Dokumen tersebut membahas konsep graph berarah dan network. Terdapat definisi graph berarah, contoh graph berarah, serta istilah-istilah terkait seperti titik, busur, derajat keluar, dan derajat masuk. Juga dibahas konsep network yang meliputi titik sumber, titik tujuan, dan kapasitas busur. [/ringkasan]

1. Kelompok IV
1. Muh. Alfiansyah 161050701024
2. Nurqiyamah Hamid 1610507010XX
3. Asmaun 1610507010XX

2. Sebuah Graph berarah D adalah suatu pasangan berurutan dari dua himpunan V(D) yaitu himpunan berhingga
tak kosong yang anggota-anggotanya disebut titik dan 𝛤(D) yaitu himpunan berhingga (boleh kosong) yang
anggota-anggotanya disebut busur sedemikian sehingga setiap busur merupakan pasangan berurutan
dari dua titik di V(D).
Contoh:
Graph berarah 𝐿 = 𝑉 𝐿 , 𝛤(𝐿)
𝐿 = ( 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5 , { 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣2, 𝑣3 , 𝑣2, 𝑣5 , 𝑣3, 𝑣4 , 𝑣4, 𝑣5 , 𝑣5, 𝑣1 , 𝑣5, 𝑣3 }
JALANKonsep: JEJAK LINTASAN SIRKUIT SIKEL
Istilah sisi pada graph tak berarah diganti dengan istilah busur pada graph berarah

3. 𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4𝑣5
𝑃
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4𝑣5
𝑄
𝐶4 = (𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣2)
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4𝑣5
𝑅
𝐶4 adalah sikel berarah dengan
panjang 4 pada graph berarah R.
𝐶5 = (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣1)
𝐶5 adalah sikel berarah dengan
panjang 5 pada graph berarah P.
Sikel Hamilton adalah sebuah
sikel yang memuat semua
titik sebuah graph.
Graph Hamilton adalah
graph yang memuat sikel
hamilton.
Konsep keterhubungan
pada graph berarah
 Terhubung Lemah jika graph
dasarnya terhubung.
 Terhubung Kuat jika untuk setiap dua
titik 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 di suatu graph berarah
terdapat lintasan berarah dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗.

4. Misalkan D sebuah graph berarah dan 𝑣 ∈ 𝑉 𝐷
Derajat keluar titik v, dilambangkan dengan od(v)
adalah banayaknya busur pada graph berarah D yang
keluar dari titik v.
Derajat masuk titik v, dilambangkan dengan id(v)
adalah banayaknya busur pada graph berarah D yang
menuju ke titik v.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝐷
𝑜𝑑(𝑣1) = 2 𝑖𝑑(𝑣1) = 2
𝑜𝑑(𝑣2) = 1 𝑖𝑑(𝑣2) = 1
𝑜𝑑(𝑣3) = 1 𝑖𝑑(𝑣3) = 1
𝑜𝑑(𝑣4) = 2 𝑖𝑑(𝑣2) = 2
𝑜𝑑(𝑣5) = 1 𝑖𝑑(𝑣5) = 1
TEOREMA 10.1:
Jika 𝐷 = (𝑉 𝐷 , 𝛤 𝐷 ) graph berarah maka
𝑣∈𝑉(𝐷)
𝑖𝑑 𝑣 = 𝛤 𝐷 =
𝑣∈𝑉(𝐷)
𝑜𝑑 𝑣

5. 𝑣1
𝑣2
𝑣5
𝑣3
𝑣4
𝑣7𝑣6 𝑄
Misalkan Q sebuah graph berarah terhubung
lemah. Sebuah sirkuit berarah yang memuat semua
busur Q disebut sirkuit euler berarah.
Jika D memuat sirkuit euler berarah maka D
disebut graph euler.
TEOREMA 10.2:
Misalkan graph-berarah 𝐷 terhubung lemah
dengan paling sedikit satu busur. 𝐷 graph
euler jika dan hanya jika 𝑖𝑑 𝑣 = 𝑜𝑑 𝑣
∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝐷 .
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4
𝑣5
𝐷
𝑣1
𝑣2
𝑣3
𝑣4𝑣5
𝑃

6. Misalkan G sebuah graph (tak berarah). Jika dibentuk graph berarah D dari graph G dengan cara mengganti
setiap sisi G dengan sebuah busur atau dengan cara memberi “arah” pada setiap sisi G, maka graph berarah D
disebut sebuah orientasi G.
𝑣1
𝑣2
𝑣5𝑣3
𝑣4
𝑣6
𝐺
𝑣1
𝑣2
𝑣5𝑣3
𝑣4
𝑣6
𝐷1
𝑣1
𝑣2
𝑣5𝑣3
𝑣4
𝑣6
𝐷2
𝐷1 dan 𝐷2 dua orientasi graph G yang berbeda

7. Sebuah orientasi dari graph komplit disebut graph turnamen. Jadi turnamen adalah graph berarah tanpa gelung
sedemikian hingga setiap dua titik yang berbeda 𝑢 dan 𝑣 dihubungkan oleh busur (𝑢, 𝑣) saja atau busur (𝑣, 𝑢)
saja.
Hanya ada 2 turnamen dengan
tiga titik yang non-isomorfik dan
hanya ada 4 turnamen dengan
empat titik yang non-isomorfik.

8. Contoh:
Suatu pertandingan sepak bola diikuti oleh enam tim yakni A, B, C, D, E dan F, dalam pertandingan ini setiap
dua tim harus bertanding tepat satu kali dan tidak boleh ada seri. Hasil pertandingan yang diperoleh yakni A
menang melawan B dan D, B menang melawan C, D dan F, C hanya menang melawan A, D menang melawan E
dan F, E hanya kalah melawan D serta F menang melawan A dan C.
𝐹 𝐸
𝐷
𝐶𝐵
𝐴
TEOREMA 10.3:
Misalkan T sebuah turnamen dan 𝑢 adalah
sebuah titik di T dengan 𝑜𝑑(𝑢) maksimum. Maka
setiap titik 𝑣 di T, terdapat lintasan berarah dari 𝑢
ke 𝑣 di T dengan panjang maksimum dua.

9. Akan dibuat sistem alur lalulintas satu arah sedemikian sehingga dari
setiap tempat (persimpangan) seorang pengendara dapat mengakses
tempat yang lain lewat sistem yang dibuat.
Dalam konteks teori graph masalah di atas dapat dirumuskan menjadi
sebagai berikut: diberikan sebuah graph (tak berarah) G. Adakah sebuah
orientasi G merupakan graph beraharah terhubung kuat?
Permasalahan
Solusi
Sebuah graph G dikatakan terorientasi jika terdapat sebuah orientasi G yang terhubung kuat.
TEOREMA 10.4:
Sebuah graph G terorientasi jika dan hanya jika graph G terhubung dan tidak memiliki sisi pemutus.

10. ALGORITMA HOPCROFT DAN TARJAN
Input : Graph G terhubung dan tidak memiliki sisi pemutus.
Step 1 : Pilih 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), dan label titik 𝑣 dengan λ 𝑣 = 1. Tulis 𝐿 = {𝑣} dan 𝑈 = 𝑉 𝐺 − {𝑣}. (L adalah
himpunan titik-titik terlabel. U adalah himpunan titik-titik tak terlabel). Tulis 𝛤 = ∅ (adalah himpunan
busur yang diperoleh dari pemberian orientasi pada sisi graph G).
Step 2 : Pilih titik 𝑥 di L dengan label maksimum dan berhubungan langsung ke sebuah titik 𝑦 di U.
Lebel titik 𝑦 dengan λ 𝑦 = λ 𝑥 + 1. Ganti L dengan 𝐿 ∪ {𝑦} dan 𝑈 dengan 𝑈 − {𝑦}. Beri orientasi
(arah sis 𝑥𝑦 dari titik 𝑥 ke titik y). Ganti 𝛤 dengan 𝛤 ∪ 𝑥, 𝑦 .
Step 3 : Jika 𝐿 ≠ 𝑉(𝐺) kembali ke step 2.
Step 4 : 𝐿 = 𝑉 𝐺 (Dalam hal ini, semua titik 𝐺 telah dilabel; dan graph dasar dari graph berarah yang
dibangun oleh semua busur 𝛤 merupakan sebuah pohon rentang dari graph 𝐺. Lebih jauh, sisi-sisi 𝐺
yang belum diberi orientasi menghubungkan dua titik dengan nilai label berbeda).
Untuk setiap sisi 𝑤𝑧 pada graph 𝐺 yang belum diorientasi, jika λ 𝑤 > λ 𝑧 , maka beri orientasi sisi
𝑤𝑧 dari titik 𝑤 ke titik 𝑧.
STOP: “Diperoleh sebuah orientasi graph 𝐺”.

11. Contoh: (Soal Latihan Nomor 10)
Gunakan algoritma Hopcroft dan Tarjan untuk memberi orientasi
pada setiap sisi graph G berikut agar diperoleh graph berarah
terhubung kuat.
𝑣1
𝑣2
𝑣5
𝑣3
𝑣4
𝑣6

12. Sebuah Network 𝑵 = (𝑽 𝑵 , 𝛤 𝑵 ) adalah sebuah graph berarah sederhana terhubung lemah yang setiap
busurnya dikaitkan dengan bilangan real non-negatif.
Selanjutnya, bilangan real non-negatif yang dikaitkan pada busur (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) atau disingkat 𝑖, 𝑗 pada Network
N disebut Kapasitas Busur (𝑣𝑖, 𝑣𝑗) dan dilambangkan dengan c(𝑣𝑖, 𝑣𝑗) atau c 𝑖, 𝑗
 Sebuah titik 𝑠 di network 𝑁 disebut titik sumber
jika 𝑖𝑑 𝑠 = 0.
 Sebuah titik 𝑡 di network 𝑁 disebut titik tujuan jika
𝑜𝑑 𝑡 = 0.
 Sedangkan, titik yang lain disebut titik antara.
𝑣1 𝑣2
𝑣5
𝑣3
𝑣4𝑣6

13. Misalkan 𝑋 dan 𝑌 dua himpunan bagian 𝑉(𝑁) padan network 𝑁.
Himpunan semua busur 𝑁 yang berawal di 𝑋 dan berujung di 𝑌 dilambangkan dengan 𝐵 𝑋, 𝑌 .
Total kapasitas semua busur di 𝐵(𝑋, 𝑌) dilambangkan dnegan 𝑐(𝑋, 𝑌). Dengan demikian: 𝑐 𝑋, 𝑌 =
𝑎∈𝐵(𝑋,𝑌)
𝑐(𝑎)
Misalnya dari graph 𝐺:
Jika 𝑋 = {𝑣𝑠, 𝑣1, 𝑣3} dan 𝑌 = 𝑣2, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣 𝑡
Maka 𝐵 𝑋, 𝑌 = { 𝑠, 6 , 1,2 , 1,5 , 3, 𝑡 }
Dan 𝑐 𝑋, 𝑌 = 𝑐 𝑆, 6 + 𝑐 1,2 + 𝑐 1,5 + 𝑐 3, 𝑡
= 5 + 8 + 5 + 5 = 23
𝑣1 𝑣2
𝑣5
𝑣3
𝑣4𝑣6
𝐺
𝑣 𝑣

14. Misalkan 𝑁 sebuah network dengan titik sumber 𝑠 dan titik tujuan 𝑡.
Misalkan himpunan 𝑋 adalah himpunan bagian tak kosong dari 𝑉(𝑁) dan 𝑋′ = 𝑉 𝑁 − 𝑋.
Jika 𝑠 ∈ 𝑋 dan 𝑡 ∈ 𝑋′ maka himpunan busur 𝐵(𝑋, 𝑋′
) disebut sebuah pemutus (s,t) dari network 𝑁.
Misalkan 𝐴 adalah himpunan titik antara pada network 𝑁 dan 𝐴′ adalah sebuah himpunan bagian 𝐴.
Jika 𝑋 = {𝑡} ∪ 𝐴 maka 𝐵(𝑋, 𝑋′
) sebuah pemutus (𝑠, 𝑡) pada network 𝑁.
Jadi banyaknya pemutus (𝑠, 𝑡) pada network 𝑁 sama dengan banyaknya himpunan bagian dari
himpunan A yaitu 2 𝑛
dengan 𝑛 = 𝐴 .
Disebut demikian, karena penghapusan semua busur 𝐵(𝑋, 𝑋′
) dari 𝑁, memutus semua lintasan
berarah dari titik 𝑠 ke titik 𝑡 pada network 𝑁.

15. 𝑣1
𝑣2
𝑣 𝑡𝑣𝑠
3
6
5
2
4
𝑁
Graph 𝑁 diketahui memiliki dua titik antara
Sehingga terdapat 22
= 4 pemutus (s,t) pada 𝑁
𝐵 = 𝑣𝑠 , {𝑣1, 𝑣2, 𝑣 𝑡} = 𝑠, 1 , (𝑠, 2)
𝐵 = 𝑣𝑠, 𝑣1 , {𝑣2, 𝑣 𝑡} = 𝑠, 2 , 1,2 , (1, 𝑡)
𝐵 = 𝑣𝑠,𝑣2 , {𝑣1, 𝑣 𝑡} = 𝑠, 1 , (2, 𝑡)
𝐵 = 𝑣𝑠, 𝑣1, 𝑣2 , {𝑣 𝑡} = 1, 𝑡 , (2, 𝑡)
Setiap pemutus (𝑠, 𝑡) pada network 𝑁 mempunyai kapasitas.
Pemutus (𝑠, 𝑡) yang mempunyai kapasitas terkecil disebut
pemutus (𝒔, 𝒕) minimum
Kapasitas dari keempat pemutus tersebut adalah:
c 𝑣𝑠 , {𝑣1, 𝑣2, 𝑣 𝑡} = 𝑐 𝑠, 1 + 𝑐 𝑠, 2 = 3 + 4 = 7
c 𝑣𝑠, 𝑣1 , {𝑣2, 𝑣 𝑡} = 𝑐 𝑠, 2 + 𝑐 1,2 + 𝑐 1, 𝑡 = 4 + 2 + 5 = 11
𝑐 𝑣𝑠,𝑣2 , {𝑣1, 𝑣 𝑡} = 𝑠, 1 + 2, 𝑡 = 3 + 6 = 9
𝑐 𝑣𝑠, 𝑣1, 𝑣2 , {𝑣 𝑡} = 1, 𝑡 + (2, 𝑡) = 5 + 6 = 11
Tampak bahwa 𝐵 = 𝑣𝑠 , {𝑣1, 𝑣2, 𝑣 𝑡} = 𝑠, 1 , (𝑠, 2)
Dengan kapasitas 7 merupakan sebuah pemutus (𝑠, 𝑡)
minimum pada network 𝑁.

16. Misalkan 𝑁 sebuah network dengan titik sumber 𝑠 dan titik tujuan 𝑡.
Jika 𝑣 adalah sebuah titik 𝑁, maka himpunan semua busur 𝑁 yang keluar dari titik 𝑣 (meninggalkan titik 𝑣)
dilambangkan dengan 𝑶(𝒗) dan himpunan semua busur 𝑁 yang menuju ke titik 𝑣 dilambangkan dengan 𝑰(𝒗).
𝑣5 𝑣4
𝑣3
𝑣2𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠
𝐹
20
15
21
9
4 2
24
10
4 10
Untuk titik 𝑣𝑠
𝑂 𝑣𝑠 = 𝑂 𝑠 = {(𝑣𝑠, 𝑣1), (𝑣𝑠, 𝑣5)}={(s,1),(s,5)}
𝐼(𝑣𝑠) = 𝐼 𝑠 = { }
Untuk titik 𝑣3
𝑂 𝑣3 = 𝑂 3 = {(𝑣3, 𝑣2), (𝑣3, 𝑣4)}={(3,2),(3,4)}
𝐼(𝑣3) = 𝐼 3 = {(𝑣1, 𝑣3), (𝑣5, 𝑣3)}={(1,3),(5,3)}

17. Sebuah flow di network 𝑁 dari titik sumber 𝑠 ke titik
tujuan 𝑡 adalah suatu fungsi 𝑓 yang memetakan
setiap busur (𝑖, 𝑗) di 𝑁 dengan sebuah bilangan non-
negatif yang memenuhi syarat-syarat berikut:
• 0 ≤ 𝑓 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑐 𝑖, 𝑗 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝛤(𝑁) (disebut
“kapasitas pembatas”).
• (𝑖,𝑗)∈𝑂(𝑠) 𝑓 𝑖, 𝑗 = (𝑖,𝑗)∈𝐼(𝑡) 𝑓 𝑖, 𝑗 (disebut
“nilai flow f”)
• (𝑖,𝑗)∈𝑂(𝑥) 𝑓 𝑖, 𝑗 = (𝑖,𝑗)∈𝐼(𝑥) 𝑓 𝑖, 𝑗 ∀𝑥 ∈
𝑉 𝑁 − {𝑠, 𝑡} (disebut “konservasi flow”)
𝑣5 𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠
Flow 𝑭 pada 𝑵 dengan nilai 12
20 : 7
15 : 5
21 : 2
9 : 3
8 : 5 2 : 1
24 : 3
10 : 9
4 : 2 10 : 6
𝑣5 𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠
Flow 𝑭 pada 𝑵 dengan nilai 27
20 : 20
15 : 7
21 : 16
9 : 3
8 : 4 2 : 2
24 : 18
10 : 9
4 : 4 10 : 6

18. 𝑣5 𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠
Flow 𝑭 pada 𝑵 dengan nilai 12
20 : 7
15 : 5
21 : 2
9 : 3
8 : 5 2 : 1
24 : 3
10 : 9
4 : 2 10 : 6
Jika 𝑋 = 𝑣𝑠, 𝑣1 = 𝑠, 1 dan 𝑋′
= {𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣 𝑡} = {2,3,4,5, 𝑡}
Maka 𝐵 = 𝑋, 𝑋′ = { 𝑠, 5 , 1,2 , 1,3 ) sebuah pemutus (𝑠, 𝑡) di N
Kapasitas 𝑐 𝑋, 𝑋′
= 𝑐 𝑠, 5 + 𝑐 1,2 + 𝑐 1,3 = 15 + 21+4=30
Terlihat bahwa nilai flow f yaitu 12, tidak melebih kapasitas
pemutus 𝒔, 𝒕 𝑩(𝑿, 𝑿′
).
TEOREMA 10.5:
Misalkan 𝑁 sebuah network dengan titik sumber 𝑠 dan titik tujuan 𝑡. Jika 𝑓 adalah sebuah flow
dan 𝑠 ke 𝑡 pada 𝑁 dengan nilai 𝑓𝑠,𝑡 dan 𝐵(𝑋, 𝑋′) sebuah pemutus 𝑠, 𝑡 pada 𝑁, maka 𝑓𝑠,𝑡 =
𝑓 𝑋, 𝑋′
− 𝑓(𝑋′
, 𝑋) ≤ 𝑐(𝑋, 𝑋′
).

19. Teorema 10.5 menjamin bahwa nilai sebarang flow
pada suatu network 𝑁 dari titik sumber 𝑠 ke titik tujuan
𝑡 tidak akan melebihi kapasitas sebarang pemutus (𝑠, 𝑡)
pada 𝑁.
Jadi, jika terdapat suatu flow 𝑓 di 𝑁 yang nilainya sama
dengan kapasitas suatu pemutus 𝑠, 𝑡 , maka flow f
tersebut adalah flow maksimum dan pemutus (𝑠, 𝑡)
tersebut adalah sebuah pemutus (𝑠, 𝑡) minimum. Jadi
flow 𝑓 bernilai 𝑓𝑠,𝑡 dari titik sumber s ke tujuan 𝑡 pada
network 𝑁 dikatakan Flow Maksimum jika
𝑓𝑠,𝑡 = 𝑚𝑖𝑛{𝑐(𝑋, 𝑋1)/𝐵 𝑋, 𝑋1 suatu pemutus (𝑠, 𝑡)
pada network 𝑁}.
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 0
5 : 4
6 : 5
4 : 1
4 : 4
2 : 2
8 : 7
3 : 2
3 : 3
Flow 𝑓2
Perhatikan flow 𝑓2 yang bernilai 9.
Jika 𝑋 = 𝑠, 2 dan 𝑋1 = {1,3,4, 𝑡},
maka 𝐵 𝑋, 𝑋1 = { 𝑠, 1 , 2,3 , 2,4 } adalah
pemutus (𝑠, 𝑡) pada 𝑁 dengan kapasitas
𝑐 𝑋, 𝑋1 = 𝑐 𝑠, 1 + 𝑐 2,3 + 𝑐 2,4 = 4 + 2 + 3
= 9 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑓𝑙𝑜𝑤𝑓2

20. Misalkan N sebuah network dan G adalah graph dasar N. Misalkan pada graph G terdapat lintasan 𝑃 =
(𝑣1, 𝑣2, 𝑣3,...,𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1, … , 𝑣 𝑛).
Jika (𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1) sebuah busur pada N maka busur tersebut dinamakan busur maju terhadap P.
Sebaliknya jika (𝑣𝑖+1, 𝑣𝑖) sebuah busur pada N maka busur tersebut dinamakan busur balik terhadap P.
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 0
5 : 4
6 : 5
4 : 1
4 : 4
2 : 2
8 : 7
3 : 2
3 : 3
Flow 𝑓2
Jadi, apakah suatu busur pada N termasuk busur maju atau busur balik, sangat tergantung pada
lintasan P pada graph dasarnya.
Sebagai contoh: misalkan G graph dasar dari network N
pada gambar di samping, maka 𝑃 = (𝑣𝑠, 𝑣2,𝑣1, 𝑣3,𝑣4, 𝑣 𝑡)
adalah sebuah lintasan (𝑣𝑠, 𝑣 𝑡) pada G (perlu dicatat
bahwa P bukan lintasan berarah pada N).
Sehingga terdapat P, busur-busur (𝑣𝑠, 𝑣2) , (𝑣1, 𝑣3) dan
(𝑣4, 𝑣𝑡) merupakan busur-busur maju.
Sementara (𝑣2, 𝑣1) dan (𝑣4, 𝑣3) merupakan busur balik

21. Misalkan f adalah sebuah flow dari titik sumber s ke titik tujuan t pada network N, dan misalkan G adalah
graph dasar N. Pikirkan sebuah lintasan P pada G. Inkremen sebuah busur a pada N yang berkorespondensi
dengan sebuah sisi P pada G, dilambangkan dengan i(a) dan didefinisikan sebagai berikut:
 Jika a busur maju maka 𝑖 𝑎 = 𝑐 𝑎 − 𝑓(𝑎)
 Jika a busur balik maka 𝑖 𝑎 = 𝑓(𝑎)
Inkremen lintasan 𝑃 disimbolkan dengan 𝑖(𝑃) didefinisikan sebagai berikut:
𝑖 𝑝 = min{𝑖 𝑎 │𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑁 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑠𝑢𝑎𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑃}
Sebuah lintasan P dengan i(P) positif disebut lintasan augmentasi.
Selanjutnya lintasan augmentasi P dari titik s ke titik tujuan t dinamakan
sebuah lintasan peningkatan. Sebagai contoh perhatikan flow f dari titik
sumber s ke titik tujuan t di network N pada gambar disamping. Pikirkan
lintasan 𝑃 = (𝑣𝑠, 𝑣2,𝑣1, 𝑣3,𝑣4, 𝑣 𝑡) .
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 2
6 : 2
4 : 1
4 : 3
2 : 1
8 : 4
3 : 1
3 : 2
Flow 𝑓

22. Lemma 10.6: misalkan f sebuah flow bernilai 𝑓𝑠,𝑡 dari titik sumber s ke titik tujuan t pada network N. Jika
terdapat lintasan P dari titik s ke titik t dengan 𝑖 𝑃 = 𝛿 > 0, didefinisikan fungsi 𝑓1 pada himpunan 𝛤(𝑁)
sebagai berikut: jika a busur maju terhadap P maka 𝑓1 𝑎 = 𝑓 𝑎 + 𝛿 sedangkan jika a busur balik terhadap
P maka 𝑓1 𝑎 = 𝑓 𝑎 − 𝛿, serta𝑓1 𝑎 = 𝑓(𝑎) untuk busur a lainnya. Maka 𝑓1 adalah flow dari titik s ke titik t
pada N dengan nilai 𝑓𝑠,𝑡 + 𝛿
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 2
6 : 2
4 : 1
4 : 3
2 : 1
8 : 4
3 : 1
3 : 2
Flow 𝑓
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 0
5 : 3
6 : 3
4 : 0
4 : 3
2 : 1
8 : 4
3 : 2
3 : 2
Flow 𝑓′

23. Algoritma Flow Maksimum
Input: Network 𝑁 = (𝑉, 𝐺) dengan titik sumber s dan titik
tujuan t.
Step 1: Misalkan f sebuah flow dari s ke t pada N (Boleh
dimulai dengan flow bernilai nol, yaitu 𝑓 𝑖, 𝑗 = 0
∀(𝑖, 𝑗) ∈ 𝐼) dilanjutkan ke routin pelabelan.
Step 2: Routin Pelabelan.
1. label 𝑣𝑠 = (𝑠, +, 𝜀 𝑠 = ~) titik 𝑣𝑠 telah terlabel dan
belum teramati. (Note: sebuah titik v dikatakan telah
teramati jika semua titik yang dapat dilabel dari titik v
sudah terlabel).
2. Pilih sebarang titik yang terlabel tetapi belum teramati,
misalkan titik tersebut 𝑣 𝑥. ∀𝑣 𝑦∃ 𝑦, 𝑥 ∈ 𝛤, 𝑣 𝑦 belum
berlabel dan 𝑓 𝑦, 𝑥 > 0 maka label 𝑣 𝑦 = (𝑥, −, 𝜀 𝑦 )
dengan 𝜀 𝑦 = min{𝜀 𝑥 , 𝑓 𝑦, 𝑥 }. Sekarang titik 𝑣 𝑦
telah terlabel, tetapi belum teramati. ∀𝑣 𝑦∃ 𝑥, 𝑦 ∈
𝛤, 𝑣 𝑦 belum berlabel dan c 𝑥, 𝑦 > 𝑓(𝑥, 𝑦) maka
label 𝑣 𝑦 = (𝑥, +, 𝜀 𝑦 ) dengan 𝜀 𝑦 = min{𝜀 𝑥 ,
𝑐 𝑥, 𝑦 − 𝑓 𝑥, 𝑦 }. Sekarang titik 𝑣 𝑦 telah terlabel,
tetapi belum teramati. Ubahlah label 𝑣 𝑥 dengan cara
melingkari tanda + atau -.
3. Ulangi step 2.2 sampai:
a. Titik 𝑣 𝑡 terlabel atau
b. Semua titik teralabel telah teramati tetapi titik 𝑣 𝑡 tak
terlabel.
a. Jika titik 𝑣 𝑡 terlabel, lanjut ke step 3.
b. Jika semua titik terlabel telah teramati tetapi titik 𝑣 𝑡 tak
terlabel maka STOP: “flow f adalah flow maksimum pada
network N”.
Step 3: dengan prosedur “balik” tentukan lintasan peningkatan
P dengan i(P) adalah label 𝑣 𝑡.
Step 4: tingkatkan nilai flow f sebesar label 𝑣 𝑡 berdasarkan
lintasan peningkatan-P dengan menggunakan routine
peningkatan.
1. Misal Z=t lanjutkan ke step 4.2.
2. Jika label 𝑣𝑧 = (𝑞, +, 𝜀 𝑡 ) tingkatkan nilai 𝑓(𝑞, 𝑧) dengan
𝜀 𝑡 = 𝑖(𝑃). Jika label 𝑣𝑧 = (𝑞, −, 𝜀 𝑡 ) turunkan nilai
𝑓(𝑞, 𝑧) dengan 𝜀 𝑡 = 𝑖(𝑃)
3. Jika 𝑞 = 𝑠 hapus semua label. Pada tahap ini diperoleh flow
f baru dengan nilai 𝑖 𝑃 + 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑓𝑙𝑜𝑤 𝑙𝑎𝑚𝑎. Ganti flow f
dengan flow f yang baru dan kembali ke step 1.

24. 𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 2
6 : 2
4 : 1
4 : 3
2 : 1
8 : 4
3 : 1
3 : 2
Flow 𝑓0
Tentukan flow maksimum dari 𝒇 𝟎!
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 3
6 : 2
4 : 1
4 : 4
2 : 1
8 : 5
3 : 1
3 : 2
Flow 𝑓1
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 3
6 : 3
4 : 1
4 : 4
2 : 2
8 : 6
3 : 1
3 : 2
Flow 𝑓2
𝑣4
𝑣3
𝑣2
𝑣1
𝑣 𝑡𝑣𝑠 3 : 1
5 : 3
6 : 4
4 : 1
4 : 4
2 : 2
8 : 6
3 : 2
3 : 3
Flow 𝑓3
𝒗 𝟒
𝒗 𝟑
𝒗 𝟐
𝒗 𝟏
𝒗 𝒕𝒗 𝒔 3 : 0
5 : 4
6 : 5
4 : 1
4 : 4
2 : 2
8 : 7
3 : 2
3 : 3
Flow 𝒇 𝟒