Expresiones algebraicas. DIC 2022 Estudiante: Manuela Mujica IN0114 Prof: Wilmar Marrufo

1. Matemática Trayecto Inicial
Expresiones
Expresiones
algebraicas
algebraicas
Manuela Mujica
Sección IN114
Universidad Politécnica
Territorial Andrés Eloy Blanco
diciembre 2022

2. MANUELA MUJICA
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números
ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas
y volúmenes.
X + 4x
X + 4x 2 - (3/x)
2 - (3/x)
Coeficiente
Operadores Paréntesis
Exponente
El valor numérico de una expresión algebraica, para
un determinado valor, es el número que se obtiene al
sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las
operaciones indicadas
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
VALOR NUMÉRICO DE UNA
VALOR NUMÉRICO DE UNA
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
2
2
Variable
2a
2a -
- 3b
3b
2
2
3a
3a - b
- b
a=-6 b=2
a=-6 b=2
2
2
=3(-6)
=3(-6) - 2
- 2
2
2
=3
=3 36 - 2
36 - 2
=108 - 2
=108 - 2
=106
=106
3a - 4b
3a - 4b
=3
=3 2 - 4
2 - 4 3
3
=6 - 12
=6 - 12
=-6
=-6
a=2 b=3
a=2 b=3
EJEMPLOS
EJEMPLOS
Para resolverlo solo se debe sustituir por el valor
numérico dado y realizar la operación indicada.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
.
.
.
.
.
.
.
.
Manuela Mujica
Sección IN114

3. (x + x - 9) + (3x - 2x -6)
(x + x - 9) + (3x - 2x -6)
=x + x -9 +3x - 2x -6
=x + x -9 +3x - 2x -6
=4x - x - 15
=4x - x - 15
MANUELA MUJICA
Dos o más monomios solo se pueden sumar si
son monomios semejantes, es decir, si ambos
monomios tienen una parte literal idéntica
(mismas letras y mismos exponentes).
Si los monomios no son semejantes se obtiene
un polinomio.
Un polinomio puede tener más de una variable (x, y, z),
constantes (números enteros o fracciones) y
exponentes (que solo pueden ser números positivos
enteros).
12x
12x ;
; 5x
5x
12x + 5x
12x + 5x
=17x
=17x
EJEMPLOS
EJEMPLOS
3x
3x ;
; 6x
6x
3x + 6x
3x + 6x
=9x
=9x
2
2 2
2
2
2 2
2
SUMA DE MONOMIOS
SUMA DE MONOMIOS POLINOMIOS
POLINOMIOS
SUMA DE POLINOMIOS
SUMA DE POLINOMIOS
EJEMPLO
EJEMPLO
P(x)= x + x - 9
P(x)= x + x - 9 y
y Q(x)= 3x - 2x -6
Q(x)= 3x - 2x -6
Un método es ordenar los polinomios de manera lineal, y
sumar los términos que tienen partes literales idénticas.
Los términos que no son semejantes no se pueden sumar.
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
4X
4X
2
2
-X
-X
-15
-15
Solo deben sumarse los coeficientes.
2
2
3m + 2mn - 5n
3m + 2mn - 5n ;
; 4mn - 2n
4mn - 2n ;
; m + 3mn - n
m + 3mn - n
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
3m + 2mn - 5n + 4mn - 2n + m + 3mn - n
3m + 2mn - 5n + 4mn - 2n + m + 3mn - n
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
Sumar:
Sumar:
4m + 9mn - 8n
4m + 9mn - 8n
2
2
2
2
2
2
Manuela Mujica
Sección IN114

4. Para hacer la resta de dos polinomios se deben
restar los términos de los polinomios que son
semejantes.
Es decir, la resta de polinomios consiste en restar
los términos que tienen la misma parte literal.
MANUELA MUJICA
De P(x)= 6x + 2y
De P(x)= 6x + 2y restar Q(x)= 4x-3y
restar Q(x)= 4x-3y
=(6x + 2y) - (4x-3y)
=(6x + 2y) - (4x-3y)
=6x + 2y - 4x + 3y
=6x + 2y - 4x + 3y
=2x + 5y
=2x + 5y
El resultado de la multiplicación de dos monomios es otro
monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes
de los monomios y cuya parte literal se obtiene de
multiplicar las variables que tienen la misma base, es decir,
sumando sus exponentes.
RESTA DE POLINOMIOS
RESTA DE POLINOMIOS
Se agrupan los polinomios de manera lineal, luego se cambia
el signo de los términos del segundo paréntesis, y se agrupan
los términos que tienen partes literales idénticas.
EJEMPLOS
EJEMPLOS
2x
2x
5y
5y
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Restar
Restar P(m)=8m + 5n
P(m)=8m + 5n
de Q(m)= 6m-2n
de Q(m)= 6m-2n
=(8m + 5n) - (6m - 2n)
=(8m + 5n) - (6m - 2n)
=-8m - 5n + 6m - 2n
=-8m - 5n + 6m - 2n
=-2m - 7n
=-2m - 7n
3x
3x 4x =
4x =
=(3
=(3 4)x
4)x
=12x
=12x
5
5 2
2
5+2
5+2
7
7
6x
6x 7x =
7x =
=(6
=(6 7)x
7)x
=42x
=42x
4
4 5
5
4+5
4+5
9
9
Si multiplicamos dos monomios con alguna potencia de
base distinta, simplemente tenemos que multiplicar sus
coeficientes entre sí y dejar las potencias igual.
5x
5x 3y =
3y =
=(5 3)x y
=(5 3)x y
=15x y
=15x y
2
2 4
4
2
2
2
2
4
4
4
4
EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
EJEMPLO
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Manuela Mujica
Sección IN114

5. Para resolver la multiplicación de un monomio por
un polinomio se multiplica el monomio por cada
término del polinomio.
MANUELA MUJICA
(3x - 2x
(3x - 2x +
+ 6x)
6x)
=12x -8x + 24x
=12x -8x + 24x
-4x
-4x (2x
(2x -
- 5x ) =
5x ) =
=4x(2x
=4x(2x -
- 5x )
5x )
=-4x
=-4x 2x
2x -
- 4x
4x (-5x )
(-5x )
=-8x
=-8x + 20x
+ 20x
Para hacer una multiplicación de polinomios se deben seguir los
siguientes pasos: Multiplicar cada término del primer polinomio
por todos los términos del segundo polinomio y luego, sumar (o
restar) los monomios del mismo grado (monomios semejantes).
x
x3
3
2x
2x
3x
3x )
) (
( - 5x
- 5x
2
2
4x
4x
MULTIPLICACIÓN DE UN
MULTIPLICACIÓN DE UN
POLINOMIO POR UN MONOMIO
POLINOMIO POR UN MONOMIO
2
2 3
3 2
2
4
4 3
3
.
.
=4x
=4x
2
2
.
. 3x
3x
3
3
+
+ 4x
4x
2
2
.
. (-2x )
(-2x )
2
2
4x
4x
2
2
+
+ .
. 6x
6x
5
5
3
3 2
2
3
3 2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
MULTIPLICACIÓN DE
MULTIPLICACIÓN DE
DOS POLINOMIOS
DOS POLINOMIOS
=
=
4x
4x
2
2
+
+ .
.
(
( )
)
+
+
4x
4x
2
2
.
. +
+4x
4x
2
2
.
. )
)
(
(- 5x
- 5x
2
2
+
+ 4x
4x
2
2
.
.2x
2x +
+ 3x
3x.
. x
x3
3
x
x3
3
+
+ 3x
3x )
)
(
(- 5x
- 5x
2
2
.
. +
+ 3x
3x .
. 2x
2x
=4x - 20x + 8x + 3x - 15 + 6x
=4x - 20x + 8x + 3x - 15 + 6x
5
5 4
4 3
3 4
4 3
3 2
2
Una vez hemos multiplicado los polinomios entre sí, tan solo tenemos
que agrupar los términos resultantes que sean semejantes:
=4x -20x + 8x + 3x
=4x -20x + 8x + 3x - 15 + 6x
- 15 + 6x
5
5 4
4 3
3 4
4 3
3 2
2
=4x - 17x - 7x + 6x
=4x - 17x - 7x + 6x
5
5 4
4 3
3 2
2
EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
EJEMPLO
Manuela Mujica
Sección IN114

6. (1 + x) (2-x)=
(1 + x) (2-x)=
=1
=1 2 + 1
2 + 1 (-x) + x
(-x) + x 2 + x
2 + x (-x)
(-x)
=2 - x + 2x - x
=2 - x + 2x - x
=2 + x - x
=2 + x - x D(x)
D(x) d(x)
d(x)
R(x)
R(x) c(x)
c(x)
Propiedad conmutativa: el orden de los polinomios multiplicandos
no altera el resultado de la multiplicación.
Propiedad asociativa: cuando se multiplican tres o más polinomios,
el resultado del producto es el mismo independientemente de
como se agrupen los factores:
Propiedad distributiva: la suma de dos polinomios multiplicada por
un tercero es igual a la suma de cada sumando por el tercer
polinomio.
El grado del polinomio resultante de una multiplicación entre dos
polinomios es igual a la suma de los grados de los dos polinomios
que se estaban multiplicando.
Propiedades de la multiplicación de polinomios:
.
. .
.
Dividendo: el polinomio que es dividido.
Divisor: el polinomio que divide al dividendo.
Cociente: el resultado de la división del dividendo entre el divisor.
Resto (o residuo): el polinomio que sobra al realizar la división entre
los dos polinomios.
En una división polinomial intervienen 4 polinomios:
DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS
DIVISIÓN DE DOS MONOMIOS
P(x)
P(x) Q(x) = Q(x)
Q(x) = Q(x) P(x)
P(x)
.
. .
.
[P(x)
[P(x) Q(x)]
Q(x)] R(x)
R(x) = P(x)
= P(x) [Q(x)
[Q(x) R(x)]
R(x)]
.
. .
. .
. .
.
P(x)
P(x) [Q(x) + R(x)]
[Q(x) + R(x)] = P(x)
= P(x) Q(x) + P(x)
Q(x) + P(x) R(x)
R(x)
.
. .
. .
.
EJEMPLO
EJEMPLO Multiplicación de dos polinomios
2
2
2
2
.
. .
.
Cociente
Divisor
Diviendo
Resto
MANUELA MUJICA
La división de dos monomios consiste en dividir sus
coeficientes entre sí y sus partes literales entre sí, es decir,
se dividen los coeficientes de los monomios y se restan los
exponentes de las variables que tienen la misma base.
12x : 3x =
12x : 3x =
EJEMPLO
EJEMPLO
5
5 2
2 12x
12x
5
5
3x
3x2
2
=(12 : 3)x
=(12 : 3)x5-2
5-2
= 4x
= 4x3
3
Manuela Mujica
Sección IN114

7. x + 4x +
x + 4x + +12
+12
x
x
x-4
x-4
140
140
DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS
DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS
A la izquierda escribimos el numerador de la fracción (polinomio
dividendo) y a la derecha ponemos el denominador de la fracción
(polinomio divisor):
P(x) = x + 4x + 12
P(x) = x + 4x + 12 P(x)
P(x)
Q(x)
Q(x)
?
?
=
=
Q(x) = x - 4
Q(x) = x - 4
x-4
x-4
3
3 2
2
3
3 2
2 Si un polinomio no tiene un monomio
de un determinado grado, se deja un
espacio en su lugar.
Para hallar el primer término del cociente tenemos que dividir el
primer término del dividendo entre el primer término del divisor:
3
3
x
x
x
x
=
=
2
2 x + 4x +
x + 4x + +12
+12
3
3 2
2
x-4
x-4
2
2
x
x
Se multiplica el término encontrado por cada elemento del
divisor, y cada resultado se coloca debajo del dividendo
cambiándole el signo:
x + 4x +
x + 4x + +12
+12
3
3 2
2
x-4
x-4
2
2
x
x
3
3
x
x
3
3
-x
-x
x + 4x +
x + 4x + +12
+12
3
3 2
2
x-4
x-4
2
2
x
x
2
2
-4x
-4x
3
3
-x
-x + 4x
+ 4x2
2
Una vez hemos colocado los resultados de las multiplicaciones
con el signo contrario, debemos sumar los términos que están
alineados verticalmente:
x + 4x +
x + 4x + +12
+12
3
3 2
2
2
2
x
x + 8x + 32
+ 8x + 32
3
3
-x
-x + 4x
+ 4x +
+
2
2
+ 8x
+ 8x +
+
2
2
+ 12
+ 12
Ahora tenemos que ir repitiendo el
mismo procedimiento hasta que el
polinomio dividendo sea de menor
grado que el polinomio divisor.
- 8x
- 8x +
+ 32x
32x
2
2
+ 32x
+ 32x +
+ 12
12
- 32x
- 32x +
+ 128
128
grado 1
grado 0
Resultado:
Cociente:
Resto:
2
2
x
x + 8x + 32
+ 8x + 32
140
140
Propiedades de la división de polinomios:
✓El grado del polinomio dividendo siempre debe ser superior al
grado del polinomio divisor.
✓El grado del polinomio dividendo es equivalente a la suma de
los grados del divisor y del cociente.
✓El grado del resto siempre es menor que el grado del divisor (y
por tanto también del dividendo).
✓El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más
el resto. Esta condición también se cumple en la división de
números.
MANUELA MUJICA
grado D(x) > grado d(x)
grado D(x) > grado d(x)
grado D(x) = grado d(x) + grado c(x)
grado D(x) = grado d(x) + grado c(x)
grado R(x) < grado d(x)
grado R(x) < grado d(x)
D(x) = d(x)
D(x) = d(x) c(x) + R(x)
c(x) + R(x)
.
.
Manuela Mujica
Sección IN114

8. (6x + 2)
(6x + 2) = (6x) + 2
= (6x) + 2 6x
6x 2 + 2
2 + 2
= x
= x + x
+ x + 25 + 2x
+ 25 + 2x + 10x
+ 10x + 10x
+ 10x
= x
= x + 2x
+ 2x + 11x
+ 11x + 10x + 25
+ 10x + 25
Binomio al cuadrado.
Binomio al cubo.
Binomios conjugados.
Binomios con un termino común.
Trinomio al cuadrado
Trinomio al cubo
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno
con su característica particular, sus diferentes formas de resolver y con
distintas reglas que cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Identidades notables
(x + 5) (x - 5) = x - 5
(x + 5) (x - 5) = x - 5
= x - 25
= x - 25
2
2
2
2
2
2
(x - 2)
(x - 2) = x - 2
= x - 2 x
x 2 + 2
2 + 2
= x - 4x + 4
= x - 4x + 4
2
2
.
.
(x + 10) (x - 10) = (x ) - 10
(x + 10) (x - 10) = (x ) - 10
= x - 100
= x - 100
2
2 2
2
(x + 4)
(x + 4) = x + 3
= x + 3 x
x 4 + 3
4 + 3 x
x 4 + 4
4 + 4
2
2
3
3
3
3 .
.
.
.
Binomio conjugados
Binomio al cubo
MANUELA MUJICA
EJEMPLOS
EJEMPLOS
PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
Son reglas matemáticas que permiten resolver de manera
directa operaciones con polinomios
(a + b)
(a + b)2
2
(a + b)
(a + b)3
3
(a + b) (a + b)
(a + b) (a + b)
(a + b) (a + c)
(a + b) (a + c)
(a + b + c)
(a + b + c)2
2
(a + b + c)
(a + b + c)3
3
= 36x + 24x + 4
= 36x + 24x + 4
2
2 2
2 2
2
2
2
.
. .
. 2
2 2
2
2
2
.
.
2
2 2
2
4
4
2
2
2
2 3
3
.
. .
.
= x + 3
= x + 3 x
x 4 + 3
4 + 3 x
x 16 + 64
16 + 64
= x + 12x
= x + 12x + 48x + 64
+ 48x + 64
3
3
3
3
2
2
2
2
.
. .
. .
. .
.
(x
(x + x + 5) =
+ x + 5) =
= (x
= (x ) + x + 5 + 2
) + x + 5 + 2 x
x x + 2
x + 2 x
x 5 + 2
5 + 2 x
x 5
5
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
.
. .
. .
. .
. .
. .
.
4
4
4
4 3
3
2
2 3
3 2
2
2
2
Binomio al cuadrado
Trinomio al cuadrado
Manuela Mujica
Sección IN114

9. MANUELA MUJICA
Trinomios cuadrados perfectos
a
a -
- b
b = (a+b) (a-b)
= (a+b) (a-b)
a
a +
+ 2ab
2ab +
+ b = (a+b)
b = (a+b)
a
a -
- 2an
2an +
+ b = (a-b)
b = (a-b)
a
a -
- b = (a-b) (a
b = (a-b) (a + ab
+ ab + b
+ b )
)
a
a +
+ b = (a+b) (a
b = (a+b) (a - ab + b
- ab + b )
)
2
2
a = 16x
a = 16x → a = √(16x ) = 4x
→ a = √(16x ) = 4x
b = 25y
b = 25y → b = √(25y ) = 5y
→ b = √(25y ) = 5y
16x – 25y = (4x - 5y) (4x + 5y)
16x – 25y = (4x - 5y) (4x + 5y)
2
2
2
2
x + 10x + 25
x + 10x + 25
2
2
a = √x
a = √x =
= x
x
b = √25 = 5
b = √25 = 5
10x = 2⋅x⋅5
10x = 2⋅x⋅5
x + 10x + 25 = (x + 5)
x + 10x + 25 = (x + 5)
2
2
Suma y diferencia de cubos Factorización por
agrupación de términos
8x – 27
8x – 27
√8x
√8x = 2x
= 2x
√27 = 3
√27 = 3
a = 2x
a = 2x
b = 3
b = 3
FACTORIZACIÓN
FACTORIZACIÓN
La factorización es el procedimiento algebraico mediante el cual
se convierte una expresión algebraica en productos de términos
más sencillos. De esta manera, se simplifican muchos cálculos.
Fórmulas de factorización
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
16x – 25y
16x – 25y
Diferencia de cuadrados
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Los tres primeros términos
tienen “x” en común, pero el
último no. Tampoco podemos
decir que los coeficientes
numéricos son múltiplos de un
mismo factor.
3
3
3
3
3
3
8x – 27 = (2x–3)⋅[(2x) + 2x⋅3 + 3
8x – 27 = (2x–3)⋅[(2x) + 2x⋅3 + 3 ]
]
= (2x–3)⋅(4x + 6x + 9)
= (2x–3)⋅(4x + 6x + 9)
3
3
2
2
2
2 2
2
3x
3x +
+ 2x
2x +
+ 15x
15x + 10
+ 10
(3x
(3x +
+ 2x)+(15x + 10)
2x)+(15x + 10)
x(3x + 2) + 5(3x + 2)
x(3x + 2) + 5(3x + 2)
(3x + 2) (x + 5)
(3x + 2) (x + 5)
2
2
2
2
Manuela Mujica
Sección IN114
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2

10. Zapata, Fanny. (2020). Ejercicios de factorización resueltos. Lifeder.
Recuperado de https://www.lifeder.com/ejercicios-de-factorizacion/
Polinomios.org (2022) Monomio. Recuperado de :
https://www.polinomios.org/monomio/
Polinomios.org (2022). Polinomios. Recuperado de
:https://www.polinomios.org/polinomios/
Polinomios.org (2022) División de Polinomios. Recuperado de :
https://www.polinomios.org/division-de-polinomios-ejemplos-ejercicios-
resueltos-dividir/
Matemáticas Profe Alex (2021) Factorización. Canal de Youtube:
https://www.youtube.com/@MatematicasprofeAlex
bibliografía
bibliografía