2. ¿Qué es una expresión algebraica?
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por las
operaciones de sumar, restar, multiplicar dividir y por paréntesis, por ejemplo:
3+2-𝒙𝟐 − 𝒙 o x-y-32-(x-𝒚𝟐 − 𝒚)
• Las letras representan valores que no conocemos y podemos considerarlas como la
generación de un número. Las llamaremos variables.
3. • Las expresiones algebraicas con un solo término se las conoce como monomios, por
ejemplo 2𝑥 . Las que tienen dos términos se les conoce como binomios, por
ejemplo
1
2𝑥𝑦
− 𝑥 + 𝑦 2. Las que tienen tres términos se les conoce como trinomios,
por ejemplo 3𝑎𝑥5
− 5𝑥2
− 1
Operaciones con expresiones algebraicas
Como las variables representan números reales, las propiedades de los números reales
pueden ser usadas para operar expresiones algebraicas con la idea de ir obteniendo
expresiones equivalentes pero más sencillas.
4. Valor numérico
• Si en una expresión algebraica sustituimos las letras (variables) por números,
lo que obtendremos será una expresión numérica. El resultado de esta
expresión es lo que llamamos “valor numérico” de la expresión algebraica
para esos valores de las variables.
Ejemplo:
3 𝑥2 -
1
3
𝑥2 ( 1- 𝑥) con 𝑥 € R
5. Ejemplo 1:
Las expresiones
𝑥2−1
𝑥2−1
, 𝑥 − 1 y x+1, x=1 son equivalentes porque
𝜒2−1
𝑥−1
=
9−1
3−1
=
8
2
= 4 si x=3 y x + 1 = 3 + 1 = 4 si x= 3
• Se observa que ambas toman el mismo valor y esto se
cumplirá para todo x diferente de 1, por lo tanto las dos
expresiones son equivalentes.
6. Suma y resta de expresiones algebraicas
• Se dice que dos términos son semejantes si son iguales salvo en el coeficiente
número, por ejemplo la expresión 2 𝑥 + 1 + 𝑥 + 1 tiene dos términos
semejantes.
En 𝑥 + 2𝑥2 + 3 × 𝑥 + 3𝑥2, sólo + 2𝑥2 y 3𝑥2 son términos semejantes,
no así 𝑥 y 3 × 𝑥 pues difieren algo más que su parte numérica.
8. • Determine 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 − 2𝑥2 − 5 × 𝑥 Simplifique tanto como sea posible
• Solución: Reescribimos la resta como una suma y luego quitamos los paréntesis
aplicando la propiedad distributiva:
𝑥2 − 3 𝑥 + 2 − 2𝑥2 − 5𝑥 − 𝑥 = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2 + 1 2𝑥2 − 5𝑥 − 𝑥
=𝑥2 − 3 𝑥 + 2 − 2𝑥2 + 5𝑥 − 𝑥
= 1 + −2 𝑥2 + 5𝑥 + 1 − 3 𝑥 + 2
=−𝑥2
+ 5𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝐱𝟐
𝐲 − 𝟐𝐱𝟐
son términos
semejantes .
Igualmente −𝟑 𝐱 𝐲 𝐱
Se suma algebraicamente los
coeficientes de términos
semejantes.
9. Multiplicación de expresiones algebraicas
• Para multiplicar expresiones algebraicas podemos proceder usando la propiedad
distributiva o bien si es el caso aplicando un producto notable de uso frecuente, los
cuales se aprenden de memoria.
Ejemplos:
a) 𝑥 + 3 𝑥 + 6 b) 𝑥 + 3 𝑥 − 4 c) 3𝑥2 − 2 3𝑥2 + 2
d) 𝑥2 + 1 − 2
2
Solución: a)Lo identificamos con el producto 1: 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + 𝑎 + 𝑏 𝑥 +
𝑎𝑏 en este caso 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 6 Así:
𝑥 + 3 𝑥 + 6 = 𝑥2 + 3 + 6 𝑥 + 3 ∗ 6 = 𝑥2 + 9𝑥 + 18
10. b) Este producto lo identificamos de nuevo con 1, en este caso 𝑎 = 3 y 𝑏 = −4
Tenemos entonces:
𝑥 + 3 𝑥 + 6 = 𝑥2
+ 3 + −4 𝑥 + 3 ∗ −4 = 𝑥2
− 𝑥 − 12
c) En este caso tenemos la forma 2. Aquí tenemos que tener amplitud y pensar en que
el nuevo 𝑥 es 3𝑥2 y 𝑎 = 2. De esta forma:
3𝑥2 − 2 3𝑥2 + 2 = 3𝑥2 2 − 22 = 32𝑥2 − 4 = 9𝑥2 − 4
d) La forma apropiada a aplicar es la 4 con 𝑥2 + 1 como el nuevo 𝑥 y 𝑎 = 2
Entonces tenemos:
𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝟐
𝟐
= 𝒙𝟐 + 𝟏
𝟐
− 𝟐 𝑿𝟐 + 𝟏 ∗ 𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝒙𝟐
+ 𝟏 − 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝟒
=𝒙𝟐
+ 𝟓 − 𝟒 𝒙𝟐 + 𝟏
11. Factorización
Dos expresiones que se multiplican se llaman factores. Por ejemplo, la expresión
𝑥 + 1 𝑥 − 2 está expresado como un producto donde 𝑥 + 1 y 𝑥 − 2 son los
factores. En ocasiones va a ser de suma importancia escribir una expresión como un
producto , este proceso de expresarlo como un producto se llama factorización. Por
ejemplo 𝑥2
−4 no es un producto pero sabemos que:
𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟐 = 𝒙𝟐
− 𝟒,
Aquí hemos factorizado la expresión 𝑥2 − 4 identificando con un producto notable.
En general buscamos que los factores sean polinomios de el grado menor del
polinomio original.
12. • Factor común: Esta técnica consiste en aplicar la propiedad distributiva en
forma inversa, por ejemplo:
𝒙𝒚 + 𝒙𝒂 = 𝒙 𝒚 + 𝒂
Ejemplo: Factorice completamente a)4𝑎2𝑥3 − 12𝑎
• En 4𝑎2𝑥3 − 12𝑎𝑥 tenemos dos términos en esta expresión. El primer
termino puede ser expresado como 4𝑎2𝑥3 = 4𝑎𝑎 × 𝑥2 . El segundo lo
podemos describir como 12𝑎𝑥 = 3 ∗ 4𝑎𝑥 . Podemos ver que 4𝑎𝑥 es un
factor común entre ambos términos
𝟒𝒂𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒂𝒙 = 𝟒𝒂 × 𝒂𝒙𝟐 − 𝟑
