1. A- NORMAL DA ILIMĞ
B- LOG-NORMAL DA ILIMĞ
C- LEVY STABLE DA ILIMLARĞ
* CAUCHY DA ILIMIĞ
*WEIBULL DA ILIMIĞ
* RAYLEIGH DA ILIMI (öneri)Ğ
Doc. Dr. Kutlu MERIH
http://socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Distributions.html
FİNANS MATEMATİĞİNİN TEMEL
DAĞILIM KANUNLARI
2.
−−
=
22
2)(
exp
2
1
)(
σπσ
ux
xf
Normal Dağılım Fonksiyonu
Bu dağılım fonksiyonu, Brown hareketlerini ve finansal aktif
değerlerinin değişimini modelleyen Wiener süreçlerinin ve
buna dayanan Black-Scholes Modelinin temel matematik yapısını
oluşturuyor. Bu dağılım “ayrıca” matematik istatistikte diğer
dağılımların da deney sayıları çoğaldığında ulaştığı bir Merkez
Limit rolünü üstleniyor.
3. Normal Dağılım
Parameters μ location (real) σ2
> 0 squared scale (real)
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean μ
Median μ
Mode μ
Variance σ2
Skewness 0
Excess kurtosis 0
Entropy
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
6. Normal Dağılımın Finansal Değişkenler İle İlişkisi
1900 lerde Louis Bachelier senetlerin fiyat
değişiminin normal dağılıma sahip olduğunu
göstermişti.
Bu yaklaşım şimdi biraz daha modifiye edildi.
Ekonomik değişkenlerin genellikle additif değil
multiplikatif özellikler gösterdiği anlaşıldı.
Buna göre ekonomik değişkenler genellikle
normal değil fakat lognormal değişimler
gösterirler.
Yani değerlerine karşılık getirileri
genellikle lognormal dağılır.
7. log-normal dağılım sağ yarım eksende pozitif değerler için, logaritmaları
normal dağılan rasgele değişkenlerin matematik formudur.
Şayet Y normal dağılıma sahip bir rasgele değişken ise;
X = exp(Y) log-normal dağılıma sahiptir.
Benzer olarak X log-normal dağılıma sahip ise, log(X) normal dağılır. Burada
logaritma tabanının seçimi farketmez. Herhangi pozitif a, b ≠ 1 için, şayet
loga(X) normal dağılıyor ise, logb(X) de normal dağılır.
Bir değişken şayet bir çok ufak bağımsız faktörün çarpımından oluşuyor ise, bu
değişken log-normal dağılacaktır.
Örneğin bir stok yatırımının uzun dönem getirisi aslında günlük
getirilerinin çarpımı gibi düşünülebilir ve böylece log-normal dağılacaktır.
Log-normal Dağılım
−−
=,
22
2)(ln
exp
2
1
);(
σ
µ
πσ
σµ
x
x
xf
10. Parameters σ > 0
Support
Probability density
function (pdf)
Cumulative
distribution function
(cdf)
Mean
Median
Mode
Variance
Skewness
Excess kurtosis
Entropy
11. Log-normal Finansal Analizde Yaygın Kullanılır
Fakat Levy-Stable Fraktal Dağılımlar Önem Kazanıyor
Verilerin log-normal dağıldığı finans alanında ve özellikle aktif-fiyatlamada en
çok kullanılan hipotezdir.
Yine de bu modelde düzeltmeler yapılması gereği kaos kuramcıları ve özellikle
Fraktallerin yaratıcısı Benoit MANDELBROT tarafından önerilmiştir.
Mandelbrot, pamuk fiyatları üzerinde yaptığı çalışmada, kısa zaman süreleri
(örneğin bir gün) için logaritmalardaki değişimlerin sonlu bir varyansı olmayan
ve dolayısı ile merkezi limit teoreminin uygulanamayacağı tipten dağılımlara
uyduğunu ortaya koydu.
Bu dağılımlar daha ziyade Log-Levy tipinde Stable olarak adlandırılan
dağılımlar gerektiriyordu. (Paul H. LEVY, Mandelbrot’un hocası idi)
Bu tür dağılımların uygulandığı analizlere FRAKTAL FİNANS diyeceğiz ve
farklı bir sunumun konusu olacak.
12. Stable-dağılımlar ve
Tombul Kuyrukları
Stable dağılımlar önemlerini iki özelliklerine boçludurlar.
Bu dağılımlar ikinci ve (veya birinci) momentleri olmayan
rasgele değişkenler için de Merkez Limit Teoreminin
genelleştirilmesine olanak sağlarlar ve stable aile dağılımları
kendine-benzerlik (self-similarity) veya sonzuz-bölünebilme
(infinit-divizibility) özelliği gösterirler.
Diğer bir deyişle stable dağılan değişkenlerin lineer
kombinezonları da stable dağılır.
13. Levy Skew Alpha-Stable Dağılım
μ bir shift parametresidir, β bir asimetri ölçüsü, β=0 ile dağılım μ etrafında
simetrik olur. c dağılımın genişliğini belirleyen bir skala faktörü ve α dağılıma
özgü bir exponent veya endex olup dağılımın α < 2 için asimptotik davranışını
belirler.
α = 1 için dağılım CAUCHY ve α = 2 için dağılım NORMAL formunu alır.
Stable dağılımların farklı parametrik türleri de vardır fakat bu en genel
olanıdır.
1||log)/2(
1)2/tan(
)])sgn(1(||exp[)(
2/1(,;(
=−=Φ
<>=Φ
Φ−−=
∫
∞
∞−
−)()=),,
απ
απα
β
α
µϕ
ϕπµβα
t
tictitt
dtitxetcxf
14. Stable Dağılımlar ve Fraktal Finans
Benoît Mandelbrot stable dağılımların bu kendine-
benzerlik özelliklerinden yararlanarak Fraktal-Finans ve
Fractional Brown Hareketi modelini geliştirdi. Pamuk
fiyatlarının α için 1.7 değeri ile stable dağıldığını gösterdi.
Levy skew alpha-stable dağılımlar kritik davranış ve
finansal süreç olaylarında yaygın olarak gözlenir.
Bütün stable dağılımlar sonsuz olarak bölünebilirler.
Normal dağılım α=2, değeri ile bu kurala uymaz.
Stable dağılımlar Tombul-Kuyruklu (Heavy-tailed) olarak
adlandırılır.
19. Parameters exponent (real)
skewness (real)
scale (real)
location (real)
Support (real)
Probability density function (pdf) usually not analytically expressible (see text)
Cumulative distribution function
(cdf)
usually not analytically expressible (see text)
Mean undefined when α≤1, otherwise μ
Median usually not analytically expressible (see text). Equal to μ when β=0
Mode usually not analytically expressible. Equal to μ when β=0
Variance infinite except when α=2, when it is 2c2
Skewness undefined except when α=2, when it is 0
Excess kurtosis undefined except when α=2, when it is 0
Entropy not analytically expressible (see text)
Moment-generating function (mgf) undefined
Characteristic function
for
for
20. Burada x0
dağılımın tepe noktasını belirleyen bir lokasyon parametresidir.
Normal dağılım gibi dağılımın beklenen değerine eşit değildir. Çünkü beklenen
değer sonsuz.
γ dağılımın skala parametresidir ve yaygınlığı belirler.
x0
= 0 ve γ = 1 durumuna standart Cauchy dağılım denir ve yoğunluk
fonksiyonu aşağıdaki gibidir;
Cauchy Dağılımı
+−
=
−
+
=
22)(
1
2
1
1
),;(
0
0
0
γ
γ
π
γ
γπ
γ
xxxx
xxf
)]2/[1)1,0;( xxf +(1= π
23. Parameters location (real)
scale (real)
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function
(cdf)
Mean not defined
Median x0
Mode x0
Variance not defined
Skewness not defined
Excess kurtosis not defined
Entropy
Moment-generating function (mgf) not defined
Characteristic function
24. Cauchy Standart-Normal Akrabalığı
İki bağımsız standart Normal N(0,1) X,Y değişkeninin X/Y veya Y/X oranı
bir standart Cauchy değişkeni, Cauchy(0,1) dir.
Buna göre Cauchy dağılımı aslında bir oran dağılımıdır ve bu nedenle stok
değerlerinin değişim yüzdelerinin modellenmesinde uygun bir model
yaratır.
Standard Cauchy(0,1) dağılımı ise yine istatistikte yaygın kullanılan ve
tabloları olan Student's t dağılımının 1 serbestlik dereceli versiyonudur.
Bu özellik te Cauchy dağılımını finansal serilerin analizinde önmeli bir
model haline getirir.
Lévy skew alpha-stable dağılımlar ile akrabalık ise;
Olarak verilebiliyorsa; X değişkeni Cauchy(μ,γ) olarak dağılır.
Bu da Cauchy dağılının FRAKTAL FİNANS çalışmaları için önemli bir
model yapar.
),− µγα ,0,1(~ SSLevyX
25. Weibull Dağılımı
Burada k > 0 biçim parametresi ve λ > 0 ölçek parametresidir.
Weibull dağılımı esnek yapısı nedeniyle ömür verilerinin (arıza-bakım)
analizinde kullanılır. Ayrıca başata üstel dağılım olmak üzere diğer
dağılımları da oldukça taklit edebilir.
Şayet arıza oranı zaman içinde azalırsa, k < 1
Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k = 1
Şayet arıza oranı zaman içinde sabitse, k > 1
Olacaktır..
k=3.4 değerini aldığında Weibull dağılımı Normal dağılıma benzer hale
gelir.
k=1 için ise Weibull dağılımı üstel dağılım haline dönüşür.
0),;(için0xiçin ve0x
/(1//(),;(
=<=>
)−−))(=
λ
λ
λλλ
kxf
kx
ekxkkxf
28. Parameters scale (real)
shape (real)
Support
Probability density function (pdf)
Cumulative distribution function (cdf)
Mean
Median
Mode if k > 1
Variance
Skewness
Excess kurtosis (see text)
Entropy
Moment-generating function (mgf)
Characteristic function
29. Rayleigh Dağılımı
Rayleigh dağılımı iki boyutlu bir vektörün (0 orijinli) boyutlarının N(0, σ2
) normal
dağıldığı bir durumu yansıtır. Bu boyutların ayrıca bağımsız olması ve aynı σσ22
varyansa sahip olmaları gerekir.
Bu halde vektörün büyüklüğü (örn: rüzgar hızı, stok fiyat değişimi) bir Rayleigh
dağılıma sahip olacaktır.
Dağılım bir çok popüler dağılıma akrabadır ve bunların bir özel hali gibidir.
Tek parametreli olup beklenen değeri varyansı
Şeklindedir. Buna göre sadece volatilitesi bilinen fiyat değişimleri için iyi bir
modeldir.
NOT: Dağılımın varyansının σ2
olmadığına dikkat edilmelidir. σ2
boyut bileşenlerin
varyansından gelmektedir ve hesaplanması da kolaydır.
2
π
σ 2
2
4
σ
π−
[ )∞∈
−
= ,0
2
)
)2
2/2exp(
)|( x
xx
xf
σ
σ
σ
32. Support
Probability density
function (pdf)
Cumulative distribution
function (cdf)
Mean
Median
Mode
Variance
Skewness
Excess kurtosis
Entropy
Moment-generating
function (mgf)
Characteristic function
33. Rayleigh ile İlgili Dağılımlar
Şayet X~N(0, σ2
) ve Y~N(0, σ2
) iki bağımsız standart normal değişken ise ve
R=(X2
+Y2
)1/2
ise R~Rayleigh(σ ) dağılımıdır. Dağılımdaki sigma parametresinin
kaynağı budur.
Rayleigh dağılımı 2-boyutlu uzayda normal bir vektörün büyüklüğü ile
ilgilidir.
R~Rayleigh(1) ise, R2
iki serbestlik derecesi ile chi-kare dağılıma sahiptir.
Şayet X , X~exponential(x/lamda) şeklinde üstel dağılıyorsa;
Şayet R~Rayleigh(σ ) ise; parametreleri N ve 2σ2
olan bir gamma
dağılımıdır
Chi-Kare dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.
Weibull dağılımı Rayleigh dağılımının genelleştirilmişidir.
)1/2)2= σλσ /(~2( yRayleighXY