Propagacion de Ondas Electromagneticas-PROPAGACIÓN Y RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA I

PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

Cap´ıtulo 1
Propagación de Ondas
Electromagnéticas
1.1 Ecuaciones de Maxwell
Hasta ahora hemos estudiado las ecuaciones diferenciales de los campos
electromagneticos cuasi estaticos CECE:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.1)
∇ · B(r, t) = 0 Ley de Gauss Magnético (1.2)
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) Ley de Faraday (1.3)
∇ × H(r, t) = J(r, t) Ley de Ampere (1.4)
con las ecuaciones constitutivas:
D(r, t) = ε E(r, t) B(r, t) = µ H(r, t) J(r, t) = g E(r, t) (1.5)
donde ε, µ y g son, la permitividad, la permeabilidad y la conductividad
del medio, respectivamente. Maxwell se dio cuenta que la última ley
fallaba (ecuación 1.4). Como sabemos: La divergencia de un rotacional
siempre es cero. Entonces aplicando la divergencia a la ley de Ampere,
tenemos:
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t) =⇒ 0 = ∇ · J(r, t)
Esto no es verdad, contradice la ley de la conservación de la carga que
se expresa como:
∇ · J(r, t) +
∂
∂t
ρ(r, t) = 0 =⇒ ∇ · J(r, t) = −
∂
∂t
ρ(r, t) (1.6)
1

2CAPÍTULO 1. PROPAGACI ÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Maxwell supuso que a la ley de Ampere le faltaba un término que
le llamo: Densidad de corriente de desplazamiento Jd(r, t). As´ı, la
correción queda:
∇ × H(r, t) = J(r, t) + Jd(r, t) (1.7)
Está ecuación no debe contradecir la ley de conservación de la carga.
Aplicando la divergencia a (1.7):
∇ · ∇ × H(r, t) = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd(r, t)
0 = ∇ · J(r, t) + ∇ · Jd(r, t)
Para que está ecuación sea equivalente a (1.6), debe cumplirse que
∇ · Jd(r, t) =
∂
∂t
ρ(r, t)
reemplazando (1.1), es decir la ley de Gauss en está ecuación:
∇ · Jd(r, t) =
∂
∂t
∇ · D(r, t) = ∇ ·
( ∂
∂t
D(r, t)
)
Entonces, la densidad de corriente de desplazamiento será:
Jd(r, t) =
∂
∂t
D(r, t)
Las leyes enunciadas al inicio de la exposición con la corrección, se
conocen como las ecuaciones de Maxwell en la forma diferencial:
∇ · D(r, t) = ρ(r, t) Ley de Gauss (1.8)
∇ · B(r, t) = 0 Gauss Magnético (1.9)
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) Ley de Faraday (1.10)
∇ × H(r, t) = J(r, t) +
∂
∂t
D(r, t) Ampere-Maxwell (1.11)
Se puede demostrar que las condiciones de frontera entre dos medios
no se modifican debido a este cambio. Aqui un repaso:
D2 n(r, t) − D1 n(r, t) = σ(r, t)
B2 n(r, t) = B1 n(r, t)
E2 t(r, t) = E1 t(r, t)

1.2. ECUACIONES DE MAXWELL FASORIAL 3
H2 t(r, t) − H1 t(r, t) = Kn(r, t)
o la expresión equivalente
ˆn2 × [H2(r, t) − H1(r, t)] = K(r, t)
Ejemplo 1 Demostrar que la ley de Gauss magnético y la ley de Fara-
day son dependientes
Solución Aplicando divergencia a (1.10), tenemos:
∇ · ∇ × E(r, t) = ∇ ·
(
−
∂
∂t
B(r, t)
)
= −
∂
∂t
∇ · B(r, t)
El lado izquierdo siempre es cero, entonces
0 = −
∂
∂t
∇ · B(r, t)
El lado derecho también, siempre debe ser cero
∇ · B(r, t) = 0
La contribución de las ecuaciones de Maxwell sirve para fundamentar
la teor´ıa del flujo de potencia electromagnético y la teor´ıa de las ondas
electromagnéticas
1.2 Ecuaciones de Maxwell Fasorial
Cuando los campos electromagnéticos varian en forma armonica (senoidal)
con frecuencia angular ω = 2πf, (f es la frecuencia en Hz) se puede
trabajar con fasores:



E(r, t)
D(r, t)
H(r, t)
B(r, t)



= Re








E(r)
D(r)
H(r)
B(r)





ej ω t



(1.12)
donde E(r), D(r), H(r) y B(r) son fasores
Ejemplo 2 Expresar el siguiente campo vectorial (onda), en forma
fasorial
H(r, t) = ˆx 2 sen(ω t − β0 z) + ˆy 3 cos(ω t − β0 z) A/m

Solución Utilizando la notación de Euler
ej θ
= cosθ + j senθ =⇒ Re {ej θ
} = cosθ
El campo H(r, t) puede expresarse como
H(r, t) = ˆx 2 cos(ω t − β0 z − π/2) + ˆy 3 cos(ω t − β0 z)
luego
H(r, t) = ˆx 2 Re {ej(ω t−β0 z−π/2)
} + ˆy 3 Re {ej(ω t−β0 z)
}
simplificando
H(r, t) = Re {[ˆx 2 e−j β0 z−j π/2
+ ˆy 3 e−j β0 z
]ej(ω t
}
Finalmente
H(r, t) = Re {[(−ˆx 2 j + ˆy 3)e−j β0 z
]ej ω t
}
El término entre corchetes es el fasor
H(r) = (−ˆx 2 j + ˆy 3)e−j β0 z
Ejemplo 3 Para los campos electromagnéticos que varian con una fre-
cuancia angular ω, expresar la ley de Faraday en forma fasorial
Solución Tenemos la ley de Faraday:
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t)
Utilizando (1.12)
∇ × Re {E(r) ej ω t
} = −
∂
∂t
Re {B(r) ej ω t
}
Transformando
Re {∇ × E(r) ej ω t
} = −Re {B(r) j ω ej ω t
}
El lado izquierdo debe ser igual al lado derecho para cualquier tiempo
∇ × E(r) = −j ω B(r)

1.3. TEORÍA DEL FLUJO DE POTENCIA ELECTROMAGNÉTICO5
Es la ley de Faraday fasorial. Se puede observar que para pasar de
tiempo real a fasor, basta utilizar la siguiente regla:
∂
∂t
→ j ω
Aplicando está regla a (1.8) hasta (1.11). Las ecuaciones de Maxwell
fasorial son
∇ · D(r) = ρ(r) Ley de Gauss (1.13)
∇ · B(r) = 0 Gauss magnético (1.14)
∇ × E(r) = −j ω B(r) Ley de Faraday (1.15)
∇ × H(r) = J(r) + j ω D(r) Ampere Maxwell (1.16)
1.3 Teor´ıa del flujo de potencia electro-
magnético
Utilizando la identidad vectorial conocida (aplicado a los campos elec-
tromagnéticos)
∇ ·
(
E × H
)
= H · ∇ × E − E · ∇ × H
Teniendo en cuenta (1.10) y (1.11) es decir:
∇ × E(r, t) = −
∂
∂t
B(r, t) y ∇ × H(r, t) = J(r, t) +
∂
∂t
D(r, t)
Entonces:
∇ ·
(
E × H
)
= −H ·
∂
∂t
B − E · J − E ·
∂
∂t
D (1.17)
Es fácil demostrar que:
∂
∂t
{
1
2
B · H
}
= H ·
∂
∂t
B y
∂
∂t
{
1
2
D · E
}
= E ·
∂
∂t
D
que reemplazando en (1.17), llegamos a:
−∇ ·
(
E × H
)
=
∂
∂t
{
1
2
B · H
}
+
∂
∂t
{
1
2
D · E
}
+ E · J
Integrando sobre un volumen cerrado y aplicando el teorema de la di-
vergencia al primer lado, llegamos al teorema de Poyting
−
S
E×H·ˆn d S =
∫
V
∂
∂t
{
1
2
B · H +
1
2
D · E
}
d V +
∫
V
E·Jd V (1.18)

El lado izquierdo de (1.18) es el flujo de potencia que ingresa a un volu-
men a través de su superficie. La primera integral del lado derecho es la
variación temporal de la energ´ıa electromagnética dentro del volumen
y la última integral son las pérdidas en forma de calor (irreversibles).
Se define la densidad de flujo de potencia S o vector de Poyting como:
S = E(r, t) × H(r, t) (1.19)
1.3.1 Densidad de flujo de potencia promedio tem-
poral
Consideremos dos cantidades:
A = A0 ej ϕA
y B = B0 ej ϕB
En tiempo real será (aplicando (1.12)):
A(t) = A0cos(ω t + ϕA) y B(t) = B0cos(ω t + ϕB)
El producto será:
A(t) B(t) = A0 B0 cos(ω t + ϕA) cos(ω t + ϕB)
A(t) B(t) =
1
2
A0 B0[cos(ϕA − ϕB) + cos(2ω t + ϕA + ϕB)]
Tomando el valor promedio en el tiempo:
⟨A(t) B(t)⟩ =
1
2
A0 B0 cos(ϕA − ϕB)
el simbolo ⟨ ⟩ indica promedio en el tiempo. El lado derecho de la
ecuación anterior, es equivalente a 1/2 Re{A B∗
}:
1
2
Re{A B∗
} =
1
2
Re{A0 ej ϕA
B0 e−j ϕB
} =
1
2
A0 B0 cos(ϕA − ϕB)
Se concluye que en general el valor promedio en el tiempo es:
⟨A(t) B(t)⟩ =
1
2
Re{A B∗
}
Este resultado puede extenderse a un producto cruz, as´ı, la densidad
de flujo de potencia (vector de Poyting) promedio temporal será:
⟨S⟩ =
1
2
Re{E(r) × H∗
(r)} (1.20)

1.4. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 7
1.4 Ondas electromagnéticas
En está sección, estudiaremos la solución de las ecuaciones de Maxwell
en medios sin fuentes (ρ = 0 y J = 0). A está solución se conoce
como propagación electromagnética. Cuando se consideran las fuentes
se conoce como radiación electromagnética que se estudiará en el último
cap´ıtulo. El estudio se divide en dos partes:
- Dieléctrico ideal carácterizado por ε ̸= 0, µ ̸= 0 y g = 0
- Medio disipativo carácterizado por ε ̸= 0, µ ̸= 0 y g ̸= 0
Se considerará el medio lineal isotrópo u homogéneo, es decir, ε (per-
mitividad), µ (permeabilidad) y g (conductividad) son constantes.
1.4.1 Ecuación de onda fasorial en dieléctricos ide-
ales
Considerando la región libre de fuentes y las ecuaciones constitutivas
D(r) = ε E(r) y B(r) = µ H(r) las ecuaciones (1.13) hasta (1.16) se
transforman en:
∇ · D(r) = 0 ⇒ ∇ · E(r) = 0 (1.21)
∇ · B(r) = 0 ⇒ ∇ · H(r) = 0 (1.22)
∇ × E(r) = −j ω B(r) ⇒ ∇ × E(r) = −j ω µ H(r) (1.23)
∇ × H(r) = j ω D(r) ⇒ ∇ × H(r) = j ω εE(r) (1.24)
Aplicando rotacional a (1.23):
∇ × ∇ × E(r) = −j ω µ ∇ × H(r)
Al primer lado aplicamos una identidad vectorial conocida y al segundo
lado reemplazamos (1.24), tenemos:
∇
(
∇ · E(r)
)
− ∇2
E(r) = −j ω µ
(
j ω εE(r)
)
El primer término es cero, según (1.21). Finalmente:
∇2
E(r) + ω2
µ ε E(r) = 0 (1.25)
Es la ecuación diferencial vectorial (fasorial) homogénea para el campo
eléctrico E(r). Lo mismo se cumple para el campo H(r)
∇2
H(r) + ω2
µ ε H(r) = 0 (1.26)

1.4.2 Solución de la ecuación diferencial para las
OEM planas en dieléctricos ideales
La ondas planas no existen, las OEM producidos por las antenas son
esféricas. La OEM plana es la solución más simple de las ecuaciones
de Maxwell y la caracter´ıstica principal de la onda plana es que en
cualquier plano normal a la dirección de propagación de la onda los
campos electromagnéticos son constantes. Suponemos la solución de la
forma:
E(r) = E0 e−j K·r
(1.27)
donde E0 es constante (condición para OEM plana), K es el vector
número de onda y r es el vector posición:
K = ˆx Kx + ˆy Ky + ˆz Kz y r = ˆx x + ˆy y + ˆz z (1.28)
Reemplazando (1.28) en (1.27) y luego en (1.25) llegamos a:
(
−K2
x − K2
y − K2
z
)
E(r) + ω2
µ ε E(r) = 0
entonces llegamos a la relación de dispersión:
K2
x + K2
y + K2
z = ω2
µ ε
o
K = ω
√
µ ε dieléctrico ideal (1.29)
Lo mismos se cumple para el campo H(r)
H(r) = H0 e−j K·r
(1.30)
donde H0 es constante (condición para onda plana).
Una vez conocida la expresión de K, podemos obtener los campos elec-
tromagnéticos en tiempo real, aplicando (1.12)
E(r, t) = E0 cos(ω t − K · r) H(r, t) = H0 cos(ω t − K · r)
Para las OEM planas en dieléctricos ideales, el vector número de onda
K también es conocido (en algunos textos) como la constante de fase
β. Es decir:
K = β = ω
√
µ ε
Ejemplo 4 Demostrar que para las OEM planas en un dieléctricos
ideales o medios disipativos se cumple:
K × E(r) = ω µ H(r)

Solución Utilizando la ley de Faraday fasorial (ec. 1.23)
∇ × E(r) = −j ω µ H(r) (1.31)
Para las OEM planas
E(r) = E0 e−j K·r
y H(r) = H0 e−j K·r
Desarrollando el primer lado de (1.31), tenemos:
(
ˆx
∂
∂x
+ ˆy
∂
∂y
+ ˆz
∂
∂z
)
× E0 e−j Kx x−j Ky y−j Kz z
= −j ω µ H(r)
(
−ˆx × E0 (j Kx) − ˆy × E0 (j Ky) − ˆz × E0 (j Kz)
)
e−j K·r
= −j ω µ H(r)
(
−j Kx ˆx − j Ky ˆy − j Kz ˆz
)
× E(r) = −j ω µ H(r)
Finalmente
−j K × E(r) = −j ω µ H(r) ⇒ K × E(r) = ω µ H(r)
Como se observa, este resultado es valido para cualquier medio. Aqui
surge una regla práctica, basta reemplazar
∇ → −j K (1.32)
1.4.3 Ecuaciones de Maxwell para las OEM planas
Reemplazando (1.32) en (1.21) hasta (1.24) tenemos:
K · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.33)
K · H(r) = 0 Gauss magnético (1.34)
K × E(r) = ω µ H(r) Ley de Faraday (1.35)
K × H(r) = −ω ε E(r) Ampere Maxwell (1.36)
De las ecuaciones anteriores se observa que los vectores E(r), H(r) y
K son perpendiculares entre s´ı. A estas ondas se conocen como ondas
TEM transversal eléctrico magnético
Ejemplo 5 Demostrar que para las OEM planas en dieléctricos ideales
la relación de las amplitudes del campo eléctrico y magnético es:
E0
H0
=
√
µ
ε

Solución Considerando la dirección del campo eléctrico en la dirección
ˆx, la dirección del campo magnético en la dirección ˆy y la propagación
en la dirección del eje z: K = Kz ˆz. Reemplazando (1.27) y (1.30) en
(1.35), tenemos:
Kz ˆz × ˆx E0e−j K·r
= ω µ ˆy H0e−j K·r
Teniendo en cuenta que ˆz × ˆx = ˆy y simplificando:
Kz E0 = ω µ H0
En este caso K = Kz = ω
√
µ ε, entonces:
ω
√
µ ε E0 = ω µ H0 ⇒
E0
H0
=
√
µ
ε
Se define la impedancia intrinseca η del medio, como la relación de la
amplitud del campo eléctrico y del campo magnético:
η =
E0
H0
=
√
µ
ε
(1.37)
Ejemplo 6 Una OEM plana que se propaga en el aire con:
E(r, t) = ˆx 10 cos(ω t − 5 z) V/m
incide en forma normal desde el aire (z < 0) en la frontera plana en
z = 0 de una región de plástico (z > 0)con los parámetros µ = µ0,
ε = 4 ε0 y g = 0
a) obtenga el campo eléctrico total (en tiempo real) en el aire
b) calcule la densidad de flujo potencia promedio temporal el la región
del plástico.
c) La razón de onda estacionaria ROE (standing wave ratio SWR)
d) La posición del primer máximo y del primer minimo
Solución a) Es evidente de (1.12), (1.27) y (1.29) que:
Kz = β0 = ω
√
µ0 ε0 = 5 ⇒ ω =
5
√
µ0 ε0
= 15 × 108
Trabajando con fasores, medio 1:
Ei(r) = ˆx E0 e−j β0 z
onda incidente con E0 = 10
Er(r) = ˆx Er ej β0 z
onda reflejada, a determinar Er

En el medio 2 tenemos:
Et(r) = ˆx Et e−j β z
onda transmitida, a determinar Et
Los campos magnéticos serán:
Hi(r) = ˆy
E0
η0
e−j β0 z
onda incidente con E0 = 10
Hr(r) = −ˆy
Er
η0
ej β0 z
onda reflejada, a determinar Er
Ht(r) = ˆy
Et
η
e−j β z
onda transmitida, a determinar Et
además
β = ω
√
µ0 4ε0 = 10 η0 =
√
µ0
ε0
≈ 120π η =
√
µ0
4ε0
≈ 60π
Aplicando las condiciones de frontera dadas al inicio:
E1 tot. tang. = E2 tot. tang. H1 tot. tang. = H2 tot. tang.
llegamos a:
E0 + Er = Et y
E0 − Er
η0
=
Et
η
Resolviendo el sistema de ecuaciones y definiendo el coeficiente de re-
flexión R y de transmisión T:
R =
Er
E0
=
η − η0
η + η0
y T =
Et
E0
=
2 η
η + η0
(1.38)
Expresiones válidas solo para dos medios, reemplazando valores obten-
emos:
R = −
1
3
T =
2
3
Er = −
10
3
V/m Et =
20
3
V/m
El campo eléctrico total en el medio 1 (aire) es:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
− ˆx
10
3
ej 5 z
Para pasar a tiempo real, aplicamos (1.12):
E1(r, t) = ˆx 10 cos(ω t − 5 z) − ˆx
10
3
cos(ω t + 5 z)

Solución b) De (1.20) llegamos a
⟨S⟩ =
1
2
Re{Et(r) × H∗
t (r)} =
1
2
Re{ˆx Et e−j β z
× ˆy
Et
η
ej β z
} = ˆz
1
2
E2
t
η
⟨S⟩ = ˆz
(20/3)2
2 × 60π
= ˆz 0.1179 watt/m2
Solución c) La razón de onda estacionaria ROE se define como:
ROE =
1+ | R |
1− | R |
=
1 + 1/3
1 − 1/3
= 2
Solución d) Como sabemos el campo eléctrico resultante en el medio
1 es:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
− ˆx
10
3
ej 5 z
Puede escribirse como:
E1(r) = ˆx 10 e−j 5 z
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
Tomando el valor absoluto:
| E1(r) |= ˆx | 10 e−j 5 z
||
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
|
| E1(r) |= ˆx 10 |
(
1 −
1
3
ej 10 z
)
|
La posición de los máximos será cuando:
10 zmax = −k π k = 1, 3, 5, ...
zmax = −
1
10
k π k = 1, 3, 5, ...
La posición del primer máximo es:
zmax = −π/10 m.
La posición de los m´ınimos será cuando:
10 zmin = −2 k π k = 0, 1, 2, ...
zmin = −
1
5
k π k = 0, 1, 2, ...
La posición del primer máximo es:
zmin = 0 m.

1.5. LONGITUD DE ONDA, PERIODO 13
1.5 Longitud de onda, Periodo
La longitud de onda lambda es la distancia en la que la fase espacial
experimenta un corrimiento de 2π radianes y puede expresarse como:
λ =
2π
β
m.
El periodo es la inversa de la frecuencia T = 1/f. La relación funda-
mental de las ondas electromagnéticas es
λf = c
donde c es la velocidad de la luz en el medio
1.6 Velocidad de fase y Velocidad de grupo
La velocidad de fase Vp de una onda plana de frecuencia única, es
la velocidad de propagación de un frente de onda de fase constante.
Cuando la constante de fase es una función lineal de ω que es el caso
de un medio sin pérdidas, la velocidad de fase representa la velocidad
de la onda.
Vp =
ω
β
velocidad de fase (1.39)
Una senal que transmite información normalmente tiene un intervalo
de frecuencias (bandas laterales). Está senal constituye un grupo de
frecuencias y forma un paquete de ondas. La velocidad de grupo Vg es
la velocidad de propagación de la envolvente del paquete de ondas
Vg =
1
d β/d ω
velocidad de grupo (1.40)
1.7 Polarización
La polarización de una OEM plana describe el comportamiento variable
con el tiempo del vector campo eléctrico en un plano determinado del
espacio.
1.7.1 Polarización lineal
Es cuando la dirección del campo eléctrico de la OEM varia solo en
una dirección; por ejemplo, la siguiente onda, evaluada en el plano XY
(z = 0) será:
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t − β z) = ˆx E0 cos(ω t)

variando el tiempo, se observa que la dirección del campo no cambia
de dirección
1.7.2 Polarización Circular y Eliptica
La polarización circular (eliptica), es cuando la dirección del campo
eléctrico de la OEM varia formando una circunferencia (elipse)
Ejemplo 9 Indicar la variación de la dirección del campo eléctrico
de la siguiente OEM
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t − β z) + ˆy E0 sen(ω t − β z) (1.41)
Solución El campo eléctrico en el plano XY (z = 0) es
E(r, t) = ˆx E0 cos(ω t) + ˆy E0 sen(ω t)
Para ω t = 0 la dirección del campo es E(r, t) = ˆx E0
Para ω t = π/2 la dirección del campo es E(r, t) = ˆy E0
Para ω t = π la dirección del campo es E(r, t) = −ˆx E0
Para ω t = 3π/2 la dirección del campo es E(r, t) = −ˆy E0
De los resultados anteriores, se puede observar que la amplitud del
campo el ectrico no cambia (radio constante) con lo cual formamos una
circunferencia y la dirección cambia en sentido antihorario que cor-
responde al giro de la mano derecha, por tanto, podemos decir que
se trata de una polarización circular a la derecha (PCD). Si en la ex-
presión (1.64) el segundo término fuera negativo la circulación seria a la
izquierda y si las amplitududes de los términos fuera diferente, en lugar
de una circunferencia tendriamos una elipse. podemos generalizar este
resultado mediante una regla práctica. Por ejemplo (1, 64) expresado
como fasor será:
E(r) = E0
(
ˆx − j ˆy
)
e−j β z
(1.42)
El término entre parentesis indica la polarización
A ˆx + B ˆy Polarización lineal (1.43)
A ˆx − j B ˆy A, B > 0 A ̸= B PED A = B PCD (1.44)
A ˆx + j B ˆy A, B > 0 A ̸= B PEI A = B PCI (1.45)
Expresiones validas solamente cuando la propagación es en la dirección
Z positiva.

1.8. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS PLANAS EN MEDIOS DISIPATIVOS15
1.8 Ondas electromagnéticas planas en medios
disipativos
Ahora el medio está caracterizado por µ, ε y g ̸= 0. Por ejemplo el
cobre tiene: µ ≈ µ0, ε ≈ ε0 y g ≈ 5.8 × 107
S/m. Para el agua de
mar µ ≈ µ0, ε ≈ 80ε0 y g ≈ 4 S/m. Ahora cambian las ecuaciones de
Maxwell:
∇ · E(r) = 0 Ley de Gauss (1.46)
∇ · H(r) = 0 Gauss magnético (1.47)
∇ × E(r) = −j ω µ H(r) Ley de Faraday (1.48)
∇ × H(r) = J(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.49)
o
∇ × H(r) = g E(r) + j ω εE(r) Ampere Maxwell (1.50)
Transformando está última ecuación
∇ × H(r) = j ω
(
ε − j
g
ω
)
E(r) ⇒ ∇ × H(r) = j ω εc E(r) (1.51)
donde
εc = ε − j
g
ω
es la permitividad compleja. Ahora las ecuaciones de Maxwell (1.38),
(1.39), (1.40) y (1.43) son similares a (1.21) hasta (1.24), cuya solución
ya se conoce, considerando la solución:
E(r) = E0 e−j K ˆn·r
= E0 e−γˆn·r
= E0 e−(α+j β)ˆn·r
(1.52)
donde, K = K ˆn es el vector número de onda y ˆn es su dirección. Con-
siderando la similitud con la solución de las OEM planas en dieléctricos
ideales (ec. (1.29)), llegamos:
K = ω
√
µ εc = ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
(1.53)
De la ecuación (1.44) llegamos a:
j K = γ = α + j β o K = β − j α (1.54)
Reemplazando (1.45) en (1.46) llegamos a
ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
= β − j α (1.55)

De está última ecuación obtenemos un sistema de dos ecuaciones:
α2
− β2
= −ω2
µ ε y 2 α β = µ g ω
Resolviendo el sistema de ecuaciones
α =
ω
√
µ ε
√
2
√
1 +
( g
ω ε
)2
− 1 coefic. de atenuación Np/m (1.56)
β =
ω
√
µ ε
√
2
√
1 +
( g
ω ε
)2
+ 1 coefic. de fase rad/m (1.57)
Este es un caso general, un caso particular (dieléctrico ideal) cuando
g = 0, tenemos:
α = 0 y β = ω
√
µ ε
La impedancia intrinseca, similar a (1.37), ahora es complejo
ηc
=
√
µ
εc
=
√
µ
ε − j g
ω
(1.58)
Ejemplo 7 Demostrar que para las OEM planas en medios disipativos
la relación de las amplitudes del campo eléctrico y magnético (impedan-
cia intrinseca) también es:
ηc
=
E0
H0
=
ω µ
β − j α
Solución Considerando la dirección del campo eléctrico en la dirección
ˆx, la dirección del campo magnético en la dirección ˆy y la propagación
en la dirección del eje z: K = Kz ˆz. Reemplazando (1.47) y (1.45) en
(1.35), tenemos:
(β − j α) ˆz × ˆx E0e−j K·r
= ω µ ˆy H0e−j K·r
Teniendo en cuenta que ˆz × ˆx = ˆy y simplificando:
(β − j α) E0 = ω µ H0 ⇒
E0
H0
=
ω µ
β − j α
Tarea Demostrar que la impedancia intrinseca también está dado por
ηc
=
E0
H0
=
√
µ
ε
[
1 +
(
g
ω ε
)2
]1/4
ej 1
2
tan−1
( g
ω ε ) = η∗ ej θ
(1.59)

1.9. CLASIFICACI ÓN DE UN MEDIO 17
Considerando la dirección del campo eléctrico en la dirección ˆx, la di-
rección del campo magnético en la dirección ˆy y la propagación en la
dirección del eje z. El campo eléctrico fasorial según () será:
Ex = E0 e−α z
e−j β z
(1.60)
y el campo magnético fasorial:
Hy = H0 e−α z
e−j β z
=
E0
η∗ ej θ
e−α z
e−j β z
(1.61)
Los campos electromagnéticos aplicando (1.12) será:
Ex = E0 e−α z
cos(ω t−β z) Hy =
E0
η∗
e−α z
cos(ω t−β z −θ) (1.62)
1.8.1 Profundidad de Penetración
En un medio conductor la amplitud de la onda decae, se atenua. Cuando
la amplitud de la onda decae en un factor e−1
es hasta donde se con-
sidera la propagación de la onda, esto ocurre cuando
α δ = 1 ⇒ δ =
1
α
m. (1.63)
donde δ es la profundidad de penetración
1.8.2 Resistencia superficial
La resistencia superficial de forma similar a la resistencia que cono-
cemos es proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la
conductividad y a lasección transversal. La resistencia superficial es
proporcional a una longitud unitaria e inversamente proporcional a la
conductividad y la unidad de area
Rs =
1
g δ
=
α
g
(1.64)
1.9 Clasificación de un medio
Podemos clasificar en tres categorias:
Buen conductor cuando g
ω ε
≫ 1
Dieléctrico con pequenas pérdidas cuando g
ω ε
≪ 1
Medio disipativo otro caso

1.9.1 Caso de Buen conductor
Ejemplo 8 Demostrar que cuando g
ω ε
≫ 1 entonces
α = β =
√
π f µ g (1.65)
Solución De (1.48) tenemos:
ω
√
µ
(
ε − j
g
ω
)
= β − j α
Transformando
ω
√
µ ε
√
1 − j
g
ω ε
= β − j α
Puesto que g
ω ε
≫ 1 la expresión anterior se puede aproximar a:
ω
√
µ ε
√
−j
g
ω ε
≈ β − j α
Simplificando
√
ωµ g
√
−j ≈ β − j α
Sabemos que
√
−j = (1 − j)/
√
2, entonces:
√
ωµ g
2
(1 − j) ≈ β − j α
√
2π f µ g
2
(1 − j) ≈ β − j α
Otras expresiones:
ηc
= (1 + j)
√
π f µ
g
, δ =
1
√
π f µ g
(1.66)
1.9.2 Pérdida de potencia por unidad de área
No es d´ıficil demostrar que la pérdida de potencia por unidad de área
PL cuando g
ω ε
≫ 1 es igual a
PL =
1
2
Rs | Htang |2
(1.67)
donde Htang es el campo magnético tangencial en la frontera del mate-
rial

1.9. CLASIFICACI ÓN DE UN MEDIO 19
1.9.3 Dieléctrico con pequenas pérdidas
Es fácil demostrar que se cumplen las siguientes relaciones:
α =
g
2
√
µ
ε
, β = ω
√
µ ε, ηc
=
√
µ
ε
(
1 + j
g
2 ω ε
)
(1.68)
Ejemplo 9 Una OEM plana incide desde el aire en forma normal hacia
un material con µr = 1, εr = 55 y g = 10 S/m. La amplitud del campo
eléctrico incidente es 10 V/m y la frecuencia es 50 MHz. Determine:
a) El coeficiente de reflexión y transmisión
b) La amplitud de los campos eléctricos reflejado y transmitido
c) La pérdida por unidad de a´rea
Solución Primero determinamos la clasificación de un medio (sección
1.7)
g
ω ε
=
10
2π × 5 × 107 × 55 × 8.85 × 10−12
= 65.39 ≫ 1
El medio se comporta como buen conductor. Según el ejemplo 8
α = β =
√
π f µ g =
√
π × 5 × 107 × 4π × 10−7 × 10 = 44.43
Calculando las impedancias intrinsecas, medio 1
η1 =
√
µ0
ε0
= 120π en el aire
en el medio 2 aplicamos (1.59)
η2
= (1 + j)
√
π f µ
g
= (1 + j)
√
π × 5 × 107 × 4π × 10−7
10
= 1.98 ej π/4
Aplicando (1.38) del ejemplo 6 tenemos el coeficiente de reflexión
R =
η2
− η1
η2
+ η1
≈ 0.99 ej 179.57o
y el coeficiente de transmisión
T =
2 η2
η2
+ η1
≈ 0.00105 ej 44.78o
Según (1.38) puede calcularse la amplitud del campo eléctrico de la
onda reflejada y transmitida
Er = R E0 = 0.99 ej 179.57o
× 10 = 9.92 ej 179.57o

Et = T E0 = 0.00105 ej 44.78o
× 10 = 0.0105 ej 44.78o
Aplicando (1.60) se cálcula la pérdida por unidad de área, previamente
calculamos Rs de (1.57):
Rs =
α
g
=
44.43
10
= 4.44
El módulo del campo tangencial
| Ht |=
| Et |
| η2
|
= 0.0528
Finalmente las pérdidas por unidad de área
PL =
1
2
Rs | Htang |2
= 0.5 × 4.44 × 0.0528 = 0.00618 watt/m2

Contenido
1 Propagación de Ondas Electromagnéticas 1
1.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ecuaciones de Maxwell Fasorial . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Teor´ıa del flujo de potencia electromagnético . . . . . . . 5
1.3.1 Densidad de flujo de potencia promedio temporal 6
1.4 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Ecuación de onda fasorial en dieléctricos ideales . 7
1.4.2 Solución de la ecuación diferencial para las OEM
planas en dieléctricos ideales . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Ecuaciones de Maxwell para las OEM planas . . . 9
1.5 Longitud de onda, Periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Velocidad de fase y Velocidad de grupo . . . . . . . . . . 13
1.7 Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Polarización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Polarización Circular y Eliptica . . . . . . . . . . 14
1.8 Ondas electromagnéticas planas en medios disipativos . . 15
1.8.1 Profundidad de Penetración . . . . . . . . . . . . 17
1.8.2 Resistencia superficial . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9 Clasificación de un medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.9.1 Caso de Buen conductor . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 Pérdida de potencia por unidad de área . . . . . . 18
1.9.3 Dieléctrico con pequenas pérdidas . . . . . . . . . 19
21

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