objetivo 1 acerca del calculo proposicional

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO.
VICE-RECTORADO ACADEMICO.
FACULTAD DE INGENIERIA.
ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES
Bachiller: Luis Torres
C.I: 25.138.740
Prof.: Domingo Méndez
Sección: saia A

2. Hay tantas definiciones y contenidos para denotar o
explicar lo que son las proposiciones, pero es tan simple
como decir que es la afirmación o la negación de algo.
En esta primera unidad utilizaremos las proposiciones
para varios conceptos, y le asignáremos un valor de “1”
si es Verdadero y “0” si es Falso.
V=1
F=0
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual
denotaremos por VL.

3. Los Conectivos u Operadores Lógicos nos permiten a través de símbolos o
conectivos realizar varias acciones para las proposiciones, se le denominara
proposiciones simples si no tiene operadores lógicos, y si los tiene se
denominara como molecular o compuesta. En la siguiente tabla veremos
esos símbolos o conectivos.
Conectiva Expresión en el
lenguaje natural
Ejemplo Simbología
Negación No No está lloviendo. ~
Conjunción y Está lloviendo y está
nublado.
^
Disyunción o Está lloviendo o está
soleado.
v
Condicional Si… entonces Si está soleado,
entonces es de día.
→
Bicondicional Si y solo si Está nublado si y sólo si
hay nubes visibles.
↔

4.  Negación. Si la proposición es verdadera su
negación es falsa, y si la proposición es
falsa, su negación será verdadera. Su
símbolo es “~”.
 La conjunción de dos proposiciones es una
proposición compuesta que resulta verdadera
cuando lo son las dos proposiciones simples
que la constituyen, y falsa en caso contrario,
es decir, cuando alguna de las dos es falsa.
 Disyunción.
Se dice que el término de enlace “^” (o) tiene dos
sentidos:
 Incluyente: En el sentido incluyente hay una
tercera posibilidad de que se cumplan las dos
condiciones. Su símbolo es “v”.
 Excluyente: En este sentido solamente puede
ocurrir una o la otra de las posibilidades. Su
símbolo es “v”.

5.  Condicional o Implicación: es la combinación de
dos proposiciones unidas por la conectiva
“si…entonces…”, que se representa de la forma
siguiente: “→”. La proposición que aparece entre las
palabras “Si y Entonces”, se denomina antecedente
o hipótesis y la que aparece después de la palabra
“Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.
 La Bicondicional o Doble Implicación: es una
proposición que se obtiene al unir dos proposiciones
simples mediante el conectivo “si y solo si” y se
representa así: “ ”.

6. Es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta,
para cada combinación de verdad que se pueda asignar.
Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier
proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de las
proposiciones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:
 Contradicción. aquella proposición que en todos los casos posibles de su
tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no
depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino
de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas
con otras. Sea el caso:

7.  Tautologías. aquella proposición que en todos los casos posibles de su
tabla de verdad su valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no
depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino
de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas
con otras. Sea el caso:

8. Leyes del Algebra de Proposiciones
1. Leyes
Idempotentes
1.1. p p  p
1.2. p p  p
2. Leyes Asociativas 2.1. (P  q)  r  p  (q  r)
2.2. (P  q)  r  p  (q  r)
3. Leyes
Conmutativas
3.1. P  q  q  p
3.2. P  q  q  p
4. Leyes Distributivas 4.1. P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
4.2. P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
5. Leyes de Identidad 5.1. P  F  P
5.2. P  F  F
5.3. P  V  V
5.4. P  V  P
6. Leyes de
Complementación
6.1. P  ~ P  V (tercio excluido)
6.2. P  ~ P  F (contradicción)
6.3. ~ ~ P  P (doble negación)
6.4. ~ V  F, ~ F  V
7. Leyes De Morgan 7.1. ~ ( P  q )  ~ P  ~ q
7.2. ~ ( P  q )  ~ P  ~ q

9.  Equivalencias lógicas.
Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes,
si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir
que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Se denota: P Ξ
Q o P ↔ Q Se lee: “P es equivalente a Q” o viceversa.
 La implicación en la lógica
indica que tiene que ocurrir un evento intermedio para llegar a otro evento
final. No necesariamente debe ocurrir en ambos sentidos, para eso es la
doble implicación, se denota con una flecha ⟶
Ejemplo de una implicación: En el béisbol.
Anotar una carrera implica que pases por tercera base.
Pero. Pasar por tercera base no implica que anotes una carrera. Esto es lo
que quiero decir, que no es necesario que sea en ambos sentidos.

10.  Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una implicación:
P Þ q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una
secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o
propiedades demostradas previamente.
 Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
 Método del Contrarrecíproco: Otra forma proposicional equivalente a p→C nos
proporciona la Ley del contrarrecíproco: P →C = ~ C → ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método
del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que p Þ C, se prueba que ~ C Þ ~
P.
 Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p Þ q es
tautológicamente equivalente a la proposición (p ^ ~ q) Þ (r ^ ~ r) siendo r una
proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

11. Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una
forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos
asociarle un circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma
proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra
proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero
que cumplen la misma función que el original. Veamos los siguientes
interruptores en conexión:
Estas representaciones nos servirán de base para la correspondencia entre los
circuitos y las proposiciones.