Este documento apresenta a resolução de um problema matemático sobre a determinação de medidas de uma estrutura de suporte a painéis solares e fornece uma biografia do matemático Diofanto de Alexandria. O problema matemático é resolvido em 6 etapas utilizando conceitos como semelhança de triângulos e teorema de Pitágoras. A biografia descreve a vida e obra de Diofanto, considerado o "pai da álgebra", e sua importante contribuição ao desenvolvimento inicial da notação algébrica.

2. Centro de Formação Profissional do Seixal
EFA NS - Curso de Instalador de Painéis Solares
Área de Competência: STC 7
Sociedade, Tecnologia e Ciência
Formador: Fernando Tavares
Tema:
Projeto B
Grupo de Trabalho:
André Silva, n.º5 - Carlos Castanheira, n.º7
Fernando Chaira, n.º10 – Miguel Lopes, n.º 19
Nuno Joaquim, n.º21
03/10/2013
d =
56,310

3. Introdução…………………………………………………………………….…………..... 3
Questão 1 - Resolução de Problemas Matemáticos………………………...... 4
Questão 2 - Biografia de Diofanto de Alexandria……..……….………….... 12
Conclusão…..……………………………………………………………………………..... 17
Bibliografia………………………………………………………………………………..... 18

4. No âmbito do módulo de STC7 (Sociedade, Tecnologia e Ciência),
ministrado pelo formador Fernando Tavares, foi-nos atribuído um trabalho
de grupo cujo tema é: “Projeto B”.
O presente projeto será dividido em duas partes distintas, porém interligadas,
tais como a resolução do problema sobre a determinação de medidas da face
traseira da estrutura metálica de suporte a um sistema de painel solar térmico
e o trabalho de pesquisa sobre o percurso de vida de Diofanto de Alexandria
e a importância que teve na ciência dos números.
3

5. 4
Pretende-se que sejam determinadas algumas medidas da face traseira da
estrutura metálica de suporte ao sistema de painel solar térmico. Considere o
seguinte esquema que representa a face traseira da estrutura, onde AC =
150cm, CD = 120cm, [EH] @ [FG], [AC] / / [BD], L é ponto de interseção de
[EH] e [FG], d = 56,310 e as retas u, t e v são retas paralelas.
d =
56,310

6. 5
1.1) Determine o comprimento do segmento [LG]
Sabemos que tem 120 cm
Pelo critério AA da semelhança de triângulos temos
Para determinar o comprimento do segmento que é a hipotenusa do
[ , temos que determinar o cateto , já que sabemos o valor do cateto
= 60 cm
C D
[G LJ]
// 120
60
CD IJ IJ cm
LJ cm
 
 
[FGH] [ ]LGJ
L G
G J
L J

7. 6
1ª Fase: Determinar a amplitude dos ângulos do
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, por
conseguinte, podemos determinar a amplitude do ângulo = 33,69o
2ª Fase: Através da razão trigonométrica da tangente, vamos determinar o
cateto oposto que é o , já que o é o cateto adjacente.
tg =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
<=> tg (33,69o) =
<=> = 60 x tg 33,69o
<=> = 60 x 0,67o
<=> = 40,20 cm
3ª Fase: Através do Teorema de Pitágoras, aplicado ao
GL2 602 + 40,202
GL2 3600 + 1616,04
GL2 5216,04
GL 5216,04
GL 72,22 cm
G J
L J
( )GLJ
G J
L J
GJ
GJ
GJ
( )GLJ
[ ]GLJ
2 2 2
GL LJ GJ 
[GLJ]

8. 7
1.2) Determine o comprimento do segmento [GJ]
Através da razão trigonométrica da tg, vamos determinar o , que é o cateto
oposto do [GLJ].
tg =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
<=> tg (33,69o) =
<=> = 60 x tg 33,69o
<=> = 60 x 0,67o
<=> = 40,20 cm
GJ
GLJ
GJ
GJ
GJ
/GJ LJ

9. 8
1.3) Determine a amplitude do ângulo ∢GLJ
Sabemos que dois ângulos adjacentes dizem-se suplementares quando a soma
das suas amplitudes é igual a 180o
180
90º 56,31 180
180 90 – 56,31
33,69
o
o o
o o o
o
J G L
L
L
L
  
  
 


10. 9
1.4) Determine a amplitude do ângulo ∢LFI
Através da propriedade dos ângulos verticalmente opostos conseguimos
determinar a amplitude do ângulo LFI. Os ângulos GLJ e ILF são
verticalmente opostos, logo têm igual amplitude.
GLJ ILF
3 3 , 6 9
3 3 , 6 9
9 0
5 6 , 3 1
o
o
o
o
G L J
I L F
L I F
L F I




ILFécomplementarcomIFL

11. 10
1.5) Determine o comprimento do segmento [FG]
Na alínea 1.1 já determinamos o valor de [GL] através do Teorema de
Pitágoras.
Pelo critério AA da semelhança de triângulos o
, então como , então
Se
[GLJ] [ ]FLI
[GL] [ ]LF@ 72,22GL cm 72,22LF cm
FGFL LG 
72,22 72,22
144,44
FG cm cm
FG cm
 


12. 11
1.6) Determine a amplitude do ângulo ∢FLH
Como o é isósceles, onde , então também os ângulos
O ∢FLH é complementar com o ∢LFI, logo
Então,
Como a soma das amplitudes dos ∢ internos de um é 180o, então
[FLH ] [FL] [ ]LH@
.LFH FHL@
33,69o
LFH
33,69.o
FHL
33,6933,69180 18033,6933,69112,62o o o o o o o
FLHFLH

14. 12
Diofanto de Alexandria foi um matemático e filósofo Grego, nascido em
Alexandria de quem muito pouco se sabe sobre a sua vida, chegando a
concluir-se que alguns pormenores da sua vivência, hoje conhecidos,
possam ser fictícios. Os detalhes da vida deste matemático, foi tema de
vários debates, e a maioria dos historiadores tendem a situa-lo no século
III, numa época tumultuada com a queda do Império Romano. No seu
túmulo, figura em epigrama, um enigma matemático alusivo à sua vida:
“Caminhante! Aqui estão sepultados os restos de Diofanto. Os números
podem mostrar quão longa foi a sua vida, cuja sexta parte foi a sua bela
infância. Tinha decorrido mais uma duodécima parte de sua vida, quando
seu rosto se cobriu de pêlos. E a sétima parte de sua existência decorreu
com um casamento estéril. Passou mais um quinquénio e ficou feliz com
o nascimento de seu querido primogénito, cuja bela existência durou
apenas metade da de seu pai, que com muita pena de todos desceu à
sepultura quatro anos depois do enterro de seu filho.”

15. 13
Diofanto de Alexandria desempenhou um importante papel na história
da matemática, e foi considerado por muitos estudiosos como o "pai da
álgebra”. O desenvolvimento do seu trabalho terá sido interrompido pelo
clima de guerra, que se vivia na época, que destruiu muitos centros de
estudo, fazendo com que a simbologia criada por Diofanto não passasse
do estágio inicial.
Este estudioso tornou-se pioneiro no uso de símbolos para a indicação de
incógnitas e potências, tornando que as expressões matemáticas, que até
então eram escritas na íntegra, pudessem ser representadas com
abreviaturas.
Enigma Linguagem algébrica
Caminhante! Aqui estão sepultados os restos de Diofanto. Os
números podem mostrar quão longa foi a sua vida,
X
cuja sexta parte foi a sua bela infância. 𝑋
6
Tinha decorrido mais uma duodécima parte de sua vida, quando seu
rosto se cobriu de pêlos
𝑋
12
E a sétima parte de sua existência decorreu com um casamento
estéril.
𝑋
7
Passou mais um quinquénio e ficou feliz com o nascimento de seu
querido primogénito,
5
cuja bela existência durou apenas metade da de seu pai, 𝑋
2
que com muita pena de todos desceu à sepultura quatro anos depois
do enterro de seu filho.
4
De acordo com o enigma, Diofanto teria 84 anos quando faleceu. x =
𝑋
6
+
𝑋
12
+
𝑋
7
+ 5 +
𝑋
2
+ 4 = x

16. Da sua principal obra, “Arithmetica" (250-275), conhecem-se apenas
fragmentos, e é um clássico da ciência alexandrina sobre a teoria dos
números, publicado em 13 livros, dos quais apenas 6 sobreviveram à
destruição da Biblioteca de Alexandria, é sem dúvida a maior obra da
antiguidade sobre o tema. Destaca-se pela elevada habilidade
matemática, criou engenhosos artifícios algébricos e inovou com a
resolução exata de equações indeterminadas, hoje designadas por
equações “Diofantinas”, as suas descobertas afrontaram a matemática
grega convencional da época. Esta obra é considerada o primeiro
manual de álgebra que usa símbolos para indicar incógnitas e potências.
Na história da álgebra considera-se três estádios:
- Primitivo ou retórico, em que tudo era completamente escrito em
palavras.
- Intermédio ou sincopado, em que foram adotadas algumas abreviaturas
e convenções.
- Final ou simbólico, em que são usados somente símbolos.
A "Arithmetica" de Diofanto deve ser classificada no segundo estádio,
uma vez que nos seus 6 livros há o uso constante de abreviaturas para
potências de números e para relações e operações.
14

17. Os estudos matemáticos tiveram prosseguimento com indianos e árabes,
que se valeram do conhecimento dos gregos e reconstruíram e
aprofundaram demonstrações de teoremas que se haviam perdido no
tempo, tiveram o mérito de introduzir o zero e a numeração indo-arábica,
hoje usada por todos os povos civilizados.
Os intelectuais bizantinos fugiram para o Ocidente com textos a seu
alcance, entre os quais se encontravam seis dos treze volumes da "
Arithmetica ", de Diofanto. Foi assim que a Europa tomou conhecimento
de Diofanto e da Álgebra. Na Europa, os estudos matemáticos foram
retomados timidamente a partir de 1202, com a publicação, em Itália, do
livro de Leonardo Pisano "Liber Abaci". “Arithmetica", teve a sua
tradução para latim e a mais conhecida, feita por Bachet em 1621.
Entre as muitas descoberta de Diofanto, temos o teorema conhecido
inicialmente como “Conjectura de Bachet”, presumivelmente por ter sido
Bachet autor da tradução, que concluiu:
“Todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de no
máximo quatro quadrados de outros números inteiros positivos”
Este teorema interessou às maiores mentes matemáticas da época, mas só
em 1770 Joseph Louis Lagrange, conseguiu provar a sua total validade,
com a seguinte demonstração:
22 = 22 + 32 + 32
32 = 42 + 42
74 = 52 + 72
15

18. Escreveu também sobre as soluções de certas equações e concluiu que
para que uma equação tenha solução, primeiro precisamos saber a qual
sistema numérico as soluções pertencem, isto é, se as soluções pertencem
aos números naturais, inteiros, reais ou outros. Certas equações cujas
soluções são números inteiros ou racionais são chamadas de Equações
Diofantinas.
São atribuídas outras obras a Diofanto de Alexandria, tais como:
• A “Arithmetica”, originalmente em treze livros, dos quais só os seis
primeiros foram preservados, tal como já referido.
• Tratado (de que restam apenas fragmentos) Sobre os Números
Poligonais.
• “Porismas” cuja autenticidade tem sido contestada.
• Tratado sobre cálculo fracionário uma tábua astronômica, que Hypatia
(370-415) terá comentado (desaparecido).
• Alguns autores também lhe atribuem um tratado sobre música.
Atualmente qualquer pessoa usa expressões que sem perceber, pode
traduzi-las em expressões algébricas ou numéricas.
Exemplo:
Quando na tasca do Sr. Moita pagamos uma rodada, calculando o preço
de uma bifana e duas minis, usamos a expressão 1x+2y, onde “X”
representa o preço da bifana e “Y” o preço de cada mini. Usamos a
subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total
de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão
algébrica do tipo V-(1x+2y)=T.
16

19. Face ao projeto que nos foi proposto, no sentido de apresentarmos um
trabalho consistente e merecedor de uma leitura agradável e elucidativa,
recorremos a vários métodos matemáticos para a resolução do problema
sobre as medidas da face traseira da estrutura metálica de suporte ao
sistema de painel solar térmico. Assim como realizámos todas as
pesquisas de informação sobre a vida e obra do matemático Diofanto de
Alexandria.
Resta-nos então dizer, que a elaboração deste trabalho estimulou, não só
a nossa vontade de pesquisar e ler, como também nos obrigou a
exercitar problemas matemáticos, aplicados à prática da nossa futura
atividade profissional com Técnicos Instaladores de Sistemas Solares
Térmicos.
17

20. Sites:
 www.somatematica.com.br
 http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=603
 http://ohomemhorizontal.blogspot.pt/2010/02/diofante-de-
alexandria.html
 http://www.dcc.fc.up.pt/oni/problemas/2009/final/probA.html
 http://poj.org/problem?id=2917
 ttp://pt.wikipedia.org/wiki/Diofanto_de_Alexandria
 http://www.kadu.com.br/desafios/desafio-o-enigma-de-diofanto
 http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/DiofanAl.html
 http://pt.scribd.com/doc/95338226/Diofanto-de-Alexandria-
Bibliografia
Local de Pesquisa:
 Internet.
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