-2)=6-(l)=5 Sisiknnan= (6-3)-2=(3)-2=latsisikjri (b) Sisikiri= l00+(l0+5)=100+2=S0 Sisi kanan= (l00+ l0)+5=l0+5=2=tsisi kiri (c) Sisikiri=24+(2+6)=24+8=3 Sisikanan= (24+2)+(24+6)= l2+4=l6$sisikiri (d) Sisikiri=24+(2-6)=24+(-4)= -6 Sisikanan= (24+2)-(24+6)= l2-4=8aesisikiri Sekarang Idm beralih ke F mme 16
  34. 34. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  35. 35. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  36. 36. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  37. 37. Arirmetika 1 7 Prinsip ini juga berlaku sewakiu membulalkan ke kelipalan 100. 1000. 10000 dan selcrus- nya. Sebagai contoh 349 dibulatkan menjadi 350 untuk kelipalan 10 tcrdckatnya (etapi dibulatkan ka bawah menjadi 300 ke kclipatan 100 (erdckamya, dan 2501 dibulatkan menjadi 3000 ke l-: elipatan 1000 (erdckatnya. Perhatikan bahwa 2500 dibulatkan ke bawah menjadi 2000 ke kelipatan l000 terdekamya ~ karena 2000 mcrupakan ribuan genap (crdckatnya. Cobalah mcmbulatkan sctiap bilangan berikut kc kelipatan 10. 100, 1000 (crdekat masing- masing. (a) 1846 (b) -638 (c) 445 Selesaikan ketiganya dan periksa jawaban Anda pada frame berikutnya (a) 1850, 1800, 2000 (b) -640, -600. -1000 (c) 440, 400, 0 Karepa (a) 1846 lebih dekat ka: 1850 daripada ke 1840, lebih dekat ke 1800 daripada ke 1900, dan lebih dckai ke 2000 daripada 1000. (b) -638 lebih dekat kc «640 daripada ke -630, lebih dekat ke -600 daripada ke -700, dan lebih dekat kc -1000 daripada ke 0. Tanda negatif bukanlah masalah. (c) 445 dibulatkan ka: 440 karena 445 ini lebih dckat ke kclipatan 10 genap, 445 lebih dckat ke 400 daripada kc 500, dan lebih dckat ka 0 daripada l000. Bagaimana mengcstimasi masing-masing soal bcrikut dengan menggunakan pembulatan k: 10 (crdckat: (a)18X2l-l9+11 (b) 994- 101 -49x8 Periksalah hasíl Anda pada F rame 24 (a) 398 . (b) -499 Karena (a) 18 X 21 - 19 + 11 dibulatkan menjadi 20 X 20 - 20 + 10 = 398 (b) 99 + 101 - 49 X ll dibulalkan menjadi 100 + 100 - 50 >< 10 = -499 Di sim' kím berhenn' sejenak umuk merangkum ƒakmƒakm penting íenmng falctor, bilangan prima, dan estimasí Rangkuman revisi 1 : 1 _ l Pasangan bilangan asli disebut faktor-faktor dari hasilkalinya. 2 Jika suatu bilangan asli hanya memiliki satu dan bilangan ilu sendiri sebagai faktor- faktornya, bilangan itu disehut bilangan prima.
  38. 38. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  39. 39. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  40. 40. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  41. 41. Aritmetika 21 Pecahan ekuívalen Mengalikan pembilang dan pcnycbut dengan bilangan yang sama adalah ekuivalcn dengan mengalikan pecahan tersebut dengan satu: 4 x 3 4 3 4 4 : t - X - : - x 1 : - 5 x 3 5 3 5 5 Sekarang, 4 x 3 = 1.2- sehingga pecahan í dan pecahan E keduanya menyatakan 5 x 3 15 5 15 bilangan yang sama dan oleh karena itu kita sebm í dan E pecahan ekuívalen. 5 15 Pecahan kedua, yang ekuivalen dengan pecahan pertama, dapat dicari dengan mengalikan pembilang dan penyebut pccahan pcnama dengan bilangan yang sama. Sehingga jika kita mcngalikan pembilang dan penyebut pecahan 1 dengan 4 kina peroleh , 5 pecahan ckuwalcn . . . . . . . . . Perikvalah hasil yang Anda pemleh pada Frame 35 28 E Karena 7x4_g§ 5x4 20 Kita dapat membalik proscs ini dan mencarí pecahan ekuivalen yang memiliki pembilang tcrkecil dengan meniadakan faktor persekutuannya. Ini dikenal sebagai menyedcrhanakan pecahan ka suku-suku terkecibrya. Sebagai comoh: 3% dapat disederhanakan ke suku-suku tcrkecilnya sebagai berikut: 16 4›<4 4x4 `4 E' 24x4 24x4_ za dengan meniadakan suku 4 pada pembilang dan penyebutnya Pccahan 014- dapat juga discderhanakan: Karena š tidak dapat disederhanakan lagi kita lihat bahwa ä? disedemanakan ka suku- suku terkecilnya ialah Bagaimana dengan pecahan ini? Pccahan ä discderhanakan ke suku-suku terkccilnya ialah Periksalah pada frame bcrikut
  42. 42. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  43. 43. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  44. 44. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  45. 45. Arítmetika 25 (a) 448.12!: 43 (b) 247433: 2% (c) l_i83.n3l5=l 83 Di (d) masukkan š dan kemudian tekan tombol */ -. Sekarang kita beralih ke frame berikulnya Rasío Jika suatu bilangan cacah dipisahkan menjadi beberapa pccahan di mana setiap pecahan memiliki penyebut yang sama, pembilang pecahan akan membentuk rasio. Sebagai comoh. l 7 jika sejumlah air garam dalam tangki mengandung š garam dan Š air, garam dan air dikatakan memiliki rasio 'satu-berbanding-dua' - yang ditulis l : 2. Berapakah rasio yang dibentuk komponen A. B. dan C jika suatu senyawa mengandung ŠdanA. l dariB, dan lame? 4 e 12 Bemati-hatilah dalam soal im' dan periksa hasil Anda dengan F rame 48 Karena KPK dari penyebut 4. 6. dan l2 ialah l2. maka: 3 9 l 2 I - dari A ialah --„ - dari B ialah -. dan sisanya -- dari C. Ini memastikan 4 12 6 12 12 bahwa komponennya adalah rasio dari pembilangnya. Dengan kata lain: 9 : 2 : l Perhatikan bahwa jumlah bilangan dalam rzmio sama dangan pcnyebut persckuluannya. Kim beralíh ke frame bcríkutrxya Persentase Persentase mcrupakan suatu pecahan yang penyebutnya sama dengan 100. Sebagai contoh, 5 jika 5 di amara 100 orang adalah kidal maka fraksi orang kidal ialah m yang ditulis sebagai 5%, dengan kata lain 5 per sen (%). . Iadi jika 13 di amara 100 mobil pada jalur perakitan berwama merah. persentase mobil merah pada jalur tersebut ialah . . . . . . . . .
  46. 46. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  47. 47. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  48. 48. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  49. 49. Aritmetika 29 Bilangan esimal Pembagian bilangan bulat - Jika satu bilangan bulat dibagi dengan bilangan bulat kedua yang bukan salah satu faktor dari bilangan bulat pertama. hasilnya tidak akan bcrupa bilangan bulat lain. Ahh-alih. hasilnya akan tcrlctak di amara dua bilangan bulat. Scbagai comoh. dengan menggunakan kalkulalor akan kita liha! bahwa: 25 -I- 8 = 3,l25 yang bempa bilangan yang lebih besar datipada 3 tetapi lebih kccil daripada 4. Scbagaimana pada bilangan bulat, kcdudukan suatu numeral di dalam bilangan mempcrlihatkan nilainya. Di sini bilangan 3,l25 ntcnyatakan 3 satuan + l persepuluhan + 2 perseratusan + 5 perseribuan. . l 2 5 Amnya 3+-+: +: IO 100 1000 di mana tanda Roma menunjukkan pemisahan satuan dan' persepuluhan. Bilangan yang ditulis dalam format ini disebut bilangan desimal. Kira beralíh ke frame berikutnya Pembulatan Scmua opcrasi aritmctika yang kita gunakan untuk bilangan bulat berlaku juga untuk bilangan desimal. Aitan tetapi. sewaktu melakukan perhitungan yang melibalkan bilangan desimal, adalah hal yang lazim untuk mendapatkan hasil akhir berupa bilangan dengan jumlah numeral yang besar setclah tanda koma. Scbagai comoh: l5,ll + 8,92 = |,693946l883 . . . Agar bilangan yang demikian lebih dapat dimanipulasi atau lebih masuk aka] scbagai hasil perhitungan, bilangan ini dapat dibulatkan entah ilu ke bilangan dengan angka signijikan tertentu atau ke tcmpat desimal tertcntu. Sekarazig liha! ke frame berikutnya Angla signifíkan . Angka signißkan dihituug dari numcral bukan-nol pcnatnu yang dijutnpaí yang dimulai dan' kin' bilangan tersebut. Apabila jumlah angka signilikan yang dibutuhkan telah dihitung. angka sisanya dihilangkan dengan syarat scbagai berikut: Jika kelompok penama angka yang akan dihilangkan itu 5 atau lebih, angka signiiikan terakltir ditambah dengan l. Sebagai comoh: 9,4534 hingga dua angka signiíikan ialah 9,5, hingga : iga angka signiiikan ialah 9,45, dan 0,00l354 hingga dua angka signiftkan ialah 0,00l4 Cobalah soal yang ini oleh Anda scndiri. Hingga cmpat angka signitíkan bilangan l8,7249 sama dengan . . . . . . . . . . Periksalah hasil yang Anda pemlel: dengan frame beríkur
  50. 50. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  51. 51. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  52. 52. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  53. 53. Aritmetika 33 Desimal takberkesudahan sebagai pecahan Sebarang desimal yang mempcrlihatkan suatu pola berulang yang takbcrkesudahan dapat dikonversi menjadi bentuk pccahannya. Scbagai comoh: Untuk mengkonvcrsi 0,l8l818 . . . = 0,18 kc bentuk pecahannya kita perhatikan bahwa karena terdapat dua numcral yang berulang kita mengalikannya dengan 100 untuk menghasilkan: 100 x 0.18 = 18.18 Mengurangkan 0,18 dari kedua sisi persamaan ini menghasilkan: 100 x 0,18- 0.18 = 18,18- 0,18 = 18 Dengan kata lain: 99 x 0,18 = 18,0 [ni berani bahwa: Dcngan cara yang sama, bentuk pecahan 2,0315 dapat dicari sebagai berikut: 2,03l5 = 2,0 + 0,0315 dan, karena terdapat (iga numeral berulang: l000 X 013315 = 315315 Mcngurangkan 0.03l5 dari kcdua sisi persamaan ini mcnghasilkan: l000 X 03315 - 00315 = 315315 - 0,03l5 = 31.5 Dcngan kata lain: „ 31,5 _ 315 999 x 0,0315 = 31,5 sehtngga 0,03l5 - 999 ~ 9990 Ini berani bahwa: 20315 = 2,0 + 00315 = 2 + 33 = 242. = 2732. 9990 1110 2 Bagaimanakah bcntuk pccahan 0,21 dan 3,21? Jawabannya dibcrikan pada frame berikizl 373- dan 3% Karena 100 x 0,21 = 21,21 sehingga 99 x 0.21 = 21 h "lk 0,21: Š : l d yang meng asi an 99 33 an 3,21 = 3,2 + 0.01 dan 10' x 0,01 = 0,11 sehingga 9 x 0.01 = 0,1 yang menghasilkan 0,01: -_- oleh karenanya 3% + 515 = 32% 9 90
  54. 54. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  55. 55. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  56. 56. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  57. 57. Aritmetika 37 . Kanena perkalian mempersyaratkan penambahan pangkatnya. Perhatiknn bahwa kjta tidak dapat mcnggabungkan pangkat yang berbeda dengan basis yang berbeda. Sebagai comoh: 22 x 43 tidak dapat ditulis sebagai 85 tetapi kita dapat menggnbungkan basis yang berbeda dengan pangkat yang sama. Sebagai comoh: 3“ x 5“ dapat ditulis sebagai IS“ karena 3“'›<5° = (3x3x3›<3)x(5›<5xSx5) = l5xl5xlSxl5 :154 = (3x5)“ Sehingga 23 x 43 dapat ditulis sebagai . . . . . . . . . . (dalam bentuk bilangan yang dipangkatkan) F rame beriktttnya - Pembagíarz bilangan dan pengurangan pangkal . . Iika dua bilangan masing-masing ditulis sebagai suatu basis yang dipangkatkan dengan bilangan tenentu maka hasilbagi kedua bilangan tersebut sama dengan basis yang sama yang dipangkatkan dengan selisih pangkat keduanya. Sebagai comoh: 15 625:25=5°+52 = (5x5x5x5x5xS)-›(5xS) Sx5x5x5xSx5 Sx5 =5x5x5x5 :54 : SO-Z :625 Pada pembagian pangkat-pangkat harus dikurangkan. Jadi 127 + 123 = . . . (dalam bcntuk pangkat 12) Períksalah hasil Anda pada frame beríkumya
  58. 58. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  59. 59. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  60. 60. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  61. 61. Arirmetíka 41 Tanda akar Notasi lain untuk akar kuadrat dari 4 ialah tundu akar v? dan, bcrdasarkan kesepakalan. tanda ini sclalu dianikan scbagai akur kuudrut posilif. Notasi ini ldapat juga dipcrluas untuk akar lainnya. misalnya, UQ merupakzin notasi lain untuk 97. Gunakanlah kalkulator Anda untuk mencari nilai akar bcrikul hingga liga tcmpal dcsimal. (a) 16* (b) v? ? (c) 195 (d) „114 Ja1s-ralzannya dalam frame hari/ cut (a) 15186 gunakan tombol a"/ , (b) 2,828 nilai positif saja (c) : t2,088 tcrdapat dua nilai untuk akar genap (d) Kita tidak dapat mcncari akar kuadrat bilangan ncgatif Sekarang kita beralíh Ice Frame 95 Perkalían dan pembagian dengan pangkat bilangan-bulat dari 10 . Jika suatu bilangan desimal dikalikan dengan 10 berpangkat bilangan bulat, tanda komanya berpindah tempat sebanyak bilangan bulat ilu ke kanan jika bilangan bulal itu positif dan ke kiri jika bilangan bulat ilu negatif. Niisalnya: 12345 x 103 = l234,5 (liga tempat kc kanan) dan 12345 x 10-3 = 0012345 (2 tempat ke kiri). Perhalikan bahwa, sebagai comoh: 12345 + 103 = 12345 x 10--3 dan 12345 + 10°? -_- 12345 x 103 Jadi sekarang cobalah yang ini: (a) 0012045 x 10* (b) 135074 x 10-3 (c) 144032 + l05 (d) 0012045 + 10-3 Kerjakan keempamya dan kcmudían pcriksalah hasíl yang Anda para/ eh pada j`rame bcríkut
  62. 62. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  63. 63. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  64. 64. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  65. 65. Aritmetika 45 Oleh sebab itu, dalam bemuk standar: (a) 43,6 x 102 +8,l2 x 103 = . . . . . . . . .. (b) 7,84 x 10* - 12,36 x 10' = . . . . . . . . . . (c) 4,25 x 10-3 + 1,74 x 104 = . . . . . . . . . . (a) 1243 x 10“ (b) 7,7164 x 105 (c) 2.165 x 104 Bentuk : tanda yang lebih baik Dalam sistem satuan SL disarankan bahwa apabila bilangan ditulis dalam bemuk standar. pangkal untuk bilangan 10 harus dibalasi pada pangkat IOŠ dengan kata lain, 103, 10”, 104, 104”, dll. Oleh sebab itu dalam bemuk standur yang lebih baik (pmferred standard form) ini. bilangan hingga 3 angka dapat saja muncul di depan tanda koma desimal. Pada prakteknya cara yang paling baik untuk menulis bilangan teriebih dulu dalam bemuk standar dan menyesuaikan pangkat dari lO untuk menyatakan bilangan tcrsebut dalam bemuk standar yang lebih baik. Contoh 1 52746 x 10' dalam bemuk standar 52746 x 10 x 103 52.746 x 103 dalam bemuk standar yang lebih baik Contoh 2 3.472 x ID“ dalam bemuk standar = 3472 x 101 x 10° = 347,2 X 10° dalam bemuk standar yang lebih baik Contoh 3 1684 x 104 dalam bemuk standar = 3.684 x 10 x 10* = 36.84 x 10-3 dalam bemuk slandar yang lebih baik Jadi, dengan menulis kembali bilangan standar ben`ku1 ini dalam bemuk standar yang lebih baik, kita peroleh (a) 3236 x 107 = . . . . . . . . . . (a) 6243 x 105 = . . . . . . . . . . (b) 1.624 x 10* = . . . . . . . . . . (e) 3274 x 10-2 = . . . . . . . . . . (c) 4,827 x 10* = . . . . . . . . . . (r) 5362 x 10-7 = . . . . . . . . . .
  66. 66. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  67. 67. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  68. 68. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  69. 69. A ritmetika 4 9 6 (a) 13.6 + 0.012 x 7.63 - 9015 = ~367.6 = -370 hingga 2 angka signilikan (b) . Lmíšz '94 = 0042794 . . . = 0.04 hingga 1 angka signifikan (c) 19.3 x | .042'°° = 19.3 x 10816 = 20.87488 = 20.9 hingga 2 angka signiíikan (d) . ______'8 *3 l' ` 3-6 * 0-54 = 35856 =0.46337554. . .=0.463 hinggaíšangka 8.6 x 2,9 + 5,7 x 9,2 77.38 smnmkan Sekarang beralíhlah ke frame berikumya Sistem bilangan 1 Sistem denarí (atau desimal) . Sistem ini merupakan Sistem dasar kita di mana pada Sistem ini kuantitas yang besar atau kecil dapat disajikan dengan menggunakan simbol-simbol 0, 1. 2, 3. 4, 5. 6. 7. 8, 9 bersama dengan nilai tempat sesuai posisinya. Sebagai Contoh 2 7 6 5 . 3 2 Im memiliki nilai tcmpal 103 103 10' 10° 104 104 103 L L _'_ 10 100 1000 Dalam hal ini. nilai tempat adalah pangkat-pangkat dari 10. yang memberi nama denan' (atau dcsimal) untuk Sistem ini. Sistem denari discbut memiliki basis 10. Tentu saja Anda sangat kenal dengan Sistem bilangan ini, [etapi Sistem ini dimasukkan juga di sini karena 51816111 ini mcnuntun kc sistcm lain yang memiliki jcnis struktur yang sama tetapi menggunakan nilai tcmpat yang berbcda. 1000 100 10 l Jadi nzarílah beralíh Ice sísrem beríkumya 2 Sistem biner Sistem ini banyak digunakan dalam semua bemuk aplikasi pensaklaran. Simbol yang digunakan di sini hanyalah 0 dan 1 dan nilai tcmpatnya adalah pangkat-pangkal dari 2. dengan kata lain, sistem ini memiliki basis 2. Scbagai Contoh l 0 1 1 I 0 12 memiliki 1111111 tcmpal 23 23 2' 2" 24 24 24 I 1 l dengan kala lain 8 4 2 1 5 š . Iadiz 1 0 1 1 , l 0 1 dalam sislcm biner = 1x8 Ox41x2lx11x§0x§1x§ = 8+0+2+I+ = 11 + 0 + dalam desimai = 1l,625 dalam sislcm dcnari. Oleh scbab ilu l0ll, l0l2 = 11,625„, 'tra : JI- Subskxip kecil 2 dan 10 mempcrliliatkan basis kedua sislem tersebut. Dengan cara yang sama. ekuivalen dcnari dari l 1 0 1 , 0 1 1.3 ialah . . . . . . . . . .
  70. 70. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  71. 71. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  72. 72. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  73. 73. Arittnetika 5 3 š Rangkuman ravis! l Sistem denari (atau desimal): Basis lO. Nilai tempat adalah pangkat dari lO. Simbol O, l, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9. 2 Sistem bíner: Basis 2. Nilai lempat adalah pangkat dan' 2. Simbol O, l. 3 Sistem oktal: Basis 8. Nilai Kempat adalah pangkat dari 8. Simbol 0, l, 2. 3, 4, 5, 6. 7. 4 Sistem duodesimal: Basis l2. Nilai tempat adalah pangkat dari l2. Simbol 0, l. 2, 3, 4, S, 6, 7. 8, 9, X, A. 5 Sistem heksadesimal: Basis 16. Nilai tempat adalah pangkal dari 16. Simbol 0, l, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8, 9. A, B, C, D. E, F. Sekarang kilo beralih k: frame berikutųya Sampai sejauh ini. kita telah mcngubah bilangan dalam berbagai basis menjadi bilangan desimal ekuivalen dari prinsip penama. Cara lain untuk sampai pada hasil yang sama ialah dengan menggunakan fakta bahwa dua kolom yang bersebelahan berbeda dalam nilai tempatnya sebesar faktor yang merupakan basis Sistem tersebut. Contoh berikut akan menunjukkan metode tersebut. Nyatakanlah bilangan oktal 3511218 dalam bentuk dcsimal. Pertama-tama, kina akan memperhatikan bilangan cacah 357,. . Berawal pada ujung kiri, kalikanlah kolom pcrtama dengan basis 8 dan tambahkan hasilnya ke entri pada kolom beríkutnya (yang berjumlah 29). _3 s 7 L“ E E 24 29 239 ><_3 232 Sekarang ulangi proses ini. Kalikan jumlah kolom kcdua ini dengan basis 8 dan tambahkan hasilnya ke kolom berikumya. Perkalian ini akan menghasilkan 239 pada kolom satuannya. Jadi 357„ = 239,. , Sekarang kita luku/ can hal yang hampir sama dengan bagían desimal bilangan akud tersebut Bagian dcsimalnya ialah 0,I2l3 0 , l 2 l ><8 8 80 TJ 'm' E
  74. 74. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  75. 75. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  76. 76. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  77. 77. Arumenka 57 (d) o F s . 3 D 5 : aitas mo. m . a as , m j lll rß +43 6] yx 164 = EE; L” : IE = 0.2395„, 066 366 J1_ ß ß ü' 6F8,3D5„, = i784,240,„ Dalam semua Contoh sebelum ini. kita telah mengubah bilangan biner, oktal, duodesimal dan hcksadcsimal menjadi bentuk-bemuk denan' ekuivaiennya. Proses scbaliknya sering juga dibutuhkan. jadi kita akan liha! apa saja yang dilibatkan. Jadi pindah/ ah ka frame bvrikutnycz Mengubah basis dari denari ke basis baru 1 Untuk menyatakan bilangan denari dalam bentuk biner . Cara paling mudah untuk melakukan ini ialah dengan pembagian bemlang dengan 2 (basis baru), dengan memperhatikan sisu pada seliap tahap. Teruskan pembagian itu hingga hasilbagi nol akhir diperolch. Sebagai Contoh, untuk mengubah 245m ke bilangan biner: Sckarang tulislah semua sisa dalam urutan tcrbalik, ix) _. ¡ yakni dari bawah ke atas. k) IQ h) IQ lk) h) td -l Maka 245,„ = iiiioioi, 2 Untuk menyatakan bilangan denarí dalam benluk oklal Metode di sini sama pcrsis kecuali bahwa kita mcmbugi secara berulang dengan 8 (basis baru). Jadi. lanpa kesulitan, mengubuh 524,“ ke bilangan oktal akan mcnghasilkan
  78. 78. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  79. 79. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  80. 80. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  81. 81. Ariunetika 61 yang aninya 348,654„, = 534517, :1010111001010011112 (c) Kemudian. diawali dari tanda koma dan bckeija pada kedua arah. kelompokkanlah kembali digit bincr yang sama dalam kelompok empat digil. Proses ini akan menghasilkan . . . . . . . . . . 0001 0101 1100 . 1010 0111 l000 dengan melcngkapi kclompok pada kedua ujung dengan menambahkan nol scperlunya. (d) Sckarang lulislah ckuivalcn hcksadcsimal scliap kclompok yang lcrdiri alas empal digi! biner, sehingga kila memperoleh . . . . . . . . . . 15112). (10)78 Dcngan mengganli (12) dan (10) dengan simbol hcksadcsimal yang bersesuaian, C dan A, proses ini akan menghasilkan l 5 C, A 7 8,6. Jadi, dengan menggabungkan hasil-hasil parsial ladi menjadi satu: 348.654„, = 5345178 = l01011100,10l001111, = l5C, A78,6 F rame berikutųva Kila telah mengeijakan Contoh scbelum ini dengan cukup rinci. Pada prakleknya, metode ini lebih singkat. Berikul Contoh lainnya. Ubahlah bilangan denan' 428,37] , o ke bemuk oktal, biner, dan hcksadcsimalnya. (a) Perlama-lama, ekuivalen oklal 428,37! , O sama dengan . . . . . . . . . . (b) Ekuivalen biner masing-masing digi! oktal dalam kelompok yang lerdiri alas liga digil ialah . . . . . . . . . . 110 101 100 . 010 111 1102 (c) Dengan mengamati dan menyusun kcmbali kc dalam kclompok yang lcrdiri alas cmpal digit dalam seliap arah dari tanda koma, kila peroleh . . . . . . . . . . 0001 1010 1100 . 0101 11112 (d) Ekuivalcn bcksadesimal masing-masing pasangan empal digi! biner dengan demikian menghasilkan . . . . . . . . . .
  82. 82. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  83. 83. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  84. 84. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  85. 85. Aritmeiika 65 ä latihan uiian F.1 'td 1 lxlakkanlah simbol < alau > yang sesuai di amara seliap pasangan frame bilangan berikut: (a) -12 -15 (b) 9 -17 (c) -11 10 sampai 2 Carilah nilai dari masing-masing soal berikul: (a) 24-3x4+28+l4 (b) (24-3)><(4+28)+l4 „mm k - 3 Tulislah masing-masing dari bilangan bcrikui scbagai hasilkali L bilangan prima: (a) 156 (b) 546 (c) 1445 (d) 1485 sampai 4 Bulalkanlah seliap bilangan ke IO. 100. dan 1000 lerdekalnya: (a) 5045 (b) 1100 (a -1552 (di 4995 mm, m 5 Carilah (i) FPB dan (ii) KPK) dari: (a) 1274 dan 195 (n) 64 dan 18 sampai 6 Sederhanakanlah pecahan berikut ke suku-suku terkecilnya: 8 162 279 81 . . . (a) , -4 (b) í (c) -í (di -í sampai Ü 7 Tcntukanlah nilai dan' masing-masing soal berikut, dengan mem- berikan jawaban Anda sebagai pecahan: () 34,2. b) 2_l (^ šxė (d) ídarfí a 3 5 ' 7 9 “i 3 5 v 5 15 9 3 6 4 3 7 9 . “il T: “i Tvstšw 8 Pada masing-masing soal berikut dikelahui proporsi suatu gabungan. Carilah rasio masing-masing komponennya dalam masing-masing kaisus: (a) âdariAdanldariß 4 4 (b) E dari P, JS- dari Q. dan sisanya R 3 1 (c) š dari R. Š dari s, š dari T, dan sisanya U sampai ü 9 Berapakah: (a) Š sebagai pcrsenlasc? (b) 16% sebagai pecahan dalam suku-suku lerkecilnyaí' (C)
  86. 86. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  87. 87. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  88. 88. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  89. 89. Arirmetika P“ L i"- 19 20 21 Tulislah kembali dalam bcnluk standar yang lebih baik: (a) 4285 (b) 0,0169 (c) 8.526 X 104 (d) 31529 x 105 (e) i.0073 x 107 m 5094 x 103 Keijakan soal beiíkut, berikan hasilnya dalam bemuk slandar dan dalam bemuk slandar yang lebih baik: (4,26 x i0“x9,3s x 105) 3,i79 x io” Konversilah masing-masing bilangan desimal berikut ke fomiat (i) biner, (ii) oktal, (iii) duodcsimal, dan (iv) heksadesima! : (a) 1,83 (b) 3.425 x 102 Konversilah masing-masing bilangan oklal beiikut ke format (i) biner. (ii) desimal, (iii) duodesimal. dan (iv) heksadesimalnya: (a) 0,577 (b) 563 Konversilah masing-masing bilangan duodcsimal berikut ke fomlat (i) bincr, (ii) oktal. (iii) desimal, dan (iv) heksadesimalnya: (a) 0,AX (b) 9A1 Konversilah masing-masing bilangan biner berikul ke format (i) desimal, (ii) oklal, (iii) duodesimal. dan (iv) heksadcsimalnya: (a) 0.10011 (b) 111001100 Konversilah masing-masing bilangan heksadesimal bcrikul ke fomial (i) biner, (ii) oktal, (iii) duodesimal. dan (iv) desimal: (a) 0,F4B (b) 3A5 69
  90. 90. Pengantar Aljabar frame . MMC Haslpernbelahran Setelah mnyelesaikan Program ini. Anda diharapkan dapat: Menggunakan simbol-simbol alfabet untuk melengkapi numeral dan mengkombinasi- kan simbol-simbol ini dengan menggunakan semua opcrasi arilmctika Menyedcrhanakan pernyalaan aljabar dengan mengumpulkan suku-suku yang sejenis dan dengan memisahkan faktor-faktor persekuluan dari suku-suku yang serupa Menghilangkan tanda kunmg sehingga memperoleh pemyalaan aljabar allematif Memanipulasi pemyataan yang melibatkan pangkat dan mengalikan dua pemyataan beisama-sama Memanipulasi logaritma baik secara numerik maupun secara simbolik Memanipulasi pecahan aljabar dan membagi satu pemyataan dengan pemyataan lainnya Memfaktorisasi pemyataan aljabar dengan menggunakan faklorisasi standar Memfaktorisasi pemyalaan aljabar kuadmlik Jíka Anda merasa telah menguasai semuanya mengapa Anda tídak mncoba kuis pada halaman beríkut? Anda dapat memeríksa jawaban Anda pada akhir buku ini. 71
  91. 91. i"- L ei Sedemanakanlah masing-masing soal beríkul: (a) 3pq+5pr-2qr+qp-6rp (b) Slzmn + 2n12m - 3mln2 + Iznm + 4n2ml - nm: (c) w“ + w'° x w`b Mi* x 11*›"+ 1:11* _ 1.3) '+ 111)' Hilangkanlah tanda karting pada masing-masing soal bcríkul: (a) 4112! - y)(3x + 2.9) (b) (a - 210120 - 3b)(3a - 411) (C) -1-211 - 30 - 4)] - 5(z + 6)! Tentukarilah nilainya dengan kalkulalor atau dengan mcngubah basisnya bila memang perlu (hingga 3 lempat desimal): (a) log 0.0l01 (b) 1n 3.47 (c) log, 3,16 ImwO CMC . mv-i- Nyamkanianioghiogcniogm-(l)-2iogr M tanpalog. Usu-MC Tulislah kembali T = ZIIJ: dalam bemuk log. 8 lakukanlah per-Italian berikut dan hasil- hasil yang Anda peroleh: (a) in* + 2n - 3)(4n + s) (b) (i9-v2-2X1-3v+2v2) Sederhanakanlah selíap soal berikul: p+_q_ Š; 103 azb ac: bzc a” 2c 2b " 2a uimkanian pembagian berikut: (a) 12f-y-I0›+1y+2› (b) “ka q-2 2r3+ Srz- 4r - 3 r: + 2r - 3 (a) (c)
  92. 92. Penganlar aljabar 9 Faktorkanlah soal-soal berikut: (n) l8x2y -- llxf (b) : J + 4.33' - 3.03 - l2_v3 (c) 40 - „n” - (x - 3,01 (d) m” m 25x +12 sampai 73
  93. 93. 74 Topik dasar Pernyataan aljabar Bayangkanlah suatu bilangan Tanzbahkanlah 15 pada bilangan tersebut Kalíkanlah hasilnya dengan dua Tambahkan hasil penggarulaan im' ke bilangan yang . wenxula Anda pikirkatx Bagilah hasilryva dengan 3 Kurangkart dengan bilangan yang perrama sekalí Anda pikirkan radu' Jawabannya ialah 10 Men gapa ? Pcríkxalah jawaban Anda pada frame berikut íni l : l Simbol selain dari numeral Huruf alfabcl dapat dipakai untuk mcnyatakan suatu bilangan tertenlu yang tídak diketahui dan karena bilangan tcrsebul tidak dikctahui (tcrkccuali tentunya buat orang yang mcmikirkan bilangan tersebut) kita akan melambangkan bilangan tersebut dengan huruf a: Pikirkanlah suatu bilangan a Tambahkan IS pada bilangan terscbul a + 15 Kalikan hasilnya dengan dua 2 x (a + IS) = (2 x a) + (2 x 15) = (2 X a) + (30 Tambahkan hasilnya dengan bilangan yang pcrtama Anda pikirkan a + (2 x a) + 30 = (3 x a) + 30 Bagilah hasilnya dengan 3 [(3 x a) + 30] + 3 = a + 10 Kurangkan dengan bilangan yang pcnama Anda pikirkan tadi a + I0 « a = 10 Hasilnya ialah 10 F mme beHkuhgva Teka-teki kecil ini baru saja memperlihatkan bagaimana: . maru bilangan anu dapat dinyatakan dengan sebuah huruƒalfabel yang kemudían dapat dimanipulasi pcrsis . reperri numeral biasa dalam suatu pernyamun aritme- ríka. Sehingga. sebagai Contoh: a+a+a+a=4xa 3xava= °xa 8xa+a=8 dan axaxaxaxa= a5
  94. 94. Penganlar aljabar 75 Jika a dan b menyatakan bilangan anu maka kila katakan: jumlah a dan b a + b selisih a dan b a - b hasilkali a dan b a x b. a. b atau cukup ab (kita dapat menghilangkan tanda perkalían) hasilbagi a dan b a + b, a/ b atau ž asalkan b : e 0 dan memangkatkan a dengan b a” Mcnggunakan huruf dan angka dengan cara ini disebut scbagai aljabar. Sekarang pindah ke frame berikutnya Konstanta - Pada teke-teki di Frame l kita telah melihat bagaimana menggunakan huruf a untuk menyatakan suatu bilangan anu - kita menycbut simbol sepeni itu scbagai suatu konsrama. Dalam banyak soal lainnya, kita membutuhkan suatu simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan tídak hanya satu bilangan : etapi setiap bilangan dari suatu himpunan. Tema sentral dari konsep lambang ini ialah gagasan lemang variabel. F rame berikutnya Variabel E Kita telah mclihat bahwa operasi penambahan adalah operasi komutatif. Yaitu, scbagai comoh: 2+3=3+2 Untuk menjelaskan bahwa annan ini berlaku untuk sebarang pasangan bilangan dan tidak hanya 2 dan 3. kita akan tetap mcmakai huruf . r dan y dan menulis: x+y= y+x di mana x dan y menyatakan scbarang dua bilangan. Apabila digunakan seperti ini, humf x dan y disebut sebagai variabel karena keduanya masing-masing mewakili, bukan hanya satu bilangan, (etapi sebarang bilangan dari suatu himpunan bilangan. Jadi bagaimana Anda akan menuliskan pemyataan bahwa perkalian adalah suatu opcrasi yang asosiatif? (Lihat Frame 12 pada Program F. l.) Anda dapat memeriksa jawaban Anda pada frame beríkztt
  95. 95. 76 Topik dasar atv: ) = (. xy)r = xyz di mana x. y. dan 2 menyatakan bilangan. Perhatikan hilangnya tanda pcrkalian. Walaupun bukan merupakan aturan yang (egas dan tetap, sudah menjadi kesepakatan umum bahwa huruf-huruf awal alfabet. yaitu. a. b, c. d. . . . digunakan untuk menyatakan konstanta dan huruf-huruf akhir alfabet. yaítu, . . . v, w. x, y, z digunakan untuk menyatakan variabcl. Dalam kasus manapun, ketika suatu huruf digunakan, haruslah dinyatakan dengan jclas apakah huruf itu melambangkan konstanta atau variabel. Sekarang kila beralih ke frame beríkutnya i Aturan aljabar Aturan aritmctika untuk bilangan bulat yang kita jumpai pada Program scbclumnya berlaku juga umuk sebarang jcnis bilangan dan kita menyatakan fakla ini dalam aturan aljabar di mana kila akan menggunakan variabel dan bukan numeral sebagai comoh. Aturan-aturan itu ialah: 1 Komulativítas Dua bilangan . r dan y dapat ditambah alau dikali dengan urulan manapun tanpa mempengaruhi hasilnya. Dengan kata lain: x+y= y+xdan xy = yx Pcnambahan dan pcrkalian adalah operasí komutanf Urutan yang digunakan umuk mengurangi atau membagi dua bilangan memang mempcngaruhi hasilnya. Dcngan kata lain: . v ~ y 2 _v ƒ . r kecuali . r = y dan x + y : e y + r. [ž a: kecuali x = y dan keduanya tidak sama dengan 0 y . x Pengurangan dan pembagian bukanlah operasi kamutaafkecualí dalam hal-hal khustts 2 Asosiativitas Bagaimana kita mengasosiasikan bilangan x, y. dan z pada pcnambahan atau perkalian : ida/ c mcmpcngaxuhi hasilnya. Dengan kata lain: x(y+z)= (x+y)+z= .x+y+: dan . run = (U): = xy= z Pcnambahan dan perkalían adalah operasí asosíahf Bagaímana kita mcngasosiasikan bilangan pada pcngurangan atau pembagian memang mempengaruhi hasilnya. Dengan kala lain: x z (y <- z) : t (x - y) ~~ z kccuali z = 0 dan . r + (y + z) at (x + y) + z kccuali z = l dan y at 0 Pengurangan dan pembagian bukanlah operasi asosüznfkecuali dalam hal-hal khusrts ß
  96. 96. Pengantar aljabar 77 3 Dislribulivitas Perkalian didistribusikan pada penambahan dan pcngurangan dari kiri maupun dari kanan. Sebagaí Contoh: x(y+z)= xy+xzdan(x+y): =xz+y: x(_vez)= x„v~xzdan(x-y)z= x:-y: Pcmbagian didistribusikan pada penambahan dan pengurangan dari kanan tetapi tidak dari kiri. Scbagai Contoh: (x+y)+z= (.r+z)+(y+z)tetapi x+(y+: )#(x+y)+(x+z) dengan kata lain: . '+_)'_ . r #-+ . V n [R . v+z -v c. Berhatí-hatílah selain karena di Siili seríng kali terjadi kesalahan. Atu ran prioritas Aturan ptíoritas masih bcrlaku pada waktu kita mcmanípulasi pcrnyataan aljabar yang melibatkan operasi-operasi berbeda secara bersama-sama. F rame beríkutnya Suku-suku dan koefisíen-koeíisien . Suatu pemyataan aljabar tcrdiri dari huruf dan numeral yang dihubungkan dengan menggunakan operator aritmetik. Sebagai comoh: 8x- 3xy mempakan pcrsanman aljabar dalam dua variabel x dan y, Setiap komponen dari persamaan ini discbut suku. Di sini terdapat dua suku. yakni: suku . r dan suku xy. Numeral pada setiap suku discbut koeƒísíerx dari suku-suku bersangkutan. Maka: 8 adalah koefísien suku x dan «3 adalah koefnsien suku xy. Menggabungkan suku~suku yang seíenís Suku-suku yang memiliki variabel yang sama discbut suku-suku yang sejenís dan suku- suku yang sejenis ini dapat digabungkan dengan penambahan atau pengurangan. Scbagai comoh: 4x + 3y - 2: + Sy - 3x + 4: dapat disusun kcmbuli menjadi 4.: ›- 32: + 3y + Sy - 2: + 42 dan disederhanakan menjadi: x + By + 22 Dengan cam yang sama. 4uv - 7uz - 6wz + 2uv + 3wz dapat disederhanakan menjadi Perikszrlah jawaban Anda pada frame beríkutnya
  97. 97. 78 Topik dasar F rame beríkutnya Suku-suku yang serupa Dalam pemyataan aljabar: ab+bc kedua suku mengandung huruf b dan oleh karena itu suku-suku ini, Walaupun bukan suku-suku yang sejenis, disebut suku yang serupa. Simbol yang lazim seperti huruf b ini disebut sebagai faktor persekutuan dan dengan menggunakan tanda kunmg faktor-faktor persekutuan ini dapat dikeluarkan. Sebagai Contoh. faktor persekutuan b dalam pernyataan ini dapat dikeluarkan sehingga menghasilkan: ab + bc = b(a + c) Proses ini dikenal scbagai faktorísasi. Faktor-faktor numerik dikeluarkan dengan cara yang sama. Sebagai Contoh, dalam pemyataan aljabar: 3pq - 3qr suku-sukunya serupa. keduanya mengandung huruf q. Suku-suku ini juga memiliki koeftsien pcrsekutuan 3 sehingga koefisien ini. dan juga huruf persekutuan q, dapat dikeluarkan untuk menghasilkan: 3pr1 ~ 3qr = 3401 - r) Jadi pemyataan aljabar 95: - 3sv- 6sw disederhartakan menjadi . . . Jawabannya ada dalam frame berikut 3s(3t - v ~ 2w) Karena 93! - 3sr - Gsw = 3s x 3! - 3s x » - 3.: x 2w = 3s(3l - v - 2w) F rame berikutnyu
  98. 98. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  99. 99. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  100. 100. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  101. 101. 82 Topik dasar + = í - í í í 4h 6b 4b 4b 6b 6b a 3 a l = í - 't + í + : 2b 417 Zb 3b _ 2 _ L b l2b I - - Sckarang kita akan pindah ke topik bcrikulnya Pangkat . Pangkat Pan gkm ( yang disebut juga indeks atau cksponen) adalah salah satu bentuk notasi aljabar yang sangat praktís. Faktor berulang dengan basis yang sama. misalnya. a x a x a x a dapat ditulis sebagai ai, di mana bilangan 4 mcnunjukkan jumlah falnor yang diperkalikan. Umumnya, hasilkali dari n faktor a, di mana a dan n merupakan bilangan bulat positif, ditulis a”. di mana a disebut basis dan n disebut kocƒísien (sepcrti telah dijclaskan pada Frame 8). / v 503.. . Indeks atau eksponen atau pangkat kooftsíen ' k basis Dari deftnisi di alas sejumlah aturan tcntang indeks dapat segera dibuat. Aturan-aturan indeks 1 a"'xa"= a"'”' c0nt0h, a5xa2=a5"2=a7 2 a” + a" = a'"`" comoh. as + a: = a” = 3 (a"')" = a'"" comoh. (a5)2 = as x 05 = am Ketiga aturan dasar ini menghasilkan sejumlah kesimpulan penting. "I 4 a”= l karcnaa'"+a"= a"""danjugaa"'+a"= ä. a "I Makaj¡kan= m,a”""'= a°danL= lJadia°= l a _ a""xa"' a“ 1 __ l 5 a'”'= Lkarenaa'"= -mí-= -m= -„7Jadta'"= -7¡ a“ a a a a _]_ , J. ¡- _ J. m 1.1 ¡ _ f 6 a"'= 'äia tetapi (a"'j = a"'= a = a. Jadi a"'= 'Ga Dari sini terbukti bahwa ai = a? atau (ei Catatlah apabila ada dari hasil-hasil ini yang bclum Anda pahami. Kenmdian píndahlah ke frame berikutnya
  102. 102. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  103. 103. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  104. 104. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  105. 105. 36 Topik dasar (g) amg” = x karena jika kita ambil log pada sisi kiri persamaan ini: log „a'°g“'= log“ x loga a = loga . r sehingga ah““'= (h) log“ b = l log„a X karena. jika logb a = c maka b“ = a sehingga V; = 0% Oleh karena itu. :aga b = l = ' . Dengan kata lain log“ b = ` c logba logba Jadi, selesaikanlah soal-soal berikut Lanpa melihat hasil-hasil di alas: (a) loga (x x y) = . . . . . . . . . (e) log" a = . . . . . . . . . (b) log“ (x + y) = . . . . . . . . . (f) [aga a' = . . . . . . . . . (c) log" (K) = . . . . . . . . . (g) a'°“°' = . . . . . . . . . _ l (d) log“ l = . . . . . . . . . (i) logba = . . . . . . . . . E (a) loga x + loga y (c) l (b) logo x - log“ y (f) x (c) n logax (g) x (d) O (h) loga b Sekarang cobalah dengan menggunakan bilangan. Selesaikanlah soal-soal berikut: (a) log“ (6,788 x l.043) = . . . . . . . . . (e) log. , = . . . . . . . . . (b) log“ (l9,ll2 + 0,054) = . . . . . . . . . (f) log3 27 = . . . . . . . . . (c) log“ (5.899"2) = . . . . . . . . . (g) „low = . . . . . . . . . l d I l = . . . . . . . . . h) = . . . . . . . . . ( ) ogg ( ma 4 . (a) loga 6.788 + log“ l.043 (e) l (b) log“ l9.ll2 - log“ 0.054 (f) 3 (c) I2 log“ 5.889 (g) 4 (d) 0 (h) log43 F rame beríktanya . Baskilldanbaslse Pada kalkulator biasa, tersedia tombol-tombol untuk menghitung logaritma dengan dua basis yang berbeda, yaitu 10 dan bilangan eksponensial e = 2.7l828 . . . . Logaritma dengan basis l0 dulunya digunakan bersama dengan tabel untuk perhitungan aritmctika - logaritma ini disebut logaritma biasa dan ditulis tanpa memperlihatknn basisnya. Sebagai contoh: logm 12345 biasanya cukup ditulis dengan log l,2345 Anda akan melihat tombol logaritma biasa ini sebagai .
  106. 106. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  107. 107. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  108. 108. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  109. 109. 90 Topik dasar 2 log“ y _ 3 logo (x1)= iog„ q; + [aga x, dengan kata lain log“ y: - loga (ff = ioga »Š + log“ x sehingga š log“ y: - log“ y = log“ (x2)3 + logd x yang memberikan 1 l-l . š › 3 logo = loga x“ x. Oleh karenanya y? = „(7 schingga y . -. x Di sint' kíta bcrhcnn' scjenak untuk merangkum falctagƒakta pentíug tentang pangkat dan logaritma híugga scjauh im' . arv ngkuman revísí Aturan pangkat: l (b) a`"' = 77 a 'KE : L F- . IL (f) a"'= Vu" atau a“ (a) d" ›< a” = a""" am + an = ain-n a* (c) (a'")" = a""' wín" (g) 0° = | Aturan logaritma: (a) Log dari suatu hasilkalí sama dengan jumlah dari log-lognya log" xy = log“ x + 10g„ y Log dari suatu hasilbagi sama den gan selísih dan' log-logųva (b) log“ (x + y) = logu x - loga y (c) log“ (x") = n log“ x Log dari suatu bilangan yang dipangkatkan adalah hasilkali amara pangkat dan log dari bilangan yang bersangkutan (ed) Ioga I = 0 (e) logo a = l dan log“ a' = .x alaga. : = x l logb a (g) loga b = Logaritma dengan basis 10 discbut logaritma biasa dan ditulis scbagai log x. Logariuna dengan basis e sebagai ln x. 171828 . . . disebul logarírma natural dan ditulis
  110. 110. fbngantar aljabar 91 E latihan revisi l Sedemanakanlah masing-masing soal berikut: (a) 0° x 05 (b) x7 + .113 (c) (w2)"' + (MP (d) r* + r4 x (s'3t'2)3 8x`3 x Bxz 1 ( ) -: -- (f) e 6x`4 (g) a ēJ8a3b°+ "žaaƒ x (16/ a"b° r* 2 Nyatakanlah soal berikut tanpa log: (a) l0gK=1ogP-1og7`+l.310gV (b)1nA=1nP+rn f+P (4a3b"c)2 x (a`2b°c`2 )- +[64(a°b4c2 Yš] 3 Tulislah kembali R = r dalam bemuk log. 4 Tentukan nilainya dengan kalkulator atau ubahlah basisnya jika diperlukan (hingga 3 tcmpat desimal): (a) log 5,324 (b) ln 0,0023 (C) log4 1.2 l (a) 0°xcr5=0°*5=a" s (b) x7 + x3 = x7'3 = x' (c) (u'2)"' + (w"')3 = wh' + u” = wh" x w'3"' = w"" (d) sJ + f4 x (safz): = 33 X f' x s'°t'° = s"°f2 8x`3x 328 _ 241;" 6:64 6x`4 (f) (403b"c)2 X (0`2b`°c'2)& + 64(a°b"c2)-Š = (lõaõlfzcz) x (a"b2c"_) + 64(0'3b'2c") = (160°b'2c2) x (0"b2c") >< 64" (a3b2c') (e) = 4x3 _ asbzcz ' 4 -g 7 2 š -l (g) šisa3b° + 2l5a“b7 x (16 HM) = (2ab“) + “ 5" x (omg) = (2ab2)x 5 x l, „313 4ab! _ . EL Zazbšabš s ' 2a2b3 2 (a) K = (b) A= Pe"' 3 log R = log r + š(log(ƒ+ P) - 1og(ƒ- P)) 4 (a) 0,726 (b) -6,075 (c) 0,132 Sekarang kira píndah ke topik berikutnya
  111. 111. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  112. 112. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  113. 113. 94 Topik dasar . Perkalian dan pembagían Pecahan dikalikan dengan mengalikan pembilang dan pcnycbutnya secara terpisah. Scbagai comoh. persis sepeni: s 3_sx3_g _x_ _ 4 7 4x7 28 maka: 0 c ac _x_= _ b d bd Kebalikan (reciprocal) suatu bilangan adalah satu dibagi bilangan yang bersangkutan. Sebagai comoh. kcbalikan a ialah 1/0 dan kcbalikan ž ialah b 0 l : :l+ b = lX-= a/ b 0 pembilang dan penyebut pada pembagi saling dípertukarkan ÜID Membagí dengan sebuah pecahan aljabar adalah mengalikan dengan kebalíkannya. Sebagai comoh: E+S-EXŠ-E b d b c bc Sehingga 2-"4- ä = 3b 6 Períksalah dengan frame berikumya Jauvaban pada frame berikunrya
  114. 114. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  115. 115. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  116. 116. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  117. 117. 98 Topik dasar ab cb aab cbc b(a2 + c: ) (a) -+-= --+_- c 0 ar ac ac (b) Q__l= Q_c_= ab-c c c r c (ab ac) bc ab ac bc a2b2+02c2 +b2c2 (c) _. . _+_= _+_+_= :__-_- c b 0 c b a abc (a) x+6 (x2+5.r-6)+(x-1)= x-1|. t2+5x-6 . tl-x 6x-6 6x-6 (b) x-2 (x2-x-2)+(x+1)= x+1 l xz- x-2 x2+ x -Zx-Z -u-2 (c) 4x2+ 3x+ s (12r3-l1x2-25)+(3x~5)=3x-5l12x3-l1x2+ 0x-25 129-213? 9x2+ Ox 9x2-15x lSx-ZS 15x-25 (d) 02- 2ab + 402 ä = a+2b a; + 8b3 a+2b 3 _ a +2a'b _2a1h -202b-40b2 4ab2 +8b3 4023 +8b3
  118. 118. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  119. 119. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  120. 120. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  121. 121. 102 Topik dasar i Faktorisasi pernyataan kuadratik, ex* + bx + c apabíla a = 1 Jika a = 1, pemyataan kuadratik akan serupa dengan pemyalaan yang baru saja Anda pclajari, yakni . XZ + bx + c. Dari aturan l-3 pada frame sebelumnya dapat anda lihat bahwa nilai ƒ¡ dan f: dalam (x + f, ) dan (x + fz), sebagai faktor-faktor dari pemyataan kuadratik, akan tergantung pada tanda-tanda b dan c. Perhatikan bahwa b. c, f¡, dan fz dapat positif atau negatif. Pcrhatikan bahwa: Jíka c posinf (a) f, dan fz adalah faktor-faklor dari c dan kcduanya memiliki tanda yang sama dengan tanda b (b) penjumlahan f¡ dan f2 sama dengan b Jika c neganƒ (a) f¡ dan f: adalah faktor-faktor dari c dan memiliki tanda yang ber- lawanan. yang lebih besar secara numerik memiliki tanda scpcrti b (b) sclisih antara f¡ dan ƒz sama dengan b Terdapat Contoh-Contoh scperti im' pada frame beríkutnya . Contoh 1 x: + 5.1: + 6 (a) Faktor-faktor dari 6 yang mungkín ialah (l. 6) dan (2. 3), jadi (11, 16) dan (12. 13) merupakan pilihan yang mungkin umuk ƒ¡ dan (b) c positif jadi faktor-faktor yang dimaksud bila dijunüahkan sama dengan b, yaitu 5. (c) c positifjadi faktor-faktor yang dimaksud memiliki tanda yang sama scperti b. yaitu positif, adalah (2, 3). Jadi r” + s. : + o = (x + 2)(x + 3) Contoh 2 xz - 9.1' + 20 (a) Faklor-faktor dari 20 yang mungkin ialah (l. 20), (2, 10) dan (4, 5), jadi (11, 120), (12, 110), dan (14, 15) mcrupalcan pilihan yang mungkin un1ukf¡ dan fl. (h) c posilif jadi faktor-faktor yang dimaksud bila dijumlahkan sama dengan b. yaitu ~9. (c) c positif jadi faktor-faktor yang dimaksud memiliki tanda sepcrti b, yaitu negatif. adalah (-4, ~5). Jadi x: - 9.1' + 20 = (x - 4)(x - 5) Contoh 3 x? + 3x - 10 (a) Faktor-faktor yang mungkin untuk 10 ialah (l, 10) dan (2. S), jadi (11, 110) dan (112. 15) merupakan pilihan yang mungkin untukf¡ dan ƒz. (b) c negatifjadi faktor-fzüdor ya-: g dimaksud mcmpunyai . sclisih sama dengan b. yaitu 3. (c) c negatif jadi faktor-faktor yang dimaksud berbeda tanda, faktor yar; lebih bcsar secara numerik memiliki tanda seperli b. yaitu positif, adalah (-2, 5) Jadix2+3.x_ l0=(x-2)(x+5) b
  122. 122. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached yourviewing Iimit for this book.
  123. 123. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  124. 124. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  125. 125. (a) Tidak ada faktor-faktor sedcrhananya Topik dasar (c) Mcmiliki faktor-fakwr scderhana (b) Memiliki faktor-faktor scderhana (d) Tídak ada faktor-faktor sederhananya Sckarang kita dapat mcngaitkan pengujian ini dengan pekerjaan sebelumnya. Kcrjakanlah latihan singkat berikut: latihan ini memberikan ulangan yang bcrmanfaat. Ujilah apakah soal-soal berikut dapat dinyalakan sebagai hasilkali dari dua faktor-faktor sedcrhana. dan jika mungkin. tentukanlah faktor-faktor tersebut: (a) (21: + l)(x + 3) (b) Tndnk ada faktor-faktor sedcrhana (c) 7x2-5x-4 (a) 8x2+2x-3 (a)2x2+7x+3 (b)5x2-4x+6 Períksalah hasilnya dengan frame berikit! (c) Tidak ada faktor-faktor sederhana (d) (2x - l)(4x + 3) Bcginilah caranya: (a) (b) (c) (d) 2x2+7x+3 a=2;b=7;c=3 b2-4ac=49-4x2x3=49-24=25=s1. Faktor-faktomyaada. lacl = 6: faktor-faktor yang mungkin untuk 6 ialah (l, 6) dan (2, 3) c positif. Faktor-faktor ini berjumlah 7. dengan kata lain (l. 6) Kedua faktor memiliki tanda yang sama scperti b, yaitu positif. Jadi ƒ¡ = 1 dan ƒ, = 6 2x2+7x+3=2r2+x+6x+3 = (2›.2+x)+(6x+3)= x(2x+1)+3(2x+ l) = (2x + l)(x + 3) 5x2-4x+6 a=5;b= -4;c=6 b? ~ 4ac = 16 - 4 x 5 x 6 = 16 - 120 = -10-4. Bukan kuadrat sesungguhnya. Oleh sebab itu, tidak ada faktor-faktor sederhananya. 7x2~5x-4 a=7;1›= -5;c= -4 b: s 4ac = '15 - 4 x 7 x (-4) = 25 + 112 = 137. Bukan kuadrat scsungguhnya. Olch scbab im tidak ada faktor-faktor scdcrhananya. Sxl-â-ZX-Š a=8;b=2;c= -3 122 - 4ac = 4 - 4 x 8 x (+3) = 4 + 96 = 100 = 102. Faktor-faktor ada. lacl = 24; famor-falvnor yang mungkin untuk 24 ialah (1, 24), (2. 12), (3. 8). dan (4. 6) c negatif. Faktor-faklor ini selisihnya sebcsar lbl, dengan kata lain 2. Jadi faktor- faktomya ialah (4, 6) f, dan ƒz memiliki tanda yang bcrlawanan. Faktor yang lebih besar memiliki tanda yang sama dengan tanda b, yaitu p0sití1`f¡ = 6; ƒz = -4. 8x2+2x-3=8x2+6x-4x-3 = (8.r2~4.r)+(6x~3)=4x(2.x- i)+3(2x- r) Jadi8x2+2x-3=(2x~ l)(4x+3) Di sini Idla akan berhenti sejenak untuk merangkum ƒakta-fakta penting tentang faktorísasi sampai sejauh ini
  126. 126. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  127. 127. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  128. 128. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  129. 129. 110 Topik dasar 9 Faktorkanlah soal-soal berikut: (a) 363)* - aa) (e) xz + 10.: + 24 (b) , R + 3x1y+ lryz + 6)? (r) r` - lOx + 16 (c) 4.8+12x+9 (g) x1-5x-36 (d) (3x + 4)): -~ (l: - y): (h) 642 + 5x - 6 ß Soal-soal Ianjutan F.2 1 Tcntukanlah soal-soal beríkut: (a) (28 + Sx - 3)(4.r - 7) (b) (48 _ 7x + 3)(5x + (s) (c) (ir: - 3.: _ 4)(3x - 5) (d) (614 - sxl -14x + 12) + (2: - 3) (e) (159 + 463 - 49) + (Sx + 7) (r) (133 +13.) + 14) + (3x + 2) 2 Sederhanakanlah soal bcrikut, yang memberi hasil lanpa indeks pecahan: (552 ' ”z x xxx + l +(x- Dž 3 Sederhanakanlah: (a) Vßašbsci-í- Šxaib3c" (c) (õxsyšzi): + (9.r°y“z3)š (b) >< , vs >< (2'“x°)v2z`*"›`$ (d) (r: - 142)* >< (x- 1:15 x (x + . vYš 4 Tcntukanlah nilai: (u) log 0008472 (b) ln 25,47 (c) logg 387,5 5 Nyatakanlah dalam bemuk log: k 1 03 x x/ Š = ž K : ., (a) f Ifdxƒ LC (b) cŠdš 6 Tulislah kembali soal-soal bcrikut tanpa logaritma: (a) log W = 2(10g A + log w) - (log 32 + 2 log ir + 2 log r + log c) (b) logS= l0gK~10g2+2l0g7r+210gn+10gy+l0gr+210gL - 2 log h - log g (c) ln l =1n(2V) ~ {111(KR + r) v ln K + KL) 7 Faktorkanlah soal-soal berikut: (a) 156)* + 20x)-3 (b) 14a-*b - 124131? (c) lt: + 3.10' - 101* - 15)* (d) 4xy ~ 733 - lZr + 21)' (e) 15.8 + 8)» + 20): ) + a: (r) 621)' -- 20 +151: - 8y
  130. 130. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  131. 131. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  132. 132. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  133. 133. Rarnyataan dan persamaan Pernyataan dan persamaan Menentulran nilai pemyataan Apabila nilai numerik digunakan untuk variabel dan konstama dalam suatu pemyataan (expressíon), pemyalaan itu sendiri memiliki nilai numerik yang diperoleh dengan mengikuti aturan prioritas yang biasa. Proses ini dikenal scbagai penenman nilai (evalu- ating) pemyataan. Sebagai comoh. jika I = 2 dan g = 9,81 maka pemyataan: MJ: 8 ditentukan nilainya sehingga menghasilkan: i 2 2“ m = 2,84 hingga 2 tempat desimal di mana 1: = 3.l4159 . . . . Iadi marilah kila liha! liga Contoh betikut: Contoh 1 Jika v = -? (3R2 + 112), tcntukanlah nilai v apabila h = 2,85, R = 6,24 dan n' = 3,142. Dcngan mensubstilusikan nilai-nilai yang diketahui: = 3,142 x 2.85 6 3,142 x 2,85 v (3 x 6,24? + 2852) (3 x 38.938 + 8.123) Selesaíkanlah V = 186.46 Contoh 2 R, R¡ Jika R= R. +R2 . lentukanlah nilai R apabila R, = 276 dan R: = 145. Soal ini cukup mudah, R = . . . . . . . . . . 115
  134. 134. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  135. 135. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  136. 136. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  137. 137. Fhmyalaan dan persamaan 119 l. ) 1.03 l Kuadratkan kedua sisi untuk menghasilkan: = m dan sekarang kalikan kedua sisi dengan 9,81 untuk menghasilkan: 1,03 2 931 = l = 0,264 hingga 3 angka signitikan Sehingga jika: l: nE R+nr dan n = 6, E = 2,01, R = 12, dan l = 0,98, nilai r yang berkorespons ialah . . . . . . . F mme berikutnya r = 0,05! Karena _ _ 6 x 2.01 12.06 _ _ _ Diketahui bahwa 0,98 = ä, = „í kita lnhal, dengan mengamb1l kebalikan dari sctiap sisi. bahwa: o -1- = Ši danoleh karena ilu “'06 = 12 + 6r 0.98 12,06 0 98 selelah mengalikan kedua sisi dengan 12,06. Mengurangkan dengan 12 pada kedua sisi menghasilkan: íllm - 12 = 6r 0,98 dan, membagi kedua sisi dengan 6 mcnghasilkan: - 12] = r, menghasilkan r = 0,05] sampai 2 angka signifikan Dengan proses manipulasi aritmetika ini variabel independen r dalam persamaan aslinya telah dítranspos menjadi variabel dependen pada persamaan baru, sehingga nilainya dapat dicari. Anda akan sering menjumpai perlunya mentranspos suatu variabel dalam suatu persamaan schingga Anda harus mampu untuk melakukan itu. Di samping itu, Anda juga akan perlu mentranspos vaiiabel untuk memperoleh suatu persamaan baru dan bukan hanya untuk mencari nilai numerik variabel yang ditranspos tadi sebagaimana yang Anda lakukan hingga scjauh ini. Dalam topik-topik berikumya kita akan mempelajan' transposisi variabel secara aljabar dan bukan secara aritmetika.
  138. 138. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  139. 139. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.
  140. 140. You have either reached a page that is unavailable for viewing or reached vourviewing Iimit for this book.

×