2. Milagros Ciriñan
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Contenido
Teorema de Pitágoras............................................................................................................... 3
Teorema................................................................................................................................ 3
Demostración del teorema de Pitágoras.................................................................................. 4
Aplicación del teorema enla Realidad..................................................................................... 4
3. Milagros Ciriñan
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Teorema de Pitágoras
n matemático Griego llamado Pitágoras descubrió y probó una propiedad interesante de
los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el
ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo
recto.
Este Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la
ingeniería y en la arquitectura.
Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y las relaciones entre los catetos y la
hipotenusa antes de probar su teoría.
C.) Hipotenusa
a) Cateto Opuesto
b) Cateto adyacente
Teorema
Si a y b son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la
Hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual Al cuadrado de
la longitud de la hipotenusa.
Esta relación está representada por la fórmula 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
= 𝒄 𝟐
Ejemplo:
El teorema es válido para este triángulo — la suma de los cuadrados de los catetos es la misma cantidad
que el cuadrado de la hipotenusa. Y, de hecho, es
válido para todos los triángulos rectángulos
(aunque, como puedes ver, no todas las medidas
son número enteros como 3, 4, y 5).
Si conocemos las longitudes de dos de los lados del
triángulo, podemos aplicar el Teorema de
Pitágoras para encontrar la longitud del tercer
U
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lado.
Demostración del teorema de Pitágoras
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados
homólogos1 son proporcionales.2 Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC,
AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que
determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en
común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares.
En consecuencia dichos triángulos son semejantes.
De la semejanza entre ABC y AHC: y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos
congruentes.
De la semejanza entre ABC y BHC:
. Sumando:
Pero ,
por lo que finalmente resulta:
Quedando demostrado el teorema de Pitágoras.
Aplicación del teorema en la Realidad
1) Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de
otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades?
Lo primero es realizar un pequeño dibujo que nos permita
identificar la situación y ver cómo definimos un triángulo
rectángulo en la misma. Este podría ser un buen dibujo,
donde observamos que se cumplen los datos que nos da el
1 Es un elemento congruente (igual)
2 relación entre magnitudes medibles
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problema y que además la distancia real entre las ciudades, vendría a ser la hipotenusa de nuestro
triángulo rectángulo.
El triángulo entonces queda claramente definido y sabemos que tenemos un cateto que mide 17 km,
otro que mide 8 km y que la distancia real que se nos está pidiendo es la hipotenusa del tal triángulo.
Aplicamos Teorema de Pitágoras y el planteo
Sería así:
a2 = b2 + c2
a2 = 82 + 172 = 64 + 289 = 353
a = √353 = 18.8
Respuesta final: la distancia real entre las dos ciudades es de 18,8 km
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TEXTO 1 TEXTO 2 TEXTO 3
http://es.scribd.com/d
oc/28869604/Libro-
matematicas-
3%C2%BA-Santillana-
Capitulo-1#scribd
http://www.montereyinst
itute.org/courses/Algebra
1/COURSE_TEXT_RESOUR
CE/U07_L2_T1_text_final
_es.html
https://profcastarosapav
onmat.wordpress.com/2
016/01/28/teorema-de-
pitagoras/
DEFINICION En todo triángulo
rectángulo, el cuadrado
de la medida de la
hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados
de las medidas de los
catetos.
la suma de los cuadrados
de los catetos, los lados
que forman el ángulo
recto, es igual al cuadrado
de la hipotenusa del
triángulo, el lado opuesto
al ángulo recto
En un triángulo
rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual
a la suma de los
cuadrados de los otros
dos lados (llamamos
“triángulo rectángulo” a
un triángulo con un
ángulo recto
APLICACIONE
S
Los egipcios usaban
para construir una
pirámide utilizaban una
cuerda con doce nudos
para obtener rectas
perpendiculares sobre
el terreno. Con la ayuda
de estacas formaban un
triángulo de 3, 4,5
lados que resultaba ser
un rectángulo para
utilizar esta relación.
Los arquitectos e
ingenieros usan
extensivamente esta
fórmula cuando
construyen rampas.
Si sabemos las longitudes
de dos lados de un
triángulo con un ángulo
recto, el Teorema de
Pitágoras nos ayuda a
encontrar la longitud
del tercer lado.
