1. O mmc e o mdc representam, respectivamente, o menor múltiplo comum e o
maior divisor comum entre dois ou mais números.
Não perca a oportunidade de tirar todas as suas dúvidas através dos exercícios
comentados e resolvidos que apresentamos abaixo.
Exercícios propostos
Exercício 1
Em relação aos números 12 e 18, determine sem considerar o 1.
a) Os divisores de 12.
b) Os divisores de 18.
c) Os divisores comuns de 12 e 18.
d) O maior divisor comum de 12 e 18.
a) 2, 3, 4, 6 e 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 e 6
d) 6
Exercício 2
Calcule o MMC e o MDC entre 36 e 44.
Exercício 3
Considere um número x, natural. A seguir, classifique as afirmativas como
verdadeiras ou falsas e justifique.
a) O maior divisor comum de 24 e x, pode ser 7.
b) O maior divisor comum de 55 e 15 pode ser 5.
a) Não, pois 7 não é divisor de 24.
2. b) Sim, pois 5 é divisor comum entre 55 e 15.
Exercício 4
Em uma apresentação para o lançamento do novo carro de corrida da equipe
Toda Matéria, foi realiza uma corrida inusitada. Três veículos participaram: o
carro lançamento, o carro da temporada passada e um carro de passeio,
comum.
O circuito é oval, os três largaram juntos e mantiveram velocidades constantes.
O carro lançamento leva 6 minutos para completar uma volta. O carro da
temporada passada leva 9 minutos para completar uma volta e o carro de
passeio leva 18 minutos para completar uma volta.
Depois que a corrida começa, em quanto tempo eles passarão juntos
novamente pelo mesmo local da largada?
Para determinar é preciso calcular o mmc (6, 9, 18).
Portanto, eles passaram novamente pelo mesmo local da largada, 18 minutos
depois.
Exercício 5
Em uma confecção, há rolos de malha com medidas de 120, 180 e 240
centímetros. Será preciso cortar o tecido em pedaços iguais, maiores possíveis
e, não sobrar nada. Qual será o comprimento máximo de cada tira de malha?
Para determinar, devemos calcular o mdc (120,180,240).
O maior comprimento possível, sem que sobre pontas, será de 60cm.
Exercício 6
3. Determine o MMC e o MDC dos números a seguir.
a) 40 e 64
Resposta correta: mmc = 320 e mdc = 8.
Para encontrar o mmc e o mdc, o método mais rápido é dividir os números
simultaneamente pelos menores números primos possíveis. Veja a seguir.
Observe que o mmc é calculado pela multiplicação dos números utilizados na
factoração e o mdc é calculado pela multiplicação dos números que dividem os
dois números simultaneamente.
b) 80, 100 e 120
Resposta correta: mmc = 1200 e mdc = 20.
A decomposição simultânea dos três números nos dará o mmc e mdc dos
valores apresentados. Veja a seguir.
4. A divisão pelos números primos nos deu o resultado do mmc pela multiplicação
dos fatores e do mdc pela multiplicação dos fatores que dividem os três
números simultaneamente.
Exercício 7
Utilizando a fatoração em números primos, determine: quais são os dois
números consecutivos cujo mmc é 1260?
a) 32 e 33
b) 33 e 34
c) 35 e 36
d) 37 e 38
Alternativa correta: c) 35 e 36.
Primeiramente, devemos fatorar o número 1260 e determinar os fatores primos.
Multiplicando os fatores, descobrimos que os números consecutivos são 35 e
36.
Para comprovar, vamos calcular o mmc dos dois números.
Exercício 8
5. Uma gincana com alunos de três turmas do 6º, 7º e 8º ano será realizada para
comemorar o dia do estudante. Veja a seguir a quantidade de alunos em cada
turma.
Turma 6º 7º 8º
Número de alunos 18 24 36
Determine através do mdc o número máximo de alunos de cada turma que
podem participar da gincana compondo uma equipe.
Após isso responda: quantas equipes podem ser formadas pelas turmas do 6º,
7º e 8º, respectivamente, com o número máximo de participantes por equipe?
a) 3, 4 e 5
b) 4, 5 e 6
c) 2, 3 e 4
d) 3, 4 e 6
Alternativa correta: d) 3, 4 e 6.
Para responder a essa questão, devemos iniciar fatorando os valores dados
em números primos.
Portanto, encontramos o número máximo de alunos por equipe e, dessa forma,
cada turma terá:
6º ano: 18/6 = 3 equipes
7º ano: 24/6 = 4 equipes
8º ano: 36/6 = 6 equipes
Questões resolvidas de vestibulares
Questão 1
(Aprendiz de Marinheiro - 2016) Seja A = 120, B = 160, x = mmc (A,B) e y =
mdc (A,B), então o valor de x + y é igual a:
a) 460
b) 480
c) 500
6. d) 520
e) 540
Alternativa correta: d) 520.
Para encontrar o valor da soma de x com y, é necessário primeiro encontrar
esses valores.
Desta forma, vamos fatorar os números em fatores primos e depois calcular o
mmc e o mdc entre os números dados.
Agora que já conhecemos o valor de x (mmc) e de y (mdc), podemos encontrar
a soma:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternativa: d) 520
Veja também: MDC - Máximo Divisor Comum
Questão 2
(Unicamp - 2015) A tabela abaixo informa alguns valores nutricionais para a
mesma quantidade de dois alimentos, A e B.
Considere duas porções isocalóricas (de mesmo valor energético) dos
alimentos A e B. A razão entre a quantidade de proteína em A e a quantidade
de proteína em B é igual a
7. a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Alternativa correta: c) 8.
Para encontrar porções isocalóricas dos alimentos A e B, vamos calcular o
mmc entre os valores energéticos respectivos.
Então, devemos considerar a quantidade necessária de cada alimento para
obter o valor calórico.
Considerando o alimento A, para ter um valor calórico de 240 Kcal é necessário
multiplicar as calorias iniciais por 4 ( 60 . 4 = 240). Já para o alimento B, é
necessário multiplicar por 3 (80 . 3 = 240).
Assim, a quantidade de proteína do alimento A será multiplicada por 4 e a do
alimento B por 3:
Alimento A : 6 . 4 = 24 g
Alimento B : 1 . 3 = 3 g
Desta forma, temos que a razão entre essas quantidades será dada por:
Alternativa: c) 8
Veja também: MMC - Mínimo Múltiplo Comum
Questão 3
(UERJ - 2015) Na tabela abaixo, estão indicadas três possibilidades de arrumar
n cadernos em pacotes:
8. Se n é menor do que 1200, a soma dos algarismos do maior valor de n é:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Alternativa correta: b) 17.
Considerando os valores informados na tabela, temos as seguintes relações:
n = 12 . x + 11
n = 20 . y + 19
n = 18 . z + 17
Note que se somássemos 1 livro ao valor de n, deixaríamos de ter resto nas
três situações, pois formaríamos mais um pacote:
n+ 1 = 12 . x + 12
n+ 1 = 20 . x + 20
n+ 1 = 18 . x + 18
Sendo assim, n + 1 é múltiplo comum de 12, 18 e 20, então, se encontrarmos o
mmc (que é o menor múltiplo comum), podemos, a partir daí, encontrar o valor
de n+1.
Calculando o mmc:
9. Então, o menor valor de n + 1 será 180. Entretanto, queremos encontrar o
maior valor de n menor que 1200. Assim, vamos procurar um múltiplo que
satisfaça essas condições.
Para isso, vamos multiplicar o 180 até encontrar o valor desejado:
180 . 2 = 360
180 . 3 = 540
180 . 4 = 720
180 . 5 = 900
180 . 6 = 1 080
180 . 7 = 1 260 (esse valor é maior que 1 200)
Portanto, podemos calcular o valor de n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Sendo que a soma dos seus algarismos será dada por:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternativa: b) 17
Veja também: MMC e MDC
Questão 4
(Enem - 2015) Um arquiteto está reformando uma casa. De modo a contribuir
com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da
casa. Ele dispõe de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm,
todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse
as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo
que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de
comprimento menor que 2 m.
Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir
10. a) 105 peças.
b) 120 peças.
c) 210 peças.
d) 243 peças.
e) 420 peças.
Alternativa correta: e) 420 peças.
Como é pedido que as peças tenham o mesmo comprimento e o maior
tamanho possível, vamos calcular o mdc (máximo divisor comum).
Vamos calcular o mdc entre 540, 810 e 1080:
Entretanto, o valor encontrado não poderá ser usado, pois existe a restrição do
comprimento ser menor que 2 m.
Assim, vamos dividir 2,7 por 2, pois o valor encontrado também será um divisor
comum de 540, 810 e 1080, visto que o 2 é o menor fator primo em comum
desses números.
Então, o comprimento de cada peça será igual a 1,35 m (2,7 : 2). Agora,
precisamos calcular quantas peças teremos de cada tábua. Para isso, faremos:
5,40 : 1,35 = 4 peças
8,10 : 1,35 = 6 peças
10,80 : 1,35 = 8 peças
Considerando a quantidade de cada tábua e somando, temos:
40 . 4 + 30 . 6 + 10 . 8 = 160 + 180 + 80 = 420 peças
Alternativa: e) 420 peças
11. Veja também: Números Primos
Questão 5
(Enem - 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos
gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma
sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo
filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há
alguns critérios para a distribuição dos ingressos:
1. cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão;
2. todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de
ingressos;
3. não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão
distribuídos).
O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos,
segundo os critérios estabelecidos, é
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Alternativa correta: c) 9.
Para descobrir o número mínimo de escolas, precisamos conhecer o número
máximo de ingressos que cada escola poderá receber, considerando que este
número deverá ser igual nas duas sessões.
Desta maneira, iremos calcular o mdc entre 400 e 320:
12. O valor do mdc encontrado representa o maior número de ingressos que cada
escola irá receber, de modo que não haja sobras.
Para calcular o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas,
devemos ainda dividir a quantidade de ingressos de cada sessão pelo número
de ingressos que cada escola receberá, assim temos:
400 : 80 = 5
320 : 80 = 4
Portanto, o número mínimo de escolas será igual a 9 (5 + 4).
Alternativa: c) 9.
Questão 6
(Cefet/RJ - 2012) Qual é o valor da expressão
numérica ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Alternativa correta: a) 0,2222
Para encontrar o valor da expressão numérica, o primeiro passo é calcular o
mmc entre os denominadores. Assim:
O mmc encontrado será o novo denominador das frações.
Entretanto, para não mudar o valor da fração, devemos multiplicar o valor de
cada numerador pelo resultado da divisão do mmc por cada denominador:
13. Resolvendo a adição e a divisão, temos:
Alternativa: a) 0,2222
Questão 7
(EPCAR - 2010) Um agricultor fará uma plantação de feijão em canteiro
retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde plantaria as sementes. A
figura abaixo indica os pontos já marcados pelo agricultor e as distâncias, em
cm, entre eles.
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já existentes, de modo
que a distância d entre todos eles fosse a mesma e a maior possível.
Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo agricultor,
então x é um número divisível por
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Alternativa correta: d) 7.
Para resolver a questão, precisamos encontrar um número que divide ao
mesmo tempo os números apresentados. Como é pedido que a distância seja
a maior possível, vamos calcular o mdc entre eles.
Desta forma, a distância entre cada ponto será igual a 5 cm.
14. Para encontrar o número de vezes que essa distância foi repetida, vamos
dividir cada segmento original por 5 e somar os valores encontrados:
15 : 5 = 3
70 : 5 = 14
150 : 5 = 30
500 : 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
O número encontrado é divisível por 7, pois 21.7 = 147
Alternativa: d) 7
