Riesgo y rentabilidad de carteras de inversión según el modelo de Markowitz

Evaluación Alternativa
TEORÍA DE LA INVERSIÓN

- TEMA 5. RENTABILIDAD Y RIESGO DE LAS
CARTERAS DE INVERSIÓN

- TEMA 6. EL MODELO DE MARKOWITZ

Profesora: Elo San Miguel Moreno

Alumno: Antonio Lorente Cuesta
(Grupo A CAG)(2011/2012)


ÍNDICE

-Tema 5: Rentabilidad y riesgo de las carteras de
inversión……………………………………………………………………………………….…. 3
5.1.- El comportamiento del consumidor y la función
de utilidad……………………………………………………………………………... 3
5.2.- Rentabilidad y riesgo…………………………………………….……….. 6
5.3.- Ventajas de la diversificación………………………………………... 18
-Tema 6: El modelo Markowitz……………………………………………………….. 25
6.1.- Introducción………………………………………………………………….. 25
6.2.- Conjunto variable y conjunto eficiente.
Curvas de indiferencia………………………………………………….. 26
6.3.- La cartera óptima del inversor.………………………………………. 38
6.4.- Introducción del título sin riesgo:
el modelo de Tobin.......................................................... 38
Bibliografía…………………………………………………………………………………….. 42

2


TEMA 5: Rentabilidad y Riesgo de las Carteras de Inversión

5.1.- El comportamiento del inversor y la función de utilidad.

Ante una situación de riesgo, partiendo de la hipótesis de que los
individuos tienen aversión al riesgo (preferencia por una inversión con un
grado de riesgo antes que otra con mayor riesgo y mayor rentabilidad), y
desde un punto de vista racional, el inversor intentará maximizar la
utilidad esperada de su riqueza.

Una clasificación fundamental de las diferentes posibilidades de inversión1
se deriva del objeto de la inversión. Podemos considerar dos tipos:

- Inversiones reales
- Inversiones financieras, tema a tratar.

Las inversiones financieras vienen determinadas por cuatro parámetros:

- Rentabilidad
- Riesgo
- Liquidez
- Control

La utilidad esperada de un inversor teniendo en cuenta que los
rendimientos de los títulos siguen una distribución normal se puede
expresar en función de la media y de la varianza de los rendimientos de
los títulos en cuestión:

E[U(Řp)+=ƒ*E((Řp), σ2(Řp)] (1)

Markowitz (1952, 87)2 señaló la necesidad de considerar la función de
utilidad de los inversores para determinar la combinación óptima entre
rentabilidad-riesgo. Para ello ante un riesgo dado, el decisor buscará
maximizar el rendimiento esperado y minimizar el riesgo:

>0 ; <0 (2)

Es necesario que realicemos una serie de reflexiones análisis y
consideraciones2:

1.- La utilidad que le reporta al inversor la rentabilidad y el riesgo se
pueden medir con funciones de utilidad total y marginal.

3


2.- El inversor siempre puede pronunciarse con relaciones de indiferencia
o preferencia entre dos estados concretos de rentabilidad-riesgo, aunque
no puede precisar la cuantía de tal indiferencia.

3.- Las curvas de indiferencia en Teoría de Cartera, al trabajar con
rentabilidad y riesgo, son ascendentes con riesgo en abscisas y
rentabilidad en ordenadas:

Ilustración 1
La expresión analítica de la familia de curvas de indiferencia vendría
cuantificada por la función índice de utilidad que tienen como misión
establecer relaciones de indiferencia o preferencia pero no de utilidad:

I= F[U(Ep;σp)]=F(ф(Ep;σp)+= ƒ(Ep;σp) (3)

Siendo I el índice de utilidad rentabilidad-riesgo, ф(Ep;σp)= U(Ep;σp)=U y
F(U) representa la función de utilidad.

Introduciendo elementos objetivos, debemos introducir el concepto de
relación marginal de sustitución, que sería el límite de la relación por el
cociente en los intercambios rentabilidad-riesgo para que la satisfacción
del inversor permanezca invariable:

Todos los expertos en gestión de carteras indican que, para que la utilidad
del inversor con aversión al riesgo permanezca constante, la variación
incremental rentabilidad-riesgo debe ser creciente: in incremento dado
del nivel de riesgo, el inversor con aversión al riesgo exigirá incrementar

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más que proporcional la rentabilidad del título. Un ejemplo podría ser si
un inversor ve incrementada la rentabilidad de una cartera del 3,9% al
5,7% (180 puntos básicos) estando dispuesto a asumir un incremento del
riesgo del 3,4% al 8,5% (510 puntos básicos), por otros 510 puntos básicos
de aumento en el riesgo exigirá una compensación de más de 180 puntos
básicos si se pretende que las combinaciones reporten el mismo nivel de
utilidad.

De aquí se dice que los rendimientos marginales son crecientes
representándose por unas curvas similares a la ilustración 1.

En el caso de que los rendimientos marginales fuesen constantes las
curvas se sustituirían por rectas:

Ilustración 2
Esto nos obliga a afirmar las siguientes expresiones:

Postulado (a): Rendimientos marginales estrictamente crecientes con el
riesgo: al aumentar el riesgo el aumento de rentabilidad son más que
directamente proporcionales.

>0

Postulado (b): Rendimientos marginales crecientes o constantes en el
riesgo: al aumentar el riesgo el aumento de rentabilidad crecen de una
manera directamente proporcional o más que directamente proporcional.

5


≥0

Por lo que no tiene lógica afirmar lo siguiente:

<0

Indicando unos rendimientos marginales decrecientes.

Los lugares geométricos de los puntos (Ep,σp) que dan la misma utilidad se
denomina función de indiferencia de utilidad, curva de indiferencia de
utilidad o curva isoutilidad. Cuanto mayor pendiente y/o convexidad de
dichas líneas o curvas de indiferencia indica mayor aversión al riesgo y por
lo tanto la exigencia de mayores primas de rentabilidad.

Ilustración 3
Hay que ser riguroso respecto al principio de rendimientos marginales
estrictamente crecientes por el riesgo, por lo cual en nuestro análisis de
eficiencia sólo incluiremos este tipo de situaciones.

5.2.- Rentabilidad y Riesgo.

Los inversores están dispuestos a colocar sus ahorros o parte de ellos
adquiriendo títulos de la empresa i por un precio unitario (Pio) si tienen la

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esperanza de que suba su cotización y las pueda vender por un precio
unitario it) más elevado. Además el inversor tiene en cuenta un
dividendo por acción incierto , siendo la rentabilidad aleatoria (por
moverse dentro del espacio de las probabilidades):

–
Ři = (4)

Dónde Ři representa la rentabilidad de un título expresado en tanto por
uno o por ciento y – representa la plusvalía por la venta del
título.

Por lo tanto a priori se dice que la rentabilidad de un título es una variable
aleatoria que puede tomar diferentes valores en función de sus
probabilidades y que se pueden calcular dos estadísticos:

1.- la media o rendimiento esperado del título (E(Ři)):

E(Ři)= (5)

Siendo Rij la rentabilidad del activo i en el estado de la naturaleza j y Pj es
la probabilidad de que ocurra el estado de la naturaleza j.

2.- la varianza de dicho rendimiento: σ2(Ři), que mide la variabilidad de la
rentabilidad del título i. Para interpretar este estadístico contra mayor sea
ésta, mas dispersos estarán los posibles valores de la rentabilidad, siendo
más incierta y arriesgada la rentabilidad del activo:

σ2(Ři) = E*(Ři – E(Ři))2+ = E(Ři)2 – *E(Ři)]2 = 2
Pj (6)

Se expresa como el sumatorio de la diferencia de cuadrados entre cada
valor posible de la rentabilidad y la rentabilidad media, todo ello
multiplicado por las respectivas probabilidades.

Tanto la rentabilidad media como la varianza están expresadas en
porcentaje o tanto por uno. La desviación típica de los rendimientos como
medida de dispersión también estará expresada en porcentaje y se calcula
como la raíz cuadrada de la varianza:

σ (Ři) = σi = (7)

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Las desviaciones negativas son las que tienen que preocupar a un inversor
con aversión al riesgo ya que el rendimiento del título alcanzará un valor
menor de lo esperado. Utilizar tanto varianza como desviación típica sólo
tiene sentido si la función de distribución de los rendimientos es simétrica,
como por ejemplo una distribución normal ya que tanto la probabilidad
acumulada a la derecha e izquierda del punto medio es la misma.

En el caso de que la función sea asimétrica utilizaremos el concepto de
semivarianza:

S= Pj (8)

Dónde son los valores posibles por debajo de la media que puede
tomar un título i en los k estados de la naturaleza.

Para calcular rentabilidad y riesgo se puede tomar un único título o una
cartera de valores o conjunto de combinaciones diferentes de títulos o
activos financieros con unas determinadas proporciones o ponderaciones.

El objetivo de la formación de carteras es reducir el riesgo mediante la
diversificación, es decir, que la desviación estándar de los rendimientos
sobre la cartera de activos Rp puede ser menor que la suma de las
desviaciones estándar provenientes de los activos3. Podemos poner un
ejemplo: sabemos que cuando la economía está en auge la demanda de
automóviles nuevos es alta, y los rendimientos de la industria automotriz
son grandes, pero a medida que el crecimiento económico tiende a bajar
la gente no podrá cambiar con facilidad su automóvil y tendrá que
mantenerlo con demanda de recambios. Entonces la industria de
recambios, en este periodo, obtendrá altos rendimientos. Debido al
comportamiento cíclico de la industria automotriz, y anti cíclico de la
industria de recambios, un inversor con títulos en las dos industrias puede
tener rendimientos más estables por la diversificación que si invirtiera sólo
en una industria.

Por lo tanto la rentabilidad de la cartera vendrá dada por la media
ponderada de las rentabilidades aleatorias de los títulos que la componen:

Řp=w1Ř1+ w2Ř2+…+ wNŘN= wiŘi (9)

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w1…… wj dónde wi = 1

Si aplicamos el operador esperanza matemática a (9) podemos llegar a la
conclusión de que la esperanza matemática de una suma de variables
aleatorias ponderadas por sus respectivas constantes, es la media
ponderada de los rendimientos esperados de los títulos que integran la
cartera:

E(Řp)= wiE(Ři) (10)

Exactamente lo mismo pasa con el riesgo, un inversor querrá saber el
riesgo que asume con la cartera que ha formado y para ello aplicará el
operador varianza:

σ2(Řp)= w12 σ2(Ř1)+ w22 σ2(Ř2)+ … + wN2 σ2(ŘN)+2w1w2Cov(Ř1, Ř2)+
2w1w3Cov(Ř1, Ř3)+ … +2wn-1wnCov(Řn-1, Řn) (11)

De esta expresión podemos obtener dos más equivalentes:

- σ2(Řp)= wi2 σ2(Ři)+ wiwj cov(Ři, Řj) (12)

Si i=j cov (Ři, Řj) = σ2(Ři)

- σ2(Řp)= wiwj cov(Ři, Řj) (13)
Si i≠j cov (Ři, Řj)= cov(Řj, Ři)

La varianza del rendimiento de la cartera también depende de las
covarianzas entre los rendimientos de los diferentes títulos y obligan al
inversor tratar los títulos de forma conjunta, ya que las covarianzas
negativas o reducidas disminuyen la varianza del rendimiento de la cartera
en su conjunto.
Recordemos que la covarianza se calcula de la siguiente forma:

cov(Ři, Řk)=E*(Ři – E(Ři)( Řk – E(Řk)]= (Řij – E(Ři))( Řkj – E(Řk))Pj (14)
(nota: tener en cuenta que al ser dos títulos el denominador de la fórmula debe ser: n-1=1)

Dado que el coeficiente de correlación se expresa como:

ρij = (15)

9


los valores y el tipo de correlación quedan expresados en la siguiente
tabla:

Coeficiente de Correlación Tipo de Correlación
1 Positiva Perfecta
-1 Negativa Perfecta
-1 < ρij < 1 Lineal no perfecta (incluye ρij=0)

Podemos expresar la covarianza de dos títulos en función de su
coeficiente de correlación despejando de la fórmula (15):

cov(Ři, Řj)= ρijσ(Ři) σ(Řj) (16)
Sustituyendo en la fórmula (13) la expresión (16):

σ2(Řp)= wiwj cov(Ři, Řj)= σ2(Řp)= wiwj ρijσ(Ři) σ(Řj) (17)

Tratándose de una cartera P también podemos reflejarlo en forma
matricial: σ2(Ř1) cov(Ř1, Ř2) … cov(Ř1, Řn) w1

σ2(Řp)= (w1, w2,…wn) cov(Ř2, Ř1) σ2(Ř2) … cov(Ř2, Řn) w2 (18)
…………………………………………………… ……..
cov(ŘN, Ř1) cov(ŘN, Ř2) … σ2(ŘN) wN
(N Varianzas y (N2 – N)/2 covarianzas)

Cuando un título forma parte de una cartera deberá ser valorado según su
aportación a la rentabilidad y al riesgo de la misma. Esto significa que la
contribución de un título i en una cartera P es:
wiE(Ři) (19)

De la misma manera para ver la contribución de ese mismo título al riesgo
de la cartera:
wi conv(Ři, Řp) (20)
De estas dos expresiones se desprende que si la rentabilidad esperada de
un título es positiva y la covarianza de su rendimiento con respecto a la
cartera es negativa, el título puede incrementar la rentabilidad de la
cartera y disminuir el riesgo de la misma. Decir también que la
contribución de un título al rendimiento esperado de una cartera no varía

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si el peso de dicho título tampoco lo hace y que la aportación al riesgo de
la cartera, aún siendo constante el peso del título, si cambia según cuales
sean los títulos que le acompañan y las ponderaciones de estos últimos en
ella. Dependiendo de qué parámetros para medir rentabilidad-riesgo
utilicemos vamos a necesitar unas medidas de riesgo u otras. Así tenemos:

Ejes Rentabilidad Riesgo
(Ep , σ2p) wiE(Ři) wi cov(Ři , Řp)
(Ep , σp) wiE(Ři) wi cov(Ři , Řp)/σ(Řp)
(Ep , βp) wiE(Ři) wiβi

Podemos señalar que el riesgo de una cartera depende de la porción o
peso relativo de cada activo (wi), de la desviación típica de cada título y de
la covarianza entre los rendimientos de los títulos.

Si normalizamos el riesgo de la cartera P y decimos que su desviación
típica (σp) se corresponde con el 100% del riesgo, podremos evaluar la
contribución de cada título a ese 100% del riesgo de la siguiente forma:

1=σ(Řp) / σ(Řp) = = wiβi = βp (21)

Por lo que el parámetro que mide la pendiente de la regresión lineal entre
los rendimientos previstos del título i en los ejes (Ep ,βp) viene determinado
por:

βi= (22)

(Medida del riesgo de un título en los ejes (Ep,βp).

Vamos a ver un par de ejemplos con dos títulos y distintos escenarios:

Ejemplo 1: Dos títulos

Título Wi E(Ři) σ2(Ři) Pi
A 60% 10% 8% 40%
B 40% 15% 6% 60%

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El rendimiento esperado de la cartera vendrá dado por las expresiones (5)
y (10):
E(Ři)=

E(Řp)= wiE(Ři) = 0,6*0,1*0,4+0,4*0,15*0,6 =0,6 (6%)

Suponiendo una covarianza del 3% podremos calcular el riesgo de la
cartera con la expresión (11):
σ2(Řp)= w12 σ2(Ř1)+ w22 σ2(Ř2)+ … + wN2 σ2(ŘN)+2w1w2Cov(Ř1, Ř2)+
2w1w3Cov(Ř1, Ř3)+ … +2wn-1wnCov(Řn-1, Řn)
σ2(Řp)=0,602*0,08+0,402*0,06+2*0,06*0,04*0,03*0,08*0,06=0,05292
(5,92%)

EL coeficiente de correlación entre ambos títulos vendrá dado por la
expresión (15):

ρij = = = 0,0568 (correlación lineal no

perfecta)
Ejemplo 2: Dos títulos y distintos escenarios

Escenario Probabilidad Rento. Titulo A Rento. Título B
Expansión 30% 40% -5%
Normal 50% 20% 15%
Recesión 20% -20% 20%

A continuación mostraremos los cálculos en una tabla para cada título y
en el conjunto de la cartera:
Título A: (60% de la cartera)
Escenario P(x) R P(x)*R Desv. (R-E(R))2 (R-E(R))2*P(x)

Expansión 30% 40% 0,12 22% 0,048 0,01452
Normal 50% 20% 0,10 2% 0,000 0,0002
Recesión 20% -20% -0,04 -38% 0,14 0,02888
E(R) 18% σ2 0,04360
σ 20,88%

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Título B: (40% de la cartera)
Escenario P(x) R P(x)*R Desv. (R-E(R))2 (R-E(R))2*P(x)

Expansión 30% -5% -0,015 -15% 0,023 0,007
Normal 50% 15% 0,075 5% 0,003 0,001
Recesión 20% 20% 0,04 10% 0,010 0,002
E(R) 10% σ2 0,01
σ 10%

Tabla de ambos títulos: cartera.
Escenario P(x) Desv. A Desv.B Desv. A*B P(x)*Desv.A
*Desv.B
Expansión 30% 22% -15% -0,033 -0,0099
Normal 50% 2% 5% 0,001 0,0005
Recesión 20% -38% 10% -0,038 -0,0076
Covarianza -0,0170

Título wi E(R) σ2 σ

A 60% 18% 0,0436 0,2088
B 40% 10% 0,01 0,1
E(Rp) 14,8% σ2(Řp)(1) 0,009136
σ(Rp) 9,56%
ρij(2) -0,8141

(1)
Aplicaremos la expresión (11).
(2)
Aplicaremos la expresión (15).

Ejemplo 3: Diez títulos (cartera)

Vamos a realizar un ejemplo utilizando la aplicación Excel (versión 2007).

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Tabla de Datos Históricos de rendimientos
(datos inventados y al azar)

Periodos
Títulos P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
X1 5% 6% 7% 5% 4% 3% 2% 1% 5% 6%
X2 6% 6% 6% 6% 5% 4% -3% 5% 5% 4%
X3 3% 2% 2% -1% 3% 4% 4% 4% -2% 2%
X4 1% -2% 2% 0% -1% 5% 5% 6% 6% 6%
X5 4% 5% 1% -1% 2% 3% 5% 9% 5% 1%
X6 8% 6% 6% 6% 8% 9% 5% 5% 2% 5%
X7 10% 5% 2% 6% 10% 6% 15% 5% 2% 10%
X8 15% 12% 15% 10% 8% 9% -2% 13% -1% 5%
X9 20% 22% 10% 5% 4% 1% -4% -3% -2% 10%
X10 6% 6% 6% 0% -1% 4% 6% -2% 5% -4%

Esta tabla representa el rendimiento de un título i en un periodo j,
expresada en tanto por ciento.

Promedio
Títulos Rentabilidad Desviación Varianza
X1 4% 0,0190 0,0004
X2 4% 0,0272 0,0007
X3 2% 0,0208 0,0004
X4 3% 0,0316 0,0010
X5 3% 0,0284 0,0008
X6 6% 0,0200 0,0004
X7 7% 0,0409 0,0017
X8 8% 0,0608 0,0037
X9 6% 0,0918 0,0084
X10 3% 0,0392 0,0015

En esta tabla hemos calculado el promedio de los rendimientos así como
la desviación típica y la varianza. Se ha utilizado als siguientes funciones en
Excel:

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Promedios:

Promedio de los rendimientos de los n títulos: =PROMEDIO(B5:K5)
El rango B5:K5 hace referencia a los rendimientos históricos del título X1
para los 10 periodos analizados.

Desviaciones:

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Desviación estándar de los rendimientos según la tabla histórica:
=+DESVEST(B5:K5). El rango es similar a la anterior fórmula.

Varianzas:

Varianzas de los rendimientos de cada título en los periodos indicados:
=VAR(B5:K5). El rango es similar a la primera fórmula.
Peso
5% 10% 5% 5% 4% 15% 15% 15% 15% 11%

Títulos X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
X1 0,000360 0,000244 -0,000184 -0,000232 -0,000306 -0,000020 -0,000254 0,000254 0,001078 0,000126
X2 0,000244 0,000738 -0,000194 -0,000332 -0,000146 0,000080 -0,000704 0,001044 0,001158 -0,000144
X3 -0,000184 -0,000194 0,000432 0,000052 0,000196 0,000220 0,000389 0,000286 -0,000013 -0,000016
X4 -0,000232 -0,000332 0,000052 0,000996 0,000288 -0,000260 0,000022 -0,000852 -0,001694 -0,000218
X5 -0,000306 -0,000146 0,000196 0,000288 0,000804 -0,000140 -0,000024 -0,000106 -0,000552 0,000146
X6 -0,000020 0,000080 0,000220 -0,000260 -0,000140 0,000400 0,000200 0,000610 0,000560 0,000020
X7 -0,000254 -0,000704 0,000389 0,000022 -0,000024 0,000200 0,001677 -0,000794 -0,000203 -0,000186
X8 0,000254 0,001044 0,000286 -0,000852 -0,000106 0,000610 -0,000794 0,003693 0,002968 -0,000014
X9 0,001078 0,001158 -0,000013 -0,001694 -0,000552 0,000560 -0,000203 0,002968 0,008423 0,000802
X10 0,000126 -0,000144 -0,000016 0,000146 0,000146 0,000020 -0,000186 -0,000014 0,000802 0,001538

Posteriormente pasaremos a calcular la matriz de varianzas y covarianzas.
Se trata de una matriz simétrica dónde en la diagonal aparecen las N
varianzas (1 por cada título) y las 45 covarianzas (N(N-1)/2). La fórmula
empleada en Excel debe respetar los subíndices de la matriz: Cov(X1,X2),

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Cov(X1,X3), Cov(X1,X4)….. Cov(X9X10). Al ser simétrica, la segunda parte de la
tabla es copia de la primera.
Utilizaremos la fórmula:

Covarianzas de la cartera: =COVAR($B$5:$K$5;$B$6:$K$6), dónde
$B$%:$K$ representan los rendimientos del título X1 en los periodos
considerados y $B$6:$K$6 los correspondientes al título X2, y así
sucesivamente.

Ahora calcularemos los riesgos y rentabilidades de cada título en la cartera
y el de la cartera en su conjunto:

Promedio Suma Cálculo del
Títulos Peso (Wi) Rentabilidad Productos Reisgo
X1 5% 4% 0,00018 0,00001
X2 10% 4% 0,00027 0,00003
X3 5% 2% 0,00013 0,00001
X4 5% 3% -0,00042 -0,00002
X5 4% 3% -0,00008 0,00000
X6 15% 6% 0,00027 0,00004
X7 15% 7% 0,00005 0,00001
X8 15% 8% 0,00105 0,00016
X9 15% 6% 0,00191 0,00029
X10 11% 3% 0,00027 0,00003
100% Varianza 0,00054

Rentabilidad de la Cartera (Rp): 5,50%

Desviación
Riesgo de la Cartera: 2,33% Típica

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La columna Peso representa el % de participación de cada título en la
cartera. En realidad esta columna debería ser nuestra incógnita para
poder calcular la cartera con mayor rentabilidad posible, pero en este
punto no se va a considerar de esa forma. La siguiente columna: Promedio
Rentabilidad ya la hemos comentado anteriormente. La cuarta columna es
la suma de productos del peso de cada título multiplicado por cada fila de
la matriz de varianzas y covarianzas. Representa el paso intermedio para
el cálculo del riesgo de cada título y de la cartera. Utilizaremos la fórmula:
=SUMAPRODUCTO($H$30:$Q$30;H32:Q32) dónde $H$30:$Q$30
representa el peso de cada título en la cartera y la expresión H32:Q32
representa la fila del título X1 de la matriz de varianzas y covarianzas. Se
debe continuar con todos los títulos hasta acabar la tabla.

La última columna representa el producto del peso de la cartera por la
columna suma de productos. La suma (0,00054) representará la varianza
de la cartera. La raíz de la varianza nos mostrará la desviación típica o
riesgo de la cartera.

5.3.- Ventajas de la diversificación

Una primera aproximación se va a realizar con la diversificación del riesgo
al combinar dos títulos.

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En una cartera de dos o más títulos si exceptuamos el caso de correlación
perfecta (ρ=1), habrán ventajas en esa diversificación porque el
rendimiento esperado de la cartera será igual a la media ponderada de los
rendimientos de los títulos que se mezclan. Además la desviación típica de
rendimiento de la cartera será inferior a la media ponderada de las
desviaciones típicas de los títulos a combinar.

La diversificación reduce la variación y el riesgo. La caída brusca en el
precio de un título puede corresponder a una caída menos pronunciada
que otra e incluso el aumento en el precio de una tercera. Con carteras
más abultadas (quince, veinte títulos o más) la contribución marginal a la
reducción del riesgo será sumamente pequeña. Una cartera con bajas
covarianzas corresponden a títulos con desviaciones estándares pequeñas
o con una baja correlación en los cambios en sus precios, por lo que deben
buscarse títulos con bajas covarianzas para incorporarlas a una cartera de
inversión o portafolio y reducir el riesgo total.

Supongamos dos títulos arriesgados cuyos rendimientos guardan una
correlación según la expresión (15):

ρ12 =

Partiendo de que la desviación típica del rendimiento de cualquier título
siempre es positiva, el signo del coeficiente de correlación dependerá de
la covarianza de los rendimientos aleatorios de estos títulos. El coeficiente
de correlación ρ12 puede tomar los valores: -1≤ ρ12≤+1.
Vamos a ver uno a uno los valores posibles y el significado de cada uno:

1: ρ12=1, correlación perfecta y positiva. Los rendimientos se mueven en
el mismo sentido con relación lineal de pendiente positiva. La relación
entre rentabilidad y riesgo es lineal y no hay ventajas en la diversificación.
El valor de la covarianza entre dos títulos es:

Cov(Ř1, Ř2)=σ(Ř1) σ(Ř2) (23)

19


En este supuesto el rendimiento de la cartera P quedará de la siguiente
forma:

σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2Cov(Ř1,Ř2)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2
ρ12 σ(Ř1)σ(Ř2)= w12 σ21+ w22 σ22+2w1w21 σ1σ2= (w1 σ1+ w2 σ2)2 (24)

Por lo tanto las expresiones que nos miden el rendimiento esperado y
riesgo en este supuesto serán:

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2) (25)
σp= w1 σ1+ w2 σ2 (26)

En este supuesto no habrá ventajas en la diversificación, el riesgo no se
diversificará y la relación entre rentabilidad y riesgo será lineal como
hemos comentado porque tanto el rendimiento esperado como la
desviación típica del rendimiento de la cartera son igual a la media
ponderada de los respectivos rendimientos esperados y desviaciones
típicas.

SI sustituimos en las expresiones (25) y (26) la igualdad w2=1-w1 (ya que
w1+w2=1) tendremos la relación lineal que se ha comentado (supone una
combinación lineal entre rendimiento y riesgo):

E(Řp)= E(Ř2)+ (σp-σ2) (27)

2: ρ12=-1, correlación perfecta y negativa. Los rendimientos de los títulos
se mueven en sentido opuesto a través de una recta con pendiente
negativa.
El valor de la covarianza entre dos títulos es:

Cov(Ř1, Ř2)=-σ(Ř1) σ(Ř2) (28)

Como la rentabilidad de una cartera no depende del coeficiente de
correlación, la expresión de los rendimientos esperados de la cartera será
similar a la expresión (25).

20


En cuanto al riesgo y sustituyendo en la expresión (24) el valor -1 en el
coeficiente de correlación llegaremos a la siguiente expresión:

σ2p= (w1 σ1- w2 σ2)2 (29)

Que extrayendo raíces cuadradas llegaremos a dos soluciones posibles:

σp= ±(w1 σ1- w2 σ2) (30)
Como σp debe ser positiva obtendremos dos expresiones sustituyendo
w2=(1-w1):

σp= -σ2 + w1 (σ1 + σ2) (31)
σp= σ2 - w1 (σ1 + σ2) (32)

De estas dos expresiones se obtienen dos ecuaciones de dos líneas rectas:
una con pendiente positiva y otra con pendiente negativa:
E(Rp)

Expresión 31
Expresión 32

σp
Ilustración 4

3: -1< ρ12<1, Como en los dos casos anteriores la rentabilidad esperada
seguirá siendo la misma, pero la varianza del rendimiento de la cartera
será modificada. Las expresiones ya las hemos visto en las expresiones
(24) y (25):

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2) (33)
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=
w12σ21+(1-w12)σ22+2w1(1-w1) ρ12σ1σ2 (34)

21


Por lo que σp=
Como ρ12<1 la varianza será menor que cuando la correlación era
perfecta y positiva, con lo que el inversor reducirá el riesgo invirtiendo en
una cartera en lugar de un activo individual.

Podremos obtener de la expresión 34, despejando w1 la ponderación que
debe alcanzar el título 1 dentro de la cartera P para que la cartera así
formada sea de mínima varianza:

W1= (35)

Si los títulos tuviesen una correlación perfecta y negativa la expresión (35)
se simplificaría:

W1= (36)

Disminución del riesgo cuando se reduce el coeficiente de correlación

E(Řp)(%) σ2(Řp) σ(Řp)
(%)
1 14 0,0361 19
0,5 14 0,0271 16,46
0 14 0,0181 13,45
-0,5 14 0,0091 9,54
-1 14 0,0001 1

Vamos a ver un ejemplo dónde trataremos de revisar todos los casos:

Ejemplo 4:

E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2)
E(Řp)=0,4*20%+0,6*10%=14%

22


ρ12=1
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2ρ12 σ(Ř1)σ(Ř2)=
0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*1*25%*15%=0,0361
σ(Řp)= √0,0361=19%

ρ12=0,5
0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*0,5*25%*15%=0,0271
σ(Řp)= √0,0271=16,46%

ρ12=0
0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*0*25%*15%=0,0181
σ(Řp)= √0,0181=13,45%

ρ12=-0,5
0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*-0,5*25%*15%=0,0091
σ(Řp)= √0,0091=9,54%

ρ12=-1
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+w22σ2(Ř2)+2w1w2 ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=
0,4²(25%)²+0,6²(15%)²+2*0,4*0,6*-1*25%*15%=0,0001
σ(Řp)= √0,0001=1%

W1=

W1=15%/(25%+15%)=37,50%
W2=(1-W1)=(1-37,5%)=62,5%
σ2(Řp)=w12σ2(Ř1)+(1-w2)σ2(Ř2)+2w1(1-w1)ρ12σ(Ř1)σ(Ř2)=0,3752(25%)2+(1-
0,375)2(15%)2+2*0.375(1-0.375)(-1)25%15%=0
ρ12=-1

23


E(Řp)=w1 E(Ř1)+ w2 E(Ř2)
E(Řp)=0,375*20%+0,625*10%=13,75%

Por lo que el par de rentabilidad-riesgo (13,75%, 0%) coincide con el punto
dónde se cortan las dos rectas en la ilustración 4.

La diversificación ingenua

Como ya vimos en la expresión (12) la medida adecuada del riesgo de una
cartera P es la varianza de su rendimiento, por lo que el riesgo de una
cartera no sólo depende de las varianzas de los rendimientos de los
títulos, sino también de las covarianzas por la correlación que mantienen
entre sí los rendimientos de los títulos:

σ2(Řp)= wi2 σ2(Ři)+ wiwj cov(Ři, Řj)

La primera parte de la expresión se le llama riesgo propio de los títulos o
riesgo diversificable y la segunda es el riesgo sistemático o no
diversificable.
Un inversor ingenuo que desconozca el mercado financiero puede
eliminar el riesgo propio de los títulos invirtiendo la misma cantidad de
dinero en distintos títulos elegidos al azar. La única condición es que la
cartera de ser grande para que el efecto de la diversificación se produzca.
El segundo sumando no se puede eliminar, ya que los rendimientos de los
diferentes títulos no se pueden abstraer de los movimientos generales al
alza o a la baja del mercado que afectan a cualquier título que guarde una
determinada correlación con el mismo.

La situación se puede resumir del siguiente modo:

1. Los inversionistas deben preocuparse de la rentabilidad
esperada y del riesgo de su cartera. El riesgo se indica por medio de
la desviación estándar.

24


2. El riesgo de una acción depende cómo ésta afecta a las
demás acciones de la cartera. La volatilidad de las acciones
individuales tiene poca importancia.

¿Qué pasa si aumento el número de acciones distintas en mi cartera? Si en
vez de dos acciones, ¿qué pasa si compongo mi cartera con tres, cuatro,...
acciones de empresas distintas? En este caso se puede eliminar el riesgo
único, pero no el riesgo de mercado.

El riesgo único lo constituyen los innumerables factores específicos de
riesgo que afectan a cada empresa. También se llama riesgo diversificable.

El riesgo de mercado lo constituyen los factores de riesgo de una
economía (en general, macroeconómicos) que afectan a todos los activos
del mercado. También se le conoce como riesgo sistemático. No es
posible de diversificar este tipo de riesgo.

Diversificación de la Cartera de Inversiones

Desviación

Estándar

Cartera

1 5 10 15 20 n

Acciones de n empresas distintas en la Cartera

Ilustración 5

TEMA 6: El Modelo de Markowitz

6.1.- Introducción

Ya hemos visto que al combinar de forma adecuada dos títulos podemos
obtener una cartera con un mejor comportamiento que el que ofrecen
separadamente. En el presente tema vamos a estudiar un análisis de

25


carteras con N títulos basados en la teoría de selección de carteras de
Markowitz.

Esta teoría nació en 1952 con el trabajo Portafolio Selection de Harry
Markowitz. En 1959 el autor publicó la obra Portafolio Selection: Efficient
Diversification of Investments.

El autor nos plantea las mejores combinaciones entre activos (títulos) en
un conjunto dado de activos financieros para escoger y decidir cual tomar.
Propone un modelo matemático que maximiza la utilidad esperada de un
inversor racional con aversión al riesgo resolviendo el problema de
diversificación de activos arriesgados. Esta composición es una función
que depende del rendimiento esperado y de la varianza de la rentabilidad
de la cartera como apuntamos en el capítulo anterior.

6.2.- Conjunto variable y conjunto eficiente. Curvas de indiferencia

Para comenzar el análisis tenemos que detallar los supuestos
fundamentales de los que parte el modelo:

- Respecto al comportamiento y horizonte temporal del inversor:

a. El inversor tiene un comportamiento racional: prefiere más riqueza
a menos riqueza. Su función de utilidad está definida sólo por la
esperanza y la desviación típica de la rentabilidad.
b. Las decisiones del inversor se basan en dos parámetros: la media y
la varianza (o desviación típica).
c. El inversor es averso al riesgo por lo que sus funciones de isoutilidad
o curvas de indiferencia (ver tema anterior) han de ser crecientes y
convexas:

>0 >0

d. El horizonte temporal de todos los inversores incluye un único
periodo.

26


- Respecto a las características de los activos y mercados
financieros:
a. En el mercado existen N activos financieros arriesgados.
b. Las características relevantes de los activos son su rentabilidad
esperada y su riesgo.
c. El rendimiento de los activos para un periodo de tiempo dado es
una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad el inversor
conoce. Esto permite estimar tanto rendimientos como la matriz de
varianzas-covarianzas. Se supone que el rendimiento de cada título
sigue una distribución normal.
d. Estamos ante mercados de capitales perfectos: información
asequible para todos los agentes; ningún inversor puede influir en
los precios; se puede prestar y pedir prestado sin limitaciones al
tipo de interés libre de riesgo; no hay impuestos; no hay inflación ni
costes transaccionales; se permiten ventas en descubierto y todas
las inversiones son divisibles.

Según Markowitz una cartera es eficiente si se cumple simultáneamente
estas condiciones:

a. Para su rendimiento esperado: no existe otra cartera con riesgo
inferior.
b. Para el riesgo que soporta: no existe otra cartera que ofrezca un
rendimiento esperado mayor.

Supongamos tres activos según la ilustración 6: A, B, C, y D. Se puede
comprobar que el inversor rechazará las carteras C y D por ser ineficientes.
La cartera A ofrece igual rendimiento que la D pero con menor riesgo. La
cartera B conlleva el mismo riesgo que la C pero con mayor rendimiento
siendo preferible para el inversor:

E(Řp)

A
B •D
C

σp
Ilustración 6

27


De todas las carteras que se pueden plantear al inversor, sólo es
interesante analizar las eficientes. A partir de esta hipótesis, el modelo de
Markowitz determina la composición de la cartera que maximice la
utilidad esperada del inversor denominándola cartera óptima.

El modelo de Markowitz sigue las siguientes pautas para encontrar la
cartera óptima:

1. Determinar el conjunto de oportunidades del inversor, conjunto
posible o variable.
2. Determinar el conjunto eficiente o frontera eficiente.
3. Especificar las preferencias del inversor a través del mapa de curvas
de isoutilidad o curvas de indiferencia en los ejes media-varianza.
4. Determinar la cartera óptima del inversor a partir del conjunto
eficiente y sus preferencias particulares

En el supuesto que estamos analizando tenemos que tener en cuenta
todas las combinaciones posibles de rendimiento esperado y desviación
típica que se pueden lograr dado un número N de activos con riesgo.

Debemos estimar para cada título su rentabilidad esperada, su riesgo (σ2,
σ) y sus covarianzas con respecto a los títulos de la cartera.

Una vez conocidas todas estas variables podemos representar
gráficamente el conjunto de combinaciones posibles de oportunidades de
inversión en el mercado:

Ilustración 7

28


Las posibles carteras cubrirán por entero alguna región del espacio
rentabilidad-riesgo y esta región será cóncava. Conviene recordar lo visto
en el anterior capítulo sobre las tres situaciones posibles en función del
coeficiente de correlación ρij entre los rendimientos de dos títulos.

Como se puede apreciar en la ilustración 8 tenemos los tres casos
estudiados: ρij=+1, ρij=-1 y -1<ρij<+1. A

B

Ilustración 8

En la siguiente gráfica podemos observar combinaciones factibles
representadas por los puntos

Ilustración 9

La Frontera Eficiente:
29


Se puede definir como el conjunto de combinaciones de títulos que
maximizan la rentabilidad esperada para un nivel determinado de riesgo o
bien minimizan el riesgo soportado para un nivel determinado de
rentabilidad esperada. Todo ello, teniendo en cuenta las restricciones
presupuestarias y siempre en base al supuesto de racionalidad del
inversor, es decir, que la rentabilidad esperada es un elemento positivo
para dicho inversor mientras que el riesgo es un elemento no deseado4.

En la figura 10, las carteras A, B y C son carteras eficientes puesto que
entregan el máximo retorno con un nivel de riesgo mínimo, o
análogamente, el menor riesgo para un retorno máximo. Si miramos la
cartera D nos daremos cuenta enseguida de que esta cartera entrega, para
un nivel de riesgo σ1, un retorno esperado E(Ri)1 menor que el entregado
por la cartera B, la cual posee el mismo nivel de riesgo pero entrega un
retorno esperado E(Ri)2 mayor. Por lo tanto la zona superior de la figura
(trazo ABC) corresponde a la frontera eficiente, donde la cartera A recibe
el nombre de cartera de mínima varianza global.

Ahora bien, como sabemos, la teoría financiera supone que el general de
los inversionistas son aversos al riesgo, razón por la cual, estarán
dispuestos a aceptar un mayor riesgo siempre que se les premie con un
mayor retorno. Entonces, ¿cuál es la combinación óptima entre riesgo y
rendimiento que estaría dispuesto a aceptar un inversionista dado? La
elección óptima entre riesgo y retorno dependerá de cuan averso al riesgo
sea nuestro inversionista. Conceptualmente dependerá de sus
preferencias, las que pueden graficarse por medio de curvas de
indiferencia que nos muestran todas las posibles combinaciones entre
riesgo y retorno que mantienen al inversionista con un nivel de utilidad
constante y cuya forma dependerá de la función de utilidad particular de
cada individuo.

30


Ilustración 10

La cartera B es una cartera eficiente que domina a la cartera D en el
sentido que aún teniendo igual riesgo, la cartera B tiene un rendimiento
esperado más elevado. El tramo de la frontera que comprende las carteras
eficientes debe ser necesariamente cóncavo. En la figura anterior no
existen carteras con desviación típica igual a cero. Esto implica que en
dicho conjunto de opciones de inversión no hay activos o carteras con
coeficiente de correlación -1. Tampoco hay activos o carteras en la
frontera de menor varianza cuya correlación sea +1 (no hay segmentos
rectos).

La formulación analítica para obtener la frontera eficiente la plantea
Marcowitz como un problema de optimización de la rentabilidad esperada
de la cartera para cada uno de los valores posibles del riesgo de ésta:

max E(Řp)= (37)

Con las siguientes restricciones:

wi≥0
Siendo un valor fijado de antemano para la varianza del rendimiento
de la cartera. Se trata de un problema de programación cuadrática
(porque la primera restricción contiene términos cuadráticos) y
paramétrica (porque la primera restricción establece un determinado
valor para la varianza). La segunda restricción es presupuestaria ya que

31


exige el agotamiento de todo el presupuesto y la tercera hace referencia a
una restricción de no negatividad. En el caso de que wi<0 implicaría una
venta en descubierto del título i sólo si se admiten, teniendo que tomar
posiciones a corto plazo.

Por otra parte al igual que la frontera eficiente se puede establecer
maximizando la rentabilidad esperada y fijando un riesgo, podemos
calcularla fijando una rentabilidad esperada y minimizando el riesgo para
esa rentabilidad:

(38)

Sujeto a:

E(Řp)=

wi≥0
Las características de este problema son similares al anterior.

Vamos a ver un ejemplo práctico dónde analicemos ambas ecuaciones.
Para ello vamos a utilizar la aplicación Solver de Excel. Solver se puede
definir como una de las herramientas más potentes de Excel, ya que
permite hallar la mejor solución a un problema, modificando valores e
incluyendo condiciones o restricciones.

Utilizaremos el ejemplo desarrollado en la unidad anterior para 10 títulos:

Títulos Peso (Wi) Rentabilidad Productos Riesgo
X1 5% 4% 0,00018 0,00001
X2 10% 4% 0,00027 0,00003
X3 5% 2% 0,00013 0,00001
X4 5% 3% -0,00042 -0,00002
X5 4% 3% -0,00008 0,00000
X6 15% 6% 0,00027 0,00004
X7 15% 7% 0,00005 0,00001
X8 15% 8% 0,00105 0,00016
X9 15% 6% 0,00191 0,00029
X10 11% 3% 0,00027 0,00003
100% Varianza 0,00054

32



Riesgo de la Desviación
Cartera: 2,33% Típica

A partir de esta tabla construiremos el modelo con Solver:

1.- Maximización de rendimientos esperados sujetos a las siguientes
restricciones:

a) El sumatorio de los pesos debe ser igual a 1 (100%):

b) La rentabilidad de la cartera debe ser mayor o igual a la esperada:

c) El riesgo de la cartera debe ser menor o igual al esperado:

Este parámetro para maximizar el rendimiento podría ser no necesario
aunque estimo que es conveniente porque a la vez minimizas riesgo.

Además el peso de cada título debe ser mayor o igual a cer por lo que en
opciones selecciopnaremos Adoptar no negativos:

33


La celda objetivo seré la rentabilidad de la cartera pero estará en función
de las celdas cambiantes que son los pesos de cada título en la cartera (wi)

Seleccionaremos el valor de la celda objetivo máximo para poder calcular
el rendimiento esperado máximo sujeto a las restricciones comentadas.

Títulos Peso (Wi) Rentabilidad Productos Reisgo
X1 21% 4% 0,00002 0,00001
X2 5% 4% 0,00002 0,00000
X3 0% 2% 0,00016 0,00000
X4 8% 3% -0,00016 -0,00001
X5 1% 3% -0,00009 0,00000
X6 19% 6% 0,00021 0,00004
X7 30% 7% 0,00033 0,00010
X8 15% 8% 0,00048 0,00007
X9 0% 6% 0,00065 0,00000
X10 0% 3% -0,00002 0,00000
100% 0,00021

34


Rentabilidad de la Cartera (Rp): 6,00% Celda Objetivo
Mínima rentabilidad de la Cartera (Rp): 6,00% Restricción (dato manual)
Riesgo de la Cartera: 1,44%
Riesgo a tolerar: 0,50% Restricción (dato manual)

2.- Minimización de varianzas sobre rendimeintos esperados:

Las restricciones son similares lo único que hay que cambiar el parámetro
Maximizar por minimizar y la celda objetivo es el riesgo de la cartera:

Títulos Peso (Wi) Rentabilidad Productos Riesgo
X1 33% 4% 0,00003 0,00001068
X2 9% 4% 0,00003 0,00000302
X3 0% 2% 0,00004 0,00000000
X4 14% 3% 0,00003 0,00000447
X5 17% 3% 0,00003 0,00000543
X6 18% 6% 0,00003 0,00000594
X7 9% 7% 0,00003 0,00000282
X8 0% 8% 0,00009 0,00000000
X9 0% 6% 0,00022 0,00000000
X10 0% 3% 0,00006 0,00000000
100% 0,00003237

Mínima rentabilidad de la Cartera (Rp): 3,00% Restricción (dato manual)
Riesgo de la Cartera: 0,57% Celda Objetivo
Riesgo a tolerar: 0,50% Restricción (dato manual)

35


Repitiendo varias veces cambiando los parámetros de restricción
rentabilidad y riesgo podremos obtener una tabla de datos para poder
realizar el gráfico correspondiente:

Efficient Frontier

0.16
0.15
0.14
0.13
Return

0.12
0.11
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0 0.005 0.01 0.015 0.02

Variance

Ilustración 11

Especificación de las curvas de indiferencia del inversor.

Aunque hemos visto en el tema anterior las curvas de indiferencia vamos
a ampliarlo aún mas.

Cualquier inversor racional en situación de riesgo lo que pretende es
maximizar su propia función de utilidad. Dado que los inversores son
aversos al riesgo sus funciones de utilidad serán crecientes y cóncavas.

Ya que la utilidad esperada de la riqueza se puede expresar en función de
la media y la varianza de los títulos, este criterio no nos permite establecer
comparaciones entre dos carteras eficientes, pues la mas arriesgada
ofrecerá mayor rendimiento esperado que la otra. Sólo podremos conocer
la elección de la cartera óptima si sabemos el grado de aversión al riesgo
del inversión, en otras palabras sus preferencias.

Resuminedo tenemos que especificar la función de utilidad del inversor, y
en base a ella susu curvas de indiferencia. Por lo tanto, la función de
utilidad, medido en el espacio media-varianza, se traduce en una
determinada relación marginal de sustitución o intercambio entre dos
elementos que conforma un mapa de curvas de indiferencia. L curva de
indiferencia es la representación del conjunto de combinaciones

36


rendimeinto esperado-riesgo que proporcionan al inversor la máxima
utilidad.

La pendiente de una curva de indiferencia en uno de sus puntos refleja el
aumento en el rendimiento esperado por unidad de riesgo adicional.

Podemos hacer las siguientes consideraciones:

a) Deben ser crecientes. Su utilidad esperada aumento a medida que
aumenta la rentabilidad esperada y disminuye al incrementarse el
riesgo.
b) Para un inversor averso al riesgo a medida que el riego crece será
necesario un crecimiento mas que proporcional en el rendimiento
esperado para que la utilñidad esperada se mantenga constante.
c) Las curvas de indiferencia no se pueden cortar.

I1 I2
E(Řp)

•A B

Ilustración 12

Los puntos A y B de la curva I1 proporcionan la misma utilidad a lo mismo
que los puntos C y B de la curva I2. Por lo tanto A es indiferente a B y B a C
por lo que suponiendo que las preferencias son transitivas no es válido
decir que A es preferido a C cuando los rendimientos esperados son
distintos.

d) Una curva de indiferencia en su corte con el eje de ordenadas nos
proporciona el equivalente cierto de cualquier inversión arriesgada
contenida en ella.
e) Las curvas de indiferencia no se prolongan por debajo del eje de
abscisas, ya que representan rendimientos esperados negativos y
varianzas positivas.

37


f) Las curvas situadas más arriba y a la izquierda representan niveles
esperados de utilidad superiores por el rendimiento esperado
mayor.

6.3.- La cartera óptima del inversor.

Definimos la cartera óptima como aquella cartera entre todas las que
configuran la frontera eficiente correspondiente a la combinación media-
desviación típica (o varianza) que maximice su utilidad esperada.

Es necesario especificar previamente sus curvas de indiferencia entre
rendimiento esperado y riesgo por lo tanto, la resolución del problema
vendrá superponiendo la frontera eficiente y el mapa de curvas de
indiferencia de un inversor.

E(R p)
I2

I1

C
A

B
(R p)

Ilustración 13

A partir de esta ilustración se puede deducir que la cartera óptima del
inversor es la representada por el punto de tangencia entre la frontera
eficiente y la curva de indiferencia representativa de un mayor nivel de
utilidad esperada (punto C).

6.4.- Introducción del título sin riesgo: el modelo de Tobin.

En este apartado estudiaremos la extensión del modelo de Markowitz
planteado inicialmente por Tobin (1958) y posteriormente por Sharpe
(1964) y Linter (1965).

38


Esta extensión consiste en añadir la hipótesis de la existencia de una tasa
libre de riesgo a la cual se puede prestar y pedir prestada cualquier
cantidad de dinero. Hay que señalar que es una hipótesis que no se ciñe a
la realidad ya que los tipos de interés obtenidos al prestar son inferiores a
los pagados al obtenerlos del mercado.

Después de esto podemos señalar las alternativas que dispone el inversor:

 Invertir todo su presupuesto en el activo libre de riesgo.
 Invertir todo su presupuesto en activos arriesgados.
 Determinar parte del presupuesto a un activo libre de riesgo o
ceder en préstamo al tipo de interés sin riesgo.
 Colocar en los activos arriesgados una parte superior a su
presupuesto de inversión, endeudándose al tipo de interés sin
riesgo para financiar la diferencia.

Por lo tanto hablaremos de carteras mixtas cuando hagamos alusión a
combinaciones entre títulos libres de riesgo y carteras eficientes. Una vez
conocidas la rentabilidad esperada y su riesgo de las carteras mixtas
podremos determinar el conjunto de oportunidades del inversor y su
frontera eficiente.

Llamaremos Rf a la rentabilidad libre de riesgo la cual será conocida y
constante con desviaciones típicas y covarianzas nulas.

Observemos la ilustración:

Ilustración 14

39


Cuando consideremos la existencia de N activos arriesgados y un activo
libre de riesgo con rendimiento igual a Rf la recta Rf-g se convierte en la
nueva frontera eficiente, dónde el punto g es la cartera de activos
arriesgados situada en la recta que partiendo de Rf es tangente a la
frontera eficiente (g).

Para analizar las carteras mixtas sea w la fracción del presupuesto que el
inversor destina al activo y (1-w) la parte que destina a la cartera g. Los
rendimientos de una cartera mixta con estas características serán:

Řp=wRf+(1-w)Řg (39)

E(Řp)=wRf+(1-w)E(Řg) (40)

Aplicando el operador varianza y después de extraer raíces
obtendremos:

σp=[w2σf2+(1-w)2σg2+2w(1-w)ρfgσfσg]1/2 (41)

Dado que la desviación típica y la correlación del active libre de
riesgo son nulos:

σp=[(1-w)2σg2+2w(1-w)ρfgσfσg]1/2 (42)

Despejando (1-w) de (42) y sustituyéndolo en (40) obtendremos
el rendimiento esperado de la cartera:

E(Řp)= Rf + E(Řg) (43)

Reordenando los términos obtendremos una ecuación lineal que
relaciona el rendimiento esperado y el riesgo de todas las
carteras mixtas:

E(Řp)= Rf + ( ) (44)

Dónde la ordenada en el origen es Rf y la pendiente la expresión
entre paréntesis.

Los valores posibles de w serán:

40


Valor de w Significado
1 EL inversor se sitúa en el punto Rf invirtiéndolo
todo en activos libres de riesgo.
0 Inversión completa en activos arriesgados (g)
0<w<1 Distribución del presupuesto entre ambos activos.
Se situará en algún punto de la recta Rf-g
<0 Endeudamiento a la tasa libre de riesgo Rf e
inversión de todos los recursos (presupuesto y
préstamo) en la cartera g. Se sitúa a la derecha del
punto g (cartera en préstamo, recursos >100%).

Obtenida la frontera eficiente la resolución del problema de
selección de la cartera óptima es similar al supuesto de no
existencia de activos libres de riesgo. Por lo tanto la cartera
óptima será aquella que proporcione el par de rentabilidad
esperada-desviación típica localizado en el punto de tangencia
entre la frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia del
inversor (punto g).

Tobin (1958) lanzó una proposición que denominó teorema de la
separación, por la cual, cualquier inversor maximizará su utilidad
esperada, con independencia del grado de aversión al riesgo,
repartiendo su presupuesto únicamente entre activos libres de
riesgo y la cartera arriesgada (g). El inversor puede tomar dos
decisiones:

1. Una única cartera de activos arriesgados, tratándose de
determinar la porción de activos teniendo en cuenta las
oportunidades de inversión del mercado.
2. La elección por parte de cada inversor particular de su
cartera óptima, invirtiendo la cantidad de su presupuesto:
(1-w) en activos con riesgo y la cantidad w prestará o
pedirá prestado al tipo de interés libre de riesgo.

41


Bibliografía

Básica: FERRANDO, M.; GÓMEZ ,A.R.; LASSALA, C. (2005): Capítulo 2 y 3.
(1) http://www.5campus.com/leccion/fin010/INICIO.HTML
(2) http://redalyc.uaemex.mx/pdf/301/30120109.pdf
(3) http://www.azc.uam.mx/publicaciones/etp/num7/a1.htm
(4) http://ciberconta.unizar.es/LECCION/fin010/200.HTM

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Riesgo y rentabilidad de carteras de inversión según el modelo de Markowitz

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