1. 1/4/2012
Testimi i
hipotezave/Kontrollimi i
hipotezave
Mostra e madhe
Ligjërata e tetë
1
Testimi i hipotezave/Mostra e madhe
Qëllimet
Pas orës së mësimit ju duhet ë jeni në gjendje që të:
 Definoni termet: “hipotezë” dhe “testimi i hipotezave”
 Përshkruani hapat në procedurën e testimit të hipotezave
 Bëni dallimin në mes të testimit të hipotezave të testit një-
anësor dhe dy-anësor.
 Testoni hipotezën rreth mesatares së populacionit dhe
proporcionit të populacionit
 Testoni hipotezën rreth dallimeve në mes të dy
mesatareve të populacionit dhe dy proporcioneve të
populacionit.
 Definoni gabimet e Llojit të Parë dhe Llojit të Dytë.
2
1

2. 1/4/2012
Testimi i hipotezave
 Analizojmë një rast jostatistikor:
 Ekziston dyshimi se personi i caktuar ka kryer
vepër penale dhe për këtë duhet të gjykohet. Në
bazë të dhënave dhe dëshmive, gjykatësi do të
bjerë një nga vendimet e mundshme:
 1. Personi është i pafajshëm
 2. Personi është i fajshëm.
 Në fillim të gjykimit gjithmonë konsiderohet se
personi nuk është fajtor.
3
Testimi i hipotezave
Dy hipoteza:
 Në statistikë shprehja:
 “Personi është i pafajshëm”, quhet
“Hipotezë zero”, derisa shprehja
 “Personi është i pafajshëm” quhet
“hipotezë alternative”
 Hipoteza zero: H0 Personi është i pafajshëm
 Hipoteza alternative: H1 Personi është i fajshëm
4
2

3. 1/4/2012
Çka është hipoteza?
 Hipoteza: Supozim (pohim) Unë pohoj se nota mesatare e
kësaj klase është µ= 3.5!
rreth vlerës së parametrit
të populacionit e zhvilluar
për qëllime të testimit.
 Shembuj të parametrave
janë mesatarja e populacionit
ose proporcioni i populacionit
 Parametrat duhet
të identifikohen
para analizës
5
9-4
Çka është testimi i hipotezave?
 Testimi i hipotezave: Procedurë, e
bazuar në të dhënat e mostrës dhe
teorinë e probabilitetit, të përdoruara
për të përcaktuar se hipoteza a është
një deklarim i arsyeshëm dhe nuk duhet
të refuzohet, ose është i paarsyeshëm
dhe duhet të refuzohet.
6
3

4. 1/4/2012
Hipoteza zero H0
 Hipoteza zero H0: Pohimi (Supozimi) rreth
vlerës së parametrit të populacionit
 Fillon me supozimin se hipoteza zero është e
vërtetë.
- Ngjashëm me rastin e personit që do të jetë i pafajshëm derisa të
vërtetohet fajësia e tij.
 Gjithmonë e përmban shenjën e “=”, “≤” ose
“”
 Mundet ose nuk mund të refuzohet.
 Zakonisht formulohet: “Nuk ka dallime
signifikante në mes të …..” 7
Hipoteza alternative H1
 Hipoteza alternative H1: Pohimi/supozimi që pranohet
nëse të dhënat e mostrës sigurojnë evidencën se hipoteza
zero nuk është e vërtetë.
 Është e kundërta e hipotezës zero.
 Kurrë nuk e përmban shenjën e “=”, “≤” ose “”
 Mund ose jo të pranohet.
 Në përgjithësi është hipotezë që besohet (ose ka nevojë të
provohet) të jetë e vërtetë nga hulumtuesi.
8
4

5. 1/4/2012
Procesi i testimit të hipotezave
Supozojmë se
Mosha mesatare e
populacionit është 50.
Identifikimi i populacionit
( H 0 :   50)
Nese X  20 a eshte e mundur    ?
Zgjedhja e mostrës
Jo, nuk është e mundshme!
Refuzo
Hipotezën zero
 X  20
9
Arsyet për refuzimin e H0
Distribucioni sampling i X
X
20 μ = 50
Nëse H0 është e
Nuk ka mundësi që vërtetë
... Për këtë ne
të fitojmë mesataren refuzojmë
nga mostra në këtë ... Në se në të vërtetë kjo hipotezën zero
vlerë ... do të ishte mesatarja e μ = 50.
popullimit…… 10
5

6. 1/4/2012
Niveli i signifikancës/rrezikut (α)
 Nivelii signifikancës: Probabiliteti i hedhjes
së hipotezës zero kur ajo është e vërtetë.
 Quhet regjioni i hedhjes së
distribucionit të mostrave.
 Shënohet me α (niveli i signifikancës)
 Vlerat tipike janë 0.01, 0.05, 0.10
 Zgjedhet nga hulumtuesi që në fillim
 Siguron vlerat kritike të testit.
11
Niveli i signifikancës dhe regjioni
i refuzimit
Niveli i signifikancës = a (Vlerat
kritike)
H0: μ = 3 a/2 a/2
H1: μ ≠ 3
Testi dyanësor 0
Regjioni i
H0: μ ≤ 3 a refuzimit
është me
H1: μ > 3 hije
Testi i epërm/ i djathtë 0
H0: μ ≥ 3
a
H1: μ < 3
Testi i poshtëm/ i majtë 0
12
6

7. 1/4/2012
Gabimet në marrjen e vendimeve
 Gabimi i Llojit të Parë
 Refuzimi i hipotezës zero kur ajo është e
vërtetë
 Ka pasoja serioze
Probabiliteti për Gabimin e llojit të Parë
është α
 Quhet niveli i signifikancës
 Vendoset nga hulumtuesi
 Gabimi i Llojit të Dytë
 Dështimi në refuzimin e hipotezës zero kur ajo
nuk është e vërtetë.
 Probabiliteti i Gabimit të llojit të dytë është β
 Fuqia e testit është (1- β) 13
Gabimet në marrjen e vendimeve
(vazhdim
 Probabiliteti për të mos bërë gabimin e
Llojit të Parë është 1  a 
 Quhet koeficienti i besueshmërisë ose
konfidencës.
7

8. 1/4/2012
Gabimet në marrjen e vendimeve
H0: I pafajshëm
Shembulli i gjyqit Hipotezat Testi
E vërtetë E vërtetë
Verdikti I pafajshëm I fajshëm Vendimi H 0 E vërtetë H 0 Jo e vërtetë
Mos
Lloji II
I pafajshëm Korrekt Gabim Refuzo 1- a
Gabimi ( b )
H0
Lloji i I i
Refuzo Fuqia
I fajshëm Gabim Korrekt Gabimit
H0 (1 - b )
(a )
Faktorët që ndikojnë në Llojin e II të
gabimit
 Vlerat e vërteta të parametrave të popullimit
 b Rritet kur diferenca në mes parametrit të supozuar
dhe vlerës së tij të vërtetë zvogëlohet.
 Niveli i signifikancës b
 b rritet kur a zvogëlohet a
Devijimi standard i populimit
b 

 b rritet kur  rritet
 Madhësia e mostrës
 b rritet kur n zvogëlohet b
n
8

9. 1/4/2012
Qasjet në tesitimin e hipotezave
 Qasja e vlerës kritike
 Qasja e vlerës së probabilitetit/
vlera p
17
Qasja e Vlerës kritike për testim të
hipotezave
 Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. : X )
në teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)
 Sigurimi i vlerave kritike) për një vlerë të
specifikuar të a nga tabela ose kompjutori
 Nëse testi statistikor gjindet në regjionin kritik,
atëherë refuzohet H0
 Në të kundërtën nuk refuzohet H0
9

10. 1/4/2012
Qasja e probabilitetit- Vlerës p - për
testimin e hipotezave
 Konvertimi i statistikave të mostrës (p.sh. X ) në
teste statistikore (p.sh. Z, t ose F –testi)
 Sigurimi i vlerave të p nga tabela ose përmes
kompjuterit
 Nëse vlera e p është më e madhe se niveli i
signifikancës α , H0 nuk refuzohet.
 Nëse vlera e p është më e vogël se niveli i signifikancës
α , H0 refuzohet.
 Krahasohen vlerat e p me α
 Nëse vlera e p  a , Mos refuzo H0
 Nëse vlera e p  a Refuzo H0
Hapat e përgjithshëm në
testimin e hipotezave
P.sh. Testimi i supozimit se numri mesatar i televizorëve
për familje ne Kosovë është me pak se tre (  dihet)
1. Formulimi i H0 H0 :   3
2. Formulimi i H1 H1 :   3
3. Zgjedhja a a =.05
4. Zgjedhja e n n  100
5. Zgjedhja e testit Z test
10

11. 1/4/2012
Hapat e përgjithshëm në testimin e
hipotezave
(vazhdim)
6. Vendosja e vlerës kritike) Refuzo H0
a
Z
-1.645
7. Mbledhja e të dhënave 100 Familje janë anketuar
Testi statistikor i llogaritur =-2,
8. Llogaritja e testit
Vlera e p- = 0.0228
statistikor dhe vlerës së p
9. Marrja e vendimit Refuzo hipotezën zero
statistikor
10. Dhënja e konkluzioneve Numri mesatar i televizorëve për
© 2002 Prentice-Hall, familje është më i vogël se tre
Inc.
(3)
Testi njëanësor Z për mesatare
(  dihet )
 Supozimet
 Populacioni ka shpërndarje normale
 Nëse nuk është normal kërkohen mostra më
të mëdha
 Vetëm Hipoteza zero ka shenjën  ose 
 Z Testi statistikor
 X  X X 
Z 
X / n
11

12. 1/4/2012
Regjioni i refuzimit/Testet
njëanësore
H0:   0 H0:   0
H1:  < 0 H1:  > 0
Refuzo H0 Refuzo H0
a a
0 Z 0 Z
Z duhet të jetë në Vlerat e vogla të Z nuk
mënyrë signikative nën 0 kundërshtojnë H0
për të refuzuar H0 Mos refuzo H0 !
Shembull : Testi njëanësor
Kutia me drithëra në
mesatare a përmban më
shumë se 368 gram
drithëra? Një mostër e
rastësishme prej 25
kutive ka treguar peshën 368 gm.
X = 372.5. Kompania ka
specifikuar që  të jetë H0:   368
15 gram. Testoni në H1:  > 368
nivelin e signifikanës a 
0.05
12

13. 1/4/2012
Gjetja e Vlerës kritike: Njëra anë
Tabela r distribucionit standard
normal kumulativ (Pjesë )
a = 0.05?
Z 1 Z .04 .05 .06
.95 1.6 .9495 .9505 .9515
a = .05
1.7 .9591 .9599 .9608
0 1.645 Z 1.8 .9671 .9678 .9686
Vlera kritike =
1.9 .9738 .9744 .9750
1.645
Zgjedhja e shembullit : Testi një
anësor
H0:   368 Test Statistic:
H1:  > 368
a = 0.5 X 
Z  1.50
n = 25 
Vlera kritike: 1.645 n
Refuzo Vendimi:
.05 Mos refuzo në nivelin a = .05
Konkluzion:
0 1.645
Z Nuk ka evidencë se mesatarja e
1.50
vërtetë është më e madhe se
368
13

14. 1/4/2012
Zgjedhja përmes vlerës së P
Vlera e p është P(Z  1.50) = 0.0668
Përdorë
hipotezën
alternative për Vlera eP =0.0668
të gjetur
1.0000
drejtimin e
regjionit të - .9332
refuzimit. .0668
0 1.50 Z
Nga tabela Z: shiko te Vlera e Z për statistikën e
1.50 për të gjetur 0.9332 mostrës
Zgjedhja përmes vlerës së P
(vazhdim)
(Vlera e P = 0.0668)  (a = 0.05)
Mos refuzo.
Vlera e p = 0.0668
Refuzo
a = 0.05
0 1.645 Z
1.50
Testi 2002 Prentice-Hall,
©
statistikor 1.50 është në “Regjionin Mos refuzo”
Inc.
14

15. 1/4/2012
Shembull : Testi dyanësor
Kutia me drithëra në
mesatare a përmban 368
gram drithëra? Një
mostër e rastësishme prej
25 kutive ka treguar
peshën X = 372.5.
Kompania ka specifikuar 368 gm.
që  të jetë 15 gram.
Testoni në nivelin e
H0:   368
signifikanës a  0.05.
H1:   368
Zgjedhja e shembullit: Testi
dyanësor/Qasja e vlerës kritike
H0:   368 Testi statistikor:
H1:   368
X   372.5  368
a = 0.05 Z   1.50
 15
n = 25 n 25
Vlera kritike: ±1.96
Vendimi:
Refuzo
Mos refuzo në nivelin a = .05
.025 .025
Konkluzion:
Nuk ka të dhëna që mesatarja
-1.96 0 1.96
Z e vërtetë nuk është 368
1.50
15

16. 1/4/2012
Zgjedhja përmes vlerës së P
(Vlera e p = 0.1336)  (a = 0.05)
Mos refuzo.
Vlera e p = 2 x 0.0668
Refuzo Refuzo
a = 0.05
0 1.50 1.96 Z
Testi statistikor 1.50 është në “regjionin Mos refuzo “
Fazat e Testimit të hipotezave
Hapi I. Formulimi i Hipotezës Zero (H0) dhe Hipotezës Alternative (H1)
Hapi 2. Zgjedhja e nivelit të signifikancës/rrezikut
Hapi 3. Identifikimi i Testit statistikor ( Z, t, F, Testi hi në katror)
Hapi 4. Formulimi i Rregullës së vendosjes
Hapi 5. Zgjedhja e mostrës dhe marrja e vendimit
Mos e refuzo hipotezën zero H0 Refuzo H0 dhe prano H1
32
16

17. 1/4/2012
Testimi për mesataren aritmetike: Mostra
e madhe , Devijimi standard i populacionit
është i njohur
 Kur bëjmë testimin për mesataren e
populacionit nga mostra e madhe dhe kur dihet
devijimi standard i populacionit testi statistikor
jepet me këtë formulë:
X  Xm  X
z ose T  ( si ne liber , fq.334)
/ n g( X )
33
9-13
Shembull 1
 Procesori i firmës për prodhimin e
keçapit tregon shenjën se një shishe
keçap ka 16 ons (28,35gr) keçap. Një
mostër prej 36 shisheve është matur dhe
ka dalë se pesha mesatare është 16.12
ons keçap me devijim standard 0.5 ons.
Me nivel të signifikancës 0.05 a është
procesi jashtë kontrollit?
34
17

18. 1/4/2012
9-14
Shembull 1 vazhdim
 Hapi 1: Formulimi i hipotezës zero dhe hipotezës alternative
H 0 :   16 H1 :   16
 Hapi 2: Niveli i signifikancës 0.05, kurse probabiliteti është
0,95, testi është dyanësor, ɑ/2=0.05/2=0.0025, vlera kritike
është 1.96
 Hapi 3: Vendosja e rregullës së marrjes së vendimit:
H 0 refuzohet nese z  1.96
 Hapi 4: Llogaritja e testit statistikor Z:
z  [16.12  16] /[0.5 / 36]  1.44
 Hapi 5: Vendimi për H0 : H0 nuk refuzohet sepse vlera e
Z=+ 1.44 është më e vogël se vlera kritike 1.96 35
9-20
Testimi i hipotezave: Dy
mesatare të populacionit
 Supozojmë parametrat për dy
populacione janë : 1 , 2 , 1 , dhe  2
 Për mostra të mëdha testi statistikor
është:
X1  X 2
z
 12  2 2

n1 n2
36
18

19. 1/4/2012
9-21
Testimi i hipotezave: Dy
mesatare të populacionit
 Kur 1 dhe  2 nuk dihen mirëpo
madhësia e mostrës n1 dhe n2 janë
më të mëdha ose të babrabarta me 30,
testi statistikor është:
X1  X 2
z
 12  2 2

n1 n2
37
9-22
Shembull
 Është bërë një hulumtim për të krahasuar numrin mesatar të
vjetëve të punës për ata që janë pensionuar në vitin 1989 me
numrin mesatar të vjetëve të atyre që janë pensionuar në
vitin e kaluar në firmën “X” Me nivel të signifikancës 0.01 a
mund të përfundojmë se punëtorët e pensionuar vitin e kaluar
kanë dhënë më shumë shërbime duke u bazuar në këto të
dhëna nga mostra?
Karakteristikat 1989 Vitin e
kaluar
Mesatarja e mostrës 25.6 30.4
Devijimi standard i 2.9 3.6
mostrës
Madhësia e mostrës 40 45
38
19

20. 1/4/2012
9-23
shembull vazhdim
 Hapi 1: H0: 2  1 H1: 2  1
 Hapi 2 Niveli i signifikancës 0,01, testi
njëanësor, vlera akritike 2.33
 Hapi 3: Refuzo H0 nëse Z>2.33
30.4  25.6
 Hapi 4: Z  6.80
3.62 2.92

45 40
 Hapi 5: Meqenëse Z = 6.80>2.33, H0
refuzohet. Punëtorët e pensionuar vitin e
kaluar kanë më shumë vjet në shërbim.
39
9-24
Testet në lidhje me proporcionin
 Proporcioni: Pjesa ose përqindja që
tregon pjesën e populacionit ose
mostrës që është me interes të veçantë
për të trajtuar.
 Proporcioni i mostrës
numri i rasteve te volitshme
pm 
numri i elementeve te mostres
40
20

21. 1/4/2012
9-25
Testi statistikor për testimin e
një proporcioni të populacionit
pm  p
z
pq
n
p  proporcioni i populacionit
pm - proporcioni i mostres
41
9-26
Shembull
 Në të kaluarën , 15% e kërkesave të
rregullta për ndihma bamirësie ka rezultuar
në kontribute financiare. Një letër e re e
kërkesave është përpiluar dhe është
dërguar te 200 njerëz dhe 45 prej tyre
janë përgjigjur duke ofruar ndihmë
financiare. Me nivel të signifikancës 0.05,
gjegjësisht me probabilitet 0,95 a mund
të përfundohet se letra e re është më
efektive?
42
21

22. 1/4/2012
9-27
Shembull vazhdim
 Hapi 1: H 0 : p  0.15 H1 : p  0.15
 Hapi 2: Niveli i signifikancës 0,05,
 Hapi 3: H0 refuzohet kur z>1.645
 Hapi 4: 45
 0.15
z 200  2.97
(0.15)(0.85)
200
 Hapi 5: Meqë z = 2.97 >1.645, H0 Refuzohet. Letra
e re ka qenë më efektive 43
9-28
Testi që përfshin dallimet në mes të
proporcioneve e dy populacioneve
 Testi statistikor në këtë rast është :
p1  p2
z
p1  q1 p2  q2

n1 n2
44
22

23. 1/4/2012
9-30
Shembull
 Shembulli nga libri , fq. 340
 Një ndërmarrje ka blerë bateri elektrike prej dy
prodhuesve. Nga prodhuesi i parë janë zgjedhur
220 bateri dhe është konstatuar se 35 janë
defekte. Nga prodhuesi i dytë janë zgjedhur 260
bateri dhe 26 prej tyre janë me defekt. Me
probabilitet 90% ose nivel të signifikancës 10% të
vërtetohet se a ekziston dallim i rëndësishëm në
cilësinë e baterive në mes të këtyre dy
prodhuesve.
45
9-31
shembull 5 vazhdim
 Hapi 1: H 0 : p1  p2 H1 : p1  p2
 Hapi 2: Niveli i signifikances 0,10,
probabiliteti 90%
 Hapi 3: H0 refuzohet nëse z >1.645
 Hapi 4: 0,159  0.10
z  1,916
0.159  0,841 0,10  0,90

220 260
46
23

24. 1/4/2012
9-32
Shembull 5 vazhdim
 Hapi 5: H0 nuk pranohet dhe hidhet poshtë,
dmth. pranohet hipoteza alternative se dallimi
në mes të kualitetit të baterive në mes të dy
prodhuesve është signifikant.
 Meqenëse vlera e llogaritur e testit është më
e madhe se vlera kritike tabelore hedhet
poshtë hipoteza zero. 1,916>1,645.
47
Shënim
Testi dyanësor
Nëse Z<-z ɑ/2 ose Z>-z ɑ/2 refuzo hipotezën zero
dhe prano hipotezën alternative….
Testi njëanësor i majtë
Nëse Z<-z ɑ refuzo hipotezën zero…..
Testi njëanësor i djathtë
Nëse Z>zɑ refuzo hipotezën zero…
48
24