SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 33
Downloaden Sie, um offline zu lesen
A- NORMAL DA ILIMĞ
B- LOG-NORMAL DA ILIMĞ
C- LEVY STABLE DA ILIMLARĞ
* CAUCHY DA ILIMIĞ
*WEIBULL DA ILIMIĞ
* RAYLEIGH DA ILIMI (öneri)Ğ
Doc. Dr. Kutlu MERIH
http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html
FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL
DAĞILIM KANUNLARI







 −−
=
22
2)(
exp
2
1
)(
σπσ
ux
xf
Normal Dağılım Fonksiyonu
Bu dağılım fonksiyonu, Brown hareketlerini ve finansal aktif
değerlerinin değişimini modelleyen Wiener süreçlerinin ve
buna dayanan Black-Scholes Modelinin temel matematik yapısını
oluşturuyor. Bu dağılım “ayrıca” matematik istatistikte diğer
dağılımların da deney sayıları çoğaldığında ulaştığı bir Merkez
Limit rolünü üstleniyor.
Normal Dağılım
Parameters μ location (real)  σ2
> 0 squared scale (real)
Probability density function (pdf)                                                               
Cumulative distribution function (cdf)                                              
Mean μ
Median μ
Mode μ
Variance σ2
Skewness 0
Excess kurtosis 0
Entropy                               
Moment-generating function (mgf)                                                                   
Characteristic function                                                                    
Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Normal Kumulatif Dağılım Fonksiyonu
Normal Dağılımın Finansal Değişkenler İle İlişkisi
1900 lerde Louis Bachelier senetlerin fiyat
değişiminin normal dağılıma sahip olduğunu
göstermişti.
Bu yaklaşım şimdi biraz daha modifiye edildi.
Ekonomik değişkenlerin genellikle additif değil
multiplikatif özellikler gösterdiği anlaşıldı.
Buna göre ekonomik değişkenler genellikle
normal değil fakat lognormal değişimler
gösterirler.
Yani değerlerine karşılık getirileri
genellikle lognormal dağılır.
log-normal dağılım sağ yarım eksende pozitif değerler için, logaritmaları
normal dağılan rasgele değişkenlerin matematik formudur.
Şayet Y normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ise;
X = exp(Y) log-normal dağılıma sahiptir.
Benzer olarak X log-normal dağılıma sahip ise, log(X) normal dağılır. Burada
logaritma tabanının seçimi farketmez. Herhangi pozitif a, b ≠ 1 için, şayet
loga(X) normal dağılıyor ise, logb(X) de normal dağılır.
Bir değişken şayet bir çok ufak bağımsız faktörün çarpımından oluşuyor ise, bu
değişken log-normal dağılacaktır.
Örneğin bir stok yatırımının uzun dönem getirisi aslında günlük
getirilerinin çarpımı gibi düşünülebilir ve böylece log-normal dağılacaktır.
Log-normal Dağılım







 −−
=,
22
2)(ln
exp
2
1
);(
σ
µ
πσ
σµ
x
x
xf
Log-Normal Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Log-normal kumülatif dağılım fonksiyonu
Parameters σ > 0                                      
Support                   
Probability density
function (pdf)                                                                       
Cumulative
distribution function
(cdf)
                                                    
Mean                  
Median     
Mode             
Variance                                    
Skewness                                         
Excess kurtosis                                                          
Entropy                                                 
Log-normal Finansal Analizde Yaygın Kullanılır
Fakat Levy-Stable Fraktal Dağılımlar Önem Kazanıyor
 Verilerin log-normal dağıldığı finans alanında ve özellikle aktif-fiyatlamada en
çok kullanılan hipotezdir.
 Yine de bu modelde düzeltmeler yapılması gereği kaos kuramcıları ve özellikle
Fraktallerin yaratıcısı Benoit MANDELBROT tarafından önerilmiştir.
 Mandelbrot, pamuk fiyatları üzerinde yaptığı çalışmada, kısa zaman süreleri
(örneğin bir gün) için logaritmalardaki değişimlerin sonlu bir varyansı olmayan
ve dolayısı ile merkezi limit teoreminin uygulanamayacağı tipten dağılımlara
uyduğunu ortaya koydu.
 Bu dağılımlar daha ziyade Log-Levy tipinde Stable olarak adlandırılan
dağılımlar gerektiriyordu. (Paul H. LEVY, Mandelbrot’un hocası idi)
 Bu tür dağılımların uygulandığı analizlere FRAKTAL FİNANS diyeceğiz ve
farklı bir sunumun konusu olacak.
Stable-dağılımlar ve
Tombul Kuyrukları
Stable dağılımlar önemlerini iki özelliklerine boçludurlar.
Bu dağılımlar ikinci ve (veya birinci) momentleri olmayan
rasgele değişkenler için de Merkez Limit Teoreminin
genelleştirilmesine olanak sağlarlar ve stable aile dağılımları
kendine-benzerlik (self-similarity) veya sonzuz-bölünebilme
(infinit-divizibility) özelliği gösterirler.
Diğer bir deyişle stable dağılan değişkenlerin lineer
kombinezonları da stable dağılır.
Levy Skew Alpha-Stable Dağılım
μ bir shift parametresidir, β bir asimetri ölçüsü, β=0 ile dağılım μ etrafında
simetrik olur. c dağılımın genişliğini belirleyen bir skala faktörü ve α dağılıma
özgü bir exponent veya endex olup dağılımın α < 2 için asimptotik davranışını
belirler.
α = 1 için dağılım CAUCHY ve α = 2 için dağılım NORMAL formunu alır.
Stable dağılımların farklı parametrik türleri de vardır fakat bu en genel
olanıdır.
1||log)/2(
1)2/tan(
)])sgn(1(||exp[)(
2/1(,;(
=−=Φ
<>=Φ
Φ−−=
∫
∞
∞−
−)()=),,
απ
απα
β
α
µϕ
ϕπµβα
t
tictitt
dtitxetcxf
Stable Dağılımlar ve Fraktal Finans
Benoît Mandelbrot stable dağılımların bu kendine-
benzerlik özelliklerinden yararlanarak Fraktal-Finans ve
Fractional Brown Hareketi modelini geliştirdi. Pamuk
fiyatlarının α için 1.7 değeri ile stable dağıldığını gösterdi.
Levy skew alpha-stable dağılımlar kritik davranış ve
finansal süreç olaylarında yaygın olarak gözlenir.
Bütün stable dağılımlar sonsuz olarak bölünebilirler.
Normal dağılım α=2, değeri ile bu kurala uymaz.
Stable dağılımlar Tombul-Kuyruklu (Heavy-tailed) olarak
adlandırılır.
Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (α için)
Levy-stable Yoğunluk Fonksiyonları (β için)
Levy-stable dağılım fonksiyonları (α için)
Levy-stable dağılım fonksiyonları (β için)
Parameters                        exponent (real)
                           skewness (real)
                         scale (real)
                                   location (real)
Support                                         (real)
Probability density function (pdf) usually not analytically expressible (see text)
Cumulative distribution function
(cdf)
usually not analytically expressible (see text)
Mean undefined when α≤1, otherwise μ
Median usually not analytically expressible (see text). Equal to μ when β=0
Mode usually not analytically expressible. Equal to μ when β=0
Variance infinite except when α=2, when it is 2c2
Skewness undefined except when α=2, when it is 0
Excess kurtosis undefined except when α=2, when it is 0
Entropy not analytically expressible (see text)
Moment-generating function (mgf) undefined
Characteristic function
                                                                                    
 
                                      for               
                                              for               
Burada x0
dağılımın tepe noktasını belirleyen bir lokasyon parametresidir.
Normal dağılım gibi dağılımın beklenen değerine eşit değildir. Çünkü beklenen
değer sonsuz.
γ dağılımın skala parametresidir ve yaygınlığı belirler.
x0
= 0 ve γ = 1 durumuna standart Cauchy dağılım denir ve yoğunluk
fonksiyonu aşağıdaki gibidir;
Cauchy Dağılımı








+−
=













 −
+
=
22)(
1
2
1
1
),;(
0
0
0
γ
γ
π
γ
γπ
γ
xxxx
xxf
)]2/[1)1,0;( xxf +(1= π
Cauchy Probabilite Yoğunluk Fonksiyonları
Cauchy dağılım fonksiyonları
Parameters        location (real)
                scale (real)
Support                                        
Probability density function (pdf)
                                             
Cumulative distribution function
(cdf)                                                            
Mean not defined
Median x0
Mode x0
Variance not defined
Skewness not defined
Excess kurtosis not defined
Entropy                      
Moment-generating function (mgf) not defined
Characteristic function                                            
Cauchy Standart-Normal Akrabalığı
 İki bağımsız standart Normal N(0,1) X,Y değişkeninin X/Y veya Y/X oranı
bir standart Cauchy değişkeni, Cauchy(0,1) dir.
 Buna göre Cauchy dağılımı aslında bir oran dağılımıdır ve bu nedenle stok
değerlerinin değişim yüzdelerinin modellenmesinde uygun bir model
yaratır.
 Standard Cauchy(0,1) dağılımı ise yine istatistikte yaygın kullanılan ve
tabloları olan Student's t dağılımının 1 serbestlik dereceli versiyonudur.
 Bu özellik te Cauchy dağılımını finansal serilerin analizinde önmeli bir
model haline getirir.
 Lévy skew alpha-stable dağılımlar ile akrabalık ise;
 Olarak verilebiliyorsa; X değişkeni Cauchy(μ,γ) olarak dağılır.
 Bu da Cauchy dağılının FRAKTAL FİNANS çalışmaları için önemli bir
model yapar.
),− µγα ,0,1(~ SSLevyX
Weibull Dağılımı
Burada k > 0 biçim parametresi ve λ > 0 ölçek parametresidir.
Weibull dağılımı esnek yapısı nedeniyle ömür verilerinin (arıza-bakım)
analizinde kullanılır. Ayrıca başata üstel dağılım olmak üzere diğer
dağılımları da oldukça taklit edebilir.
 Şayet arıza oranı zaman içinde azalırsa, k < 1
 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k = 1
 Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k > 1
Olacaktır..
 k=3.4 değerini aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma benzer hale
gelir.
 k=1 için ise Weibull dağılımı üstel dağılım haline dönüşür.
0),;(için0xiçin ve0x
/(1//(),;(
=<=>
)−−))(=
λ
λ
λλλ
kxf
kx
ekxkkxf
Weibull Probabilite Yoğunluk
Fonksiyonu
Weibull dağılım fonksiyonları
Parameters               scale (real)
                shape (real)
Support                               
Probability density function (pdf)                                                          
Cumulative distribution function (cdf)                               
Mean                             
Median                        
Mode                               if k > 1
Variance                                              
Skewness                                                             
Excess kurtosis (see text)
Entropy                                                             
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
Rayleigh Dağılımı
 Rayleigh dağılımı iki boyutlu bir vektörün (0 orijinli) boyutlarının N(0, σ2
) normal
dağıldığı bir durumu yansıtır. Bu boyutların ayrıca bağımsız olması ve aynı σσ22
varyansa sahip olmaları gerekir.
 Bu halde vektörün büyüklüğü (örn: rüzgar hızı, stok fiyat değişimi) bir Rayleigh
dağılıma sahip olacaktır.
 Dağılım bir çok popüler dağılıma akrabadır ve bunların bir özel hali gibidir.
 Tek parametreli olup beklenen değeri varyansı
 Şeklindedir. Buna göre sadece volatilitesi bilinen fiyat değişimleri için iyi bir
modeldir.
 NOT: Dağılımın varyansının σ2
olmadığına dikkat edilmelidir. σ2
boyut bileşenlerin
varyansından gelmektedir ve hesaplanması da kolaydır.
2
π
σ 2
2
4
σ
π−
[ )∞∈
−
= ,0
2
)
)2
2/2exp(
)|( x
xx
xf
σ
σ
σ
Rayleigh Probabilite Yoğunluk Fonksiyonu
Rayleigh Dağılım Fonksiyonları
Support                                              
Probability density
function (pdf)                              
Cumulative distribution
function (cdf)                                       
Mean              
Median                      
Mode    
Variance                    
Skewness
                              
Excess kurtosis
                                           
Entropy
                                            
Moment-generating
function (mgf)                                                                                   
Characteristic function
                                                                                 
Rayleigh ile İlgili Dağılımlar
 Şayet X~N(0, σ2
) ve Y~N(0, σ2
) iki bağımsız standart normal değişken ise ve
R=(X2
+Y2
)1/2
ise R~Rayleigh(σ ) dağılımıdır. Dağılımdaki sigma parametresinin
kaynağı budur.
 Rayleigh dağılımı 2-boyutlu uzayda normal bir vektörün büyüklüğü ile
ilgilidir.
 R~Rayleigh(1) ise, R2
iki serbestlik derecesi ile chi-kare dağılıma sahiptir.
 Şayet X , X~exponential(x/lamda) şeklinde üstel dağılıyorsa;
 Şayet R~Rayleigh(σ ) ise; parametreleri N ve 2σ2
olan bir gamma
dağılımıdır
 Chi-Kare dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.
 Weibull dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.
)1/2)2= σλσ /(~2( yRayleighXY

Más contenido relacionado

Andere mochten auch

Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2Aretiasus
 
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...Fatma ÇINAR
 
500 Uzerinde Seat Olan Firmalar
500 Uzerinde Seat Olan Firmalar500 Uzerinde Seat Olan Firmalar
500 Uzerinde Seat Olan FirmalarAretiasus
 
Risk Report (abridged)
Risk Report (abridged)Risk Report (abridged)
Risk Report (abridged)Fatma ÇINAR
 
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6Aretiasus
 
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; Ahenk
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; AhenkMükemmelliğe Bir Yolculuktur ; Ahenk
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; AhenkFatma ÇINAR
 
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1Aretiasus
 
Teknoloji Kullanimi - 9
Teknoloji Kullanimi - 9Teknoloji Kullanimi - 9
Teknoloji Kullanimi - 9Aretiasus
 
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇k
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇kLevi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇k
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇kFatma ÇINAR
 
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...Fatma ÇINAR
 
Veri Görselleştirme ve Grafik Datamining
Veri Görselleştirme ve Grafik DataminingVeri Görselleştirme ve Grafik Datamining
Veri Görselleştirme ve Grafik DataminingFatma ÇINAR
 
Teknoloji Kullanimi - 8
Teknoloji Kullanimi - 8Teknoloji Kullanimi - 8
Teknoloji Kullanimi - 8Aretiasus
 
Küresel Endeks Tuzakları
Küresel Endeks Tuzakları Küresel Endeks Tuzakları
Küresel Endeks Tuzakları Fatma ÇINAR
 
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard Graphics
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard GraphicsVisual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard Graphics
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard GraphicsFatma ÇINAR
 
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty Management
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty ManagementFractal Organizations Part II – Object Based Complexİty Management
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty ManagementFatma ÇINAR
 
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...Fatma ÇINAR
 
Cagri Merkezi Insan Kaynaklari
Cagri Merkezi Insan KaynaklariCagri Merkezi Insan Kaynaklari
Cagri Merkezi Insan KaynaklariAretiasus
 

Andere mochten auch (20)

Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-2
 
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...
AUTOMOTIVE DISTRIBUTERS ASSOCIATION (ADA) CHART OF TURKEY: Graphical Data-Min...
 
500 Uzerinde Seat Olan Firmalar
500 Uzerinde Seat Olan Firmalar500 Uzerinde Seat Olan Firmalar
500 Uzerinde Seat Olan Firmalar
 
Risk Report (abridged)
Risk Report (abridged)Risk Report (abridged)
Risk Report (abridged)
 
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6
Cagri Merkezi Mesleki Yabanci Dil Ornek Diyalog 6
 
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; Ahenk
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; AhenkMükemmelliğe Bir Yolculuktur ; Ahenk
Mükemmelliğe Bir Yolculuktur ; Ahenk
 
Risk Rapor Enerji
Risk Rapor EnerjiRisk Rapor Enerji
Risk Rapor Enerji
 
Rapor Analitik
Rapor AnalitikRapor Analitik
Rapor Analitik
 
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1
Telefonda yapilmamasi gereken konusma ornekleri-1
 
Teknoloji Kullanimi - 9
Teknoloji Kullanimi - 9Teknoloji Kullanimi - 9
Teknoloji Kullanimi - 9
 
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇k
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇kLevi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇k
Levi̇nson Ölçeği̇ ve Yaratıcı – Önder Yöneti̇ci̇li̇k
 
Kapak Ornek
Kapak OrnekKapak Ornek
Kapak Ornek
 
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...
VISUAL ANALYSIS OF ELECTRICITY DEMAND: ENERGY DASHBOARD GRAPHICS Graphical Da...
 
Veri Görselleştirme ve Grafik Datamining
Veri Görselleştirme ve Grafik DataminingVeri Görselleştirme ve Grafik Datamining
Veri Görselleştirme ve Grafik Datamining
 
Teknoloji Kullanimi - 8
Teknoloji Kullanimi - 8Teknoloji Kullanimi - 8
Teknoloji Kullanimi - 8
 
Küresel Endeks Tuzakları
Küresel Endeks Tuzakları Küresel Endeks Tuzakları
Küresel Endeks Tuzakları
 
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard Graphics
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard GraphicsVisual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard Graphics
Visual Analysis of Electricity Demand: Energy Dashboard Graphics
 
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty Management
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty ManagementFractal Organizations Part II – Object Based Complexİty Management
Fractal Organizations Part II – Object Based Complexİty Management
 
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...
Unsupervised Machine Learning by Examples Clustering, Dimension Reduction, El...
 
Cagri Merkezi Insan Kaynaklari
Cagri Merkezi Insan KaynaklariCagri Merkezi Insan Kaynaklari
Cagri Merkezi Insan Kaynaklari
 

Mehr von Kutlu MERİH

BUYUK VERI ILE RISK YONETIMI
BUYUK VERI ILE RISK YONETIMIBUYUK VERI ILE RISK YONETIMI
BUYUK VERI ILE RISK YONETIMIKutlu MERİH
 
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMI
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMIATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMI
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMIKutlu MERİH
 
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHAL
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHALM. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHAL
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHALKutlu MERİH
 
TASITKREDISI RISK RAPORU
TASITKREDISI RISK RAPORUTASITKREDISI RISK RAPORU
TASITKREDISI RISK RAPORUKutlu MERİH
 
RISK RAPORU TURKIYE
RISK RAPORU TURKIYERISK RAPORU TURKIYE
RISK RAPORU TURKIYEKutlu MERİH
 
TASIT KREDILERI RISK RAPORU
TASIT KREDILERI RISK RAPORUTASIT KREDILERI RISK RAPORU
TASIT KREDILERI RISK RAPORUKutlu MERİH
 
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesi
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesiG20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesi
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesiKutlu MERİH
 
MKA MEDENI BILGILER
MKA MEDENI BILGILERMKA MEDENI BILGILER
MKA MEDENI BILGILERKutlu MERİH
 
Black-Scholes difuzyon
Black-Scholes difuzyonBlack-Scholes difuzyon
Black-Scholes difuzyonKutlu MERİH
 
Black-Scholes Integral
Black-Scholes IntegralBlack-Scholes Integral
Black-Scholes IntegralKutlu MERİH
 
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICES
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICESTEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICES
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICESKutlu MERİH
 
Fractal organizations part ii – object based complexity management
Fractal organizations part ii – object based complexity managementFractal organizations part ii – object based complexity management
Fractal organizations part ii – object based complexity managementKutlu MERİH
 
FUTURISTIC MANAGEMENT
FUTURISTIC MANAGEMENTFUTURISTIC MANAGEMENT
FUTURISTIC MANAGEMENTKutlu MERİH
 

Mehr von Kutlu MERİH (20)

ATATURK FELSEFESI
ATATURK FELSEFESIATATURK FELSEFESI
ATATURK FELSEFESI
 
BUYUK VERI ILE RISK YONETIMI
BUYUK VERI ILE RISK YONETIMIBUYUK VERI ILE RISK YONETIMI
BUYUK VERI ILE RISK YONETIMI
 
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMI
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMIATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMI
ATATURK EPISTEMELOJISI VE ATATURK HUMANIZMI
 
RISK RAPOR INSAAT
RISK RAPOR INSAATRISK RAPOR INSAAT
RISK RAPOR INSAAT
 
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHAL
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHALM. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHAL
M. KEMAL: ZABIT VE KUMANDAN ILE HASBIHAL
 
TASITKREDISI RISK RAPORU
TASITKREDISI RISK RAPORUTASITKREDISI RISK RAPORU
TASITKREDISI RISK RAPORU
 
RAPOR ANALITIGI
RAPOR ANALITIGIRAPOR ANALITIGI
RAPOR ANALITIGI
 
RISK RAPORU TURKIYE
RISK RAPORU TURKIYERISK RAPORU TURKIYE
RISK RAPORU TURKIYE
 
KONUT RISK RAPORU
KONUT RISK RAPORUKONUT RISK RAPORU
KONUT RISK RAPORU
 
TASIT KREDILERI RISK RAPORU
TASIT KREDILERI RISK RAPORUTASIT KREDILERI RISK RAPORU
TASIT KREDILERI RISK RAPORU
 
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesi
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesiG20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesi
G20 antalya-liderler-zirvesi-bildirgesi
 
MKA MEDENI BILGILER
MKA MEDENI BILGILERMKA MEDENI BILGILER
MKA MEDENI BILGILER
 
Black-Scholes difuzyon
Black-Scholes difuzyonBlack-Scholes difuzyon
Black-Scholes difuzyon
 
Black-Scholes Integral
Black-Scholes IntegralBlack-Scholes Integral
Black-Scholes Integral
 
Finansal Kitaplar
Finansal KitaplarFinansal Kitaplar
Finansal Kitaplar
 
Finmath egitimi
Finmath egitimiFinmath egitimi
Finmath egitimi
 
Degisim
DegisimDegisim
Degisim
 
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICES
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICESTEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICES
TEST OF THE CREDIBILITY OF POPULAR GLOBAL INDICES
 
Fractal organizations part ii – object based complexity management
Fractal organizations part ii – object based complexity managementFractal organizations part ii – object based complexity management
Fractal organizations part ii – object based complexity management
 
FUTURISTIC MANAGEMENT
FUTURISTIC MANAGEMENTFUTURISTIC MANAGEMENT
FUTURISTIC MANAGEMENT
 

Dagilimlar

  • 1. A- NORMAL DA ILIMĞ B- LOG-NORMAL DA ILIMĞ C- LEVY STABLE DA ILIMLARĞ * CAUCHY DA ILIMIĞ *WEIBULL DA ILIMIĞ * RAYLEIGH DA ILIMI (öneri)Ğ Doc. Dr. Kutlu MERIH http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL DAĞILIM KANUNLARI
  • 2.         −− = 22 2)( exp 2 1 )( σπσ ux xf Normal Dağılım Fonksiyonu Bu dağılım fonksiyonu, Brown hareketlerini ve finansal aktif değerlerinin değişimini modelleyen Wiener süreçlerinin ve buna dayanan Black-Scholes Modelinin temel matematik yapısını oluşturuyor. Bu dağılım “ayrıca” matematik istatistikte diğer dağılımların da deney sayıları çoğaldığında ulaştığı bir Merkez Limit rolünü üstleniyor.
  • 3. Normal Dağılım Parameters μ location (real)  σ2 > 0 squared scale (real) Probability density function (pdf)                                                                Cumulative distribution function (cdf)                                               Mean μ Median μ Mode μ Variance σ2 Skewness 0 Excess kurtosis 0 Entropy                                Moment-generating function (mgf)                                                                    Characteristic function                                                                    
  • 6. Normal Dağılımın Finansal Değişkenler İle İlişkisi 1900 lerde Louis Bachelier senetlerin fiyat değişiminin normal dağılıma sahip olduğunu göstermişti. Bu yaklaşım şimdi biraz daha modifiye edildi. Ekonomik değişkenlerin genellikle additif değil multiplikatif özellikler gösterdiği anlaşıldı. Buna göre ekonomik değişkenler genellikle normal değil fakat lognormal değişimler gösterirler. Yani değerlerine karşılık getirileri genellikle lognormal dağılır.
  • 7. log-normal dağılım sağ yarım eksende pozitif değerler için, logaritmaları normal dağılan rasgele değişkenlerin matematik formudur. Şayet Y normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ise; X = exp(Y) log-normal dağılıma sahiptir. Benzer olarak X log-normal dağılıma sahip ise, log(X) normal dağılır. Burada logaritma tabanının seçimi farketmez. Herhangi pozitif a, b ≠ 1 için, şayet loga(X) normal dağılıyor ise, logb(X) de normal dağılır. Bir değişken şayet bir çok ufak bağımsız faktörün çarpımından oluşuyor ise, bu değişken log-normal dağılacaktır. Örneğin bir stok yatırımının uzun dönem getirisi aslında günlük getirilerinin çarpımı gibi düşünülebilir ve böylece log-normal dağılacaktır. Log-normal Dağılım         −− =, 22 2)(ln exp 2 1 );( σ µ πσ σµ x x xf
  • 10. Parameters σ > 0                                       Support                    Probability density function (pdf)                                                                        Cumulative distribution function (cdf)                                                      Mean                   Median      Mode              Variance                                     Skewness                                          Excess kurtosis                                                           Entropy                                                 
  • 11. Log-normal Finansal Analizde Yaygın Kullanılır Fakat Levy-Stable Fraktal Dağılımlar Önem Kazanıyor  Verilerin log-normal dağıldığı finans alanında ve özellikle aktif-fiyatlamada en çok kullanılan hipotezdir.  Yine de bu modelde düzeltmeler yapılması gereği kaos kuramcıları ve özellikle Fraktallerin yaratıcısı Benoit MANDELBROT tarafından önerilmiştir.  Mandelbrot, pamuk fiyatları üzerinde yaptığı çalışmada, kısa zaman süreleri (örneğin bir gün) için logaritmalardaki değişimlerin sonlu bir varyansı olmayan ve dolayısı ile merkezi limit teoreminin uygulanamayacağı tipten dağılımlara uyduğunu ortaya koydu.  Bu dağılımlar daha ziyade Log-Levy tipinde Stable olarak adlandırılan dağılımlar gerektiriyordu. (Paul H. LEVY, Mandelbrot’un hocası idi)  Bu tür dağılımların uygulandığı analizlere FRAKTAL FİNANS diyeceğiz ve farklı bir sunumun konusu olacak.
  • 12. Stable-dağılımlar ve Tombul Kuyrukları Stable dağılımlar önemlerini iki özelliklerine boçludurlar. Bu dağılımlar ikinci ve (veya birinci) momentleri olmayan rasgele değişkenler için de Merkez Limit Teoreminin genelleştirilmesine olanak sağlarlar ve stable aile dağılımları kendine-benzerlik (self-similarity) veya sonzuz-bölünebilme (infinit-divizibility) özelliği gösterirler. Diğer bir deyişle stable dağılan değişkenlerin lineer kombinezonları da stable dağılır.
  • 13. Levy Skew Alpha-Stable Dağılım μ bir shift parametresidir, β bir asimetri ölçüsü, β=0 ile dağılım μ etrafında simetrik olur. c dağılımın genişliğini belirleyen bir skala faktörü ve α dağılıma özgü bir exponent veya endex olup dağılımın α < 2 için asimptotik davranışını belirler. α = 1 için dağılım CAUCHY ve α = 2 için dağılım NORMAL formunu alır. Stable dağılımların farklı parametrik türleri de vardır fakat bu en genel olanıdır. 1||log)/2( 1)2/tan( )])sgn(1(||exp[)( 2/1(,;( =−=Φ <>=Φ Φ−−= ∫ ∞ ∞− −)()=),, απ απα β α µϕ ϕπµβα t tictitt dtitxetcxf
  • 14. Stable Dağılımlar ve Fraktal Finans Benoît Mandelbrot stable dağılımların bu kendine- benzerlik özelliklerinden yararlanarak Fraktal-Finans ve Fractional Brown Hareketi modelini geliştirdi. Pamuk fiyatlarının α için 1.7 değeri ile stable dağıldığını gösterdi. Levy skew alpha-stable dağılımlar kritik davranış ve finansal süreç olaylarında yaygın olarak gözlenir. Bütün stable dağılımlar sonsuz olarak bölünebilirler. Normal dağılım α=2, değeri ile bu kurala uymaz. Stable dağılımlar Tombul-Kuyruklu (Heavy-tailed) olarak adlandırılır.
  • 19. Parameters                        exponent (real)                            skewness (real)                          scale (real)                                    location (real) Support                                         (real) Probability density function (pdf) usually not analytically expressible (see text) Cumulative distribution function (cdf) usually not analytically expressible (see text) Mean undefined when α≤1, otherwise μ Median usually not analytically expressible (see text). Equal to μ when β=0 Mode usually not analytically expressible. Equal to μ when β=0 Variance infinite except when α=2, when it is 2c2 Skewness undefined except when α=2, when it is 0 Excess kurtosis undefined except when α=2, when it is 0 Entropy not analytically expressible (see text) Moment-generating function (mgf) undefined Characteristic function                                                                                                                              for                                                              for               
  • 20. Burada x0 dağılımın tepe noktasını belirleyen bir lokasyon parametresidir. Normal dağılım gibi dağılımın beklenen değerine eşit değildir. Çünkü beklenen değer sonsuz. γ dağılımın skala parametresidir ve yaygınlığı belirler. x0 = 0 ve γ = 1 durumuna standart Cauchy dağılım denir ve yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir; Cauchy Dağılımı         +− =               − + = 22)( 1 2 1 1 ),;( 0 0 0 γ γ π γ γπ γ xxxx xxf )]2/[1)1,0;( xxf +(1= π
  • 23. Parameters        location (real)                 scale (real) Support                                         Probability density function (pdf)                                               Cumulative distribution function (cdf)                                                             Mean not defined Median x0 Mode x0 Variance not defined Skewness not defined Excess kurtosis not defined Entropy                       Moment-generating function (mgf) not defined Characteristic function                                            
  • 24. Cauchy Standart-Normal Akrabalığı  İki bağımsız standart Normal N(0,1) X,Y değişkeninin X/Y veya Y/X oranı bir standart Cauchy değişkeni, Cauchy(0,1) dir.  Buna göre Cauchy dağılımı aslında bir oran dağılımıdır ve bu nedenle stok değerlerinin değişim yüzdelerinin modellenmesinde uygun bir model yaratır.  Standard Cauchy(0,1) dağılımı ise yine istatistikte yaygın kullanılan ve tabloları olan Student's t dağılımının 1 serbestlik dereceli versiyonudur.  Bu özellik te Cauchy dağılımını finansal serilerin analizinde önmeli bir model haline getirir.  Lévy skew alpha-stable dağılımlar ile akrabalık ise;  Olarak verilebiliyorsa; X değişkeni Cauchy(μ,γ) olarak dağılır.  Bu da Cauchy dağılının FRAKTAL FİNANS çalışmaları için önemli bir model yapar. ),− µγα ,0,1(~ SSLevyX
  • 25. Weibull Dağılımı Burada k > 0 biçim parametresi ve λ > 0 ölçek parametresidir. Weibull dağılımı esnek yapısı nedeniyle ömür verilerinin (arıza-bakım) analizinde kullanılır. Ayrıca başata üstel dağılım olmak üzere diğer dağılımları da oldukça taklit edebilir.  Şayet arıza oranı zaman içinde azalırsa, k < 1  Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k = 1  Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k > 1 Olacaktır..  k=3.4 değerini aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma benzer hale gelir.  k=1 için ise Weibull dağılımı üstel dağılım haline dönüşür. 0),;(için0xiçin ve0x /(1//(),;( =<=> )−−))(= λ λ λλλ kxf kx ekxkkxf
  • 28. Parameters               scale (real)                 shape (real) Support                                Probability density function (pdf)                                                           Cumulative distribution function (cdf)                                Mean                              Median                         Mode                               if k > 1 Variance                                               Skewness                                                              Excess kurtosis (see text) Entropy                                                              Moment-generating function (mgf) Characteristic function
  • 29. Rayleigh Dağılımı  Rayleigh dağılımı iki boyutlu bir vektörün (0 orijinli) boyutlarının N(0, σ2 ) normal dağıldığı bir durumu yansıtır. Bu boyutların ayrıca bağımsız olması ve aynı σσ22 varyansa sahip olmaları gerekir.  Bu halde vektörün büyüklüğü (örn: rüzgar hızı, stok fiyat değişimi) bir Rayleigh dağılıma sahip olacaktır.  Dağılım bir çok popüler dağılıma akrabadır ve bunların bir özel hali gibidir.  Tek parametreli olup beklenen değeri varyansı  Şeklindedir. Buna göre sadece volatilitesi bilinen fiyat değişimleri için iyi bir modeldir.  NOT: Dağılımın varyansının σ2 olmadığına dikkat edilmelidir. σ2 boyut bileşenlerin varyansından gelmektedir ve hesaplanması da kolaydır. 2 π σ 2 2 4 σ π− [ )∞∈ − = ,0 2 ) )2 2/2exp( )|( x xx xf σ σ σ
  • 32. Support                                               Probability density function (pdf)                               Cumulative distribution function (cdf)                                        Mean               Median                       Mode     Variance                     Skewness                                Excess kurtosis                                             Entropy                                              Moment-generating function (mgf)                                                                                    Characteristic function                                                                                  
  • 33. Rayleigh ile İlgili Dağılımlar  Şayet X~N(0, σ2 ) ve Y~N(0, σ2 ) iki bağımsız standart normal değişken ise ve R=(X2 +Y2 )1/2 ise R~Rayleigh(σ ) dağılımıdır. Dağılımdaki sigma parametresinin kaynağı budur.  Rayleigh dağılımı 2-boyutlu uzayda normal bir vektörün büyüklüğü ile ilgilidir.  R~Rayleigh(1) ise, R2 iki serbestlik derecesi ile chi-kare dağılıma sahiptir.  Şayet X , X~exponential(x/lamda) şeklinde üstel dağılıyorsa;  Şayet R~Rayleigh(σ ) ise; parametreleri N ve 2σ2 olan bir gamma dağılımıdır  Chi-Kare dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.  Weibull dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir. )1/2)2= σλσ /(~2( yRayleighXY