Resistencia de materiales stiopin- resistencia de materiales

n. A. CT~nMH
conpOTHBnEHHE MATEPHAnOB
H8AArEnbCT80 «8blCWAR WKOnA,.
Ha UCnaNCHQM 113b1Hf'J

P. A. STIOPI N
RESISTENCIA
DE
MATERIALES
TRADUCIDO DEL RUSO POR
PEDRO GUTlERRU MORA
Cullld.U a "uta, 111 el'llel.. Ihnlc..
EDITORIAL MIR . MOSCU
1961

CDU 620.IO.GOj.21_GtI
1/II"I'I<"80,J;~ LA. unss
I')EnE(;lfOS RU~k.V""on~

PREfACID
En muchos centro.!! soviéticos de enseñao:r.a suporior, incluso en
los tecnológicos, de ingenieros y economistas, qulmlco-tecnoI6glco!,
electrot(Ícnico~ y otros, la Resistencia de Moteriale!l se estldi'"
por un progrnma reducido, calculado pnra 80-120 IIorlls e, incluso,
mellos.
En estas condicioMll resulla conveniente disponer de un texto
rtlducido, que contenga el material fundamental de 111. asignatul'R que
se estudio..
El presente texto está ellCrito de acuerdo wn el programa p.ra
las especillllidadas indicadas y tiellC el fin de proponer a los estudian-
tes nD curso abn"iado de Resistencia de Matt'riales.
LIlS cnestiones fundam(';nules del curso VIIII ilustradas con e}emplos..
que no !lOo oumeroS03 y de caráct.er complicado. Se parte de que
el estudiante, paralelamente al estudio del material teórico, asisle
a las c:lII.SeS de ejercicios, donde adquiere hábitos en la solución
de probleml.! mís complicados y realita las tareas que se le enea-
mlt'ndau para casa, sirviéndose de manuales especiales.
Tenieudo t'n cuenta que el paso al Si!tema htlernac:ional de unldil-
des (SI), por toda una serie de causas, requerirá UD tiempo prolongado,
en este texto, al rellOlver les ejemplos numéricos. se admitió
el sistemu de unidades r..IKS. Sin embargo, en el primer capítulo,
se dan las nocionel:! fundamentales sobre el Sistema InternllCional
de unidades (SI) y lu relaciones ent.ro las unidades del sistema
actual y las del SI. Al mislTlo tiempo, algunos ejemplos se r~uelven
en dos v{lrianles, empleando los dos sistemas de Imidades de medio
ciÓn.
En la lercen edici6n fueroll iutroducldt)ll en el LC.xto algunos
canlblos de redacción, ~ volvieron a resolver los ¡>jemplos de acuerdo
con !lIS nue,·as tIIb1as del surtido de perfiles tlpiros (con asterillCO,
es dec.ir, sc¡:-ún la redacción del año t963), y se oliminaron las erratas
y errores que fueron observados en la segunda edición rusa.
Al eonfcechmu el tuto se tuvieron en consideración los de!lC05
de las citedrall de HI's.i5Lenc:ia de Materiales de un", Sil'rie de centros
,

de enselianu superior. así como lo!! CUIISCjV:l' y las observaciones del
miembro numer<lriu de b. Academia de Cieneia.1 <le la URSS, pro-
fesor E. J. Grigoliuk, del ductor _en ciomeias t!koiea!!, profesor
A. P. Smi[JIov. dl!l doctor en eiellcia'l lecniCllS, pro{eMrA. S. Grigo-
río,-, del doeenLc G. ~l. rtsl.:ovíeb. El atllOr 811rov'-'C1uI esta oportu-
nidad para exprt":!arICll ~ll prohlndo agrddceimicllto.
A Io.~ estndiantes que esllldiiln simuhalleamt'nte la ResisWIlCill
de Materialr..1 y 1'1 idioma ¡IIgló!;:. rOIl,·iello reeonlljndarlcli 111. versión
ingle.sa de este le:'tto.·
• P. Stcpin. Strl'''G'th <H 1II11teria/s. I':dición ~. M., ,_lIH., HIG;j.

CAPITULO 1
CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES
§ 1. Prop6llbs del texto.
cResistencla de materlale..
Las diversas eslructuras y maquinas, de cuyo diaeiío y construo-
cion se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener,
entre otras, la propicdad de resisleneia mecánica, os docir, deben
oponerse a la rotura al SN ~omelidas a la acción do fuerzas exteriores
(cargas).
Con esto propósito, los elenlünlos (piezas) de las estrllcturllS
y lO'¡quina~ deiJer,in >!el' diseiiados del material correspondiente y
tlJJler las deiJidas dilll('n~iolles.
El primer propósito del lulo _Resistencia de Materialen cO/lsisle,
pues. en la exposici6n de los mélorlos de cálcul() de la resistencia de las
c()nslrm:ciones.
Además de e~to, en lOuchos casos, es necesario determinar las
variaciones de la formn y de [liS dimensiones (deformaciones), que
slIr¡.:ell ('n los elementos tk la~ construcciones sollletidlls a cllr-
ga.~.
Los {',IIC'!)OS ahsolnl,Llllente rígidos. inrlcformllble~, Que ,;c cslll-
rlilHI en 111 Meciinicu 'l'eóricll, eJl realidad uo exi~lell,
Cluro está, l~s deforlllllcioues deL sólido que llCOmpaiian fI Ills
cHrg>ls hllhiLuales de e;: plolllcioil son pequeñlls y pueden ser detcctlldas
solnll1enle con instrumentos eS}:lecill.los (e:.:tensómolros).
LI~ dcíormaciones pec¡u('Íias no influyen SlllLsihlemeute sobre
tns leyes de C(luilibrio y de movimiento del sólido, por lo que la
ileciollica '1'eoriCll prescinde de ellas. Sin el esludio do estlls defor-
IllnciOlleS es imllos¡lIle resolver el problema de SUnH importllll('ill
pMIl ('1 ingeniero, (lile consiste en hallar las comlicionC's el las ~,u;lle.~
puedc tenor lugar el fallo de la pieza, o aquell:ls eH lilS qnc In lliel"
pII('IIf, servir sin taL Ilcligro.
Al mismo liempo, en llIucho~ C:lSOS, rosulLa l1eces¡lrio l¡mil~r 1"
magnitud de las doformilciones, a pe~lor .11' Sf'r esLf's pequeñll.~ rll
comp¡'racion COII l,s dimellsiono.~ do la propia piela, lmusLo '1110
011 C,LSO contrllrio, el funcionamiento normlll de In construcción
lllll'dfl sor imposible. Pur ejemplo, durante In mecnni7.nciÚn de la
llirz,L pn el 10rllO, como t:UIl!'t'CllClICill de la rleforrnación de aquóll"

y de é!lte, puede ller afcet.da la precisiún de l. mecanizacioll, lo
que es inadmisible.
Ll'l propiedad del elemento de 111 conslrucción de oponer!IC a IlIs
deformaciones se denominl' rlgidu.
De 4quí tl .egundo prop6ato dt:l ta:to: la tzporil:wn de lor miltXior
tU t:6.leulo dl: 14 rigldn tU 1M tltmtntor dt lar conrtrw::cioner.
El pl"Oblema siguienle de la Resistencia de Materiales está rela-
cionado con el estudio de la estabilidad de la.s formas de equilibrio
de los cuerpos reales (derormabIC.'l).
Se entiende por elftublUd"d, lo l:apo.cidod de un t:le1n('filo d..
o1HJnerlt a grondtS ~rlurbtuioms dtl tquUtbrio ifl4lttrado, como
remltDdo de accioms de ptrtur!Jación pt>qut,ia,.
Como acción de perturbación puede ser cOIl1!iderada, claro eSl:·'.
una vnriación poqueiin de la corga extcrior. Por eso el concC'lllU
de e.'llllbilidad se define tnmbién de la manerA siguiente.
El equilibrio de un demento es cflt"lJfe, si a una variat:ión peqll;',ill
ck lo corga corresponde una variación peque,io. de los deformac/on",.
En casos pilrliculares do solicitación. como criterio de estahili-
dad, se puede considerar la capacidad de I1n elemenlo de IIHHlh'ner
una IIOla lorma de equilibrio.
Como ejemplo. vl'amos el casI.> de un elemento fino. !'Omt·tido
a la acción de ulla luerzlt de compresión que actútl a lo largo de Sil cjt'.
Este elemento mantiene su lorma rectilínea mientras la carga .lI(!a
inferior a cierto vtlJor (v.lor crílico) que depende del material.
oe la!! dimensiones y de las condiciones de apoyo del elementu.
Allllcanur la carga su valor c:.rítico. :dmultáneamente a la forrnll
rectilínea de equilibrio, resulta posible olrll, curvilínea, de ma)'nr
peligro para el elemeulo.
Ln IJérdida de estabilidad puede ocurrir partl "alores de la ('arga.
no peligrosos desde el llunlo de visla de la resistencia o rigidf'7;
del elemento.
El krctr propó~llo del kxto consiste en ezpo~r lo~ mitodas de cálculo
lW la ertabilidad de los tlement06 de las construceienes.
Al realizar los tipo.s indicados de cálculo, se debe tender a Ullll
eeonomSa máxima del material, es decir, que las dimen.siOIll,lll de las
piezas de las máquinas y de las elltructuraa no deben ser superiores
a las nece!l8rias. Claro está. para eso es indispensable un estudio
lo m" amplio y profuudo po!.ible de las propiedades de los materia·
les empleados, así como de la.s característlca.s de llLS c.srga!. que
actúan sobre la pieza que se calcula. EslO se consigue por medio
de investigaciones experimentales rletalIadas y UD estudio minucioso
de la experiencia acumulada en el di.seño y mantenimiento de las
construcciones.
Por otra parle, la Resistencia de Materiales se ve obligada, 111
deducir las fórmulas e.senciale!l para el calculo, a introducir loda
una .serie de hipótesis y supollicionu para simplificar el prohlemA.
Le valide:r. de e.stas hipótesis y .supo!1iciones. as¡ como el error II qua
8

ellas conducen en los cálculos, se comprueba, comparando los rcsul-
t_ados:del cálculo con 10."1 resultados del cxperimeo~o.
, Las construcciOllell que el ingeniero encuentra en su práctica
tienen, en la ma:roría de Jos caaos, configuraci6n bastante complej1.
Eos diversos elementos de éstas se reducen a los siguientes tipos
si¡nples:
1. Barra es UD cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en
comparaci6n ·con la tercera (Hg. 1.1, al. Como caso particular.
puedo ser dA !lección transversal constante y de eje rectilíneo.
.)
" {
Fil. 1.2
La Iílle.'l que une lol'! cehtros de gravedad de sus secciones trllllS-
vllrsalcs se denomina ejo de la barra.
2. Placa es un cuel'JlO limitado por dos planos, a distnllda
¡>equeiía en compoT:lciólI con las otras dimensiones (fig. 1.1, b).
3. Bóveda es un cuerpo limitado por dos superficies. a dislancia
pequeiía en comparación con las otras dimensionel! (rig. 1.1. el.
4. Bloque es un cuerpo cuyas lres dimenloSiones son de! mismo ordell.
En la Resistallcia de Materiales se estudinn princip¡lrnellte Jos
cu{>rpos que Henen forma de barra de sección constante y los sistenHIS
mftll simple~, constituidos par 6stns. Las bllrtllS se consideran sufi-
cientemente rigidtls, es dl<Cir, no sufren defonnllciones conl!idl<rablc~
al ser sometidlls a cargas.
En el caso de barrlL'l muy esbeltas (fig. 1.2) las dcfol"maciull<'s
son tan grandes que no se puede prescindir de cllns, incluso al
calcular las reacciones de apoyo. El cólculo de la distancitl 1" qU{'
se diferencia considerablemente de la original llo presenta ¡:raudl'S
dificultades.
Los métodos de cll!culo de barras ü!'lboltllS. plllCllS, bóvedlls
y bloques se estudian en la 'feoria de In Ellll'ticidad. ([ue está lilore
de algunas de la~ hipótesis que se introducen 1m la R<,sistenda
de Materiales para facilitar los cálculos. Los métodos tlo la 'feOl"íll
de la Elasticidad permiten obteller tanto la sollld6n rigutos¡ de
los problemas que J'IO analizan en la Resistollcia de Materi3les. conw
la de otros problemas más complejos, dondo no es posible introducir
hipótesil! simplificativas adecusdu.
El calculo de los sistemas formados por barras !re ~stlldil en
la Teoría de las Estrllr.tllrlls ( Mer.íinica de las COill'-1 rllcciolleR).
"

El de.'larrollo de la Ruislencia de Materialu y de las otras
dCII("ia.l IIfioes, esLá estrechllmente relacionado al de la técnica,
El ~u'll'imie"to do l. dende que t..t. de l. r.iate"ei. de 1... metKielN
~ emonl. e' ~illlo XVII)' Mtá tiaedo e 1... uobej... de Celfleo. EII gre" IIIl!1dide
(", tribu)"er...", ..1 dClle.,.ollo da le re<li5U'nei.. da nleterieles y de le Teorie de le
EIIt."tiddad 1'01 ,',,"le.,.,IUIl cientffiC<Jl>, n. llnoke, J. Berlloolli, Il. Salnl.Venllnt,
A. Clltlch)'. G. J.llnu' )' oIrOll. 'IUO formulllrOll lu hipólOlli" ellenciall.'ll y obtu-
viero" IIlgll"M OClleciOllO'l.
Mer"""" ''JlI'ocilll mellci6n la.. mag"ilica$ inv""tilj"aciooflll (..iglo XVIII)
,1 ..1 fllmOllo ti.,III!lico. 'lIiomb.o da la A«ldeulia de CienCl18 de San l'8terllbur¡o.
l..."nhartl .;nl.... Su trabajo aob.e el cáleul" de le ...,Iebilldad d.. b.r.es Com-
primidll$ se Clnpl... amplielllenle looevi. hoy.
Eo elll,(lo XIX ••dqnieren fl.ID. nlundiel 1... Irebe].. de 1"" denlilicOl!
.u_ D.1. Zhul'lIvski,J. S. Gafovi.. )'ulrOll. I..a.'Ileneiones h ..getlci.lell. oriri-
nedu etl le flexión. se .,.Ieuleo actu.lmente por le f6l"1II....1. de Zbu.....ki.
A fin,,", del siglo X IX. 1'. S. "ul""ki r""Jiuí imponautes e inl..rsenl....
in.·""lig.ci(1/"~, q"e .ú....o III.n .-.tido "" imporlll..cfe, ftObre el clilculo 01..
le IlII.b;lided d.. balTll!l oornl"imidall.
Delille c..rnle.u.... del ..iglo X X, el papel do 1... cie"tíficos r.....OIl e" el de...-
,rollo do l. It~~¡"t'll1cia ,le .Ial....¡.I.". cr~o .úu "'''s. "ln11te«>n las ",alluHicall
ohr•.• del {)rUr".or l. G. IlÍlbno"', Acade",ic... 1. N. Irilo... ~. olrOli. 'lue tiende"
111 ,tO«lIrro lo y "'..joumi.... to do 1"" m~tUlI'1<l do la H..,.i..loneie de MalurJalt'll.
•~l método ,Je ~nlllci6" de lolil c(>mplojO!! l'rohlolllllS do la lleooisteneill ,lo Male-
rial , prollUO"lIto por núbnov, gl)Z. d.. ame n"'lIldlar.
l IIdml.ebl... le.ttOll ¡..."m.......... treblljOll cienlíficOll .obre el Clitclllo
de l. rOl$i~",,,cie, ..."Iebilidlll )' vibracion"" .Ie les "'lnI(lur.... d .. S. 1'. Timo-
~hen.ko c"'L_lilllyen "na frII" c(l"uibuci6" el dllSllrrol!o de le ReoÍlllencie d..
Melerl.I"".
Dur.nt.. f'1 pode. 1IQ'·iikico uhi c....d•• en le UItSS, "". rl!ld d.. hu,lil"t ....
de ;"'·estil(llci6n dentifice que lr.bajen :wbre el c:iilculo di lu .lruduru.
l..... cienlificOll de MiOS Indilulal de i""flSligeci6" y de 1... NCuelu de
,'lI5fliollnu o".-;or, rt0501v¡ernn mucho:< .,..OOle",... d.. gren import."cie par.
el d""l"'oll" de le lee"i.e. c.ee'on ""ov,.. y efeclivOll m6tooOll de "'Iculo d..
pieleS de configuración comple]e lJOInetidu a la al:<:i6" d.. di...efH. ClI'll'lI.ll.
E.. Ill'Cl'1.r!O menciono. aqui llls o"ns <l,'¡ IIcedérnleo N. N. nevidónkov
llobre las hllllltOlli~ de roeillttlucio. 1M It ..1 académico S. Y. Seron!en lIobre la
'f3isloneia, o pJOJ.... so"'otl,t.. a carga" variables, 1M ,lelecadémiCoA. N. Din-
nllo; ,obro .teblllded...Ic.
Eepeelel""nle deben lI6I" eeñeledOll 1.. d....lecedoa IrebajOll del prof""or
Y. S. V'lúov. qua tienen lVan eplleeci6n en l. 16coice moderna, sobl"a al cálculo
da bur.... da pared. deliedu '1 b6vadu.
lmporlantealllvefiipclon.luKOIl ,"Uudu por A. A. lIlU!lhln. E. 1. G.ri-
,oliuk. N. l. B_újov, V. V. BoIOItill, S. n. POIIOIIllltlov, A. R. R'lbelllt"ln,
A. P. Smil'1l8Y, A. S. Grig6rlav, 1. A. Sim'fulidi, S. N. SoI<olov, V. 'l. M.tu-
.blo y CUIJe cilllllili""" eovilftieoa..
§ 2. S"(II••lclone. Introducid..
•n le n.l.t.nelt de meterlel••
En la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones
(hipótesis) respecto a las propiedades del material. a las cargas y al
carácter de su interaccion coo las pietas, para simplificar el compli-
udo problema que representa el dlculo de los elementos de las
..

<,::opstrucciones. La comprobación experimélltal de las [(¡rmlllas que
,Se,bl!san ell las hipótesis que se enunciarán más adelallltl, denluestra
que el error, a qne éstas conducen en los cálculos, es ill~ignificante
y se puede pl'tlscindir dl.' él, ctu'lndo se trntn de fines pUrllmonte
prá.cticos.
l-ra suposición. El materIal se consickra macizo (continuo). F~s
dedr, no se tiene on consideración In estruoLura IItomistica,_ .Jiscon·
tinlla de IR materia. Desde el punto de vista 'práctico, estll hipótesis
tiene plena justificación, puesto que los granos de la mayoría
dI' los mntedllles de construcción son tan peque/los, que sin error
'Ipreciable se puede/) cOllsiderar continuos, Incluso en el caso de
mlltcriaies como la madera, el hormigón y la piedra, 105 coí1culos
que se basan en la suposici61l de continllidlld del material dan
resultados prácticos satisfactorios. Esto ~ explioa por el hecho de,
que las dirnensione5 de las piezas reales son muy superiores a las
dislancias entre los átomos.
Esta suposicióll nos permitid. en ndel~le aplicar el Ui)arato
malemático Ile las funciones cotlLillnas.
2-8 suposición. El m(lt~rial dI.' /1/, pieza es homogeneo, eJ. decir,
time pr&pit:dades idéluicas "1< lodos los puMos. Los illllLl'llt's son altl-
mente homogéllNls, es dooir. sus prt)piedades son. prlÍcticamente,
iguilles en todos los punlos. ~Ienos homog6ne01s son 1<1 madera, el
hormigón, 111 piedra, los phisticos con relleno. El horrniglÍn, {lar
ejemplo, está rellenado pOI' piedras peque/las, grava, gravilhl, cuyos
propiedades son disUnlas de las del cemento. Ln lIJ~lllol'i1 tienll
lindos. de propiedadl;ls muy diferl;lntes de las del rest.o de Ilt madel'u.
En los matori>lles plásticos las propiedades de In re;¡illa SlII distintas
dc las dcl relll;lrlo,
Sin emhargo, como dCn!uesLnlll los c~perimelllus, los c;íkulos
bUl'illdos en la ,~llposición de llOrnogeneidau dellllal.efinl 110 111 piew,
dan rosllltndos satislaelorios para los maLeriales fundall1lJutall'S tlt'
COJlSI,t1,cción.
3-a suposición. El malatal dc la pteza es is6tropo, es decir, ,~llS
pr(lpiedadM en todas las direcciQ/l.es :ron igl.rtlel>.
La.'! iJlye~tigaciones dl'mncslran que lo~ cristilles que formato
mlll:hos materiales tienen propiedades muy disLintas segíln las
diferentes direccione... que se c.onsidercn. l'or ejemplo, la re.'li.'ltencia
tic los cristales de cohre en lns di.'l!inLas orielll:.cionl's se dHcroncia
en más de tres vece~,
SilJ ernhllrí{o, en el caso de materiales COlllr[e~to5 por granos
Hnos, las propiedades en las digtjntns direcciolles St' igualtlll, debido
il 111 inmemsidad de cri.'ltale.'l orielltad"g ca"ticamllnte, re.'luiLanuo
posible interpreLar, práctic.IIJl1cnle, "stos 'lIoleriales COOlO isoLropos.
En los materiales como 111 madera, el !tormig(,n )' lo~ pl(isticQS
c,~lll interprct.ll.ci6n I'!s lícita con ciel'lfl apt'oximación.
Estos motoriales (<:UYI5 p('opiedllucs en diferentos direr,cioues
son diferentl's) se denominan anisótrol)().'I.
"

Esle principIO permile en muchos casos sustituir un sislema
de fuer~as por otro. estáticamente equivalente. lo que puede condu-
cir a la simplificación del c"culo.
Por ejemplo. al calcular un carril (ng. 1.3) como una "iga de
apoyos múlliples (traviesas). la earga real que se lransmile de la
rueda y que se distribuye en el lirea de contacto según cierta ley
(dificil de obtener), 9ll puede sustiluir por una (uer~a concentrada.
Investigaciones teóricas y experimentales demuestran que, al
t;alcular las fuer~u interiores en los puntos snuados del lugar de
FIl. 1.1
IlplicAción de la carga a una dis~allcia superior en t.5 ó 2 veces a la
lIl¡t.~imll dimensión del área de conlnclo. ell posible sustituir unA
cMga por olrll estáticamente equivlllenlll. En ndolllnte, en los corr¡>8-
pontlientes lugMes dol to....lo, se lratarún olrllll supo~iciones e hipú-
l('~ill.
§ 3. Sistemas de unidades de medición
de las magnItudes mednlcas
Al estudillr la llesislencia de Materiales 1101 encontraremos con
b.~ m~'lrnitudes: fuena. masa, trabajo, potencia. etc.
L"tllS rnfl¡;"oitUlles se miden en diversos sistemas de unidades.
En in~nieria. hasta hace poco, el sistema de unidades m:i...
dihmdido era el MKS en el cual las unidades rundamentalps son:
unidad de longitud. nutro; unidad de luena, kUogrtlmo-lu~r~ (kgl):
u"idad do liempo. 8lefundo. E:ste sistema tiene ciertos incon,'enientes.
Primero, la unidad básica. el kilograllll)o.luerta. es una magnitud
wlriable que depende de la latitud del lugar. de la altura sobre el
ui'el c1el mar y varía aproximadlmenle altC!dedOT del O.2~~.
Segundo. el sistema MK5 I't'.'!ultó Jl1l':r inacoptable par:l b!! unid:ldC'!!
elé<:tricas )' mllgnéticas y, por lo lanto, no puede ser uni"er~l1.
LIl XI Conferencia General de peSO!! y medidas. que lu'o IUg3r
en oclllbre de 1960. llego al acuerdo de eslllblec:er un sislema uni'er-
AAI práClico de unidades de medición, basado en seis unidades funtla-
mentales que son: unidad de lonl(illld, melro: unidad tle masa,
kUogromo; unidad de tiempo. 8legunda; unidad de temperatura, grado
"

Kelvin·; unidad de inlcllsidad de la curtiente, am~¡o: uuido.d de
la intensidad de la luz, c"NUla. Este sistema de unidades se denomina
Silltonm intenlaciO'lol de Unidades, SI.
En lo que se refiere 8 la Resistencia de ;laletia!es. la diferencia
esencial entre el sistemll SI )' el sistema MKS consiste en que ell
el primern se considera básica !P. unilllld do masa, kg, y la unidall
de fut'ru. derivad•.
En tl 8Últma SI por unldaddi! /ucna R tDma la /lUIr;Q qu~camll"ita
IIna nttln-f1cwn dl:- t m/ttgl A una mQSll d~ I /"g. E1to UIl!dad le dello-
mina n~UJlflll y ~ drstglltl por N.
E:u I'Ilarión COII cslo, clIInhian tambien la:! uoidr,des de medi-
ciól1 de ot.ras magnitudes como d mumento, III lensi6n. la piltllueia,
Ne.
:El pliSO del ~¡stll¡nll ;IKS 01 ~istelna Si y viener& se re¡ditll
medillllle In:! relaciones siguientes:
ruer7.11,
1 kgl .. 9,80ü6;; !'í;~:dU N,
JN = U, lOi~17 l.gf ~ 0,1 kgf:
1 1'I~f.~gl/m ..~:dI,~1 '==" IOkg,
I kg::::::O,1 J¡gf'~/m:
prcsi(,n
kgff"wt~ 10 ~/eml::::: t~ N/mt.
I N/em'~O,t kgf/cmt
•
Para la medicil,n de hI prc!ióu e" muy oómOltu l'1 IJar, unidatl
no pnlvistll por el si..liUlmll de "..idades)' que es iguRI ;1 I~ N/mu .,
Empl~lIndo estll unidad JNlr& la mediciim de las lell:iliofleS, C5 1;¡'·;1
el PIS(> del sisterna MKS al sistema SI, puesto que 1 kgflcm~ ~ 1 úar:
trabaJu (energla)
1 kgf.m:::;; 10 N.m;::::; 10 J,
t N.m~1 J<':::"O,1 kgf.rn.
La unidad de trabalo en el sIstema SI es el trabajo realizado por 1
f1eWlon en 1 metro. Esta unidad lit dtnomina /flu/e y ~ denota por J;
potencia
j kgf.m/seg_IO N.m/seg~IO J/st'j_IO W,
i CV_75 k¡:f.m/seg=736 W=O,736 KW.
KW=IOOO J/sog_1000 N.m/scg-iOO kgf.míse¡.
Al cero de b. _la Keh'in eorrllllpood. _273° e (uutlmflllt<l
-:213.16·C).
•• GOST 76&$-61.
"

En el ápendice IU se dan mas detalles sobre las dimension~s
de (Itras magnitudes mecániCAs. Eo el suplemento rT están dadas
In ntItaelonlM de los valores múttipl~s y divisores de la unidad. que
se obtIenen uni~ndo a la unidad rundam~ntal los prefijos micro,
mili, hecto, m~ga. etc:.
I 4. FUerzal nhrlores (cargll)
Las <:acgn que at:uian sobre las estructures y sus elam~ntos astAn
constituidas por fuenas y pilres (momentos). Estas cargas pueden
ser concentradas o distllbuldas.
En la naturale:t8 no existen hienas concent.radll.S. lodas Ills
fuerus reales son fuerzas dis.ribuidas sobre cierta área o "olumo».
Por ejemplo. la presión ele la rueda sobre el enrril se ejcrco sobre
ID lirea muy reducida. origiull.dn por lll. deformaeión de III rlieda
y del carril (véase fi~. 1.3). Si" embargo. "1 dotcrminar lal! fllllr1.as
interiores que surgen en el carril y en In rueflll. en IngllJ"C's ~lIncil.'n.
Icmente nlejndos del árell de contnct,o, e~ posible gejt'íln el principiv
¡tu SlIinl.-Vtmanl exvuosto ant(lriormente, sus~itulr 1" cllrga distri-
buida por 9U resultante. lo qua simplifica el e'leltlo.
En los lugares pwximo.s al área de contllcto do los (Io~ cuerpo!'.
las (U('!'U5 intA!riores, que en csle caso se denoolinan fner:r;lll! dc
contacto, no pueden ser ulf.uladas por los procedimientos de In
ne.-isteneia de Mllteriale.". resultando llecl!!lJlriU rt!f.urrir ;¡ la Toorilt
lie lA Elasticjdad.
L,,~ fuerzas COIle4lntuda.s !el miden tu k.i1ogntmn~ o ton"'lltln,¡
(o eu newtone!. "€!g'Ún el,li$temll SI).
L1l5 cargas distribuidAS pueden ser de IllJMIrfirie (pM'Sión d('l
"iento o del agua sobre una pared) o de vohllnen (pe.'OQ prupio lle Un
cuerpo).
~I pesn dc una bllrrlt se interpreta, g..uerlllmentc, 110 con", UWl
fnerzll de voluDlp.n. lIino como una carga dislribuida a lo Iltr¡f" flc hl
burrA (carga lineal), ya que las dimen~iolles trnns"6rs/llf!~ SOIl Jllo'IJlll;l-
fial! en comparación con la longitud.
La9 cargas dislrihuidllll se midoll ell ullidlllo.~ de fllcna rdcrlflll!l
11 ltt unhllld de Joul{ilud, d(l área o de voLumen. '¡'nulo la.~ cllrgas
concentradas como ln.s di!!lribuidas pueden Sllr estÁtica!! o din,ímiC/ls.
Las cargas cuya magntlud o punlo dt aplicación (o dir«ei6n)
varia muy Imla1nCn/.(:. dI! tal manera '1Ut $It puede prncirniir de la~
actluacir)/lt$ qUt surftA, R' llaman. cargas estática•.
Cua'ldo actúilIl cargas de ..me tipo, las vibracul('!1 dll las e,¡lrw:..
tUlas y SWl elementos 8011 r1!'¡gnificanlcs.
lAu (tJrgtJll que ~'(Irian. con el ttempa con unll ),.~lucidad C01Illidt'ra1Jft'
(ttJl'gas de pocwi.6n, por t/tmplll) ~ IltJman cargas dinumictU. 1,,,
acción de este tipo de fuenas ,'a a.compañada de vibracionC!l de !lI¡o.
estructuras, durante IlIs (11;l.les. /11 varillr ht '..loeidlul de Ilts masas

que vibraD, aparecen fue",as de inercia proporcionales (!lE'gún la
.segund. ley de Newton) a las m'sas que o!leilan ya las aceleracione.,.
La magnitud de estas fuertA!! de inereia puede superar en muchaa
,'C('C5 ti la de las cargllS estélleas.
Lu le)"eS de variación de In cargas en Cunclón del tiempo pueden
ser muy complejas.
En ciertos caso:!.. la vuiación de la carga puode ser de caricUr
periódico, es decir, qu.e los valores maJCimos de la carga se repiton
cada determinado intervalo de tiempo.
Estas cargas .5lI deDOlnin:tD cargas de r';gimen estable o cargos
de repetición periódica (lig. 1.4). El calelllo de la resistencia en el
cllSO de este tipo de cargas se nnaliza en el capitulo XII.
En mudlOs otros casos la vlIriación do la carga en función del
tiempo no tiene cllráctcf estable (rig. 1.5). Estas son, por ejemplo.
la! que actúan sobre lu pieus de los automóviles, tractores, torno!!.
así como lns que actúan sobre las estructurns (edificios, mástiles.
ole) por elocto del viento, la nieve. ele. Estas son cargAS repetldM
corrf!spondientes a reghnenes no e!!table.¡.
Un e~tudio más profundo do estas clUll'aS se hace posible SOlarnllll-
te recurriendo ti los melodos esladisticos y 11 métodos de la Teoría de
Probllbilidades. qUIl se emplean para el Ilstudio de magnitudes
ocau!ionales.
Como ejemplo. veamos la earga d~1 viento. que se considera
('n el c.álculo de las grúas ele torre, puenles. t'dificios y otras f1.1true-
tllras.
La velocidad del ,,¡enlo, de la qUIl depende la presi6n de éste.
"aria continuamente en un mismo Jugar geográfico.
Por ejemplo, t'1I la región de Moscu, seg6n las observaciones
llevadas a cabo duranle un prolongado periodo de tiempo, la ,·elocl·
did del viento varfa en un mar¡en muy amplio (lig. 1.6)
Lll velocidad más frecuenle (33% de lodos los CMO"l) es de
3.... rolseg. Pero se observaron veloeidades de 12 m/seg (2% de todos
los cnsos) y mayores aun. Por otro parle. hubo CIl.lOS de velocidades
m,uy inferiores, incluso nll81 (poco frecuentes).
Las curvas. como la analizada, se denominan curvas de dislrlblJ-
cl611, Ellas nos dan una Idea clara de la dispersi6n (variabilidad)
de esta magnitud,
l Qué velucidade! del "jento se deben de considerar para el
cálculo?
PIlC('.cria lógico considerar en el cálculo la veloeidnd máx,illlll
registTada. Pero, primero, no existe ninguna garanda de que. durnnle
el periodo de .serviClio de la estructura. ésta nO!lerÁ sometida a viento~
más fuertes que los registrados anteriormente y segundo, no es
económico calcular una estructura de corlo período de duración
(por ejemplo, una estruclura de m/ldera) parll velocidades del viento
que.se repiten UDa vez cad. 100 6 200 ailo5. Por le tanto, la magnitud
de la carga que se cOMiderll en el cálculo, está estrecha.mente rela-
"

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V~Jocidad d(f/ vie-nro, ~n m/$

cionada 111 período de servicio de la t'strnctora y a Sil ,.'rafio
de importancia.
Todo lo UpuOSlO l'ellpecto a la eat¡a del viento, so refiero igllal~
".ente n la mayoría de otros tipos de cargn.
Al Cillcubr los estructuras, las magnitudell de lu cnrgas pilrli. el
cíikulo se reglamentan por las condiciones técnicas }' las lt)rmMI
de di:sciio.
En la cunstl"Ucelón de lnlir¡uiuas, ('~tas Cargll!' so del~rlllinlln
ell función de la! colldieionl'S eoncreta!! de trabajo do la m:ír¡lI¡ntl;
...alor nominal de la polencia. ilúmero de revohu;iones de sus piezas.
p~ propio. {'lerUS de inercia, etc. Por ejemplo, pnro. calcn1:lr
In pie:r..as de un automóvil de 3 toneladlU de capacidad, se considE'ra
el peso útil nominal, tres tonel,das. La posibilidad de una sobrerlltga
del ll.uoltu'lvif se tiene en cuenta fijando las dimensiones d~' 10;0
piC13s COIl cierta reserva en su resistencia.
Sobre In lUagnitll,¡ de esta reserva tll' seguridad !SC hnblnl'¡' con
1ll6s detnlle en el § 12.
§ 5. Deformaoiones y dupla.umlantos
Como se illllicó anleriormente, todo~ los sólidos, bajo la >I.·civIl
<lo las fI.erlaS exleriOrel:l, !le deforman en tula u otra mcd¡,tl. ('s
dl:lCir, modifictln 5'15 dimensiones, su form" o ambns co~ail sim"lt.í-
110:]I.enle.
I.,a lJarlaclón de [as dimellsiones lln~lll~s del s6Udo se '/1'11011"1111
delormadiíll Une(tl, la variación de los ángulos, IltjfO"l/Iur}{1II
iJlI.yulr,.I·.
Cuando bs dilncnl!ioDcs aumentan se dic! alargamienlol. (muLllo
disminuyen, l'lCCH'tamlellto.
Si 11111 r1cformacionés son distintas l'n los divcrsos lu,,¡llt.~ .Id
llÓlldo. enlonces ~ iotroduce el concepLo de deformación en un
punto y direeei~n dados.
Si en la superficie del s6lido, alredl'dor del punto que SoIl cOllsid...ra.
tratamos un p..queño recttinguJol, 2,3,4 (fig. 1.7, a), al defol'mflr~
se el sólido, este rectángulo !lO tran!!.fornll en el caso ¡-eni!rnl CIl
pllralo1óJ;l'IlIllO 1 , 2 • :1 , 4 (Hg. 1. 7, b).
Las longitudes de los lados del reel/illgulo vilríllll (auult'lIl.an
o (IlsmillU)·en), y los propios tallo:! giran respecto a su posici<in
origílla!.
La l'ariación de 1115 longitudes de los lados 1,2 Ó 3, 4 cafl~ct('ri
uní la deformación lineal-completa en el punto dl/.do en dirección
vertical. La variación do los lados 2, 3 ó 1, 4 caracteriurli la df'ror~
ruación lineal completa en dirección horizontal.
La variación del 'ngulo inicial recto, farmado pOI' los lados dl.'l
rectlingulo examinado, l' - a + ~ caraclf'l'ila la deformoci¡,n
angular (ángulo de distorsión) en el punto dado.
"

La deformación lineal completa se"designa por t:. (dz), I:J. (dy), lil,
etc, según 56 designe la longitud del segmento que se analiza.
Para. liber¡¡rse de la influencia de las dimensiones de 108 lados
del rectangulo se introdUl:e el concepto do deformación unitaria
Bneal;
.,8=l
L¡¡ deformación lille~1 f; es Ulla m:lgnitud adimensional. Se congi·
del'/>. positiva cuando se N'fiere a un aumento de la IOllgitud' del
~gml'nto.
b)
fil. 1.1
Lu~ ensayos demuestrutI que las deformlcioll(!s tllllto lineales,
(O(>nlO fllgulares, UllO vez retirada 18 carga, pueden desapllr6cer
completa o pllrci:lllllPnte (segun sea el mMMial y 111. magnitud de 11'1
("lOrga).
Lu.~ dejorm<lciones que se an.ulan dtspll~s de retirar la ('argo, se
deno""i/tlln dejormaclones elástica~. La propiedad del s'¡lido de recupe-
rar .tu forma inicial al retirar la carga se denllmina el(lxf·if:itlud.
La>! deformactllnes Que qr.edan después de relirar la r,nrpo. S't! denomI-
nan "'CtJ'hluule1'l o pU~,,¡ticafl. La propiedad del material de admitir
dt/ormac/otU!$ utidualcs se denomina plasUci<7u.tl.
ConOCiendo las deformadone5 del cuerpo en todo! ~.1Il; Ifuntús y las
eúndiciones dI! apoyo. se pueden calcular los desplazamielltrnl de
tonos los plintos del wJidú, es decir, re pued('ll indicnr lu pOljidón
qUI::l ellos ocupan (sus nneya'! coúrden~dIM) de~plles de ser deformado
el c,'erpo.
Para la explotación normal de una estrucl.llra, las deformaciones
de SIlS elementos deber,n ser, como regla gellCral, OUSliC8S e infe-
riores 11 ciertos VAlores admisibles. Estas condiciones que se expresan
mediante ciertas ecuaciones, w denominan cOllrllclolles de rigidez.
En algunos cnsos se PIJc,]pu loJerar P<!'llleiías deformaciones plás-
ticas.
~ .. 19

i 6. MUodo d. las sllcciona,
Consid"'rll~mos que las fuen.as j¡lteriores (fuer~as de elasticidad),
que se eug"!IIdran en el sólido 111 Aplicar la carga, se distribuyen
de una manerll cOlllillUll., según III suposiciún de continuidad del
material Ilel i"ólido.
Más adclnnlc l!CJíal~rL!mOll cómo.re obilllll~n estall fUerl,8S en cllfin
punto dd sólido.
HBllemo~ tlbora las resultantes de los e:s[uerl,Qs (incluyendo
tllmbién Jos momenl(lS) Il las ql1e se reduce... Ills fnenas elA3tiCis
que lIporc<'en 1'11 una sen:iÓIl dodll.
'" :1 1
;Y 'S.
~~f l[~ Ljf
P,
fll. 1.1
Pnm ello ~ ('mple8 el método de las llCCCiones que rOI1::tiillU: ell
lo siguiellle.
En el sólido. que ~ cllcueMra en llquilibrio (lig. 1.8), en el 'ligar
que intllrel!n, Sí' trw~H mí'llllllmenle un8 Sl:lC<lión, por ejemplo, por
a-a. Se retirll ulIa de iIlUS partes (l!'enerHlmentc aquella, sobre In que
actúa" un número mayor de fuerzas): La illtenu~iún de ambag pll.rlcil
se slIstiluyc por los o>lfueuos interiore~ que equilibr9n llls [u6nn~
exteriores, que actúan sobre la parte séparada. Si las fuerzas e"terio~
se encuentran en un mismo plano, parA equilibra.r1as es ncee5l'rin,
eo el ca:lO ¡relteral, aplicar 11. 1" sec:c:iún tre!! fuenas interiores: [uenll
uial N, dirigida según el eje de 111 barra drnominalb fuerza axial.
otra fuerza transverS81 o cortaote Q que IIclúa en el fllano ue la
lllK:Clón trensvetsal, Y- UI1 momento ,f,l«., uhica.do en el plano ¡ter-
,plindicula.r al de ,ill.,/lE!cción,. ESle momento surge como conseCllt'nciu
de la ilexi(¡n de l'n bar.ral'-Y.lle~denol1linll momento f1ector.
", Después, se plint.enn las eeultcioncs de equilibrio de la. parle
separad. del sólido, de las cu.le.s se obtienen N. Q y ;tfJI~e" EIl
efeeto,~pro)'ec:tlllldolas [uenas que actúllll sobre la liarte lICparadll.
sobreoel eje de la barra, o igualando II cero la suma de )a~proyeceiones,
obtendremos N: proyectando las fucn:u !Obro 01 eje perpendicular
al· de la barra, obtendremosQ e iguolanuo II cero la suma de los mo-
mentOl! respecto a un punto a.rbitrario, encontraremo.!l ¡lIflec .
Si las fuerzas e.üeriores, Incluyendo las reacciones de npoyos,
no se ellcuontran en un mismo planu (prohlema tridimensional).
entonces, on la sección trllnll·orsal. en el i:1I90 IlOllernl, pueden
aparecer G rllerz8s interiores, que son las c01l1pnnollles del vector

y momonto principales de lll!> fuern.s illteriores (fig. 1.9). ESlllS
tuertas interiores !<ID; la fuer7:ll. Ixinl N, l(lscortlnlesQ~y Q", y lees
1I,omentos; Afv• Al",••'V," Los dos primeros SOI momentos neclores
y el último lIf.. que actúa en el plano de la sección tf&nJlveMlal,
85 un momenlo torsor que tiende a retorcer 11. barra. Pa"" calcular
est.a! seis fuenas serin necesal'lll5 6 ecuacianell de equilibrio, es
decir, seni preciso; igualar a uro la! .!IllmU de lal! proyecciones de
las fUerzas (.plicad~ 11 la parle separada) sobro los tres ejes de eoor-
denadu o ¡gu.t.r a C@fO las lumAS de los moml!.rllos de las fuel'U1S
respec.to a lre5 ejes de origen en el centro de gl'llVedllll de la J!eCCión.
• P,
'.
En la figurO 1.9 y en adelante se cOllside"nr6 el silU:mn dextró-
glru de eoordenadas. El eje z, generAlmente. lo hiwcmos coinci,lir
COl) el de la bArrll.
Así, pues, pnra el cálculo Ile les flon;'lI ¡"lerion's es "('cesario:
1) lIuccion¡¡r la burta o el sistoma oe hlrrll.~;
2) relirnr uno lle lag flarleg;
3) nplicMr en In seooión Ial! rueuillI qlle equililll'en las cllrgulI
exteriores que actúan sobre 111 parte sepllnlda;
4) calcular los vlllores de las fuenas iu.<'riorl.'lI por lls (l(:uaCiOlOell
de oquilibrio que !le plantean paro la pllrle ~pllra,llI.
En casos particlLlllrell pueuc ocurrir que en 1115 1lE:(:dolles lr.,ns-
versales lurjll:
t) Sólo UDa fUl'rza axid N. Este clSO dI' :IOlieiu.ción se denominll
lncel6n, si la fuerza N actúa hacia aFuC!rll. }' compre!li6n. si 111
fllena estd lIiri¡¡:ida hacia la secciono
2) Sólo una fuena corlnnte O" 6 Q,. l~lItc 1'1I el caso de lIt'S1i.",,·
miento puro,
3) Sólo 1m momE'nlo lorllOr M,..~. Aqui lenem0:5 tOrsiÓ'l.
4) Sólo un momento fleclor 11/" ú M,. ElIw t'S el caso de nes:iÓQ.
5. V..rias fucl"lu interiores que Il.tlúun llimu1liHleomenw, por
ejemplo, tllI momellto Hector y otTO torsar. Telldremos aquí una
delorUlacl6n cOlUpuesta (o rtl!lilllencill eOllllluesta) tille nnalilllremos
al fjullt del te"t".
~l

(t.2)
§ 7. Tlnaionu
Anteriormente indic'bamos, y convicllt! N!peliflo. que tn ItI
seccIón trans'ersaJ de la barra actúan fUl.'n.lllJ dislribuidal!l y no lb
concentradas N. Q. AII •• _ ete. La intensidad de aqut!lIu puede vari.r
de puolo .. punto de la 8eeCióa y tener diferente direcci6....
¿ Cómo 8e mida l. inlenllidlld de Ills fuen.es interiores on un
punto dado de ulla secei6n d.da. por ejemplo. en el punlo A (fil:. 1.10)1
Elij.mo.s un áre.a pequeña I1F alrededor dal punto A. Sea I1R
1 resultante de las fuen.a! interiores que actúan sobf(' este área
Entof'Ct'S.1II. magnilud ml!dia dc In fuerus i"leriorcll. correllpon·
diente 11 la ullidad di! auperficic del área 61' eu cuestiono es
.np,. ""'V , (1.1)
L. magnitud P.. se denomina tensión medl. y earacteriu 1.
intensidad medie de lu fuerzu interiores. Disminuyendo las dimen·
siona del lÍrea y pasando .1 límite obtenemos:
ti AH
p- ~,.~~ TF'
!Al Ilwgnitud p se denomina tenlliou real u, slmplemenl.e, tensión
en el punto dado de la sección. Simplificando la cuestión se puede
~It(¡mlllar tnuiólI <l In. IlUr:ul interior corre.pondiente <1, la unidad
de mperjlc/tt en dkho punto.
00 la" fórmulas (1.1) y (t.2) se deduce que la tensión se mide
fi'~1I1
en r fuI'
En al sistema flKS la tensión se mide en k1Jf/m' , En la prlicUcll
!Ml emplean generalmente lu unidades kgj/cm
'
ó kgt/mm' que
no en'n previ!Ul.s en el COfTC!lpondiente siSlem"
En el sistema SI la tensi6n se mide en N/m' "'" "'.k~f'-' _
= m-'kg.g-' .
Puesto que en este sistem. las tenSionell reales se represent.n
VOl' números muy grandes se deben emplear múltiplO!! de estas
unidades, por ejemplo. mq::~. o abreviadamente ~:.=o lD- N/m'.

Fuesl.o que la modición del área en metros cuadrados no está de
acuerdo con la esencia de la tensión, mnchos autores proponen emplear
para medir las tensiones la unidad Nlmm que no está provista por
los sistemas de unidades.
La tensión completa p se puede sustituir por dos componentes
(fig. 1.11, a).
1. LII normal al plano de la sección. Esta componente se anota
por a y se denomina lenst6n normal.
2. La situada en· el plano de la sMci6n. Eala componente se denota
por t y se denomIna tel~(ón tengenclal.
,
fil. 1.11
La orientación de la tCll~ióo tangencio.l en e plUll0 di.' 111 !lección
uelleude de h. cllrga 9"I:lorior y puede ser arbitraria. Parn mayor
comollidad, 't' se sustituye n. su vez por sus cOmponenLes dirigidns
según los ejes de coordenadas (rig. 1.0. b).
L¡}~ notaciones comunes de las tonsiones están indielldas en la
lig. 1.11. b. La tensión normal va provista de un suMndice que
señala el eje de coordenadas paralelo a ellll. La tensión normal de
trar,ción se considera positiva y la da compresión, negativa.
L¡¡ notación de las tensionell tangenciales tiene dos subíndices.
El primero !lCJ'iala el eje paralelo a la normal al plano en que actúa
la tensión dada y el segundo. el eje paralelo 11 la propia tensión.
La descomposición de la tensión completa en normal y tangen-
cial til'ile UD sentido físico bien definido. La tensión normal surge
cuanrlo las pnrwcullls del material, que ~stán en contacto en el
plano dado. tienden a separarse o, al rev¡!s, a acercarse. Las tcnsione="
tangenciales están ligadas al deslhamienlo de las partícul;]s del
material, en el plllno de la sección en cueslj{)n.
Si alrededor de un pUnto se escoge un elornlloto oc formil cúbica
infinitamente pequeño. entonces en sus CRras actuarán tlo el cuo
general las tensiones indicadas en la fig. 1.12.
El conjunto de renslones que actlÚln en totks los planos elementales.
que se PUelhl1 trazar a través de un punto tkl sólido, forman el esta(lo
te"liionul d~ estro pun{¡j. Si en las cara.~ del cubo ae/úan solamenü

II'IIÚ"",·., /wrl/UI/(',>', esl(/~ IOl/la/l e/llom"re di' f"II";OIl cll JI ";u,,¡1"11,.",
!I los '''''11M sol,,,, los 'file ellas netlir/ll, Illfll/f1K 111'11/1"1/1"1,,..,.
El, fa 1}ri; dI' 1: l':l;lticid~,l ~, dl'llll'':;fa, que en C;l<lH ¡HllIlo
del sMi.lo solicitado, e.xisteu In'" fll[lllo.~ prillcijl<11cs, or(ognnllh',~
entre sí,
1.;1':; l'II,:;i"nl',~ prillcipall'!' sc ,csigHan g"lIer,lh",mhl por n" 0,
y cr,. 1.; ,wíxillla ue ellas (considernllllo el signo) se dtlsi¡':ll<l rUlr
(J" r 1" ",i"ilm, (tellielltlo. l<lll,bicn, en ""'0"[<1 pi signo), por fJ,
Lo:; oli'(~r!sos esludos tensionales SI' Clll"iiirall ell fIllH:i;,n ,,,1
1111111'1'0 ¡jlJ lensiones prillcillillcs, d¡(prenl/,s de cero.
Si las lros tcnsiones principn!es son r1if('rpnle.' ,le cero, 1,1 c,,(ndo
(('lIsi"nal se denominan;l trin.";ill o de 'ululIU'n (fil{. l. L'l).
,
Fi~, 1.12
y
~-
/'
Ó,
Fi~, 1.13
Si ulla de l;,:; tellsiolles ¡¡ri"cip"I,'.' l'':; igllal ;' r"r" y la" ",.,,., n".
..1 ""1;1<10 (e""iollal SI' fI"llIa l.tillxi~t1 o plall",
Si SOl) nulas ,lu" len~i[)lles IU'incipnlt>s, 01 estado ten"iuunl SI}
<1enomillll lIlonuuxial o Iinoo!.
CU¡)lIdo se conoco el estaúo Lensiollal du to.los los pUlIlo.' ,le t.l
pieza. so pueúe apreciar su reSfslellda.
En muchos CllSOS, la I'Csistencia do los elcmento.'> de las consttllC'
dones, IjUO tienen forma do barra. se aprocia ¡lor el valor m¡,ximo
de las tensiones que surgen en su.s secciones transversales. E.n el c,"so
ro';s simple, cuando el eslado tllnsioua] Ilel ]JlInto peligroso del
sólido es Iinoal, la condición de resistencin se escribe asi:
cr< [01. (1.3)
donde (1 os la teusiún rual que surge ell el punto en cuestión r 1(1],
la I,en~i¿'n admisible, cuya magnitud dtll)Pllde de llls propiedadc",
del ml1terial. que se determinan experinwlILalrntllllo, )' do las {'olldi-
ciones de Ir¡¡bajo del elemento de la COJlslrtH;ción que se <::lIl'lIla,
Algun(~~ dntos sohre cómo se establecen lus l,ollsiones admi~ibles
serán e.xjllleslos en el § 12.
2·

Se, dan Cll50S, cuando ge jutga sobre la resi,;tenó<J por III yalor-
de las tensiones tanglluciales. En este caso, In condición de resisten·
cia·se escribe de una manera amíloga a (-1.13),
Eu adelalJte se seiialará que, en alguno.!! casu.!!, es mAs correcto
plalltenr la condición de rcsis~ellcia de la pieza mediante las c;lrglls
y no las leosione~, puesto que cuando las tllnSione.'! slMuzan Sil valor
limite en el punto más peligroso, no siempre significa esto el fallo.
de la pie:¡:il.
Ejemplo 1.1. Calcular los esfuerzos en las barras AH y Be del
.'listemll representado en la l'i¡¡o. 1.14.
-c
a p
~
<t
n"$()luciúll. CllculuftlOS lo~ esruerlO.~ en las !.tarras AH y Be IlOr
el móLodo dll las secciolle~. Para ello, trazamos la sección a-a ¡mr
las barras, ignoramos In pllrle i1.:quierJa del sistema y anll1i1.amos
el cquilibrio de la parte dCrllcha,
Primeramente, sllponomo~ qlle los eSrUerl,O~ Oll ambas hflrraS
son de ~n'ccióJl (los eSrn'-lr20S ,lo trUc.¡;ióll esl;Íll dirigi<los hacia afl1H"
del Iludo) y Jos designllmus por N, y Nt . Plallt('amo~ llls ecuaciones
de equilihriu de 1" parte ><cpnraun:
~Y=O; -P-N~se!la=O. De aquí o!.tteuernos 11'2-- !su1~(:t .
El signo ncgll~jvo indica que 01 esfuerzo ,t1"2 I'S lie comprl'SiÓ'h
y nu lie tracción, como se supusu.
I,a sp.gundo ecullción do ('(jui1ibriu es;
!:X=O; -N,-/I'2C08"''''0.
p
lntroouciendo aquí /1'2= -~, ol>tcndremos NI=Pctga.
Ejemplo 1.2. Determinor los estllcnos en las barras AB y el)
del sistema reprl'sentado en la ligo 1.1::;.

Rutllutl6n. Veamos el equilibrio de la parte de la estructura
situada debajo de la sección. Igualando a CIlro lasuml de las proyeo-
eiones sohre el eje horizontal. Sé demuestra que el esfuet'1.o en h
ligadura horilontnl que sirve de apoyo (en el punto Al, es igual
" (l('fO.
-, ,
"
,
8
N~
" N,.
• ,- N_
" ,~ ,~
'-
Iguala.ndo a cero la suma de los momentos de todas las luenu
que actúan sobre la pacte sepaUlla, respecto al punto A. bailamos
!MA_O: -j.2+NcD ·3+6""O. De IIquí resulta NCD=-O.
Puesto que la suma de las proy~¡ones de ¡IlS mismas ruenas
-sobre el eje verticul es nula, obtenemO!l:
!Y_O; N,w-3=O; de donde N...»_3 t.
El si¡:no positivo del csfuer"w N ... [1 illdien que su dirección coin-
-dde eon ht que está representada en la figuTa, es decir, el esfueno
es de tracción.
St se emplease el Sistema Internacional de Medidas (SI) tendría-
moslaa variaciones siguientes. Lo carga de 3t, en newtones(N) seria
ignala 3·tO' N Y el momento seria M -= 6·tOl N·m, en lugar de
jlf ... Otm. El eaiueno N A B result8ría (de lu mismas ecuaciones de
equilibl'il'l) Igual a N A B =o 3 ·tO' N.

CAPITUlll JI
TRACCION y COMPRESION
§ 8. Cálculc de lIS fuerrllt Interlcrea
Veamos el caso de tracción o compresión axial (central), en el
que las fuerzas exteriores actúan 11 lo largo del eje de la barra
(fig. 2.1). Para obtener I~s fuerzllS interloreS (fuerzas axiales), recu-
rrimos III mt;todo de las s~ciones.
N'*Qgri7mrJ
_I"a I a
el 1~
¡,
I ,
I I~ -t--k
"
" "Fil. 2.1
Tracemos tlnll sección, In s6GCión a-a por ejemplo, y analicemos
el equilibrio de Id parte separ(lda inrerior. Sustituyamos la Ilcción
de la parte superior sobre la inferior por una fuerza axial que ini-
cialmente dirigimos hacia afuera de la sección; es decir, suponemos
que esta fuerza es do tracción. Plallteemos ahora la ecuación de
equilibrio. Para eHo, proyectamos las fuerzas que actúan sobre la
parte inferior. sobre el eje paralelo al de la barra, e igllalamos a cero
la SUJnIl de las proyecciones. Así, obtenemos: N,""¡'" 8 - 5 = ll,
es dedr, N, = -3t.

"~I sigl'lO menus indica que la direeeiuu qoe originalmente!C dio
lO la fuerta inltrior /VI debe u.mlliar!Ml POr "-u OpUMlll.. lo que tll!lDUe5-
lra que en este ~.so la fueaa al:ial N, es de eompre~iól y no de Irll(,}<
ció" como hll.biD.mos supuesto. De manera .'jll(llejllute, se calcula
la fuena luinl e" 1(1 sección ~b: N~ = St (tracción). Eo lIdclallte.
wl1llidt!n1rt'mos tille la fuer"a axial correspOlllthmte II la trllCl"iím
es positi"".
La ley 00 ~'aritlción de las fuer1.lI~ axial"s a lo largo dll la barra
~ Ilu8lru. de una manera muy clara, medi&ute ~u grlÍfico. El cjt!
d", la~ ahci~llS do ¡.~lo se orienla pnr(llelnmente al de In barra ~. el
de las ordenlldns. Illl direcd6n per¡xmdicular. Lo~ ~'nlorcs do 11'"
fuorzits Il.'c:iale;¡ un ltls seecionc~ transversaLes rle la barra se lUtl1/l
(tcniendo en euenla el signo) a Ina e8Cala determinada, sobre el tit'
de las ordcnadu. El diagrama de N, eOrre5p(Jndientl;l al enso IInali-
:rado lInteriurmnnte. est.3 represclllado en la figura 2.1.
f 9. C6h:ula de la. tenian..
Si trnumos sollre la ~lIperlitle de una harra. pri!mátictl Ulla re,1
ole lílletl~ recias,. 1lOas paulelu y otras petpP.ndiculares ni ejll
(fig. 2.2, 11) Y si sometemos 1ft ba.rra a una rUl!rza de tracción, ol•.'lt.'r-
, "''' ,
"
, d , d
"
,
"
p p
fll' 2.2
varemos que, después deJa deformación, las rectas permanecen Orlo-
gonale3 entre ~i en toda la superlicie, eJ:eepto Ima pequeñll, 10m,
pro.r.ima al punto de aplicación de la fuet%ft. y de la que por ahora
prescindiremos·. mientras que laa diatllJtcias enlre las rectas ~·.,íall
(Hg. 2,2. b). Todas las rectas horhontales, la recta r:d, por einmplo•
• En la flftU'i 2.2 esl. 1000a no .ti reprM<'Dtatla.
"

S{: rlespbum hada abajo. permaneciendo, ~in cmLargo, rectas
r horizontales Es de suponer que en el InLerior de lB barril tiene
Jugar el mismo fenómeno. es ue¡:;ir, que las seccllmes Iramwerso.le$ de la
barra, que eran planas y perpendiculan:s a su eje antes de la dejorrruu:lón,
permanece,. planas y normales a ésle desp/l~s de ocurrir la dejorrruu:i.én.
Esta ,hipótesis, que tiene gran imponancia, llC conoce como hipó·
lesl!! de las secciones planas o hipótesis do Bernoulli.
Los en~ayn~ confirman ll:s fórmulas que se haSlll en esta hipó-
tesis,
Lo e:<puesto sobre llls deformaciones, nos pcrmite sllponer que
en las secciones transverlSa.les de la barr(l actúau solamente tensiones
normales, distribuidas IUliformemllllte,
Do la ecwl,cióll de equilibrio de la parte de la barra representada
en Il,l fig. 2,2, e obten!'effios: ZZ = O; -oF + P = O, es decir,
p
a-y (2.1)
En 1'1 caso general, cuando sobre la parte separailo. actíum varias
flil'I·Z"." en .,[ numerador de la {"rroula (2.1) figur¡,ra la ~lma 1l1ge-
braicil de 11ls proyecciones de e~tils fuerzas, sobre el ~je de la barra.
_Esl.il suma ('5 igual ti la fuena IIxia! N, es decir,
N
a=-,-. (2.2)
E.~lIl5 fórmulas son tambilÍu válidas en el ca:í'v do comprc~iÓ'"
:~wlyo, que las tensiones de co,"prlJ~¡ón o;e consideran negat.ivas.
Eu esle C.IISO !ie calcula no solamente la resistencia nc la barra
{'Ulllprimidu, sino tamhién, Sil !'estabilidad (vli"se Nlp. X).
§ 10. Cálnulo de 18S deformaciones
y de loa desplazamientos
Lo." OOllll}'OS demuestran que al trllcc;onar lila ¡'¡¡HU. Sil IOLJgitnr:l
_11,11mcnta, misntl'llS que IlIs dimensinucs transvcrsales disminuyen
(fi¡.:. ~.2, b). Cuando se trata tle compresilio, el fcnómclltl se in'itll'll;'.
Para muchos materiales .'Se cstablece experiml!lla[mcnte q"l',
ClJllIllJU las cargas se Cllcllüutran entre ciertos límites, entro la defor~
mnci,íll unltnón ¡¡noal R y la tensión (J existe 11I corr",l,1riún siguicnl,e:
•t=y'
(lUto .~I! tlenomiIlil ley tic U...oke. Su t!nutll;i,1do o,~: lM def(lrmaciQr¡e~'
II.nilarias /tll('oles .wn pr(lp'wclrmules (l la'l It'nsiant's riVrmu{tt.,.
J..:n la fórmuJ~ (2.3) E ('s un CO.,fic(Cllt;l cuyo vnlor depcnd., d"
las pl'opiedades del mal,erial y $e oenominll módulu de elasth:ldad
lollgiludinal o m..oul0 d(' e[;lslicidad de primer f,iénero, [;:sl., ('ol)i;-
2ij

ueuu
Mlidulo de elutlcldod IDngltudlul
l,,"~rUI.l
ACllrQ
CoLr"
M...Ocru
Alunl;ni'!
Hierro 11lnJido
l'l;i~t;r.o de fibra ,1.., vi,lrl"
E, 1<J¡!/cm~
2,10"..,. 2.2 10"
1·10°
1·1~
O,li7:¡, 1O~
u, 7:,. 10'l -7- 1,6. 10"
u.JI!. 10' -:- 0,40·10'
cient" n',.,'cl.....i"'a 1" rigidel. del mllterial, es decir. ~I.l cil¡JuddlUI
do 01'(,OerllC n lns dl,formaciones.
Pl.lesLo '1ue & es Uf'" magnitud adi,nCllsiOlllll, VC la fórlllula (2.3)
~e deduce qlln E ,01) mide en las mismas unida.des que (J, !) 5ea, (,,,
kgffcm·.
En lit tnbla 2.1 Ile dlln los velores medio! de E pnra alp;UIlO>l
maLeriales. 8n viversos 11l8nueles ge puede encoutrar el módu10 de
tllnsticitlud JOllgiLudiJlo1 de otros mnLerialos que puedan interl.'S'I,l·.
'fenicndo en cuenta que 1: = ~ y 0= ~ , dE' (2.3) se obticn.'
la fórmula que determina el alargami(lnto (acortamiento) absoluto,
~l = ;~ , (2.1.)
E;¡pe!'imentDlmente ~e establece qoe
unitarias longitudinal e y Ir~llSVerSJlI
siguiente:
&'=-11&
tllltr6 bs
e' c:'(i~lc
dolorlIlaclQnt's
la correl:lcUm
(2.5)
En esta fórmula 11 es el coeficientc de deformación trans'crsal
(coeficiente de Polssoo), que CllrActeriza la cApacid-ad dol material
oe admitir delornlacjones transversales. En la fórmula (2.5) el
a1argamiento se considera positivo y el acort~miento. negativo.
El valor do 11 para todos los material!:':::; oscila entre O"" IJ."" 0,5.
El coeficiente p. de deformnción trlHlS'ersal para l;l mnyoría de lo~
materiales varia entre 0,25 y 0,35 (tabla 2.2).
En el caso de deformaciones elhLic!!", se pucdll considerar que
01 coeficiente de Poi!J,~on del acero es I-l. Z 0.3. Glnociendo el valOT
de e', per la fórmula
&' = a; . (2.6)-
se calcula la deformación transversal absoluta 66. En esta fórmula
6 es 1/1 dimensión trllnsverso,l original.
30

TlILI U
"
AOO10
Cobr&
Br:once
HIerro fundido
VidriQ
Hormigón
COl..h"
Celul"i<ie
0,25-0,33
O.3t-O,3~
0,32-0,:15
0,23-0.21
0,2;,
O,tl!l_O,l8
0,00
0,39
PI(>mo
LIlt6n
Aluminio
Zinc
l'¡edrll
Cau&bQ
M..deru co"lr8chap~(la
O.~5
0,32.0,42
0,32·0,36
0.21
0,16-0,31,
liAr
0,07
Cuando las barras son de Sllcdón variablll, (si el angulo de conici-
dad a ~ 12") (lig. 2(3), s>: puede admitir que Ills t¡msjonas en la'!!'
>
,
1 ir,
, I
i
-~
:
¡
,,
1
11
11
11
2«{
li
I '
Fil. 2.3
secciones transversales se distribuyen uniformemente, eg decir,
se pueden Clllculur pOr la misma fórmula. (2.2) que se obtuvo para el
caso ele barras de secci6n r.Ollstante.
"

Para obtelll'1' las defOl'fflllclOIlCIS do Illlll oan'l de sección vul·ial,l".
'Cn cuyas seccionell transversllles lpllrn~.e una fucrza axial N, Cltc,,-
lamos primeramente el <llargamiellto Ó (dz) dol elemontu d:., qlle es 1<1
-diferenciAl uellllargamiento absoluto tJ.l. De la lllY de Hooke hllUlllllOS
Nd-
1I (d:) "" d (ól) '=' 1>; . (2.7)
(2.8)
Integrando la expr<'sión (2.7) enlre z=O y ;;=</. se obl.¡cl1e
'Cl nlargamiellto lbsoluto de la barra, el:! d~iT,
,
r N',M= J ¡"'P'
"
Si N Y E son magnitudes constantes, entonces
,
M=.!!...r~
E J P'
"
(2.9)
Pura roder aplicar csta fórmula, es necesario conocer pre~'iamente
'Cómo varia F ell función de z.
Cuando se trata do haTras escalonados (lig. 2·.....), la illt",gwción
se sustituye por [tna suma y entonces 01 incremento ab1lo1uj", ,le lu
longitud de la barra se ootiene como la suma alglJuraicu de 1,1s
ut"1ormaciollcs de sus parl,lls, en los limitos de 1M cua.le.<s E, N Y F
son magnitudes constalltes,
(:UO)
Por ejemplo, el1 el caso de la barra rcprc3011la,lu en /f, 1igul'"
2.4 tendremos,
'¡ '¡ " ~ J... N~j'3'-' ='-' ,+'-' ,= E¡F, -. E3P
3
'
donde N,=N2=P.
Calculemos ahora el alargllmiento de una IJal'rl'. de st:CCtOu 1.:0118-
~ante, sometida a la acci6n' de IIU propio peso, qUf~ tlqllivale II "na
carga d¡s~ribuida ulliformem9n~e a lo largo de la barra (fig. 2.5).
El peSO especííico del ml:l.terial de la barra lo dlolsigllaremo;l pur '¡.
VeUDiOS la deformución del elemento dz, que so enC.lentra a U!la
distancia z del extr~mo inferior. Este elellle1l1o estli I,racciollado por
la fuerza yF~, iguol al peso de la poJ'le de la barril llor dehuj" de 111
sección 7;. El «lllrgarniellto de este clemonto <.'5;
Ó(dz)=d(Ól)= 'r~:/"= Y3i". (2.11)

El ala~gami&lIto absoluto de la ba~~a se halla integrando esta
cll"presión entra :=0 y z=l es decir,
,
I1l= ~ ; zdz=~, (2.12)
Esta expreslOlI se puedo escribir de otra forma, si tanamos en
cuenLlI Que III peso propio de la barra G=-rFl, o sea,
G
'll=p'
De III Jórmula (2,12), ohtenllmos,
111=':~ • (2.13)
Asl, ¡Iues, el alargamiento ortginado por tI peso proploiUuna,barra.de
slI'Cci6n constantt es dOIf v/Jces menor que tt alargamiento debido a una
fuerza de magnitud igual al peso de la barra y apllcfUUJ. al ex/remo de ésta.
'¡JI
"
- 1
F,
,
~ I F,
i
tp
Flg. 2.4
, ,
,
~¡
I ,
r ,
I -
I
Fil. 2.S
La fórmula para el clilculo de las deformaciones de barras de
~ción variable, 80metldns a la acción de su propio peso, Stl obtiene
:lhora sin dificlllead. Recomendamos al estudiante que la obtenga
61 mismo.
Ejemplo 2.1. Üllculnr la fuerza axial N y las tensiones O" en las
ser.ciones transversales de In harra de acero de la fill'ura 2.6. Deter-
minar también los dcsplazamielltos verlicales /) de las secciones
transversales de la batra. Representar gráficamente los rosultados
obtenidos, cOllsttllycndo los diagramas de N, C1 Y 6.
ReSfJhu::U;n. Pnr1l. obtener N. seccionamos imaginariamente la
harra por J-I y l/-l/. De la ecuación de equilibrio de la parto de la
harra por dehajo de 1-1, obteuemos: N, = P, _ lt (tracción).
De la l;ollllición de equilibrio de la parte inferior a ¡f-Il 56 obtiene:
-NlI + PI - P, = O. es decir, -Nu + t, - 1 = 0, o soa,
1'111 z= 3t (compresión),

COl1struimus, n lIla escala adecuada, el diagrama de las fllenas
axiales, considerAndo que la fuerza adal de tracción N es po!!itivn
y la de compresión, 1lI~¡::3liva.
•• •
~ Jf.
,
•
r. r
~ b g,
¡:;-ltJ1I'
< <
Ji." , , ..r-
~·II
J."7'"1
JI .JI
~-+f
,1#,-"
p'-It
FilI. 2.1
En lal! :teCcioncs trans"crsnlcs dd tramo inferior de In lo"rra
1M U!IISiOl1!1I son:
lOOO., _ -,-_1 000 kgUcm' (tracción)
y en las del tramo lluperior.
011 __ 3~ = -1500 kgflem' (comprt:Si6u).
Con!>lruJmos ahora a la e.sc::ala corre8pondiente el diagrama de
las tensiones,
Par. cOll.sLruir el diagrama de 6, hallamOl! los desplu...·'"licntos
de las secciones características S-S )' c..C (el desplal.ll.iUicnlO de 1...
sección A4A es i¡:u81 11. cero).
Puesto que el tl"3mo superior estA comprimido, la sección 8·S
se deplaurá bacill .rriba, es decir.
6.= - 32~~~~ _ -0,075 cm (h&eia arriba).

El desplazamiento hacia abajo será considerado positivo y el
despluamiento hllcia BlTillll" negativo.
-El despllll/;8miento de la sección e-e se ohticne como 18 !luma
algebrlliee del desplulmienlo de la llt'cción B·B (6 8) y el alarga.
miento del lramo de la bUTa, de longitud l" e., decir:
6c""~.+M,... -O.075~ ;~,l _-0,075+
t 000·201) 0025+ 2.10f.t =. cm (bacla abe,io).
Trillando los valore! de 6c y 6 8 obtenidos a cierta escala y unien-
do los puntos obtellidO!l con lineas. rectas. puesto que los desp'lata-
mientos !IOll (unciones lineales de las abelsas. de las reooiones¡ se
obtiene el gráfico (diagrama) de IÓII,·desplazamienlo:l. De este grá~
lico se desprende qua cierta soeclón.D-D' no se~desplaz8. Laa secdonas
que se encuentran IIObre ésta, se despluan hacia arriba y las que
se eneUtlntrall por debajo, h.acia abajo.
Ejemplo 2.2. Calcular el alargamiento de una barra cónica do
sección cire11lar, .~i su dlámetru menor es 2r, y el lJlllyor, 21'1 (véase
fig. 2.3).
JleM:Jhuiún. El radio de la .secc:i6n situad" /1, lila distancill % de"
extremo izquierdo es ie-ua1 a
't-',r&"",r,+--,-"
y por tlllll... el bea de esta sección 8 la distancia:; sera:
F • ( '1-")&"",11:',=11 rl+-,-' .
El atargamiellto de la uarra se obtiene por la furmulll (2.9),
es docir,
,
61 - ~vE ¡ -"",-~'~'::"':-;T ,"
.. J ( .~ )1 -"t"'I'1I '1 T ¡ •
Cuando r, = r. = r !iC obtil'ne el alargamiento de una horra de
secci6n (circular) conlltllnte.
§ 11. estudio expellmenhl
de las prop:l.dades de tu meterlal..
A. Pn,bttn J tlpo. d.....,"
Para el 8lltudio de lu propiedllde.s de 1011 mlllerillle.!i y para obt<mer
las umsiones lldmisibl('s, se eostlyan proloetll.!1 de ['stOIl matrrillles.
bllSt.a ser delltruidas. Estos eogyos.!le r['aliull con djyer!OS (ipos de
cnrgu. corno ~n: ['stálicas, de impacto y riclicas tt"n~YOII de fnUga).
3' "

Según el tipo de deformación <le lit probeta, se diStinguen los ensayos
a Ll'8ccióll, compresión, torsióu y flexiUn. Menos írecuentes IOn los
ensayos de probetas IOmetldas a t'e'!lislencia compuBSta, como, por
ejemplo, la. combinación de tracción y torsióu.
Puesto qU8 lo!!o resuludos de los ensayos dependen de la forma
de la probota. de la velocidad con que.se desarrollan 1113 deformacio-
nes, de Il'I temperdura a que se lleva a cabo el enM)'O, eto., los
ensayos se realizan en condiciones standard.
&tO$ elWll)'03118 llevaD. cabo en máquinu especiales, de divers.
construcción y potencia.
Los d~formacioues se miden con dispositivos especiales, muy
senslhles, que se llaman extensómetros.
Unll exposición detaUada de las máquinas y disposith'os que
se ellllllonn en los ensayos. se puede encontraren manualo.'! e.'!pecieles.
Pera los ensayos est{¡ticos se toma.n, como mínimo, do.s probetas
idénticos y para los ensayos dinámicos, tros. Para realizar los 6ll.'JaYOS
1 fl'ltltl'l so nectlsitan, como minimo, de 6 o. 8 probet8.!l idéntiCIl-8. En el
cll.so de mllteria.lcs menos homogéneos, para obtener resultados sati.,..
lactorlos. se debe aumentllr, en lo posible, el número de ensayos.
B. Oll'rlm.. d. tnccl61l , clN,rNl6n
Los ensayos mi:'! diCundidos corresr.:nrlen al caso de tracción
JI compresión estáticOll, puosto que.son os más fáciles de realiu.r y.
ni mismo tiempo, en mucbos eJl!OS, permiten jUl'gar. con sulicien.e
euctitud, sobre el comport.amiento del OloLDrial cuando está some-
tido • otro tipo de deformaciones..
En lo figura 2.7. eslán representadas lAS probetas que se emplelln
en la URSS, pll.ra los ensayos de tracc.iún. f..as probetas principales
son cilíndricas, de 10 mm de diámetro. y tienen una longitud inicial
efutlva de 1" = 10 d" (lu probetas largas) y lo - ádo (las cor1ls).
Los ensayos a traccl6n ae realiz;ao para obtener las caracterl.sticas
mecánlcu del material. Durante el ensayo se traza automáticamente
-el dia¡:rama de la relación que existe entre la fuerza P, que traeeiona
la probota, y el alargamionto (~l) de ésta.
Parll que los resultados de los ensa)'OS que se reali'Zan con probetas
do} mIsmo material, pero de distintes dimensionu. sean comparabl88.
el diagrama de traccl6n se lleva a otro s¡atoma de coordenadas. En
..1 eje de las ordenadas se coloca el valor de le Lonsión norme1 que
!lurge en la sección transverul de la probeta, 0_ ~., donde Po el el
Are. loleal de la seeci6n de la probeta. y sobre el eje de las abcisas,
los alargamientos unitarios, 1- tJ
• donde '. es la longitud primitiva
de la probeta,
Este dlazroma se denom.ina diagrama convencional de trAcción
(o diagrama de la.!; tensiones convencionales), pue5to que las tenslo-
36

nes y los alargamientos unitarios se refierell. respectivamente. al
lirea lnicilll de la seGción y (1 la longitud Inicial de la probeta.
En ]a figura 2.8 está representado, en 01 sistema de cnorrlcnsdils
E, 0, el diagrama de tracción de unil probeta de acero de hajo conte-
nido de carbono.
Clima se puede observar, en el tramo OA del diagrama (domiuio
elástko), las ddormaciones crer.Cll proporcionalmente a la~ tensio-
nes, cnllndo éstas S<)D inferiores a cierta tensiÚD, 0P' llamada
límite de proporcionalidad.
Así, pues, hastl e( limite de proporcionalidad Q'l vilida la lllY
de Hooke. En el caso del acero CT-3, el limite de proporcionalidau
es Op ~ 2000 kgjlcm"(se le suele designar también por (11,,).
Alllumentar la carga, el~diagrama reSl1lta ya curvilíneo.
Sin embargo, si las tensiones no son superior(!!I a cierto vnlor,
(J" denominado límite de el~ticidlld, el material conservo. su.<¡
propiedades elásticas, es decir, que al descargar JI!. probeta, é~ta
r«upera Sil dimensión y su forma inicial.
El límite <le el:lsticidad o elás~ieo del acero C,..-3 es o. iZ:::'
z 2100 kg/lcmz. I~n in prácUca no !le haee distinción entre O"p yo,.
puesto que los valores de límite de proporcionalidad y del límite
de elasUcidad so difH(!nelan muy poco.
Al seguir llumenlo.ndo lo. carga, llega un Illomento (punto C),
cualldo las ddormaciones comienu.n a ilumentar sin un cortespou-
diente creeiwicJllo sensible dc la cMga.
El trama har(:;ontal CD del diagrama se denomilUl escal6n de
¡luencla.
La !enGió'l que se desarrolla en este caso, es decir, cuando las defur-
mociones crecen sin un aumenta de la carga, se denomina l·imUe
de {luencin y se desiglUl por a/'.
El límite ,le fluencia del acero CT-3 es (JI ~ 2 /¡OO kgllcm".
En el caso de r.iertolS materiales, el diagrama de tracción JlO
tiene un escalón de nuencia bien acentuada, Pllra estoll materiales se
introduce el así llamado, limUe cont-'endtma~ de {luencin..
Se denomina lími~ convencional de fluenc¡o, la ~~ns(6'~ correspon-
dtente a una deform<U!16n restdUill del 0,2%. Este limite se denota
•por OG,2'
El durahuninlo, el bronce, los aceros aleados y de alto carbono,
SOn ejemplos de materiales, para los cuales ~ determina el límite
convencional de flüencia (en el caso del acero 37XH3A, por ojemplo,
00,1 = 10000 kg¡lcml
).
Como demuestran ciertas investigaciones, la fluencin del acero
va acompañada de significaDtes deslizamiento... relativos entre log
cristales. Como resultado de estos deslizamientos, en la. superficie
de la probeta apa~ccll las, asi llamadas, Iíneaa de Chernav - Lüder5,
# .'1. e!ta cararte.l~tieu 59 la auele i1enomlnar limite fíalco de flu9"oia .
.. difa.enoja dol limite cOllvencional de'fiuencia, que ve''''mO!l más adel11llt....

qUI< forman con el eje de la probeta un ¡{n¡ulo de alrededor de 45°
(fi". 2.9. o).
ve!pués de que la probeta recibe cierto alargamiento bajo UDa
urea constante, es decir, después de pasar el ealldo de fIuencia, el
materiAl de nuevo adquiere la capacidad de oponerse al alargamiento
(elllluerlal se endurece) yel diagrama, una vel reblJlado el punto D,
Il!lCiende. aunque con menos intensidad que linte.! (fig. 2.8).
En el punto E la tensión alcanD. su valor máximo. Eda ~f la.
m6~¡l1UJ ktui6n (onlJl!ndonol que PI~ ra/sUr el moterifll y que le ckno-
mitw Umi/,e de ',-elf"¡j/enC'ia. En el caso dd acero Cr-a el limile
i-~'qF~----+
a) IJ)
Fil. !.g
da resistencia es o~ "" <. 000 + f, (Xl() kgj/cml
(se emplea también la
I1ntncioll Ol~)' Ellloll aceros (Ja llha resistencia el limite de resistouela
UegM 11 !er 17000 kgj/cm: (Mcero tipo 40XHMA (J -MA) Y otrol).
El límite uc resislencin a In t..acciÓn se designa por G" y el <le relli~
tencin a 11 compres¡ólI, por G,(.
Cllando la tensión se i¡llllJa 11I límite de resis.eoci., en la prolletll
:lll oll!lCr"a IlOa reduc:ción br~ y local de la sección, ell (urma de
euello «(jg. 2.9. b). El area de la !eCCiÓII disminuy(' súhilamel'U! en
el lugllr rlel cuello y, como coosccucnci(l. SIl! Nduce el eS[llt"n:o y la
t('nsión coovencional. La rotlta dI! la probet~ ocurre por la sc.occión
más dcbilitadfl. es decir. por el cllellu.
OUrllnte los ensayo! n tracción, a part.e de lBs c~r¡lclcr¡sUca:5
rneciinicas rnencionada~, se detenninan también el alargllmielltn
residual unitario 6, cornllpolldiente al momelllo de rotura. Ellhl
es 1IJ11 cRrllcleríllti(lIl irnpor~ante de la ph,sUcidlld del IlInlctiul,
que se obUl:ne I)Or la fÚl'mlllll,
c'I=~100%, (2.M)
dondo lo es 11 lool{itllri ¡oichll de la proheln:
II es la longitud de la probeta después de .su rotura.
PatA el acero <;,...3 6 > 24%. En el casó do /leeros de alta t'Csislen-
cia, esta ~racteristica disminuye y llega 1I llCr igual al i-IO~.
La magnituu de 6 depende de la relación entre la longitud de la pro-
beta y Slll dimensiones trIlDsv.rsales. Pur eso. en los rnllll1l/lles. se
indicll la probeta para la que se ha delermlnado 6. Por ejemplo.
6, iodiea que el alargamiento file obtenido en .mo probeta de lon-
gitud efectiva. cinco veces ma}'Or que el di'metro.
El alargamiento asl hallado es un alsrgamienlo medio. puesto
que las defermllciones nn !'(l dislriLuyolI IIniformpmentl! 11 lo IlIrg••
3!/

de la probeta. El alargamiento mayor correspoode allugal" de rotura.
GenerAlmente se le denomina alargamiento real de rotura.
La segunda. característic~ de la plasticidad dol material es la
reducción unitaria residual de la s.ección, en el momento d(l la rotura:
I(l= Fo-F'100% (2.15)
F,
donde Fo es el 6rc(I inicial de la sección transver.~al;
P, es el árelf, después del fllllo, de la sección tranllVersal
en 01 lugar mós Cino dol cuello.
La magnitud Iy cMactcriza la plasticid(ld del malerial de
una manera mlÍs precistl que 6, puesto que riepende menos que ésta
•
de la forma de la probo La. Para el neero C'I'-y
3 la magnitud '1' es del
orden dol 50·60 %.
Como so dijo anteriormente. los diagramas do tracción de muchas
marcas do acero, y da las aleaciones de metales no farrosos, no tienen
eS~'4lstí~e)fluericiá~ La" formá t~pica do los,diagr~m.as de tracción de
estos matei'1~1(lgel!ltá·ropre.rentada en la f.igura 2.10.
'Para el estudio de las, deformaciones. plásticas. grandes, es nece-
sario disponer del alagrama real de tracción, que establece le relación
qüe ·existe entre las dcformacloi'les y tensiones efectivas. Este dia-
grama se obtieno. divldiondflla fuena de tracción por el área efectiva
de la sección transv.er¡;,ul de la.prpbeta (teniendo en CUBnta la reduc-
cIón de la sección). .. :
Puesto que el á¡;ea efectiva de la sección transversal es menor
ql,le el área Inicial, el dia~~ma de las tensiones efectivas.se encon~
trará por c.ncima det diagrama de las tonsiones convencionales,
sobre too o, desJ?:ues de formarse el cuello, cuando 1a sección transversal
de la probeta disminuyo bruscamente (curva oes do la figura 2.8).
El diagrama de la.s tensiones efectivas se conatru}·e generalmente
por métodos aprúximadOI!l que se exponen en los textos completos
de Resistencia de Materiales.
,,O

El diAgrama de tracción (Hg. 2.8) analizado es caracteristico
para los materiales plásticos. es decir, para aquellos materiale.9
que admiten grandes dcformnciones residuales (6) sin destruirse.
Cuanto más plástico sea el material, tanto mayor será 6. Son
muy plásticos el cobre, el aluminio, el latón. el acero de bajo conte-
nido de carbono y otros materiales. Menos plástIcos son el duralll-
minio y el bronce.
La mayoria de Jos aceros de liga son materiales de poca plasti-
cidad.
FraglBdad es el antónimo de plasticidad. Se entiende por Ira-
gilidad. la ,propiedad del 'material de destruirse al recibir deforma-
ciones residuales insignificantes. En estos materiales. el alargamiento
A
i
fig. 2.11
< I!J M.JOS(} flJ();W S(J(J Q'mm
Fil. 2.12
residual en el momento de la rotura, no es superior al 2-5%. A "eees
es, incluso, inferior. llegando a ser dácimas de uno pordcnLo. El hierro
fundido. el acero instrumental de- alto contenido de carLono. la
piedrll, el hormigón, el vidrio, los plástic05 de fihr¡l de vidrio, llLc.,
son ejemplos de materiales frágiles, es decir, quebradizos. La cbsi-
ficnciún de los materiales en plásticos y frágiles es convencional.
puesto que los materiales frágiles pueden comportarse como plásticos
y viceversa, según sean las condiciones en qlle se realhlln los ensayos
(velocidad de In carga, temperatura) y las caractcrísticas del cstado
tensional.
Por ejemplo, una probeta do bierro funelido, sometida II compn..
sión en todas las direcciones, 50 comporta como un material plástico,
es decir, no se destruye. incluso, al recibir deformaciones considcrt'l-
bies. Al mismo tiompo, una probeta de acero, con mm ranura, se
rompe 11 rccillir uo1ormaciones relativamente pequeñas.
Es más correcto, pues, hablar de estados Illlisticos y fr{¡giles del
malerinl.
Al trar.cionar prohetas de materiales frágiles, se observan ciertas
peculinridades.
En la (igura 2.11 cstá reprcscntn(]o el diagrama de tracci<Í1I
de una probeta de hierro fundido. Se puede notar, que el diagrama
de tracción COmiClll':1l muy temprAno a rlesviar,'lt) de hl ley de Hooke.
41

Lll ro~unl de la probeta oc:urre inespcradalllollw. &in que se forme 01
cuello. para deformaciones pequeña.!!. Esto es caracteristico para
tod~ 10ll materiale$ frágiles.
Oel diagrama se olJlionell las dos caraclerlstícas si¡uientes:
el limite rie resistencia 11 la tra«ión o. y la ddormación unitaria
residual en el momento de la rotu",. En los eilculos pricticos, 88
presdode. generalmente. de III flesviaci6n de l. ley de Hooke que
ticml lugar en los mllteriales frákiles. Es decir. el diagrama curvilineo
lIIll $1lstitu~·e por otro rectillnoo convendonal (VéUCl la linea pu.nteada
de 11I lig. 2.11).
El Ihnitc de re.llistcocia del hicrro fundido y de otros mllterialell
rr6gilcs depende coosidcrablemellte de las dimonaiooes de la probeta.
Este bllCho se IIpreeia mediante el coeficienln de o!lCda,
(2.10)
rlnmlo, n,oI e~ el limite d~ T'llMslt'ncia ole lino prnbl'lll dtl dlámotro d;
"'10 es el limite de resistencia de unll probeta de dilamelru
d=IOmm.
~n la tigur" 2.i2 Osi'" represcntado.!:! los gMHicos de ero en luo-
eion del dilÓl.Oetro ,le la prObelll, para los materiales siguientes:
1) acero de al.6 cllrbono y Itero al n'lInga~~, 2) acero de liga.
3) hierro fundido lIlodificado, 4) hierro fundido gris.
El Ilumento de las oIimensiolll:'s absohltlls de la proloE'ta, especial-
IIlcnte de hierro rUlldido. Innuye sobre la mllgnitlld do e.. de una
mancrll conl'illerable /véaro curyllS 3 y 4 (fii. 2. t2)1.
¡.;", necesario sciílllllr que en los uhimO!! liios se han obteoido
6:dtos ell la creaci6n de mllteriales de alt. rosistencia.
El "lIlor teórico del limite de resistencia. que se halla a partir
de hl aec:i6n recíproca entre los fitomos del criSlal. es, aproxlmllda-
mente, igulIl a la décima parte de E. es decir, 'lile para el licero. es
del orden de 200 000 kgllcm'. E1I<l valor es (lllsi diez veees mo.yor
que el límite de J1'sistencia de los IIceros altamente resistentes do
IlIs lIlalces e::dstentes.
En 1011 laboratorios ya 58 nan oblellido cristalos de hierro, on
fórmn de hilo, que tienen un límite de resistencia 11, ""
_ 140 000 kgf/cm' .
Se ha eonseguid'o elevllr 11I reslJ<toncia de lo~ /leeros y de o~rll!l
alaacinnes. mediante una irradillci6n neutrónica. LIl8 particulas
rápidll8 desplazan loa litomos del melal de la red cristdina. r.l'9llndo
lISI lUgllru vados o hornos sin lugar, atomos iotersticiale.'l.
Estlls modifiellciones de la estructura del metal (dlslocleiones)
hacen mAs resisteD18 el melll, ya que difieullu los desliumientoll
dentro dol cris...1 de la misma forml qUll la rugosidad de las
superncies de dos cuerpos en conlacto impide el desllu.miento
de éstos.
"

C. AlIlIlGlltO ••1 IIl1llte ~onun~lalllll de fl..n~l.
p.r ~UIIU r'l'.thl..
(..dllre~""I'flt. por dGfarlna~lh efl 1rlo)
Si, al cargar la probeta, no fue rebasado el límite d'¡stico. al
do~argarla, todas las deformaciones desaparecerán completamente
y, al cArgarla de nuevo, ln prolJetn se comportará igual que cuando
se cargó por primera vez.
Pt!ro. si se rebasa el límite elástico y se llega. por ejemplo, a la
tensión correspondiente al punto K del diagrama de la figura 2.8,
entonce!' la descarga ocurTirá según la recta KL, paralela a OA. La
componenle elástica de la deformación (segmento LM) delDparece,
mientras que la componcnle plfística (segmento OL) ql,lodil.
Si cMgamos de Dllevo el material. el diagrama coincidirá con
la recla LK h81lla el propio punto K*
El lllll.rgamiento residual o llermanente correspondiente al
momento de rotura. qne es igllal al segmento LR, ser,í menor que
t'cl qHl ~ observa CnflOrlO el materiQ} se cnSllya por primera Vf!Z, y se
Hev.. hast,a la rotura.
¡'sí. pue.~, al cargar de nuevo 111 probeta, que fue eslir,1I111 illi-
ciilm~'nloJ l.mstn tensionM supcrioros al Umite de fiucncill, el límilc
de proporcionalidad &.' eleva y SIl hace igullI a la tensión qUI< SIl lllclln-
:/:.1 dOlrnnte la solicitación 1.I1llerior. Si entre la dese.llrga }' la llueva
wlicil,nc,¡Óll pasa c.icrto tiomllo, entonces el ¡¡mUe dc proporcionuli-
dad aumentará aúu más.
Es noocsario ob~rvar qUlJ el diagrama LKEN, que so <lbtielle al
cMgar nuevamente la probeta, no tiene área do fluencia. POr oso,
para la probeta que fue de5Cargada"y cargada rle n.ue'vo, se llstable<:e
el límil,e {'-on'enciooal de f111eocia (oo.,) que es, claro está. superior
al limite de f1uencia correspondiente a 11.1 primora -"olici~ll.ci6n.
En e;;te SlJntido se puede hll1>hn de un [lumullto del limite de fhwnci ..,
nI repetír de nue'o la cnrga.
Este fCllúmon(" que consiste on un aurneuto riel Iílllite do pro-
porcionalidad y en una disminución de la plasl.icidad del motcrial
por CllrgaS repetidas. se der,omina clldurechulento por ddorlllllelón
en frfo.
El endurecimionto por dclormaci6n en frío. ell ffluchos cusos,
es uu fenómeno illdesenble. puesto que el malerial endureci,lo se
hace más frágil.
Sin embargo, en muchos otros casos, el cnduL"t!cililicn¡u ¡JOr
doforllulciún en frlo es útil y se crea artificialmonte. como I">r' ejem-
plo, 0 el caso de piezlIs :5QfficlidlJS a cargAS aILernadas (V;;llSC el
Cllopítlllo XH).
• L,ji' lílll.'lS corre!Jponrlientes" 1u carga y II la rlescMlffl 11" coincid"" exuc-
tao,elllí>. pero l~ difertlJlcia ..", fnsill"iric.."te, por lo que "0 r"",lo l'rescimlir
de <:oIln.

O. Influ..tl. d.1 ti'IIl~' IIbr. l. d.t........eI6n•
....ell.l.... fluntl. ,Ibtll" RIIIJ.clh
Los ensayos demuestran que las deformaciones origilladu por
la eargll no aparecen instantáneamento, sino que necesitan cierto
tiempo pllta desarrollarse. Si interrumpimos el proceso de cngl.
al alcanzar a tensión el v..lor correspondiente al punto S (tig. 2.13)
y mantenemos la probelll cargad:'! durante cierto tleOl})o, entonces
la deformación Sflguirú creciclldo (gegmento ST), rlÍpidamente al
s r
•
"
".,.,, ,
oL,is-~-i---------...
fil. 2.11
principo y, lenlamellte, después. Dura.nte la descarg., la parte de
la deform'ción correspondiente .1 8egmenlo GI desaparece tui
inmediatamente, mientras que la otra parte, represent.da por el
!legmenlo OG, nec1'5itll. cierto tiem¡'lO para desap.re«t·.
Este feoómono, quc consistc er la vllriación de los delonnllCiono!!
el1islicas en función del tiempo, sc denomina tlempo de electo
o rcaetivldad.
Cuanto má1l homogéneo es el materIal. menor os su reoctividarJ.
En el caso de mll.teriales refrll.cterio!!, I temperatuus normalcs, la
reacUvidad es tan insignificante que se puede prescindir de el8.
lJo eon-ltllfio ocurre en los materiales de procedencia orginlca. En
listos, el tiempo de efecto es tan grande, quc no !le puede pre/lCindir
de él.
EB muchos materiales, .solicitados por cargas a altas tempeUtllra5,
50 oLserva otro fenómeno que c:onsiste en un aument.o COn.!itante
de las deformaciones l"tslduales que, cn ciertas condicione!, tC'rmina
con le deslfllce{ón del material.
Por ejemplo, el tubo de Rccro que sirve de conductor dlll 'apOr
y que trllbl'ljo. a cierlas presiones y lemperaturas, est¡j ~metido
11 un continuo al1mcnto de su dltimetro.
• En l. 11,. z,t3. el 1e¡¡naDlo sr en' T('pr~ntado, parl lllatrlf mljar
al len6m...o, I uoa Mella mayar que al res-to del diagrama.

La variación, en función del tiempo, de las deformaciones do
una. pieta. sometida a carga, RO denomina lIuenc:la pláetica.
Eu los metales que tienen bajllo temperllotuNl de fusión (el cinc
y tll plomo, por ajeruplo), y en el hormigón, la fluencia plbtica
ljl,! observa incluso a temperaturas normales. En al aCllt'o una fluencla.
..preeiablll aparece a temperaturas superiores a 3CJOO C.
La tensión, para la que lo. vcloddad con que se desarrollan las
deformaciones plásticas, a una temperatura determinada y para
una carga constante, adquiere ciorta magnitud determinada previa-
mente dada, pOr ejemplo 0,0001 % pOr hOra, se denomina llmite de
fiuencillo plbtica afp y cODstituye una catacteristica mecánica muy
importante.
A la fluencia plástica está estrechamente relacionado otro fen6-
mello, que consiste el! que las uerormacioues elásticas del sólido,
con el tiempo, se convierten en plásticas y, como resultado, varian
las tensiones, sin alterar la magnitud iotal de la defOrmación. Este
ienómeno se denomino- relajación. Como resultado de este fenómeno
las juntas pretensadas :se debilitan con el tiempo. si trabajan a altas
lemperaturas.
E. f~lh"ncle de le ttmp.,et"ra.
Como dem~str(ln los en~ayos, las propiedede¡¡ del nUlterial
depenncn cons1derablemente de la tomperatura,
En ta figura 2.14 estál1 representauos algunos diagrl'mal'l do
(racción de aceros do pocv cllrbono (0,t5%C), correspondientes !l
fiQ:. 2.14
&usayos renli~ados 8 diversal'l temper8turas. En 1811 figuras 2.15
y 2.16 se dan los grtlficos de las constantes de elasticidad (E y ¡.¡.)
1 las caracterlstica.s mecánicas (O"p, 01 Yo,). ¡¡SL como 1Jl y /) en fUll_
clón de la temperatura. pera un mismo tipo de o.cero.

De eslos grii.fi«n se desprendo que la temperatura influ)''¡ eon,!,-
dernblcmente sob", las propiedades del acero. Hasta la temperatura
de :ro' C. el límite de resistencia a aumenta (en 20-30'19).
mientras que '1" ulterior lIumenLo de ía lemperatura d~lIlinll)"e
bru:JGPnlollto este límite.
'''''' '"O ,
·fII. 2 15
,
• "•
Lo~ Ilmltes de fJuencia y tic propordonuHdad a, y op dillmilluycn
pI crecer 1/ lempuraturlI. A temlll.'rnlurll ,18400" C. ellmit!' de r!l'Jn-
cia repl't'senta el 60-70% del correspondiente a Ullll lernJl'l!rllLura
habitual. Al aumenUr la temperatura. disminuye 01 :irep do fluencia
y. a utla temperatura de 400" C. desap3rece completamente.
Lu propiedades plisticu del materiAl (deformación unihlri:ll
residual en el momento de 111 rotura 6 y 111. disminulcióu del Aro...
de la secei6n transversal V) disminu)"en cuando la temperatura
crece basta los 30(1" e y ll.Umelltlln con el crecimiento postt"riur úe la
lemperiLura (véase ng. 2.16).
Las propiedades mecánicas de los mlteriales dependon consido-
rablemente del tiempo que duren los ensayos.
A ciert8.!l temperaturas (por ejemplo, superiores a 800" e en el
caso de aceros de bajo ClJ'DOno). la probeta que se ensa)'a puede
ralJar, incluso cuando la tensión es inft"rior al límite de proporciona-
lidad. obtenido 11 Ulla temperatura habitual. si esta ten,món lIctua un
prolongado (M!riooo de tiempo. Por eso. la resistencia de los metales
sometidos a altas tem(M!raturt15 no se l"llrt.cle,izlI poI' el límite habi·
tual de resistencia. que se obtiene en ensayos de poca duración, ¡;illO
por el. Mi llamado. limite de r811latellcla prolongada (0".,). Este
limite es igual a la tensión que. actuando a una tomperatura cons-
tante duranto ci~rt(l intervalo de l;emllo, cunduce s la destrllcción
de la probt'tll.
..

Las pleza.s destinadas 11 trabajar a altas temperaturas, se hlléen
de aceros especiales termorres¡stell~es y de aceros resistentes a la
oxidación a altas temperaturas, que contienen elementos de liga
ospeciales.
Se entiende por termorreslstenelll del acero la capacidad de
conservar alta resistencia a g['anrles temperatllras y, eh particular,
su alta resistencia a la fluencia plastica. Para aumentar la termorre-
sistenc!a del acero, éste se liga con wolfram, molibdefl.Q 'Y vlI.lladio.
Se entiende por resistencia Il la Qxll;laci6n a altas leÓlperaturaa,
la capacidad del material de oponerse a la destrucción química de
su superficie bajo la acción del aire o gas caliente (corrosi6n gaseosa).
Para alimentar la resistencia a la oxidación a altas tempo['atnras,
el acero se liga con cromo, silicio y aluminio.
F. AlgulI" partlcurarld"~1 da IGI IIIIII'GI
B cGIIlpretl511
Para los ensayos a compre~ión se escogen probetas cúbicas
o cilínriricfls de poca altura h '" 3d, puesto quo en "el caso de p['obetas
más nltas puede ocurrir la flexión.
El empleo de probetas muy bajas tampoco es deseable, puesto
que las fuert.as que origina In fl'icci6n, que se desarrollan en lo!! estro-
mus de la probeta, obstaculizan su libre ensanche y, como consecuen-
cia, la probeta adquiere lo. rorma de un bllrd/ (fig. 2.17, a. ú).
p
/ ' " . .1I J 1 1 1 I
i'!?;w,w,¡;;!S'7, , "
u) ó)
Fil. l.11
d) P
Lo>; resultados de 10.~ ellsuyo~ ,l COlllpl'eSlOn d('PClIl1l'lI wnsible-
mente dd valor de las fuerzas de fricción. En e.~le sentido, los pro--
bela.';! cilindricas ~"II más corwe,'¡olltes quo las cúbiclls.
J~a influencia de las fllorzas de fr¡cdón se puerlc eliminar PM-
cialmellte, engrasando (COI' parafina, IJor ejemplu) los Ilxtrcmus de
la prolJcta.

• En la figura 2.t 7, b se puede apreciar el carácter del faUo de una
probeta de piedra cúbica cuando DO se engrua. yen la figura 2.17, c.
cuando :se engrasa.
UHimamente ae comieouo a empleu probetas huecas de extremos
de superficie c6nica (lig. 2.17, d).
Escogiendo del,¡idamenle <>1 áa¡ulo del cono. se puede dllbihtllr,
en grao medida, la innuencia de 11IIs fuerzas de (ricci61l. Esta irnpor-
lante cuestión, que trata de la influencia de las fuenas de fricci6n
sobre la resislencia de lo. probeta, requiere lluevos inveg~igaciones,
tanto teóricas. cama experimentales.
•
al
I illl--. ,
, J
F'" t.l'
1::1 diagrama de compresión de un material frágil es nnUogo 1lI
de l"acción (véll.!tC la Hg. 2.1t). L~ rotura ocurre cuando las dúforma·
dOlles son insignificantes. El diagrama perrolee determinar el límite
de resist.encia aro y la deformación unitaria residual correspondionte
II In rotura 6.
En el caao de matorlales (ragiles, el límite de resistencia a comprto-
sian a,e es muy superior al de resistencia a tracclóo a,f.
En la figura 2.18, Cl, esui representado el diagrama tipico de
comprea.i.ón de materialea plhticos (acero de bajo carbono). Al prin-
cipio el diagrama es an/ilogo al de tracción. Despues la curv. sube
brusc.amente, cemo consecuencia del aumento del área de la ~i6n
traosversal y- del 8IIdurecimiento del material. Lo. prObeta no se
deslruye, si_no que simplemente. aplana (2.18, b), y en eslas con-
diciones se interrumpe el ensayo. De los ensayos !SO obtiene el limite
de fluancia a compresión que, en este caso, cuando se trala de maur
riales plásticos, coincide prácticamente con el de lracción. Pero en
11) compresión el escflón de flueucía es consldernblemente menor
(Iun en la tracción.
e. 'roplld.... tuablc.. 111 1.. f111'" ,l"tlc..
(,lbtlcOl)
En los último! alios en las construcciones se emplean cada ve~
con mayer amplitud nuevos materiales basado! en 105 polimeros
IIlturalea y ~ntéticos que se lIaloan masa! plbticu o pli.stico5.
..

Lo~ plásticos 50n resina:" pur;!s o el conjul1to de rcsinllll y loda
una IIerie oc componente!!, lales como el rullclIo, el plaslificantll,
..,1 estabilizador, el color<lntc, etc.
Según el r..,lIeno quo so omplca. los p!¡;"sti{;os se dividllrl en plás-
tico.'!! de composición y !lunioare.'!!. Los pr,imeros, a su vez, se dividen
en pláslieosen polvo, [ibro~s y con relleno en forma du migajas.
En clllidad de rellenos :;e emplean materiales ofgÍlnicos e inol'-
gá.nico~. EllloS rollenos sirven para modificar las propiedades del
frnLerilll, para mejorar sus propiedades fÍ5ico-meeá.nicll;s, las caraete-
ríslicall del material al frotamiento y otras propiedades, así como
para reuuór el costo de 109 plásticos.
Son rellenos orgánicos la harina ,illl la madera, la celulosa, el
}la¡lcl yel tojido de algodón. El amianto,ielgrafito, la fibra de '¡drio,
el tojido de vidrio, la mica. el cllllrzO y otros matedales se empleAll
en clllid~¡] de rellenos inor'gánicos.
Lus rellenos en forllla de HculOs (tejidos o no) permiten obtener
pliisl.icos lil.DlillaN!$ de gran resistencia.
Emph'llndo como rellello el lcjido de algodón. ;;e o1Jtiene la teJ[-
tullta; .:!i )lt¡ llorplp.l el lejill" de vidrio, se obtieue la tc¡,:toHta de
vidrio: con el papel, se u1Jtit'lI.e Ifl miearta. con el tejirlo do Ilmionto,
el pbíslico armado con amianto)' cun la 1I.adcrl< en ciwpa, se oblil.'lIen
lo.:! plíisticos laminadus con madera.
en gl'llpo cspcci,d de rdlen(,s lo constituyon 105 materinles que
"irven .Ie nrmadllrll, o baso de fibra.~ de vidrio. de r.ord{ll) (le fibra
dl' "itlrio. eolchú" relleno oe lana de vidrio, 'I"e permiten pr",lncir
piezlls de rcsisteut'ia no infcrior u la del acero (tub. 2.3). Lns cifrlls
,I¡· la>! lalJla~ 2.;: y 2,4 c_orrespolltlcll a cnrl!as oll.' poca d,u·llcióll.
TABLA t3
Lln,lI. d. '.oJ._
lene!.. a•• ~~f/Crn'
"'r,d"i<' d~ "'''011·
~I~"d F. ••~r!cn••
""lchú" r<'ll~"" ole Janll ,1" vi~r;"
C"lch,," rl'llell') de 18na ,lo vidrio
,1.. "~lr,,"lur" r"",bir"
T('ji'" lit' violrio
~'ihra~ ,l~ "¡drio poraJel",
I ~OO-2 lOO (lIO_1 <!t). 10"
5t100-fj OOJ (18-2.~)·
""IllOO-3 ;>00 (1 ~-:.!I). lü'
1800-1O~ (::l3-'¡O}· [d'
L,,~ 1Jl'l'picdf(,lc~ de los plátilicCJ~ como maltJriales de ClJn>ltrudC"m
son ];IS siguientc!!:
1. Lo!! diagrama!! de las deíormaciones de los pláSLicos son linea-
les (.,,¡<i has.p 111 rolura y el alargumiento en 1;11 nomento oc 1>1 rolura
tle b mnyoria de los pliistir.o!' de construcción no es snperior tI 2-3 %.
En la figura. 2.1!.l est;ill rcpreSf'Jltados los diagramas de tracción
di' "l.'l"IlOS plii!;ticM.

JJ-18C
'_-+_V.,At,-¡P~9C40r
B~T-C
I 2
e,y.
Fil. 2.1!
100 200 300
t;C
flI. UI
tJf/JT-C-
O
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I~ ,JMB-I:xJ
1'-..
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0-J9
O
1-... ",.... "
O
I
90
SO
JJO

2. Las carllclerí~ticlUS meciiniclIs Ii tracción y compresión de los
plásticos generalmente son distintas.
3. Los phjsticos resisten considerablemente ]lOOr que los metales
ha torgas alternadas y dol largA duración.
4. Los valores de las cnracterlsticas elásticas y las de resistencia
tic los plásticos se distinguon por su dispersión mayor- on compaJ:'8ción
con los de los malatas. Esto so oxplica por el envejecimiento de los
materiales, por la higroseopicidlld. po~ la influencia de la tempera"
tura, por la anisotropia 00 las propiedades, por la heterogeneidad
de la estructura y por In infulencill de In tecnología de fabri-
cación.
5. El efecto de .escllla.t en los plásticos es mucho mh ncentu.ado
que en los metales. El límite do resistencia do las pie,zas de plástico
disminuye considerablemente al aumentltr las dimensiones de la
sección trau!versal.
Ell la figura 2.20 est,án dAdos los valores del coeficiente de
cescalat para el caso .-le tracción de plásticos do fibra rle vidrio,
en función del área de p, sección transversal de la probetA..
6. Las propiedades de los pl:ísticos dependen cOllsider¡¡blemellte
de lu temperaLu~ll. En la figUrll 2.21 están representados lo!! gráfico""
del limite de resistencia en función de la temperatura.
L(}..~ principAles grupos de plásticos pueden trahll.)nr a temperaLu-
ras de -200~ Ca +200" C. Con la aparieión de las SiliCOllAS y los
plásticos fluoroellrbúricos el limite .superior de la temperAtura se
eleva a +500" C.
7. Los plásticos son muy propensos a la llneno,;i<l plásticn ya la.
relajllci6n, iochlSo a lemperlHuras normales.
8. Los plásticos son poco rígidos. El módulo de elasticidad do
los plá:;;ticos más rígidos (plásticos de fibra de vidrio) es, aproxitna-
dnmcnte, 10 veces menor que el del acero. Como C(mSCcullneia, lns
piezas de pHistico sometidas a cargas reciben defonnaciones y despla-
'¿amientos mucho mayores que las piel:as ne metal.
9. Al calcular los plásticos lnminares resulta indispeDsahle COlllar
con la anisotropía de las propiedades del material. Para esto, ('s
necesario recurrir a los métodos de la Teoría de ta EIII~licidlld.
En la tabla 2.4, están nadas las prollie,lades mecánicas de los
principales grupos de pllisticos. Es necesario illdicar que todavla
queda por delaDte un Il'tan trabajo de iovestigllción sobre IlIs pro-
piedades mecánicas de los plásticos.
H. HltlfD1llnlldad di 101 mltarlar..
En el § 2 se introdujo la !lUposiei6n'de que el material, dent_rQ de
los Hm[tes de una pieza dnda, es homogéneo (l isótropo. Sin embargo.
h1s propiedades meclinica.~ y plásticas del mnlerial de piel:Rs dife-
rentes, obtenid8~ de nn mismo material, pueden diferenciarse consi-
derablemente entre si (dispersión).

En efecto. si fabricamos de un mismo acero -varill5 probetas
iguates, las ensayamos a tracción y obtenemos el limite de fluellcia,
observllrem05 que. como regla, los re.~ult.oilos 110 coinciden.
Por ejemplo, en la fignra 2.22 esta represcntllrin la curva"de
distrihlció" nel limite do fhleneia del acerO !le blljo clmtenido de
carbono CT-a. que fue construida con los resultad'os de los ensayos
de 600ú probctas. La línea pllnteada representa el diagrama exped-
mentlll de distribnción de frecuencias y la lInea oontinua d diagrama
teórico (curva gaua.'liana). a la ql1l! tiende la curva experimental.
al aumentar el númcTo de cllsayos.
,
2'0 ?.J 25 h .?g '" .J.J .f$ 37 »/rgl'lmm'
Um/ú tk I/umc4T
AJ. t.22
De esta curva se desprcnde que el valor má~ frccllel>tc IIclin'lte
de fluencia de esle acero es Clf = 3 000 kg¡¡('.III~ (el 15% de t.oilo:! los
casos). tJ:1 valor minimo dt'1 ¡¡mitl! ."El acerca a los 2 200 kJ{f/cm1
y el m,iximo, 11 3800 kgf/c.m1 • El carácter de la curv:' indica que no
cstn tle~r.llrt~da la po~ibilidlld de q'U! se ulJtengfllJ (l"'ra un IlÍlIlICl"O
mayor de ells....yo~). por Ina parte. valol"!!s mayul"u!J Y. por otra.
valores menores que el IímiuJ ele fluencia.
Curvas análogng han sido COllsLrllidus para {)[ros mll1.ed....le".
Para materiales menos llOmogéleOS, por ejemplo, el bormigón. [a
Jnltlerll. ctc.• estll~ curvas son m¡ís suaves. puesto que. en estos cagos.
1(} dispersión ele los valores de la mllgnitud corr<!.~pondicllte es
mayor.
En la figura 2.23 (>stiín representados 10f! diagramas de las fre.
cnencias del límite de resistencia de los aceros eT-1, ür-2, CT-3.
(;!-/, y Or-5. De estos diagramas so desprpnde que los aceros CT-4
y C-r-5 son menos homogétleos que los dellilÍ.~.
Las curvas de dist·ribución constituyen uno sólitln carM;terística
del grado de botnogeneilJAd del mattlrilll y permiten calcular la.'l
pie7.as de una mMera mús i1iferoneiada. cs !ledr, llooplar. en i¡::uales

condi~iOllt!~, lell~lon~1 Illmi!iblE!lI Ineyoret eo el caso de msleria.ies
má~ homogéneos.
Las ClIrVlIS dll distribuciim sirven de base para el nM"o método
estlldistico du cMlclllo de las corl$truccioDell (vease el § 114).
fil. t.n
§ 12. COIliclsnt. de urldad.
Eleccl6n de ,.. t.nalo adml.lbles
Hemos vi~1.o que tanto I.s cargas reales que ¡u.túan :¡.(lurt· la
piel.a, eorno 1IIs propiedlldel ¡le 1011 ma.teriales de e;¡ta. plleden dife-
rencinrse con~idef;lblemcntQ, ell un :elltido dOlfllvorable. de lAs
quo !<e consideran el! 01 cálculo.
Los fnctores que dj~millupW lo re~i.,tenr,ill de 11'1 pic7.a (~ohrolllr
gns, Ilclerogeneidnd 116 los matorialc~, etc.) son magnitudes i1e clIrlle-
ter nccidental, qlQ 110 pumlen ::!er vro"L~tllS.
PUllsto qlll', Sin ..mbatgo, 1M piezas y las ostructllrlll tieo",o que
trnblljnr en estlU condiciones dcsJavor3bles, e.s Ilecesario tomar der·
tas preclluciolle.~. Con c!rte propólito, las tensi()nes admisible! o de
trabajo ,;e ~ñalan por dobajo de lu tcn~ioDes limites pnra las cuoll"!l
110 pued" tener luglr el funcionamiento normal de la pieta.
AllÍ, pues. llC aclmite.
101- .!2.
"
(2. '17)
donde 11, el! el coeficiente de s.egnrldaU, u reserva rle resblencia, 01
ltR l. tensi6J1 Ihuile del material.
Se entiende Ilor lon~i6n Iímtte. el limite de rc¡¡istencia, en el
CilIO de matcrial(l!: fr¡ígilcs, y el limite de financia, en el caso de
materiales pllislicOll, puesto que cmwdo laa tensiones son i¡;nnles
al tlmite -de flnencia, !le desarrollan deformacione.s plástical cOJlside-
rablell que son Inndmisibles.
Alí, P~I. Tl coejfdenu de St!guriJad se introduce para cOnMgu.¡r un
fllnewnamienUJ 1Ó1Ido y «gu.ro de /(l ewuctura 11 de IIU partn, 4 pTSlJr
de ku posiblrl dell.'focim/.es dufovorablu ¡h lal cQfUlldolUl reaul de
,trllbojo, na compara.cl6n con lD.1 qcu se <:o'Uidualt rn el cálculo.

La magnitud norroativa del coefichmt.4l' do seguridad "., el
dl'lcir, ('1 valor que establecen las normu de diseco de construccio-
nes, se eli~e teniendo en cuenta la experiencia adquirida en el manle-
nimiellto de las fl:ltructura.' y máquinllS.
Ultimamente, el coeficiente unitario de ~guridad 11 .se dellCOm·
PO'IO en una serie de «)eficientes de seguridad parci.lcs. Cada uno
de estos coeficientes considera III ¡nUuenda de un determinado
factor o grupo de factores sobre la reaistencia del elemento de la
construC(;.IÓn. Por ejemplo, uno de los coeficleotel reneja .Ias desvia·
ciones posibles de IR! caracterísUeu mecánicu, en compara.cl6n
COIl las que !Il! admiteo en el cálculo; otro, el desacuerdo entre la
magnitud de los cargtls reales y la qUfl " toma para el c.iilculo, ete.
ESLa. divisl6n del coeficiente genera.l de ~rid.d permite con-
siderar mejor la. diversidad de wndiciones concretas de traba·Jo de
1115 pie¡a.s de bs máquinas y construcciones)' dlsenatlas COD mayor
solidu )' de W)a manera m/is eeonómiu.
~I coeOciente de .!!cguridad .se repre~nll en forma de p~ucto.
n-n,n~l· ... (2. t8)
No hay lodavla unanimidad el} lo que 1I6 reliere al númere de
coeficientes parciflles y SIUl Dflgnltudes.
Los valores de los coefieientes de llC¡urlilad se esubleeen. gene-
ralmonte, bos/indese en la experiencia lIcumulada en el di:!ollilo
y m:mteoimicnto do máquinas de un tipo doterminado.
Actualmeute, cn la construcción de ml1quinas, se emplean uno,
tres, cinco y nasta dic:t coefkieotcs de segUridlld parciales.
I~n el .Manuol del conStructOr de mAquinas. ao recomier,da em·
picar tres coeficientes parcieles do Ilegul'lnnd, ell decir,
(2.t':l)
dondc n, es el coeücientc que considera el error posible al determinar
lns cargas y las tensiones. Cuando las tellsione!l se ulculall
con gran precisión, este coefieiente se puede señalar
¡(ual a 1,2 -:- 1.,5. En el uso de menor c38ctitud, tic
2 11 tros.
n. ea el coeficiente que tiene en cueolll la Iletero~neidad del
material, su sensibilidad • 10Il posibles defcel.a!l en la
meeunilaci6n de la pien. El valer .Ie 11., euande los
cálculo! .se hacen parLiendo del limite de fluencill y lu
cllrgas son estálicas, está dadu en la tabla 2.5, eD función
de la. rrlaciún entre el límite de Ouencill yel de resisteneia.
Elltos valeres no reflejaD la influencilll de las dimensiones
absoluLos de la piela.

-, 1,2+1,5
(J,~+0,7
1,4+1,8
lIBU U
0,7-:-0.9
Si 10B cálculos se refieren nI limite dc rosi.t('l'eio, cuando!!lt Irata
de mat.erialeli frágilclS y de OlaterillJe.. poc;o ¡l/bUco", n~ se conllidertl
igultl a:
1') 11, = 2...,.. 3, JllI.ra materiales poc... IJlhticoli (llU'rQs de 1I1l"
ro~i.~hlncin ligeramcl1l~ revenIdo>! ti bajas lemperalufll.'l);
h) n,'" 3...,.. lo, pllrlt mAteriales lragilc.'l:
c) 11 .... 4 ...,.. 6, ]lnr~ Illlllerialoli muy fr"gilc!!.
¡:;tl lo~ I'okulo!! por r~[jgll (véase <'..ap. XII), el rocficielllC' /1 1 se
cml.!!idcra ¡glllll ti 1,5 -+- 2,U. Este coeficiente SI;) 1Illmcnta. cn el C"""
de ntuh:rinlt"S de JI'ICI' 1l0mot:'Cllt'illad (!Iobre ludo eu 01 eolIO de flludi-
d Oll) Y ,:n d de piezas dtl ~tll" lllmaño, hasta ltM y más.
nJ el! 01 co"neicIIlc rhl las coudir..iolc!I de tral'8jo que tiolltl el!
cuenta d grudo de responsabilidad de 111. picu. Su vnlnr 80
"dmilc CII¡re 1 y 1,&.
HIU U
liof(OlU C'J t2-28
01 lr..:!!
el( 21-4U
.lhtC'1.leo
It¡~tro fUI"ljd" IIti... en
• •. , ,
Ar..¡r(l CT_fl. y C'·2
ACQru CT-3
ACllro e,,3. JlIIU pUUIllell
)curO de construcción al c.rbono. Pllra Ifl
coM~tuccióll de mllqu(n.~
Acero ele.,k de COO!lrllcd6n d. m'quln.~
OuralulDinlc.
L.t6n
PIno, .n .1 Hlltldo de l Ilbtllll
Robl., '1' .J Stllltido de 1 UbtU
Mlmposteria
HoJ"1l11ll:ón
T.:n.ollll
M.lcarta
..
Tta«i6a 1", J
"'I->JO~-,().400
:I;;o-5:iO
,.,.
"00
1<00
.;00.2500
1000-'000
)' miÓ!
800-1 SOO
_"00
7<).'00
90·130
hula 2
'·7
150-300
500-700
700-1 t(lo
""'''''1fiOO.2ooo
"00
1 00()
1400
600-2 !i(lO
J 000-4 (X)U
y más
600-1 500
700-1400
100-120
130-150
6-25
10-90
300-.,.
:;00.700

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