Campo eléctrico producido por distribuciones continuas de cargas: demostración de línea "infinita"

1. Campo Eléctrico producido por
distribuciones continuas de
cargas
Demostración de
Línea “infinita”

2. Ejemplo:
Campo Eléctrico de una línea con
carga:
• Una carga eléctrica “Q” positiva está
distribuida uniformemente a lo largo de una
línea con longitud= 2.a que se ubica sobre el
eje y, entre y= -a y y= +a.
Calcular:
• El campo eléctrico en el punto P sobre el eje
x, a una distancia x del origen.

3. Si se divide la línea de carga en segmentos
Infinitesimales cada uno de los segmentos
actúa como una carga puntual:
dy es la longitud de cualquier segmento
localizado a la altura y
Si la carga se distribuye de manera uniforme:
λ= Q/2.a
Entonces:

4. La distancia r entre el segmento y P es:
Por lo que la magnitud del campo dE,
en P, debido a este segmento es:
Magnitud del campo eléctrico
en una carga puntual

5. Representamos dE en términos de sus
Componentes x y y
Que se combinan con la expresión para dE:

6. Para determinar las componentes del campo
totales Ex y Ey se integran estas expresiones,
considerando que para incluir toda la Q se
debe integrar desde y = -a hasta y = +a.
En forma vectorial:

7. Para explorar los resultados, primero se verá lo que ocurre en el límite
en que x es mucho más grande que a. En ese caso, se puede ignorar
a en el denominador de la ecuación anterior, y el resultado se
convierte en:
Esto significa que si el punto P se halla muy lejos de la línea de carga
en comparación con la longitud de la línea, el campo en P es el mismo
que el de una carga puntual.
Al estudiar más el resultado exacto para E, en
Se expresará ésta en términos de la densidad
lineal de carga λ = Q/2a. Al sustituir Q = 2aλ en
la ecuación y simplificar, se obtiene:

8. Ahora se puede responder la pregunta: ¿Cuál es el valor de E a una
distancia x a partir de una línea de carga muy larga?
Para ello se toma el límite de la ecuación anterior cuando a tiende a ser
muy larga. En ese límite, el término x²/a² en el denominador se hace
mucho más pequeño que la unidad y se puede desechar. Queda lo
siguiente:
La magnitud del campo sólo depende de la distancia en el punto P a la
línea de carga. Por lo tanto, a una distancia perpendicular r desde la línea
en cualquier dirección, E tiene la magnitud:

9. Así, el campo eléctrico debido a una línea de carga de longitud
infinita es proporcional a 1/r, y no a 1/r2 como fue el caso para
una carga puntual. Si λ es positiva, la dirección de E es radial
hacia fuera con respecto a la recta, y si λ es negativa es radial
hacia dentro.
Referencia bibliográfica:
Sears F.W., Zemansky M.W., “Física Universitaria”,12ª Edición. Vol 2.