1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
Exercises19
1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 559
Ηταχύτητα του ήχου σε ιδανικό αέριο είναι
υ =
ffή
υ _
_
�γΜRΤ (ιδανικό αέριο). (19-27)
• Το κύμα, γενικώς, μεταφέρει ενέργεια από μια περιοχή σε μια άλλη. Για εγκάρσιο
κύμα σε τεντωμένη χορδή, ο (στιγμιαίος) ρυθμός μεταφοράς ενέργειας (ισχύς) είναι
ay ay
Ρ = Fyv1= -F ()χ at'
Για ημιτονοειδές κύμα η μέση ισχύς είναι
1 - r-:;::; 2 1Ρ.ν = z'νμFωΑ .
(19-29)
(19-34)
Για διάμηκες κύμα η μέση ισχύς Ρaνανά μονάδα εμβαδού εγκάρσιας διατομήςΑ στην
κυματική κίνηση ονομάζεται ένταση, Ι =P.v!A. Για ρευστό σε σωλήνα,
(19-35)
Για στερεά ράβδο,
(19-36)
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ________________________
Εδάφιο 19-2
Περιοδικά κύματα
19-1 Η ταχύτητατου ήχου στον αέρα στους 20oC είναι 344 m/s.
a) Ποιο είναι το μήκος κύματος ηχητικού κύματος με συχνότητα
32,0 Hz, που αντιστοιχεί στη νότα που παράγεται από το κατώτερο
πετάλι ενός μεσαίου μεγέθους εκκλησιαστικού οργάνου αυλών;
b) Ποια είναι η συχνότητα ενός κύματος με μήκος κύματος 1,22 m,
που αντιστοιχεί περίπου στη νότα ρε πάνω από το μεσαίο ντοτου
πιάνου;
19-2 Ηταχύτητατων ραδιοκυμάτων στο κενό (ίση προς την τα
χύτητατου φωτός) είναι 3,00 χ 108 m/s. Να βρείτε το μήκος κύμα
τος για a) σταθμό ΑΜ συχνότητας 1240 kHz· b) σταθμό FM συ
χνότητας 90,0 MHz.
19-3 Με την προϋπόθεση πωςτο πλάτος κύματος είναι αρκετά
μεγάλο, τοανθρώπινοαυτίακούει διαμήκηκύματαστηνπεριοχή συ
χνοτήτων από περίπου 20,0 Hz έως 20 000 Hz. Υπολογίστε τα μήκη
κύματος που αντιστοιχούν σε αυτές τις συχνότητες a) για κύματα
στον αέρα (υ = 344 m/s)· b) γιακύματαστο νερό (υ = 1480 m/s).
19-4 Τα ηχητικά κύματα από ηχείο διασκορπίζονται σχεδόν ι
σότροπα σ' όλες τις κατευθύνσεις όταν τα μήκη κύματός των είναι
μεγάλα συγκριτικά με τη διάμετροτου ηχείου. Όταν το μήκος κύ
ματος είναι μικρό σε σχέση με τη διάμετρο του ηχείου, πολλή από
την ηχητική ενέργεια εκπέμπεται προς την κατ' ευθείαν εμπρός δι
εύθυνση. Για ηχείο διαμέτρου 20,0 cm, υπολογίστε τη συχνότητα
γιατην οποία το μήκος κύματος των ηχητικών κυμάτων στον αέρα
(υ = 344 m/s) είναι a) δέκα φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρο
του ηχείου· b) ίσο προς τη διάμετρο του ηχείου· c) ένα δέκατο
της διαμέτρουτου ηχείου.
19-5 Θαλάσσια κύματα. Ένας ψαράς παρατηρεί ότι η
βάρκα του κινείται πάνω-κάτω περιοδικά λόγω των κυμάτων στην
επιφάνεια του νερού. Απαιτούνται 3,0 s ώστε η βάρκα να φθάσει
από το ανώτατο στο κατώτατο σημείο, μια ολική απόσταση 0,800
m. Ο ψαράς βλέπει ότι οι κορυφές των κυμάτων απέχουν 8,0 m.
a) Πόσο γρήγοραταξιδεύουντα κύματα; b) Πόσο είναι το πλάτος
του κάθε κύματος;
Εδάφιο 19-3
Μαθηματική περιγραφή κύματος
19-6 Η εξίσωση ενός εγκάρσιου κύματος είναι
y = (3,00 cm) sin 2π (Ο,Ο�ΟΟ s
-
40,�cm ).
Υπολογίστε a) το πλάτος b) το μήκος κύματος c) τη συχνότη
τα· d) τηνταχύτητα διάδοσης του κύματος.
19-7 Εγκάρσια κύματα σε χορδή έχουνταχύτητα 15,0 m/s, πλά
τος 0,0800 m και μήκος κύματος 0,300 m. Τα κύματα ταξιδεύουν
στη διεύθυνση +χ, και για t = Ο το άκροχ = Ο της χορδής έχει με
τατόπιση μηδέν και κινείται προς τα επάνω. a) Να βρείτε τη συ
χνότητα, την περίοδο και τον κυματαριθμό αυτών των κυμάτων.
b) Ναγράψετε μια κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το κύμα. c)
Να βρείτε την εγκάρσια μετατόπιση σημείου στοχ = 0,200 m τη
χρονική στιγμή t = 0,200 s.
19-8 Δείξτε ότι η Εξ. (19-3) μπορείνα γραφεί ως:
y =-Α sin 'f (χ - υt).
2. 560 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
19-9 Ένα εγκάρσιο κύμα, που διαδίδεται σε χορδή, παριστάνε
ται απότην εξίσωση της Άσκ. 19-8. ΈστωΑ = 8,0cm, λ = 12,0
cm και υ =2,0 cm/s. a) Τη στιγμή t = Ο υπολογίστε την εγκάρσια
μετατόπισηy κατά διαστήματα 2 cm τουχ (δηλαδή, στο χ = Ο,χ =
2 cm,x = 4 cm, κ.ο.κ.) από χ = Ο έως χ = 24 cm. Δείξτε τα απο
τελέσματα σε γραφική παράσταση. Αυτή είναι η μορφή της χορ
δής στο t = Ο. b) Επαναλάβατε τους υπολογισμούς για τις ίδιες
τιμές τουχ τις χρονικές στιγμές t = 2 s και t = 4 s. Δείξτε στην ί
δια παράσταση τη μορφή της χορδής αυτές τις στιγμές. Προς ποια
κατεύftυνση ταξιδεύειτο κύμα;
Εδάφιο 19-4
Ταχύτητα εγκάρσιου κύματος
19-10 Σύρμαχάλυβα μήκους 5,00m έχει μάζα 0,0600kgκαι εί
ναι υπό μηχανική τάση 800 Ν. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης ε
γκάρσιου κύματος στο σύρμα;
19-11 Το ένα άκρο οριζόντιας χορδής είναι προσδεμένο στη
διχάλα ενός ηλεκτρικού διαπασών του οποίου η συχνότητα ταλά
ντωσης είναι 240 Hz. Στο άλλο άκρο, που περνά από τροχαλία,
κρέμεται μάζα 5,00 kg. Η γραμμική πυκνότητα της χορδής είναι
0,0180kg/m. a) Ποια είναιη ταχύτητατου εγκάρσιου κύματος στη
χορδή; b) Πόσο είναιτο μήκος κύματος;
19-12 Με ποιατάση πρέπεινα τεντωθεί σχοινί μήκους 5,00 m
και μάζας 0,160 kg ώστε εγκάρσια κύματα συχνότητας 60,0 Hz να
έχουν μήκος κύματος 0,600 m;
Εδάφιο 19-5
Ταχύτητα διαμήκους κύματος
Εδάφιο 19-6
Κύματα ήχου σε αέρια
19-13 Ράβδος χάλυβα μήκους 120 m δέχεται κτύπημα στο ένα
του άκρο. Ένας ακροατής στο άλλο άκρο ακούει δύοήχους ως α
ποτέλεσμα δύο διαμήκων κυμάτων, ένα που ταξιδεύει στη ράβδο
και το άλλο στον αέρα. Ποιο είναι το χρονικό διάστημα μεταξύ
των δύο ήχων; (το μέτρο του Young για το χάλυβα είναι 2,00 χ
1011 Pa, η πυκνότητατου χάλυβα είναι 7800 kg/m3 και η ταχύτητα
του ήχου στον αέρα είναι 344 m/s).
19-14 Μεταλλική ράβδος μήκους 20,0 m έχει πυκνότητα 6000
kg/m3• Διαμήκη ηχητικά κύματα χρειάζονται 5,00 χ 10-3 s για να
διαδοθούν από το ένα άκρο στο άλλο. Ποιο είναι το μέτρο του
Young αυτού του μετάλλου;
19-15 Διαμήκη κύματα συχνότητας 150 Hz σε υγρό πυκνότητας
800 kg/m3 έχουν μήκος κύματος 8,00 m. Υπολογίστε το μέτρο ελα
στικότηταςόγκουτουυγρού.
19-16 Ποια είναι η ταχύτητα διαμήκων κυμάτων σε θερμοκρα
σία 27°C, a) σε αργό (γραμμομοριακή (molar) μάζα 39,9 g/mol);
b) σε υδρογόνο (γραμμομοριακή (molar) μάζα2,02g/mol); c) Συ
γκρίνετε τις απαντήσεις σας στα (a) και (b) με την ταχύτητα στον
αέρα στην ίδια θερμοκρασία.
19-17 Τα'Χύτητα του ή'Χου στο νερό. Μια δύτρια κάτω
από την επιφάνεια λίμνης ακούει τον ήχο της σειρήνας ενός πλοί
ου στην επιφάνεια κατ' ευθείαν από πάνω του την ίδια χρονική
στιγμή με φίλο του που στέκεται στην ξηρά 22,0 m από τη βάρκα
(Σχ. 19-23). Σε ποιο βάθος είναι η δύτρια;
19-18 Χρησιμοποιείστε τον ορισμόΒ = -Vdp/dVκαιτη σχέση
μεταξύ p και V για ισόθερμη μεταβολή για να αποδείξετε την Εξ.
(19-25).
19-19 Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της ταχύτητας διαμήκων κυ
μάτωνστον αέρα στους 7,0οC και τηςταχύτητάςτους στους 67,0οC ;
t__
22,0 m
.....___
I?
�ΣΧΗΜΑ 19-23
Εδάφιο 19-7
Ενέργεια στην κυματική κίνηση
19-20 Σύρμα πιάνου μάζας 4,00 g και μήκους 0,800 m είναι τε
ντωμένο με τάση 30,0 Ν. Κατά μήκος του σύρματος διαδίδονται
κύματα συχνότητας f = 60,0 Hz και πλάτους 1,5 mm. a) Υπολογί
στε τη μέση ισχύ που μεταφέρεται από αυτά τα κύματα. b) Τι συμ
βαίνει στη μέση ισχύ αντο πλάτος των κυμάτων διπλασιαστεί;
19-21 Δείξτε ότι η Εξ. (19-34) μπορεί επίσης να γραφεί ως
Ρ., = ;FkωA2, όπου k είναι ο κυματαριθμόςτου κύματος.
Εδάφιο 19-8
Ηχητικά κύματα σε κρυστάλλους: Μελέτη
ενός ειδικού θέματος της σύγχρονης φυσικής
19-22 Στο απλό μοντέλο κρυστάλλου που μελετήθηκε στο Εδ.
19-8, πώς σχετίζεται η σταθερά ελατηρίου με τη γραμμομοριακή
(molar) μάζα Μ, την απόσταση α, την πυκνότητα p και το μέτρο
του Young Υ;
19-23 Το μέτρο της φασικής ταχύτητας (ταχύτητα κύματος) εί
ναι ω/k. Το μέτρο της ομαδικής ταχύτητας ορίζεται ως dω/dk. a)
Πώς σχετίζεται η ομαδική ταχύτητα με το Σχ. 19-22; b) Ποια εί
ναι η έκφραση για την ομαδική ταχύτητα στο μοντέλο μας; c) Για
κυματαριθμούς από k = Ο έως k = π/α, σε ποιο μήκος κύματος η ο
μαδική ταχύτητα μηδενίζεται; d) Για κυματαριθμούς από k = Ο έ
ως k = π/α, για ποια μήκη κύματος το μέτρο της ομαδικής ταχύτη
τας είναι περίπου ίσο με το μέτρο της φασικής ταχύτητας;
19-24 Μη ελαστική σκέδαση σε κρύσταλλο νατρίου.
Οι φυσικοί προκαλούν τη σύγκρουση νετρονίων με νάτριο και πα
ρατηρούντη δημιουργία ή απορρόφηση φωνονίων (ονομαζόμενη
μη ελαστική σκέδαση). Βρίσκουν μια μέγιστη συχνότητα 3,8 χ
1012 Hz για επίπεδα διαμήκη κύματα που διαδίδονται σε μια ορι
σμένη κρυσταλλική διεύθυνση. Το νάτριο έχει γραμμομοριακή
(molar) μάζα 23,0 g/mol ατόμων. Χρησιμοποιήστε το απλό μας
κρυσταλλικό μοντέλο. a) Ποια είναι σταθερά ελατηρίου σε αυτή
τη διεύftυνση; b) Ποια είναι η μέγιστη ενέργεια φωνονίων γι' αυ
τά τα κύματα; c) Ποιο είναι το μέτρο του Young, εάν τα άτομα α
πέχουν μεταξύ τους 0,30 nm και η πυκνότητατου νατρίου είναι 540
kg/m3; d) Ποιο είναι το μεγαλύτερο μήκος κύματος για το οποίο η
ενέργεια φωνονίου είναι το μισό της μέγιστης τιμής της;
19-25 Η ενέργεια ενός ηλεκτρονίου στο γερμάνιο αυξάνεται
κατά 1,230 χ ιο-19 J με την ταυτόχρονη απορρόφηση φωτεινής ε
νέργειας 1,189 χ 10-19J και ενός φωνονίου. Ποιαείναιη συχνότη
τα και η κυκλική συχνότητααυτούτου φωνονίου;
19-26 Ένα ηχητικό κύμα ταξιδεύει σε ράβδο χαλκού έχοντας
μέση ισχύ 3,7 μW και συχνότητα 264 Hz. a) Πόσα φωνόνια ανά
δευτερόλεπτο ταξιδεύουν κατά μήκος της ράβδου; b) Θα ήταν η
απάντηση διαφορετική γιατο αλουμίνιο;
3. Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α
19-27 Εγκάρσιο ημιτονοειδές κύμα με πλάτος 0,0800 m και μή
κος κύματος 1,60 m διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά
μήκος οριζόντιας τεντωμένης χορδής με ταχύτητα 100 m/s. Πάρτε
την αρχή στο αριστερό άκρο της αδιατάρακτης χορδής. Τη στιγμή
ι = Ο το αριστερό άκρο της χορδής είναι στην αρχή (χ = Ο) και κι
νείται προς τα κάτω. a) Ποια είναι η συχνότητα, η κυκλική συ
χνότητα και η σταθερά διάδοσης του κύματος; b) Ποια είναι η
κυματοσυνάρτηση του κύματος; c) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης
του αριστερού άκρου της χορδής; d) Ποια είναι η εξίσωση κίνη
σης ενόςσωματίου 1,20 m προς τα δεξιά της αρχής; e) Ποιά είναι
η μέγιστη τιμή του μέτρου της εγκάρσιας ταχύτητας οποιουδήποτε
σωματίου της χορδής; f) Να βρείτε την εγκάρσια μετατόπιση και
την εγκάρσια ταχύτητα σωματίου 1,20 m προς τα δεξιά της αρχής
τη στιγμή ι = 0,0240 s.
19-28 Η κυματοσυνάρτηση εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται
m �� ε�
'
y = (1,75 cm) sin π[(250/s)ι + (0,400/cm)x].
a) Να βρείτε το πλάτος, το μήκος κύματος, τη συχνότητα, την πε
ρίοδο καιτηνταχύτητα διάδοσης. b) Να σχεδιάσετε τη μορφή της
χορδής στις ακόλουθες τιμέςτουι : Ο, 0,0020s και 0,0040 s. c) Το
κύμα οδεύει προς τη θετική ή την αρνητική φορά του χ; d) Εάν η
μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής είναι 0,50 kg!m, να βρείτε
την τάση.
19-29 Να δείξετε ότι η y(x, ι) = Α cos (ωι + /α) ικανοποιείτην
κυματική εξίσωση.
19-30 Εύρεση της θέσης κεραυνού με το ραδιόφωνο.
Φοιτήτριαστο δωμάτιο της εστίας, παρακολουθεί στο ραδιόφωνο
την περιγραφή αγώνα ποδοσφαίρου ενώ μελετά φυσική. Στο τέ
λος του β' ημιχρόνου πλησιάζει καταιγίδα από δυτικά και κάνει
τηνπαρουσία της αισθητή με τρεις τρόπους: (1) Η φοιτήτρια βλέ
πει έναν κεραυνό ·(και ακούει τον ηλεκτρομαγνητικό θόρυβο στο
ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 561
ραδιόφωνό της)· (2) 3,00 s μετά, ακούει τη βροντή στο ραδιόφω
νο· (3) 4,43 s μετά τον κεραυνό, η βροντή προκαλεί τριγμό στο
παράθυρό της. Από προηγούμενη μέτρηση γνωρίζει ότι βρίσκεται
1,12 km βόρεια από το θάλαμο εκπομπής του ραδιόφωνου στο γή
πεδο. Η ταχύτητα του ήχου είναι 344 m/s. Σε ποια θέση ως προς
το γήπεδο έπεσε ο κεραυνός;
19-31 Το ένα άκρο ελαστικού σωλήνα μήκους 12,0 m και ολι
κής μάζας 0,800 kg, στερεώνεται σε σταθερό υποστήριγμα. Σε
χορδή που είναι δεμένη στο άλλο άκρο και περνά από τροχαλία
κρέμεται αντικείμενο μάζας 15,0 kg. Ο σωλήνας δέχεται ένα ε
γκάρσιο κτύπημα στο ένα άκρο. Να βρείτε το χρόνο που απαιτεί
ται ώστε ο παλμός να φθάσει στο άλλο άκρο.
19-32 Ένας καουμπόυ δένει το ένα άκρο ενός σχοινιού μή
κους 20,0 m στον πάσσαλο ενός φράκτη και τραβά το άλλο άκρο
ώστε να τεντωθεί οριζόντια με τάση 70,0 Ν. Η μάζα του σχοινιού
είναι 0,200 kg. a) Εάν ο καουμπόυ κινεί το ελεύθερο άκρο πάνω
κάτω με συχνότητα 6,00 Hz, πόσο είναι το μήκος κύματος των ε
γκάρσιων κυμάτων στο σχοινί; b) Ο καουμπόυ τραβά δυνατότερα
το σχοινί ώστε η τάση διπλασιάζεται στα 140,0 Ν. Με ποια συχνό
τητα πρέπει να κινεί το σχοινί πάνω-κάτω για να παράγει εγκάρ
σια κύματατου ίδιου μήκους κύματος όπως στην ερώτηση (a);
19-33 Πόση πρέπει να είναι η τάση (FIA) σε τεντωμένο σύρμα
από υλικό του οποίουτο μέτροτου Young είναι Υώστε η ταχύτητα
των διαμήκων κυμάτων να είναι πενήντα φορές μεγαλύτερη από
την ταχύτητατων εγκάρσιων κυμάτων;
19-34 Μεταλλικό σύρμα, πυκνότητας 4,00 χ 103 kg/m3 και μέ
τρου του Young 2,00 χ 1011 Pa, τεντώνεται μεταξύ στερεών υπο
στηριγμάτων. Σε μια θερμοκρασία η ταχύτητα εγκάρσιου κύματος
βρίσκεται ότι είναι 200 m/s. Όταν η θερμοκρασία αυξηθεί κατά
3o,o·c, η ταχύτητα ελαττώνεται σε 160 m/s. Υπολογίστε τον συ
ντελεστή γραμμικής διαστολής του σύρματος.
Π Ι Ο Σ Υ Ν Θ Ε Τ Α Π Ρ Ο Β Λ Ή Μ Α Τ Α ______________
19-35 Ένας δύτης κρέμεται κάτω από την επιφάνεια της λί
μνης του Loch Ness (Λοχ Νες) από καλώδιο μήκους 100 m που
είναι προσδεμένο σε βάρκα στην επιφάνεια (Σχ. 19-24). Ο δύ
της και η στολή του έχουν συνολική μάζα 120 kg και όγκο 0,0800
m3• Το καλώδιο έχει διάμετρο 2,00 cm και γραμμική πυκνότητα
μ = 1,30 kg/m. Ο δύτης νομίζει ότι κάτι βλέπει να κινείται στα
σκοτεινά βάθη και τινάζει την άκρη του καλωδίου πίσω-μπρος
ώστε να στείλει εγκάρσια κύματα ως ειδοποίηση στους συντρό
φους του στη βάρκα. a) Ποια είναι η τάση στο κατώτερο άκρο
του καλωδίου όπου είναι προσδεμένος ο δύτης; Μη ξεχάσετε να
περιλάβετε τη δύναμη της άνωσης που ασκεί το νερό της λίμνης
(πυκνότητα 1030 kg/m3) στον δύτη. b) Υπολογίστε την τάση στο
καλώδιο σε απόσταση χ από τον δύτη. Η δύναμη της άνωσης
πρέπει να περιληφθεί σε αυτόν τον υπολογισμό. c) Η ταχύτητα
των εγκάρσιων κυμάτων στο καλώδιο δίδεται από υ = {fJji
(Εξ. 19-13). Η ταχύτητα λοιπόν, μεταβάλλεται κατά μήκος του
καλωδίου, επειδή η τάση δεν είναι σταθερή. (Αυτή η έκφραση
αγνοεί τη δύναμη απόσβεσης που ασκεί το νερό στο κινούμενο
καλώδιο.) Υπολογίζοντας το κατάλληλο ολοκλήρωμα, βρείτε
τον χρόνο που απαιτείται για να φθάσει το πρώτο σήμα στην ε
πιφάνεια.
Ι/ι
ΣΧΗΜΑ 19-24