卒研発表のスライド：フルビッツ安定

多項式のフルビッツ安定性
山本・森・駒田
関川研究室
December 18, 2019
山本・森・駒田多項式のフルビッツ安定性

フルビッツ多項式
定義 : フルビッツ多項式
多項式
P(s) = P0 + P1S + ... + PnSn
(1)
について、全ての根が複素平面の左側にあるとき
P(s) を、フルビッツ多項式という。

フルビッツ多項式の性質
1 P(s) が実フルビッツ多項式ならば、
全ての係数は非零かつ同符号
2 P(s) が n 次フルビッツ多項式ならば、
P(iω) の偏角 arg[P(iω)] は連続かつ (−∞, ∞) で狭義単調増
加する ω の関数。さらにその増加量は、
arg[P(+i∞)] − arg[P(−i∞)] = nπ (2)

多項式 P(s) について、以下の多項式を定義する
定義
Peven
(s) := p0 + p2s2
+ p4s4
+ ... + (3)
Podd
(s) := p1s + p3s3
+ p5s5
+ ... + (4)
Pe
(ω) := Peven
(iω) (5)
Po
(ω) :=
Podd(iω)
iω
(6)

定義 : 隔離性
P2n と P2n−1 が同符号
Pe(ω) と Po(ω) の根はすべて実数で、Pe(ω) の m 個の正根
と Po(ω) の m − 1 個の正根は、
0 < ωe,1 < ωo,1 < ωe,2 < ... < ωe,m < ωo,m (7)
のように隔離される。

フルビッツ安定
隔離定理, エルミートビーラーの定理
実多項式 P(S) がフルビッツ安定であることと、隔離性を満たす
ことは同値

ことは同値
⇒証明
P(s) がフルビッツ安定ならば、Peven(s) と Podd(s) の最高次係数
が同符号であることは明らか。また、P(s) の全ての係数を正、
n = 2m とする。性質 1.2 より、arg[P(iω)] は競技単調増加。
P(s) の根は実軸に対して対称なので、ω が −ω から 0,0 から +∞
まで増加するときの偏角の増加は等しく
nπ
2
であり、P(0) は
P0 > 0 より正の実数である。

ことは同値
⇒証明
従って、P(iω) は ω : 0 → +∞ で原点を
nπ
2
だけ回転し、
P(iω) = /0 からその間に原点を通らない。よって、虚軸上を m
回横切らなければならないので、そのとき実部は 0 となる。この
ときの ω を
ωR,1, ωR,2, ..., ωR,m (8)
とおく。

ことは同値
⇒証明
同様に、P(iω) は実軸上を m − 1 回横切るので、そのとき虚部は
0 となる。ω = 0 も含めて、このときの ω を,
0, ωI,1, ωI,2, ..., ωI,m−1 (9)
とおく。さらに、P(iω) は原点の周りを回転するので、明らかに、
0 < ωR,1 < ωI,1 < ωR,2 < ωI,2, ..., < ωR,m−1 < ωI,m−1 < ωn,m
(10)
であるから、Pe(ω) と Po(ω) の正の根は隔離される。

ことは同値
⇐ 証明
P(s) がインターレース性を満たし、次数が n = 2m かつ
P2m, P2m−1 がどちらも正と仮定する。Pe(ω) と Po(ω) の根は、
0 < ωP
e,1 < ωP
o,1 < ωP
e,2 < ... < ωP
e,m < ωP
o,m (11)
とする。ここから、
Pe
(ω) = P2m
m∏
i=1
(ω2
− (ωP
e,i)2
) (12)
Po
(ω) = P2m−1
m−1∏
i=1
(ω2
− (ωP
o,i)2
) (13)

ことは同値
⇐ 証明
次数が 2m で係数が全て正である安定な多項式 Q(s) を考える。
例えば、Q(s) = (s + 1)2m をとろう。いずれにせよ
Q(s) = q1 + q1s + q2s2
+ ... + q2ms2m
(14)
Q(s) は安定なので、定理前半から Q(s) はインターレース性を満
たし、Qe(ω) は m 個の正の根 ωQ
e,1, ..., ωQ
e,m を持ち、Qo(ω) は
m − 1 個の正の根 ωQ
o,1, ..., ωQ
o,m−1 を持ち、
0 < ωQ
e,1 < ωQ
o,1 < ωQ
e,2 < ... < ωQ
e,m < ωQ
o,m (15)

ことは同値
⇐ 証明
故に、
Qe
(ω) = q2m
m∏
i=1
(ω2
− (ωQ
e,i)2
) (16)
Qo
(ω) = q2m−1
m−1∏
i=1
(ω2
− (ωQ
o,i)2
) (17)

ことは同値
⇐ 証明
ここで、
Pe
λ(ω) := [(1 − λ)q2m + λp2m]
m∏
i=1
{ω2
−
[
(1 − λ)(ωQ
e1)2
+ λ(ω2
e,i)2
]
}
Po
λ(ω) := [(1 − λ)q2m−1 + λp2m−1]
m∏
i=1
{
ω2
−
[
(1 − λ)(ωQ
o1)2
+ λ(ω2
o,i)

ことは同値
⇐ 証明
で定義される Pλ(s) := Peven
λ (s) + SPodd
λ を考える。明らかに、
Pλ(s) の係数は λ の多項式関数であり、[0, 1] で連続さらに,Pλ(s)
の最高次係数は (1 − λ)q2m + λP2m であり、λ が 0 から 1 に変化
しても常に正。λ = 0 なら Po(s) = Q(s),λ = 1 なら P1(s) = P(s)
P(s) がフルビッツ安定でないとすると、境界横断定理より、
(0, 1] に P2 が虚軸上の根を持つような λ が存在する。

途中

左半平面あるいは、実多項式のフルビッツ安定の問題を解き、イ
ンターレース定理、従って境界交差定理に基づく、初頭の試験手
順へ発展させる。この手順はよく知られるラウスの試験に同等で
あると判明する。n 次の実多項式公式
P(s) = p0 + p1s + ... + pnsn
(18)
pi > 0, i = 0, ..., n (19)
P(s) を指数の偶奇により、
P(s) = Peven
(s) + Podd
(s) (20)
に分解できるとする。

n − 1 次の多項式 (n = 2m の場合)
Q(s) =
[
Peven
(s) −
P2m
P2m−1
sPodd
(s)
]
+ Podd
(s) (21)
(n = 2m + 1 の場合)
Q(s) =
[
Podd
(s) −
P2m+1
P2m
sPeven
(s)
]
+ Peven
(s) (22)
と定義する。
µ =
Pn
Pn−1
(23)
を用いて、
Q(s) = Pn−1Sn−1
+ (Pn−2 − µPn−3)Sn−2
+ Pn−2Sn−3
+(Pn−4 − µPn−5)Sn−4
+ ...+

補題 1.4
P(s) が全て正係数のとき、P(S) が安定⇔ Q(s) が安定
証明
たとえば、n = 2m とし、インターレース定理を使うとすると、
(a)P(s) = p0 + ... + p2ms2m が安定なので、インターレース定理
を満たすと仮定する。
0 < ωe,1 < ωo,1 < ωe,2 < ... < ωe,m < ωo,m (24)
を Pe(ω) と Po(ω) のインターレース根とする。

補題 1.4
証明
(1.56) より、Qe(ω), Qo(ω) はそれぞれ
Qe
(ω) = Pe
(ω) + µω2
Pe
(ω), µ =
P2m
P2m−1
(25)
Qo
(ω) = Po
(ω) (26)
で与えられる。このことから、Qo(ω) が要する数の正の根、つま
り、Po(ω) の m − 1 個の根があることがすでに結論付けられる。

補題 1.4
証明
また、Qe(s) の形から、
Qe
(0) = Pe
(0) > 0 (27)
Qe
(ω0,1) = Pe
(ω0,1) < 0 (28)
... (29)
Qe
(ω0,m−2) = Pe
(ω0,m−2)...(−1)m−2
(30)
Qe
(ω0,m−1) = Pe
(ω0,m−1)...(−1)m−1
(31)
と推定できる。故に、Qe(ω) には m − 1 個の正の根
ω′
e,1, ω′
e,2, ..., ω′
e,m−1 があり、Qo(ω) の根と交錯することが確立さ
れる。さらに、Qe(ω) は ω2 の次数が m − 1 なので、持ちうる正
の根は唯一である。

補題 1.4
証明
最後に、Qo(ω) の最後の根 ωe,m−1 で Qe(ω) の符号は (−1)m−1 と
同じであるとわかる。しかし、Qe(ω) の最高係数は
q2m−2(1
)m−1
(32)
に過ぎない。この q2m−2 は q2m−1 = p2m−1 と同様に厳密に正でな
くてはならない。そうでなければ、Qe(ω) は ωo,m−1 から +∞ の
間の符号変化を再び引き起こし、Qe(ω) が m 個の正の根を持つこ
とに矛盾する。(一方、それは ω2 の次数が m − 1 の多項式) 従っ
て、P(s) が安定ならば、インターレースの特性を満たし、安定
する。

補題 1.4
証明
(b) 逆に、Q(s) が安定ならば、
P(s) = [Qe
(s) + µsQe
(s)] + Qo
(s), µ =
p2m
p2m−1
(33)
と書ける。(a) と同じ推論により、Po(ω) には既に必要となる
m − 1 個の正の根があり、Pe(ω) にはすでに Po(ω) の根と交錯す
る区間 (0, ω0,m−1) に m − 1 個の根がある。さらに、ω0,m−1 での
Pe(ω) の符号は (−1)m−1 と同じであるが、P(s) の項 P2mS2m は
+∞ での Pe(ω) の符号を (−1)m と同じする。従って、Pe(ω) は
m 番目の正の根、
ωe,m > ωo,m−1 (34)
を持つので、P(s) はインターレースの特性を満たし、ゆえに安定

安定性判定アルゴリズム
Algorithm1.2
P(0)(s) := P(s)
P(i) の係数が全て正であることを確認
(1.57) に従い、P(i+1) := Q(s)
(2) を満たさない (P(s) はフルビッツでない) か、P(i−2)(次
数 2) に達するまで (2) に戻る。この場合、条件 (2) でも十分
(P(s) はフルビッツ)

Kharitonov の定理
補題 5.1
P1(s) = Peven
(s) + Podd
1 (s) (35)
P2(s) = Peven
(s) + Podd
2 (s) (36)
が同じ偶数部 Peven(s) と異なる奇数部 Podd
1 (s) と Podd
2 (s) をそれ
ぞれ持ち、
Po
1 (ω) ≤ Po
2 (ω)(∀ω ∈ [0, ∞]) (37)
を満たす 2 つの安定多項式とする。このとき、Podd(s) が
Po
1 (ω) ≤ Po
(ω) ≤ Po
2 (ω)(∀ω ∈ [0, ∞])(∀ω ∈ [0, ∞]) (38)
を満たすようなすべての多項式
P(s) = Peven
(s) + Podd
(s) (39)
は安定である。

補題 5.1 の証明
P1(s) と P2(s) は安定だから、Po
1 (ω) と Po
2 (ω) はどちらも Pe(ω)
とインターレース定義を満たす。特に、Po
1 (ω) と Po
2 (ω) は次数が
等しいだけでなく、最高次係数の符号は、Pe(ω) の最高次係数と
同じである。
ここから、Po(ω) が Po
1 (ω) や Po
2 (ω) と同次かつ最高次係数の符号
が同じでない限り、Po(ω) は 2 を満たしえない。このとき、2 の
条件より、Po(ω) の根と Pe(ω) の根は隔離する。故に、定理 1.7
から P(s) は安定である。

以下の 4 つの多項式がフルビッツである場合に限り、集合族 I(S)
のすべての多項式はフルビッツである。
K1
(s) = x0 + x1s + y2s2
+ y3s3
+ x4s4
+ x5s5
+ y6s6
+ ... +
K2
(s) = x0 + y1s + y2s2
+ x3s3
+ x4s4
+ y5s5
+ y6s6
+ ... +
K3
(s) = y0 + x1s + x2s2
+ y3s3
+ y4s4
+ x5s5
+ x6s6
+ ... +
K4
(s) = y0 + y1s + x2s2
+ x3s3
+ y4s4
+ y5s5
+ x6s6
+ ...+

Keven
max (s) := y0 + x2s2
+ y4s4
+ x6s6
+ ...+ (40)
Keven
min (s) := x0 + y2s2
+ x4s4
+ y6y6
+ ...+ (41)
Kodd
max(s) := y1s + x3s3
+ y5y5
+ x7s7
+ ...+ (42)
Kodd
min(s) := x1s + y3s3
+ x5y5
+ y7s7
+ ...+ (43)
と定義する. このとき、
K1
(s) = Keven
min (s) + Kodd
min(s) (44)
K2
(s) = Keven
min (s) + Kodd
max(s) (45)
K3
(s) = Keven
max (s) + Kodd
min(s) (46)
K4
(s) = Keven
max (s) + Kodd
max(s) (47)
と表せる.

δ(s) = δ0 + δ1s1
+ δ2s2
+ δ3s3
+ ... + δnsn
+ ... (48)
とする. このとき,
Ko
max(s) = y1 − x3s2
+ y5y4
− x7s6
+ ...+ (49)
δo
(ω) = δ1 − δ3ω2
+ δ5ω4
+ ...+ (50)
Ko
min(s) = x1 − y3s2
+ x5y4
− y7s6
+ ...+ (51)
Ke
max(s) = y0 − x2s2
+ y4s4
− x6s6
+ ...+ (52)
δe
(ω) = δ0 − δ2ω2
+ δ4ω4
− δ6ω6
+ ...+ (53)
Ke
min(s) = x0 − y2s2
+ x4s4
− y6y6
+ ...+ (54)
となる。

このとき,
Ke
max(ω)−δe
(ω) = (y0−δ0)+(δ2−x2)ω2
+(y4−δ4)ω4
+...+ (55)
さらに,
δe
(ω)−Ke
min(ω) = (δ0−x0)+(y2−δ2)ω2
+(δ4−x4)ω4
+...+ (56)
よって
Ke
min(ω) ≤ δe
(ω) ≤ Ke
max(ω), ∀ω ∈ [0, ∞] (57)
同様に
Ko
min(ω) ≤ δo
(ω) ≤ Ko
max(ω), ∀ω ∈ [0, ∞] (58)

補題 5.1 を K3, K4 に適用することで、
Keven
max (s) + δodd
(s) (59)
が安定であることがわかる。同様に, 補題 5.2 を K1, K2 に適用す
ることで、
Kodd
min(s) + δodd
(s) (60)
が安定であることがわかる。59,60 に補題 5.2 に適用することで、
δeven
(s) + δodd
(s) = δ(s) (61)
は安定であることがわかる.

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