EQUIVALENCIAS LOGICAS, LEYES Y SIMPLIFICACIÓN. EJERCICIOS.

1. LOGICA
- EQUIVALENCIAS LOGICAS
- LEYES LOGICAS
- SIMPLIFICACIÓN
- EJERCICIOS
AUTOR: LUIS R. PACHECO HUAROTTO

2. EQUIVALENCIAS LOGICAS
 Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son
equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado
es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el
mismo valor de verdad.
 Se denota: P ΞQ o P ↔ Q
Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa
Ejemplos:
a) [(p∧q)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación)
b) (p→q) ↔ [p ↔ (p ∧ q)] (Expansión 1)
c) (p→q) ↔ [q ↔ (p ∨ q)] (Exp. 2)
d) p ↔ p ∧ (q ∨ ~q) (Exp. 3)
e) p ↔ p ∨ (q ∧ ~q) (Exp. 4)

3. LOS TRES PRINCIPIOS LÓGICOS CLÁSICOS
 La tradición aristotélica ha considerado como
fundamentales a los principios lógicos otorgándoles máxima
jerarquía. Dichos principios pueden transformarse a
fórmulas cuya evaluación de sus matrices lógicas nos revele
que se trata de una tautología. Esto significa que no
podemos privilegiar sólo a estas tautologías por sobre otras
igual de válidas. Dichos principios son los siguientes:
 1. Principio de Identidad: Una proposición solo es
idéntica a sí mismo.
Forma Lógica: p↔p
 2. Principio de No-contradicción: No es posible que una
proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo.
Forma Lógica: ~(p∧~p)
 3. Principio de Tercio Excluido: Toda proposición es
necesariamente verdadera o necesariamente falsa. No
existe una posibilidad intermedia.
Forma Lógica: p∨~p

4. NOTABLES
(LEYES LÓGICAS O
TAUTOLÓGICAS)
 Leyes Conmutativas (Conm.)
(p∧q) ↔ (q ∧ p)
(p∨q) ↔ (q∨p)
(p↔q) ↔ (q↔p)
(p ↮ q) ↔ (p ↮ q)
 Leyes Asociativas (Asoc.)
p∧(q∧r) ↔ (p∧q)∧r
p∨(q∨r) ↔ (p∨q) ∨ r
p ↔ (q ↔ r) ↔ (p ↔ q) ↔ r
 Leyes Distributivas (Distrib.)
(p∧q) ∨ r ↔ (p∨r) ∧ (q∨r)
(p∨q) ∧ r ↔ (p∧r) ∨ (q∧r)
p→(q∧r) ↔(p→q)∧(q→p)
p→(q∨r) ↔(p→q)∨(q→p)

5. LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES
 Doble Negación (DN)
~~p↔p
~~~p ↔~p
 Teoremas de De Morgan (DM)
~(p∧q) ↔ ~p∨~q
~(p∨q) ↔ ~p∧~q
p∧q ↔ ~(~p∨~q)
p∨q ↔ ~(~p∧~q)
 Idempotencia (Idem.)
p∨p ↔ p
p∧p ↔ p
 Def. del condicional (Def. cond.)
p→q ↔ ~p∨q
p→q ↔ ~(p∧~q)

6. LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES
 Def. del bicondicional (Def. Bicondicional)
p ↔ q ↔ (p→q) ∧ (q→p)
p↔q ↔ [ (p∧q) ∨ (~p∧~q) ]
 Def. de la disyunción fuerte (Def. DF)
p ↮ q ↔ ~ (p ↔ q)
p ↮ q ↔ (p∨q) ∧ (~p∨~q)
 Absorción (Abs.)
p ∧ (p ∨ q) ↔ p
p ∨ (p ∧ q) ↔ p
p ∨ (~p ∧ q) ↔ p∨q
p ∧ (~p ∨ q) ↔ p∧q
 Transposición (Trans.)
p→q ↔ ~q→~p
p ↔ q ↔ (~ q ↔ ~p)

7. LEYES DE EQUIVALENCIAS
NOTABLES
 Ley de Exportación:
a) ( p Λ q) → r Ξ p → (q → r)
b) ( P1ΛP2 Λ …ΛPn) → r Ξ ( P1 ΛP2Λ…ΛPn-1) → (Pn → r)
 Consideremos que T es una fórmula tautológica, C es
una fórmula contradictoria y Q es una fórmula
consistente (Proposición).
 Leyes de Complemento o Adicionales
T ∧ Q ↔ Q ( V es Neutro de la Conjunción : p Λ V Ξ p )
C∧ Q↔C T∨ Q↔T
C ∨ Q ↔ Q ( F es neutro de la Disyunción : p v F Ξ p )
T→Q↔Q C→Q↔T
Q→T↔T Q → C ↔ ~Q

8. OBSERVACIÓN: ESTAS LEYES SON MUY ÚTILES PARA
SIMPLIFICAR LOS PROBLEMAS, PUESTO QUE ES VALIDO
REEMPLAZAR UNA PROPOSICIÓN POR SU EQUIVALENTE SIN
ALTERAR EL RESULTADO.
 Ejemplos:
1.- Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p)
Solución:
(p→q) ↔ (~q →~p)
↔ ~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional
↔ q V ~p Ley de la Doble Negación
↔ ~p V q Ley Conmutativa
↔ p → q Por Definición
2.- Simplificar la siguiente proposición: A = (~p∧q) →(q → p)
Solución:
A = ~ (~p∧q) V (q → p) Ley de la Condicional
= ( p v ~q) v (~q v p ) Ley de Morgan y Condicional
= ( p v ~q) v ( p v ~q) Ley Conmutativa
= pv ~q Idempotencia

9. EJERCICIOS
1.- Demostrar que:
a) p ∧~q ↔ ~(p → q) b) p ↔ (q v ~q) →p
c) ~ [~ (p ∧q) →~q ] v q ↔ q
2.- Simplificar y representar mediante Circuito:
a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ] b) ~(p) ↔ (p → ~ q)
R: p Λ (q v r) R: ~ p v p
c) (p v q) → [(~p v q) → (p ∧ q) ] R: p v ~ q
3.- Determinar si a) y b) son proposiciones
equivalentes:
a) p → (r v ~ q) b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p)
Nota: Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de
verdad o mediante la simplificación.

10. EJERCICIOS
4.- Demostrar que las siguientes equivalencias son tautológicas:
1. [(p→q) → (r→s)] ↔ ~(~s→~r)→~(~q→~p)
2. [(p→q)→r] ↔ [(p∨r) ∧ (~q∨r)]
3. [(p∧q) ∨ r] ∨ s ↔ ~[~(p∧q)→r] → s
4. ~(p∧q∧r) ↔ ~p∨~q∨~r
5. p→[~p→(q→r)] ↔ (p∧~p∧q)→r
5.- Responda las siguientes preguntas:
6. ¿Cuál es la relación entre bicondicional y equivalencia?
7. ¿Qué es una tautología? ¿Qué cosas pueden ser tautológicas?
8. ¿Cuál es la relación entre lógica proposicional y teoría de
conjuntos?
9. ¿Podemos leer lógicamente las equivalencias usando las tablas
de verdad? ¿Cómo? Dé unos ejemplos.
10. Si lo son ¿en qué sentido son importantes los principios lógicos?
¿qué correcciones le harías a los principios lógicos?

11. BIBLIOGRAFÍA:
 ESPINOZA, E. (2005) Matemática Básica. Lima. 2ª
Edición.
 FIGUEROA, R. (1992) Matemática Básica 1. Lima. 5ª
Edición.
 GARCÍA, Ó. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.
 SEMINARIO, R. y VILLANUEVA, J. (1992). El Gran
Saber. Logica. Lima. Editora Rival S.A.
 PISCOYA, L. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.
 DEAÑO, A. (2001) Introducción a la Lógica Formal.
Madrid: Alianza Editorial.
 LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.
 http://profe-alexz.blogspot.com/2010/05/logica-proposicional
Autor: LUIS R. PACHECO HUAROTTO