Un piccolo estratto del capitolo sui tassi d'interesse equivalenti dal mio libro «Appunti dalle lezioni di matematica finanziaria», Edicampus, Roma, 2014.

1. APPUNTI DALLE LEZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Capitolo IX
L’equivalenza fra tassi d’interesse
1. IMPOSTARE L’EQUIVALENZA
È opportuno sottolineare che l’equivalenza fra tassi d’interesse,
nei regimi non lineari come la capitalizzazione composta, è ben diversa
da quella già vista nel caso di regimi lineari come la capitalizzazione sem-plice
e lo sconto commerciale.
Prima di tutto si rammenti la proprietà fondamentale del regime
dell’interesse composto, frutto dell’utilizzo di funzioni esponenziali: con-siderato
un orizzonte temporale di ampiezza 푡 scomponibile in due inter-valli
di ampiezza rispettivamente 푘 e 푠, tali per cui 푡 = 푘 + 푠, il ricorso alla
capitalizzazione composta – grazie alla sua esponenzialità – consente di
scrivere:
풓(풕) = 풓(풌) · 풓(풔) 푡 = 푘 + 푠
Secondo tale relazione, il montante di un capitale unitario inve-stito
per un periodo di ampiezza 푡 è uguale a quello di due operazioni
d’investimento: con la prima si investe per un periodo di ampiezza 푘; con
la seconda si reinveste – per un periodo di ampiezza 푠 – il montante otte-nuto.
Questa è l’ipotesi su cui poggia il regime dell’interesse composto, in
cui il reinvestimento è attuato non solo sul capitale iniziale ma anche sugli
73

2. LUCA BELLARDINI
interessi maturati fino all’istante immediatamente precedente al reinve-stimento.
Ponendo 푡 = 1, ovviamente, 푘 e 푠 risultano numeri positivi
compresi nell’intervallo [0; 1]. Da questo si deduce che, sostituendo a 푟(푡)
l’espressione (1 + 푖)푡, l’equivalenza può essere riscritta come:
(ퟏ + 풊)풕 = (ퟏ + 풊)풌 · (ퟏ + 풊)풔
Tale equivalenza, caratteristica della capitalizzazione composta,
discende da una particolare ipotesi riconducibile alla teoria dei mercati
finanziari: i tassi d’interesse in vigore all’inizio di ciascun periodo in cui è
stato diviso l’intervallo 푡 sono uguali fra loro. Si ipotizza, quindi, che nel
mercato vigano condizioni di stabilità.
Ricordando che 푖(0, 푘) rappresenta il tasso effettivo d’interesse
uniperiodale in vigore tra «0» e «푘», così come 푖(푘, 푡) quello in vigore tra
«푘» e «푡», è chiaro che per poter scrivere 푖(0, 푘) = 푖(푘, 푡) i tassi devono
essere riferiti alla medesima unità di tempo («uniperiodali», appunto).
ESEMPIO. Precedentemente si è posto 푡 = 1; ora si supponga che
푘 = 0,5, ipotizzando cioè che i due intervalli di tempo k e s abbiano un’am-piezza
di 6 mesi. Perciò i(0, 0,5) rappresenterà il tasso d’interesse (es.) men-sile
in vigore nel primo semestre. Usare l’espressione «mensile» significa
considerare un tasso comunque uniperiodale, avendo distinto un periodo di
6 mesi in intervalli – appunto – di 1 mese ciascuno. In questo esempio i(0, k)
ha il significato di tasso d’interesse mensile riferito al periodo [0, k]. Vo-lendo
invece utilizzare il giorno come unità di misura del tempo, i(0, k) rap-presenterebbe
il tasso d’interesse giornaliero in vigore nel secondo seme-stre.
74

3. APPUNTI DALLE LEZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
È stata quindi introdotta l’espressione «uniperiodale» perché en-trambi
i tassi, pur essendo riferiti a intervalli di tempo diversi, sono cal-colati
con riferimento alla medesima unità di misura (sia essa il mese, il
75
giorno, l’ora o il minuto).
Data la relazione 푖(0, 푘) = 푖(푘, 푡), l’ipotesi finanziaria sottostante
è la condizione di assenza d’arbitraggio fra tassi d’interesse relativi a
operazioni nel medio-lungo termine. L’espressione 1 + 푖 = (1 + 푖)푘 ·
(1 + 푖)푠 può essere letta al primo membro come un’operazione d’investi-mento
nel periodo di 1 anno, al secondo come un processo di roll-over –
cioè di investimento e reinvestimento – sempre nell’intervallo di 1 anno.
Affinché sussista la relazione di uguaglianza suindicata è necessa-rio
che fra i tassi a lungo termine e quelli a breve sia verificata – appunto
– la condizione di assenza d’arbitraggio: in questo modo i tassi si manten-gono
stazionari. Tale ipotesi è alla base della matematica finanziaria clas-sica.
Il regime dell’interesse composto è caratterizzato da 3 tassi equiva-lenti,
di cui si parla dettagliatamente nei paragrafi successivi.
2. I TASSI EQUIVALENTI 풊ퟏ/풎, 풅ퟏ/풎
Sia fissato 푚, un numero intero positivo; e si divida l’anno in parti
uguali. Il tasso 푖1/푚, riferito al periodo 1/푚 (frazione dell’anno) è equiva-lente
a 푖, perché risulta verificata questa relazione:
풎
ퟏ + 풊 = (ퟏ + 풊ퟏ/풎)
1
푚
1 + 푖1/푚 = (1 + 푖)