Persamaan garis singgung lingkaran ditentukan dengan menggunakan rumus yang melibatkan koordinat titik singgung dan jari-jari lingkaran. Rumus tersebut didasarkan pada konsep bahwa garis singgung tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik singgung dengan pusat lingkaran.

2. Persamaan Garis Singgung lingkaran
1. Lingkaran L Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r
Garis l merupakan garis singgung lingkaran
L = X²+Y²= r² dan titik T(x₁ y₁) adalah titik singgungnya.
Hal ini berarti : x₁²+y₁²= r₁²
Proses penentuan persamaan garis singgung l:
• Garis singgung l tegak lurus garis OT
• Gradien garis OT= mOT = y₁/x₁, maka gradien garis l adalah ml = -x₁/y₁,
Karena ml.mot =-1
• Persamaan garis singgung l ditentukan oleh:
y – y₁ = m₁ (x – x₁)( x₁y₁)
y – y₁ = x₁/y₁ (x – x₁)
y₁y – y₁² = - x₁x + x₁²
x₁x + y₁y = x₁² + y₁²
x₁x + y₁y = r²
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x²+y² = r²
yang melalui titik P(x₁, y₁) pada lingkaran ditentukan
dengan rumus : x₁x + y₁y = r²
y₁
x₁
l
O

3. 2. Lingkaran L berpusat di A (a,b) dan
berjari-jari r
Garis l merupakan garis singgumg
lingkaran
L ≡ (x-a)² + (y-b)²= r² dan titik T (x₁,y) adalah
titik singgung.
Hal ini berarti
(x₁-a)² + (y₁-b)= r²
Proses penentuan persamaan garis
singgung l:
• Garis l tegak lurus garis AT
•Gradien garis PT = mPT ditentukan oleh :
mPT = y₁-b/x₁-a, hal ini bearati: gradien garis
l adalah m₁= -(x₁-a)/(y₁-b), karena m₁.mPT= -
1
•Persamaan garis singgung l ditentukan oleh:
(x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-a)=r²
P(a, b) (x₁-a)
(y₁-b)
T(x₁, y₁)
Y
X
g

4. 3. Lingkaran L dengan bentuk umum: X² + Y² + AX + BY + C = 0
misal persamaan lingkaran L= X² + Y² + AX + BY + C = 0
dengan pusat: L = (-1/2(A,) -1/2(B)). Garis l menyinggung L pada titik T(X₁, Y₁)
Hal ini berarti:
x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ + c = 0 atau
C = -(x₁² + y₁² + Ax₁ + By₁ )
Proses penentuan persamaan garis singgung l.
•Garis ltegak lurus garis PQ
• Gradien garis l PQ= mPQ ditentukan oleh MlQ = , hal ini
berarti gradien garis l adalah ml = --- , karena ml . mPQ= -1.
• persamaan garis singgung l ditentukan oleh:
X1X + y1y + (x + x1) + (y + y1) + c = 0

5. Contoh soal
1. Tentukan persamaan garis singgung pada
lingkaran:
L x2 + y2 = 5 dititik singgung A(1, -2)
Jawab :
Persamaan garis singgung:
X - 2y = 5 atau x - 2y – 5 = 0

6. Contoh soal 2
Tentukan persamaan garis singgung di titik yang
berabsis 1 pada lingkaran L: x2 + y2 = 10
Jawab :
Titik T(1,y2) terletak pada lingkaran L: X2 + Y2
sehingga
1 + y2 = 10 y2 = 9 y = ±3
A. Untuk titik T(1,3), maka persamaan garis
singgungnya adalah :X1x + y1y = 10
x + 3y = 10
B. Untuk titik T(1,-3), maka persamaan garis
singgungnya adalah :
X1x + y1y =10
x – 3y = 10

7. Contoh Soal 3
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran :
L (X – 1)2 + (Y – 4)2 = 25 dititik singgung A (-3, 1)
Jawab :
Persamaan garis singgung
(-3 - 1)(x – 1) + ( 1- 4)(y – 4) = 25
-4(x – 1) – 3(y -4) – 25 = 0
-4x + 4 – 3y + 12 – 25 = 0
-4x – 3y – 9 = 0
4x + 3y + 9 =0
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran
L(x – 1)2 + (y - 4)2 = 25 di titik singgung
A(-3, 1) adalah 4x + 3y + 9 =0

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2 = 17 di titik
potongnya dengan garis x = 3
Jawab :
L: (X – 2)2 +(y + 1)2 = 17
Untuk x= 3, maka (3 – 2)2 + (y + 1)2 = 17
(y + 1)2 =16
y = 14 atau y + 1 =-4
y = 3 atau y = -5
jadi, titik singgungnya adalah T1( 3,3) dan T2 (3,-5)
A. Untuk T1(3,3), maka persamaan garis singgungnya adalah
(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 1)( y + 1) = 17
(3 -2) (x - 2) + (3 + 1)(y + 1) = 17
X – 2 + 4y +4 = 17
X + 4y = 15
B. Untuk T2(3,-5) maka persamaan garis singgungnya adalah
(x1 – 1)(x – 2) + (y1 + 1)(y + 1) =17
(3 – 2)(x – 2) (-5 + 1)(y + 1) =17
X – 2 – 4y – 4 =17
X – 4y = 23

9. 5. Tentukan nilai m agar lingkaran x² + y² + 2my + n = 0 yang berjari-
jari menyinggung garis y = x.
Jawab lingkaran L ≡ x² + y²+2my + n = 0 dengan r = hal ini berarti:
Pusat:= (0, 2m/-2) = (0, -m)
r2 = 02 + (-m)2 – n
2 = m2 – n
maka n = m2-2
persamaan lingkaran menjadi x2 + y2 + 2my + m2 – 2 =0
persamaan y = x disubstitusikan ke lingkaran L, diperoleh:
x2 + x2 + 2mx + m2- 2 =0
2x2 + 2mx + (m2 -2)= 0
D = 0
b2 – 4ac = 0
4m2 – 4 . 2(m2 -2) = 0
m2 – 2m2 + 4 = 0
m2 = 4
m = ±2.