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  1. 1. 球面平均法 Rn 内の中心 x,半径 r の球面を Sr (x) と表す. また,単位球面 S1(0) の面積を ωn とおく.すなわち,ωn = 2π n 2 Γ(n 2 ) . Definition 3 連続関数 ϕ : Rn → R および r > 0, x ∈ Rn に対し,ϕ の Sr (x) 上の球面平均を Mϕ(r, x) := 1 rn−1ωn ∫ |z−x|=r ϕ(z) dσ(z) で定義する ∗ .z = x + ry と変数変換すると Mϕ(r, x) = 1 ωn ∫ |y|=1 ϕ(x + ry) dσ(y) という表示を得る.この表示はすべての r ∈ R で意味をもつため,この意味で Mϕ を R × Rn 上の関数として拡張する. Mϕ は r について偶関数であり,Mϕ(0, x) = ϕ(x) となることに注意. ∗一般次元の面積分の定義については例えば「熊ノ郷,偏微分方程式,共立出版,1978」を参照. 奏理音ムイ(Vtuber) 1 / 5
  2. 2. Proposition 4 ϕ ∈ C2 (Rn ) ならば,Mϕ は ∆x Mϕ(r, x) = [ ∂2 r + n − 1 r ∂r ] Mϕ(r, x), (r, x) ∈ R × Rn をみたす. Remark 5 r = 0 における右辺の値は r → 0 での極限値の意味とする. [証明] 積分記号下の微分より Mϕ ∈ C2 (R × Rn ) である(以下の計算も参照) . これと Mϕ が r について偶関数であることから,r > 0 において上の等式が成立 することを示せばよい. 奏理音ムイ(Vtuber) 2 / 5
  3. 3. 積分記号下の微分,発散定理,ry = z の変換を続けて行うと, ∂r Mϕ(r, x) = ∂r [ 1 ωn ∫ |y|=1 ϕ(x + ry) dσ(y) ] = 1 ωn ∫ |y|=1 y · (∇ϕ(x + ry)) dσ(y) = 1 ωn ∫ |y|≤1 ∇y · (∇ϕ(x + ry)) dy = 1 ωn ∫ |y|≤1 r∆ϕ(x + ry) dy = 1 rn−1ωn ∫ |z|≤r ∆ϕ(x + z) dz. ただし,ここで ∇ および ∇· はそれぞれ勾配および発散を表す微分作用素で, ∇ϕ(x) = (∂1ϕ(x), . . . , ∂nϕ(x)), ∇ · (F1(x), . . . , Fn(x)) = ∂1F1(x) + · · · + ∂nFn(x) で定義される. 奏理音ムイ(Vtuber) 3 / 5
  4. 4. 得られた等式 ∂r Mϕ(r, x) = 1 rn−1ωn ∫ |z|≤r ∆ϕ(x + z) dz. の両辺に rn−1 を掛け,右辺の積分を極座標で表すと次を得る. rn−1 ∂r Mϕ(r, x) = 1 ωn ∫ r 0 ∫ |y|=1 ∆ϕ(x + ρy)ρn−1 dσ(y)dρ. この両辺を r で微分すると, ∂r [ rn−1 ∂r Mϕ(r, x) ] = 1 ωn ∫ |y|=1 ∆ϕ(x + ry)rn−1 dσ(y) = rn−1 ∆x Mϕ(r, x). 上式の左辺は ∂r [ rn−1 ∂r Mϕ(r, x) ] = rn−1 [ ∂2 r + n − 1 r ∂r ] Mϕ(r, x) と計算できるから,rn−1 で割って求める等式を得る. 奏理音ムイ(Vtuber) 4 / 5
  5. 5. 関数 u = u(t, x) に対し,u(t, ·) の Sr (x) 上の球面平均を Mu(t, r, x) と表す. Corollary 6 (Euler–Posson–Darboux 方程式) u = u(t, x) ∈ C2 (R × Rn ) とする.このとき,u が波動方程式 ∂2 t u(t, x) − ∆x u(t, x) = 0, (t, x) ∈ R × Rn をみたすことと,Mu が ∂2 t Mu(t, r, x) − [ ∂2 r + n − 1 r ∂r ] Mu(t, r, x) = 0, (t, r, x) ∈ R × R × Rn をみたすことは同値である. [証明] Proposition 5 より,上の Mu の方程式は ∂2 t Mu(t, r, x) − ∆x Mu(t, r, x) = 0, (t, r, x) ∈ R × R × Rn と同値.これと ∂2 t Mu = M∂2 t u, ∆x Mu = M∆x u および Mϕ(0, x) = ϕ(x) に注意す ると同値性がわかる. 奏理音ムイ(Vtuber) 5 / 5

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