[Vnmath.com] bai giang-trong_tam_ve_ham_so_thay_dang_viet_hung
1. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 137
MỤC LỤC
1. CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ ...........................................................................................................................01
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ...............................................................................................................................08
3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.........................................................................................................36
4. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................53
5. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ......................................................................101
6. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ......................................................................................................112
7. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ...............................................................123
8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................128
9. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC.....................................................136
www.VNMATH.com
2. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 1
§ÆNG VIÖT HïNG
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ
HÀM SỐChương trình Luyện thi Đại học SAP
NĂM HỌC 2013 - 2014
www.VNMATH.com
3. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 2
1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC
Nguyên tắc:
+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc
chẵn.
+ Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong
bảng xét dấu.
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.
+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau
a)
2
( ) 3.
3 4
+
= +
−
x
f x
x
b)
1 3
( ) 2 .
1
= − −
−
f x
x x
c)
( 3)(3 2 )
( ) .
1
+ −
=
−
x x
f x
x
d)
4 2 2 1 5
( ) .
3 2 4
− +
= − −
x x
f x
e)
2
3 2
( ) .
1
− +
= −
−
x x
f x x
x
f)
2 2
( ) .
3 1 2 1
+ −
= −
+ −
x x
f x
x x
g) 2
1 1 2
( ) .
1
−
= + −
+ +
x
f x
x x x x
h)
1 2 3
( ) .
2 2
= + −
− +
f x
x x x
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a)
1 2 3
.
3 2
+ <
+ +x x x
b) 2
2 1 4
.
2 2 2
−
+ ≤
+ +x x x
c)
2
2
2 3 4 15
.
1 1 1
− − + +
+ ≥
− + −
x x x x
x x x
d)
4 3 2
2
3 2
0.
30
− +
>
− −
x x x
x x
e)
4 2
2
4 3
0.
8 15
− +
≥
− +
x x
x x
f)
( )
3 2
3 3
0.
2
− − +
>
−
x x x
x x
2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC
Nguyên tắc:
+ f(x) chia cho g(x) được h(x) và dư là k thì ta có thể viết ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.= + ⇔ = +
f x k
f x g x h x k h x
g x g x
+ Để chia đa thức bằng lược đồ Hoocner ta phải sắp xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số hạng nào
khuyết ta cho hệ số bằng 0.
+ Thực hiện chia theo quy tắc: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
a)
4 3 2
3 2
3
+ − +
=
+
x x x x
x
………........................... b)
3 2
3 2 10
1
− + − +
=
−
x x x
x
……….................................
c)
2
2
1
+ +
=
−
x mx m
x
………................................... d)
( )2 2
2 2 2
2 1
+ − +
=
+
x m x
x
………................................
3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Bài mở đầu:
CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ
www.VNMATH.com
4. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 3
Xét phương trình: ( ) ( )4 3 2
0, 1 .= + + + + =f x ax bx cx dx e
Nếu x = xo là một nghiệm của phương trình (1) thì ( ) ( ) ( )( )3 2
1 0′ ′ ′⇔ = − + + + =of x x x ax b x c x d
( ) 3 2
′ ′ ′→ = + + +
− o
f x
ax b x c x d
x x
Nguyên tắc:
+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1.
+ Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản
như 0; ±1; ±2…
+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m
bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) ( ) 4 3 2
2 4 3 2 1= + − − −f x x x x x
b) ( ) 3 2
4 2 7 1= − − −f x x x x
c) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 2 1= − + − − + −f x x m x m x m
Hướng dẫn giải :
a) ( ) 4 3 2
2 4 3 2 1= + − − −f x x x x x
Xét phương trình ( ) 4 3 2
0 2 4 3 2 1 0= ⇔ + − − − =f x x x x x
Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )
4 3 2
4 3 2 2 4 3 2 1
0 1 . 2 4 3 2 1
1
+ − − −
= ⇔ − = + − − − → =
−
x x x x
f x x g x x x x x g x
x
Dùng lược đồ Hoocner ta được
( )( )
4 3 2
3 2 4 3 2 3 22 4 3 2 1
2 6 3 1 2 4 3 2 1 1 2 6 3 1
1
+ − − −
= + + + → + − − − = − + + +
−
x x x x
x x x x x x x x x x x
x
b) ( ) 3 2
4 2 7 1= − − −f x x x x
Xét phương trình ( ) 3 2
0 4 2 7 1 0= ⇔ − − − =f x x x x
Tổng hệ số bậc chẵn là −2 − 1 = −3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4 − 7 = −3
Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = −1.
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3 2 4 2 7 1
1 . 4 2 7 1 1 .
1
− − −
= + ⇔ − − − = + → =
+
x x x
f x x g x x x x x g x g x
x
Dùng lược đồ Hoocner ta được
( ) ( ) ( )( )
3 2
2 3 2 24 2 7 1
4 6 1 4 2 7 1 1 4 6 1
1
− − −
= = − − → = − − − = + − −
+
x x x
g x x x f x x x x x x x
x
c) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 2 1= − + − − + −f x x m x m x m
Tổng các hệ số đa thức là ( ) ( )1 1 1 2 1 0− + − − + − =m m m nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1.
Tiến hành chia đa thức ta được ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2
1 1 2 1 1 2 1= − + − − + − = − − − +f x x m x m x m x x mx m
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) ( ) 4 2
3 2 6= − − + +f x x x x = ……………………………………………………………...
b) ( ) 3 2
4 6 1= + − +f x x x x = ………………………………………………………………
c) ( ) 3 2
= + − −f x x mx x m = ……………………………………………………………….
d) ( ) ( )3 2
2 1= − + − +f x x x m x m = ……………………………………………………….
e) ( ) 3 2
6 8= + − −f x x x x = ……………………………………………………………….
www.VNMATH.com
5. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 4
f) ( ) 3 2
2 4 4= − − + −f x x x x = …………………………………………………………….
4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xét phương trình bậc hai: ( ) ( )2
0, 1= + + =f x ax bx c
a) Giải và biện luận phương trình (1):
Nếu a = 0 thì ( ) ( )1 0, *⇔ + =bx c
+ nếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x.
+ nếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghiệm.
+ nếu b ≠ 0 thì ( )* ⇔ = −
c
x
b
Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức
( )
2
2
4
; 2
∆ = −
′ ′ ′∆ = − =
b ac
b ac b b
+ nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt
2
1;2
4
.
2 2
− ± ∆ − ± −
= =
b b b ac
x
a a
+ nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép .
2
−
=
b
x
a
+ nếu ∆ = 0 thì (1) vô nghiệm.
b) Hệ thức Vi-ét:
Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
= + = −
= =
b
S x x
a
c
P x x
a
Một số các kết quả cần lưu ý:
( )22 2 2
1 2 1 2 1 22 2+ = + − = −x x x x x x S P
( ) ( )33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 23 3+ = + − + = −x x x x x x x x S SP
( ) ( )
2 24 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2 2x x x x x x S P P+ = + − = − −
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 24 4− = + − = −x x x x x x S P
c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0
; 0
0
− >
∆ > −
⇔ = + = >
>
= = >
b ac
b
S x x
x x a
c
P x x
a
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
4 0
0
0
; 0
0
− >
∆ > −
⇔ = + = <
<
= = >
b ac
b
S x x
x x a
c
P x x
a
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.
www.VNMATH.com
6. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 5
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
21 2
21 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2α 2α 2α
α
α α 0
α α 0 α α 0
− > − >
∆ >
∆ > − −
⇔ + > ⇔ = + = > ⇔ = + = >
> − − > − + + > + + >
b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x a a
x x c bx x x x .
a a
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi
( )( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
21 2
21 2 1 2
4 0 4 0
0
0
2α 2α 2α
α
α α 0
α α 0 α α 0
− > − >
∆ >
∆ > − −
⇔ + < ⇔ = + = < ⇔ = + = <
< − − > − + + > + + >
b ac b ac
b b
x x S x x S x x
x ,x a a
x x c bx x x x .
a a
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
( ) 2
1 2
0 00
; α α 0 α α 0
∆ > ∆ >∆ >
⇔ ⇔
≠ ≠ + + ≠ x x g a b c
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
( )( ) ( )
1 2
1 21 21 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0000
αααα 2222
0000
α α α 0 α α 0 α α 0
∆ = ∆ = ∆ = ∆ = − −−− = = > = = >= = >= = > ⇔ ⇔ ⇔ ∆ > ∆ >∆ > ∆ > < < − − < − + + < + + <
bbbb x xx xx xx x aaaa
c b
x x x x x x x x .
a a
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
( )( ) ( )
1 2
1 21 21 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0000
αααα 2222
0000
α α α 0 α α 0 α α 0
∆ = ∆ = ∆ = ∆ = − −−− = = < = = <= = <= = < ⇔ ⇔ ⇔ ∆ > ∆ >∆ > ∆ > < < − − < − + + < + + <
bbbb x xx xx xx x aaaa
c b
x x x x x x x x .
a a
Ví dụ 1: Cho phương trình ( ) ( )+ + + + =2
1 4 2 3 0, 1m x mx m
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −−−−1.
Hướng dẫn giải :
a) Giải và biện luận phương trình.
Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì ( )
5
1 4 5 0 .
4
x x⇔ − − = ⇔ = −
Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ( )( )2 2
4 1 2 3 2 5 3m m m m m′∆ = − + + = − −
+ Nếu 2 1
0 2 5 3 0 3
2
m m m′∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < thì (1) vô nghiệm.
+ Nếu 2
3
0 2 5 3 0 1
2
m
m m
m
=
′∆ = ⇔ − − = ⇔
= −
thì (1) có nghiệm kép
2
.
1
b m
x
a m
′ −
= − =
+
+ Nếu 2
3
0 2 5 3 0 1
2
m
m m
m
>
′∆ > ⇔ − − > ⇔
< −
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
1;2
2 2 5 3
.
1
m m m
x
m
− ± − +
=
+
www.VNMATH.com
7. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 6
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ( )2
3
0 2 5 3 0 *1
2
m
m m
m
>
′∆ > ⇔ − − > ⇔
< −
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1.
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4
1
2 3
1
b m
x x
a m
c m
x x
a m
+ = − = +
+ = =
+
Hai nghiệm đều dương khi
1 2
1 2
1 04
0
0 11
.
0 2 3 30
1 2
o
mm
x x mm
vn
x x m
m
m
− < <
− > + > > −+
⇔ ⇔ → > + > < − +
c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi
( )( ) ( )1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 4 4 1 41 0 0
1 1 0 1 0 1 1 1
1 4.1
4 42 2
2 2 0 1
1 1
m m m m
x x x x x x m m m
mm
m mx x x x
m
m m
+ − + − < <− + > > + + > + + + > + + +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <>
+ < − + < − − < − − > < − + +
Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình ( )( ) ( )+ + − + =2
2 2 1 0, 1x x mx m .
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn + + <2 2 2
1 2 3 7.x x x
Hướng dẫn giải :
a) Ta có ( )
( )2
2
1
( ) 2 1 0, 2
x
g x x mx m
= −
⇔
= + − + =
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
Điều đó xảy ra khi
( )
( )
2 2
4 2 5
0 4 1 2 0 8 4 0 4 2 5 *
4 5( 2) 0 4 2 2 1 0 5
4
g
m
m m m m m
mg m m
m
> − +
∆ > − − > + − > < − −⇔ ⇔ ⇔
≠− ≠ − − + ≠
≠
Vậy với
4 2 5
4 2 5
5
4
m
m
m
> − +
< − −
≠
thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu.
Từ đó ta có
1
0 1 2 0 .
2
P m m< ⇔ − < ⇔ >
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2).
Theo định lí Vi-ét ta được
2 3
2 3 1 2
x x m
x x m
+ = −
= −
Khi đó ( ) ( )
22 2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 37 4 2 7 2 1 2 3 0 4 5 0 5 1.x x x x x x x m m m m m+ + < ⇔ + + − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < <
Kết hợp với điều kiện (*) ta được 4 2 5 1m− + < < là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho phương trình ( ) 2
1 2 1 0.− − + + =m x mx m
www.VNMATH.com
8. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 7
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương
trình.
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 2
2 1
5
0.
2
+ + =
x x
x x
Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x2
+ mx + m).
a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 2
1 2 3 4.+ + <x x x
d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình mx2
– 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Cho phương trình 2
1 0− + − =x mx m , (với m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị
của m tương ứng
b) Đặt 2 2
1 2 1 26 .= + −A x x x x
Chứng minh A = m2
– 8m + 8.
Tìm m để A = 8,
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1.
Bài 5: Cho phương trình ( )( )2
1 2 3 0.x x mx m− + + − =
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 2
1 2 3 15.x x x+ + =
d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
www.VNMATH.com
9. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 8
DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Xét hàm số bậc ba : 3 3 2
3 3′= + + + ⇒ = + +y ax bx cx d y ax bx c
DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Nếu a = 0 thì 3 0
3
′ ′= + → = ⇔ = −
c
y bx c y x
b
Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị.
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số ( )= + − − −3 21
1 1
3
y x m x mx tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )2
2 1 .′ = + − +y x m x m
Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Từ đó ta có điều kiện ( )
2 2 3 5 3 5
0 1 0 3 1 0 .
2 2
− +
′∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤m m m m m
Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2
3 5
2
0 3 1 0
3 5
2
+
>
⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔
−
<
m
m m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
3 5 3 5
2 2
− +
≤ ≤m
- Hàm số có hai cực trị khi
3 5 3 5
; .
2 2
+ −
≥ ≤m m
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số ( )= + − + + −3 2
2 2 3y mx m x mx m tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:
Ta có ( )2
3 2 2 2 .′ = + − +y mx m x m
TH1 : m = 0.
Khi đó 4 ; 0 0′ ′= − = ⇔ =y x y x , trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 : m ≠ 0.
Hàm số không có cực trị khi 2
0
2 2 6
2 2 600 5
5
0 5 4 4 0 2 2 6
2 2 6
5
5
≠
− +
≥− + ≠≠ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ′∆ ≤ + − ≥ − − ≤− − ≤
m
mmm m
m m
m
m
Bài 1:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
www.VNMATH.com
10. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 9
Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
2
2 2 6 2 2 600
5 5
0 5 4 4 0
0
− − − +≠≠ < <
⇔ ⇔ ⇔
′∆ > + − < ≠
mm m
m m
m
Kết luận :
- Hàm số không có cực trị khi
2 2 6 2 2 6
; .
5 5
− + − −
≥ ≤m m
- Hàm số có một cực trị khi m = 0.
- Hàm số có hai cực trị khi
2 2 6 2 2 6
5 5
0
− − − +
< <
≠
m
m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu:
a) ( )3 2 2
2 1 2= − + − +y x mx m x
b) ( ) ( ) ( )3 2 2
3 1 2 3 2 1= − − + − + − −y x m x m m x m m
Bài 2. Tìm m để hàm số ( ) ( )3 2
1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m không có cực trị.
Bài 3. Biện luận theo m số cực trị của hàm số ( ) ( )3 21
1 3 2 1
3
= + + + − +y m x mx m x
DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài toán xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại
và cực tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
+ = −
=
B
x x
A
C
x x
A
Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.
Ta xét một số dạng tính chất điển hình.
Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = xo
Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :
+ Hàm số đạt cực trị tại ( ) 0 .′= ⇔ = →o ox x y x m
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại,
hay cực tiểu tại điểm xo hay không.
Cách 2 (sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ ; hay y’’) :
+ Hàm số đạt cực đại tại
( )
( )
0
.
0
′ =
= ⇔ →
′′ <
o
o
o
y x
x x m
y x
+ Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
0
.
0
′ =
= ⇔ →
′′ >
o
o
o
y x
x x m
y x
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại
( )
( )
0
0
′ =
= ⇔
′′ ≠
o
o
o
y x
x x
y x
Ví dụ mẫu: Cho hàm số = − + − +3 21
( 2) 1.
3
y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
www.VNMATH.com
11. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 10
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )2
2( 2) 2 2 2 .′ ′′= − + − ⇒ = − +y x m x m y x m
a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 1
0 5 4 0
4
> −
′⇔ ∆ > ⇔ + + > ⇔ < −
m
m m
m
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì ( )0 0 0.′ = ⇔ =y m
+ Với m = 0 thì ta có 2 0
4 0
4
=
′ = − = ⇔ =
x
y x x
x
Ta có bảng biến thiên:
x −∞ 0 4 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Hàm số đạt cực đại tại
( )
( )
0 0 0
0 0
2( 2) 00 0
′ = =
= ⇔ ⇔ ⇔ =
− + <′′ <
y m
x m
my
Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2.
Cách 1:
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì ( )
4
2 0 4 4( 2) 0 5 4 .
5
′ = ⇔ − + − = ⇔ = − ⇔ = −y m m m m
+ Với 2 2
2
4 4 4 12 4
2 2 0 2
5 5 5 5 5
5
=
′ ′= − → = − − + ⇔ = − + = ⇔ =
x
m y x x y x x
x
Ta có bảng biến thiên:
x
−∞
2
5
2 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
Vậy
4
5
= −m là giá trị cần tìm.
Cách 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại
( )
( )
42 0 5 4 0 4
2 .5
2 0 52 0
0
′ = + = = −
= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
− >′′ > <
y m m
x m
my
m
Vậy
4
5
= −m thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm số 3 2
(2 1) 2 3.= − + − + −y x m x mx
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = −1.
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 3.
www.VNMATH.com
12. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 11
Tính chất 2: Các điểm cực trị có hoành độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.
Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hoành độ dương.
Khi đó ta có
1 2
2 1
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x A
x x
P x x C
A
−
>= + >
> > → ⇔
= > >
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ âm.
Khi đó ta có
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
B
S x x A
x x
P x x C
A
−
<= + <
< < → ⇔
= > >
Hai điểm cực trị có hoành độ trái dấu.
Khi đó ta có 1 2 1 20 0 0
C
x x P x x
A
< < ⇔ = < ⇔ <
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ lớn hơn α.
Khi đó ta có
( )( ) ( ) 22
1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
α α 0α α 0
α α 0
α
2α 2α
2α
C B
x x x x
x x A A
x x B
x x B
A
A
−
− + >− + + > − − > > > ⇔ ⇔ ⇔ −
+ > −> >
Hai điểm cực trị cùng có hoành độ nhỏ hơn α.
Khi đó ta có
( )( ) ( ) 22
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
α α 0α α 0
α α 0
α
2α 2α
2α
C B
x x x x
x x A A
x x B
x x B
A
A
−
− + >− + + > − − > < < ⇔ ⇔ ⇔ −
+ < −< <
Hai điểm cực trị có hoành độ thỏa mãn x1 < α < x2.
Khi đó ta có ( )( ) ( ) 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2α α α 0 α α 0 α α 0
−
< < ⇔ − − < ⇔ − + + < ⇔ − + <
C B
x x x x x x x x
A A
Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được
1 2
1 2
+ = −
=
B
x x
A
C
x x
A
Ví dụ 1: Cho hàm số = + − − +3 2
( 1) 3 .y x m x mx m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn + = 1 2
1 2
1 1
2 .x x
x x
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
3 2( 1) 3′ = + − −y x m x m
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
( )2 2
7 3 5
2
0 ( 1) 9 0 7 1 0 *
7 3 5
2
− +
>
′⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ + + > ⇔
− −
<
m
m m m m
m
www.VNMATH.com
13. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 12
Vậy với
7 3 5
2
7 3 5
2
− +
>
− −
<
m
m
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được 1 2
1 2
2(1 )
3
−
+ =
= −
m
x x
x x m
Ta có 2 21 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2(1 ) 1 13
2 2 2 3 1 0 .
3 6
+ − − ±
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ + − = ⇔ =
x x m
x x x x m m m m
x x x x
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
1 13
6
m
− +
= là giá trị cần tìm.
c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
Theo định lí Vi-ét ta được 1 2
1 2
2(1 )
3
−
+ =
= −
m
x x
x x m
Theo bài ta có
( )( ) ( )1 2 1 2
1 2
2 1
1 2
2 4 0 4(1 )
2 2 0 4 0
2 32(1 )
4 4 1 63
− + + > − − − > − − + >
> > ⇔ ⇔ ⇔ −
+ > > − >
x x x x m
x x m
x x m
x x
m
8
80
8 5.3
5
5
+
> −>
⇔ ⇔ ⇔ − < < −
< − < −
m
m
m
m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá trị cần tìm.
d) Ta có
1
2
1 2
2
1
6
0 3 2( 1) 3 0
1
6
′− − ∆
= =
′ = ⇔ + − − = ⇔ → <
′− + ∆
= =
m
x x
y x m x x x
m
x x
Bảng biến thiên
x −∞ x1 x2 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
CĐ +∞
−∞ CT
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ 1
1
6
′− − ∆
=
m
x
Theo bài ta có
( )
1 2
5 01
1 1 6 5
6 5
− − ≥′− − ∆
′ ′= > ⇔ − − ∆ > ⇔ ∆ < − − ⇔
′∆ < − −
mm
x m m
m
2 2
5 5
8 5.
3 247 1 10 25
≤ − ≤ −
⇔ ⇔ ⇔ − < ≤ −
> −+ + < + +
m m
m
mm m m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
7 3 5
8
2
m
− −
− < < là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + −3 2
3( 1) 9 .y x m x x m
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn − ≤1 2 2.x x
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
3 6( 1) 9.′ = − + +y x m x
www.VNMATH.com
14. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 13
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2; 0′⇔ ∆ >x x
( )2 1 3
( 1) 3 0 *
1 3
> − +
⇔ + − > ⇔
< − −
m
m
m
Theo định lý Vi-et ta có
1 2
1 2
2( 1)
3
+ = +
=
x x m
x x
Khi đó: ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 22 4 4 4 1 12 4 ( 1) 4 3 1− ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤x x x x x x m m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 1 3
1 3 1
− ≤ < − −
− + < ≤
m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số = + − + − + +3 2
(1 2 ) (2 .) 2y x m x m x m
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn − >1 2
1
.
3
x x
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
3 (1 2 .)2 2= − +′ + −x m x my
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
( )2 2
5
(1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 *4
1
>′⇔ ∆ = − − − = − − > ⇔
< −
m
m m m m
m
Theo định lý Vi-et ta có
1 2
1 2
(1 2 )
3
2
2
.
3
−
+ = −
− =
m
x x
m
x x
Khi đó ( ) ( )
2 2 2
1 21 2 2 1 21
1
4 4(1 2 ) 4(2 1
1
93
)⇔− = + − > ⇔ − − − >> − x x x x mx mx x x
2
3 29
8
16 12 5 0
3 29
8
+
>
⇔ − − > ⇔
−
<
m
m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
3 29
8
1
+
>
< −
m
m
là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số = − − + − +3 21 1
( 1) 3( 2) .
3 3
y x m x m x
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn + =1 22 1.x x
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
2( 1) 3( 2).′ = − − + −y x m x m
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
2
5 7 0,′⇔ ∆ = − + > ∀m m m
Khi đó ta có
( )( )
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
2( 1) 1 2 2( 1) 3 2
3( 2) 3( 2) 1 2(2 2 ) 4 3
2 1 2 1 3( 2) 3 2 4 3 3 6
+ = − − + = − = −
= − ⇔ = − ⇔ = − − = −
+ = + = = − ⇒ − − = −
x x m x x m x m
x x m x x m x m m
x x x x x x m m m m
2 4 34
8 16 9 0 .
4
− ±
⇔ + − = ⇔ =m m m Vậy
4 34
4
− ±
=m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số = + + + +3 2
(1 – 2 ) (2 – ) 2.y x m x m x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
3 2(1 2 ) 2 ( ).′ = + − + − =y x m x m g x
Do hệ số a = 3 > 0 nên yêu cầu bài toán trở thành y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn
www.VNMATH.com
15. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 14
2
1 2
4 5 0
5 7
1 (1) 5 7 0
4 52 1
1
2 3
′∆ = − − >
< < ⇔ = − + > ⇔ < <
− = <
m m
x x g m m
S m
Ví dụ 6: Cho hàm số = +3 2
4 – 3 .y x mx x
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn = −1 24 .x x
Hướng dẫn giải:
Ta có 2 2
12 2 3 36 0.′ ′= + − ⇒ ∆ = + >y x mx m Khi đó
1 2
1 2
1 2
4
9
.
6 2
1
4
= −
+ = − → = ±
= −
x x
m
x x m
x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số 3 2
( 2) ( 1) 2.= + + − − +y x m x m x
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn 2 2
1 2 10.+ <x x
d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2: Cho hàm số ( ) ( )3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1.= − + + + − −y x m x m x m
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 3: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 2
1 2 2 2= + − + − + +y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ
điểm cực tiểu nhỏ hơn 2.
Bài 4: Cho hàm số ( ) ( )3 2 22
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +y x m x m m x m Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm
số.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b) Tìm m sao cho biểu thức ( )1 2 1 22= − +P x x x x đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hàm số 3 21
( 6) 1.
3
= + + + −y x mx m x
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1
1 2
1 1
.
3
+
+ =
x x
x x
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với yCĐ.yCT < 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
yCĐ.yCT > 0.
Ví dụ 1: Cho hàm số = + + +3 2
3 – 2y x x mx m , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hoành.
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
3 6′ = + +y x x m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là 9 3 0 3.′∆ = − > ⇔ <m m
www.VNMATH.com
16. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 15
Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox:
( )
3 2
2
1
3 – 2 0
( ) 2 2 0, 1
= −
+ + + = ⇔ = + + − =
x
x x mx m
g x x x m
Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
Ta có điều kiện 3 0 3
( 1) 3 0
′∆ = − > ⇔ <
− = − ≠
m m
g m
Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số = − + + − − + −3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có 2 2
3 2(2 1) ( 3 2)′= − + + − − +y x m x m m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( ) ( )2 2
0 2 1 3 3 2 0′⇔ ∆ > ⇔ + − − + >m m m
2
13 3 21
2
13 5 0
13 3 21
2
− +
>
⇔ + − > ⇔
− −
<
m
m m
m
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
( )2
3 3 2 0 1 2.− + < ⇔ < <m m m
Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Cho hàm số = − + − −3 21
(2 1) 3
3
y x mx m x , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
Ta có 2
2 2 1′= − + −y x mx m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2
0 2 1 0 1′⇔ ∆ > ⇔ − + > ⇔ ≠m m m
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm
cùng dấu
1
0 2 1 0 .
2
⇔ > ⇔ − > ⇔ >ac m m
Kết hợp điều kiện ta được
1
1
2
< ≠m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tính chất 5: Các bài toán cực trị khi y′′′′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’
Khi phương trình y′ = 0 có ( )2
ax b∆ = + thì điều kiện để hàm số có cực trị là ( )2
0 0 .
b
ax b x
a
∆ > ⇔ + > ⇔ ≠ −
Khi đó,
1
2
0
x x
y
x x
=
′ = ⇒
=
và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số.
Ví dụ 1: Cho hàm số = − + − − +3 2 2 3
3 3( 1) .y x mx m x m m
Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
Hướng dẫn giải :
Ta có 2 2 2 2
3 6 3( 1) 0 2 1 0′ ′= − + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,′⇔ ∆ = > ∀m
Khi đó
( )
( )
1 1;2 2
0
1 1; 2 2
= − ⇒ − −
′ = ⇔
= + ⇒ + − −
x m A m m
y
x m B m m
Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số.
Theo bài ta có 2 3 2 2
2 6 1 0
3 2 2
= − +
= ⇔ + + = ⇔
= − −
m
OA OB m m
m
Vậy 3 2 2= − ±m là các giá trị cần tìm.
www.VNMATH.com
17. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 16
Ví dụ 2: Cho hàm số
( )−
= − + − + −
2
3 3 11
(3 2) 1.
3 2
m x
y x m x m
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn + >3 3
1 2 28x x
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn + =2 2
1 22 12x x
Hướng dẫn giải :
Ta có ( ) ( )2 2
3 1 3 2 0 3 1 3 2 0.y x m x m y x m x m′ ′= − − + − ⇒ = ⇔ − − + − =
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện ( ) ( )2 2
0 3 1 4. 3 2 0 9 18 9 0 1m m m m m∆ > ⇔ − − − > ⇔ − + > ⇔ ≠
b) Với
( )
( )
3 1 3 1
1
2
1 0
3 1 3 1
3 1
2
m m
x
m y
m m
x m
− − −
= =
′≠ ⇒ = ⇔
− + −
= = −
Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3 1 2 1.m m− > ⇔ >
Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2.
c) Ta có ( )33 3
1 2
4
28 1 3 1 28 3 1 3 .
3
x x m m m+ > ⇔ + − > ⇔ − > ⇔ >
d) Do vai trò bình đẳng của x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ra
Với ( )
22 2
1 2 1 2
1 10
1; 3 1 2 12 2 3 1 12 3 1 10
3
x x m x x m m m
±
= = − ⇒ + = ⇔ + − = ⇔ − = ± → =
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được
1 10
.
3
m
±
=
Với ( )
22 2
1 2 1 2
22 2 22
3 1; 1 2 12 2 3 1 1 12 3 1
2 6
x m x x x m m m
±
= − = ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ − = ± → =
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được
2 22
.
6
m
±
=
Ví dụ 3: Cho hàm số += +3 2
3y x x m
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho .= 0
120AOB
Hướng dẫn giải :
Ta có 2 0
3 6 0
2 4
= ⇒ =
′ ′= + ⇒ = ⇔ = − ⇒ = +
x y m
y x x y
x y m
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).
Ta có (0; ), ( 2; 4).= = − +OA m OB m Để 0 1
120 cos
2
= ⇒ = −AOB AOB
( )
( )2 2
2
2 2
4 0( 4) 1
4 ( 4) 2 ( 4)
3 24 44 024 ( 4)
4 0
12 2 3 2
412 2 3
3 3
3
− < <+
⇔ = − ⇔ + + = − + ⇔
+ + =+ +
− < <
− +
⇔ ⇔ = = − +− ±
=
mm m
m m m m
m mm m
m
m
m
Vậy
2
4
3
= − +m là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số = − + − −3 2
3 3 1y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y −−−− 74 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )2 0
3 6 3 2 0
2
=
′ ′= − + = − − ⇒ = ⇔ =
x
y x mx x x m y
x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 0
www.VNMATH.com
18. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 17
Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là 3 3
(0; 3 1), (2 ;4 3 1) (2 ;4 )− − − − ⇒A m B m m m AB m m
Trung điểm I của AB có toạ độ 3
( ;2 3 1)− −I m m m
Đường thẳng d: ( ): 8 74 0+ − =d x y có một véc tơ chỉ phương (8; 1)= −u .
A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( )
3
8(2 3 1) 74 0
2
. 0
+ − − − =∈
⇔ ⇔ ⇔ =
⊥ =
m m mI d
d m
AB d AB u
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số ( )= − + − +3 23
3 1 1
2
m
y x x m x
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0.
d) hàm số không có cực đại, cực tiểu.
e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
Hướng dẫn giải :
a) Ta có ( ) ( ) ( )3 2 2 23
3 1 1 3 3 3 1 3 1
2
m
y x x m x y x mx m x mx m′= − + − + ⇒ = − + − = − + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Ta có điều kiện ( )2
0 2 0 2.m m∆ > ⇔ − > ⇔ ≠
Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm
(2) 0
, ( )
(2) 0
′ =
′′ >
y
I
y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó
4 2 1 0 3
( ) 3
12 3 0 4
m m m
I m
m m
− + − = =
⇔ ⇔ ⇒ =
− > <
Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm
(0) 0
, ( )
(0) 0
′ =
′′ >
y
I
y
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ
1 0 1
( ) 1
3 0 0
m m
I m
m m
− = =
⇔ ⇔ ⇒ =
− < >
Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số không có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)2
≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho không có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2
– mx + m – 1 = 0
( )
11
2
2
2 2
3 22
1
22
2
2 3 5 4
1
2 2
mm m
yx m
m
m m m m
x y
−+ − == = −
∆ = − ⇒ ⇒
− + − + = = =
Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó
2
3 8 6
2 ;
2
m m
AB m
− +
= −
Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi
( )
2
2 2
3 8 6
2 2/ / 2 4 9 3 8 6 27 74 58 0
9 1
d o
m m
m
AB u m m m m m vn
− +
−
⇔ = ⇔ − = − + ⇔ − + = →
−
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số
( ) 2
3 2 11
2(2 1) 3.
3 2
m x
y x m x
−
= − − + +
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành âm.
www.VNMATH.com
19. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 18
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 4 4
1 2 17x x+ >
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 2
1 22 12x x+ =
Bài 2: Cho hàm số
( ) 2
3 23 11
(2 ) 2.
3 2
m x
y x m m x
+
= − − + −
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 2
1 2 40x x− =
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.
Bài 3: Cho hàm số 3
3 2= − +y x mx
a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình
Lấy y chia cho y′ ta được . ( ) ,′= + +y y g x ax b khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của
chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì ( ) ( )1 1 2 2; , ;+ +M x ax b N x ax b , trong đó x1 ; x2 là hai
nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.
Ví dụ 1: Cho hàm số ( )= − + + − + −3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó.
Hướng dẫn giải :
Ta có 2 2 2 2
3 6 3(1 ) 0 2 1 0′ ′= − + + − ⇒ = ⇔ − + − =y x mx m y x mx m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 0,′⇔ ∆ = > ∀m
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m.
Chia y cho y′ ta được 21
2
3 3
′= − + − +
m
y x y x m m
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó
( )
( )
1
2
2
1 1 1
2
2 2 2
1
2
3 3
1
2
3 3
′= − + − +
′= − + − +
x
x
m
y x y x m m
m
y x y x m m
Do ( ) ( ) ( )1 2
2
21 1
2
2 2
2
0 , : 2
2
= − +
′ ′= = ⇒ ⇔ ∈ = − +
= − +
x x
y x m m
y y A B d y x m m
y x m m
Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là 2
2= − +y x m m .
Ví dụ 2: Cho hàm số = − − +3 2
3 2y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng
d: y = −−−−4x + 3.
Hướng dẫn giải :
Ta có 2
3 6′ = − −y x x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2
2 2
3 3 3 3
′= − − + + −
m
xy
m
x y
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
∆ = − + + −
m m
y x
Theo bài ta có
2
2 4
3
3
2 3
3
/ / : 4 3
− + = − ⇔ ⇔ =∆ = − +
− ≠
⇒
m
m
m
d y x
www.VNMATH.com
20. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 19
Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số = − − +3 2
3 2y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x −−−− 1.
Hướng dẫn giải :
Ta có 2
3 6′ = − −y x x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ + > ⇔ > −m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2
2 2
3 3 3 3
′= − − + + −
m
xy
m
x y
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
( )
2
: 2 2
3 3
= − + + −
m m
AB y x
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)
2 3
2 1 ,
3 2
− + = ⇔ = −
⇔
m
m (thỏa mãn)
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng ( ) 1 2 1 2
1 1
2 2
+ +
⇔ = − ⇔ = −I I
y y x x
d y x
( ) ( )1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .2 6 0
3 3 3 3
− + + + − = + − ⇔ + = − ⇔ =
⇔
m m m m
x x x x m
Vậy
3
0;
2
= = −m m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số = − +3 2
3y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x −−−− 2y −−−− 5 = 0.
Hướng dẫn giải :
Ta có 2
3 6′ = − +y x x m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ( )0 9 3 0 3, *′⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ <m m
Chia y cho y′ ta được
1 1 2 1
2
3 3 3 3
′= − + − +
y x y m x m
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị, khi đó ( )
2 1 2
2 2
3
:
3 3
− + ⇒ = −
=
ABm x m kA mB y
Ta có ( )
1
: 2 5 0
2
− − = ⇒ =dd x y k
A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có ( ) ( )
1 2
. 1 2 1 0
2 3
⊥ ⇔ = − ⇔ − = − ⇔ =
AB dAB d k k m m
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số 3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( )
1
: .
2
=d y x
Đ/s: m = 1
Bài 2: Cho hàm số 3 2
3 2= − − +y x x mx
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng
( ): 4 5 0+ − =d x y một góc 450
.
Đ/s: .= −
1
2
m
Bài 3: Cho hàm số 3 2 2
3= − + +y x x m x m
www.VNMATH.com
21. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 20
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −d y x
Đ/s : m = 0
Bài 4: Cho hàm số 3 2 3
3 4= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Đ/s :
2
.
2
= ±m
Bài 5: Cho hàm số 3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1
:
2
=d y x
Đ/s : m = 1
Bài 6: Cho hàm số 3 2
3= − +y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0− − =d x y
Đ/s : m = 0
Bài 7: Cho hàm số 3 2
7 3= + + +y x mx x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
:3 7 0.− − =d x y
Đ/s :
3 10
.
2
= ±m
Bài 8: Cho hàm số 3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0+ − =d x y góc 450
.
Đ/s :
3 15
.
2
±
=m
Bài 9: Cho hàm số 3 2
3 2= − +y x x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ): ( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m .
Đ/s :
4
2; .
5
= = −m m
MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU VỀ CỰC TRỊ HÀM BẬC BA CHỌN LỌC
Bài 1: Cho hàm số 3 21 1
( 1) 3( 2)
3 3
= − − + − +y x m x m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 22 1.+ =x x
Giải :
TXĐ : D = R
Ta có ( ) ( )2
' 2 1 3 2y x m x m= − − + −
Để hàm số có cực đại cực tiểu tại x1 ; x2 thì phương trình ' 0y = có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 hay
( ) ( )2 2
' 1 3 2 5 7 0m m m m∆ = − − − = − + > luôn đúng với mọi m
Theo định lí Viète ta có:
( )
( )
1 2
1 2
2 1
3 2
x x m
x x m
+ = −
= −
www.VNMATH.com
22. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 21
Như vậy ta có hệ:
( )( )
( )( )
( )
1 2
1 2
1 2
2 1 1
3 2 2
2 1 3
x x m
x x m
x x
+ = −
= −
+ =
Từ ( ) ( )1 3và ta dễ dàng giải được
2
1
3 2
4 5
x m
x m
= −
= −
Thay vào ( )2 ta có:( )( ) ( ) ( )1
4 5 3 2 3 2 19 73
16
m m m m− − = − ⇔ = ±
Vậy ( )1
19 73
16
m = ± là giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số 3 2
( 2) ( 1) 2
3
= + − + − +
m
y x m x m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho 1 2 1.< <x x
Giải :
TXĐ : D = R
Ta có ( )2
' 2 2 1y mx m x m= + − + −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại thì phương trình ( ) ( )2
' 2 2 1 0 *y mx m x m= + − + − = có hai nghiệm phân
biệt x1 ; x2 sao cho 1 2 1.< <x x
Đặt 1t x= − ta có ( )* trở thành ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 2 1 1 0 4 1 4 5 0 **m t m t m mt m t m+ + − + + − = ⇔ + − + − =
( )* có 2 nghiệm 1 2 1x x< < thì PT ( )** có hai nghiệm 1 2 0t t< < hay ( )
5
4 5 0 0
4
m m m− < ⇔ < <
Vậy
5
0
4
m< < là giá trị cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số 3 21
3 4
3
= − − +y x mx mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m m
m x mx m
Giải :
TXĐ : D = R
Ta có 2
' 2 3y x mx m= − −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thì PT 2
' 2 3 0y x mx m= − − = có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
Hay ( ) ( )2
' 3 0 ; 3 0;m m m∆ = + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Theo định lí Viète ta có:
1 2
1 2
2
3
x x m
x x m
+ =
= −
thay vào
2 2
1 2
2 2
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
x mx m m
m x mx m
ta có :
( )
( )
2 2
1 1 2 2
2 2
2 1 2 1
9
2
9
x x x x m m
m x x x x m
+ + +
+ =
+ + +
( )
( )
2 2
21 2 1 2 2 2
2
9
1 2 3 9 4
x x x x x m
m m m m m
m
+ − + +
⇔ = ⇔ − + + = ⇔ = − ( vì 0m ≠ )
www.VNMATH.com
23. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 22
Bài 4: Cho hàm số 3 2 21 1
( 3)
3 2
= − + −y x mx m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương sao cho 2 2
1 2
5
.
2
+ =x x
Giải :
TXĐ : D = R
Ta có 2 2
' 3y x mx m= − + −
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 dương thì PT 2 2
' 3 0y x mx m= − + − = có 2 nghiệm dương phân biệt
x1 ; x2
( )2 2
1 2
2
1 2
4 3 0
0 3 2
3 0
m m
x x m m
x x m
∆ = − − >
⇔ + = > ⇔ < <
= − >
Ta có : ( ) ( )22 2 2 2
1 2 1 2 1 2
5 7
2 2 3
2 2
x x x x x x m m m+ = + − = − − = ⇔ = ±
Kết hợp ĐK ta có
7
2
m = là giá trị cần tìm.
Bài 5: Cho hàm số 3
3 2= − +y x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2 , với C(1 ; 1).
Ta có : 2 2
' 3 3 0y x m x m= − = ⇔ = . Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 0(*)m⇔ >
Khi đó :
2 2 ( ; 2 2)
2 2 ( ;2 2)
x m y m m A m m m
x m y m m B m m m
= ⇒ = − + ⇒ − +
= − ⇒ = + ⇒ − +
Từ đo ta có pt đường thẳng qua A,B là: 2 2 0mx y+ − =
Theo bài ra ta có 3
2
2 11 1
. ( ; ) 4 16 . 3 2
2 2 4 1
ABC
m
S AB d C AB m m
m
−
= = + =
+
21
4 . 2 1 3 2 (2 1) 18 2( *)
2
m m m m m tm⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 6: Cho hàm số 3 2
3( 1) 12 3 4= − + + − +y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với
9
1; .
2
− −
C
Ta có : 2 2 2
' 3 6( 1) 12 0 2( 1) 4 0 2 2 4 0y x m x m x m x m x mx x m= − + + = ⇔ − + + = ⇔ − − + =
2
( 2 ) 2( 2 ) 0 ( 2)( 2 ) 0
2
x
x x m x m x x m
x m
=
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ =
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 1(*)m⇔ ≠ khi đó:
Ta có: 3 2 3 2
2 9 (2;9 )
2 4 12 3 4 (2 ; 4 12 3 4)
x y m A m
x m y m m m B m m m m
= ⇒ = ⇒
= ⇒ = − + − + ⇒ − + − +
www.VNMATH.com
24. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 23
Vì tam giác ABC nhận O làm trọng tâm nên 3 2
2 2 1 0
1
( *)9
29 4 12 3 4 0
2
+ − =
⇔ = −
− + − + − =
m
m tm
m m m m
Vậy
1
2
= −m là giá trị cần tìm
Bài 7: Cho hàm số 3 2 3
2 3( 1) 6= − + + +y x m x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho 2.=AB
Ta có : 2 1
' 6 6( 1) 6 0 ( 1)( ) 0
x
y x m m x x m
x m
=
= − + + = ⇔ − − = ⇔
=
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B 1(*)m⇔ ≠ khi đó:
Ta có:
3 3
3
2 2
1 3 1 (1; 3 1)
(1 ;( 1) )
3 ( ;3 )
x y m m A m m
AB m m
x m y m B m m
= ⇒ = + − ⇒ + −
⇒ = − −
= ⇒ = ⇒
2 6 2 0
2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 1 ( *)
2
m
AB m m m tm
m
=
= ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy m = 0 ; m = 2. là giá trị cần tìm
Bài 8: Cho hàm số 3 2 2 3
3 3( 1) 4 1= − + − − + −y x mx m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.
Ta có : 2 2 2 2 1 1
' 3 6 3( 1) 0 2 1
1 1
x m x m
y x mx m x mx m
x m x m
− = = +
= − + − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ − = − = − +
Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B :
Ta có:
3
3
1 ( ) 3 4 1 3 (1 ; 3)
1 ( ) 3 4 1 1 ( 1 ;1 )
x m y x m x m m A m m
x m y x m x m m B m m
= + ⇒ = − − + − = − ⇒ + −
= − + ⇒ = − − + − = + ⇒ − + +
Vì tam giác OAB vuông tại O nên ta có :
2 1
. 0 (1 )( 1 ) ( 3)( 1) 0 2 2 4 0
2
m
OAOB m m m m m m
m
= −
= ⇔ + − + + − + = ⇔ − − = ⇔ =
Vậy 1; 2.= − =m m
Bài 9: Cho hàm số 3 2 3 2
3( 1) 3 ( 2) 2= + + + + + +y x m x m m x m m
Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.
Ta có :
3 2 3 2 3
2
3 2 3 2 3
( ) 3( )
' 3 6( 1) 3 ( 2) 0
2 ( ) 3( ) 4
x m y x m x m m m m m
y x m x m m
x m y x m x m m m m m
= − ⇒ = + + + + − = −
= + + + + = ⇔
= − − ⇒ = + + + + − = − +
(ở đây ' 0y = luôn có 2 nghiệm phân biệt)
Khoảng cách giữa các điểm cực trị là 4 16 2 5AB = + =
Đ/s : 2 5.=AB
Bài 10: Cho hàm số 3 2 21
( 1) 1
3
= − + − +y x mx m x
www.VNMATH.com
25. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 24
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.
2 2 2 1
' 2 1 0 ( ) 1
1
x m
y x mx m x m
x m
= +
= − + − = ⇔ − = ⇔ = − +
Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu tại A, B
Ta có:
3 3
3
3 3
3
1 1
1 ( ) 1
3 3 3
1 5
1 ( ) 1
3 3 3
m m
x m y x m x m
m m
x m y x m x m
+
= + ⇒ = − + − + = −
+
= − + ⇒ = − + − + = −
Ta có: yCĐ + yCT > 2
3
3 32
2 2 2 2 6 0
3 3 0
mm
m m m
m
>
⇔ − + > ⇔ − > ⇔
− < <
Kết luận:
3
3 0
m
m
>
− < <
là giá trị cần tìm
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số sau :
a) 3 2
( 1) 2= + + + −y x m x x m
b) 3 2 2 3 2
3 3(1 )= − + + − + −y x mx m x m m .
a, Ta có : 2
' 3 2( 1) 2y x m x= + + + .Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt.
2 1 6
( 1) 6 0
1 6
m
m
m
> − +
⇔ + − > ⇔
< − −
(*).
Khi đó gọi 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y là tọa độ 2 điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2
1 1 10 2 4 11 2
'
3 9 9 9
m m m m
y x y x
+ − − +
= + + −
Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
= + + − = −
2 2
2 2 2 2 2
1 1 10 2 4 11 2 10 2 4 11 2
'( )
3 9 9 9 9 9
m m m m m m m
y x y x x x
+ − − + − − +
= + + − = −
Vậy với đk (*) đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số là :
2
10 2 4 11 2
9 9
m m m
y x
− − +
= −
b, Tương tự câu a ta có: 2
2y x m m= + − với m R∈
Bài 12: Cho hàm số 3 2 2
(2 1) ( 3 2) 4= − + + − − + −y x m x m m x
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy.
Ta có : 2 2
' 3 2(2 1) 3 2y x m x m m= − + + − + − . Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt.
2 2 2
'
5 30
' 0 (2 1) 3( 3 2) 0 10 5 0 (*)
5 30
y
m
m m m m m
m
> − +
⇔ ∆ > ⇔ + + − + − > ⇔ + − > ⇔
< − −
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y . Theo định ly Viet:
1 2
2
1 2
2(2 1)
3
3 2
3
m
x x
m m
x x
+
+ =
− + =
www.VNMATH.com
26. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 25
Theo đk A, B nằm khác phía với Oy
2
1 2
3 2
0 1 2
3
m m
x x m
− +
⇔ = < ⇔ < <
Kết hợp (*) kết luận: 1 2m< <
Bài 13: Cho hàm số 3 2 2
3= − + +y x x m x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1 5
:
2 2
= −d y x
Ta có 2 2
' 3 6y x x m= − + . Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt
2
'' 0 9 3 0 3 3y m m∆ > ⇔ − > ⇔ − < < (*) .
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y .
+ Thực hiện phép chia y cho y’ ta được :
2 2
1 1 2 3
' 2
3 3 3 3
m m m
y x y x
+
= − + − +
+ Từ đó ta có pt đương thẳng qua các điểm cực trị là:
2 2
2 3
2
3 3
m m m
y x
+
= − +
.
Vì A, B đối xứng nhau qua
1 5
:
2 2
= −d y x nên :
. 1d AB
I d
k k
∈
= −
( với I là trung điểm của AB)
Giải
2
1 2
. 1 2 1 0
2 3
d AB
m
k k m
= − ⇔ − = − ⇔ =
( thõa mãn (*))
Với 0m = ta có (0;0), (2; 4) (1; 2)A B I d− ⇒ − ∈
Vậy 0m = là giá trị cần tìm
(chú ý: ở đây các e có thể giải cả 2 đk
. 1
∈
= − d AB
I d
k k
để ngắn gọn ta nên giải 1 đk là . 1= −d ABk k và thử lại đk
kia)
Bài 14: Cho hàm số 3 2 3
3 4= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x.
Ta có : 2 0
' 3 6 0
2
=
= − = ⇔
=
x
y x mx
x m
. Để hàm số có cực đại cực tiểu tại A,B 0m⇔ ≠
Khi đó gọi
2
3
3
(1; 2 )
(0;4 ), (2 ;0)
( ;2 )
= −
⇒
ABu m
A m B m
I m m
( với I là trung điểm AB)
Vì A,B đối xứng nhau qua :d y x= nên :
2
2
2 1
. 1 22 1 0
∈ =
⇔ ⇔ = ±
= − − = d AB
I d m m
m
u u m
Bài 15: Cho hàm số 3 2
3( 1) 9 2= − + + + −y x m x x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng
1
:
2
=d y x
Đ/s : m = 1
Bài 16: Cho hàm số 3 2
3= − +y x x mx
www.VNMATH.com
27. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 26
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng : 2 5 0− − =d x y
Đ/s : m = 0
Bài 17: Cho hàm số 3
3= − +y x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy.
Ta có : 2 2
' 3 3 0y x m x m= − = ⇔ = . Để hàm số có 2 cức trị ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 0(*)m⇔ >
Với đk(*) đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị tại 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y . Theo định ly Viet:
1 2
1 2
0x x
x x m
+ =
= −
Theo đk A, B nằm khác phía với Oy 1 2 0( 0)x x m m⇔ = − < ∀ >
Kết luận: Với m>0 hàm số có CĐ, CT và các điểm đó năm về 2 phía với trục Oy
Bài 18: Cho hàm số 3 2
3 2= − − +y x x mx
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng
: 4 3 0.+ − =d x y
Giải:
TXĐ: R
Đạo hàm: 2
' 3 6y x x m= − −
( )
2
' 0 3 6 0x
y x x m= ⇔ − − = ; 2
' 3 3 3 9m m∆ = + = +
' 0 3m∆ > ⇔ > − . Nên 3m > − thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được ( ) ( ) ( )
22 1
2 2 3 6 . '
3 3 3 3
= − + + − + − − − = +
x x
m m x
y x x x m r q y
Từ đó suy ra, phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là ( )
2
2 2
3 3
= = − + + −
x
m m
y r x ( )∆
Đường thẳng : 4 3d y x= − +
Yêu cầu trở thành ∆ song song d hay
2
2 4
33
3
9
2 3
3
− + = − = ⇔ ⇔ =
≠ − − ≠
m
m
m
mm
(thỏa mãn)
Vậy 3m = là giá trị cần tìm.
Bài 19: Cho hàm số 3 2
7 3= + + +y x mx x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
:3 7 0.− − =d x y
Giải: TXĐ: R
Đạo hàm: 2
' 3 2 7y x mx= + +
( )
2
' 0 3 2 7 0x
y x mx= ⇔ + + = ; 2
' 21m∆ = −
21
' 0
21
>
∆ > ⇔
< −
m
m
. Nên ( ) ( ); 21 21;∈ −∞ − ∪ +∞m thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được
www.VNMATH.com
28. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 27
( ) ( ) ( )
2
214 2 7
3 3 2 7 . '
3 9 9 3 9
= − + − + + + + = +
x x
m m x m
y x x mx r q y
Từ đó suy ra, phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là
2
14 2 7
3
3 9 9
= − + −
m m
y x ( )∆
Đường thẳng : 3 7d y x= −
Yêu cầu trở thành ∆ vuông góc d hay
2 2
14 2 2 3 10
3. 1 15
3 9 3 2
− = − ⇔ = ⇔ = ±
m m
m (thỏa mãn)
Vậy
3 10
2
= ±m là giá trị cần tìm.
Bài 20: Cho hàm số 3 2 2 2
3( 1) (2 3 2)= − − + − + − +y x m x m m x m m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
: 4 20 0+ − =d x y góc 450
.
Giải: TXĐ: R
Đạo hàm: ( ) ( )2 2
' 3 6 1 2 3 2= − − + − +y x m x m m ; ( ) ( )2 2 2
' 9 1 3 2 3 2 3 9 3∆ = − − − + = − +m m m m m
3 5
2
' 0 .
3 5
2
+
>
∆ > ⇔
−
<
m
m
Nên
3 5 3 5
; ;
2 2
− +
∈ −∞ ∪ +∞
m thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được:
( )
3 2
2 2
2
2 8 82 6 2 1
3 6 1 2 3 2
33 3 3
2 − + − −
+ − − − + − +
− +
= − +
m m m x m
x m x m m
m m
y x = ( ) ( ). '+x x
r q y
Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là ( )
2 3 2
2 8
3
2
3
8 26 2
x
m m
x
m m
y r
m − + − +
= = − +
−
( )∆
Đường thẳng : 4 20d y x= − + . Đặt
2
2 6 2
3
m m
k
− +
= −
Yêu cầu tương đương ( ) 0
cos ; cos 45d ∆ =
5 / 34
1 4 4 1
3 / 51 4
=+
⇔ = ⇔ + = − ⇔ = −−
kk
k k
kk
TH1:
2
25 2 6 2 5
2 6 7 0
3 3 3
− +
= ⇔ − = ⇔ − + =
m m
k m m (vô nghiệm)
TH2:
2
23 2 6 2 3 15 215
10 30 1 0
5 3 5 10
− + ±
= − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =
m m
k m m m (thỏa mãn)
Vậy
15 215 3 15
.
10 2
± ±
= =m là các giá trị cần tìm.
Bài 21: Cho hàm số 3 2
3 2= − +y x x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn
2 2
( ): ( ) ( 1) 5− + − − =C x m y m .
Giải:
TXĐ: R
www.VNMATH.com
29. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 28
2
' 3 6= −y x x ( )' 0 0⇒ = ⇔ =x
y x hoặc 2x =
Suy ra 2 điểm cực trị lần lượt là ( )0;2A và ( )2; 2B −
Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: : 2 2 0d x y+ − =
Đường tròn ( )
( )tâm ; 1
:
bán kính 5
I m m
C
R
+
=
Yêu cầu:d tiếp xúc( )C hay ( )( )
2 1 2
; 5
5
+ + −
= ⇔ =
m m
d d C R
2
3 1 5 4
3
=
⇔ − = ⇔ − =
m
m
m
(t/m)
Vậy 2m = và
4
3
m
−
= là các giá trị cần tìm
Bài 22: Cho hàm số 3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)= + − + − + − +y x m x m m x m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
9
: 5.
2
= +d y x
Giải:
Đạo hàm ( ) ( )2 2
' 3 4 1 4 1= + − + − +y x m x m m
Hàm số có cực đại, cực tiểu ' 0y⇔ = có hai nghiệm phân biệt.
Hay ( ) ( )2 2 2 2 3
' 0 4 1 3 4 1 0 4 1 0
2 3
> − +
∆ > ⇔ − − − + > ⇔ + + > ⇔
> − −
m
m m m m m
m
Nên ( ) ( ); 2 3 2 3;m∈ −∞ − − ∪ − + +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta được
( ) ( ) ( )
2 3 2
2 22 8 2 2 8 10 16 2 2
3 4 1 4 1 . '
9 9 3 9
+ + + + + −
= − − + + + − + − + = +
x x
m m m m m x m
y x x m x m m r q y T
ừ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là ( )
2 3 2
2 8 2 2 8 10 16
9 9
+ + + + +
= = − −
x
m m m m m
y r x ( )∆
Yêu cầu trở thành ∆ vuông góc d hay
2
2 09 2 8 2
. 1 4
42 9
= + +
− = − ⇔ + = = −
mm m
m m
m
(thỏa mãn)
Vậy 0m = và 4m = − là các giá trị cần tìm.
Bài 23: Cho hàm số 3 2
3 3( 6) 1= − + + +y x mx m x
Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Giải:
Đạo hàm: ( )2
' 3 6 3 6y x mx m= − + + . ( ) ( )2 2
' 9 9 6 9 6m m m m∆ = − + = − −
www.VNMATH.com
30. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 29
3
' 0
2
m
m
>
∆ > ⇔ < −
. Nên ( ) ( ); 2 3;m∈ −∞ − ∪ +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 12 6 1 3 6 3 6 . '
3 3 x x
x m
y m m x m m x mx m r q y
= − + + + + + + − − + + = +
Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là ( ) ( )2 2
2 6 6 1y m m x m m= − + − + + + ( )∆
Yêu cầu trở thành ( )∆ đi qua A hay ( ) ( )2 2 2
5 3. 2 2 12 6 1 5 12 37 5m m m m m m= − + + + + + ⇔ − + + =
2
4
5 12 32 0 8
5
=
⇔ − − = ⇔
= −
m
m m
m
Kết hợp các điều kiện trên, ta có 4m = là giá trị cần tìm.
Bài 24: Cho hàm số 3 21
3 3
= + + +
m
y x mx x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0.
Giải:
Đạo hàm: 2
' 2 1y x mx= + + .
Hàm số có cực đại, cực tiểu 2
' 0 1 0 1m m⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ >
Nên ( ) ( ); 1 1;m∈ −∞ − ∪ +∞ thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Khi đó, gọi tọa độ của hai điểm cực trị lần lượt là ( )1 1;x y , ( )2 2;x y .
Theo vi-ét, ta có
1 2
1 2
2
. 1
x x m
x x
+ = −
=
Yêu cầu trở thành ( )( )1 1 2 22 2 0x y x y+ + > ( )1
Mặt khác, ta có:
( ) ( ) ( )
2
22 2
2 1 . '
3 3 3 x x
m x m
y x x mx r q y
−
= + + + + = +
Nên PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
2
2 2
3
m
y x
−
=
( )
22 2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 2 2 2 1 1
1 2 2 0 4 1 0 1 0 2
3 3 3 3
m m m m
x x x x x x m
− − − −
⇔ + + > ⇔ + > ⇔ + ≠ ⇔ ≠ ±
Kết hợp điều kiện ta có
1
2
m
m
>
≠ ±
là các giá trị cần tìm
Bài 25: Cho hàm số 3 21
3
= + + +y x x mx m
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15.
www.VNMATH.com
31. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 30
Giải:
Đạo hàm: 2
2y x x m= + + . Ta có ' 0 1 0 1m m∆ > ⇔ − > ⇔ <
Nên 1m < thì hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi tọa độ hai điểm cực trị là ( )1 1;x y và ( )2 2;x y .
Khi đó, theo vi-ét
1 1
1 2
2x x
x x m
+ = −
=
.
Mặt khác, ta có
( ) ( ) ( )
22 2 2 1
2 . '
3 3 3 3 x x
m m x
y x x x m r q y
−
= + + + + + = +
Nên PTĐT qua cực đại, cực tiểu là
2 2 2
3 3
m m
y x
−
= +
Yêu cầu tương đương ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
60 60
3
m
x x y y x x x x
−
− + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
2 2
2 3 2
1 2
2 2 4 8 13
1 60 . 4 4 60 4 12 21 122 0 2
3 9
m m m
x x m m m m m
− − +
⇔ + − = ⇔ − = ⇔ − + + = ⇔ = −
Vậy 2m = − là giá trị cần tìm.
Bài 26: Cho hàm số 3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )= + − + −y x m x m m x
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0.
Giải:
TXĐ: R
Đạo hàm: ( ) ( )2
' 6 6 1 6 1 2y x m x m m= + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
' 9 1 36 1 2 9 9 6 1 9 3m m m m m m∆ = − − − = − + = − .
1
' 0
3
∆ > ⇔ ≠m
Nên
1
3
≠m thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
Sử dụng phép chia đa thức, ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 21
3 1 4 6 2 6 6 1 6 1 2 . '
3 6 x x
x m
y m x m m m x m x m m r q y
− = − − + − + + + + − + − = +
Từ đó suy ra, PTĐT qua cực đại, cực tiểu là ( ) ( )
2 3
3 1 4 6 2x
y r m x m m m= = − − + − +
Đồng nhất với d có
( )
2
3
1
1;
3 1 4 3
1
14 6 2 0 0; 1;
2
= = − − =
⇔ ⇔ =
− + = = = =
m m
m
m
m m m m m m
(thỏa mãn)
Vậy 1m = là giá trị cần tìm.
Bài 27: Cho hàm số 3 21
2 3
3
= − +y x x x
Gọi A, B là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2.
Giải:
www.VNMATH.com
32. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 31
TXĐ: R
Đạo hàm: 2
' 4 3y x x= − + . ' 0 1y x= ⇔ = hoặc 3x = .
Từ đó suy ra hai điểm cực trị của hàm số:
4
1;
3
A
và ( )3;0B
( )
2
2 4 2 13
3 1 0
3 3
AB
= − + − =
. Đường thẳng : 2 3 6 0AB x y+ − = .
Gọi ( );0M m là điểm cần tìm.
Yêu cầu: ( ) ( )
02 61 13
2 . ; 2 . 2 3 3
62 3 13
mm
dt ABM AB d M AB m
m
=−
∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
Vậy ( )0;0M và ( )6;0M là các điểm cần tìm.
Chú ý: Công thức chia nhanh đa thức bậc 3:
Với đa thức ( ) ( ) ( )
3 2
.
'= + + + = +x x x
P ax bx cx d r q P với 0a ≠
Thì luôn có
( )
( )
2
2 2
3 9 9
3 9
= − + −
= −
x
x
c b bc
r x d
a a
x b
q
a
DẠNG 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BỐN TRÙNG PHƯƠNG
Xét hàm số ( )4 2 3 2
2
0
4 2 2 2 0
2
x
y ax bx c y ax bx x ax b b
x
a
=
′= + + ⇒ = + = + = ⇔
= −
DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu một lần, tức là 0
2
− ≤
b
a
Hàm số có một cực trị khi y′ chỉ đổi dấu ba lần, tức là y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt 0
2
⇔ − >
b
a
Ví dụ 1: Cho hàm số = − + −4 2
2 3 1y x mx m
Tìm m để
a) hàm số có 1 cực trị.
b) hàm số có 3 cực trị.
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )3 2
2
0
4 4 4 0
=
′= − = − ⇒ = ⇔
=
x
y x mx x x m y
x m
a) Hàm số có một cực trị khi m ≤ 0.
b) Hàm số có ba cực trị khi m > 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )= + − + −4 2
1 3 3 5y m x mx m
Biện luận theo m số cực trị của hàm số đã cho.
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )
( )
3 2
2
0
4 1 6 2 ( 1) 3 0
( 1) 3 , 1
=
′= + − = + − ⇒ = ⇔ + −
x
y m x mx x m x m y
m x m
TH1 : 1 6 ; 0 0′= − ⇒ = = ⇔ =m y x y x
Trong trường hợp này hàm số có một cực trị, và đó là điểm cực tiểu.
www.VNMATH.com
33. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 32
TH2 : ( ) 2 3
1, 1
1
≠ − ⇔ =
+
m
m x
m
+ Hàm số có một cực trị khi
3
0 1 0
1
≤ ⇔ − < ≤
+
m
m
m
+ Hàm số có ba cực trị khi
03
0
11
>
> ⇔ < −+
mm
mm
Kết luận :
Hàm số có một cực trị khi 1 0− ≤ ≤m
Hàm số có ba cực trị khi
0
1
>
< −
m
m
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Biện luận theo m số cực trị của các hàm số sau :
a) 4 2
2 (2 1) 3.= − − + + +y x m x m
b) 4 2
(1 ) (3 1) 2 5.= − − + + +y m x m x m
c) 2 4 2 3
(3 2) 1.= − − + −y m x mx m
DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
TH1: Hàm số có ba điểm cực trị A, B, C.
+ Tìm điều kiện tồn tại ba điểm cực trị : ( )0 *
2
− >
b
a
+ Với điều kiện (*) ta có 2
3
0
0
2
2
= = →
−
′ = ⇔ = = →
−
= − = →
A A
B B
C C
x x y
b
y x x y
a
b
x x y
a
, từ đó ( )0; ; ; ; ;
2 2
− −
−
A B C
b b
A y B y C y
a a
Do hàm chẵn với x nên các điểm B, C có yB = yC.
Nhận xét : A ∈ Oy, B ; C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A.
Ta xét một số tính chất cơ bản thường gặp của hàm số :
Tính chất 1: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Do tam giác ABC đã cân tại A nên chỉ có thể vuông cân tại đỉnh A.
Khi đo ta có điều kiện ( ). 0, 1=AB AC
với ; ; ;
2 2
− −
= − = − −
B A C A
b b
AB y y AC y y
a a
Từ đó ( ) ( )2
1 . 0 0
2
⇔ = ⇔ + − =B A
b
AB AC y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán.
Ngoài ra ta cũng có thể dùng điều kiện Pitago cho tam giác cân
ABC : 2 2 2 2 2
2+ = ⇔ =AB AC BC AB BC
Tính chất 2: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác đều.
Tam giác ABC đều khi ( )2 2
, 2= ⇔ =AB BC AB BC
với ; ; 2 ;0
2 2
− −
= − = −
B A
b b
AB y y BC
a a
Từ đó ( ) ( )2 2
2
2
− −
⇔ + − =B A
b b
y y
a a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết
quả cuối cùng của bài toán.
Tính chất 3: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 1200
www.VNMATH.com
34. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 33
Tam giác ABC cân tại A nên 0
120=BAC . Gọi H là trung điểm của ( )0;⇒ BBC H y
Ta có ( )0 2 2
cos cos60 2 4 , 3= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
AH AH
HAB AB AH AB AH
AB AB
với ( ); ; 0;
2
−
= − = −
B A B A
b
AB y y AH y y
a
, từ đó ( ) ( ) ( )2 2
3 4
2
−
⇔ + − = −B A B A
b
y y y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.
Tính chất 4: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích S = So cho trước
Gọi H là trung điểm của ( )0;⇒ BBC H y . Khi đó ( )2 2 21
. 2 . 4 . , 4
2
∆ = ⇔ = ⇔ =ABC o oS AH BC S AH BC S AH BC
với ( )2 ;0 ; 0;
2
−
= − = −
B A
b
BC AH y y
a
, từ đó ( ) ( )22
3 4 .4
2
−
⇔ = −
o B A
b
S y y
a
Giá trị m tìm được kết hợp với điều kiện tồn tại ở (*) cho ta kết quả cuối cùng của bài toán.
Tính chất 5: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp R cho trước
Sử dụng công thức diện tích tam giác
2
. .
14 4 24. .
2
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
abc abc AB AC BC AB
S R R R
R S AHAH BC
Giải phương trình trên ta được giá trị của m, đối chiếu với (*) cho ta kết luận cuối cùng.
Tính chất 6: 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm G(0 ; α) cho trước
Ta có điều kiện trong trường hợp này là α 2 3α
3
+ +
= ⇔ + =A B C
A B
y y y
y y
Ví dụ 1: (ĐH khối B - 2011)
Cho hàm số = − + +4 2
2( 1)y x m x m , với m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm
cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Hướng dẫn giải :
Ta có 3 2
2
0
4 4( 1) 4 ( 1) 0
1
=
′ ′ = − + = − + ⇒ = ⇔ = +
x
y x m x x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( )1 0 1, *⇔ + > ⇔ > −m m
Với m > −1 thì
1 1
2
2 2
2
3 3
0
0 1 ( 1)
1 ( 1)
= ⇒ =
′ = ⇔ = + ⇒ = − + +
= − + ⇒ = − + +
x y m
y x m y m m
x m y m m
Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là ( ) ( ) ( )2 2
0; , 1; 1 , 1; 1+ − − − − + − − −A m B m m m C m m m
Từ đó ( )2 2 2 2 2 2 2
4 1 4 4 0
2 2 2
= +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ − − = ⇔
= −
m
OA BC OA BC m m m m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2 2 2= ±m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: (Dự bị khối B - 2003)
Cho hàm số = − +4 2 2
2 1y x m x , với m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải :
Ta có 3 2 2 2
2 2
0
4 4 4 0
=
′ ′ = − = − ⇒ = ⇔ =
x
y x m x x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ( )2
0 0, *⇔ > ⇔ ≠m m
Với m ≠ 0 thì ( ) ( ) ( )
1 1
4 4 4
2 2
4
3 3
0 1
0 1 0;1 , ;1 , ;1
1
= ⇒ =
′ = ⇔ = ⇒ = − → − − −
= − ⇒ = −
x y
y x m y m A B m m C m m
x m y m
www.VNMATH.com
35. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 34
Ta nhận thấy tam giác ∆ABC luôn cân tại A. Để ∆ABC vuông cân thì phải vuông cân tại A.
Từ đó suy ra ( ) ( )4 4 2 8 2 6 0
. 0 ; . ; 0 0 ( 1) 0
1
=
⊥ ⇔ = ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = ±
m
AB AC AB AC m m m m m m m m
m
Kết hợp với điều kiện (*) ta được 1= ±m là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số = + − −4 2
2 1y x mx m , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng 4 2 .
b) đều.
c) có một góc bằng 1200
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )3 2
2
0
4 4 4 0
=
′ ′= + = + ⇒ = ⇔
= −
x
y x mx x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m < 0, (*)
Với m < 0 thì
( ) ( ) ( )2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = − −
′ = ⇔ = − ⇒ = − − − → − − − − − − − − − − −
= − − ⇒ = − − −
x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.
a) Gọi H là trung điểm của ( )2
0; 1⇒ − − −BC H m m
Khi đó, ( )2 21
. 4 2 . 8 2 . 128, 1
2
∆ = = ⇔ = ⇔ =ABCS AH BC AH BC AH BC
Ta có ( ) ( )2
2 ;0 ; 0; ,= − − = −BC m AH m từ đó ( ) 4 5
1 4 . 128 32 2⇔ − = ⇔ = − ⇒ = −m m m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy m = −2 là giá trị cần tìm.
b) Tam giác ABC đều khi ( )2 2
, 2= ⇔ =AB BC AB BC
Ta có ( ) ( )2
; , 2 ;0 ,= − − = − −AB m m BC m từ đó ( ) 4 4
3
0
2 4 3
3
=
⇔ − + = − ⇔ = − ⇔
= −
m
m m m m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3
3= −m là giá trị cần tìm.
c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng 1200
thì 0
120=BAC
Gọi H là trung điểm của ( )2
0; 1⇒ − − −BC H m m
Trong tam giác vuông HAB có
( )0 2 23
sin sin60 3 2 3 , 3
2
= = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
BH BH
HAB AB BH BC AB BC
AB AB
Ta có ( ) ( )2
; , 2 ;0 ,= − − = − −AB m m BC m khi đó ( ) ( )4
3
0
3 3 4 1
3
=
⇔ − + = − ⇔
= −
m
m m m
m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 3
1
3
= −m là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số = − + −4 2
2 1y x mx m , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán
kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có ( )3 2
2
0
4 4 4 0
=
′ ′= − = − ⇒ = ⇔
=
x
y x mx x x m y
x m
Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là m > 0, (*)
www.VNMATH.com
36. Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831 Facebook: LyHung95
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn 35
Với m > 0 thì
( ) ( ) ( )2 2 2
2
0 1
0 1 0; 1 , ; 1 , ; 1
1
= ⇒ = −
′ = ⇔ = ⇒ = − + − → − − + − − − + −
= − ⇒ = − + −
x y m
y x m y m m A m B m m m C m m m
x m y m m
Ta nhận thấy A thuộc Oy, B ; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trung điểm của ( )2
0; 1⇒ − + −BC H m m
Diện tích tam giác ABC : ( )
2
. . .
, 1
2 4 2
∆ = = ⇒ =ABC
AH BC AB BC AC AB
S R
R AH
Ta có ( ) ( )
2 4
2 2
2
; ; 0;
= +
= − = − ⇒
=
AB m m
AB m m AH m
AH m
Khi đó, ( ) ( )( )
4
3 2
2
1
1 2 2 1 0 1 1 0 1 5
2
=
+ ⇔ = ⇔ − + = ⇔ − + − = ⇔ − ± =
m
m m
m m m m m
m m
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
5 1
1;
2
−
= =m m là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số 4 2
4 2 1= − + +y x mx m , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác
a) có diện tích bằng 3 2.
b) có trọng tâm là
2
0; .
3
G
c) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Bài 2: Tìm m để hàm số 4 2 2
2 1= − +y x m x có ba điểm cực trị A, B, C sao cho
a) tam giác ABC đều.
b) 2 ,=OA BC trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc Oy, B ; C là hai điểm cực trị còn lại.
Bài 3: Tìm m để hàm số ( )4 2 2
2 2 5 5= + − + − +y x m x m m có ba điểm cực trị và là ba đỉnh của một tam giác
vuông cân.
Đ/s : m = 1.
Bài 4: Tìm m để hàm số 4 2 2
2= + + +y x mx m m có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo
thành một tam giác có một góc bằng 1200
.
Đ/s : .= − 3
1
3
m
Bài 5: Cho hàm số 4 2 4
2 2= − + +y x mx m m có đồ thị (Cm) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam
giác có diện tích bằng 4.
Đ/s : .= 5
16m
Bài 6: Cho hàm số 4 2 2
2 1= − +y x m x (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác ABC bằng 32.
Bài 7: Cho hàm số 4 2
2 1= − + −y x mx m có đồ thị (Cm) .
Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam
giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Đ/s : ; .
−
= =
5 1
1
2
m m
www.VNMATH.com