Objetivo 4 de Matemática III COD 733 para la UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

1. Capitulo III
Matemática III (733)
Objetivo 4. Aplicar el cálculo diferencial e integral en curvas dadas en
ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.
Ejercicio 1
Prueba que la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent y y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t
Entre los puntos correspondientes a 1 t = t y 2 t = t es igual a
f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f ''
(t )
2 2 1 1 Solución
Justificación: En el objetivo anterior se dedujo, que la longitud de arco en
coordenadas cartesianas era:
2
  = +  
∫
1
  b
a
dy
L dx
dx
Si la curva esta dada en forma paramétrica:
 =
 < <
 =
1 2
( )
( )
x f t
t t t
y g t
Entonces:
 dx =
f '
( t )
dt
 < <
 =
( )
t t t
' 1 2
dy g t dt
Sustituyendo en la ecuación de la longitud de arco, se tiene:
2
∫ f ' (t) dt
= +   = +
1
' 2 '
'
 
'
( ) ( )
1 ( ) 1
( )
t
t
g t dt g t dt
L f t dt
f t dt
 
( )
( )
2 ' 2
2 2
( )
' '
( ) 1 ( )
1 1
' 2
( )
t t
t t
g t
f t dt f t dt
f t
 
  = +
 
∫ ∫
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 ' 2 ' 2 ' '
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
f t g t f t g t
t t
2 2
= ∫ = ∫
' '
( ) ( )
L f t dt f t dt
' 2 2 '
( ) ( )
f t f t
t t
1 1
2 ( ) ( ) ( ) ( )
= ∫ =
1
' 2 ' 2 ' 2 ' 2
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
'
( )
2
∫ f t dt
' '
( ) ( )
t
t
f t g t f t g t
L f t dt
f t f t
1
' ( )
t
t
( ) ( ) 2
1
' 2 ' 2 ( ) ( )
t
L = ∫ f t + g t dt
t

2. Por lo tanto, si tenemos una curva en coordenadas paramétricas su
longitud se puede escribir de cualquiera de las formas:
t t t
    = + = + =   +  
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2
1 1 1
2 2
' 2 ' 2 ' 2 ' 2 ( ) ( ) ( ) ( )
    ∫ ∫ ∫
t t t
dx dy
L f t g t dt x t y t dt dt
dt dt
Ahora bien, en nuestro caso, tenemos:
 x = f '' ( t ) cos t +
f '
( t )
sent
 < <
 = - ( ) +
( ) cos
t t t
'' ' 1 2
y f t sent f t t
Primero debemos calcular las primeras derivadas de la función
paramétrica dada:
Para: x = f '' (t) cos t + f ' (t)sent se tiene la derivada de 2 productos:
( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) cos ( ) cos ( ) ( )
dx
f t t f t t f t sent f t sent
dt
= + + +
'' ( ) ''' ( ) cos ' ( ) cos '' ( )
dx
f t sent f t t f t t f t sent
dt
= - + + +
'' ( )
dx
f t sent
dt
= - + f ''' (t) cos t + f ' (t) cos t + f '' (t)sent
( ''' ( ) ' ( ))cos
dx
f t f t t
dt
= +
Para: y = - f '' (t)sent + f ' (t) cos t se tiene la derivada de 2 productos:
( ) ( ) ( ) ( ) '' ' '' ' ' ' ' ' ( ) ( ) ( ) cos ( ) cos
dy
f t sent f t sent f t t f t t
dt
= - - + +
'' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) '' ( ) cos
dy
f t t f t sent f t sent f t t
dt
= - - - +
'' ( ) cos
dy
f t t
dt
= - - f ''' (t)sent - f ' (t)sent + f '' (t) cos t
( ''' ( ) ' ( ))
dy
f t f t sent
dt
= - +
Ahora, según la fórmula debemos calcular:
2 dx
dt
 
 
 
y
2 dy
dt
 
 
 
, entonces:
( ) ( ) 2
  =  +  = +      
2 2 ''' ( ) ' ( ) cos ''' ( ) ' ( ) cos2
dx
f t f t t f t f t t
dt
( ) ( ) 2
  = - +  = +      
2 2 ''' ( ) ' ( ) ''' ( ) ' ( ) 2
dy
f t f t sent f t f t sen t
dt

3. Ahora debemos sumar:
2 2 dx dy
dt dt
      +  
   
:
+       + = +
( ) ( ) 2 2
2
  ''' ' '''
+
2
f (t) f ( ) cos2 ( ) ' ( ) 2
dx dy
t sen t
dt
t t f t
t
f
d

  
      + = +
  
( ) ( ) ''' 2
2
' 2 2
2
f (t) ( ) cos
dx dy
t sen t
d
t
t dt
f
  +

Como la identidad: cos2 t + sen2t =1, se tiene:
( ) 2 2
      +   = +
   
''' ' 2 ( ) ( )
dx dy
f t f t
dt dt
Sustituyendo en la formula de longitud de curva:
2 2
t t t
dx dy
=   +   = + =  +            ∫ ∫ ∫
( ) 2 2 2
1 1 1
''' ' 2 ''' ' ( ) ( ) ( ) ( )
L dt f t f t dt f t f t dt
dt dt
t t t
Integrando:
t t t
2 2 2
L = ∫ f ''' ( t ) + f '  ( t ) dt = ∫ f ''' ( t ) dt + ∫ f ' ( t )
dt
t t t
1 1 1
Pero las integrales son: ∫ f ''' (t)dt = f '' (t) y ∫ f ' (t)dt = f (t) , entonces:
'' 2 ( '' ) ( '' )
= + = + - +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 1
1
t
L f t f t f t f t f t f t
t
Por lo tanto la longitud de la curva es:
L = f (t ) + f '' (t ) - f (t ) - f ''
(t )
2 2 1 1 l.q.q.d
Respuesta: l.q.q.d = Lo que queríamos demostrar.
Ejercicio 2
Calcula el área de la superficie en revolución generada por la curva
r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar.
Solución
Justificación: Vamos a comentar algunas gráficas conocidas en
coordenadas polares, ya que su conocimiento se hace imprescindible para
resolver algunos problemas:
En coordenadas polares, hacemos uso de las ecuaciones:
q
q
= 
 =
x r cos
y rsen

4. Donde r es la distancia del polo a un punto cualquiera de una curva y q
el ángulo con respecto al eje polar, pero ¿Por qué estas ecuaciones? O más
precisamente ¿De dónde salen dichas ecuaciones?, observa la siguiente
grafica:
Figura
En el triángulo amarillo podemos aplicar las funciones trigonométricas
seno y coseno, por ser un triángulo rectángulo:
CO y
q = = ® = q
sen y rsen
HIP r
CA x
q = = ® = q
cos x r
cos
HIP r
La deducción fue muy sencilla.
Ahora veamos algunos gráficos:
Rectas
Rectas que pasan por el polo:

5. La ecuación de una recta que pasa por el origen en coordenadas
cartesianas tiene la forma:
y = mx
Donde m es la pendiente, que sabemos vale m = tga .
Sustituyendo las transformaciones en coordenadas polares, se tiene:
y = mx
rsenq = mr cosq
r senq = m r cosq
sen
q sen q = m cos
q m = =
tg
q
q
cos
Pero sabemos que: m = tga , por lo tanto:
tgq = m = tga tgq = tga ⇒q =a
Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por el polo es:
q =a
Circunferencias
La ecuación general de una circunferencia de radio R y centro en el
origen es:
x2 + y2 = R2
Sustituyendo las ecuaciones de transformación polar, se tiene:
( ) ( ) x2 + y2 = R2 ® r cosq 2 + rsenq 2 = R2 ®r2 cos2q + r2sen2q = R2

6. r2 (cos2q + sen2q ) = R2
La identidad fundamental de la trigonometría es:
sen2q + cos2q =1
Por lo que:
r2 (1) = R2 ®r2 = R2 ® r2 = R2 ®r = R
Por lo tanto la ecuación de la circunferencia con centro en el polo es:
r = R
Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro en el punto
(R,a ).
El siguiente grafico ilustra esta situación:
Aplicando la ley del coseno en el triángulo extraído de la derecha, se
tiene:
R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a )
R2 = R2 + r2 - 2rRcos (q -a )
0 = r2 - 2rRcos (q -a )
r2 = 2rRcos (q -a )

7. r 2 = 2 r Rcos (q -a )
r = 2Rcos (q -a )
Analicemos esta última ecuación para algunos casos especiales, que
son los más comunes en ejercicios prácticos:
1) Si a = 0º se tiene:
r = 2Rcos (q - 0º)®r = 2Rcos (q ) (1)
Escribiendo la ecuación r = 2Rcos (q ) a su forma cartesiana:
= q ® q = (2), además, aplicando Pitágoras en el
Como: cos cos
x
x r
r
triángulo rectángulo de la figura 1, se tiene:
r2 = x2 + y2 (3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1):
x
= ® = ® + = ® + - =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
r R r Rx x y Rx x y Rx
r
Completando cuadrados en: ( )x2 - 2Rx = x - R 2 - R2
Entonces:
( ) ( ) x2 + y2 - 2Rx = 0® x - R 2 - R2 + y2 = 0® x - R 2 + y2 = R2
Y estas es una circunferencia de radio R y centro en (R,0)
Su gráfica es:

8. Haciendo un análisis muy semejante al anterior, obtenemos las
siguientes gráficas, las cuales debes conocer para resolver ejercicios dond
intervengan este tipo de curvas:
2) Si a =180º =p se tiene:
r = 2Rcos (q -p )®r = -2Rcos (q )
Su gráfica es:
a = = p se tiene:
3) Si 90º
2
q p q   =  - ® =
2 cos 2 ( )
r R r Rsen
2
 
Su gráfica es:

9. 4) Si
a = 3
p 270º
= se tiene:
2
q p q   =  - ® = -
( ) 3
2 cos 2
r R r Rsen
2
 
Su gráfica es:
Caracoles
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cosq ó de la
forma: r = a ± bsenq .
Consideremos 3 casos:
1) Cuando a = b , toman el nombre de CARDIOIDE.
1.1) r = a + a cosq

10. 1.2) r = a - a cosq
1.3) r = a + asenq
1.4) r = a - asenq

11. 2) Cuando a > b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL SIN
RIZO.
2.1) r = 6 + 3cosq
2.2) r = 6 - 3cosq

12. 2.3) r = 6 + 3senq
2.4) r = 6 -3senq

13. 3) Cuando a < b , toman el nombre de LIMACON Ó CARACOL CON
RIZO.
3.1) r = 3+ 6cosq
3.2) r = 3- 6cosq

14. 3.3) r = 3+ 6senq
3.4) r = 3- 6senq

15. Rosas
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma
r = a cos (nq ) ó r = asen(nq ) donde n es cualquier número natural mayor que
uno.
Consideremos 2 casos:
1) Si n es PAR tenemos una rosa de 2n pétalos.
1.1) r = 4sen(2q )
1.2) r = 4cos (2q )

16. 2) Si n es IMPAR tenemos una rosa de n pétalos.
2.1) r = 4cos (3q )
2.2) r = 4sen(3q )

17. Lemniscatas
Tienen ecuación polar de la forma r2 = a cos (2q ) o de la forma
r2 = asen(2q )
1) r2 = 4cos (2q )
2) r2 = -4cos (2q )

18. 3) r2 = 4sen(2q )
4) r2 = -4sen(2q )

19. Espirales
Consideremos 2 tipos:
1) Espiral de Arquímedes: Ecuación polar de la forma: r = aq
Ejemplo: graficar r = 3q
2) Espiral logarítmica: Ecuación polar de la forma: r = aebq
Ejemplo: graficar r = 2e3q

20. Retomando nuestro ejercicio, para calcular el área de la superficie en
revolución generada por la curva r = 4cosq al rotar alrededor del eje polar.
En el objetivo anterior, se dedujo la formula que nos permite calcular el
área de una superficie en revolución, a saber:
b
( )' 2 2 1
S = p ∫ y + y dx
a
Vamos a encontrar la fórmula que nos permite calcular la superficie de
un sólido en revolución en coordenadas polares, cuando gira alrededor del eje
polar.
Hagamos uso de las ecuaciones de transformación polar:
q
q
= 
 =
x r cos
y rsen
2
Para convertir la expresión: + ( 2  dy
 1 y
' ) = 1
+  
dx
 
.
Podemos tomar las ecuaciones:
q
q
= 
 =
x r cos
y rsen
, como una curva dada en
forma paramétrica, donde el parámetro es q , y recordando que en el ejercicio 1
demostramos que una curva en ecuaciones paramétricas viene dada por:
2 2 2
1
dy dx dy
dx dq dq
      +   =   +  
     
dy dx
dq dq
Se procede a calcular las derivadas y
. Sabemos que en las
ecuaciones x = r cosq y y = rsenq , r depende de q , es decir, r = f (q ) ,
entonces, al derivar las ecuaciones polares, debemos aplicar la derivada de un
producto:
( ) ( ) ' ' ' cos
dy
r sen r sen r sen r
d
q q q q
q
= + = +
( ) ( ) ' cos cos ' ' cos
dx
r r r rsen
d
q q q q
q
= + = -
Entonces:
( ) ( ) 2 2
      +   = - + +
   
' 2 ' 2 cos cos
dx dy
r rsen r sen r
d d
q q q q
q q

21. (( ) ) (( ) ) 2 2
      +   = - + + + +
   
' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 cos 2 cos 2 cos cos
dx dy
r r r sen r sen r sen r r sen r
d d
q q q q q q q q
q q
 dx  2 +  dy
 2
    = ( ( 2 r ' ) cos 2 q -
2 r ' r cos
q sen
q
+ 2 2 q ) + ( ( ' )2 r sen r sen 2 q + 2r ' r cosq senq + r2 cos2q )
 d   d
 q q
( ) ( ) 2 2
      +   = + + +
   
' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 cos cos
dx dy
r r sen r sen r
d d
q q q q
q q
( ) ( ) ( ) 2 2
      +   = + + +
   
' 2 2 2 2 2 2 cos cos
dx dy
r sen r sen
d d
q q q q
q q
Como sen2q + cos2q =1, se tiene:
( ) 2 2
dx dy ' 2 2
      +   = +
   
r r
dq dq
Como y = rsenq , se tiene que la fórmula en coordenadas polares para
calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje
polar:
b
( )2 ' 2 S 2 rsen r r d
= p ∫ q + q
a
Si la región gira alrededor de la recta
q = p , que seria el eje ye en
2
coordenadas cartesianas, se tendría:
b
( )' 2 2 1
S = p ∫ x + x dx
a
Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, se tendría:
2 2 2
1
 + dx  =  dx   dy
    q  +   dy   d  dq


Es decir: ( ) 2 2
dx dy ' 2 2
      +   = +
   
r r
dq dq
Y como x = rsenq se obtiene la fórmula en coordenadas polares para
calcular la superficie en revolución de una región que gira alrededor del eje
q = p es:
2
b
( )2 ' 2 S 2 r cos r r d
= p ∫ q + q
a

22. En este caso, la superficie a rotar es: r = 4cosq , es decir la
circunferencia:
Como al hacer girar la parte superior de la circunferencia, se obtiene el
mismo sólido que hacer girar toda la circunferencia, los límites de integración,
serán de 0 a
p ; por otro lado la derivada en este caso de r = 4cosq , es:
2
r' = -4senq , sustituyendo en la fórmula, se tiene:
( ) ( )
p
2
2 2
= p ∫ q q q + - q q
S 2 4cos sen 4cos 4sen d
0
Como ( ) ( ) 2 2 cosq + senq =1, se tiene:
p p
2 2
( ) ( )
= p ∫ q q q 2 + q 2
  q = p ∫ q q q
S 2 4cos sen 16 cos sen d 2 4cos sen 16d
0 0
( )
p
2
= p ∫ q q q
S 2 4cos sen 4 d
0
p
2
= p ∫ q q q
S 32 cos sen d
0

23. La primitiva se obtiene con un sencillo cambio de variable:
 =
® ® = = =  =
u sen q u 2 sen
2
q q q q q q q
∫ cos ∫ cos
∫
sen d sen d udu
q q
cos 2 2
du d
Entonces:
p  p
 2

  2    2 2 2 =  2
 ( 0 )  ( 1 ) ( 0 )
   -  = -  1    =   =        
    p q p p p p
32 2 32 32 32 16
2 2 2 2 2 2
0
sen
sen sen
 
A manera de comprobación, resolveré el ejercicio en coordenadas
cartesianas:
b
( )' 2 2 1
S = p ∫ y + y dx
a
La ecuación de la circunferencia en este caso es:
( )x - 2 2 + y2 = 4
 - -  - = - - ® =   =
( )
2 '
( )
( )
2 '
 x - 
4 2 2
2
4 2
x
- -
2 4 2
y x y
x
( 2)
2
( )
- ( x
-
2
)
=
2 ( ) 2
- - - -
4 x 2 4 x
2
Sustituyendo en la fórmula del área de la superficie, se obtiene:
 - ( x
- )
 = ∫
- ( - ) +      - - 
S x dx
( )
2
4
2
2
0
2
2 4 2 1
4 x
2
p
( ) ( )
4 2
x
S x dx
( )
2
2
0
2
2 4 2 1
4 x
2
p
 - 
= - - +  
 - -   
∫
( ) - ( - ) + ( -
)
4 x 2 x
2 4
∫ ∫
= p - - = p
- -
2 4 2 2 4 2
S x dx x dx
( )
( )
( )
4 2 2 4
2 2
2 2
- - - -
4 x 2 4 x
2
0 0
( )
∫ dx
= p - - = p - -
S x dx x
( )
( )
4
2 2
2
0
4
2 4 2 2 4 2
- -
4 x
2
∫
2
( )2
4 - x - 2
4
0
4
( ) ( )
S = 2p 2 ∫ dx = 4p 4 - 0 =16p
0
Llegamos al mismo resultado.

24. Evidentemente, cuando se hace girar una circunferencia sobre su
diámetro, en este caso el eje polar, se obtiene una esfera, y el área de una
esfera es: A = 4p r2 , como el radio es r = 2 , se tiene:
A = 4p (22 ) = 4p (4) =16p
Respuesta: A =16p .
Ejercicio 3
Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva
dada por las ecuaciones paramétricas:
 = +
1
 £ £  =
0 2 t
x t
t
y e
Alrededor del eje OX .
Solución
Justificación: Vamos a deducir la fórmula que utilizaremos en
coordenadas paramétricas para calcular el área de la superficie en revolución
de una región alrededor del eje OX .
 x =
f ( t
)
 < <  =
( )
Para las ecuaciones paramétricas: t t t
1 2
y g t
, se demostró:
b t
  = +   = +
( ) ( ) 2
1
2
dy
' 2 ' 2 1 ( ) ( )
  ∫ ∫
L dx f t g t dt
dx
a t
b
Por lo tanto la fórmula: ( )' 2 2 1
S = p ∫ y + y dx , se transforma en:
a

25. b
2 ( ) ( ' ( ))2 ( ' ( ))2
S = p ∫ g t f t + g t dt
a
Si la curva gira alrededor del eje ye, aplicando el análisis anterior, se
tendría:
b
( ) ( ) ' 2 ' 2 2 ( ) ( ) ( )
S = p ∫ f t f t + g t dt
a
En nuestro ejercicio, se tiene:
 = ( ) = +
1
 £ £  = =
0 2
x f t t
( ) t
t
y g t e
Derivando:
 f '
( t
) =
1
 £ £
 '
=
0 2
( ) t
t
g t e
Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) 2
' 2 ' 2 2 2
S = 2 p ∫ g ( t ) f ( t ) + g ( t ) dt = 2 p ∫ e 1
+ e dt
0
b
t t
a
Resolviendo esta integral:
2
S = 2p ∫ et 1+ e 2
t dt
0
A través de cambio de variable:
Como: ( ) 2 2
2 2
S = 2p ∫ et 1+ e t dt = 2p ∫ et 1+ et dt
0 0
Con el cambio:
t
= 
u e
= t
du etd
Por lo tanto:
( )2 2 ∫ et 1+ et dt =∫ 1+ u du
Hemos llegado a una integral de sustitución trigonométrica, explicada en
detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733).
Con el cambio trigonométrico:
a
a a
= 
 =
u tg
sec2
du d
Así:

26. ∫ 1+ u2du = ∫ 1+ tg2a sec2a da
Como: 1+ tg2a = sec2a , se tiene:
∫ sec2a sec2a da = ∫seca sec2a da
Esta última integral es de la forma:
∫ sec3a da
Y tal como se explico en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3 (733),
se debe aplicar el método de integración por partes:
2
= sec
a
2
sec sec
dv sec d
I
u
a a da
a a
=
=

®
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
a a a a a
a a a
sec sec
sec
u d
u tg d du tg d
   =
a a  ® ®
 dv sec 2 d dv sec2
a d
a  v
=

tg
=
=
=
∫ = ∫
Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
I = u.v - ∫ v.du = seca tga - ∫tga .seca tga da
I = seca tga - ∫tg2a .seca da = seca tga - ∫(sec2a -1).seca da
I = seca tga - ∫(sec3a - seca ).seca da = seca tga - ∫sec3a da + ∫seca da
Pero: I = ∫ sec3a da y de la tabla de integrales:
∫seca da = ln seca + tga +C
Entonces:
I = seca tga - I + ln seca + tga
I + I = seca tga + ln seca + tga
2I = seca tga + ln seca + tga
3 sec ln sec
sec
tg tg
2
I d
a a a a
a a
+ +
= ∫ =
Para devolver el cambio hacemos uso del triángulo:

27. De donde claramente:
2
tg u
sec u
1
a
a
=
= +
Por lo tanto:
2 1 ln 2 1
u u u u
2
I
+ + + +
=
Y como u = et , se tiene:
+ + + +
( ) 2 2
2
t t t t
e e e e
p p p
= ∫ + 2 = = 2 + + 2
+ +
S e e dt e e e e
0
1 ln 1 2
t t t t t t
2 1 2 . 1 ln 1
2 2
2
2 ( 2 2
) 0
2
2 1 1 ln 1
0
S = p ∫ et + e t dt =p et e t + + e t + + et
Evaluando esta integral, se tiene:
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )-(e0 e0 +1 + ln e0 +1 + e0 )
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 1+1 + ln 1+1 +1 )
S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 )
Respuesta: S =p (e2 e4 +1 + ln e4 +1 + e2 )- ( 2 + ln 2 +1 )  
Ejercicio 4
a) Dibuja la gráfica de la curva que está dada por las ecuaciones
paramétricas:
5cos 3
0 2
x t
5 1
t
y sent
p
 = -
 £ £  = +
b) Calcula la longitud de la curva de la parte “a” usando integrales.
Solución
Justificación:

28. a) Cuando se nos pide graficar una curva dada en forma paramétrica,
podemos eliminar el parámetro para tener la curva en coordenadas cartesianas
y saber su naturaleza, por ello para eliminar el parámetro en este caso
procedemos así:
1) Despejamos sent y cos t de cada una de las ecuaciones:
5cos 3 3 5cos

+ 3
=
- = co
1
s
x t x t
y sent y sen y
1
5
1
5
5 5
sent
x
t
t

 = -  + =   ® ®  = +  - =
Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, entonces:
sen2t + cos2 t =1
2 2
1
y  x + 
1
5
3
5
 
=
 - 

 

+

( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( y - 1 ) 2 ( x + 3 ) 2 ( x + 3 ) 2 + ( y -
1
) 2
+ = ® + = ® =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1
5 5 25 25 25
2 2
3 1 2 2
1 3 1 25
x y
25
x y
+ + -
= ® + + - =
Hemos llegado a la ecuación general de una circunferencia explicada en
detalle en el objetivo anterior.
El centro de esta circunferencia es: (-3,1) y su radio es: R = 25 = 5 , por
lo tanto su gráfica es:

29. b) Para calcular la longitud de esta curva, hacemos uso de la fórmula:
( ) ( ) 2
1
' 2 ' 2
t
L = ∫ x + y dt
t
Porque la curva esta dada en forma paramétrica, calculemos las
derivadas:
'
x sent
'
5
0 2
5cos
t
y t
p
 = -
 £ £
 =
Por lo tanto:
p
= ∫ - +
( ) ( )
2
2 2
L 5sent 5cos t dt
0
Resolviendo la integral:
p p
= ∫ + = ∫ +
2 2
2 2 ( 2 2
) L 25sen t 25cos tdt 25 sen t cos t dt
0 0
Como sen2t + cos2 t =1:
2 p 2 p 2
p = ∫ ( ) = ∫ = ∫ = [ ] p
= ( p - ) = ( p )
= p
0 0 0
2
25 1 5 5 5 5 2 0 5 2 10
0
L dt dt dt t
Es fácil verificar este resultado, porque la longitud de una circunferencia
es: 2p R y como el radio es 5, se tiene que su longitud es:
L = 2p R = 2p (5) =10p
Respuesta:
a) Gráfica de
5cos 3
0 2
x t
5 1
t
y sent
p
 = -
 £ £  = +
b) L =10p

30. Ejercicio 5
Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva
definida por las ecuaciones
 x = r cos
t
 0
£ t
£ p
 y =
rsent
2
, alrededor del eje OX .
Solución
Justificación: No es necesario dibujar la gráfica para resolver este
ejercicio, porque se utilizaría simplemente la fórmula en coordenadas
paramétricas para calcular el área del sólido en revolución, sin embargo, al
dibujar la gráfica podemos conocer su naturaleza y posiblemente, si es una
figura conocida, corroborar el resultado que se obtendrá. Para graficar
eliminamos el parámetro t , tal como se ejecuto en el ejercicio inmediato
anterior, así:
cos
x
t
 = r
y

sent
= 
r
Ahora hacemos uso de la identidad: sen2t + cos2 t =1, así:
2 2 2 2 2 2
    +   +   = ® + = ® = ® + =
   
2 2 2
y x y x x y
2 2 2 1 1 1
x y r
r r r r r
Hemos llegado a una circunferencia con centro en el origen y radio
R = r2 = r , entonces su gráfica en el intervalo 0
t
£ £ p , es:
2

31. Al rotar esta curva alrededor del eje OX , se obtiene la mitad de una
esfera:
Y como sabemos que el área de una esfera es: S = 4p R2 , tenemos que
el área de la mitad de esta esfera generada es:
p 2
S = = p
r
2 4
2
r
2
Este sería el resultado esperado.
Ahora bien, aplicando la fórmula para calcular el área de la superficie de
la curva
 x = r cos
t
 0
£ t
£ p
 y =
rsent
2
rotada alrededor del eje OX , se tiene:
b
( ) ( ) ' 2 ' 2 2
S = p ∫ y x + y dt
a
Calculando las derivadas:
 x '
= - rsent
 0
£ t
£
p
 y ' =
r cos t
2
Sustituyendo en la fórmula correspondiente, se tiene:
( ) ( )
p
2
2 2
= p ∫ - +
S 2 rsent rsent r cos t dt
0

32. p p
( ) ( ) ( ) 2 2
= p ∫ + = p ∫ +
2 2 2 2 2 2 2
S 2 rsent r sen t r cos t dt 2 rsent r sen t cos t dt
0 0
Como sen2t + cos2 t =1
p p p
2 2 2
( ) ( ) ( )
= p ∫ 2 2 + 2 = p ∫ 2
= p ∫
S 2 rsent r sen t cos t dt 2 rsent r 1 dt 2 rsent r dt
0 0 0
p p
2
= p ∫
= p [ - ] = p  - p  +  = p [ + ] = p   2 2 2 2 2
2 2 cos 2 2 cos cos0 2 0 1 2
S r sentdt r t r r r
0
2
0
Observa que importante fue, conocer el gráfico para corroborar el
resultado.
Respuesta: S = 2p r2
Ejercicio 6
Calcula el área de la superficie que se obtiene al girar la curva definida
en forma paramétrica por las ecuaciones:
 x = e t
cos
t
 0
£ t
£
p
 y =
e t
sent
2
Alrededor del eje OY .
Solución
Justificación: Tal como se dedujo en el ejercicio 3 de esta guía, como la
curva esta dada en forma paramétrica y gira alrededor del eje ye, se aplica la
fórmula:
b
( ) ( ) ' 2 ' 2 2
S = p ∫ x x + y dt
a
Calculemos las derivadas:
( ) ( )
( ) ( )
' ' '
cos cos
x e t e t
' ' '
0
2
t t
t t
t
y e sent e sent
p
 = +  £ £  = +
 x '
= - e t sent + e t
cos
t
p
 0
£ t
£
 y '
= e t cos t +
e t
sent
2
( )
( )
 x '
= e t - sent
 £ £
p 
'
= + cos
0
cos 2
t
t
t
y e t sent
Sustituyendo en la formula dada, se tiene:

33. p
( ( )) ( ( )) 2
2 2
= p ∫ - + +
S 2 et cos t et cos t sent et cos t sent dt
0
( ) ( )
p
2
2 2 2 2
= p ∫ - + +
S 2 et cos t e t cos t sent e t cos t sent dt
0
( ) ( )
p
2
= p ∫ 2 - 2  + + 2

S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt
0
( ) ( )
p
2
= p ∫ 2 - 2  + + 2

S 2 et cos t e t cos t sent cos t sent dt
0
p
( ) ( ) ( ) 2
= p ∫ 2  - + 2 + 2 + + 2

S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen t dt
0
p
( ) 2
= p ∫ - + + + +
2 2 2 2
S 2 et cos t et cos t 2sent cos t sen t cos t 2sent cos t sen tdt
0
2
S = 2p et cos t (et ) cos2 t - 2sent cos t + sen2t + cos2 t + 2sent cos t
2
0
sen tdt
p
∫ +
p
( ) 2
= p ∫ + + +
2 2 2 2
S 2 et cos t et cos t sen t cos t sen tdt
0
Como sen2t + cos2 t =1, se tiene:
p p p
2 2 2
= p ∫ + + = p ∫ = p ∫
2 2
S 2 et t cos t 1 1dt 2 e t cos t 2dt 2 2 e t cos tdt
0 0 0
Observamos que la primitiva ∫ e2t cos tdt debemos integrar por parte, este
tipo de integrales fue explicado en detalle en el objetivo 1 de Matemática 3
(733).
En este caso:
2
2
c
=
cos
t os
u e t
I e t
t
dt
dv dt
= ®

 =
∫
Aplicando la derivada de u y la integral de dv , se tiene:
= =

 =
2 t du 2 e 2 t u e ® dt ®du 2 e 2
t
dt   
 dv =
cos tdt ∫ dv = ∫
co
s
tdt  v =
sent

34. Sustituyendo en la fórmula de integración por parte:
I = u.v - ∫ v.du = e2t sent - ∫ sent.2e2tdt
Esta integral se puede escribir:
I = e2t sent - 2∫ e2t sentdt
La integral generada, se puede resolver por partes de nuevo, así:
= =
=
    ® ®
  
2 2 2 2 2
t t t
u e du e dt du e dt
dv sentdt v t
cos
dv sentdt
=
∫ = ∫ = -
Así:
I = e2t sent - 2 -e2t cos t - 2e2t (-cos t )dt 
 ∫
Desarrollando:
I = e2t sent + 2e2t cos t + 2∫ 2e2t (-cos t )dt
I = e2t sent + 2e2t cos t - 4∫ e2t cos tdt
Observa como se reproduce la integral original, esto sucede en este tipo
de integrales y se resuelven como una ecuación, recordando que
I = ∫ e2t cos tdt :
I = e2t sent + 2e2t cos t - 4I
I + 4I = e2t (sent + 2cos t )
5I = e2t (sent + 2cos t )
2 ( 2cos )
e t sent t
5
I
+
=
Ahora evaluamos esta integral:
2 ( 2cos )
 + 
=  
2 2 2
5
0
e t sent t
S
p
p
 
 2
        2
   + 2cos   2  2 ( 0
)  =      2   ( ( 0 ) + 2cos ( 0
))
2 2
- 
5 5
e sen
e sen
S
p p p
p
 
 
 
(1 2(0)) 0 (0 2(1))
= 2 2
 - 
 e + e
+ 
5 5
S
p
p
 

35. (1) (2) 2 2
 e      = 2 2  - e  = 2 2  - e
-  = 2 2
 
5 5 5 5 5
S
p p p
p p p
     
Respuesta:
 = - 2
 2 2
 
5
e
S
p
p
 
Ejercicio 7
Dada la hélice r(t) = (3cos t,3sent, 4t ) , dar su parametrización en función
de la longitud de arco.
Solución
Justificación: Para parametrizar la hélice por medio de la longitud de
arco, utilizaremos la definición:
( )'
t
s ( t ) = ∫
r ( a )
da 0
En este caso, para obtener la derivada de la curva dada, se deriva cada
componente, así:
r(t) = (3cos t,3sent, 4t )
( ) ( ) '
r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt
Ahora se usa la definición de módulo de un vector:
( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 2 2 r(a ) = -3sent,3cos t,4 dt = -3sent + 3cos t + 4
( )'
r(a ) = 9sen2t + 9cos2 t +16
( ) ( ) '
r(a ) = 9 sen2t + cos2 t +16
Como: sen2t + cos2 t =1, se tiene:
( )'
r(a ) = 9 +16 = 25 = 5
Sustituyendo en la definición de longitud de arco, se tiene:
t t
[ ] ( )
s ( t ) = ∫ 5 da = 5 a = 5 t - 0 = 5
t
0
0
Por lo tanto: 5
s
5
s = tt =
Finalmente la hélice parametrizada según la longitud de arco es:

36.    =  s   s   s  =  s   s
 4
              
             
( ) 3cos ,3 ,4 3cos ,3 ,
r s sen sen s
5 5 5 5 5 5
Respuesta: La curva parametrizada según la longitud de arco es:
 =  s   s
 4
      
     
( ) 3cos ,3 ,
r s sen s
5 5 5
Ejercicio 8
Calcula el área de la superficie de revolución generada por la curva
r = 2senq al rotarla alrededor del eje polar.
Solución
Justificación: La curva r = 2senq viene dada por la gráfica:
Observa en el grafico que la gráfica de la curva se da en el intervalo
[0,p ].
La derivada de la curva r = 2senq , es: r' = 2cosq
Sabemos que la fórmula para calcular la superficie de un sólido en
revolución alrededor del eje polar es:
b
( )2 ' 2 S 2 rsen r r d
= p ∫ q + q
a
Sustituyendo, se tiene:
( ) ( ) 2 2
p
= p ∫ q q q + q q
S 2 2sen sen 2sen 2cos d
0

37. p p
2 2 2 2 ( 2 2 )
= p ∫ q q + q q = p ∫ q q + q q
S 4 sen 4sen 4cos d 4 sen 4 sen cos d
0 0
Como: sen2q + cos2q =1, se tiene:
p p p
= p ∫ 2 q q = p ∫ 2 q q = p ∫ 2
q q
S 4 sen 4d 4 2sen d 8 sen d
0 0 0
Usando la identidad: ( ) 2 1 cos 2
2
sen
q
q
-
= , se tiene:
( ) ( ( )) ( )
p q p p p p p q q q p q q q
 -   
1 cos 2 8
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ( )) 2 2 2 2 0 0 0
= 8   = 1 - cos 2 = 4  - cos 2

S d d d d
2 2
   
0 0 0 0
 sen   sen sen
 =  -  =  - - +  =   - - +   
 =     4 4 0 4 0 4
2 0 2 2 2 2
S
q p p
p q p p p p p
Respuesta: S = 4p 2
Ejercicio 9
Calcular el área de una superficie engendrada por el giro alrededor del
eje y, del segmento de parábola y = x2 , que yace entre x =1 y x = 2 .
Solución
Justificación: para graficar el segmento parabólico y = x2 se calculan las
ordenadas de cada abscisa, es decir: Par x =1, se tiene, y =12 =1®(1,1) y
para x = 2 , se tiene, y = 22 = 4®(2, 4) .
Al hacer girar esta curva alrededor del eje ye, se obtiene:

38. Ahora bien, para calcular el área de la superficie en revolución, podemos
usar la fórmula:
d
2 1 ( ' )2
S = p ∫ x + x dy
c
En este caso: 2 ' 1
= ® = ® = , por lo tanto:
2
y x x y x
y
2
4
S y dy
1
1
2 1
2
y
p
 
= +  
 
∫
4   4 + 4 + 4
+ = +   = = =
1 4 y 1 4 y 1 4 y
1
∫ ∫ ∫ ∫
p p p p
2 1 2 2 2
S y dy y dy y dy y dy
4 4 4 2
y y y y
 
1 1 1 1
4 + 4 4
∫ = p ∫ + =p ∫ +
S = 2p y 4 1
2
y
y
2
4 1 4 1
dy y dy y dy
2
1 1 1

39. Con el cambio de variable:
1 3
+  = +
 ® + = = = = = =  = +
1 1 3 3 2 2
2 2 2
4 1 1 1 1 1 1 2 1
u y u u
4 1 . . .
y dy udu u du u u
4 4 4 4 1 4 3 4 3 6 1
2 2
du dy
∫ ∫ ∫
Devolviendo el cambio:
( )3
2
1
∫ y + dy = y +
4 1 . 4 1
6
Evaluando la integral:
3 4
 = p   ( 4 +  p 1 ) 2  =  ( 4 ( 3 3  4 ) + 1 ) 2 - ( 4 ( 1 ) + p  1 ) 2  =  ( 16 + 1 ) 3 3
 2 - ( 4 + 1
) 2
      
S y
6 1 6 6
( ) 3 ( ) 3
17 2 5 2
6
S
p   =  -   
3 3
Respuesta: ( 17 ) 2 ( 5 ) 2
6
S
p   =  -   
Ejercicio 10
Calcula el área encerrada por la curva r =1- senq .
Solución
Justificación: En este caso, necesitamos deducir la fórmula para calcular
el área de la región en coordenadas polares:

40. Para ello se toma un diferencial de área polar que destaque en azul, tal
como muestra la figura inmediata anterior, y como sabemos que el área de un
sector circular de radio R y ángulo central q es:
A
= q
2
2
R
Por lo tanto, si aproximamos a un segmento circular el diferencial de
área polar, destacado en verde, se tiene:
2
2
r d
dA
= q
Si sumamos todos los subrectángulos típicos polares, se tiene
finalmente que:
b
2 1
2
= ∫ q
A r d
a
En nuestro caso, nos piden calcular el área encerrada por: r =1- senq
cuyo gráfico es:

41. La curva esta graficada de [0, 2p ], por lo tanto el área viene dada por:
( )
2
2
A sen d
0
1
1
2
p
= ∫ - q q
p p p p
 
( ) 2 2 2 2
1 1
∫ ∫ ∫ ∫
= 1 - 2 q + 2 q q =  q - 2
q q + 2
q q

A sen sen d d sen d sen d
2 2
 
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) 2 2 2
p q p q p q q q q q q q
 -   
1 1 cos 2 1 cos 2
∫ ∫ ∫
=  - 2 - cos +  =  + 2cos
+ - 
d
A d d
2 2 2 2 2
   
0 0 0
1 1 (2 ) 2
2cos .
sen
2 2 2 2 0
A
q q p q q
 
=  + + - 
 
1 ( ) 2 1 sen (2(2 )) ( ) (0) 1 sen
(2(0))
2 2cos 2 0 2cos 0 .
2 2 2 2 2 2 2
A
p p p p
 
=  + + - - - - + 
 
( ) ( ) [ ] 1 1 0 1 0 1
A p p p p   =  + + - - - - +  = + + - - - +  
2 2 1 . 0 2 1 0 . 2 2 0 2 0 0
2 2 2 2 2 2
 - +  = p = p  
= 1
p + 1 3
A 3 2
- 0 - 2 [ ] 2
0 0 3
2 2
Respuesta:
A
= p .
3
2
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.

42. EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcula la longitud de la curva dada en coordenadas polares
r = 2 + 2cosq .
Ejercicio 2
Calcula la longitud de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:
= + .
, 1 t 3
2
x 3 t 2
2
y 2 t 1
£ £
  
= -
Ejercicio 3
Encuentra el área de la superficie generada por la rotación de la curva
dada por las ecuaciones paramétricas: x = t, y = 2 – t2 , 0 £ t £ 2 , alrededor
del eje OY.
Ejercicio 4
Calcula el área de la región acotada por la gráfica de r = 2 + cosq y por
las rectas q = 0 y q =
p .
2
Ejercicio 5
Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por
  
= -
x 2 cos t cos 2t
las ecuaciones: £ £ p
= -
con 0 t
y 2 sen t sen 2t
Ejercicio 6
Calcula la longitud de arco de la función F(t) = ( et, et sen t, et cos t ) con
0 £ t £ 2p .
Ejercicio 7
Calcula la longitud de arco de la curva dada en forma paramétrica por:
t 2 - entre los puntos de intersección de la curva y el eje x.
x(t) = t2 , y(t) = ( t 3 )
3
Ejercicio 8
Calcule el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva
C alrededor del eje 0X, donde C es el menor de los arcos de la circunferencia
x2 + y2 = 25 entre los puntos (3,4) y (5,0).
Ejercicio 9
Calcule el área encerrada por las curvas x = 6 cos t, y = 3 sen t.
Ejercicio 10

43. Calcula el área encerrada por la curva r =1+ cosq .