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4階と5階のあいだ
みうら
2017/4/1 ロマンティック数学ナイトボーイズ
~「有限」に思いを馳せて~
・大学院(修士)で代数学を勉強中
・素数大富豪世界1位(ってことになってる)
・最近の趣味は、パズルを作って
「みらいけん数学デー」に持っていくこと
自己紹介
楽しい
今日の日付は…
1/4
4/1 = 4
= 0.25
有限小数!
イギリス式英語での表記だと
2以上の整数の逆数を小数で表す
(1/1=1は小数とは言い難いので)
1/2=0.5
1/3=0.333333…
1/4=0.25
1/5=0.2
1/6=0.166666…
1/7=0.142857…
1/8=0.125
1/9=0.1111...
疑問
この先、このように有限小数が
連続することはあるのか?
有理数𝑟について、
𝑟を既約分数で表したとき
分母の素因数が2と5のみ
1/4=1/(2∙2)=0.25
1/5=1/5=0.2
1/6=1/(2∙3)=0.1666…
1/7=1/7=0.142857…
𝑟が(十進法で)
有限小数で書ける
前...
これより、
1
𝑛
と
1
𝑛+1
がともに有限小数で
表せるための必要十分条件は
𝑛 + 𝑛 = 2 𝑎 ∙ 5 𝑏
𝑛 + 1 = 2 𝑐
∙ 5 𝑑
なる非負整数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が存在すること
しかし、連続する二つの整数がともに偶数
だったり、ともに5の倍数ということはない
結局
𝑛, 𝑛 + 1 = {2 𝑒, 5 𝑓}
(𝑒, 𝑓は1以上の整数)
でなければならない
ここで大道具
カタラン予想
〈カタラン予想〉
連続する「べき乗数」は8と9のみ
べき乗数とは、 𝑢 𝑣(𝑢, 𝑣は2以上の整数)
と書ける数のこと
2002年、P.ミハイレスクにより肯定的に解決
(𝑛は2以上なので)カタラン予想より、
𝑛, 𝑛 + 1 = 2 𝑒
, 5 𝑓
⇒ 𝑒 = 1 または 𝑓 = 1
結局、 𝑛, 𝑛 + 1 = 22
, 5 = 𝟒 , 𝟓 しか
ありえない(証明完了!)
※カタラン予想を使わずに初等的に解...
系として、2以上の整数𝑛に対して
𝑛 + 1
𝑛
,
𝑛
𝑛 + 1
がともに有限小数となるのは 𝑛 = 4 のとき
のみであることがわかる
(
5
4
= 1.25 ,
4
5
= 0.8 )
踊り場の表記にはこういうのもある↓
5|4
この書き方は特に、階段を下るときは
4を5で割りたくなる
結論
「4階と5階のあいだ」は
上りも下りも有限小数となる
唯一の場所である
4階と5階を行き来するときは
ぜひとも階段で!
みなさん、
「有限」に思いを馳せてみませんか?
4階と5階のあいだ
4階と5階のあいだ
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4階と5階のあいだ

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4階と5階のあいだ

  1. 1. 4階と5階のあいだ みうら 2017/4/1 ロマンティック数学ナイトボーイズ ~「有限」に思いを馳せて~
  2. 2. ・大学院(修士)で代数学を勉強中 ・素数大富豪世界1位(ってことになってる) ・最近の趣味は、パズルを作って 「みらいけん数学デー」に持っていくこと 自己紹介 楽しい
  3. 3. 今日の日付は… 1/4 4/1 = 4 = 0.25 有限小数! イギリス式英語での表記だと
  4. 4. 2以上の整数の逆数を小数で表す (1/1=1は小数とは言い難いので) 1/2=0.5 1/3=0.333333… 1/4=0.25 1/5=0.2 1/6=0.166666… 1/7=0.142857… 1/8=0.125 1/9=0.111111… 1/10=0.1 1/11=0.090909… 赤字:有限小数 隣接 している
  5. 5. 疑問 この先、このように有限小数が 連続することはあるのか?
  6. 6. 有理数𝑟について、 𝑟を既約分数で表したとき 分母の素因数が2と5のみ 1/4=1/(2∙2)=0.25 1/5=1/5=0.2 1/6=1/(2∙3)=0.1666… 1/7=1/7=0.142857… 𝑟が(十進法で) 有限小数で書ける 前提知識 ⇔ ↑有限小数 ↑無限小数
  7. 7. これより、 1 𝑛 と 1 𝑛+1 がともに有限小数で 表せるための必要十分条件は 𝑛 + 𝑛 = 2 𝑎 ∙ 5 𝑏 𝑛 + 1 = 2 𝑐 ∙ 5 𝑑 なる非負整数 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 が存在すること
  8. 8. しかし、連続する二つの整数がともに偶数 だったり、ともに5の倍数ということはない 結局 𝑛, 𝑛 + 1 = {2 𝑒, 5 𝑓} (𝑒, 𝑓は1以上の整数) でなければならない
  9. 9. ここで大道具
  10. 10. カタラン予想
  11. 11. 〈カタラン予想〉 連続する「べき乗数」は8と9のみ べき乗数とは、 𝑢 𝑣(𝑢, 𝑣は2以上の整数) と書ける数のこと 2002年、P.ミハイレスクにより肯定的に解決
  12. 12. (𝑛は2以上なので)カタラン予想より、 𝑛, 𝑛 + 1 = 2 𝑒 , 5 𝑓 ⇒ 𝑒 = 1 または 𝑓 = 1 結局、 𝑛, 𝑛 + 1 = 22 , 5 = 𝟒 , 𝟓 しか ありえない(証明完了!) ※カタラン予想を使わずに初等的に解く方法もあります
  13. 13. 系として、2以上の整数𝑛に対して 𝑛 + 1 𝑛 , 𝑛 𝑛 + 1 がともに有限小数となるのは 𝑛 = 4 のとき のみであることがわかる ( 5 4 = 1.25 , 4 5 = 0.8 )
  14. 14. 踊り場の表記にはこういうのもある↓ 5|4 この書き方は特に、階段を下るときは 4を5で割りたくなる
  15. 15. 結論 「4階と5階のあいだ」は 上りも下りも有限小数となる 唯一の場所である 4階と5階を行き来するときは ぜひとも階段で!
  16. 16. みなさん、 「有限」に思いを馳せてみませんか?

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