2. INDICE
• UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones diferenciales
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
1.3 Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
1.4 Campos de dirección
1.5 Problemas de valores iniciales
1.6 Teorema de existencia y unicidad
• UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y ecuaciones convertibles a la forma de variables
separables: reducibles, transformables
2.2 Factores de integración. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Variación
de constante o de parámetros
3. 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas
2.4 Sustituciones y transformaciones
UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden ordinarias
3.2 Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano.
3.3 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (Método de
Coeficientes indeterminados y Variación de parámetros)
3.4 Reducción de orden para ecuaciones de segundo orden
4. • UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
4.1 Definición de Ecuaciones lineales de n-ésimo orden
4.2 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. Teorema de
existencia y unicidad. Solución general. Sistema fundamental de soluciones.
Problemas con valor inicial. 4.3 Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes
constantes (Método de Anulador y Variación de parámetros)
5. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Definición y Terminología. Tipos de ecuaciones
diferenciales
Definición.- Es una ecuación que relaciona
variables dependientes, sus derivadas y
variables independientes.
Ej:
𝑑ℎ
𝑑𝑡
− 2𝑥
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥
= 𝑡 + 1 → ℎ = 𝑔 𝑡 = ?
𝑦 = 𝑓 𝑥 = ?
Tipos
1. Ec. Diferenciales Ordinarias (E.D.O).-
Presentan una sola variable dependiente e
independiente.
Ej:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
2. Ec. Diferenciales parciales ( E.D.P).- Presentan 2
o mas variables dependientes e indepentdientes.
Ej:
𝑑2
𝑥
𝑑𝑦2 −
𝑑2
𝑧
𝑑𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦
Orden.- El orden de una E.D esta dado por la
mayor derivada presente.
𝑦" − 𝑦´ = 1 ⇒ 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
6. • Linealidad.- Una E.D.O es lineal si tiene la siguiente forma:
𝐴𝑛 𝑥 𝑦 𝑛
+ 𝐴 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1
+ ⋯ . +𝐴1 𝑥 𝑦´
+ 𝐴0 𝑥 . 𝑦 = 𝑔(𝑥)
EJ:
𝑥2
+ 1 𝑦´´´
−
2
𝑥
𝑦´´
+ 𝑥 𝑦´
− 𝑦 = ln 𝑥2
1.2 Solución de una ecuación diferencial e intervalo de definición
Una función 𝑦 = Φ 𝑥 es una solución de una E.D.O de orden “n” en un intervalo I si sus “n”
derivadas existen en el intervalo I, y al reemplazarlas en la E.D.O se obtiene una identidad.
Ej: 𝑦´´
+ 4𝑦 = 0 𝑦 = sin 2𝑥 − 3 cos 2𝑥 (−∞; +∞)
𝑦´ = 2 cos 2𝑥 + 6 sin 2𝑥 (−∞; +∞)
𝑦´´ = −4 sin 2𝑥 + 12 cos 2𝑥 (−∞; + ∞)
𝑦´´
+ 4𝑦 = 0
(−4 sin 2𝑥 + 12 cos 2𝑥) + 4 sin 2𝑥 − 3 cos 2𝑥 = 0
0+0 = 0
0=0
7. 1.3 SOLUCIONES EXPLICITAS E IMPLÍCITAS. FAMILIA DE SOLUCIONES
• Forma general E.D.O orden “n” ⇒ Solucion: G(x, y, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶 𝑛) = 0 Familia de sol. n – paramétrica
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 ⇒ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝐶1 = 0 ⇒ Familia de sol. Uniparamétrica
1.4 CAMPOS DE DIRECCIÓN
E.D.O de 1er orden
Implicita: 𝑓 𝑦´, 𝑦, 𝑥 = 0 𝑒𝑗: 𝑦´ − 𝑥 − 𝑦 = 0
Explicita: 𝑦´ 𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑥 , 𝑥 𝑒𝑗: 𝑦´ = 𝑥 + 𝑦
Sol. General: familia de curvas.
Sol. Particular: una sola curva.
8. 1.5 PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
• Consiste en encontrar una solución particular y(x) que cumple ciertas condiciones
dadas
Procedimiento:
1. Encontrar la solución n – paramétrica.
2. Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3. Escribir la solución particular
Ej:
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦´ → 𝐸. 𝐷. 𝑂 2𝑑𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑦 𝑋𝑜 = 𝑌𝑜
𝑦´ 𝑋𝑜 = 𝑌1 → 𝑉. 𝐼
9. 1.6 TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD
Dada una región R definida entre 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑦 < 𝑑, si f(x,y) y
𝑑𝑓
𝑑𝑦
son sontinuos en R, existe una única solución y(x) en el
intervalo I, donde I pertenece al intervalo (a,b).
Ej:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦
1
2 → 𝑦 = 0
𝑦 =
1
16
𝑥4
y(0)=0 y(0)=0 no pertenece al intervalo
no existe solución.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
1
2 = 𝑥 𝑦
𝑥 ∈ 𝑅
𝑦 ≥ 0
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑥. 𝑦
1
2
=
1
2
𝑥. 𝑦
1
2 =
𝑥
2 𝑦
𝑥 ∈ 𝑅
10. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Ecuaciones de variables separables y
ecuaciones convertibles a la forma de variables
separables: reducibles, transformables
• E.D de variables separables
Dada la E.D
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 , 𝑠𝑖 𝑓 𝑥, 𝑦 se puede
separar en dos factores
g(x) y h(y) entonces se habla de una E.D de
variables separables.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 ⇒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔 𝑥 . ℎ 𝑦
Ej:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥. 𝑒3𝑥
. 𝑦2
𝑒4𝑦
Solucion de EDO de 1er orden de variables
separables
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6𝑥5 − 2𝑥 + 1
cos 𝑦 + 𝑒 𝑦
cos 𝑦 + 𝑒 𝑦
. 𝑑𝑦 = 6𝑥5
− 2𝑥 + 1. . 𝑑𝑥
sin 𝑦 + 𝑒 𝑦
+ 𝐶1 =
6𝑥6
6
−
2𝑥2
2
+ 𝑥 + 𝐶2
sin 𝑦 + 𝑒 𝑦 + 𝐶1 = 𝑥6 − 𝑥2 + 𝑥 + 𝐶2
sin 𝑦 + 𝑒 𝑦
= 𝑥 𝑥5
− 𝑥 + 1 + 𝐶 → 𝑆𝑜𝑙. 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
11. 2.2 FACTORES DE INTEGRACIÓN. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
PRIMER ORDEN. VARIACIÓN DE CONSTANTE O DE PARÁMETROS
• Metodo del factor integrante para E.D.O.S de
orden 1 lineales
• Procedimiento:
1. Escribir la E.D en su forma estándar.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 . 𝑦 = 𝑓(𝑥)
2. Encontrar el factor integrante 𝜇 = 𝑒 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥
3. Escribir 𝜇. 𝑦 = 𝜇. 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥
4. Resolver integral y despejar Y
Ej:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 3𝑦 = 0
𝑃 𝑥 = −3
𝜇 =
𝑒 −3 𝑑𝑥
= 𝑒−3𝑥
𝑒−3𝑥
. 𝑦 = 𝑒−3𝑥
0 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥. 𝑦 = 0 . 𝑑𝑥
𝑒−3𝑥. 𝑦 = 𝐶
𝑦 = 𝑐. 𝑒3𝑥
→ 𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
Comprobacion
𝑦 = 𝑐. 𝑒3𝑥
.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐. 𝑒3𝑥.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(3𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑐. 𝑒3𝑥
3𝑐. 𝑒3𝑥
− 3 𝑐𝑒3𝑥
= 0
0 = 0
18. UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN
• 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
ordinarias
Una ecuación diferencial de 2do orden es de la
forma:
Si,
Se llama ecuación homogénea, por ejemplo:
Si,
Se llama ecuación no homogénea, por ejemplo:
3.2 Funciones Linealmente independientes y
dependientes. El Wronskiano.
• Se dice que las funciones
linealmente independientes si la única
solución de la ecuación
• Donde en caso contrario, las
funciones son linealmente dependientes.
Ejemplo:
1) Las funciones para ser
linealmente independientes debe cumplir
• Remplazando los valores de las funciones se
obtiene
• Como los únicos valores posibles de
para que cumpla la igualdad es entonces
las funciones son linealmente
independientes
19. • 3.3 Ecuaciones lineales no homogéneas
con coeficientes constantes. (Método de
Coeficientes indeterminados y Variación de
parámetros)
Solución general: Ecuación no homogénea
Sea yp, solución de (1) y y1, y2,…, yn, un
conjunto final de soluciones de (2). Entonces
la solución general de (1) es:
𝑦𝑔 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑦𝑛 + 𝑦𝑝
sol. General sol. Homogénea sol.
particular
Método de superposición
Este método nos permite encontrar una solución
particular Yp(x) para las ecuaciones de la forma:
Donde a, b, y c son constantes y
Para resolverla, se tiene que hacer lo siguiente:
• Resolver la ecuación lineal homogénea asociada
(función complementaria) con lo que se obtiene
𝑦ℎ
• Obtener alguna solución particular 𝑦𝑝 de la
ecuación no homogénea
• A partir de ellas: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝
22. 3.4 REDUCCIÓN DE ORDEN PARA ECUACIONES DE
SEGUNDO ORDEN
Reducción de orden
Dada: 𝑎2 𝑥 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦′ + 𝑎0 𝑥 = 0
Si y1 es una solución particular; entonces se puede definir otra solución particular
linealmente independiente y2, como:
𝑦2 = 𝑦1
𝑒 −𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑦1
2 𝑑𝑥
Por lo tanto; Yc=c1y1+c2y2 ( solución general)
24. 4.3 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
(MÉTODO DE ANULADOR Y VARIACIÓN DE PARÁMETROS)
25. MÉTODO DEL ANULADOR
Operador anulador
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador.
Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación.
Regla 1
Regla2
Regla 3
)()( xLgxLf
12
...,,1
n
n
n
xxxAnula
dx
dy
D xsene x
xnxxxn
exexxeeAnulaD
12
....,,)(
xsenxexxexsenexeAnulaDD nxnxxxn
11222
,cos,,cos)](2[
26. MÉTODO POR VARIACIÓN DE PARÁMETRO
• Para emplear el método de variación
de parámetro a una E.D de 2do orden,
se empieza por escribir la ecuación en
la forma estándar
𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
𝑐1 y 𝑐2 pasar a ser funciones 𝑢1 𝑦 𝑢2
𝑤 = 𝑦1 𝑦2 =
𝑦1 𝑦2
𝑦′1 𝑦′2
𝑢′1 = −
𝑦2 𝑓(𝑥)
𝑤
; 𝑢′2 =
𝑦1 𝑓(𝑥)
𝑤
Ejm:
y’’ + 3y’ + 2y = sen(ex)
y’’ + 3y’ + 2y = 0
Hallamos y1 y y2 soluciones linealmente independientes
de la homogénea asociada:
m2 + 3m + 2 = 0
(m + 2)(m + 1) = 0
m1 = -2; m2 = -1
yh = C1 e-2x + C2 e-xç
y1
y2
27. • Por Cramer hallamos W(y1; y2)
W(y1; y2) = e-2x e-x = -e-3x + 2e-3x
= e-3x
-2e-2x -e-x
• Y después encontramos:
U’1 = -y2f(x) = -e-x sen (ex) = -
e2x sen (ex)
W(y1; y2) e-3x
U’2 = y1f(x) = e-2x sen (ex) = ex
sen (ex)
W(y1; y2) e-3x
u2 =∫u’2 dx = ∫ex sen (ex) dx
=∫z sen z dz/z = ∫senz dz
= -cos z = -cos(ex)
yp = u1y1 + u2y2 solución particular
= [ex cos(ex) - sen (ex)] e-2x -e-x cos(ex)
= -e-2x sen (ex)
La solucion general y = yh + yp = C1y1 + C2y2 + u1y1 + u2y2
y = yh + yp
= C1e-2x + C2e-x – e-2x sen (ex)
