Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

Thienthi4784@yahoo.com | http://ebook.here.vn - Thư vi n sách tr c tuy n Trang 1
CHUYÊN ð TÍCH PHÂN
B ng công th c tích phân b t ñ nh :
∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=∫ ln
1
∫ += Cedxe xx
∫ = C
a
a
dxa
x
x
ln
∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos
∫ += Cxdx
x
tan
cos
1
2 ∫ +−= Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫ +=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫ +
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫ +++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax 222
ln
22
Phương pháp bi n s ph :
Cho hàm s )(xf liên t c trên ño n [ ]ba; có nguyên hàm là )(xF .
Gi s )(xu là hàm s có ñ o hàm và liên t c trên ño n [ ]βα, và có mi n giá tr là [ ]ba;
thì ta có :
[ ] [ ] CxuxFdxxuxuf +=∫ )()()('.)(
BÀI T P
Tính các tích phân sau :
a) ∫ +
=
1
0
21
1x
xdx
I b) ∫ −
=
1
0
2
1x
x
e
dxe
I c) ∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) ð t
2
212 dt
xdxxdxdtxt =⇒=⇒+=
ð i c n :



=→=
=→=
21
10
tx
tx
V y : 2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21 ===
+
= ∫ ∫ t
t
dt
x
xdx
I
b) ð t dxedtet xx
=⇒−= 1

ð i c n :



−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
V y : )1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫ et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x
c) ð t dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
ð i c n :



=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lư ng giác :
D ng 1 : ∫=
β
α
nxdxmxI cos.sin
Cách làm: bi n ñ i tích sang t ng .
D ng 2 : ∫=
β
α
dxxxI nm
.cos.sin
Cách làm :
N u nm, ch n . ð t xt tan=
N u m ch n n l . ð t xt sin= (trư ng h p còn l i thì ngư c l i)
D ng 3 : ∫ ++
=
β
α cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm :
ð t :






+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
D ng 4 : ∫ +
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
ð t :
xdxc
xdxcB
A
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c .
D ng 5: ∫ ++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3 −===
+
= ∫∫ tdtt
x
dxx
I
e

ð t :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcB
A
nxdxc
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
++
cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau ñó dùng ñ ng nh t th c.
BÀI T P
Tính tích phân :
a) ∫ +
=
2
0
41
)1(sin
cos
π
x
xdx
I b) ∫=
2
0
5
2 cos
π
xdxI c) ∫=
4
0
6
3 tan
π
xdxI
Bài làm :
a) ð t : xdxdtxt cos1sin =⇒+=
ð i c n :




=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
V y :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
41 =−==
+
= ∫∫ tt
dt
x
xdx
I
π
b) ð t : xdxdtxt cossin =⇒=
ð i c n :




=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
V y :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
2422
2
0
5
2
=





+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) ð t : dxxdtxt )1(tantan 2
+=⇒=
ð i c n :




=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
V y :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
64
0
6
3
π
π
π
−=−





+−=






+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI

a) ∫ +
=
2
0
22221
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I b) ∫ +
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ð t : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222
+−=⇒+=
ð i c n :





=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
N u ba ≠
V y : ( )
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
= ∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
2222
1
2
2
2
2
π
N u ba =
V y :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221
=−==
=
+
=
∫
∫∫
ππ
ππ
b) ð t : xdxdtxt cossin =⇒=
ð i c n :





=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
V y : ∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ð t : ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ð i c n :






=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut

V y :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
a) ∫ ++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I b) ∫ ++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ð t :
1
2
1
2
tan
2
tan 2
2
+
=⇒





+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ð i c n :




=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
V y :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+= ∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
tI
b)ð t :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng ñ ng nh t th c ta ñư c: 1,1,1 === CBA
V y :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=






++
+
++
−
+=
++
++
= ∫∫
ππ
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
B n ñ c t làm :
a) ∫=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I b) ∫=
2
0
3
2 sin.cos
π
xdxxI c) ∫ +
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I

c) ∫ +
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I d) ∫ ++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I d) ∫ ++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm h u t
D ng 1 :
( ) ( )
C
axnax
dx
I nn
+
−−
−=
−
= −∫ 1
1
.
1
1
v i ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :
N u Ran ∈= ,1 ta có : Cx
ax
dx
I +=
−
= ∫ ln
D ng 2 :
( )∫ ++
+
= dx
cbxax
x
I n2
βα
trong ñó :



<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcbaβα
* Giai ño n 1 : 0≠α ,làm xu t hi n t th c ñ o hàm c a tam th c cbxax ++2
,
sai khác m t s :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++






−+
++
+
=
++
−++
= nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2 α
βααα
β
α
* Giai ño n 2 :
Tính
( ) ( )∫∫
∆−
+
=
+
∆−






∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
12
.
4
* Giai ño n 3 :
Tính
( )∫ +
= dt
t
I n
1
1
2
có th tính b ng hai phương pháp , truy h i ho c ñ t φtan=t
D ng 3 :
( )
( )∫= dx
xQ
xP
I
n
m
Ta có :
( )
( ) 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
N u : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta th c hi n phép chia
( )
( ) ( )( ) ( )
( )xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+= − trong ñó
phân s
( )
( )xQ
xR
n
r
có ( ) ( )QR degdeg <
N u : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui t c sau :
*Qt 1: ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11
......
Vd 1a :
( )
( ) ( )∑
∏ =
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vd 1b :
( )
( )22
))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−

*Qt 2':
( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
212
11
2
11
2
...... v i 0<∆
*Qt 3:
( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
αα
Vd 1 :
( )
( ) ( )cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
−
=
++− 22
)( αα
Vd 2 :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
22
2
11
22
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
++
+
+
−
=
++− αα
BÀI T P
a) ∫ ++
=
1
0
21
23xx
dx
I b)
( )∫ ++
=
1
0
222
23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( ) ∫∫∫ 





+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
21
2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫∫ 





++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
222
21
2
2
1
1
1
23
( ) OKxx
xx
=



+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
a) ∫ ++
=
1
0
241
33xx
dx
I b)
( )( )∫ ++
−
=
1
0
22
21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* B n ñ c d dàng ch ng minh ñư c ∫ +=
+
= C
a
x
aax
dx
I arctan
1
220 v i 0>a
( )( ) dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫ ∫∫ 





+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
241
3
1
1
1
2
1
3133
( )329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=





−=
πx
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx

b) ð t :
( )( )
( ) ( )
( )( )12
22
1212
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có h :





=
=
−=
⇔





=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
V y :
( )( )∫ ∫ 





+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
222
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ] 9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−= xx
B n ñ c t làm :
a)
( )∫ −
+
=
3
2
21
1
1
dx
xx
x
I b) ∫ −+
=
5
2
22
32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I ∫ −
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d) ∫ +−
=
2
3
243
23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( ) 11
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
3132
1
2
+
+
−
=
−+ x
B
x
A
xx
c)
( )( )





−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
221123 24
−
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ð ng th c tích phân :
Mu n ch ng minh ñ ng th c trong tích phân ta thư ng dùng cách ñ i bi n s và nh n
xét m t s ñ c ñi m sau .
* C n tích phân , ch n l , tu n hoàn , c n trên + c n dư i, ….
Chúng ta c n ph i nh nh ng ñ ng th c n y và xem nó như 1 b ñ áp d ng.
BÀI T P
Ch ng minh r ng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
mnnm
Bài làm :
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI
nm
ð t : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1

ð i c n :



=→=
=→=
01
10
tx
tx
V y : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm
(ñpcm)
Ch ng minh r ng n u )(xf là hàm l và liên t c trên ño n [ ]aa,− thì :
( )∫−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét ( )∫−
0
a
dxxf . ð t dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ð i c n :



=→=
=→−=
00 tx
atax
V y : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Th vào (1) ta ñư c : 0=I (ñpcm)
Tương t b n ñ c có th ch ng minh : N u )(xf là hàm ch n và liên t c trên ño n
[ ]aa,− thì ( ) ( )∫ ∫−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho 0>a và ( )xf là hàm ch n , liên t c và xác ñ nh trên R .
Ch ng minh r ng :
( ) ( )∫ ∫−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
( )dx
a
xf
x∫−
+
0
1α
. ð t dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ð i c n :



=→=
=→−=
00 tx
tx αα
V y :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫ +
=
+
−
=
+ −
−
α α
α 0 0
0
111 t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫− −
+
+
+
=
+
α
α α
α0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx

Th vào (1) ta ñư c :
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫ =
+
+
+
=
+− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(ñpcm)
Cho hàm s ( )xf liên t c trên [ ]1,0 . Ch ng minh r ng :
( ) ( )∫ ∫=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét ( )∫
π
0
sin. dxxfx . ð t dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π
ð i c n :



=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
V y : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )∫ ∫−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( ) ( )dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
T bài toán trên , b n ñ c có th m r ng bài toán sau .
N u hàm s ( )xf liên t c trên [ ]ba, và ( ) ( )xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có :
( ) ( )∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm s ( )xf liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T .
Ch ng minh r ng : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
V y ta c n ch ng minh ( ) ( )∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét ( )∫
a
dxxf
0
. ð t dxdtTxt =⇒+=

ð i c n :



+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
V y : ( ) ( )∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay : ( ) ( )∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(ñpcm)
T bài toán trên , ta có h qu sau :
N u hàm s ( )xf liên t c,xác ñ nh , tu n hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn
có : ( ) ( )∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
B n ñ c t làm :
a) ( )∫ −=
1
0
6
1 1 dxxxI b) ( )∫−
++=
1
1
22
2 1lncos.sin dxxxxxI
c) ∫ +
=
π
0
23
cos49
sin.
dx
x
xx
I d) ∫ +
=
π
0
24
cos1
sin.
dx
x
xx
I
e) ∫
−
+
=
2
2
2
5
21
sin
π
π
dx
xx
I x
f) ∫−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g) ( )∫ ++=∗
π2
0
2
7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −=∗
π2009
0
8 2cos1
Tích phân t ng ph n :
Cho hai hàm s u và v có ñ o hàm liên t c trên ño n [ ]ba, , thì ta có :
[ ]∫ ∫−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân t ng ph n ta có nh ng ưu tiên sau :
*ưu tiên1: N u có hàm ln hay logarit thì ph i ñ t xu ln= hay xu alog= .
*ưu tiên 2 : ð t ??=u mà có th h b c.
BÀI T P

a) ∫=
1
0
1 . dxexI x
b) ∫=
2
0
2
2 cos.
π
xdxxI c) ∫=
e
xdxI
1
3 ln
Bài làm :
a) ð t :



=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv
dxduxu
V y : ( ) 11..
1
0
1
0
1
0
1
0
1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx
b) ð t :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
22
V y : ( )1sin.2
4
sin.2cos..
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1 ∫∫∫ −=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI x
Ta ñi tính tích phân ∫
2
0
sin.
π
xdxx
ð t :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
V y : 1sincos.coscos.sin. 2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−= ∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
4
8
.
21
0
1
−
== ∫
π
dxexI x
c) ð t :




=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
V y : 1ln.ln.ln 01
1
1
1
3 =−=−== ∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
a) ∫=
π
0
1 sin. xdxeI x
b) ∫=
4
0
22
cos
π
dx
x
x
I c) ( )∫=
π
e
dxxI
1
3 lncos
Bài làm :
a) ð t :



−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
cossin
V y : ( )∫∫ ++=+−==
π
ππ
π
0
0
0
1 11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI xxx

ð t :



=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu xx
sincos
V y : IxdxexexdxeJ xxx
−=−== ∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
2
1
12 11
+
=⇒+=
π
π e
IeI
b) ð t :




=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
V y : ( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
22 +=+=−== ∫∫
ππ π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) ð t :
( ) ( )




=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
V y : ( ) ( ) ( ) ( ) JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+== ∫∫ 1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
ð t :
( ) ( )




=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
V y : ( ) ( ) ( ) 3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−== ∫∫
π
π
π
Th vào (1) ta ñư c : ( ) 2
1
12 33
+
−=⇒+−=
π
π e
IeI
B n ñ c t làm :
a) ∫
−
=
2ln
0
1 . dxexI x
b) ( )∫ −=
e
dxxI
1
2
2 ln1
c) ∫ 





−=
2
23
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I d) ( )∫ ++=
1
0
2
4 1ln dxxxI
e) ( )∫=
3
4
5 tanln.sin
π
π
dxxxI f) ( )∫=
e
dxxI
1
2
6 lncos
g) ∫=∗
4
0
2
7 2cos
π
xxI h) ∫ +
+
=∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I x
Tích phân hàm tr tuy t ñ i, min , max :

Mu n tính ( )∫=
b
a
dxxfI ta ñi xét d u ( )xf trên ño n [ ]ba, , kh tr tuy t ñ i
Mu n tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,max ta ñi xét d u ( ) ( )xgxf − trên ño n [ ]ba,
Mu n tính ( ) ( )[ ]∫=
b
a
dxxgxfI ,min ta ñi xét d u ( ) ( )xgxf − trên ño n [ ]ba,
a) ∫ −=
4
1
1 2dxxI b) ∫ −+=
2
0
2
1 32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
V y : ( ) ( )
4
2
22
1
24
2
2
1
4
1
1 2
22
2222 





−+





−=++−=−= ∫∫∫ x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+











−−−=
b) L p b ng xét d u [ ]2,0,322
∈−+ xxx tương t ta ñư c
( ) ( )∫∫∫ −++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1 323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính ∫ −=
1
0
dxaxxIa v i a là tham s :
Bài làm :
x ∞− a ∞+
x-a - 0 +
(T b ng xét d u trên ta có th ñánh giá ).
N u 0≤a .
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1 =





++−+





−−=
x
xx
x
xxI

( )∫∫ −=





−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
N u 10 << a .
( ) ( )∫ ∫∫ −+−−=−=
a
a
a dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32132
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=





+−+





−=
N u 1≥a .
( )∫∫ +−=





−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxIa
Tính : a) ( )∫=
2
0
2
1 ,1min dxxI ( )∫=
3
0
2
2 ,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hi u s : ( ) [ ]2,01 2
∈∀− xx
V y : ( ) 3
4
3
,1min
2
1
2
0
32
1
1
0
2
2
0
2
1 =+=+== ∫∫∫ x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hi u s : ( ) [ ]3,01 ∈∀− xxx tương t như trên ta có .
( ) 6
55
32
,max
3
1
31
0
23
1
2
1
0
3
0
2
2 =+=+== ∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
B n ñ c t làm :
a) ( )∫−
−=
3
2
2
1 3,min dxxxI b) ( )∫=
2
0
2 cos,sinmax
π
dxxxI c) ∫ −=
4
3
0
3 cossin
π
dxxxI
d) ( )∫−
−=
3
2
2
4 34,max dxxxI d) ∫ 



 −−+−+=∗
5
1
4 1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân c a hàm s vô t :
Trong ph n n y ta ch nghiên c u nh ng trư ng h p ñơn gi n c a tích phân Abel
D ng 1: ( )∫ ++ dxcbxaxxR 2
, ñây ta ñang xét d ng h u t .














∆−
+
+
∆−
=++→



<∆
>
2
2 2
1
40
0 bax
a
cbxax
a
( ) ( )dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22
1,, T i ñây , ñ t ut tan= .

D ng 2:














∆−
+
−
∆−
=++→



<∆
<
2
2 2
1
40
0 bax
a
cbxax
a
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22
1,, T i ñây , ñ t ut sin= .
D ng 3:








−





∆−
+∆
=++→



>∆
>
1
2
40
0
2
2 bax
a
cbxax
a
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22
1,, T i ñây, ñ t
u
t
sin
1
= .
D ng 4 (d ng ñ c bi t) :
( ) ∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
M t s cách ñ t thư ng g p :
( )dxxaxS∫ − 22
, ñ t π≤≤= ttax 0cos.
( )dxxaxS∫ + 22
, ñ t
22
tan.
ππ
<<−= ttax
( )dxaxxS∫ − 22
, ñ t π
π
kt
t
a
x +≠=
2cos
( )dxcbxaxxS∫ ++2
, ñ t ( )






>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫ 







+
+m
dcx
bax
xS , ñ t 0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t m
Tính :
( )
∫
++
=
32
74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )
∫∫ += +
=
++ 2
3232
374 xt t
dt
xx
dx
ð t : ( )duudtut 1tan3tan3 2
+=⇒=
Ta có
( )
( )
∫∫ =
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
32
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
13
1
sin
3
1
22

Tính : a) ∫ ++
=
12
xx
xdx
I b) ∫ −−
=
122
xxx
dx
I
Bài làm :
a) ∫∫∫ +
=
+
−
=
+





+
=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
11 x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
( )
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+





+++++−++=
+++−+=
+
−
= ∫+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)ð t : 2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
= ∫∫
=
2
1
arcsin
1212 1
22
C
x
Cx +
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a) ∫ +++
= 3
11 xx
dx
I b) ∫ +++
=
11 xx
dx
I
Bài làm :
a)ð t : dxdttxtxt =⇒+=⇒+= 566
611
V y : ∫∫∫
+=+=






+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11 xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=
++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b) ∫ ∫∫∫
+
−







+=
+−+
=
+++
=
−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx ∫
+
−+=
Xét dx
x
x
∫
+1
ð t :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t 222
1
2
1
11
−
−=⇒
−
=⇒
+
=

V y :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a) ∫ += dxxxI 9. 22
b) ∫ += dxxxI 4.16 22
Bài làm :
a)ð t : dt
t
t
dx
t
t
xtxx 2
22
2
2
9
2
9
9
+
=⇒
−
=⇒−=+
V y :
( ) ( )
( )
( )
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+








+−
−+−−
+−
−=
+





−−−=





+−−=
−
−=
−





 −−





 +
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)ð t : dt
t
t
dx
t
t
xtxx 2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
( ) ( )
( )
( )
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+








+−
−+−+
+−
−=
+





−−−=





+−−=
−
−=
−





 −−





 +
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
a) ∫ −=
1
2
1
2
1 dxxxI b) ∫
−
− −
=
8
3
2
1
dx
xx
dx
I
Bài làm :
( )∫∫ −−=−=
1
2
1
2
1
2
1
2
1 121
2
1
dxxdxxxI

ð t : tdtdxtx cos
2
1
sin12 =⇒=−
ð i c n :






=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
V y : ( )
2
0
2
0
2
0
2
1 2sin
2
1
1
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
πππ






+=+== ∫∫ tdtttdtI
b) ð t : dxtdtxt =−⇒−= 21
ð i c n :



=→−=
=→−=
38
23
tx
tx
V y :
( ) ∫∫∫ −
=
−
=
−
=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1 t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
B n ñ c t làm :
a) ∫ +
=
121
xx
dx
I b) dxxxI ∫ −= 2
2 4 c)
( )
∫
+
=
32
3
4x
dx
I
d) ∫ += dxxI 2
4 1 d) ∫ −−
−+
=∗
dx
x
x
I
11
11
2
2
5 d) dx
x
I
11
1
2
6
++
=∗
B t ñ ng th c tích phân :
N u ( ) [ ] ( ) 0,0 ≥⇒∈∀≥ ∫ dxxfbaxxf
b
a
N u ( ) ( ) [ ] ( ) ( )dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
∫∫ ≥⇒∈∀≥ ,
N u ( ) [ ] ( ) ( ) ( )abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤ ∫,
Trong các trư ng h p n y ta thư ng dùng kh o sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bư c ch n sinx,cosx
BÀI T P
( )
16
000
28
1 ππ
=





+−





−=
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
=





−−=
+
−
−=
t
t

Ch ng minh các b t ñ ng th c sau :
a) ( )∫ ≤−
1
0
4
1
1 dxxx b)
2
1
15
2
2
1
2
≤
+
≤ ∫ dx
x
x
c) ( )∫ ≤−++
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp d ng AM-GM ta có :
( ) ( ) [ ]1,0
4
1
2
1
1
2
∈∀=


 −+
≤− x
xx
xx
V y : ( )
4
1
4
1
1
1
0
1
0
=≤−∫ ∫dxdxxx (ñpcm)
b) Xét hàm s : ( ) [ ]2,1
12
∈∀
+
= x
x
x
xf
ð o hàm :
( )
( )
( ) 


−=
=
⇔=′
+
−
=′
1
1
0
1
1
22
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
( )
( )





=
=
5
2
2
2
1
1
f
f
V y :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
≤
+
≤⇒
≤
+
≤⇒
∈∀≤
+
≤
∫
∫∫∫
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp d ng Bunhicopxki ta có :
[ ]1,02111111 22
∈∀=−+++≤−++ xxxxx
V y : ( ) ( )01211
1
0
−≤−++∫ dxxx
( )∫ ≤−++
1
0
211 dxxx (ñpcm)
Ch ng minh r ng :
e
dx
x
xe x
121
sin.
3
1
2
π
<
+∫
−

Bài làm :
[ ] e
exx x 1
13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀ −
( )∫∫ +
<
+
⇒
− 3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe
dx
x
xe x
Xét
( )∫ +
3
1
2
1
1
dx
xe
ð t : ( )dttdxtx 1tantan 2
+=⇒=
ð i c n :






=→=
=→=
3
3
4
1
π
π
tx
tx
Do ñó :
( )
( ) 121tan
1tan 3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
==
+
+
∫∫ e
dt
te
dtt
T ñó ta ñư c ñpcm.
B n ñ c t làm :
Ch ng minh r ng :
a)
10cos3516
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤ ∫ x
dx
b)
2
1sin
4
3 3
6
<< ∫
π
π
dx
x
x
c)
8
2
46
3
6
32
ππ
π
π
≤
−−
≤ ∫ xx
dx
d*
) Cho 2 hàm s liên t c : [ ] [ ] [ ] [ ]1,01,0:;1,01,0: →→ gf
Ch ng minh r ng : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ≤




 1
0
1
0
21
0
.. dxxgdxxfdxxgxf
M t s ng d ng c a tích phân thư ng g p :
1)Tính di n tích :
Cho hai hàm s ( ) ( )xfxf & liên t c trên ño n [ ]ba, . Di n tích hình ph ng gi i h n b i
các ñư ng là :
( ) ( )


=
=



=
=
xgy
bx
xfy
ax
;
ðư c tính như sau :
( ) ( )∫ −=
b
a
dxxgxfS
2)Tính th tích :
( )1
1
1
sin.
22
+
<
+
⇒
−
xex
xe x

N u di n tích ( )xS c a m t c t v t th do m t ph ng vuông góc v i tr c t a ñ , là
hàm s liên t c trên ño n [ ]ba, thì th tích v t th ñư c tính :
( )dxxfV
b
a
∫=
N u hàm s ( )xf liên t c trên [ ]ba, và (H) là hình ph ng gi i h n b i các ñư ng:
( )





=
==
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta ñư c 1 v t th tròn xoay . Lúc ñó th tích ñư c tính :
( )[ ] dxxfV
b
a
∫=
2
π
Tương t ta cũng có th tính th tích v t th quay quanh oy
3)Tính gi i h n :
( ) ( )dxxfxf
b
a
n
i
ii
n ∫∑ =∆
=
∞→
1
.lim ξ trong ñó



−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx ξ
T ñó ta xây d ng bài toán gi i h n như sau :
Vi t dãy s thành d ng : ∑=






=
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1
sau ñó l p phân ho ch ñ u trên [ ]1,0 , ch n
n
i
xii ==ξ ta có ( )∫∑ =





=
∞→
1
01
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính ñ dài cung ñư ng cong trơn:
N u ñư ng cong trơn cho b i phương trinh ( )xfy = thì ñ dài ñư ng cung nó ñư c tính
như sau :
( ) dxyl
b
a
∫ ′+=
2
1 v i ba, là hoành ñ các ñi m ñ u cung .
4)Tính t ng trong khai tri n nh th c Newton.
Tìm công th c t ng quát , ch n s li u thích h p,sau ñó dùng ñ ng nh t th c, bư c cu i
cùng là tính tích phân .
Hình1a hình1b

hình1c hình1d
BÀI T P
Tính di n tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình ñư ng tròn có d ng :
22222
xRyRyx −±=⇔=+
Do tính ñ i x ng c a ñ th nên : dxxRS
R
∫ −=
0
22
4
ð t : tdtRdxtRx cossin =⇒=
ð i c n :




=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx




=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
V y :
( )
( )dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
π
π
ππ
=





+=
+=−= ∫∫
Xét hình ch n phía dư i b i Parabol 2
xy = , phía trên b i ñư ng th ng ñi qua ñi m
A(1,4) và h s góc là k . Xác ñ nh k ñ hình ph ng trên có di n tích nh nh t .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình ñư ng th ng có d ng.
( ) 41 +−= xky
Phương trình hoành ñ giao ñi m .
( ) 0441 22
=−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghi m , gi s 21 xx <

V y di n tích là :
( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )*4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1




−+++++−−=






−++−=−+−= ∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
V i :
( ) ( ) ( )





−−=−+=−
−=
=+
44.4
4.
2
12
2
1
2
2
22
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Th vào ( )* ta ñư c :
( ) ( )
( )164164
6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
+−+−=




−+++−−+−=
kkkk
kkkkkkS
( ) ( )[ ] 34122
6
1
164
6
1 3232
≥+−=+−= kkk
V y : 34min =S khi 2=k
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng :




=
=
2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính ch t ñ i x ng c a ñ th mà ta ch c n xét 0>a
Xét :
( )( )





>
=
=++−
⇔





>
=
=
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
V i yx = ta ñư c :
( )
( )


=
=
⇔





>
=
=
lx
nax
a
xay
yx
0
0
2
V i 0=++ ayx ta ñư c :
( )
( )


=
=
⇔





>
=
=++
⇔





>
=
=++
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta l i có :








>
=
±=
⇔





>
=
=
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
V y di n tích c n tính là :
( )dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
=





−=






−=





−= ∫∫
B n ñ c t làm :
Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các ñư ng :
a)





=
=−+
=+−
2
01
013
x
yx
yx
b)





=
=
=
4
4
2
y
xy
xy
c) 0
0
2





=
=−+
=
y
yx
yx
d)





≠
=+
0,
12
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình v tương ng ↓↓↓
hình a hình b
hình c hình d

V i m i s nguyên dương n ta ñ t :
6
5555
...321
n
n
Sn
++++
=
Tính .lim
∞→n
nS
Bài làm :
5
1
5555
.
1
.......
3211






=














++





+





+





=
∑= n
i
n
n
n
nnnn
S
n
i
n
Xét hàm s ( ) [ ]1,05
∈∀= xxf .
Ta l p phân ho ch ñ u trên [ ]1,0 v i các ñi m chia :
1.....0 1210 =<<<<= − nn xxxxx và chi u dài phân ho ch
n
xxl ii
1
1 =−= −
Ch n
n
i
xii ==ξ ta có ( ) ( )
5
11
1 .
1
lim 





=− ∑∑ ==
−
∞→ n
i
n
fxx
n
i
n
i
iii
n
ζ
6
1
limlim
1
0
5
0
∫ ===⇒
∞→→
dxxSS
n
n
l
n
V i m i s nguyên dương n ta ñ t :
nnnnn
Sn
+
++
+
+
+
+
+
=
1
......
3
1
2
1
1
1
Tính .lim
∞→n
nS
Bài làm :












+
=












+
++
+
+
+
+
+
=
∑=
1
1
.
1
1
1
......
1
3
1
1
2
1
1
1
11
1
n
in
n
n
nnn
n
S
n
i
n
Xét hàm s ( ) [ ]1,0
1
1
∈∀
+
=
x
xf .
Ta l p phân ho ch ñ u trên [ ]1,0 v i các ñi m chia :

1.....0 1210 =<<<<= − nn xxxxx và chi u dài phân ho ch
n
xxl ii
1
1 =−= −
Ch n
n
i
xii ==ξ ta có ( ) ( )












+
=− ∑∑ ==
−
∞→
1
1
.
1
lim
11
1
n
in
fxx
n
i
n
i
iii
n
ζ
2ln1ln
1
limlim
1
0
1
00
=+=
+
==⇒ ∫∞→→
x
x
dx
SS
n
n
l
n

Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan

Ähnlich wie Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan (20)

Mehr von Marco Reus Le

Mehr von Marco Reus Le (20)

Chukienthuc.com cac-pp-tim-nguyen-ham-tich-phan