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Mujica Manuela - Expresiones algebraicas.pdf

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  1. 1. Matemática Trayecto Inicial Expresiones Expresiones algebraicas algebraicas Manuela Mujica Sección IN114 Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco diciembre 2022
  2. 2. MANUELA MUJICA Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes. X + 4x X + 4x 2 - (3/x) 2 - (3/x) Coeficiente Operadores Paréntesis Exponente El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN ALGEBRAICA VALOR NUMÉRICO DE UNA VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA EXPRESIÓN ALGEBRAICA 2 2 Variable 2a 2a - - 3b 3b 2 2 3a 3a - b - b a=-6 b=2 a=-6 b=2 2 2 =3(-6) =3(-6) - 2 - 2 2 2 =3 =3 36 - 2 36 - 2 =108 - 2 =108 - 2 =106 =106 3a - 4b 3a - 4b =3 =3 2 - 4 2 - 4 3 3 =6 - 12 =6 - 12 =-6 =-6 a=2 b=3 a=2 b=3 EJEMPLOS EJEMPLOS Para resolverlo solo se debe sustituir por el valor numérico dado y realizar la operación indicada. EJEMPLOS EJEMPLOS . . . . . . . . Manuela Mujica Sección IN114
  3. 3. (x + x - 9) + (3x - 2x -6) (x + x - 9) + (3x - 2x -6) =x + x -9 +3x - 2x -6 =x + x -9 +3x - 2x -6 =4x - x - 15 =4x - x - 15 MANUELA MUJICA Dos o más monomios solo se pueden sumar si son monomios semejantes, es decir, si ambos monomios tienen una parte literal idéntica (mismas letras y mismos exponentes). Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio. Un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z), constantes (números enteros o fracciones) y exponentes (que solo pueden ser números positivos enteros). 12x 12x ; ; 5x 5x 12x + 5x 12x + 5x =17x =17x EJEMPLOS EJEMPLOS 3x 3x ; ; 6x 6x 3x + 6x 3x + 6x =9x =9x 2 2 2 2 2 2 2 2 SUMA DE MONOMIOS SUMA DE MONOMIOS POLINOMIOS POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS SUMA DE POLINOMIOS EJEMPLO EJEMPLO P(x)= x + x - 9 P(x)= x + x - 9 y y Q(x)= 3x - 2x -6 Q(x)= 3x - 2x -6 Un método es ordenar los polinomios de manera lineal, y sumar los términos que tienen partes literales idénticas. Los términos que no son semejantes no se pueden sumar. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4X 4X 2 2 -X -X -15 -15 Solo deben sumarse los coeficientes. 2 2 3m + 2mn - 5n 3m + 2mn - 5n ; ; 4mn - 2n 4mn - 2n ; ; m + 3mn - n m + 3mn - n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3m + 2mn - 5n + 4mn - 2n + m + 3mn - n 3m + 2mn - 5n + 4mn - 2n + m + 3mn - n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Sumar: Sumar: 4m + 9mn - 8n 4m + 9mn - 8n 2 2 2 2 2 2 Manuela Mujica Sección IN114
  4. 4. Para hacer la resta de dos polinomios se deben restar los términos de los polinomios que son semejantes. Es decir, la resta de polinomios consiste en restar los términos que tienen la misma parte literal. MANUELA MUJICA De P(x)= 6x + 2y De P(x)= 6x + 2y restar Q(x)= 4x-3y restar Q(x)= 4x-3y =(6x + 2y) - (4x-3y) =(6x + 2y) - (4x-3y) =6x + 2y - 4x + 3y =6x + 2y - 4x + 3y =2x + 5y =2x + 5y El resultado de la multiplicación de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los monomios y cuya parte literal se obtiene de multiplicar las variables que tienen la misma base, es decir, sumando sus exponentes. RESTA DE POLINOMIOS RESTA DE POLINOMIOS Se agrupan los polinomios de manera lineal, luego se cambia el signo de los términos del segundo paréntesis, y se agrupan los términos que tienen partes literales idénticas. EJEMPLOS EJEMPLOS 2x 2x 5y 5y MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Restar Restar P(m)=8m + 5n P(m)=8m + 5n de Q(m)= 6m-2n de Q(m)= 6m-2n =(8m + 5n) - (6m - 2n) =(8m + 5n) - (6m - 2n) =-8m - 5n + 6m - 2n =-8m - 5n + 6m - 2n =-2m - 7n =-2m - 7n 3x 3x 4x = 4x = =(3 =(3 4)x 4)x =12x =12x 5 5 2 2 5+2 5+2 7 7 6x 6x 7x = 7x = =(6 =(6 7)x 7)x =42x =42x 4 4 5 5 4+5 4+5 9 9 Si multiplicamos dos monomios con alguna potencia de base distinta, simplemente tenemos que multiplicar sus coeficientes entre sí y dejar las potencias igual. 5x 5x 3y = 3y = =(5 3)x y =(5 3)x y =15x y =15x y 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLO EJEMPLO . . . . . . . . . . . . Manuela Mujica Sección IN114
  5. 5. Para resolver la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada término del polinomio. MANUELA MUJICA (3x - 2x (3x - 2x + + 6x) 6x) =12x -8x + 24x =12x -8x + 24x -4x -4x (2x (2x - - 5x ) = 5x ) = =4x(2x =4x(2x - - 5x ) 5x ) =-4x =-4x 2x 2x - - 4x 4x (-5x ) (-5x ) =-8x =-8x + 20x + 20x Para hacer una multiplicación de polinomios se deben seguir los siguientes pasos: Multiplicar cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y luego, sumar (o restar) los monomios del mismo grado (monomios semejantes). x x3 3 2x 2x 3x 3x ) ) ( ( - 5x - 5x 2 2 4x 4x MULTIPLICACIÓN DE UN MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO POLINOMIO POR UN MONOMIO 2 2 3 3 2 2 4 4 3 3 . . =4x =4x 2 2 . . 3x 3x 3 3 + + 4x 4x 2 2 . . (-2x ) (-2x ) 2 2 4x 4x 2 2 + + . . 6x 6x 5 5 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 MULTIPLICACIÓN DE MULTIPLICACIÓN DE DOS POLINOMIOS DOS POLINOMIOS = = 4x 4x 2 2 + + . . ( ( ) ) + + 4x 4x 2 2 . . + +4x 4x 2 2 . . ) ) ( (- 5x - 5x 2 2 + + 4x 4x 2 2 . .2x 2x + + 3x 3x. . x x3 3 x x3 3 + + 3x 3x ) ) ( (- 5x - 5x 2 2 . . + + 3x 3x . . 2x 2x =4x - 20x + 8x + 3x - 15 + 6x =4x - 20x + 8x + 3x - 15 + 6x 5 5 4 4 3 3 4 4 3 3 2 2 Una vez hemos multiplicado los polinomios entre sí, tan solo tenemos que agrupar los términos resultantes que sean semejantes: =4x -20x + 8x + 3x =4x -20x + 8x + 3x - 15 + 6x - 15 + 6x 5 5 4 4 3 3 4 4 3 3 2 2 =4x - 17x - 7x + 6x =4x - 17x - 7x + 6x 5 5 4 4 3 3 2 2 EJEMPLOS EJEMPLOS EJEMPLO EJEMPLO Manuela Mujica Sección IN114
  6. 6. (1 + x) (2-x)= (1 + x) (2-x)= =1 =1 2 + 1 2 + 1 (-x) + x (-x) + x 2 + x 2 + x (-x) (-x) =2 - x + 2x - x =2 - x + 2x - x =2 + x - x =2 + x - x D(x) D(x) d(x) d(x) R(x) R(x) c(x) c(x) Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios multiplicandos no altera el resultado de la multiplicación. Propiedad asociativa: cuando se multiplican tres o más polinomios, el resultado del producto es el mismo independientemente de como se agrupen los factores: Propiedad distributiva: la suma de dos polinomios multiplicada por un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer polinomio. El grado del polinomio resultante de una multiplicación entre dos polinomios es igual a la suma de los grados de los dos polinomios que se estaban multiplicando. Propiedades de la multiplicación de polinomios: . . . . Dividendo: el polinomio que es dividido. Divisor: el polinomio que divide al dividendo. Cociente: el resultado de la división del dividendo entre el divisor. Resto (o residuo): el polinomio que sobra al realizar la división entre los dos polinomios. En una división polinomial intervienen 4 polinomios: DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS P(x) P(x) Q(x) = Q(x) Q(x) = Q(x) P(x) P(x) . . . . [P(x) [P(x) Q(x)] Q(x)] R(x) R(x) = P(x) = P(x) [Q(x) [Q(x) R(x)] R(x)] . . . . . . . . P(x) P(x) [Q(x) + R(x)] [Q(x) + R(x)] = P(x) = P(x) Q(x) + P(x) Q(x) + P(x) R(x) R(x) . . . . . . EJEMPLO EJEMPLO Multiplicación de dos polinomios 2 2 2 2 . . . . Cociente Divisor Diviendo Resto MANUELA MUJICA La división de dos monomios consiste en dividir sus coeficientes entre sí y sus partes literales entre sí, es decir, se dividen los coeficientes de los monomios y se restan los exponentes de las variables que tienen la misma base. 12x : 3x = 12x : 3x = EJEMPLO EJEMPLO 5 5 2 2 12x 12x 5 5 3x 3x2 2 =(12 : 3)x =(12 : 3)x5-2 5-2 = 4x = 4x3 3 Manuela Mujica Sección IN114
  7. 7. x + 4x + x + 4x + +12 +12 x x x-4 x-4 140 140 DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS A la izquierda escribimos el numerador de la fracción (polinomio dividendo) y a la derecha ponemos el denominador de la fracción (polinomio divisor): P(x) = x + 4x + 12 P(x) = x + 4x + 12 P(x) P(x) Q(x) Q(x) ? ? = = Q(x) = x - 4 Q(x) = x - 4 x-4 x-4 3 3 2 2 3 3 2 2 Si un polinomio no tiene un monomio de un determinado grado, se deja un espacio en su lugar. Para hallar el primer término del cociente tenemos que dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor: 3 3 x x x x = = 2 2 x + 4x + x + 4x + +12 +12 3 3 2 2 x-4 x-4 2 2 x x Se multiplica el término encontrado por cada elemento del divisor, y cada resultado se coloca debajo del dividendo cambiándole el signo: x + 4x + x + 4x + +12 +12 3 3 2 2 x-4 x-4 2 2 x x 3 3 x x 3 3 -x -x x + 4x + x + 4x + +12 +12 3 3 2 2 x-4 x-4 2 2 x x 2 2 -4x -4x 3 3 -x -x + 4x + 4x2 2 Una vez hemos colocado los resultados de las multiplicaciones con el signo contrario, debemos sumar los términos que están alineados verticalmente: x + 4x + x + 4x + +12 +12 3 3 2 2 2 2 x x + 8x + 32 + 8x + 32 3 3 -x -x + 4x + 4x + + 2 2 + 8x + 8x + + 2 2 + 12 + 12 Ahora tenemos que ir repitiendo el mismo procedimiento hasta que el polinomio dividendo sea de menor grado que el polinomio divisor. - 8x - 8x + + 32x 32x 2 2 + 32x + 32x + + 12 12 - 32x - 32x + + 128 128 grado 1 grado 0 Resultado: Cociente: Resto: 2 2 x x + 8x + 32 + 8x + 32 140 140 Propiedades de la división de polinomios: ✓El grado del polinomio dividendo siempre debe ser superior al grado del polinomio divisor. ✓El grado del polinomio dividendo es equivalente a la suma de los grados del divisor y del cociente. ✓El grado del resto siempre es menor que el grado del divisor (y por tanto también del dividendo). ✓El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto. Esta condición también se cumple en la división de números. MANUELA MUJICA grado D(x) > grado d(x) grado D(x) > grado d(x) grado D(x) = grado d(x) + grado c(x) grado D(x) = grado d(x) + grado c(x) grado R(x) < grado d(x) grado R(x) < grado d(x) D(x) = d(x) D(x) = d(x) c(x) + R(x) c(x) + R(x) . . Manuela Mujica Sección IN114
  8. 8. (6x + 2) (6x + 2) = (6x) + 2 = (6x) + 2 6x 6x 2 + 2 2 + 2 = x = x + x + x + 25 + 2x + 25 + 2x + 10x + 10x + 10x + 10x = x = x + 2x + 2x + 11x + 11x + 10x + 25 + 10x + 25 Binomio al cuadrado. Binomio al cubo. Binomios conjugados. Binomios con un termino común. Trinomio al cuadrado Trinomio al cubo Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica particular, sus diferentes formas de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Identidades notables (x + 5) (x - 5) = x - 5 (x + 5) (x - 5) = x - 5 = x - 25 = x - 25 2 2 2 2 2 2 (x - 2) (x - 2) = x - 2 = x - 2 x x 2 + 2 2 + 2 = x - 4x + 4 = x - 4x + 4 2 2 . . (x + 10) (x - 10) = (x ) - 10 (x + 10) (x - 10) = (x ) - 10 = x - 100 = x - 100 2 2 2 2 (x + 4) (x + 4) = x + 3 = x + 3 x x 4 + 3 4 + 3 x x 4 + 4 4 + 4 2 2 3 3 3 3 . . . . Binomio conjugados Binomio al cubo MANUELA MUJICA EJEMPLOS EJEMPLOS PRODUCTOS NOTABLES PRODUCTOS NOTABLES Son reglas matemáticas que permiten resolver de manera directa operaciones con polinomios (a + b) (a + b)2 2 (a + b) (a + b)3 3 (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + c) (a + b) (a + c) (a + b + c) (a + b + c)2 2 (a + b + c) (a + b + c)3 3 = 36x + 24x + 4 = 36x + 24x + 4 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . 2 2 2 2 2 2 . . 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 3 3 . . . . = x + 3 = x + 3 x x 4 + 3 4 + 3 x x 16 + 64 16 + 64 = x + 12x = x + 12x + 48x + 64 + 48x + 64 3 3 3 3 2 2 2 2 . . . . . . . . (x (x + x + 5) = + x + 5) = = (x = (x ) + x + 5 + 2 ) + x + 5 + 2 x x x + 2 x + 2 x x 5 + 2 5 + 2 x x 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 Binomio al cuadrado Trinomio al cuadrado Manuela Mujica Sección IN114
  9. 9. MANUELA MUJICA Trinomios cuadrados perfectos a a - - b b = (a+b) (a-b) = (a+b) (a-b) a a + + 2ab 2ab + + b = (a+b) b = (a+b) a a - - 2an 2an + + b = (a-b) b = (a-b) a a - - b = (a-b) (a b = (a-b) (a + ab + ab + b + b ) ) a a + + b = (a+b) (a b = (a+b) (a - ab + b - ab + b ) ) 2 2 a = 16x a = 16x → a = √(16x ) = 4x → a = √(16x ) = 4x b = 25y b = 25y → b = √(25y ) = 5y → b = √(25y ) = 5y 16x – 25y = (4x - 5y) (4x + 5y) 16x – 25y = (4x - 5y) (4x + 5y) 2 2 2 2 x + 10x + 25 x + 10x + 25 2 2 a = √x a = √x = = x x b = √25 = 5 b = √25 = 5 10x = 2⋅x⋅5 10x = 2⋅x⋅5 x + 10x + 25 = (x + 5) x + 10x + 25 = (x + 5) 2 2 Suma y diferencia de cubos Factorización por agrupación de términos 8x – 27 8x – 27 √8x √8x = 2x = 2x √27 = 3 √27 = 3 a = 2x a = 2x b = 3 b = 3 FACTORIZACIÓN FACTORIZACIÓN La factorización es el procedimiento algebraico mediante el cual se convierte una expresión algebraica en productos de términos más sencillos. De esta manera, se simplifican muchos cálculos. Fórmulas de factorización 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 16x – 25y 16x – 25y Diferencia de cuadrados 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Los tres primeros términos tienen “x” en común, pero el último no. Tampoco podemos decir que los coeficientes numéricos son múltiplos de un mismo factor. 3 3 3 3 3 3 8x – 27 = (2x–3)⋅[(2x) + 2x⋅3 + 3 8x – 27 = (2x–3)⋅[(2x) + 2x⋅3 + 3 ] ] = (2x–3)⋅(4x + 6x + 9) = (2x–3)⋅(4x + 6x + 9) 3 3 2 2 2 2 2 2 3x 3x + + 2x 2x + + 15x 15x + 10 + 10 (3x (3x + + 2x)+(15x + 10) 2x)+(15x + 10) x(3x + 2) + 5(3x + 2) x(3x + 2) + 5(3x + 2) (3x + 2) (x + 5) (3x + 2) (x + 5) 2 2 2 2 Manuela Mujica Sección IN114 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
  10. 10. Zapata, Fanny. (2020). Ejercicios de factorización resueltos. Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/ejercicios-de-factorizacion/ Polinomios.org (2022) Monomio. Recuperado de : https://www.polinomios.org/monomio/ Polinomios.org (2022). Polinomios. Recuperado de :https://www.polinomios.org/polinomios/ Polinomios.org (2022) División de Polinomios. Recuperado de : https://www.polinomios.org/division-de-polinomios-ejemplos-ejercicios- resueltos-dividir/ Matemáticas Profe Alex (2021) Factorización. Canal de Youtube: https://www.youtube.com/@MatematicasprofeAlex bibliografía bibliografía

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